Linearizimi (modelimi) i funksioneve të transformimit të instrumentit matës

Prezantimi

Zhvillimi i shkencës dhe teknologjisë, rritja e kërkesave për cilësinë e produktit dhe efikasitetin e prodhimit kanë çuar në një ndryshim rrënjësor në kërkesat e matjes. Një nga aspektet kryesore të këtyre kërkesave është sigurimi i mundësisë së një vlerësimi mjaftueshëm të besueshëm të gabimit të matjes. Mungesa e të dhënave për saktësinë e matjes ose vlerësimet e pamjaftueshme të besueshme zhvlerësojnë plotësisht ose ndjeshëm informacionin rreth vetive të objekteve dhe proceseve, cilësinë e produktit dhe efikasitetin proceset teknologjike, për sasinë e lëndëve të para, produkteve etj., të përftuara si rezultat i matjeve. Vlerësimi i gabuar i gabimit të matjes është i mbushur me humbje të mëdha ekonomike, dhe ndonjëherë pasojat teknike. Një nënvlerësim i gabimit të matjes çon në një rritje të defekteve të produktit, llogaritje joekonomike ose të gabuar të konsumit të burimeve materiale dhe konkluzione të pasakta kur kërkimin shkencor, vendime të gabuara gjatë zhvillimit dhe testimit të mostrave Teknologji e re. Një mbivlerësim i gabimit të matjes, i cili, si rregull, rezulton në një përfundim të gabuar për nevojën e përdorimit të instrumenteve matëse më të sakta (MI), shkakton kosto joproduktive për zhvillimin, prodhimin industrial dhe funksionimin e MI. Dëshira për të sjellë vlerësimin e gabimit të matjes sa më afër tij vlera aktuale në mënyrë që të mbetet në një kuptim probabilistik një "vlerësim nga lart" - një nga tendencat karakteristike në zhvillimin e metrologjisë moderne praktike. Ky trend po bëhet veçanërisht i rëndësishëm rëndësi praktike ku saktësia e kërkuar e matjes i afrohet saktësisë që mund të ofrojnë instrumentet matëse standarde dhe ku rritja e korrektësisë së vlerësimeve të saktësisë së matjes është në thelb një nga rezervat për rritjen e saktësisë së matjes. Gabimi i matjes është për shkak të rast i përgjithshëm, një sërë faktorësh. Kjo varet nga vetitë e instrumenteve matëse të përdorura, metodat e përdorimit të instrumenteve matëse (metodat e matjes), korrektësia e kalibrimit dhe verifikimit të instrumenteve matëse, kushtet në të cilat bëhen matjet, shpejtësia (frekuenca) e ndryshimet në sasitë e matura, algoritmet e llogaritjes dhe gabimi i paraqitur nga operatori. Rrjedhimisht, detyra e vlerësimit të gabimit të matjes në kushte moderne, në veçanti, matjet teknike janë një detyrë komplekse, komplekse.

Umanskaya A.K. Linearizimi (simulimi)

funksionet e konvertimit të instrumentit matës. -

Chelyabinsk: SUSU, PS; 2012.18fq.4ill.,

bibliogr. lista - 1 emër

Në bazë të të dhënave fillestare është linearizuar (modeluar) funksioni i transformimit të instrumentit matës dhe janë llogaritur gabimet.

Detyrat

DETYRA 1.

Ndjeshmëria SI dhe paqëndrueshmëria ekstreme e ndjeshmërisë. Ndjeshmëria SI:

Paqëndrueshmëria maksimale e ndjeshmërisë:

DETYRA 2.

Kufizoni gabimet relative të reduktuara në daljen dhe hyrjen e SI

Le të gjejmë gabimin e sinjalit të daljes.

A-parësore:

Le të gjejmë gabimin e sinjalit të daljes të reduktuar në daljen SI.

A-parësore:

Le të përcaktojmë vlerat gabim relativ në vlerat e vlerës së matur në hyrje:

DETYRA 3.

