Shtëpi Vendet e botës Para së gjithash, ne duhet të kuptojmë vetë konceptin e një vektori. Për të prezantuar përkufizimin

vektor gjeometrik

Le të kujtojmë se çfarë është një segment. Le të prezantojmë përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 1

Një segment është një pjesë e një vije që ka dy kufij në formën e pikave.

Një segment mund të ketë 2 drejtime. Për të treguar drejtimin, njërin nga kufijtë e segmentit do ta quajmë fillimin e tij dhe kufirin tjetër fundin e tij. Drejtimi tregohet nga fillimi i tij deri në fund të segmentit.

Përkufizimi 2

Vektor ose segment të drejtuar do ta quajmë segment për të cilin dihet se cili nga kufijtë e segmentit konsiderohet fillim dhe cili është fundi i tij.

Përcaktimi: Me dy shkronja: $\overline(AB)$ – (ku $A$ është fillimi i tij dhe $B$ është fundi i tij).

Në një shkronjë të vogël: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Tani le të prezantojmë drejtpërdrejt konceptin e gjatësisë së vektorit.

Përkufizimi 3

Gjatësia e vektorit $\overline(a)$ do të jetë gjatësia e segmentit $a$.

Shënimi: $|\overline(a)|$

Koncepti i gjatësisë së vektorit shoqërohet, për shembull, me një koncept të tillë si barazia e dy vektorëve.

Përkufizimi 4 Dy vektorë do t'i quajmë të barabartë nëse plotësojnë dy kushte: 1. Janë bashkëdrejtues; 1. Gjatësia e tyre është e barabartë (Fig. 2). Për të përcaktuar vektorët, futni një sistem koordinativ dhe përcaktoni koordinatat për vektorin në sistemin e futur. Siç e dimë, çdo vektor mund të zbërthehet në formën $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, ku janë $m$ dhe $n$

numra realë

, dhe $\overline(i)$ dhe $\overline(j)$ janë vektorë njësi në boshtin $Ox$ dhe $Oy$, respektivisht.

Përkufizimi 5

Koeficientët e zgjerimit të vektorit $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ do t'i quajmë koordinatat e këtij vektori në sistemin koordinativ të futur. Matematikisht:

$\overline(c)=(m,n)$

Si të gjeni gjatësinë e një vektori?

Për të nxjerrë një formulë për llogaritjen e gjatësisë së një vektori arbitrar duke pasur parasysh koordinatat e tij, merrni parasysh problemin e mëposhtëm:

Shembulli 1

Vektori $\overline(OA)$ që kemi ndërtuar do të jetë vektori i rrezes për pikën $A$, prandaj, do të ketë koordinata $(x,y)$, që do të thotë

$=x$, $[OA_2]=y$

Tani mund të gjejmë lehtësisht gjatësinë e kërkuar duke përdorur teoremën e Pitagorës, marrim

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Përgjigje: $\sqrt(x^2+y^2)$.

konkluzioni: Për të gjetur gjatësinë e një vektori, koordinatat e të cilit janë dhënë, është e nevojshme të gjendet rrënja e katrorit të shumës së këtyre koordinatave.

Shembuj të detyrave

Shembulli 2

Gjeni distancën midis pikave $X$ dhe $Y$, të cilat kanë koordinatat e mëposhtme: $(-1.5)$ dhe $(7.3)$, respektivisht.

Çdo dy pikë mund të shoqërohet lehtësisht me konceptin e një vektori. Konsideroni, për shembull, vektorin $\overline(XY)$. Siç e dimë tashmë, koordinatat e një vektori të tillë mund të gjenden duke zbritur nga koordinatat pika fundore($Y$) koordinatat përkatëse pikënisje(X$). Ne e kuptojmë atë

Më në fund, mora në dorë këtë temë të gjerë dhe të shumëpritur. gjeometria analitike . Së pari pak për këtë seksion matematikë e lartë…. Me siguri tani ju kujtohet një lëndë e gjeometrisë shkollore me teorema të shumta, vërtetimet e tyre, vizatimet, etj. Çfarë duhet fshehur, një temë e padashur dhe shpesh e errët për një pjesë të konsiderueshme të studentëve. Gjeometria analitike, çuditërisht, mund të duket më interesante dhe e arritshme. Çfarë do të thotë mbiemri "analitik"? Dy fraza klishe matematikore vijnë menjëherë në mendje: "metoda e zgjidhjes grafike" dhe " metodë analitike zgjidhje." Metoda grafike , natyrisht, shoqërohet me ndërtimin e grafikëve dhe vizatimeve. Analitike ose metodë përfshin zgjidhjen e problemeve kryesisht përmes operacionet algjebrike. Në këtë drejtim, algoritmi për zgjidhjen e pothuajse të gjitha problemeve të gjeometrisë analitike është i thjeshtë dhe transparent, shpeshherë mjafton të zbatohet me kujdes formulat e nevojshme- dhe përgjigja është gati! Jo, sigurisht, kjo nuk do të jetë e mundur fare pa vizatime, dhe përveç kësaj, për një kuptim më të mirë të materialit, do të përpiqem t'i citoj ato përtej nevojës.

Kursi i sapohapur i mësimeve për gjeometrinë nuk pretendon të jetë i plotë teorikisht ai është i fokusuar në zgjidhjen e problemeve praktike. Unë do të përfshij në leksionet e mia vetëm atë që, nga këndvështrimi im, është e rëndësishme në aspektin praktik. Nëse keni nevojë për ndihmë më të plotë për ndonjë nënseksion, unë rekomandoj literaturën e mëposhtme mjaft të aksesueshme:

1) Një gjë që, pa shaka, e njohin disa breza: Libër shkollor për gjeometrinë, autorë - L.S. Atanasyan dhe Kompania. Kjo varëse e zhveshjes së shkollës ka kaluar tashmë 20 (!) ribotime, që sigurisht nuk është kufiri.

2) Gjeometria në 2 vëllime. Autorët L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Kjo është letërsi për shkolla e mesme, do t'ju duhet vëllimi i parë. Detyrat e hasura rrallë mund të më bien nga sytë, dhe manual trajnimi do të japë një ndihmë të çmuar.

Të dy librat mund të shkarkohen falas në internet. Përveç kësaj, ju mund të përdorni arkivin tim me zgjidhje të gatshme, të cilat mund të gjenden në faqe Shkarkoni shembuj në matematikën e lartë.

Ndër mjetet, unë përsëri propozoj zhvillimin tim - paketë softuerike në gjeometrinë analitike, e cila do të thjeshtojë shumë jetën dhe do të kursejë shumë kohë.

Supozohet se lexuesi është i njohur me bazën konceptet gjeometrike dhe figurat: pika, drejtëza, rrafshi, trekëndëshi, paralelogrami, paralelipipedi, kubi etj. Këshillohet të mbani mend disa teorema, të paktën teorema e Pitagorës, përshëndetje për përsëritësit)

Dhe tani do të shqyrtojmë në mënyrë sekuenciale: konceptin e një vektori, veprimet me vektorë, koordinatat vektoriale. Unë rekomandoj të lexoni më tej artikulli më i rëndësishëm Prodhimi pikash i vektorëve, dhe gjithashtu Vektori dhe prodhimi i përzier i vektorëve. Nuk do të jetë e tepërt problem lokal– Ndarja e një segmenti në një raport të caktuar. Bazuar në informacionin e mësipërm, ju mund të zotëroni ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh Me Shembujt më të thjeshtë të zgjidhjeve, e cila do të lejojë Mësoni të zgjidhni problemet e gjeometrisë. Artikujt e mëposhtëm janë gjithashtu të dobishëm: Ekuacioni i një rrafshi në hapësirë, Ekuacionet e një drejtëze në hapësirë, Probleme themelore në një vijë të drejtë dhe një plan, seksione të tjera të gjeometrisë analitike. Natyrisht, detyrat standarde do të merren parasysh gjatë rrugës.

Koncepti i vektorit. Vektor pa pagesë

Së pari, le të përsërisim përkufizimin shkollor të një vektori. Vektor thirrur drejtuar një segment për të cilin tregohet fillimi dhe fundi i tij:

NË në këtë rast fillimi i segmentit është pika, fundi i segmentit është pika. Vektori në vetvete shënohet me . Drejtimiështë thelbësore, nëse e zhvendosni shigjetën në skajin tjetër të segmentit, ju merrni një vektor, dhe kjo tashmë është vektor krejtësisht të ndryshëm. Është i përshtatshëm për të identifikuar konceptin e një vektori me lëvizjen e një trupi fizik: duhet të pajtoheni, hyrja në dyert e një instituti ose largimi nga dyert e një instituti janë gjëra krejtësisht të ndryshme.

Është e përshtatshme të konsiderohen pikat individuale të një rrafshi ose hapësire si të ashtuquajturat vektor zero. Për një vektor të tillë, fundi dhe fillimi përkojnë.

!!! Shënim: Këtu dhe më tej, mund të supozoni se vektorët shtrihen në të njëjtin plan ose mund të supozoni se ata janë të vendosur në hapësirë ​​- thelbi i materialit të paraqitur është i vlefshëm si për rrafshin ashtu edhe për hapësirën.

Emërtimet: Shumë vunë re menjëherë shkopin pa shigjetë në përcaktim dhe thanë, ka edhe një shigjetë në krye! Vërtetë, mund ta shkruani me një shigjetë: , por është gjithashtu e mundur hyrjen që do të përdor në të ardhmen. Pse? Me sa duket, ky zakon u zhvillua për arsye praktike; Në literaturën arsimore, ndonjëherë ata nuk shqetësohen fare me shkrimin kuneiform, por theksojnë shkronjat me shkronja të zeza: , duke nënkuptuar kështu se ky është një vektor.

Kjo ishte stilistikë, dhe tani për mënyrat për të shkruar vektorë:

1) Vektorët mund të shkruhen me dy shkronja të mëdha latine:
e kështu me radhë. Në këtë rast, shkronja e parë Domosdoshmërisht tregon pikën e fillimit të vektorit, dhe shkronja e dytë tregon pikën e fundit të vektorit.

2) Vektorët shkruhen gjithashtu me shkronja të vogla latine:
Në veçanti, për shkurtësi, vektori ynë mund të ripërcaktohet si i vogël shkronja latine.

Gjatësia ose modul Jo vektor zero quhet gjatësia e segmentit. Gjatësia e vektorit zero është zero. Logjike.

Gjatësia e vektorit tregohet me shenjën e modulit:

Do të mësojmë se si të gjejmë gjatësinë e një vektori (ose do ta përsërisim, në varësi të kujt) pak më vonë.

Ky ishte informacioni bazë për vektorët, të njohur për të gjithë nxënësit e shkollës. Në gjeometrinë analitike, të ashtuquajturat vektor i lirë.

Për ta thënë thjesht - vektori mund të vizatohet nga çdo pikë:

Ne jemi mësuar t'i quajmë vektorë të tillë të barabartë (përkufizimi i vektorëve të barabartë do të jepet më poshtë), por thjesht nga pikë matematikore pamja është i njëjti VEKTOR ose vektor i lirë. Pse falas? Sepse gjatë zgjidhjes së problemeve, ju mund të "lidhni" këtë apo atë vektor në ÇDO pikë të planit ose hapësirës që ju nevojitet. Kjo është një veçori shumë e lezetshme! Imagjinoni një vektor me gjatësi dhe drejtim arbitrar - mund të "klonohet" numër i pafund herë dhe në çdo pikë të hapësirës, ​​në fakt, ajo ekziston KUDO. Ekziston një student i tillë që thotë: Çdo pedagog i jep një mallkim vektorit. Në fund të fundit, nuk është vetëm një rimë e mprehtë, gjithçka është matematikisht e saktë - vektori mund të bashkëngjitet edhe atje. Por mos nxitoni të gëzoheni, janë vetë studentët që vuajnë shpesh =)

Pra, vektor i lirë- Kjo shumë segmente të drejtuara identike. Përkufizimi shkollor i një vektori, i dhënë në fillim të paragrafit: "Një segment i drejtuar quhet vektor..." nënkupton specifike një segment i drejtuar i marrë nga një grup i caktuar, i cili është i lidhur me një pikë specifike në plan ose hapësirë.

Duhet të theksohet se nga pikëpamja e fizikës, koncepti i një vektori të lirë në rast i përgjithshëmështë e pasaktë dhe pika e aplikimit të vektorit ka rëndësi. Në të vërtetë, një goditje e drejtpërdrejtë e së njëjtës forcë në hundë ose në ballë, e mjaftueshme për të zhvilluar shembullin tim budalla, sjell pasoja të ndryshme. Megjithatë, jo të lirë vektorët gjenden gjithashtu në rrjedhën e vyshmat (mos shko atje :)).

Veprimet me vektorë. Kolineariteti i vektorëve

NË kursi shkollor gjeometria, konsiderohen një sërë veprimesh dhe rregullash me vektorë: mbledhja sipas rregullit të trekëndëshit, mbledhja sipas rregullës së paralelogramit, rregulli i ndryshimit të vektorit, shumëzimi i një vektori me një numër, prodhimi skalar i vektorëve etj. Si pikënisje, le të përsërisim dy rregulla që janë veçanërisht të rëndësishme për zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë analitike.

