Nga eksponentët e numrave të plotë të numrit a kalohet në tregues racional. Më poshtë do të përcaktojmë një shkallë me një eksponent racional dhe këtë do ta bëjmë në atë mënyrë që të ruhen të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë. Kjo është e nevojshme sepse numrat e plotë janë pjesë e numrave racionalë.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesa, dhe secili numër thyesor mund të paraqitet si pozitive ose negative thyesë e zakonshme. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim shkallës së numrit. a Me tregues i pjesshëm m/n, Ku mështë një numër i plotë, dhe n- natyrale. Le ta bëjmë këtë.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe si përcaktuam rrënjën e n-të të shkallës, atëherë është logjike të pranohet, me kusht që duke pasur parasysh këtë m, n Dhe a shprehja ka kuptim.

Është e lehtë të kontrollohet nëse të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë janë të vlefshme (kjo është bërë në seksionin vetitë e një shkalle me një eksponent racional).

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen të dhëna m, n Dhe a shprehja ka kuptim, pastaj fuqia e numrit a me një tregues thyesor m/n quhet rrënja n shkalla e a deri në një shkallë m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Gjithçka që mbetet është të përshkruajmë se çfarë m, n Dhe a shprehja ka kuptim. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n Dhe a Ka dy qasje kryesore.

1. Mënyra më e lehtë është vendosja e një kufizimi në a, pasi ka pranuar a≥0 për pozitive m Dhe a>0 për negative m(që kur m≤0 shkallë 0 m nuk është përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm gradë me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me një tregues thyesor m/n , Ku m- e tërë, dhe n – numri natyror, i quajtur rrënja n-të e numrit a deri në një shkallë m, domethënë, .

Fuqia fraksionale e zeros përcaktohet gjithashtu me paralajmërimin e vetëm që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n , Ku mështë një numër i plotë pozitiv, dhe n– numri natyror, i përcaktuar si .
Kur nuk përcaktohet shkalla, pra shkalla e numrit zero me një thyesë tregues negativ nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ekziston një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m Dhe n shprehja ka kuptim, por ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

2. Një qasje tjetër për përcaktimin e shkallës me një eksponent thyesor m/n konsiston në shqyrtimin e ndarë të eksponentëve çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon kusht shtesë: fuqia e një numri a, eksponenti i të cilit është një thyesë e zakonshme e reduktueshme, konsiderohet fuqi e numrit a, treguesi i të cilit është përkatës fraksion i pareduktueshëm(Rëndësia e kësaj gjendjeje do të shpjegohet më poshtë). Kjo është, nëse m/nështë një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla zëvendësohet paraprakisht me .

Edhe për n dhe pozitive m shprehja ka kuptim për çdo jonegative a(një rrënjë çift i një numri negativ nuk ka kuptim), për negativ m numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë pjesëtim me zero). Dhe për të çuditshme n dhe pozitive m numri a mund të jetë çdo (një rrënjë tek është përcaktuar për çdo numër real), dhe për negative m numri a duhet të jetë jo zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le m/n- fraksioni i pareduktueshëm, m- e tërë, dhe n– numri natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e numrit a me një eksponent thyesor të pareduktueshëm m/n- kjo është për

o çdo numër real a, krejt pozitive m dhe e çuditshme e natyrshme n, Për shembull, ;

o çdo numër real jozero a, numër i plotë negativ m dhe tek n, për shembull, ;

o çdo numër jo negativ a, krejt pozitive m dhe madje n, Për shembull, ;

o ndonjë pozitiv a, numër i plotë negativ m dhe madje n, për shembull, ;

o në raste të tjera, shkalla me tregues të pjesshëm nuk përcaktohet, si për shembull shkallët nuk janë të përcaktuara .a nuk i bashkangjisim asnjë kuptim hyrjes përcaktojmë fuqinë e numrit zero për eksponentët thyesorë pozitivë m/n Si , për eksponentë thyesorë negativë nuk përcaktohet fuqia e numrit zero.

Në përfundim të këtij paragrafi, le t'i kushtojmë vëmendje faktit që një eksponent thyesor mund të shkruhet si thyesë dhjetore ose numër i përzier, Për shembull, . Për të llogaritur vlerat e shprehjeve të këtij lloji, duhet të shkruani eksponentin në formën e një fraksioni të zakonshëm, dhe më pas të përdorni përkufizimin e eksponentit me një eksponent thyesor. Për shembujt e mësipërm kemi Dhe

Mësimi video "Eksponent me një eksponent racional" përmban një pamje vizuale material edukativ për të dhënë një mësim mbi këtë temë. Mësimi i videos përmban informacione në lidhje me konceptin e një diplome me një eksponent racional, vetitë e shkallëve të tilla, si dhe shembuj që përshkruajnë përdorimin e materialit edukativ për të zgjidhur probleme praktike. Qëllimi i këtij video mësimi është të paraqesë qartë dhe qartë materialin edukativ, të lehtësojë zhvillimin dhe memorizimin e tij nga nxënësit dhe të zhvillojë aftësinë për të zgjidhur probleme duke përdorur konceptet e mësuara.

Përparësitë kryesore të mësimit të videos janë aftësia për të kryer vizualisht transformime dhe llogaritje, aftësia për të përdorur efektet e animacionit për të përmirësuar efikasitetin e të mësuarit. Udhëzimi zanor ndihmon në zhvillimin e saktë fjalim matematikor, dhe gjithashtu bën të mundur zëvendësimin e shpjegimit të mësuesit, duke e liruar atë për të kryer punë individuale.

Mësimi me video fillon me prezantimin e temës. Lidhja e studimeve temë e re me materialin e studiuar më parë, sugjerohet të mbani mend se n √a shënohet ndryshe me një 1/n për n natyrore dhe pozitive a. Ky prezantim n-root shfaqet në ekran. Më pas, propozohet të shqyrtohet se çfarë do të thotë shprehja a m/n, në të cilën a është një numër pozitiv, dhe m/n është një fraksion. Është dhënë përkufizimi i një shkalle me një eksponent racional si m/n = n √a m, i theksuar në një kornizë. Vihet re se n mund të jetë një numër natyror, dhe m mund të jetë një numër i plotë.