Përcaktoni gabimet e jolinearitetit absolut, relativ dhe të reduktuar kur përafroni funksionin e transformimit SI në formën e një tangjente në pikën fillestare.

Përcaktoni gabimin më të madh të jolinearitetit. Ekuacioni tangjent është:

Pika nëpër të cilën kalon tangjentja

Këndi tangjent:

Le të përcaktojmë gabimet e linearizimit:

Gabim absolut:

Gabim relativ:

Vlera e reduktuar e gabimit (në pikë x=x n):

Grafiku i përafrimit të funksionit të transformimit në formën e një tangjente në pikën e fillimit:

DETYRA 4

Përcaktoni gabimet e jolinearitetit relativ dhe absolut kur përafroni funksionin e transformimit SI në formën e një korde që kalon përmes fillestarit dhe pika e fundit diapazoni i matjes. Përcaktoni gabimin më të madh të jolinearitetit.

Ekuacioni i kordës është:

Pikat nëpër të cilat kalon korda:

Funksioni i linearizimit merr formën:

Le të përcaktojmë gabimet e linearizimit.

Gabim absolut:

Gabim relativ:

Gabimi maksimal i jolinearitetit në x uh :

Le të gjejmë gabimin:

Grafiku i përafrimit të funksionit të transformimit në formën e një korde që kalon nëpër pikat e fillimit dhe të fundit të diapazonit tonë.

DETYRA 5.

Përafroni funksionin e transformimit SI në intervalin: funksion linear të formës: , në mënyrë që gabimi më i madh i linearizimit të jetë minimal: . Përcaktoni gabimet maksimale relative dhe të reduktuara të linearizimit. funksioni i përafrimit.

Gabim absolut i linearizimit.

jolineariteti i gabimit të instrumentit matës

Le të shkruajmë kushtin e optimizimit të sistemit:

gabim në fund të gamës matëse:

gabim në pikën ekstreme:

Le të zgjerojmë modulet dhe të shkruajmë ekuacionin:

Le të përcaktojmë gabimin në

DETYRA 6.

Përafroni funksionin e transformimit SI në intervalin: me një funksion linear të formës: , në mënyrë që gabimi më i madh i linearizimit të jetë minimal: .

Përcaktoni gabimet maksimale relative dhe të reduktuara të linearizimit.

funksioni i përafrimit.

Gabim absolut i linearizimit.

Gabimi pranohet vlera më e vogël në pikën ku:

Kushtet e optimizimit të sistemit:

Le të krijojmë një sistem:

Nga zgjidhja e sistemit marrim:

Funksioni i përafrimit ka formën:

Le të përcaktojmë gabimet.

Gabimi maksimal i reduktuar i linearizimit është:

Grafiku i përafrimit të funksionit të transformimit me një funksion linear të formës me gabimin maksimal minimal.

konkluzioni

Duke ndërtuar modele lineare të funksioneve të transformimit të instrumenteve matëse menyra te ndryshme, jemi të bindur se metoda e modelimit të funksionit të transformimit me një funksion linear të formës: , në mënyrë që gabimi më i madh i linearizimit të jetë minimal, është më efektive, sepse kishte gabimin më të vogël dhe ndjeshmërinë e vazhdueshme.

Bibliografi

1. Aksenova, E.N. Metodat elementare vlerësimet e gabimeve në rezultatet e drejtpërdrejtë dhe matje indirekte / tutorial për universitetet. - M.: Shtëpia Botuese Logos; Libri Universitar, 2007.

Sistemet automatike zakonisht përshkruhen si jolineare ekuacionet diferenciale. Por në shumë raste është i mundur linearizimi i tyre, domethënë zëvendësimi i ekuacioneve origjinale jolineare me ato lineare që përshkruajnë përafërsisht proceset në sistem. Procesi i konvertimit ekuacioni jolinear në lineare quhet linearizim.