Rregulli për shtimin e vektorëve duke përdorur rregullën e trekëndëshit

Konsideroni dy vektorë arbitrarë jo zero dhe:

Ju duhet të gjeni shumën e këtyre vektorëve. Për shkak të faktit se të gjithë vektorët konsiderohen të lirë, ne e lëmë mënjanë vektorin nga fund vektor:

Shuma e vektorëve është vektori. Për një kuptim më të mirë të rregullit, këshillohet që të përfshihet kuptimi fizik: le të udhëtojë një trup përgjatë një vektori dhe më pas përgjatë një vektori. Atëherë shuma e vektorëve është vektori i rrugës që rezulton me fillimin në pikën e nisjes dhe mbarimin në pikën e mbërritjes. Një rregull i ngjashëm formulohet për shumën e çdo numri vektorësh. Siç thonë ata, trupi mund të shkojë shumë i dobët përgjatë një zigzag, ose ndoshta në autopilot - përgjatë vektorit që rezulton i shumës.

Nga rruga, nëse vektori shtyhet nga filloi vektor, atëherë marrim ekuivalentin rregulli i paralelogramit shtimi i vektorëve.

Së pari, në lidhje me kolinearitetin e vektorëve. Të dy vektorët quhen kolineare, nëse shtrihen në të njëjtën drejtëz ose në drejtëza paralele. Përafërsisht, ne po flasim për vektorë paralelë. Por në lidhje me to, mbiemri "kolinear" përdoret gjithmonë.

Imagjinoni dy vektorë kolinearë. Nëse shigjetat e këtyre vektorëve drejtohen në të njëjtin drejtim, atëherë quhen vektorë të tillë bashkëdrejtuar. Nëse shigjetat tregojnë drejt anët e ndryshme, atëherë vektorët do të jenë drejtime të kundërta.

Emërtimet: kolineariteti i vektorëve shkruhet me simbolin e zakonshëm të paralelizmit: , ndërsa detajimi është i mundur: (vektorët janë të drejtuar bashkë) ose (vektorët janë të drejtuar në të kundërt).

Puna një vektor jozero në një numër është një vektor gjatësia e të cilit është e barabartë me , dhe vektorët dhe janë të bashkëdrejtuar dhe të drejtuar në të kundërt me .

Rregulli për shumëzimin e një vektori me një numër është më i lehtë për t'u kuptuar me ndihmën e një fotografie:

Le ta shohim më në detaje:

1) Drejtimi. Nëse shumëzuesi është negativ, atëherë vektori ndryshon drejtimin në të kundërtën.

2) Gjatësia. Nëse shumëzuesi përmbahet brenda ose , atëherë gjatësia e vektorit zvogëlohet. Pra, gjatësia e vektorit është gjysma e gjatësisë së vektorit. Nëse moduli i shumëzuesit është më i madh se një, atëherë gjatësia e vektorit rritet nganjëherë.

3) Ju lutemi vini re se të gjithë vektorët janë kolinearë, ndërsa një vektor shprehet përmes një tjetri, për shembull, . E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse një vektor mund të shprehet përmes një tjetri, atëherë vektorë të tillë janë domosdoshmërisht kolinearë. Kështu: nëse shumëzojmë një vektor me një numër, marrim kolinear(në lidhje me origjinalin) vektoriale.

4) Vektorët janë të bashkëdrejtuar. Vektorët dhe janë gjithashtu të bashkëdrejtuar. Çdo vektor i grupit të parë është i drejtuar në mënyrë të kundërt në lidhje me çdo vektor të grupit të dytë.

Cilët vektorë janë të barabartë?

Dy vektorë janë të barabartë nëse janë në të njëjtin drejtim dhe kanë të njëjtën gjatësi. Vini re se bashkëdrejtimi nënkupton kolinearitetin e vektorëve. Përkufizimi do të ishte i pasaktë (i tepërt) nëse do të thoshim: "Dy vektorë janë të barabartë nëse janë kolinear, bashkëdrejtues dhe kanë të njëjtën gjatësi."

Nga pikëpamja e konceptit të një vektori të lirë, vektorë të barabartë janë i njëjti vektor, siç u diskutua në paragrafin e mëparshëm.

Koordinatat vektoriale në rrafsh dhe në hapësirë

Pika e parë është të merren parasysh vektorët në aeroplan. Le të përfaqësojmë kartezianin sistem drejtkëndor koordinatat dhe nga origjina e koordinatave ne shtyjmë beqare vektorët dhe:

Vektorët dhe ortogonale. Ortogonal = Perpendikular. Unë rekomandoj që ngadalë të mësoheni me termat: në vend të paralelizmit dhe pingulitetit, përdorim fjalët përkatësisht kolineariteti Dhe ortogonaliteti.

Përcaktimi: Ortogonaliteti i vektorëve shkruhet me simbolin e zakonshëm të pingulitetit, për shembull: .

Quhen vektorët në shqyrtim vektorët e koordinatave ose orts. Këta vektorë formohen bazë në një avion. Ajo që është baza, mendoj se është intuitivisht e qartë për shumë e më shumë informacion të detajuar mund të gjenden në artikull Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve Me fjalë të thjeshta, baza dhe origjina e koordinatave përcaktojnë të gjithë sistemin - ky është një lloj themeli mbi të cilin vlon një jetë e plotë dhe e pasur gjeometrike.

Ndonjëherë quhet baza e ndërtuar ortonormale baza e planit: "ortho" - për shkak se vektorët e koordinatave janë ortogonale, mbiemri "normalizuar" do të thotë njësi, d.m.th. gjatësitë e vektorëve bazë janë të barabarta me një.

Përcaktimi: baza zakonisht shkruhet në kllapa, brenda së cilës V sekuencë strikte janë renditur vektorët bazë, për shembull: . Vektorët e koordinatave është e ndaluar rirregulloj.

Çdo vektor i rrafshët mënyra e vetme shprehur si:
, Ku - numrat të cilat quhen koordinatat vektoriale V mbi këtë bazë. Dhe vetë shprehja thirrur zbërthimi i vektoritsipas bazës .

Darka e shërbyer:

Le të fillojmë me shkronjën e parë të alfabetit: . Vizatimi tregon qartë se kur zbërthehet një vektor në një bazë, përdoren ato që sapo u diskutuan:
1) rregulli për shumëzimin e një vektori me një numër: dhe ;
2) mbledhja e vektorëve sipas rregullës së trekëndëshit: .

Tani vizatoni mendërisht vektorin nga çdo pikë tjetër në aeroplan. Është mjaft e qartë se prishja e tij "do ta ndjekë atë pa pushim". Këtu është liria e vektorit - vektori "mbart gjithçka me vete". Kjo veti, natyrisht, është e vërtetë për çdo vektor. Është qesharake që vetë vektorët bazë (falas) nuk duhet të vizatohen nga origjina, për shembull, poshtë majtas, dhe tjetri lart djathtas, dhe asgjë nuk do të ndryshojë! Vërtetë, nuk keni nevojë ta bëni këtë, pasi mësuesi gjithashtu do të tregojë origjinalitet dhe do t'ju tërheqë një "kredi" në një vend të papritur.

Vektorët ilustrojnë saktësisht rregullin për shumëzimin e një vektori me një numër, vektori është në bashkëdrejtim me vektorin bazë, vektori është i drejtuar përballë vektorit bazë. Për këta vektorë, një nga koordinatat është e barabartë me zero, mund ta shkruani me përpikëri si kjo:


Dhe vektorët bazë, meqë ra fjala, janë si ky: (në fakt, ato shprehen përmes vetvetes).

Dhe në fund: , . Nga rruga, çfarë është zbritja vektoriale dhe pse nuk fola për rregullin e zbritjes? Diku brenda algjebër lineare, nuk mbaj mend ku, vura re se është zbritja rast i veçantë shtesë. Kështu, zgjerimet e vektorëve "de" dhe "e" shkruhen lehtësisht si një shumë: , . Riorganizoni termat dhe shikoni në vizatim se sa mirë funksionon mbledhja e vjetër e mirë e vektorëve sipas rregullit të trekëndëshit në këto situata.

Zbërthimi i konsideruar i formës nganjëherë quhet zbërthim vektorial në sistemin ort(d.m.th. në një sistem vektorësh njësi). Por kjo nuk është mënyra e vetme për të shkruar një vektor, opsioni i mëposhtëm është i zakonshëm:

Ose me një shenjë të barabartë:

Vetë vektorët bazë shkruhen si më poshtë: dhe

Kjo do të thotë, koordinatat e vektorit tregohen në kllapa. Në problemet praktike, përdoren të tre opsionet e shënimeve.

Dyshova nëse do të flisja, por gjithsesi do ta them: koordinatat vektoriale nuk mund të riorganizohen. Rreptësisht në vendin e parë shkruani koordinatat që korrespondojnë vektor njësi , rreptësisht në vendin e dytë shkruajmë koordinatën që i përgjigjet vektorit njësi. Në të vërtetë, dhe janë dy vektorë të ndryshëm.

Ne kuptuam koordinatat në aeroplan. Tani le të shohim vektorët në hapësirën tre-dimensionale, pothuajse gjithçka është e njëjtë këtu! Do të shtojë vetëm një koordinatë më shumë. Është e vështirë të bësh vizatime tredimensionale, kështu që do të kufizohem në një vektor, të cilin për thjeshtësi do ta lë mënjanë nga origjina:

Çdo vektoriale hapësirë ​​tredimensionale Mund mënyra e vetme zgjerohet mbi një bazë ortonormale:
, ku janë koordinatat e vektorit (numrit) në këtë bazë.

Shembull nga foto: . Le të shohim se si funksionojnë rregullat e vektorit këtu. Së pari, duke shumëzuar vektorin me një numër: (shigjeta e kuqe), (shigjeta jeshile) dhe (shigjeta e mjedrës). Së dyti, këtu është një shembull i shtimit të disa, në këtë rast tre, vektorëve: . Vektori i shumës fillon në pikën fillestare të nisjes (fillimi i vektorit) dhe përfundon në pikën përfundimtare të mbërritjes (fundi i vektorit).

Të gjithë vektorët e hapësirës tredimensionale, natyrisht, janë gjithashtu të lirë, përpiquni ta lënë mënjanë vektorin nga çdo pikë tjetër, dhe do të kuptoni se zbërthimi i tij "do të mbetet me të".

Ngjashëm me rastin e sheshtë, përveç shkrimit përdoren gjerësisht versionet me kllapa: ose .

Nëse zgjerimit i mungon një (ose dy) vektorët e koordinatave, pastaj zerat vendosen në vendin e tyre. Shembuj:
vektor (në mënyrë të përpiktë ) – le të shkruajmë;
vektor (në mënyrë të përpiktë ) – le të shkruajmë;
vektor (në mënyrë të përpiktë ) – le të shkruajmë.

Vektorët bazë shkruhen si më poshtë:

Kjo, ndoshta, është e gjithë njohuria teorike minimale e nevojshme për të zgjidhur problemet e gjeometrisë analitike. Mund të ketë shumë terma dhe përkufizime, kështu që unë rekomandoj që dummies të rilexojnë dhe kuptojnë ky informacion përsëri. Dhe do të jetë e dobishme për çdo lexues t'i referohet mësimi bazë për asimilimin më të mirë të materialit. Kolineariteti, ortogonaliteti, baza ortonormale, zbërthimi i vektorit - këto dhe koncepte të tjera do të përdoren shpesh në të ardhmen. Dua të vërej se materialet e sitit nuk janë të mjaftueshme për të kaluar një test teorik ose një kolokium mbi gjeometrinë, pasi unë kodoj me kujdes të gjitha teoremat (dhe pa prova) - në dëm të stil shkencor prezantim, por një plus për të kuptuarit tuaj të temës. Për të marrë informacion të detajuar teorik, ju lutemi përuluni para profesorit Atanasyan.

Dhe kalojmë në pjesën praktike:

Problemet më të thjeshta të gjeometrisë analitike.
Veprimet me vektorë në koordinata

Është shumë e këshillueshme të mësoni se si të zgjidhni detyrat që do të konsiderohen plotësisht automatikisht dhe formulat memorizoj, as mos e mbani mend konkretisht, ata do të kujtojnë veten =) Kjo është shumë e rëndësishme, sepse në më të thjeshtat shembuj elementar bazohen probleme të tjera të gjeometrisë analitike dhe do të jetë e bezdisshme për të shpenzuar kohë shtesë për të ngrënë pengje. Nuk ka nevojë të fiksoni kopset e sipërme në këmishë, shumë gjëra ju janë njohur nga shkolla.

Prezantimi i materialit do të ndjekë një rrjedhë paralele - si për aeroplanin ashtu edhe për hapësirën. Për arsye se të gjitha formulat... do t'i shihni vetë.

Si të gjeni një vektor nga dy pika?

Nëse jepen dy pika të rrafshit, atëherë vektori ka koordinatat e mëposhtme:

Nëse jepen dy pika në hapësirë, atëherë vektori ka koordinatat e mëposhtme:

Kjo është, nga koordinatat e fundit të vektorit ju duhet të zbritni koordinatat përkatëse fillimi i vektorit.

Ushtrimi: Për të njëjtat pika, shkruani formulat për gjetjen e koordinatave të vektorit. Formulat në fund të orës së mësimit.