Pas përcaktimit të një shkalle me një eksponent racional, kuptimi i saj zbulohet përmes shembujve: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Tregohet gjithashtu një shembull në të cilin një fuqi e përfaqësuar nga një thyesë dhjetore konvertohet në fraksion i zakonshëm të paraqitet si rrënjë: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 dhe shembull me vlerë negative gradë: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Veçantia e rastit të veçantë kur baza e shkallës është zero tregohet veçmas. Vihet re se këtë shkallë ka kuptim vetëm me një eksponent thyesor pozitiv. Në këtë rast, vlera e tij është zero: 0 m/n =0.

Vërehet një veçori tjetër e një shkalle me një eksponent racional - se një shkallë me një eksponent thyesor nuk mund të konsiderohet me një eksponent thyesor. Janë dhënë shembuj të shënimeve të pasakta të shkallëve: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Më tej në mësimin e videos diskutojmë vetitë e një shkalle me një eksponent racional. Vihet re se vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë do të vlejnë edhe për një shkallë me një eksponent racional. Propozohet të rikujtohet lista e pronave që janë gjithashtu të vlefshme në në këtë rast:

Kur shumëzohen fuqitë me në të njëjtat arsye treguesit e tyre mblidhen: a p a q =a p+q.
Ndarja e shkallëve me baza të njëjta reduktohet në një shkallë me një bazë të caktuar dhe ndryshimi në eksponentë: a p:a q =a p-q.
Nëse e ngremë shkallën në një fuqi të caktuar, atëherë përfundojmë me një shkallë me një bazë të caktuar dhe prodhimin e eksponentëve: (a p) q =a pq.

Të gjitha këto veti vlejnë për fuqitë me eksponentë racional p, q dhe bazë pozitive a>0. Gjithashtu, transformimet e shkallës kur hapen kllapat mbeten të vërteta:

(ab) p =a p b p - ngritja në një fuqi me një eksponent racional, produkti i dy numrave reduktohet në prodhimin e numrave, secili prej të cilëve është ngritur në një fuqi të caktuar.
(a/b) p =a p /b p - ngritja e një thyese në një fuqi me një eksponent racional reduktohet në një thyesë, numëruesi dhe emëruesi i së cilës janë ngritur në një fuqi të caktuar.

Video tutorial diskuton zgjidhjen e shembujve që përdorin vetitë e konsideruara të fuqive me një eksponent racional. Në shembullin e parë, propozohet të gjendet vlera e një shprehjeje që përmban ndryshoret x në një fuqi thyesore: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Megjithë kompleksitetin e shprehjes, duke përdorur vetitë e fuqive ajo mund të zgjidhet mjaft thjesht. Zgjidhja e problemit fillon me thjeshtimin e shprehjes, e cila përdor rregullin e ngritjes së një fuqie me një eksponent racional në një fuqi, si dhe shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë. Pas zëvendësimit vlera e vendosur x=8 në shprehjen e thjeshtuar x 1/3 +48, është e lehtë të merret vlera - 50.

Në shembullin e dytë, ju duhet të zvogëloni një fraksion, numëruesi dhe emëruesi i së cilës përmbajnë fuqi me një eksponent racional. Duke përdorur vetitë e shkallës, nxjerrim nga diferenca faktorin x 1/3, i cili më pas zvogëlohet në numërues dhe emërues, dhe duke përdorur formulën për diferencën e katrorëve, numëruesi faktorizohet, i cili jep reduktime të mëtejshme të identikeve. faktorët në numërues dhe emërues. Rezultati i shndërrimeve të tilla është thyesa e shkurtër x 1/4 +3.

Mësimi me video "Eksponent me një eksponent racional" mund të përdoret në vend që mësuesi të shpjegojë një temë të re mësimore. Ky manual gjithashtu përmban mjaft informacion të plotë Për vetë-studim student. Materiali mund të jetë i dobishëm edhe për mësimin në distancë.

Në këtë artikull do të kuptojmë se çfarë është fuqia e një numri. Këtu do të japim përkufizime të fuqisë së një numri, ndërsa do të shqyrtojmë në detaje të gjithë eksponentët e mundshëm, duke filluar nga eksponenti natyror dhe duke përfunduar me atë irracional. Në material do të gjeni shumë shembuj të gradave, duke mbuluar të gjitha hollësitë që dalin.

Navigimi i faqes.

Fuqia me eksponent natyror, katrori i një numri, kubi i një numri

Le të fillojmë me. Duke parë përpara, le të themi se përkufizimi i fuqisë së një numri a me eksponent natyror n është dhënë për a, të cilin do ta quajmë bazën e shkallës, dhe n, të cilat do t'i quajmë eksponent. Vëmë re gjithashtu se një shkallë me një eksponent natyror përcaktohet përmes një produkti, kështu që për të kuptuar materialin e mëposhtëm duhet të keni një kuptim të shumëzimit të numrave.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri me eksponent natyror nështë shprehje e formës a n, vlera e së cilës është e barabartë me produktin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a, pra .
Në veçanti, fuqia e një numri a me eksponent 1 është vetë numri a, domethënë a 1 =a.

Vlen të përmendet menjëherë për rregullat për leximin e gradave. Metoda universale leximi i hyrjes a n është: “a në fuqinë e n”. Në disa raste, opsionet e mëposhtme janë gjithashtu të pranueshme: "a në fuqinë e n-të" dhe "fuqia e n-të e a". Për shembull, le të marrim fuqinë 8 12, kjo është "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "fuqia e dymbëdhjetë e tetë".

Fuqia e dytë e një numri, si dhe fuqia e tretë e një numri, kanë emrat e tyre. Fuqia e dytë e një numri quhet katrore numrin, për shembull, 7 2 lexohet si "shtatë në katror" ose "katrori i numrit shtatë". Fuqia e tretë e një numri quhet numrat në kub, për shembull, 5 3 mund të lexohet si "pesë kube" ose mund të thoni "kubi i numrit 5".