Në sistemet automatike, duhet të ruhet një mënyrë e caktuar e specifikuar. Në këtë mënyrë, sasitë hyrëse dhe dalëse të lidhjeve të sistemit ndryshojnë sipas një ligji të caktuar. Në veçanti, në sistemet e stabilizimit ato marrin disa vlera konstante. Por për shkak të faktorëve të ndryshëm shqetësues, mënyra aktuale ndryshon nga ajo e kërkuar (e specifikuar), prandaj vlerat aktuale vlerat hyrëse dhe dalëse nuk janë të barabarta me vlerat që korrespondojnë me mënyrën e specifikuar. Në një funksion normal sistem automatik mënyra aktuale ndryshon pak nga mënyra e kërkuar dhe devijimet e vlerave hyrëse dhe dalëse të lidhjeve të përfshira në të nga vlerat e kërkuara janë të vogla. Kjo mundëson linearizimin duke u zgjeruar funksionet jolineare, të përfshira në ekuacione, në serinë Taylor. Linearizimi mund të bëhet me lidhje.

Shembulli 2.1. Le të ilustrojmë sa më sipër duke përdorur shembullin e një lidhjeje të përshkruar nga ekuacioni (2.1). Le të korrespondojë mënyra e dhënë

Le të shënojmë devijimet e vlerave aktuale të u dhe y nga vlerat e kërkuara me . Pastaj dhe Le t'i zëvendësojmë këto shprehje në (2.1) dhe, duke i konsideruar si funksion të ndryshoreve të pavarura, ta zgjerojmë atë në një seri Taylor në pikën (2.3) dhe të hedhim poshtë termat e vegjël më shumë. rendit të lartë sesa devijimet. Pastaj (2.1) do të marrë formën

Këtu ylli i mësipërm do të thotë këtë funksionet përkatëse dhe derivatet llogariten për vlerat e argumentit të përcaktuar nga relacionet (2.3). Kur një modalitet i caktuar vendoset në sistem, ekuacioni (2.1) merr formën . Duke zbritur këtë ekuacion nga (2.4), marrim ekuacionin e dëshiruar të lidhjes në devijime:

Nëse koha t nuk është përfshirë shprehimisht në ekuacioni origjinal(2.1) dhe, përveç kësaj, mënyra e dhënë është statike - sasitë nuk varen nga koha, atëherë koeficientët e ekuacionit të linearizuar (2.5) janë konstante.

Lidhjet dhe sistemet që përshkruhen ekuacionet lineare, quhen lidhje lineare dhe sistemet lineare.

Ekuacioni (2.5) është marrë sipas supozimeve të mëposhtme: 1) devijimet e sasive të prodhimit dhe të hyrjes janë mjaft të vogla; 2) funksioni ka derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me të gjitha argumentet e tij në afërsi të pikave që korrespondojnë me një mënyrë të caktuar. Nëse të paktën një nga këto kushte nuk plotësohet, atëherë linearizimi nuk mund të kryhet. Lidhur me kushtin e parë, është e nevojshme të theksohet sa vijon: është e pamundur të përcaktohet një herë e mirë se cilat devijime konsiderohen të vogla. Varet nga lloji i jolinearitetit.

Shpesh lidhja jolineare ndërmjet variablave individuale të përfshira në ekuacionin e lidhjes specifikohet në formën e një kurbe. Në këto raste, linearizimi mund të bëhet grafikisht.

Gjeometrikisht, linearizimi i një marrëdhënieje jolineare ndërmjet dy variablave (Fig. 2.2) nënkupton zëvendësimin e kurbës origjinale A B me një segment të tangjentes së saj në pikën O, që i korrespondon një modaliteti të caktuar, dhe transferim paralel origjinën deri në këtë pikë.

Në varësi të faktit nëse koha është e përfshirë në mënyrë eksplicite në ekuacion apo jo, sistemet ndahen në stacionare dhe jo-stacionare.