Si të gjeni gjatësinë e një vektori?

Jepen dy pika të aeroplanit dhe . Gjeni koordinatat vektoriale

Zgjidhja: sipas formulës së duhur:

Përndryshe, hyrja e mëposhtme mund të përdoret:

Estetët do të vendosin këtë:

Personalisht, jam mësuar me versionin e parë të regjistrimit.

Përgjigje:

Sipas kushtit, nuk ishte e nevojshme të ndërtohej një vizatim (i cili është tipik për problemet e gjeometrisë analitike), por për të sqaruar disa pika për dummies, nuk do të jem dembel:

Duhet ta kuptoni patjetër dallimi ndërmjet koordinatave të pikës dhe koordinatave vektoriale:

Koordinatat e pikave- këto janë koordinata të zakonshme në një sistem koordinativ drejtkëndor. Vendos pikë rrafshi koordinativ Unë mendoj se të gjithë mund ta bëjnë këtë që nga klasa 5-6. Çdo pikë ka një vend të rreptë në aeroplan, dhe ato nuk mund të zhvendosen askund.

Koordinatat e vektorit– ky është zgjerimi i tij sipas bazës, në këtë rast. Çdo vektor është i lirë, kështu që nëse është e nevojshme, ne mund ta largojmë lehtësisht nga një pikë tjetër në aeroplan. Është interesante që për vektorët nuk keni nevojë të ndërtoni fare boshte ose një sistem koordinativ drejtkëndor, ju duhet vetëm një bazë, në këtë rast një bazë ortonorale e planit.

Regjistrimet e koordinatave të pikave dhe koordinatave të vektorëve duket se janë të ngjashme: , dhe kuptimi i koordinatave absolutisht të ndryshme, dhe ju duhet të jeni të vetëdijshëm për këtë ndryshim. Ky dallim, sigurisht, është gjithashtu e vërtetë për hapësirën.

Zonja dhe zotërinj, le të mbushim duart:

Shembulli 2

a) Pikët dhe janë dhënë. Gjeni vektorë dhe .
b) Janë dhënë pikë Dhe . Gjeni vektorë dhe .
c) Pikët dhe jepen. Gjeni vektorët dhe .
d) Janë dhënë pikë. Gjeni vektorë .

Ndoshta kaq mjafton. Këta janë shembuj për vendim i pavarur, përpiquni të mos i neglizhoni, do të shpërblehet ;-). Nuk ka nevojë të bëni vizatime. Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Çfarë është e rëndësishme gjatë zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë analitike?Është e rëndësishme të jeni SHUMË KUJDES për të shmangur gabimin mjeshtëror "dy plus dy baraz me zero". Kërkoj falje menjëherë nëse kam bërë një gabim diku =)

Si të gjeni gjatësinë e një segmenti?

Gjatësia, siç është vërejtur tashmë, tregohet me shenjën e modulit.

Nëse jepen dy pika të rrafshit dhe , atëherë gjatësia e segmentit mund të llogaritet duke përdorur formulën

Nëse jepen dy pika në hapësirë, atëherë gjatësia e segmentit mund të llogaritet duke përdorur formulën

Shënim: Formulat do të mbeten të sakta nëse koordinatat përkatëse ndërrohen: dhe , por opsioni i parë është më standard

Shembulli 3

Zgjidhja: sipas formulës së duhur:

Përgjigje:

Për qartësi, unë do të bëj një vizatim

Segmenti - ky nuk është një vektor, dhe, natyrisht, nuk mund ta lëvizni askund. Përveç kësaj, nëse vizatoni në shkallë: 1 njësi. = 1 cm (dy qeliza fletore), atëherë përgjigja që rezulton mund të kontrollohet me një vizore të rregullt duke matur drejtpërdrejt gjatësinë e segmentit.

Po, zgjidhja është e shkurtër, por ka edhe disa të tjera në të pika të rëndësishme që do të doja të sqaroja:

Së pari, në përgjigje vendosim dimensionin: "njësi". Gjendja nuk thotë ÇFARË është, milimetra, centimetra, metra apo kilometra. Prandaj, një zgjidhje e saktë matematikisht do të ishte formulimi i përgjithshëm: "njësi" - shkurtuar si "njësi".

Së dyti, le të përsërisim materialin shkollor, i cili është i dobishëm jo vetëm për detyrën e konsideruar:

Ju lutemi vini re teknikë e rëndësishme – duke hequr shumëzuesin nga poshtë rrënjës. Si rezultat i llogaritjeve, kemi një rezultat dhe stili i mirë matematikor përfshin heqjen e faktorit nga poshtë rrënjës (nëse është e mundur). Procesi duket si ky në mënyrë më të detajuar: . Natyrisht, lënia e përgjigjes ashtu siç është nuk do të ishte gabim - por sigurisht që do të ishte një mangësi dhe një argument me peshë për t'u grindur nga ana e mësuesit.

Këtu janë raste të tjera të zakonshme:

Shpesh ka mjaft në rrënjë numër i madh, Për shembull . Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Duke përdorur kalkulatorin, kontrollojmë nëse numri është i pjesëtueshëm me 4: . Po, u nda plotësisht, kështu: . Apo ndoshta numri mund të ndahet përsëri me 4? . Kështu: . Në numrin shifra e fundit e çuditshme, kështu që pjesëtimi me 4 për herë të tretë padyshim nuk do të funksionojë. Le të përpiqemi të pjesëtojmë me nëntë: . Si rezultat:
Gati.

konkluzioni: nëse nën rrënjë marrim një numër që nuk mund të nxirret në tërësi, atëherë përpiqemi të heqim faktorin nga nën rrënjë - duke përdorur një kalkulator kontrollojmë nëse numri është i pjesëtueshëm me: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etj.

Gjatë vendimit detyra të ndryshme rrënjët janë të zakonshme, gjithmonë përpiquni të nxirrni faktorë nga poshtë rrënjës në mënyrë që të shmangni një notë më të ulët dhe probleme të panevojshme me finalizimin e zgjidhjeve tuaja bazuar në komentet e mësuesit.

Le të përsërisim gjithashtu rrënjët katrore dhe fuqitë e tjera:

Rregullat për veprimet me gradë in pamje e përgjithshme mund të gjendet në një tekst shkollor për algjebër, por mendoj se nga shembujt e dhënë, gjithçka ose pothuajse gjithçka është tashmë e qartë.

Detyrë për zgjidhje të pavarur me një segment në hapësirë:

Shembulli 4

Pikët dhe jepen. Gjeni gjatësinë e segmentit.

Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Si të gjeni gjatësinë e një vektori?

Nëse jepet një vektor i rrafshët, atëherë gjatësia e tij llogaritet me formulën.

Nëse jepet një vektor hapësinor, atëherë gjatësia e tij llogaritet me formulë .

Shuma e vektorëve. Gjatësia e vektorit. Te dashur miq, si pjesë e llojeve të provimit të prapme ka një grup problemesh me vektorët. Detyrat janë mjaft të gjera (është e rëndësishme të dini bazat teorike). Shumica zgjidhen me gojë. Pyetjet kanë të bëjnë me gjetjen e gjatësisë së një vektori, shumës (ndryshimit) të vektorëve dhe produktit skalar. Ekzistojnë gjithashtu shumë detyra në të cilat duhet të kryeni veprime me koordinata vektoriale.

Teoria që rrethon temën e vektorëve nuk është e ndërlikuar dhe duhet kuptuar mirë. Në këtë artikull do të analizojmë problemet që lidhen me gjetjen e gjatësisë së një vektori, si dhe shumën (diferencën) e vektorëve. Disa pika teorike:

Koncepti i vektorit

Një vektor është një segment i drejtuar.

Të gjithë vektorët që kanë të njëjtin drejtim dhe janë të barabartë në gjatësi janë të barabartë.

*Të katër vektorët e paraqitur më sipër janë të barabartë!

Kjo është, nëse përdorim transferim paralel lëvizni vektorin që na është dhënë, gjithmonë do të marrim një vektor të barabartë me atë origjinal. Kështu, mund të ketë një numër të pafund vektorësh të barabartë.

Shënimi vektorial

Vektori mund të shënohet me latinisht me shkronja të mëdha, Për shembull:

Me këtë formë shënimi, fillimisht shkruhet shkronja që tregon fillimin e vektorit, pastaj shkronja që tregon fundin e vektorit.

Një vektor tjetër shënohet me një shkronjë Alfabeti latin(kapitali):

Përcaktimi pa shigjeta është gjithashtu i mundur:

Shuma e dy vektorëve AB dhe BC do të jetë vektori AC.

Shkruhet si AB + BC = AC.

Ky rregull quhet - rregulli i trekëndëshit.

Kjo do të thotë, nëse kemi dy vektorë - le t'i quajmë në mënyrë konvencionale (1) dhe (2), dhe fundi i vektorit (1) përkon me fillimin e vektorit (2), atëherë shuma e këtyre vektorëve do të jetë një vektor i të cilit fillimi përkon me fillimin e vektorit (1) , dhe fundi përkon me fundin e vektorit (2).

Përfundim: nëse kemi dy vektorë në një plan, gjithmonë mund të gjejmë shumën e tyre. Duke përdorur përkthimin paralel, mund të lëvizni cilindo nga këta vektorë dhe të lidhni fillimin e tij me fundin e një tjetri. Për shembull:

Le të lëvizim vektorin b, ose me fjalë të tjera, le të ndërtojmë një të barabartë:

Si gjendet shuma e disa vektorëve? Me të njëjtin parim:

* * *

Rregulli i paralelogramit

Ky rregull është pasojë e sa më sipër.

Për vektorët me fillimi i përbashkët shuma e tyre paraqitet me diagonalen e një paralelogrami të ndërtuar mbi këta vektorë.

Le të ndërtojmë një vektor e barabartë me vektorin b në mënyrë që fillimi i tij të përputhet me fundin e vektorit a, dhe ne mund të ndërtojmë një vektor që do të jetë shuma e tyre:

Edhe pak informacione të rëndësishme të nevojshme për zgjidhjen e problemeve.

Një vektor i barabartë në gjatësi me atë origjinal, por me drejtim të kundërt, shënohet gjithashtu, por ka shenjën e kundërt:

Ky informacion është jashtëzakonisht i dobishëm për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë gjetjen e ndryshimit midis vektorëve. Siç mund ta shihni, diferenca vektoriale është e njëjta shumë në një formë të modifikuar.

Le të jepen dy vektorë, gjeni ndryshimin e tyre:

Ne ndërtuam një vektor të kundërt me vektorin b dhe gjetëm ndryshimin.

Koordinatat vektoriale

Për të gjetur koordinatat e një vektori, duhet të zbritni koordinatat përkatëse të fillimit nga koordinatat e fundit:

Kjo do të thotë, koordinatat vektoriale janë një çift numrash.

Nëse

Dhe koordinatat e vektorëve duken kështu:

Pastaj c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Nëse

Pastaj c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Moduli vektorial

Moduli i një vektori është gjatësia e tij, e përcaktuar nga formula:

Formula për përcaktimin e gjatësisë së një vektori nëse dihen koordinatat e fillimit dhe mbarimit të tij:

Le të shqyrtojmë detyrat:

Dy brinjët e drejtkëndëshit ABCD janë të barabarta me 6 dhe 8. Diagonalet priten në pikën O. Gjeni gjatësinë e diferencës midis vektorëve AO dhe BO.

Le të gjejmë vektorin që do të jetë rezultat i AO–VO:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Kjo është, ndryshimi midis vektorëve AO dhe VO do të jetë një vektor AB. Dhe gjatësia e saj është tetë.

Diagonalet e një rombi ABCD janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AB + AD.

Le të gjejmë një vektor që do të jetë shuma e vektorëve AD dhe AB BC është e barabartë me vektorin AD. Pra AB +AD =AB +BC =AC

Diagonalet e një rombi ABCD kryqëzohen në pikë O dhe janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AO + BO.

Le të gjejmë një vektor që do të jetë shuma e vektorëve AO dhe VO VO është e barabartë me vektorin OD, që do të thotë

Sipas teoremës së Pitagorës:

Diagonalet e rombit ABCD priten në pikën O dhe janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AO – BO.

Le të gjejmë vektorin që do të jetë rezultat i AO–VO:

Sipas teoremës së Pitagorës:

Anët janë të sakta trekëndëshi ABC janë të barabarta me 3.

Gjeni gjatësinë e vektorit AB –AC.

Le të gjejmë rezultatin e ndryshimit të vektorit:

27663. Gjeni gjatësinë e vektorit a (6;8).

27664. Gjeni katrorin e gjatësisë së vektorit AB.

Vektorët. Veprimet me vektorë. Në këtë artikull do të flasim se çfarë është një vektor, si të gjejmë gjatësinë e tij dhe si të shumëzojmë një vektor me një numër, si dhe si të gjejmë shumën, ndryshimin dhe produktin skalar të dy vektorëve.

Si zakonisht, pak nga teoria më e nevojshme.

Një vektor është një segment i drejtuar, domethënë një segment që ka një fillim dhe një fund:

Këtu pika A është fillimi i vektorit dhe pika B është fundi i tij.

Një vektor ka dy parametra: gjatësinë dhe drejtimin e tij.