Është koha për të sjellë shembuj të shkallëve me eksponentë natyrorë. Le të fillojmë me shkallën 5 7, këtu 5 është baza e shkallës dhe 7 është eksponenti. Le të japim një shembull tjetër: 4.32 është baza, dhe numri natyror 9 është eksponenti (4.32) 9 .

Ju lutemi vini re se në shembulli i fundit Baza e shkallës 4.32 shkruhet në kllapa: për të shmangur mospërputhjet, do të vendosim në kllapa të gjitha bazat e shkallës që janë të ndryshme nga numrat natyrorë. Si shembull, japim shkallët e mëposhtme me eksponentë natyrorë , bazat e tyre nuk janë numra natyrorë, ndaj shkruhen në kllapa. Epo, për qartësi të plotë, në këtë pikë do të tregojmë ndryshimin që përmbahen në regjistrimet e formës (−2) 3 dhe −2 3. Shprehja (−2) 3 është një fuqi prej −2 me një eksponent natyror 3, dhe shprehja −2 3 (mund të shkruhet si −(2 3) ) korrespondon me numrin, vlerën e fuqisë 2 3 .

Vini re se ekziston një shënim për fuqinë e një numri a me një eksponent n të formës a^n. Për më tepër, nëse n është një numër natyror me shumë vlera, atëherë eksponenti merret në kllapa. Për shembull, 4^9 është një tjetër shënim për fuqinë e 4 9 . Dhe këtu janë disa shembuj të tjerë të shkrimit të shkallëve duke përdorur simbolin "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Në atë që vijon, ne do të përdorim kryesisht shënimin e shkallës së formës a n.

Një nga problemet e anasjellta të rritjes në një fuqi me një eksponent natyror është problemi i gjetjes së bazës së fuqisë nga vlera e njohur shkalla dhe treguesi i njohur. Kjo detyrë çon në.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesa, dhe secila thyesë mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme pozitive ose negative. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim shkallës së numrit a me një eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le ta bëjmë këtë.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe mënyrën se si kemi përcaktuar , atëherë është logjike ta pranojmë atë, me kusht që të dhëna m, n dhe a, shprehja të ketë kuptim.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen m, n dhe a shprehja ka kuptim, atëherë fuqia e a-së me një eksponent thyesor m/n quhet rrënja e n-të e a-së në fuqinë e m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Mbetet vetëm për të përshkruar atë që m, n dhe a ka kuptim shprehja. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n dhe a, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Mënyra më e lehtë është të vendosësh një kufizim mbi a duke marrë a≥0 për m pozitive dhe a>0 për m negative (pasi për m≤0 shkalla 0 e m nuk është e përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror, quhet rrënja e n-të e numrit a në fuqinë e m, domethënë .

Fuqia fraksionale e zeros përcaktohet gjithashtu me paralajmërimin e vetëm që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n, ku m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror, përkufizohet si .
Kur shkalla nuk përcaktohet, domethënë, shkalla e numrit zero me një eksponent negativ thyesor nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ka një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m dhe n, shprehja ka kuptim dhe ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

Një qasje tjetër për përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor m/n është të merren parasysh veçmas eksponentët çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është , konsiderohet të jetë fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është thyesa përkatëse e pakësueshme (do të shpjegojmë rëndësinë e kësaj gjendjeje më poshtë ). Kjo do të thotë, nëse m/n është një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla zëvendësohet fillimisht me .

Për n dhe pozitiv m, shprehja ka kuptim për çdo jonegativ a (një rrënjë çift i një numri negativ nuk ka kuptim për m negativ, numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë pjesëtim). me zero). Dhe për n tek dhe m pozitiv, numri a mund të jetë cilido (rrënja e një shkalle tek përcaktohet për çdo numër real), dhe për negativ m, numri a duhet të jetë jo zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le të jetë m/n një thyesë e pakalueshme, m një numër i plotë dhe n një numër natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e një numri me një eksponent thyesor të pakalueshëm m/n është për

Le të shpjegojmë pse një shkallë me një eksponent thyesor të reduktueshëm zëvendësohet fillimisht nga një shkallë me një eksponent të pareduktueshëm. Nëse thjesht do ta përkufizonim shkallën si , dhe nuk do të bënim një rezervë për pakësueshmërinë e thyesës m/n, atëherë do të përballeshim me situata të ngjashme me sa vijon: meqenëse 6/10 = 3/5, atëherë barazia duhet të jetë , Por , A .

Niveli i hyrjes

Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Pse nevojiten diploma? Ku do t'ju duhen? Pse duhet të merrni kohë për t'i studiuar ato?

Për të mësuar gjithçka rreth diplomave, për çfarë shërbejnë, si të përdorni njohuritë tuaja në jetën e përditshme lexoni këtë artikull.

Dhe, sigurisht, njohja e diplomave do t'ju sjellë më afër përfundim me sukses OGE ose Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe pranimi në universitetin e ëndrrave tuaja.

Le të shkojmë ... (Le të shkojmë!)

Shënim i rëndësishëm! Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Për ta bërë këtë, shtypni CTRL + F5 (në Windows) ose Cmd + R (në Mac).

NIVELI HYRËS

Ngritja në një pushtet është e njëjtë operacion matematik si mbledhja, zbritja, shumëzimi ose pjesëtimi.

Tani do të shpjegoj gjithçka gjuha njerëzore shumë shembuj të thjeshtë. Kini kujdes. Shembujt janë elementarë, por shpjegojnë gjëra të rëndësishme.

Le të fillojmë me shtimin.

Këtu nuk ka asgjë për të shpjeguar. Ju tashmë dini gjithçka: ne jemi tetë. Secili person ka dy shishe kola. Sa kola ka? Kjo është e drejtë - 16 shishe.

Tani shumëzimi.