Sistemet e kontrollit automatik (lidhjet) quhen stacionare nëse janë konstante ndikimet e jashtme përshkruhen me ekuacione që nuk varen në mënyrë eksplicite nga koha. Kjo do të thotë që vetitë e sistemit nuk ndryshojnë me kalimin e kohës. Përndryshe, sistemi quhet jo-stacionar. Për sistemet lineare mund të japim edhe përkufizimin e mëposhtëm: sistemet (lidhjet) lineare stacionare janë sisteme (lidhje) që përshkruhen me ekuacione lineare me koeficientët konstant; sisteme (lidhje) jo-stacionare lineare ose sisteme me parametra të ndryshueshëm - sisteme (lidhje) që përshkruhen me ekuacione lineare me koeficientë të ndryshueshëm.

chx=(e x +e - x)/2

shx=(e x -e -x)/2

chx 2 +shx 2 =ch2x

c
thx=chx/shx

Leksioni nr 12

Tema: “Linearizimi”

Kuptimi gjeometrik i diferencialit të një funksioni dhe ekuacioni tangjent.

ekuacioni i drejtëzës: Y=kx+b

y 0 =f(x 0)=kx 0 +b

k-pjerrësia e një vije të drejtë

k=tg=f’(x 0)

Y=f(x 0)+f(x 0)-f’(x 0)x 0

Y=f(x)+f’(x 0)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0)∆x+(∆x)∆x për ∆х0  në disa

O(x 0) f(x 0)=f’(x 0)+f’(x 0)∆x+(∆x)∆x në ∆х0

Y 1 =f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) a =f’(x 0)+f’(x 0)∆x

df(x 0)=f’(x 0)∆x

Kuptimi gjeometrik i diferencialit:

df(x 0) është rritja e ordinatës kur lëviz përgjatë një tangjente të funksionit të tërhequr në grafik në pikat (x 0 ;f(x 0).

Komentoni: Ata shpesh flasin për tangjenten e vizatuar në pikën x 0.

Linearizimi i një funksioni.

Përkufizimi: Zëvendësimi i një funksioni në afërsi të një pike të caktuar të një funksioni linear quhet linearizim i funksionit, më saktë në O(x 0) zëvendësohet me një segment tangjent në pikën x 0.

(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Nëse në barazi (*) hedhim anën e djathtë, atëherë ne

marrim një barazi të përafërt:

f(x)f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0), xx 0

Y=f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) – ekuacioni tangjent në pikën x 0

Formula merret nga përcaktimi i diferencialit në pikën x 0 të funksionit

f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x në ∆х0 – quhet kriteri për funksionin diferencial në pikën x 0.

Llogaritjet e përafërta dhe vlerësimi i gabimit të llogaritjes.

Ju mund të llogaritni përafërsisht vlerën e funksionit në pika afër një pike të caktuar.

Le të linearizojmë rrënjën e zgjedhur.

f’(x) x=8 =(3 x)’ x =8 =1/3x -2/3  x =8 =1/12

3 x2+1/12 (x-8), x8

3 x2+0,001/12

Y kasë =2+1/12(x-8)

3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) në x8

Gabimet në llogaritje.

f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0) në xx 0

∆f(x 0)df(x 0), xx 0

∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)

f(x)=10 x në pikën x 0 =4, nëse ∆x=0.001 x=40.001

10 4 ∆=10 4 23

f’(x)=10 x ln10; f’(4)=10 4 ln10=23000; ln102.2

∆230000.001=23

Studimi i sjelljes së një funksioni duke përdorur derivatin e parë.

Në të majtë të M 0 tg >0; Në të djathtë të M 0 tg <0

tg f’(x)>0 në të majtë të M 0

tg f'(x)<0 справа от М 0

Teorema: Le të jetë y=f(x) i diferencueshëm  x(a,b) dhe f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

A(|x1|x2)b

x 1 ,x 2 (a,b) x 1

Duhet të vërtetojmë: f(x 1)

Le të zbatojmë teoremën e Langranzhit në teoremën T të segmentit (x 1 ,x 2).

f(x 2)-f(x 1)=f’(c)(x 2 -x 1) ku c(x 1 ,x 2)

f(x 2)-f(x 1)>0  f(x 2)>f(x 1)

Ekstrema e një funksioni.