Gjatësia e një vektori është gjatësia e segmentit që lidh fillimin dhe fundin e vektorit. Gjatësia e vektorit shënohet

Dy vektorë thuhet se janë të barabartë, nëse kanë të njëjtën gjatësi dhe janë të rreshtuara.

Të dy vektorët quhen bashkëdrejtuar, nëse shtrihen në drejtëza paralele dhe drejtohen në të njëjtin drejtim: vektorë dhe bashkëdrejtues:

Dy vektorë quhen me drejtim të kundërt nëse shtrihen në drejtëza paralele dhe drejtohen në drejtime të kundërta: vektorët dhe , si dhe dhe drejtohen në drejtime të kundërta:

Vektorët që shtrihen në drejtëza paralele quhen kolinearë: vektorë dhe janë kolinearë.

Produkti i një vektori një numër quhet vektor kodrejtues ndaj vektorit nëse title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

te shtoni dy vektorë dhe, ju duhet të lidhni fillimin e vektorit me fundin e vektorit. Vektori i shumës lidh fillimin e vektorit me fundin e vektorit:

Ky rregull i mbledhjes së vektorit quhet rregulli i trekëndëshit.

Për të shtuar dy vektorë nga rregulli i paralelogramit, ju duhet t'i shtyni vektorët nga një pikë dhe t'i ndërtoni ato në një paralelogram. Vektori i shumës lidh pikën fillestare të vektorëve me këndi i kundërt paralelogram:

Dallimi i dy vektorëve përcaktohet përmes shumës: ndryshimi i vektorëve dhe quhet vektor i tillë, i cili në shumë me vektorin do të japë vektorin:

Nga kjo rrjedh Rregulli për gjetjen e ndryshimit të dy vektorëve: për të zbritur një vektor nga një vektor, ju duhet t'i vizatoni këta vektorë nga një pikë. Vektori i ndryshimit lidh fundin e vektorit me fundin e vektorit (d.m.th., fundi i subtrahendit me fundin e minuendit):

Për të gjetur këndi ndërmjet vektorit dhe vektorit, ju duhet t'i vizatoni këta vektorë nga një pikë. Këndi i formuar nga rrezet në të cilat shtrihen vektorët quhet kënd midis vektorëve:

Prodhimi skalar i dy vektorëve është numri e barabartë me produktin gjatësitë e këtyre vektorëve nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre:

Unë ju sugjeroj të zgjidhni problemet nga Banka e hapur detyrat për , dhe më pas kontrolloni zgjidhjen tuaj me VIDEO TUTORIALE:

1. Detyra 4 (Nr. 27709)

Dy anët e një drejtkëndëshi ABCD janë të barabarta me 6 dhe 8. Gjeni gjatësinë e diferencës ndërmjet vektorëve dhe .

2. Detyra 4 (Nr. 27710)

Dy anët e një drejtkëndëshi ABCD janë të barabarta me 6 dhe 8. Gjeni produktin skalar të vektorëve dhe . (vizatim nga detyra e mëparshme).

3. Detyra 4 (Nr. 27711)

Dy anët e një drejtkëndëshi ABCD O. Gjeni gjatësinë e shumës së vektorëve dhe .

4. Detyra 4 (Nr. 27712)

Dy anët e një drejtkëndëshi ABCD janë të barabarta me 6 dhe 8. Diagonalet priten në pikë O. Gjeni gjatësinë e diferencës midis vektorëve dhe . (vizatim nga detyra e mëparshme).

5. Detyra 4 (Nr. 27713)

Diagonalet e një rombi ABCD janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit.

6. Detyra 4 (Nr. 27714)

Diagonalet e një rombi ABCD janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit +.

7.Detyra 4 (Nr. 27715)

Diagonalet e një rombi ABCD janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit - .(vizatim nga problema e mëparshme).

8.Detyra 4 (Nr. 27716)

Diagonalet e një rombi ABCD janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit - .

9 . Detyra 4 (Nr. 27717)

Diagonalet e një rombi ABCD kryqëzohen në një pikë O dhe janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit +.

10. Detyra 4 (Nr. 27718)

Diagonalet e një rombi ABCD kryqëzohen në një pikë O dhe janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit - .(vizatim nga problema e mëparshme).

11.Detyra 4 (Nr. 27719)

Diagonalet e një rombi ABCD kryqëzohen në një pikë O dhe janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni produktin skalar të vektorëve dhe .

12. Detyra 4 (Nr. 27720)

ABC janë të barabarta Gjeni gjatësinë e vektorit +.

13. Detyra 4 (Nr. 27721)

Brinjët e një trekëndëshi të rregullt ABC janë të barabarta me 3. Gjeni gjatësinë e vektorit - (vizatim nga problema e mëparshme).

14. Detyra 4 (Nr. 27722)

Brinjët e një trekëndëshi të rregullt ABC janë të barabarta me 3. Gjeni prodhimin skalar të vektorëve dhe . (vizatim nga detyra e mëparshme).

Shfletuesi juaj ndoshta nuk mbështetet. Për të përdorur trajnerin " Ora e Unifikuar e Provimit të Shtetit", provoni të shkarkoni
Firefox

Niveli i hyrjes

Koordinatat dhe vektorët. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Në këtë artikull, ne do të fillojmë të diskutojmë një "shkop magjik" që do t'ju lejojë të reduktoni shumë probleme gjeometrike në aritmetikë të thjeshtë. Ky “shkop” mund ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë, veçanërisht kur nuk jeni të sigurt për ndërtimin e figurave hapësinore, seksioneve, etj. E gjithë kjo kërkon një imagjinatë të caktuar dhe aftësi praktike. Metoda që do të fillojmë të shqyrtojmë këtu do t'ju lejojë të abstraktoni pothuajse plotësisht nga çdo lloj ndërtime gjeometrike dhe arsyetimi. Metoda quhet "metoda e koordinimit". Në këtë artikull do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:

1. Aeroplani koordinativ
2. Pikat dhe vektorët në rrafsh
3. Ndërtimi i një vektori nga dy pika
4. Gjatësia e vektorit (distanca midis dy pikave).
5. Koordinatat e mesit të segmentit
6. Prodhimi pikash i vektorëve
7. Këndi ndërmjet dy vektorëve

Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend pse metoda e koordinatave quhet kështu? Është e drejtë, e ka marrë këtë emër sepse nuk vepron me objekte gjeometrike, por me ato karakteristikat numerike(koordinatat). Dhe vetë transformimi, i cili na lejon të kalojmë nga gjeometria në algjebër, konsiston në futjen e një sistemi koordinativ. Nëse figura fillestare ishte e sheshtë, atëherë koordinatat janë dy-dimensionale, dhe nëse figura është tre-dimensionale, atëherë koordinatat janë tre-dimensionale. Në këtë artikull do të shqyrtojmë vetëm rastin dydimensional. Dhe qëllimi kryesor i artikullit është t'ju mësojë se si të përdorni disa teknikat bazë metoda e koordinatave (ato ndonjëherë rezultojnë të dobishme kur zgjidhin probleme në planimetrinë në Pjesën B të Provimit të Unifikuar të Shtetit). Dy seksionet e ardhshme mbi këtë temë i kushtohen një diskutimi të metodave për zgjidhjen e problemeve C2 (problemi i stereometrisë).

Ku do të ishte logjike të fillonim diskutimin e metodës së koordinatave? Ndoshta nga koncepti i një sistemi koordinativ. Mbani mend kur e keni takuar për herë të parë. Më duket se në klasën e 7-të, kur mësuat për ekzistencën funksion linear, Për shembull. Më lejoni t'ju kujtoj se e keni ndërtuar pikë për pikë. A ju kujtohet? Ju zgjodhët një numër arbitrar, e zëvendësuat në formulë dhe e llogaritët në atë mënyrë. Për shembull, nëse, atëherë, nëse, atëherë, etj. Çfarë morët në fund? Dhe keni marrë pikë me koordinata: dhe. Më pas, ju vizatoni një "kryq" (sistemi i koordinatave), zgjodhët një shkallë në të (sa qeliza do të keni segment i vetëm) dhe shënoi pikat që keni marrë në të, të cilat më pas i keni lidhur me një vijë të drejtë, vija që rezulton është grafiku i funksionit;

Këtu janë disa pika që duhen shpjeguar pak më në detaje:

1. Ju zgjidhni një segment të vetëm për arsye komoditeti, në mënyrë që gjithçka të përshtatet bukur dhe kompakt në vizatim

2. Pranohet që boshti shkon nga e majta në të djathtë, dhe boshti shkon nga poshtë lart.

3. Ata kryqëzohen në kënde të drejta dhe pika e prerjes së tyre quhet origjinë. Tregohet me një letër.

4. Në shkrimin e koordinatave të një pike, për shembull, në të majtë në kllapa është koordinata e pikës përgjatë boshtit, dhe në të djathtë, përgjatë boshtit. Në veçanti, kjo thjesht do të thotë se në pikën

5. Për të vendosur ndonjë pikë në boshti koordinativ, duhet të tregoni koordinatat e tij (2 numra)

6. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

7. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

8. Boshti quhet bosht x

9. Boshti quhet bosht y

Tani le të bëjmë hapin tjetër: shënoni dy pika. Le t'i lidhim këto dy pika me një segment. Dhe ne do të vendosim shigjetën sikur të vizatojmë një segment nga pika në pikë: domethënë, ne do ta bëjmë segmentin tonë të drejtuar!

Mbani mend si quhet një segment tjetër i drejtimit? Është e drejtë, quhet vektor!

Pra, nëse lidhim pikë me pikë, dhe fillimi do të jetë pika A, dhe fundi do të jetë pika B, atëherë marrim një vektor. Këtë ndërtim e keni bërë edhe në klasën e 8-të, ju kujtohet?

Rezulton se vektorët, si pikat, mund të shënohen me dy numra: këta numra quhen koordinata vektoriale. Pyetje: A mendoni se mjafton që ne të dimë koordinatat e fillimit dhe të fundit të një vektori për të gjetur koordinatat e tij? Rezulton se po! Dhe kjo bëhet shumë thjesht:

Kështu, duke qenë se në një vektor pika është fillimi dhe fundi është fundi, vektori ka koordinatat e mëposhtme:

Për shembull, nëse, atëherë koordinatat e vektorit

Tani le të bëjmë të kundërtën, të gjejmë koordinatat e vektorit. Çfarë duhet të ndryshojmë për këtë? Po, ju duhet të ndërroni fillimin dhe fundin: tani fillimi i vektorit do të jetë në pikë, dhe fundi do të jetë në pikë. Pastaj:

Shikoni me kujdes, cili është ndryshimi midis vektorëve dhe? Dallimi i tyre i vetëm janë shenjat në koordinata. Ato janë të kundërta. Ky fakt zakonisht shkruhet kështu:

Ndonjëherë, nëse nuk përcaktohet në mënyrë specifike se cila pikë është fillimi i vektorit dhe cila është fundi, atëherë vektorët nuk shënohen me dy shkronja të mëdha, por me një shkronjë të vogël, për shembull: , etj.

Tani pak praktikë veten dhe gjeni koordinatat e vektorëve të mëposhtëm:

Ekzaminimi:

Tani zgjidhni një problem pak më të vështirë:

Një vektor me një pikë fillimi në një pikë ka një bashkë-or-di-na-you. Gjeni pikat abs-cis-su.

E njëjta gjë është mjaft prozaike: Le të jenë koordinatat e pikës. Pastaj

E përpilova sistemin bazuar në përcaktimin se çfarë janë koordinatat vektoriale. Atëherë pika ka koordinata. Ne jemi të interesuar për abscissa. Pastaj

Përgjigje:

Çfarë tjetër mund të bëni me vektorët? Po, pothuajse gjithçka është njësoj si me numrat e zakonshëm(përveç që nuk mund të ndani, por mund të shumëzoni në dy mënyra, njërën prej të cilave do ta diskutojmë këtu pak më vonë)

1. Vektorët mund t'i shtohen njëri-tjetrit
2. Vektorët mund të zbriten nga njëri-tjetri
3. Vektorët mund të shumëzohen (ose pjesëtohen) me një numër arbitrar jo zero
4. Vektorët mund të shumëzohen me njëri-tjetrin

Të gjitha këto operacione kanë një shumë të qartë paraqitje gjeometrike. Për shembull, rregulli i trekëndëshit (ose paralelogramit) për mbledhjen dhe zbritjen:

Një vektor shtrihet ose tkurret ose ndryshon drejtimin kur shumëzohet ose pjesëtohet me një numër:

Sidoqoftë, këtu do të na interesojë pyetja se çfarë ndodh me koordinatat.

1. Kur mbledhim (zbresim) dy vektorë, i shtojmë (zbresim) koordinatat e tyre element për element. Kjo është:

2. Gjatë shumëzimit (pjestimit) të një vektori me një numër, të gjitha koordinatat e tij shumëzohen (pjestohen) me këtë numër:

Për shembull:

· Gjeni sasinë e co-or-di-nat shekull-në-ra.

Le të gjejmë fillimisht koordinatat e secilit prej vektorëve. Ata të dy kanë të njëjtën origjinë - pikën e origjinës. Fundet e tyre janë të ndryshme. Pastaj,. Tani le të llogarisim koordinatat e vektorit, atëherë shuma e koordinatave të vektorit që rezulton është e barabartë.