I njëjti shembull me cola mund të shkruhet ndryshe: . Matematikanët janë njerëz dinakë dhe dembelë. Ata fillimisht vërejnë disa modele dhe më pas gjejnë një mënyrë për t'i "numëruar" më shpejt. Në rastin tonë, ata vunë re se secili nga tetë personat kishte të njëjtin numër shishe kola dhe dolën me një teknikë të quajtur shumëzim. Pajtohem, konsiderohet më e lehtë dhe më e shpejtë se.

Pra, për të numëruar më shpejt, më lehtë dhe pa gabime, thjesht duhet të mbani mend tabela e shumëzimit. Sigurisht, çdo gjë mund ta bësh më ngadalë, më të vështirë dhe me gabime! Por…

Këtu është tabela e shumëzimit. Përsëriteni.

Dhe një tjetër, më e bukur:

Çfarë truke të tjera të zgjuara numërimi kanë gjetur matematikanët dembelë? E drejta - ngritja e një numri në një fuqi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Nëse ju duhet të shumëzoni një numër me vete pesë herë, atëherë matematikanët thonë se ju duhet ta ngrini atë numër në fuqinë e pestë. Për shembull,. Matematikanët kujtojnë se dy deri në fuqinë e pestë është... Dhe ata zgjidhin probleme të tilla në kokën e tyre - më shpejt, më lehtë dhe pa gabime.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është mbani mend çfarë është theksuar me ngjyra në tabelën e fuqive të numrave. Më besoni, kjo do ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë.

Meqë ra fjala, pse quhet shkalla e dytë? katrore numrat, dhe e treta - kubik? Çfarë do të thotë? Shumë pyetje e mirë. Tani do të keni si katrorë ashtu edhe kube.

Shembulli i jetës reale numër 1

Le të fillojmë me katrorin ose fuqinë e dytë të numrit.

Imagjinoni një pishinë katrore me përmasa një metër me një metër. Pishina është në shtëpinë tuaj. Është vapë dhe unë me të vërtetë dua të notoj. Por... pishina nuk ka fund! Ju duhet të mbuloni pjesën e poshtme të pishinës me pllaka. Sa pllaka ju duhen? Për ta përcaktuar këtë, duhet të dini zonën e poshtme të pishinës.

Ju thjesht mund të llogarisni duke treguar gishtin se fundi i pishinës përbëhet nga kube metër pas metër. Nëse keni pllaka një metër me një metër, do t'ju duhen copa. Është e lehtë... Por ku keni parë pllaka të tilla? Tjegull ka shumë të ngjarë të jetë cm për cm Dhe pastaj do të torturoheni duke "numëruar me gisht". Pastaj ju duhet të shumëzoni. Pra, në njërën anë të pjesës së poshtme të pishinës do të vendosim pllaka (copa) dhe në anën tjetër, gjithashtu, pllaka. Shumëzoni me dhe merrni pllaka ().

A e keni vënë re që për të përcaktuar sipërfaqen e fundit të pishinës kemi shumëzuar të njëjtin numër në vetvete? Çfarë do të thotë? Duke qenë se po shumëzojmë të njëjtin numër, mund të përdorim teknikën e "përhapjes". (Sigurisht, kur keni vetëm dy numra, duhet t'i shumëzoni ose t'i ngrini në një fuqi. Por nëse keni shumë prej tyre, atëherë ngritja e tyre në një fuqi është shumë më e lehtë dhe gjithashtu ka më pak gabime në llogaritje Për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kjo është shumë e rëndësishme).
Pra, tridhjetë në fuqinë e dytë do të jetë (). Ose mund të themi se do të jetë tridhjetë në katror. Me fjalë të tjera, fuqia e dytë e një numri mund të përfaqësohet gjithmonë si një katror. Dhe anasjelltas, nëse shihni një katror, ai është GJITHMONË fuqia e dytë e një numri. Një katror është një imazh i fuqisë së dytë të një numri.

Shembulli i jetës reale numër 2

Këtu është një detyrë për ju: numëroni sa katrorë ka në tabelën e shahut duke përdorur katrorin e numrit... Në njërën anë të qelizave dhe në anën tjetër gjithashtu. Për të llogaritur numrin e tyre, ju duhet të shumëzoni tetë me tetë ose ... nëse vëreni se një tabelë shahu është një katror me një anë, atëherë mund të vendosni tetë në katror. Do të merrni qeliza. () Pra?

Shembulli numër 3 i jetës reale

Tani kubi ose fuqia e tretë e një numri. E njëjta pishinë. Por tani duhet të zbuloni se sa ujë do të duhet të derdhet në këtë pishinë. Ju duhet të llogaritni volumin. (Vëllimet dhe lëngjet, meqë ra fjala, maten në metra kub. E papritur, apo jo?) Vizatoni një pishinë: një fund që mat një metër dhe një thellësi metër dhe përpiquni të numëroni sa kube që matin një metër me një metër do të futen në pishinën tuaj.

Thjesht drejto gishtin dhe numëro! Një, dy, tre, katër...njëzet e dy, njëzet e tre...Sa keni marrë? Nuk ka humbur? A është e vështirë të numërosh me gisht? Kjo është ajo! Merrni një shembull nga matematikanët. Ata janë dembelë, kështu që vunë re se për të llogaritur vëllimin e pishinës, duhet të shumëzoni gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë e saj me njëra-tjetrën. Në rastin tonë, vëllimi i pishinës do të jetë e barabartë me kube...Është më e lehtë apo jo?

Tani imagjinoni sa dembelë dhe dinak janë matematikanët nëse e thjeshtojnë edhe këtë. Ne reduktuam gjithçka në një veprim. Ata vunë re se gjatësia, gjerësia dhe lartësia janë të barabarta dhe se i njëjti numër shumëzohet në vetvete... Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë që ju mund të përfitoni nga diploma. Pra, atë që dikur numëronit me gishtin tuaj, ata e bëjnë me një veprim: tre kubikë janë të barabartë. Është shkruar kështu: .

Gjithçka që mbetet është mbani mend tabelën e shkallëve. Nëse, sigurisht, nuk jeni aq dembel dhe dinak sa matematikanët. Nëse ju pëlqen të punoni shumë dhe të bëni gabime, mund të vazhdoni të numëroni me gisht.