M Ju mund të specifikoni O(x 1) në të cilën të gjitha vlerat e funksionit

f(x)

f(x)>f(x 1) b dhe О  2 (x 1). Funksione të rëndësishme në pikat M 1, M 3 dhe M 5 -

max; M 2 dhe M 4 – min – quhen pika të tilla pika

ekstreme ose pikat lokale maksimale dhe min.

Përkufizimi: (pikat ekstreme)

Le të përcaktohet funksioni f(x) në disa O(x 0) dhe f(x)>f(x 0) në

O(x 0) ose f(x)

Z Shënim:

f(x)f(x 1) në O  1 (x 1)

f(x)f(x 2) në O  2 (x 2)

ata thonë se pikat x 1 dhe x 2 janë pika jo rreptësisht lokale

ekstreme.

Teorema: (Fermat) (mbi domosdoshmërinë e kushtit ekstrem për një funksion të diferencueshëm)

Le të jetë y=f(x) i diferencueshëm në pikën x 0 dhe pika x 0 një pikë ekstreme, atëherë f(x 0)=0

Dëshmi: Vini re se x 0 është një pikë ekstreme, atëherë në afërsi të saj f(x) – f(x 0) ruan shenjën. Le të shkruajmë kushtin ∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0)

f(x)-f(x 0)=(x-x 0) atëherë për x – mjaftueshëm afër x 0 shenja e shprehjes në kllapa katrore përkon me shenjën e f'(x 0)0 (x-x 0) – ndryshon shenjën gjatë kalimit nëpër pikën x 0  f'(x 0)=0

Leksioni nr 13

Prezantuesja: Golubeva Zoya Nikolaevna

Tema: "Ekstrema"

Koment:

RRETH deklarata e vëllait është e pasaktë. Vetëm për shkak se produkti është zero në një pikë të caktuar nuk do të thotë se ky është një ekstrem.

xO -  (1)f(x)<0

xO +  (1)f(x)<0

x=1 nuk është një pikë ekstreme.

Teorema (Rolle):

Le të jetë funksioni y=f(x) i vazhdueshëm në interval dhe i diferencueshëm në (a,b). Përveç kësaj, në skajet e intervalit merr vlera të barabarta f(a)=f(b), pastaj  с(a,b): f(c)=0

Dëshmi: Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm në segmentin , atëherë sipas teoremës së dytë të Weistrass ekziston vlera më e madhe dhe më e vogël (m,M), nëse m=M, atëherë f(x)konst (x) (konst)' =0.

Le të m

Koment: kushti i diferencimit nuk mund të hidhet poshtë.

e vazhdueshme në segment

Kuptimi gjeometrik.

f’(x)=0, pastaj tangjentja  e boshtit x. Teorema nuk thotë se kjo është një pikë e vetme.

Teorema e Langranzhit:

Le të jetë funksioni y=f(x) i vazhdueshëm në interval dhe i diferencueshëm në intervalin (a,b), atëherëс(a,b): f(b)-f(a)=f(c)( b-a)

Dëshmi :

F(x)=f(x)+ku  është një numër ende i panjohur.

F(x) – e vazhdueshme në një interval si shuma e një funksioni të vazhdueshëm

f(x) është i diferencueshëm në një interval si shuma e një funksioni të diferencueshëm.

Le të zgjedhim numrin  në mënyrë që në segmentin F(x) të marrë një vlerë të barabartë.