Përgjigje:

Tani zgjidhni vetë problemin e mëposhtëm:

· Gjeni shumën e koordinatave vektoriale

Ne kontrollojmë:

Le të shqyrtojmë tani problemin e mëposhtëm: kemi dy pika në planin koordinativ. Si të gjeni distancën midis tyre? Le të jetë pika e parë, dhe e dyta. Le të shënojmë distancën midis tyre me. Le të bëjmë vizatimin e mëposhtëm për qartësi:

Çfarë kam bërë? Para së gjithash, u lidha pika dhe gjithashtu nga një pikë kam vizatuar një drejtëz paralele me boshtin, dhe nga një pikë kam tërhequr një vijë paralele me boshtin. A u kryqëzuan në një pikë, duke formuar një figurë të jashtëzakonshme? Çfarë ka kaq të veçantë ajo? Po, unë dhe ti dimë pothuajse gjithçka trekëndësh kënddrejtë. Epo, me siguri teorema e Pitagorës. Segmenti i kërkuar është hipotenuza e këtij trekëndëshi, dhe segmentet janë këmbët. Cilat janë koordinatat e pikës? Po, ato janë të lehta për t'u gjetur nga fotografia: Meqenëse segmentet janë paralele me boshtet dhe, përkatësisht, gjatësitë e tyre janë të lehta për t'u gjetur: nëse shënojmë gjatësitë e segmenteve me, përkatësisht, atëherë

Tani le të përdorim teoremën e Pitagorës. Ne e dimë gjatësinë e këmbëve, do të gjejmë hipotenuzën:

Kështu, distanca midis dy pikave është rrënja e shumës së diferencave në katror nga koordinatat. Ose - distanca midis dy pikave është gjatësia e segmentit që i lidh ato.

Është e lehtë të shihet se distanca midis pikave nuk varet nga drejtimi. Pastaj:

Nga këtu nxjerrim tre përfundime:

Le të praktikojmë pak për llogaritjen e distancës midis dy pikave:

Për shembull, nëse, atëherë distanca ndërmjet dhe është e barabartë me

Ose le të shkojmë në një mënyrë tjetër: gjeni koordinatat e vektorit

Dhe gjeni gjatësinë e vektorit:

Siç mund ta shihni, është e njëjta gjë!

Tani praktikoni pak vetë:

Detyrë: gjeni distancën midis pikave të treguara:

Ne kontrollojmë:

Këtu janë disa probleme të tjera duke përdorur të njëjtën formulë, megjithëse tingëllojnë pak më ndryshe:

1. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës.

2. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës

1. Dhe kjo është për vëmendje) Më herët i kemi gjetur koordinatat e vektorëve: . Atëherë vektori ka koordinata. Katrori i gjatësisë së tij do të jetë i barabartë me:

2. Gjeni koordinatat e vektorit

Atëherë katrori i gjatësisë së tij është

Asgjë e komplikuar, apo jo? Aritmetikë e thjeshtë, asgjë më shumë.

Problemet e mëposhtme nuk mund të klasifikohen në mënyrë të qartë; erudicioni i përgjithshëm dhe aftësia për të vizatuar fotografi të thjeshta.

1. Gjeni sinusin e këndit në këndin nga prerja, duke lidhur pikën, me boshtin e abshisave.

Dhe

Si do të vazhdojmë këtu? Duhet të gjejmë sinusin e këndit ndërmjet dhe boshtit. Ku mund ta kërkojmë sinusin? Ashtu është, në një trekëndësh kënddrejtë. Pra, çfarë duhet të bëjmë? Ndërtoni këtë trekëndësh!

Meqenëse koordinatat e pikës janë dhe, atëherë segmenti është i barabartë me, dhe segmenti. Duhet të gjejmë sinusin e këndit. Më lejoni t'ju kujtoj se sinusi është një raport këmbën e kundërt në hipotenuzë, atëherë

Çfarë na mbetet të bëjmë? Gjeni hipotenuzën. Ju mund ta bëni këtë në dy mënyra: duke përdorur teoremën e Pitagorës (këmbët dihen!) ose duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave (në fakt, e njëjta gjë si metoda e parë!). Unë do të shkoj në rrugën e dytë:

Përgjigje:

Detyra tjetër do t'ju duket edhe më e lehtë. Ajo është në koordinatat e pikës.

Detyra 2. Nga pika per-pen-di-ku-lyar ulet në boshtin ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Le të bëjmë një vizatim:

Baza e një pingule është pika në të cilën ajo pret boshtin x (boshtin), për mua kjo është një pikë. Figura tregon se ka koordinata: . Ne jemi të interesuar për abscissa - domethënë komponentin "x". Ajo është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 3. Në kushtet e problemit të mëparshëm, gjeni shumën e distancave nga pika në boshtet koordinative.

Detyra është përgjithësisht elementare nëse e dini se sa është distanca nga një pikë në akset. E dini? Shpresoj, por gjithsesi ju kujtoj:

Pra, në vizatimin tim sipër, a kam vizatuar tashmë një pingul të tillë? Në cilin aks është? Tek boshti. Dhe sa është gjatësia e tij atëherë? Ajo është e barabartë. Tani vizatoni vetë një pingul me boshtin dhe gjeni gjatësinë e tij. Do të jetë e barabartë, apo jo? Atëherë shuma e tyre është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 4. Në kushtet e detyrës 2, gjeni ordinatën e pikës, pikë simetrike në raport me boshtin e abshisave.

Mendoj se është intuitivisht e qartë për ju se çfarë është simetria? Shumë objekte e kanë atë: shumë ndërtesa, tavolina, aeroplanë, shumë forma gjeometrike: top, cilindër, katror, ​​romb, etj. Përafërsisht, simetria mund të kuptohet si më poshtë: një figurë përbëhet nga dy (ose më shumë) gjysma identike. Kjo simetri quhet simetri boshtore. Çfarë është atëherë një bosht? Kjo është pikërisht linja përgjatë së cilës figura mund të "prehet" në gjysma të barabarta (në këtë foto boshti i simetrisë është i drejtë):

Tani le të kthehemi në detyrën tonë. Ne e dimë se ne jemi duke kërkuar për një pikë që është simetrike në lidhje me boshtin. Atëherë ky bosht është boshti i simetrisë. Kjo do të thotë që ne duhet të shënojmë një pikë të tillë që boshti të presë segmentin në dy pjesë të barabarta. Mundohuni ta shënoni vetë një pikë të tillë. Tani krahasojeni me zgjidhjen time:

A funksionoi në të njëjtën mënyrë për ju? Mirë! Na intereson ordinata e pikës së gjetur. Është e barabartë

Përgjigje:

Tani më thuaj, pasi të mendoj për disa sekonda, sa do të jetë abshisa e një pike simetrike me pikën A në lidhje me ordinatën? Cila është përgjigjja juaj? Përgjigja e saktë:.

Në përgjithësi, rregulli mund të shkruhet kështu:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e abshisës ka koordinatat:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e ordinatave ka koordinata:

Epo, tani është krejtësisht e frikshme detyrë: gjeni koordinatat e një pike simetrike me pikën në lidhje me origjinën. Ju fillimisht mendoni për veten tuaj, dhe më pas shikoni vizatimin tim!

Përgjigje:

Tani problema e paralelogramit:

Detyra 5: Pikat shfaqen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

Ju mund ta zgjidhni këtë problem në dy mënyra: logjika dhe metoda e koordinatave. Së pari do të përdor metodën e koordinatave dhe më pas do t'ju tregoj se si mund ta zgjidhni atë ndryshe.

Është mjaft e qartë se abshisa e pikës është e barabartë. (shtrihet në pingulën e tërhequr nga pika në boshtin e abshisës). Duhet të gjejmë ordinatorin. Le të përfitojmë nga fakti që figura jonë është një paralelogram, kjo do të thotë se. Le të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave:

Ne ulim pingulën që lidh pikën me boshtin. Unë do të shënoj pikën e kryqëzimit me një shkronjë.

Gjatësia e segmentit është e barabartë. (gjene problemin vetë ku diskutuam këtë pikë), atëherë do të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Gjatësia e një segmenti përkon saktësisht me ordinatat e tij.

Përgjigje: .

Një zgjidhje tjetër (do të jap vetëm një foto që e ilustron atë)

Përparimi i zgjidhjes:

1. Sjellja

2. Gjeni koordinatat e pikës dhe gjatësisë

3. Vërtetoni se.

Edhe një problemi i gjatësisë së segmentit:

Pikat shfaqen në krye të trekëndëshit. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj, paralele.

A ju kujtohet se çfarë është vija e mesme trekëndësh? Atëherë kjo detyrë është elementare për ju. Nëse nuk e mbani mend, atëherë do t'ju kujtoj: vija e mesme e një trekëndëshi është vija që lidh mesin. anët e kundërta. Është paralel me bazën dhe i barabartë me gjysmën e saj.

Baza është një segment. Duhet të kërkonim më herët gjatësinë e saj, është e barabartë. Atëherë gjatësia e vijës së mesme është gjysma e madhe dhe e barabartë.

Përgjigje: .

Koment: ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, të cilës do t'i drejtohemi pak më vonë.

Ndërkohë, këtu janë disa probleme për ju, praktikoni me to, ato janë shumë të thjeshta, por ju ndihmojnë të përmirësoheni në përdorimin e metodës së koordinatave!

1. Pikat janë në krye të tra-pe-tioneve. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj.

2. Pikat dhe paraqitjet ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

3. Gjeni gjatësinë nga prerja, duke lidhur pikën dhe

4. Gjeni zonën prapa figurës me ngjyrë në planin bashkërendues.

5. Një rreth me qendër në na-cha-le ko-or-di-nat kalon nëpër pikë. Gjeni ra-di-ne e saj.

6. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy për kënd-drejt-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or -di-na-je kaq-përgjegjës.

Zgjidhjet:

1. Dihet se vija e mesme e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij. Baza është e barabartë, dhe baza. Pastaj

Përgjigje:

2. Mënyra më e lehtë për të zgjidhur këtë problem është të vërehet se (rregulli paralelogram). Llogaritja e koordinatave të vektorëve nuk është e vështirë: . Kur shtohen vektorë, shtohen koordinatat. Pastaj ka koordinata. Këto koordinata i ka edhe pika, pasi origjina e vektorit është pika me koordinatat. Na intereson ordinata. Ajo është e barabartë.

Përgjigje:

3. Ne veprojmë menjëherë sipas formulës për distancën midis dy pikave:

Përgjigje:

4. Shikoni foton dhe më tregoni se në cilat dy figura është “sandwiched” zona me hije? Është vendosur në mes të dy katrorëve. Atëherë sipërfaqja e figurës së dëshiruar është e barabartë me sipërfaqen e sheshit të madh minus sipërfaqen e atij të vogël. Ana e një katrori të vogël është një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të vogël është

Ne bëjmë të njëjtën gjë me një katror të madh: ana e tij është një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të madh është

Ne gjejmë zonën e figurës së dëshiruar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

5. Nëse një rreth ka origjinën si qendër dhe kalon nëpër një pikë, atëherë rrezja e tij do të jetë saktësisht e barabartë me gjatësinë e segmentit (bëni një vizatim dhe do të kuptoni pse kjo është e qartë). Le të gjejmë gjatësinë e këtij segmenti:

Përgjigje:

6. Dihet se rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi është e barabartë me gjysmën e diagonales së tij. Le të gjejmë gjatësinë e cilësdo prej dy diagonaleve (në fund të fundit, në një drejtkëndësh ato janë të barabarta!)

Përgjigje:

Epo, a keni përballuar gjithçka? Nuk ishte shumë e vështirë për ta kuptuar, apo jo? Ekziston vetëm një rregull këtu - të jeni në gjendje të bëni një pamje vizuale dhe thjesht të "lexoni" të gjitha të dhënat prej saj.

Na ka mbetur shumë pak. Ka fjalë për fjalë edhe dy pika të tjera që unë do të doja të diskutoja.

Le të përpiqemi të zgjidhim këtë problem të thjeshtë. Lërini dy pikë dhe jepen. Gjeni koordinatat e mesit të segmentit. Zgjidhja e këtij problemi është si më poshtë: le të jetë pika mesi i dëshiruar, atëherë ajo ka koordinata:

Kjo është: koordinatat e mesit të segmentit = mesatarja aritmetike e koordinatave përkatëse të skajeve të segmentit.

Ky rregull është shumë i thjeshtë dhe zakonisht nuk shkakton vështirësi për studentët. Le të shohim në cilat probleme dhe si përdoret:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point dhe

2. Pikat duket se janë majat e botës. Gjej-di-te or-di-na-tu pikat per-re-se-che-niya e tij dia-go-na-ley.

3. Gjej-di-te abs-cis-su qendrën e rrethit, përshkruaj-san-noy rreth drejtkëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë bashkë-or-di-na-ju aq-përgjegjshëm-por.

Zgjidhjet:

1. Problemi i parë është thjesht një klasik. Ne vazhdojmë menjëherë me përcaktimin e mesit të segmentit. Ka koordinata. Ordinata është e barabartë.