Epo, për t'ju bindur përfundimisht se diplomat u shpikën nga dorëheqës dhe dinak për të zgjidhur të tyren problemet e jetës, dhe për të mos ju krijuar probleme, ja disa shembuj të tjerë nga jeta.

Shembulli numër 4 i jetës reale

Ju keni një milion rubla. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që bëni, fitoni një milion tjetër. Domethënë, çdo milioni juaj dyfishohet në fillim të çdo viti. Sa para do të keni në vite? Nëse je ulur tani dhe "numëron me gisht", atëherë je një person shumë punëtor dhe... budalla. Por ka shumë të ngjarë që ju të jepni një përgjigje brenda disa sekondash, sepse jeni të zgjuar! Pra, në vitin e parë - dy shumëzuar me dy... në vitin e dytë - çfarë ndodhi, me dy të tjera, në vitin e tretë... Ndal! Keni vënë re se numri shumëzohet me shumë herë. Pra, dy deri në fuqinë e pestë është një milion! Tani imagjinoni se keni një konkurs dhe ai që mund të numërojë më shpejt do t'i marrë këto miliona... Ja vlen të kujtoni fuqitë e numrave, a nuk mendoni?

Shembulli i jetës reale numër 5

Ju keni një milion. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që fitoni, fitoni dy të tjera. E mrekullueshme apo jo? Çdo milion trefishohet. Sa para do të keni në një vit? Le të numërojmë. Viti i parë - shumëzoni me, pastaj rezultatin me një tjetër ... Tashmë është e mërzitshme, sepse tashmë keni kuptuar gjithçka: tre shumëzohen me herë në vetvete. Pra, fuqia e katërt është e barabartë me një milion. Thjesht duhet të mbani mend se fuqia tre në të katërt është ose.

Tani e dini se duke e ngritur një numër në një fuqi, do ta bëni jetën tuaj shumë më të lehtë. Le të hedhim një vështrim më tej se çfarë mund të bëni me diploma dhe çfarë duhet të dini rreth tyre.

Terma dhe koncepte... për të mos u ngatërruar

Pra, së pari, le të përcaktojmë konceptet. A mendoni ju çfarë është një eksponent? Është shumë e thjeshtë - është numri që është "në krye" të fuqisë së numrit. Jo shkencore, por e qartë dhe e lehtë për t'u mbajtur mend...

Epo, në të njëjtën kohë, çfarë një bazë e tillë diplome? Edhe më e thjeshtë - ky është numri që ndodhet më poshtë, në bazë.

Këtu është një vizatim për masë të mirë.

Epo brenda pamje e përgjithshme, për të përgjithësuar dhe mbajtur mend më mirë... Një shkallë me bazë “ ” dhe eksponent “ ” lexohet “deri në shkallë” dhe shkruhet si më poshtë:

Fuqia e një numri me eksponent natyror

Me siguri e keni marrë me mend tashmë: sepse eksponenti është një numër natyror. Po, por çfarë është ajo numri natyror? Elementare! Numrat natyrorë janë ata numra që përdoren në numërim kur renditen objektet: një, dy, tre... Kur numërojmë objektet, nuk themi: “minus pesë”, “minus gjashtë”, “minus shtatë”. Ne gjithashtu nuk themi: "një e treta", ose "zero pikë pesë". Këta nuk janë numra natyrorë. Çfarë numrash mendoni se janë këto?

Numrat si "minus pesë", "minus gjashtë", "minus shtatë" i referohen numra të plotë. Në përgjithësi, numrat e plotë përfshijnë të gjithë numrat natyrorë, numrat e kundërt me numrat natyrorë (d.m.th., të marrë me shenjën minus) dhe numrin. Zero është e lehtë për t'u kuptuar - është kur nuk ka asgjë. Çfarë nënkuptojnë numrat negativë (“minus”)? Por ato u shpikën kryesisht për të treguar borxhet: nëse keni një bilanc në telefonin tuaj në rubla, kjo do të thotë që i keni borxh operatorit rubla.

Të gjitha thyesat janë numrat racionalë. Si lindën, mendoni ju? Shumë e thjeshtë. Disa mijëra vjet më parë, paraardhësit tanë zbuluan se atyre u mungonin numrat natyrorë për të matur gjatësinë, peshën, sipërfaqen, etj. Dhe ata dolën me numrat racionalë... Interesante, apo jo?

Ka më shumë numrat irracionalë. Cilat janë këto numra? Me pak fjalë, pafund dhjetore. Për shembull, nëse ndani perimetrin e një rrethi me diametrin e tij, merrni një numër irracional.

Rezyme:

Le të përcaktojmë konceptin e një shkalle, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

Çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten:
Të kufizosh një numër në katror do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten:
Të kubikesh një numër do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten tre herë:

Përkufizimi. Ngritni numrin në shkallë natyrore- do të thotë shumëzimi i një numri me vetveten herë:
.

Vetitë e gradave

Nga kanë ardhur këto prona? Unë do t'ju tregoj tani.

Le të shohim: çfarë është Dhe ?

Sipas përkufizimit:

Sa shumëzues ka gjithsej?

Është shumë e thjeshtë: kemi shtuar shumëzues faktorëve dhe rezultati është shumëzues.

Por sipas përkufizimit, kjo është një fuqi e një numri me një eksponent, domethënë: , që është ajo që duhej vërtetuar.

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye!
Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

vetëm për produktin e fuqive!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

2. kaq fuqia e një numri

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por ju kurrë nuk mund ta bëni këtë në total:

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë?

Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative

Deri në këtë pikë, ne kemi diskutuar vetëm se cili duhet të jetë eksponenti.

Por cila duhet të jetë baza?

Në kompetencat e tregues natyror baza mund të jetë çdo numër. Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift.

Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë shkallë të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ? Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me, funksionon.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

A ia dolët?

Këtu janë përgjigjet: Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë!