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =/

F(x) – plotëson kushtet e teoremës së rulit në segmentin c(a,b):F’(c)=0, pra F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=/

Kjo është, në një kurbë që është e prirur

në boshtin x në të njëjtin kënd me sekantin

/=tg=f(x)  c(a,b)

Koment:

Shpesh pika c mund të përfaqësohet në

formulari i kërkuar:

с=х 0 +∆х

0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1

c-x 0 =(x-x 0)

c=x 0 +(x-x 0) 1

f(x)-f(x 0)=f’(x 0 +∆x)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0 +∆x)∆x

Teorema: (rreth kushteve të nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem në derivatin e parë)

Le të jetë y=f(x) i vazhdueshëm në interval dhe i diferencueshëm në O(x 0). Nëse f'(x) ndryshon shenjën kur kalon nëpër pikën x 0, atëherë pika x 0 është një pikë ekstreme. Nëse shenja ndryshon:

nga + në - atëherë kjo është pika maksimale

nga – në + atëherë kjo është pika minimale

Dëshmi :х 1 О - (x 0) më ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f'(c 1)(x 0 -x 1) f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0)

 x 2 О + (x 0) on ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f'(c 2)(x 2 -x 0) f(x 2)

f(x 0)>f(x)xO(x 0)pika x pika maksimale.

Nëse në pikën x 0 ka një derivat, atëherë ai është domosdoshmërisht i barabartë me 0 nga teorema e Fermatit. Por mund të ketë pika në të cilat f(x) ekziston, por f’(x) nuk ekziston.

Parimi për zgjidhjen e problemeve të tilla:

Kushti: gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në segment.

Përparimi i zgjidhjes:

Gjejmë pika në të cilat derivati ​​është ose i barabartë me 0 ose nuk ekziston f’(x)=0 orf’(x)  x 1 ,x n

Ne llogarisim shenjën e funksionit në skajet e segmentit dhe në këto pika f(a),f(b),f(x 1)….f(x n)

Zgjidhni mf(x) më të madhin dhe më të vogël

Përkufizimi: Pikat në të cilat është përcaktuar funksioni dhe derivati ​​është zero ose nuk ekziston quhen pika kritike.

1. Të gjitha variablat shprehen përmes x 1, x 2
2. Të gjitha veprimet matematikore shprehen përmes simboleve të pranuara përgjithësisht (+,-,*,/,^). Për shembull, x 1 2 + x 1 x 2, shkruajeni si x1^2+x1*x2.

Ku – termi i hedhur poshtë i rendit të dytë të vogëlsisë.
Kështu, funksioni f(x) përafrohet në pikën x 0 nga një funksion linear:
,
ku x 0 është pika e linearizimit.
Komentoni. Linearizimi duhet përdorur me shumë kujdes sepse ndonjëherë jep një përafrim shumë të përafërt.

Problemi i përgjithshëm i programimit jolinear

Shembulli nr. 1.

Le të ndërtojmë një rajon të pranueshëm S (shih figurën).


Rajoni i realizueshëm S përbëhet nga pika në lakoren h(x)=0 që shtrihen ndërmjet pikës (2;0), të përcaktuar nga kufizimi x 2 ≥0, dhe pikës (1;1), të përcaktuar nga kufizimi g( x) ≥0.
Si rezultat i linearizimit të problemit në pikën x 0 =(2;1), marrim ZLP-në e mëposhtme:

Këtu është një segment i drejtë i kufizuar nga pikat (2.5; 0.25) dhe (11/9; 8/9). Vijat e nivelit të funksionit objektiv të linearizuar janë drejtëza me pjerrësi prej -2, ndërsa vijat e nivelit të funksionit objektiv fillestar janë rrathë me qendër në pikën (0;0). Është e qartë se zgjidhja e problemit të linearizuar është pika x 1 = (11/9; 8/9). Në këtë pikë kemi:

pra cenohet kufizimi i barazisë. Pasi kemi kryer një linearizim të ri në pikën x 1, marrim një problem të ri:


Zgjidhja e re qëndron në kryqëzimin e vijave dhe dhe ka koordinata x 2 = (1,0187; 0,9965). Kufizim - barazi ( ) ende shkelet, por në një masë më të vogël. Nëse kryejmë dy përsëritje të tjera, do të kemi një përafrim shumë të mirë të zgjidhjes x * =(1;1), f(x *)=2

Tabela - Vlerat e funksionit objektiv për disa përsëritje:

Linearizimi

Për të vlerësuar parametrat e panjohur β 0 , … , β n modeli i regresionit jolinear, është e nevojshme ta sjellim atë në një formë lineare. Thelbi linearizimi Modelet e regresionit që janë jolineare në variablat e pavarur konsistojnë në zëvendësimin e variablave të faktorëve jolinearë me ato lineare. Në rastin e përgjithshëm të regresionit polinomial, procesi i zëvendësimit të ndryshoreve jolineare të një funksioni n-të Renditja duket si kjo: x = с 1, ; x 2 = c 2; x Z = s 3; ... ; x p = c p.