Përgjigje:

2. Është e lehtë të shihet se ky katërkëndësh është një paralelogram (madje edhe një romb!). Këtë mund ta vërtetoni vetë duke llogaritur gjatësinë e anëve dhe duke i krahasuar ato me njëra-tjetrën. Çfarë di unë për paralelogramet? Diagonalet e saj ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit! Po! Pra, cila është pika e kryqëzimit të diagonaleve? Kjo është mesi i ndonjë prej diagonaleve! Unë do të zgjedh, në veçanti, diagonalen. Atëherë pika ka koordinata Ordinata e pikës është e barabartë me.

Përgjigje:

3. Me çfarë përkon qendra e rrethit të rrethuar rreth drejtkëndëshit? Ajo përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve të saj. Çfarë dini për diagonalet e një drejtkëndëshi? Ato janë të barabarta dhe pika e kryqëzimit i ndan në gjysmë. Detyra u reduktua në atë të mëparshme. Le të marrim, për shembull, diagonalen. Atëherë nëse është qendra e rrethit, atëherë është pika e mesit. Kërkoj koordinata: Abshisa është e barabartë.

Përgjigje:

Tani praktikoni pak vetë, unë thjesht do të jap përgjigjet për çdo problem në mënyrë që të mund të provoni veten.

1. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or-di -on-ju.

2. Gjeni-di-te ose-di-në-atë qendër të rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-no-ka, majat e të cilit kanë koordinata

3. Çfarë lloj ra-di-u-sa duhet të ketë një rreth me qendër në një pikë në mënyrë që t'i përgjigjet boshtit ab-ciss?

4. Gjeni-di-ato ose-di-në-atë pikë të rishikimit të boshtit dhe prej-prerjes, lidhni-pikën dhe

Përgjigjet:

A ishte gjithçka e suksesshme? Unë me të vërtetë shpresoj kështu! Tani - shtytja e fundit. Tani jini veçanërisht të kujdesshëm. Materiali që do të shpjegoj tani lidhet drejtpërdrejt jo vetëm me detyra të thjeshta te metoda e koordinatave nga pjesa B, por gjendet edhe kudo në problemën C2.

Cilin nga premtimet e mia nuk i kam mbajtur ende? Mbani mend se çfarë operacionesh mbi vektorët kam premtuar të prezantoj dhe cilët në fund kam prezantuar? Je i sigurt se nuk kam harruar asgjë? Harrove! Kam harruar të shpjegoj se çfarë do të thotë shumëzimi i vektorëve.

Ka dy mënyra për të shumëzuar një vektor me një vektor. Në varësi të metodës së zgjedhur, do të marrim objekte të natyrave të ndryshme:

Produkti kryq është bërë mjaft me zgjuarsi. Ne do të diskutojmë se si ta bëjmë atë dhe pse është e nevojshme në artikullin vijues. Dhe në këtë do të përqendrohemi në produktin skalar.

Ka dy mënyra që na lejojnë ta llogarisim atë:

Siç e keni menduar, rezultati duhet të jetë i njëjtë! Pra, le të shohim së pari metodën e parë:

Produkti me pika nëpërmjet koordinatave

Gjeni: - shënimin e pranuar përgjithësisht për produktin skalar

Formula për llogaritjen është si më poshtë:

Domethënë prodhimi skalar = shuma e prodhimeve të koordinatave vektoriale!

Shembull:

Gjej-di-te

Zgjidhja:

Le të gjejmë koordinatat e secilit prej vektorëve:

Ne llogarisim produktin skalar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

Shihni, absolutisht asgjë e komplikuar!

Epo, tani provojeni vetë:

· Gjeni një pro-iz-ve-de-nie skalar të shekujve dhe

A ia dolët? Ndoshta keni vënë re një kapje të vogël? Le të kontrollojmë:

Koordinatat vektoriale, si në problemin e mëparshëm! Përgjigje:.

Përveç asaj koordinative, ekziston një mënyrë tjetër për të llogaritur produktin skalar, domethënë, përmes gjatësive të vektorëve dhe kosinusit të këndit midis tyre:

Shënon këndin ndërmjet vektorëve dhe.

Kjo do të thotë, prodhimi skalar është i barabartë me prodhimin e gjatësive të vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre.

Pse na duhet kjo formulë e dytë, nëse kemi të parën, e cila është shumë më e thjeshtë, të paktën nuk ka kosinus në të. Dhe është e nevojshme në mënyrë që nga formula e parë dhe e dytë, ju dhe unë të nxjerrim përfundimin se si të gjejmë këndin midis vektorëve!

Le të kujtojmë pastaj formulën për gjatësinë e vektorit!

Pastaj nëse i zëvendësoj këto të dhëna në formulën e produktit skalar, marr:

Por nga ana tjetër:

Pra, çfarë morëm unë dhe ti? Tani kemi një formulë që na lejon të llogarisim këndin midis dy vektorëve! Ndonjëherë shkruhet edhe kështu për shkurtësi:

Kjo do të thotë, algoritmi për llogaritjen e këndit midis vektorëve është si më poshtë:

1. Llogaritni produktin skalar përmes koordinatave
2. Gjeni gjatësitë e vektorëve dhe shumëzojini ato
3. Pjestoni rezultatin e pikës 1 me rezultatin e pikës 2

Le të praktikojmë me shembuj:

1. Gjeni këndin midis qepallave dhe. Jepni përgjigjen në grad-du-sah.

2. Në kushtet e problemës së mëparshme, gjeni kosinusin ndërmjet vektorëve

Le të bëjmë këtë: Unë do t'ju ndihmoj të zgjidhni problemin e parë, dhe të dytin përpiquni ta bëni vetë! Dakord? Atëherë le të fillojmë!

1. Këta vektorë janë miqtë tanë të vjetër. Ne kemi llogaritur tashmë produktin e tyre skalar dhe ishte i barabartë. Koordinatat e tyre janë: , . Pastaj gjejmë gjatësinë e tyre:

Pastaj kërkojmë kosinusin midis vektorëve:

Sa është kosinusi i këndit? Ky është këndi.

Përgjigje:

Epo, tani zgjidhe vetë problemin e dytë, dhe pastaj krahaso! Unë do të jap vetëm një zgjidhje shumë të shkurtër:

2. ka koordinata, ka koordinata.

Le të jetë këndi ndërmjet vektorëve dhe, pastaj

Përgjigje:

Duhet të theksohet se problemet drejtpërdrejt në vektorët dhe metoda e koordinatave në pjesën B fletë provimi mjaft e rrallë. Megjithatë, shumica dërrmuese e problemeve C2 mund të zgjidhen lehtësisht duke futur një sistem koordinativ. Kështu që mund ta konsideroni këtë artikull si themelin mbi bazën e të cilit do të bëjmë ndërtime mjaft të zgjuara që do të na duhet t'i zgjidhim detyra komplekse.

KOORDINATA DHE VEKTORËT. NIVELI MESATAR

Ju dhe unë vazhdojmë të studiojmë metodën e koordinatave. Në pjesën e fundit kemi nxjerrë një seri formula të rëndësishme, të cilat lejojnë:

1. Gjeni koordinatat vektoriale
2. Gjeni gjatësinë e një vektori (në mënyrë alternative: distancën midis dy pikave)
3. Shtoni dhe zbritni vektorë. Shumëzojini ato me numër real
4. Gjeni pikën e mesit të një segmenti
5. Llogaritni produktin me pika të vektorëve
6. Gjeni këndin ndërmjet vektorëve

Sigurisht, e gjithë metoda e koordinatave nuk përshtatet në këto 6 pika. Ajo qëndron në themel të një shkence të tillë si gjeometria analitike, me të cilën do të njiheni në universitet. Unë thjesht dua të ndërtoj një themel që do t'ju lejojë të zgjidhni problemet në një shtet të vetëm. provim. Ne jemi marrë me detyrat e pjesës B. Tani është koha për të kaluar në cilësi të lartë nivel i ri! Ky artikull do t'i kushtohet një metode për zgjidhjen e atyre problemeve C2 në të cilat do të ishte e arsyeshme kalimi në metodën e koordinatave. Kjo arsyeshmëri përcaktohet nga ajo që kërkohet të gjendet në problem dhe cila shifër është dhënë. Pra, do të përdorja metodën e koordinatave nëse pyetjet janë:

1. Gjeni këndin midis dy rrafsheve
2. Gjeni këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi
3. Gjeni këndin midis dy vijave të drejta
4. Gjeni distancën nga një pikë në një plan
5. Gjeni distancën nga një pikë në një vijë
6. Gjeni distancën nga një vijë e drejtë në një plan
7. Gjeni distancën midis dy rreshtave

Nëse figura e dhënë në deklaratën e problemit është një trup rrotullues (top, cilindër, kon...)

Shifrat e përshtatshme për metodën e koordinatave janë:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Piramida (trekëndore, katërkëndore, gjashtëkëndore)

Gjithashtu nga përvoja ime është e papërshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për:

1. Gjetja e zonave të prerjeve tërthore
2. Llogaritja e vëllimeve të trupave

Sidoqoftë, duhet të theksohet menjëherë se tre situatat "të pafavorshme" për metodën e koordinatave janë mjaft të rralla në praktikë. Në shumicën e detyrave, ai mund të bëhet shpëtimtari juaj, veçanërisht nëse nuk jeni shumë të fortë ndërtime tredimensionale(që ndonjëherë mund të jetë mjaft e ndërlikuar).

Cilat janë të gjitha shifrat që rendita më sipër? Ata nuk janë më të sheshtë, si, për shembull, një katror, ​​një trekëndësh, një rreth, por voluminoze! Prandaj, ne duhet të konsiderojmë jo dy-dimensionale, por sistemi tredimensional koordinatat Është mjaft e lehtë për t'u ndërtuar: vetëm përveç boshtit të abshisës dhe të ordinatave, do të prezantojmë një bosht tjetër, boshtin aplikativ. Figura tregon në mënyrë skematike pozicionin e tyre relativ:

Të gjitha ato janë pingul dhe kryqëzohen në një pikë, të cilën do ta quajmë origjina e koordinatave. Si më parë, do të shënojmë boshtin e abshisave, boshtin e ordinatave - , dhe boshtin aplikativ të futur - .

Nëse më parë secila pikë në rrafsh karakterizohej nga dy numra - abshisa dhe ordinata, atëherë çdo pikë në hapësirë ​​përshkruhet tashmë nga tre numra - abshisa, ordinata dhe aplikanti. Për shembull:

Prandaj, abshisa e një pike është e barabartë, ordinata është , dhe aplikuesi është .

Ndonjëherë abshisa e një pike quhet edhe projeksioni i një pike në boshtin e abshisës, ordinata - projeksioni i një pike mbi boshtin e ordinatave dhe aplikativi - projeksioni i një pike në boshtin aplikativ. Prandaj, nëse jepet një pikë, atëherë një pikë me koordinata:

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

Shtrohet një pyetje e natyrshme: a janë të vlefshme në hapësirë ​​të gjitha formulat e nxjerra për rastin dydimensional? Përgjigja është po, ata janë të drejtë dhe kanë të njëjtën pamje. Për një detaj të vogël. Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend se cila është. Në të gjitha formulat do të duhet të shtojmë një term tjetër përgjegjës për boshtin aplikativ. Domethënë.

1. Nëse jepen dy pikë: , atëherë:

• Koordinatat e vektorit:
• Distanca midis dy pikave (ose gjatësia vektoriale)
• Mesi i segmentit ka koordinata

2. Nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë:

• Produkti i tyre skalar është i barabartë me:
• Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve është i barabartë me:

Megjithatë, hapësira nuk është aq e thjeshtë. Siç e kuptoni, shtimi i një koordinate më shumë sjell diversitet të konsiderueshëm në spektrin e figurave që "jetojnë" në këtë hapësirë. Dhe për rrëfim të mëtejshëm do të më duhet të prezantoj disa, përafërsisht, "përgjithësim" të vijës së drejtë. Ky "përgjithësim" do të jetë një plan. Çfarë dini për aeroplanin? Mundohuni t'i përgjigjeni pyetjes, çfarë është një aeroplan? Është shumë e vështirë të thuhet. Sidoqoftë, ne të gjithë intuitivisht imagjinojmë se si duket:

Përafërsisht, kjo është një lloj "fletë" e pafund e mbërthyer në hapësirë. "Pafundësia" duhet të kuptohet se avioni shtrihet në të gjitha drejtimet, domethënë zona e tij është e barabartë me pafundësinë. Megjithatë, ky shpjegim “praktik” nuk jep as idenë më të vogël për strukturën e aeroplanit. Dhe është ajo që do të interesohet për ne.

Le të kujtojmë një nga aksiomat themelore të gjeometrisë:

• një vijë e drejtë kalon nëpër dy pika të ndryshme në një plan, dhe vetëm një:

Ose analogu i tij në hapësirë:

Sigurisht, ju mbani mend se si të nxirrni ekuacionin e një linje nga dy pika të dhëna, nuk është aspak e vështirë: nëse pika e parë ka koordinata: dhe e dyta, atëherë ekuacioni i vijës do të jetë si më poshtë:

Ju e morët këtë në klasën e 7-të. Në hapësirë, ekuacioni i një drejtëze duket kështu: le të na jepen dy pika me koordinata: , atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër to ka formën:

Për shembull, një vijë kalon nëpër pika:

Si duhet kuptuar kjo? Kjo duhet kuptuar si më poshtë: një pikë shtrihet në një vijë nëse koordinatat e saj plotësojnë sistemin e mëposhtëm:

Ne nuk do të jemi shumë të interesuar për ekuacionin e vijës, por duhet t'i kushtojmë vëmendje shumë koncept i rëndësishëm vektori drejtues drejtvizore. - çdo vektor jozero që shtrihet në një vijë të caktuar ose paralel me të.