6 shembuj për të praktikuar

Analiza e zgjidhjes 6 shembuj

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve! Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, rregulli mund të zbatohej.

Por si ta bëjmë këtë? Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla e barabartë e emëruesit na ndihmon këtu.

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa.

Por është e rëndësishme të mbani mend: të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

E tërë ne i quajmë numrat natyrorë, të kundërtat e tyre (pra të marra me shenjën " ") dhe numrin.

numër i plotë pozitiv, dhe nuk ndryshon nga natyralja, atëherë gjithçka duket tamam si në pjesën e mëparshme.

Tani le të shohim rastet e reja. Le të fillojmë me një tregues të barabartë me.

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një:

Si gjithmonë, le të pyesim veten: pse është kështu?

Le të shqyrtojmë një shkallë me një bazë. Merrni, për shembull, dhe shumëzoni me:

Pra, e shumëzuam numrin me, dhe morëm të njëjtën gjë siç ishte - . Me cilin numër duhet të shumëzoni në mënyrë që asgjë të mos ndryshojë? Kjo është e drejtë, në. Mjetet.

Ne mund të bëjmë të njëjtën gjë me një numër arbitrar:

Le të përsërisim rregullin:

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.

Por ka përjashtime nga shumë rregulla. Dhe këtu është gjithashtu atje - ky është një numër (si bazë).

Nga njëra anë, duhet të jetë e barabartë me çdo shkallë - pa marrë parasysh se sa shumë e shumëzoni zeron me vetveten, prapë do të merrni zero, kjo është e qartë. Por nga ana tjetër, si çdo numër me fuqinë zero, ai duhet të jetë i barabartë. Pra, sa nga kjo është e vërtetë? Matematikanët vendosën të mos përfshiheshin dhe refuzuan të ngrinin zeron në fuqinë zero. Kjo do të thotë, tani nuk mund të ndajmë jo vetëm me zero, por edhe ta ngremë atë në fuqinë zero.

Le të vazhdojmë. Përveç numrave natyrorë dhe numrave, numrat e plotë përfshijnë edhe numra negativë. Për të kuptuar se çfarë është një shkallë negative, le të bëjmë si në herën e fundit: shumëzoni një numër normal me të njëjtin in shkallë negative:

Nga këtu është e lehtë të shprehësh atë që po kërkon:

Tani le ta zgjerojmë rregullin që rezulton në një shkallë arbitrare:

Pra, le të formulojmë një rregull:

Një numër në një fuqi negative është reciproke e të njëjtit numër me shkallë pozitive. Por në të njëjtën kohë Baza nuk mund të jetë nule:(sepse nuk mund të ndahesh me).

Le të përmbledhim:

I. Shprehja nuk është e përcaktuar në rasën. Nëse, atëherë.

II. Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një: .

III. Numri, jo e barabartë me zero, në një shkallë negative është inversi i të njëjtit numër në një shkallë pozitive: .

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Epo, si zakonisht, shembuj për zgjidhje të pavarura:

Analiza e problemeve për zgjidhje të pavarur:

E di, e di, numrat janë të frikshëm, por në Provimin e Unifikuar të Shtetit duhet të jesh i përgatitur për çdo gjë! Zgjidhini këta shembuj ose analizoni zgjidhjet e tyre nëse nuk mund t'i zgjidhnit dhe do të mësoni t'i përballoni lehtësisht në provim!

Le të vazhdojmë të zgjerojmë gamën e numrave "të përshtatshëm" si një eksponent.

Tani le të shqyrtojmë numrat racionalë. Cilët numra quhen racionalë?

Përgjigje: çdo gjë që mund të përfaqësohet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë, dhe.

Për të kuptuar se çfarë është "shkalla e pjesshme", merrni parasysh thyesën:

Le t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në një fuqi:

Tani le të kujtojmë rregullin rreth "gradë në shkallë":

Çfarë numri duhet të rritet në një fuqi për të marrë?

Ky formulim është përkufizimi i rrënjës së shkallës së th.

Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja e fuqisë së th të një numri () është një numër që, kur ngrihet në një fuqi, është i barabartë me.

Kjo do të thotë, rrënja e fuqisë së th është operacioni i kundërt i ngritjes në një fuqi: .

Rezulton se. Natyrisht kjo rast i veçantë mund të zgjerohet: .

Tani shtojmë numëruesin: çfarë është? Përgjigja është e lehtë për t'u marrë duke përdorur rregullin fuqi-fuqi:

Por a mund të jetë baza ndonjë numër? Në fund të fundit, rrënja nuk mund të nxirret nga të gjithë numrat.

Asnjë!

Le të kujtojmë rregullin: çdo numër i ngritur në një fuqi çift është një numër pozitiv. Kjo do të thotë, është e pamundur të nxirren edhe rrënjë nga numrat negativë!

Kjo do të thotë se numra të tillë nuk mund të rriten në fuqia thyesore me emërues çift, pra shprehja nuk ka kuptim.

Po shprehja?

Por këtu lind një problem.

Numri mund të përfaqësohet në formën e thyesave të tjera, të reduktueshme, për shembull, ose.

Dhe rezulton se ekziston, por nuk ekziston, por këto janë vetëm dy rekorde të ndryshme të të njëjtit numër.

Ose një shembull tjetër: një herë, atëherë mund ta shkruani. Por nëse e shkruajmë treguesin ndryshe, do të futemi përsëri në telashe: (d.m.th., kemi marrë një rezultat krejtësisht të ndryshëm!).

Për të shmangur paradokse të tilla, ne konsiderojmë vetëm eksponent bazë pozitiv me eksponent thyesor.

Pra, nëse:

- numri natyror;
- numër i plotë;

Shembuj:

Eksponentët racionalë janë shumë të dobishëm për transformimin e shprehjeve me rrënjë, për shembull:

5 shembuj për të praktikuar

Analiza e 5 shembujve për trajnim

Epo, tani vjen pjesa më e vështirë. Tani do ta kuptojmë shkallë me eksponent irracional.

Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim

Në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th., numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç atyre racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur.

Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë;

...numër në fuqinë zero- ky është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur - prandaj rezultati është vetëm një "numër bosh" i caktuar. , përkatësisht një numër;

...shkallë e plotë negative- është sikur të kishte ndodhur ndonjë "proces i kundërt", domethënë, numri nuk u shumëzua në vetvete, por u nda.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real.

Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

KU JEMI SIGURT DO TË SHKONI! (nëse mësoni të zgjidhni shembuj të tillë :))

Për shembull:

Vendosni vetë:

Analiza e zgjidhjeve:

1. Le të fillojmë me rregullin e zakonshëm për ngritjen e një pushteti në një pushtet:

Tani shikoni treguesin. Nuk ju kujton gjë? Le të kujtojmë formulën për shumëzimin e shkurtuar të ndryshimit të katrorëve:

Në këtë rast,

Rezulton se:

Përgjigje: .

2. I reduktojmë thyesat në eksponentë në e njëjta pamje: ose të dyja dhjetore ose të dyja të rregullta. Ne marrim, për shembull:

Përgjigje: 16

3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

NIVELI I AVANCUAR

Përcaktimi i shkallës

Një shkallë është një shprehje e formës: , ku:

— bazë e shkallës;
- eksponent.

Shkalla me tregues natyror (n = 1, 2, 3,...)

Ngritja e një numri në fuqinë natyrore n do të thotë të shumëzosh numrin me vetveten herë:

Shkalla me një eksponent numër të plotë (0, ±1, ±2,...)

Nëse eksponenti është numër i plotë pozitiv numri:

Ndërtimi në shkallën zero:

Shprehja është e pacaktuar, sepse, nga njëra anë, në çdo shkallë është kjo, dhe nga ana tjetër, çdo numër në shkallën e th është ky.

Nëse eksponenti është numër i plotë negativ numri:

(sepse nuk mund të ndahesh me).

Edhe një herë për zero: shprehja nuk është e përcaktuar në rast. Nëse, atëherë.

Shembuj:

Fuqia me eksponent racional

- numri natyror;
- numër i plotë;

Shembuj:

Vetitë e gradave

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemeve, le të përpiqemi të kuptojmë: nga erdhën këto prona? Le t'i vërtetojmë ato.

Le të shohim: çfarë është dhe?

Sipas përkufizimit:

Pra, në anën e djathtë të kësaj shprehjeje marrim produktin e mëposhtëm:

Por sipas përkufizimit është fuqia e një numri me një eksponent, domethënë:

Q.E.D.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : .

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye. Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

Edhe një gjë shënim i rëndësishëm: ky është rregulli - vetëm për produkt fuqie!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Le ta rigrupojmë këtë punë si kjo:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por kurrë nuk mund ta bëni këtë në total: !

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë? Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative.

Deri në këtë pikë kemi diskutuar vetëm se si duhet të jetë tregues gradë. Por cila duhet të jetë baza? Në kompetencat e natyrore tregues baza mund të jetë çdo numër .

Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift. Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë shkallë të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ?

Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me (), marrim - .

Dhe kështu me radhë ad infinitum: me çdo shumëzim pasues shenja do të ndryshojë. Mund të formulojmë sa vijon rregulla të thjeshta:

madje shkallë, - numër pozitive.
Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negative.
Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
Zero për çdo fuqi është e barabartë me zero.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

A ia dolët? Këtu janë përgjigjet:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv. Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë. Këtu duhet të zbuloni se cili është më pak: apo? Nëse e kujtojmë këtë, bëhet e qartë se, dhe për këtë arsye baza më pak se zero. Kjo do të thotë, ne zbatojmë rregullin 2: rezultati do të jetë negativ.

Dhe përsëri ne përdorim përkufizimin e shkallës:

Gjithçka është si zakonisht - ne shkruajmë përkufizimin e shkallëve dhe i ndajmë me njëri-tjetrin, i ndajmë në çifte dhe marrim:

Para se ta ndani rregulli i fundit, le të zgjidhim disa shembuj.

Llogaritni shprehjet:

Zgjidhjet :

Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse ato anuloheshin, rregulli 3 mund të zbatohej. Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla e barabartë e emëruesit na ndihmon këtu.

Nëse e shumëzoni me, asgjë nuk ndryshon, apo jo? Por tani rezulton kështu:

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa. Por është e rëndësishme të mbani mend: Të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë! Ju nuk mund ta zëvendësoni me duke ndryshuar vetëm një disavantazh që nuk na pëlqen!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

Pra, tani rregulli i fundit:

Si do ta vërtetojmë? Sigurisht, si zakonisht: le të zgjerojmë konceptin e shkallës dhe ta thjeshtojmë atë:

Epo, tani le të hapim kllapat. Sa shkronja ka gjithsej? herë nga shumëzuesit - çfarë ju kujton kjo? Ky nuk është asgjë më shumë se një përkufizim i një operacioni shumëzimi: Aty kishte vetëm shumëzues. Kjo do të thotë, kjo, sipas përkufizimit, është një fuqi e një numri me një eksponent:

Shembull:

Shkallë me eksponent irracional

Përveç informacionit për shkallët për nivelin mesatar, ne do të analizojmë shkallën me një eksponent irracional. Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim - në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th. , numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç numrave racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur. Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë; një numër në fuqinë zero është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur ende - prandaj rezultati është vetëm një i caktuar “numër bosh”, përkatësisht një numër; një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë - është sikur të kishte ndodhur ndonjë "proces i kundërt", domethënë, numri nuk u shumëzua në vetvete, por u nda.

Është jashtëzakonisht e vështirë të imagjinohet një shkallë me një eksponent irracional (ashtu siç është e vështirë të imagjinohet një hapësirë 4-dimensionale). Është më tepër një objekt thjesht matematikor që matematikanët krijuan për të shtrirë konceptin e shkallës në të gjithë hapësirën e numrave.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real. Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

Pra, çfarë të bëjmë nëse shohim tregues irracional gradë? Ne po mundohemi ta heqim qafe atë! :)

Për shembull:

Vendosni vetë:

Përgjigjet:

Le të kujtojmë ndryshimin e formulës së katrorëve. Përgjigje:.
Thyesat i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetore ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull: .
Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

PËRMBLEDHJE E SEKSIONIT DHE FORMULAVE THEMELORE

Diplomë quhet një shprehje e formës: , ku:

Shkallë me një eksponent numër të plotë

një shkallë, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

Fuqia me eksponent racional

shkallë, eksponenti i së cilës janë numrat negativë dhe thyesorë.