Atëherë ekuacioni i regresionit të shumëfishtë jolinear mund të shkruhet si një ekuacion linear i regresionit të shumëfishtë

y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … +β n x n i + ε i =>

=> y i = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε i

Një funksion hiperbolik gjithashtu mund të reduktohet në një formë lineare duke zëvendësuar një ndryshore të faktorit jolinear me një lineare. le 1/ X= s. Atëherë ekuacioni origjinal i funksionit hiperbolik mund të shkruhet në formë të transformuar:

y i = β 0 + β 1 / x i + ε i => y i = β 0 + β 1 me i + ε i

Kështu, si një funksion polinom i çdo shkalle ashtu edhe një hiperboloid mund të reduktohen në një model regresioni linear, i cili bën të mundur aplikimin e metodave tradicionale për gjetjen e parametrave të panjohur të ekuacionit të regresionit (për shembull, OLS klasike) dhe metodave standarde për testimin e ndryshëm. hipoteza për modelin e transformuar.

Co. grada e dytë modelet jolineare përfshijnë modelet e regresionit në të cilat variabla e rezultatit y iështë i lidhur në mënyrë jolineare me parametrat e ekuacionit β 0 ,…, β n. Ky lloj modeli regresioni përfshin:

1) funksioni i fuqisë

y i = β 0 · x i β 1 · ε i

2) funksioni eksponencial

y i = β 0 · β 1 x i · ε i

3) parabola logaritmike

y i = β 0 · β 1 x i · β 2 x i · ε i 2

4) funksioni eksponencial

y i = e β 0 + β 1 x i · ε i

5) funksioni i anasjelltë

dhe të tjerët.

Modelet e regresionit jolineare në parametra ndahen nga ana e tyre në modele i nënshtrohet linearizimit (funksionet e brendshme lineare) dhe nuk i nënshtrohet linearizimit (funksionet e brendshme jolineare). Një shembull i modeleve që mund të reduktohen në formë lineare është një funksion eksponencial i formës y i = β 0 · β 1 x i · ε i, ku është gabimi i rastësishëm εi të lidhura në mënyrë shumëzuese me karakteristikën e faktorit x i . D Ky model është jolinear në parametra β 1. Për ta linearizuar atë, së pari kryejmë procesin e logaritmit:

ln y i = ln β 0 + x i ln β 1 + ln ε i

Pastaj do të përdorim metodën e zëvendësimit. Le Në y i= Y i; ln β 0= A; n β 1 =NË; ln ε i =E i.

Atëherë funksioni eksponencial i transformuar ka formën e mëposhtme:

Y i = A+ Në x i+ E i.

Prandaj, funksioni eksponencial y i = β 0 · β 1 x i · ε iështë nga brenda linear dhe vlerësimet e parametrave të tij mund të gjenden duke përdorur metodën tradicionale të katrorëve më të vegjël.

Nëse marrim një funksion eksponencial që përfshin një gabim të rastësishëm εi në mënyrë shtesë, d.m.th. y i = β 0 · β 1 x i + ε i, atëherë ky model nuk mund të sillet më në një formë lineare duke përdorur logaritmin. Brenda është jolineare.

Le të jepet një funksion fuqie e formës y i = β 0 · x i β 1 · ε i. Le të marrim logaritmet e të dy anëve të ekuacionit:

ln y i = ln β 0 + β 1 ln x i + ln ε i

Tani le të përdorim metodën e zëvendësimit: Në y i= Y i; ln β 0= A; n x i =X i; ln ε i = E i.