Për shembull, të dy vektorët janë vektorë të drejtimit të një vije të drejtë. Le të jetë një pikë e shtrirë në një vijë dhe le të jetë vektori i drejtimit të saj. Atëherë ekuacioni i rreshtit mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

Edhe një herë, nuk do të jem shumë i interesuar për ekuacionin e një vije të drejtë, por me të vërtetë kam nevojë që ju të mbani mend se çfarë është vektori i drejtimit! Përsëri: ky është NDONJE vektor jozero që shtrihet në një vijë ose paralel me të.

Tërhiqet ekuacioni i një rrafshi bazuar në tre pika të dhëna nuk është më aq e parëndësishme, dhe zakonisht kjo çështje nuk trajtohet në kurs shkolla e mesme. Por më kot! Kjo teknikë është jetike kur ne i drejtohemi metodës së koordinatave për të zgjidhur probleme komplekse. Megjithatë, supozoj se jeni të etur për të mësuar diçka të re? Për më tepër, do të jeni në gjendje t'i bëni përshtypje mësuesit tuaj në universitet kur të rezulton se tashmë dini të përdorni një teknikë që zakonisht studiohet në një kurs gjeometrie analitike. Pra, le të fillojmë.

Ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një vije të drejtë në një aeroplan, domethënë, ai ka formën:

disa numra (jo të gjithë të barabartë me zero), por variabla, për shembull: etj. Siç mund ta shihni, ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një drejtëze (funksioni linear). Megjithatë, ju kujtohet se çfarë grindëm unë dhe ju? Thamë se nëse kemi tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë ekuacioni i rrafshit mund të rindërtohet në mënyrë unike prej tyre. Por si? Do të përpiqem t'jua shpjegoj.

Meqenëse ekuacioni i aeroplanit është:

Dhe pikat i përkasin këtij rrafshi, atëherë kur zëvendësojmë koordinatat e secilës pikë në ekuacionin e rrafshit, duhet të marrim identitetin e saktë:

Kështu, lind nevoja për të zgjidhur tre ekuacione me të panjohura! Dilema! Sidoqoftë, gjithmonë mund të supozoni se (për ta bërë këtë ju duhet të ndani me). Kështu, marrim tre ekuacione me tre të panjohura:

Sidoqoftë, ne nuk do ta zgjidhim një sistem të tillë, por do të shkruajmë shprehjen misterioze që rrjedh prej tij:

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tri pika të dhëna

\[\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \djathtas| = 0\]

Ndalo! Çfarë është kjo? Një modul shumë i pazakontë! Sidoqoftë, objekti që shihni përpara jush nuk ka asnjë lidhje me modulin. Ky objekt quhet përcaktor i rendit të tretë. Që tani e tutje, kur merreni me metodën e koordinatave në një rrafsh, shumë shpesh do të ndesheni me të njëjtat përcaktorë. Çfarë është një përcaktues i rendit të tretë? Mjaft e çuditshme, është vetëm një numër. Mbetet për të kuptuar se cilin numër specifik do të krahasojmë me përcaktorin.

Le të shkruajmë fillimisht përcaktorin e rendit të tretë në një formë më të përgjithshme:

Ku janë disa numra. Për më tepër, me indeksin e parë nënkuptojmë numrin e rreshtit, dhe me indeksin kuptojmë numrin e kolonës. Për shembull, do të thotë se numri i dhënë qëndron në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë. Le ta veshim pyetjen e radhës: Si do ta llogarisim saktësisht një përcaktor të tillë? Kjo do të thotë, çfarë numri specifik do të krahasojmë me të? Për përcaktuesin e rendit të tretë ekziston një rregull trekëndëshi heuristik (vizual), ai duket kështu:

1. Prodhimi i elementeve të diagonales kryesore (nga këndi i sipërm majtas në këndin e poshtëm djathtas) produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingul" me diagonalen kryesore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale kryesore
2. Prodhimi i elementeve të diagonales dytësore (nga këndi i sipërm i djathtë në të majtë të poshtëm) prodhimi i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingulor" me diagonalen dytësore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale dytësore
3. Pastaj përcaktorja e barabartë me diferencën vlerat e marra në hap dhe

Nëse i shkruajmë të gjitha këto në numra, marrim shprehjen e mëposhtme:

Sidoqoftë, nuk keni nevojë të mbani mend metodën e llogaritjes në këtë formë, mjafton të mbani në kokë trekëndëshat dhe vetë idenë se çfarë shtohet me atë dhe çfarë zbritet më pas nga çfarë).

Le të ilustrojmë metodën e trekëndëshit me një shembull:

1. Llogaritni përcaktorin:

Le të kuptojmë se çfarë shtojmë dhe çfarë zbresim:

Kushtet që vijnë me një plus:

Kjo është diagonalja kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Termat që vijnë me një minus

Kjo është një diagonale anësore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, “pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, “pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të zbritet shuma e termave "plus" nga shuma e termave "minus":

Kështu,

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar apo të mbinatyrshme në llogaritjen e përcaktuesve të rendit të tretë. Është e rëndësishme vetëm të mbani mend trekëndëshat dhe të mos bëni gabime aritmetike. Tani përpiquni ta llogaritni vetë:

Detyrë: gjeni distancën midis pikave të treguara:

1. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen kryesore:
2. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen kryesore:
3. Shuma e termave me plus:
4. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen dytësore:
5. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen anësore:
6. Shuma e termave me minus:
7. Shuma e termave me një plus minus shumën e termave me një minus:

Këtu janë disa përcaktues të tjerë, llogaritni vetë vlerat e tyre dhe krahasoni ato me përgjigjet:

Përgjigjet:

Epo, a përkoi gjithçka? E shkëlqyeshme, atëherë mund të vazhdoni! Nëse ka vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: në internet ka shumë programe për llogaritjen e përcaktuesit në internet. Gjithçka që ju nevojitet është të gjeni përcaktuesin tuaj, ta llogarisni vetë dhe më pas ta krahasoni me atë që llogarit programi. Dhe kështu me radhë derisa rezultatet të fillojnë të përkojnë. Jam i sigurt se ky moment nuk do të zgjasë shumë për të mbërritur!

Tani le të kthehemi te përcaktorja që shkrova kur fola për ekuacionin e një avioni që kalon nëpër tre pikë të dhëna:

Gjithçka që ju nevojitet është të llogarisni vlerën e tij drejtpërdrejt (duke përdorur metodën e trekëndëshit) dhe ta vendosni rezultatin në zero. Natyrisht, duke qenë se këto janë variabla, do të merrni një shprehje që varet prej tyre. Është kjo shprehje që do të jetë ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz!

Le ta ilustrojmë këtë me një shembull të thjeshtë:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër pika

Ne përpilojmë një përcaktues për këto tre pika:

Le të thjeshtojmë:

Tani e llogarisim drejtpërdrejt duke përdorur rregullin e trekëndëshit:

\[(\majtas| (\fillimi(grupi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\fundi(grupi)) \ djathtas|. = \majtas((x + 3) \djathtas) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \djathtas) + \majtas((y - 2) \djathtas) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Kështu, ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pika është:

Tani përpiquni ta zgjidhni vetë një problem, dhe më pas do ta diskutojmë:

2. Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pika

Epo, le të diskutojmë tani zgjidhjen:

Le të krijojmë një përcaktues:

Dhe llogaritni vlerën e tij:

Atëherë ekuacioni i rrafshit ka formën:

Ose, duke reduktuar, marrim:

Tani dy detyra për vetëkontroll:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika:

Përgjigjet:

A përkoi gjithçka? Përsëri, nëse ka disa vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: merrni tre pikë nga koka juaj (me në një masë të madhe shanset janë që ata të mos shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë), ju ndërtoni një aeroplan bazuar në to. Dhe pastaj kontrolloni veten në internet. Për shembull, në sit:

Megjithatë, me ndihmën e përcaktorëve do të ndërtojmë jo vetëm ekuacionin e rrafshit. Mbani mend, ju thashë se jo vetëm produkti me pika përcaktohet për vektorët. Ekziston edhe një produkt vektor, si dhe një produkt i përzier. Dhe nëse prodhimi skalar i dy vektorëve është një numër, atëherë prodhimi vektorial i dy vektorëve do të jetë një vektor, dhe ky vektor do të jetë pingul me ato të dhëna:

Për më tepër, moduli i tij do të jetë e barabartë me sipërfaqen paralelogrami i ndërtuar mbi vektorë dhe. Ky vektor Do të na duhet për të llogaritur distancën nga një pikë në një vijë. Si mund të numërojmë? produkt vektorial vektorët dhe, nëse jepen koordinatat e tyre? Na vjen sërish në ndihmë përcaktori i rendit të tretë. Megjithatë, përpara se të kaloj në algoritmin për llogaritjen e produktit të vektorit, duhet të bëj një digresion të vogël.

Ky digresion ka të bëjë me vektorët bazë.

Ato janë paraqitur në mënyrë skematike në figurë:

Pse mendoni se quhen bazë? Çështja është se:

Ose në foto:

Vlefshmëria e kësaj formule është e qartë, sepse:

Vepra arti vektoriale

Tani mund të filloj të prezantoj produktin kryq:

Produkti vektorial i dy vektorëve është një vektor, i cili llogaritet sipas rregullit të mëposhtëm:

Tani le të japim disa shembuj të llogaritjes së produktit kryq:

Shembulli 1: Gjeni prodhimin kryq të vektorëve:

Zgjidhja: Unë krijoj një përcaktor:

Dhe unë e llogaris atë:

Tani nga shkrimi përmes vektorëve bazë, do të kthehem te shënimi i zakonshëm i vektorit:

Kështu:

Tani provojeni.

Gati? Ne kontrollojmë:

Dhe tradicionalisht dy detyrat për kontroll:

1. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:
2. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:

Përgjigjet:

Produkt i përzier i tre vektorëve

Ndërtimi i fundit që do të më duhet është prodhimi i përzier i tre vektorëve. Ai, si një skalar, është një numër. Ka dy mënyra për ta llogaritur atë. - përmes një përcaktori, - përmes një produkti të përzier.

Domethënë, le të na jepen tre vektorë:

Atëherë produkti i përzier i tre vektorëve, i shënuar me, mund të llogaritet si:

1. - domethënë prodhimi i përzier është prodhimi skalar i një vektori dhe prodhimi vektorial i dy vektorëve të tjerë.

Për shembull, produkti i përzier i tre vektorëve është:

Mundohuni ta llogaritni vetë duke përdorur produktin vektor dhe sigurohuni që rezultatet përputhen!

Dhe përsëri, dy shembuj për zgjidhje të pavarura:

Përgjigjet:

Zgjedhja e një sistemi koordinativ

Epo, tani ne kemi të gjitha bazat e nevojshme të njohurive për të zgjidhur problemet komplekse të gjeometrisë stereometrike. Sidoqoftë, përpara se të vazhdoj drejtpërdrejt me shembujt dhe algoritmet për zgjidhjen e tyre, besoj se do të jetë e dobishme të ndalemi në pyetjen e mëposhtme: si saktësisht zgjidhni një sistem koordinativ për një figurë të caktuar. Në fund të fundit, kjo është zgjedhja pozicioni relativ sistemet e koordinatave dhe format në hapësirë ​​do të përcaktojnë përfundimisht se sa të vështira do të jenë llogaritjet.

Më lejoni t'ju kujtoj se në këtë seksion kemi parasysh figurat e mëposhtme:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Prizma e drejtë (trekëndore, gjashtëkëndore...)
3. Piramida (trekëndore, katërkëndore)
4. Tetrahedron (njëlloj si piramida trekëndore)

Për një paralelipiped ose kub drejtkëndor, ju rekomandoj ndërtimin e mëposhtëm:

Kjo do të thotë, unë do ta vendos figurën "në qoshe". Kubi dhe paralelepiped janë figura shumë të mira. Për ta, ju gjithmonë mund të gjeni lehtësisht koordinatat e kulmeve të saj. Për shembull, nëse (siç tregohet në foto)

atëherë koordinatat e kulmeve janë si më poshtë:

Sigurisht, nuk keni nevojë ta mbani mend këtë, por këshillohet të mbani mend se si të vendosni më mirë një kub ose paralelipiped drejtkëndor.

Prizma e drejtë

Prizma është një figurë më e dëmshme. Mund të pozicionohet në hapësirë ​​në mënyra të ndryshme. Sidoqoftë, opsioni i mëposhtëm më duket më i pranueshëm:

Prizma trekëndore:

Kjo do të thotë, ne vendosim njërën nga anët e trekëndëshit tërësisht në bosht, dhe një nga kulmet përkon me origjinën e koordinatave.

Prizma gjashtëkëndore:

Kjo do të thotë, një nga kulmet përkon me origjinën, dhe një nga anët shtrihet në bosht.