Shkallë me eksponent irracional

një shkallë, eksponenti i së cilës është një thyesë dhjetore ose rrënjë e pafundme.

Vetitë e gradave

Karakteristikat e gradave.

Numri negativ u ngrit në madje shkallë, - numër pozitive.
Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negative.
Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
Zero është e barabartë me çdo fuqi.
Çdo numër me fuqinë zero është i barabartë.

TANI KENI FJALEN...

Si ju pëlqen artikulli? Shkruani më poshtë në komente nëse ju pëlqeu apo jo.

Na tregoni për përvojën tuaj duke përdorur veçoritë e diplomës.

Ndoshta keni pyetje. Ose sugjerime.

Shkruani në komente.

Dhe fat të mirë në provimet tuaja!

Fuqia me eksponent racional

Khasyanova T.G.,

mësues i matematikës

Materiali i paraqitur do të jetë i dobishëm për mësuesit e matematikës kur studiojnë temën "Eksponent me një eksponent racional".

Qëllimi i materialit të paraqitur: të zbulojë përvojën time të zhvillimit të një mësimi me temën "Eksponent me një eksponent racional" programi i punës disiplina “Matematikë”.

Metodologjia për zhvillimin e mësimit korrespondon me llojin e saj - një mësim në studimin dhe konsolidimin fillimisht të njohurive të reja. Përditësuar njohuri të sfondit dhe aftësi të bazuara në përvojën e fituar më parë; memorizimi parësor, konsolidimi dhe aplikimi i informacionit të ri. Konsolidimi dhe aplikimi i materialit të ri u bë në formën e zgjidhjes së problemeve që unë testova me kompleksitet të ndryshëm duke dhënë rezultat pozitiv zotërimi i temës.

Në fillim të orës së mësimit u vendosa para nxënësve synimet e mëposhtme: edukative, zhvillimore, edukative. Gjatë orës së mësimit kam përdorur mënyra të ndryshme veprimtaritë: ballore, individuale, në çift, e pavarur, test. Detyrat u diferencuan dhe bënë të mundur identifikimin, në çdo fazë të mësimit, shkallën e përvetësimit të njohurive. Vëllimi dhe kompleksiteti i detyrave korrespondojnë karakteristikat e moshës nxënësit. Nga përvoja ime - detyrat e shtëpisë, të ngjashme me problemet e zgjidhura në dhomë studimi, ju lejon të konsolidoni me besueshmëri njohuritë dhe aftësitë e fituara. Në fund të orës së mësimit u zhvillua reflektimi dhe u vlerësua puna e nxënësve individualë.

Qëllimet u arritën. Studentët studiuan konceptin dhe vetitë e një diplome me një eksponent racional dhe mësuan t'i përdorin këto veti kur zgjidhin probleme praktike. Për punë e pavarur Notat do të shpallen në orën e ardhshme.

Besoj se metodologjia që përdor për mësimin e matematikës mund të përdoret nga mësuesit e matematikës.

Tema e mësimit: Fuqia me eksponent racional

Objektivi i mësimit:

Identifikimi i nivelit të zotërimit të një kompleksi njohurish dhe aftësish nga studentët dhe aplikimi i bazuar në të vendime të caktuara për të përmirësuar procesin arsimor.

Objektivat e mësimit:

Edukative: për të formuar njohuri të reja midis studentëve për konceptet themelore, rregullat, ligjet për përcaktimin e gradave me një tregues racional, aftësinë për të zbatuar në mënyrë të pavarur njohuritë në kushte standarde, në të modifikuara dhe kushte jo standarde;

duke zhvilluar: mendoni logjikisht dhe zbatoni krijimtarinë;

duke ngritur: zhvilloni interes për matematikën, plotësoni fjalorin me terma të rinj, fitoni informacione shtesë për botën që na rrethon. Kultivoni durimin, këmbënguljen dhe aftësinë për të kapërcyer vështirësitë.

Momenti organizativ

Përditësimi i njohurive të referencës

Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtat baza, shtohen eksponentët, por baza mbetet e njëjtë:

Për shembull,

2. Kur pjesëtohen shkallët me baza të njëjta, zbriten eksponentët e shkallëve, por baza mbetet e njëjtë:

Për shembull,

3. Kur rritet një shkallë në një fuqi, eksponentët shumëzohen, por baza mbetet e njëjtë:

Për shembull,

4. Shkalla e produktit është e barabartë me prodhimin e shkallëve të faktorëve:

Për shembull,

5. Shkalla e herësit është e barabartë me herësin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

Për shembull,

Ushtrime me zgjidhje

Gjeni kuptimin e shprehjes:

Zgjidhja:

Në këtë rast, në formë e qartë asnjë nga vetitë e një shkalle me një eksponent natyror nuk mund të zbatohet, pasi të gjitha shkallët kanë arsye të ndryshme. Le të shkruajmë disa fuqi në një formë tjetër:

(shkalla e produktit është e barabartë me produktin e shkallëve të faktorëve);

(kur shumëzohen fuqitë me baza të njëjta, eksponentët shtohen, por baza mbetet e njëjtë; kur një shkallë ngrihet në një fuqi, eksponentët shumëzohen, por baza mbetet e njëjtë).

Pastaj marrim:

NË në këtë shembull U përdorën katër vetitë e para të shkallës me eksponent natyror.

Rrënja katrore aritmetike
- Kjo Jo numër negativ, katrori i të cilit është i barabartë mea,
. Në
- shprehje
nuk është përcaktuar, sepse nuk ka numër real, katrori i të cilit është i barabartë me një numër negativa.