Piramida katërkëndore dhe gjashtëkëndore:

Situata është e ngjashme me një kub: ne rreshtojmë dy anët e bazës me boshtet e koordinatave dhe rreshtojmë njërën nga kulmet me origjinën e koordinatave. E vetmja vështirësi e vogël do të jetë llogaritja e koordinatave të pikës.

Për një piramidë gjashtëkëndore - njësoj si për një prizëm gjashtëkëndor. Detyra kryesore do të jetë përsëri gjetja e koordinatave të kulmit.

Tetrahedron (piramida trekëndore)

Situata është shumë e ngjashme me atë që dhashë për një prizëm trekëndësh: një kulm përkon me origjinën, njëra anë shtrihet në boshtin koordinativ.

Epo, tani ju dhe unë jemi më në fund afër fillimit të zgjidhjes së problemeve. Nga ajo që thashë në fillim të artikullit, mund të nxirrni përfundimin e mëposhtëm: shumica e problemeve C2 ndahen në 2 kategori: problemet e këndit dhe problemet e distancës. Së pari, do të shqyrtojmë problemet e gjetjes së një këndi. Nga ana tjetër, ato ndahen në kategoritë e mëposhtme (me rritjen e kompleksitetit):

Probleme për gjetjen e këndeve

1. Gjetja e këndit midis dy vijave të drejta
2. Gjetja e këndit midis dy rrafsheve

Le t'i shikojmë këto probleme në mënyrë sekuenciale: le të fillojmë duke gjetur këndin midis dy vijave të drejta. Epo, mbani mend, a nuk kemi zgjidhur ju dhe unë shembuj të ngjashëm më parë? A ju kujtohet, ne kishim tashmë diçka të ngjashme... Po kërkonim këndin midis dy vektorëve. Më lejoni t'ju kujtoj, nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë këndi ndërmjet tyre gjendet nga relacioni:

Tani qëllimi ynë është të gjejmë këndin midis dy vijave të drejta. Le të shohim "fotografinë e sheshtë":

Sa kënde kemi marrë kur kryqëzohen dy drejtëza? Vetëm disa gjëra. Vërtetë, vetëm dy prej tyre janë të pabarabarta, ndërsa të tjerët janë vertikale ndaj tyre (dhe për këtë arsye përkojnë me to). Pra, cilin kënd duhet të marrim parasysh këndin ndërmjet dy vijave të drejta: apo? Këtu rregulli është: këndi ndërmjet dy vijave të drejta nuk është gjithmonë më shumë se gradë. Domethënë, nga dy kënde do të zgjedhim gjithmonë këndin me më të voglin masë shkallë. Kjo do të thotë, në këtë foto këndi midis dy vijave të drejta është i barabartë. Për të mos u shqetësuar çdo herë për të gjetur këndin më të vogël nga dy këndet, matematikanët dinakë sugjeruan përdorimin e një moduli. Kështu, këndi midis dy vijave të drejta përcaktohet nga formula:

Ju, si një lexues i vëmendshëm, duhet të kishit një pyetje: nga i marrim saktësisht këta numra që na nevojiten për të llogaritur kosinusin e një këndi? Përgjigje: do t'i marrim nga vektorët e drejtimit të vijave! Kështu, algoritmi për gjetjen e këndit midis dy vijave të drejta është si më poshtë:

1. Ne aplikojmë formulën 1.

Ose më në detaje:

1. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së parë
2. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së dytë
3. Ne llogarisim modulin e produktit të tyre skalar
4. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të parë
5. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të dytë
6. Shumëzoni rezultatet e pikës 4 me rezultatet e pikës 5
7. Rezultatin e pikës 3 e ndajmë me rezultatin e pikës 6. Marrim kosinusin e këndit ndërmjet vijave
8. Nëse ky rezultat na lejon të llogarisim me saktësi këndin, ne e kërkojmë atë
9. Përndryshe shkruajmë përmes kosinusit të harkut

Epo, tani është koha për të kaluar te problemet: Unë do të demonstroj zgjidhjen për dy të parat në detaje, do t'ia paraqes zgjidhjen një tjetri në shkurtimisht, dhe për dy problemet e fundit unë do të jap vetëm përgjigje, ju duhet t'i kryeni vetë të gjitha llogaritjet për to.

Detyrat:

1. Në tet-ra-ed-re të djathtë, gjeni këndin ndërmjet lartësisë së tet-ra-ed-ra dhe anës së mesme.

2. Në krahun e djathtë gjashtëkëndor pi-ra-mi-de, njëqind os-no-va-niya janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta, gjeni këndin midis vijave dhe.

3. Gjatesite e te gjitha skajeve te pi-ra-mi-dy te djathta kater-thymyr jane te barabarta me njera-tjetren. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave dhe nëse nga prerja - jeni me pi-ra-mi-dy të dhënë, pika është se-re-di-në brinjët e saj bo-co- të dyta.

4. Në buzë të kubit ka një pikë në mënyrë që Gjeni këndin midis drejtëzave dhe

5. Pika - në skajet e kubit Gjeni këndin ndërmjet vijave të drejta dhe.

Nuk është rastësi që i kam rregulluar detyrat në këtë mënyrë. Ndërsa nuk keni pasur ende kohë të filloni të lundroni në metodën e koordinatave, unë vetë do të analizoj shifrat më "problematike" dhe do t'ju lë të merreni me kubin më të thjeshtë! Gradualisht do të duhet të mësoni se si të punoni me të gjitha figurat. Unë do të rris kompleksitetin e detyrave nga tema në temë.

Le të fillojmë të zgjidhim problemet:

1. Vizatoni një katërkëndor, vendoseni në sistemin e koordinatave siç sugjerova më parë. Meqenëse tetraedri është i rregullt, atëherë të gjitha fytyrat e tij (përfshirë bazën) janë trekëndëshat e rregullt. Meqenëse nuk na jepet gjatësia e anës, mund ta marr të barabartë. Unë mendoj se ju e kuptoni se këndi në të vërtetë nuk do të varet nga sa "shtrihet" tetraedri ynë?. Do të vizatoj gjithashtu lartësinë dhe mesataren në katërkëndor. Gjatë rrugës, unë do të vizatoj bazën e saj (do të jetë gjithashtu e dobishme për ne).

Më duhet të gjej këndin midis dhe. Çfarë dimë ne? Ne dimë vetëm koordinatat e pikës. Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë koordinatat e pikave. Tani mendojmë: një pikë është pika e kryqëzimit të lartësive (ose përgjysmuesve ose medianave) të trekëndëshit. Dhe një pikë është një pikë e ngritur. Pika është mesi i segmentit. Atëherë më në fund duhet të gjejmë: koordinatat e pikave: .

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë: koordinatat e pikës. Shikoni figurën: Është e qartë se aplikimi i një pike është i barabartë me zero (pika shtrihet në rrafsh). Ordinata e saj është e barabartë (pasi është mediana). Është më e vështirë të gjesh abshisën e saj. Megjithatë, kjo bëhet lehtësisht bazuar në teoremën e Pitagorës: Konsideroni një trekëndësh. Hipotenuza e saj është e barabartë dhe njëra nga këmbët e saj është e barabartë Atëherë:

Më në fund kemi: .

Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se aplikimi i saj është përsëri i barabartë me zero, dhe ordinata e tij është e njëjtë me atë të një pike, d.m.th. Le të gjejmë abshisën e saj. Kjo bëhet në mënyrë të parëndësishme nëse e mbani mend atë lartësitë trekëndësh barabrinjës pika e kryqëzimit ndahet në proporcion, duke numëruar nga lart. Meqenëse: , atëherë abshisa e kërkuar e pikës është e barabartë me gjatësinë segmenti është i barabartë me: . Kështu, koordinatat e pikës janë:

Le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatat e pikës. Dhe aplikacioni është i barabartë me gjatësinë e segmentit. - kjo është një nga këmbët e trekëndëshit. Hipotenuza e një trekëndëshi është një segment - një këmbë. Kërkohet për arsye që i kam theksuar me shkronja të zeza:

Pika është mesi i segmentit. Atëherë duhet të kujtojmë formulën për koordinatat e mesit të segmentit:

Kjo është ajo, tani mund të kërkojmë koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Epo, gjithçka është gati: ne i zëvendësojmë të gjitha të dhënat në formulën:

Kështu,

Përgjigje:

Ju nuk duhet të trembeni nga përgjigje të tilla "të frikshme": për detyrat C2 kjo është praktikë e zakonshme. Më mirë do të më befasonte përgjigja “e bukur” në këtë pjesë. Gjithashtu, siç e vutë re, praktikisht nuk iu drejtova asgjë tjetër përveç teoremës së Pitagorës dhe vetive të lartësive të një trekëndëshi barabrinjës. Kjo do të thotë, për të zgjidhur problemin stereometrik, kam përdorur minimumin e stereometrisë. Fitimi në këtë "shuar" pjesërisht nga llogaritjet mjaft të rënda. Por ato janë mjaft algoritmike!

2. Le të vizatojmë atë të saktë piramidë gjashtëkëndore së bashku me sistemin e koordinatave, si dhe bazën e tij:

Duhet të gjejmë këndin ndërmjet vijave dhe. Kështu, detyra jonë zbret në gjetjen e koordinatave të pikave: . Do të gjejmë koordinatat e tre të fundit duke përdorur një vizatim të vogël dhe do të gjejmë koordinatat e kulmit përmes koordinatës së pikës. Ka shumë punë për të bërë, por duhet të fillojmë!

a) Koordinata: është e qartë se zbatimi dhe ordinata e saj janë të barabarta me zero. Le të gjejmë abshisën. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë. Mjerisht, në të ne njohim vetëm hipotenuzën, e cila është e barabartë. Do të përpiqemi të gjejmë këmbën (sepse është e qartë se dyfishi i gjatësisë së këmbës do të na japë abshisën e pikës). Si mund ta kërkojmë? Le të kujtojmë se çfarë lloj figure kemi në bazën e piramidës? Ky është një gjashtëkëndësh i rregullt. Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë që të gjitha anët dhe të gjitha këndet janë të barabarta. Duhet të gjejmë një kënd të tillë. Ndonjë ide? Ka shumë ide, por ka një formulë:

Shuma e këndeve të një këndi n të rregullt është .

Kështu, shuma e këndeve të një gjashtëkëndëshi të rregullt është e barabartë me gradë. Atëherë secili nga këndet është i barabartë me:

Le të shohim sërish foton. Është e qartë se segmenti është përgjysmues i këndit. Atëherë këndi është i barabartë me gradë. Pastaj:

Pastaj nga.

Kështu, ka koordinata

b) Tani mund të gjejmë lehtësisht koordinatat e pikës: .

c) Gjeni koordinatat e pikës. Meqenëse abshisa e saj përkon me gjatësinë e segmentit, ajo është e barabartë. Gjetja e ordinatës nuk është gjithashtu shumë e vështirë: nëse lidhim pikat dhe caktojmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës si, të themi, . (bëjeni vetë ndërtim i thjeshtë). Atëherë, pra, ordinata e pikës B është e barabartë me shumën e gjatësive të segmenteve. Le të shohim përsëri trekëndëshin. Pastaj

Pastaj që atëherë pika ka koordinata

d) Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Konsideroni drejtkëndëshin dhe vërtetoni se Kështu, koordinatat e pikës janë:

e) Mbetet për të gjetur koordinatat e kulmit. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatat e pikës. Le të gjejmë aplikacionin. Që atëherë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë. Sipas kushteve të problemit brinjë anësore. Kjo është hipotenuza e trekëndëshit tim. Atëherë lartësia e piramidës është një këmbë.

Atëherë pika ka koordinata:

Epo, kaq, unë kam koordinatat e të gjitha pikave që më interesojnë. Unë jam duke kërkuar për koordinatat e vektorëve drejtues të drejtëzave:

Ne po kërkojmë këndin midis këtyre vektorëve:

Përgjigje:

Përsëri, në zgjidhjen e këtij problemi nuk përdora asnjë teknikë të sofistikuar përveç formulës për shumën e këndeve të një n-këndëshi të rregullt, si dhe përkufizimin e kosinusit dhe sinusit të një trekëndëshi kënddrejtë.

3. Meqenëse përsëri nuk na jepen gjatësitë e skajeve në piramidë, do t'i konsideroj ato të barabarta me një. Kështu, duke qenë se TË GJITHA skajet, dhe jo vetëm ato anësore, janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë në bazën e piramidës dhe mua ka një katror, ​​dhe fytyrat anësore- trekëndësha të rregullt. Le të vizatojmë një piramidë të tillë, si dhe bazën e saj në një aeroplan, duke shënuar të gjitha të dhënat e dhëna në tekstin e problemit:

Ne po kërkojmë këndin midis dhe. Do të bëj llogaritje shumë të shkurtra kur të kërkoj koordinatat e pikave. Do t'ju duhet t'i "deshifroni" ato:

b) - mesi i segmentit. Koordinatat e saj:

c) Do të gjej gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh. Mund ta gjej duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh.

Koordinatat:

d) - mesi i segmentit. Koordinatat e tij janë

e) Koordinatat vektoriale

f) Koordinatat vektoriale

g) Kërkimi i këndit:

Kub - figura më e thjeshtë. Jam i sigurt se do ta kuptoni vetë. Përgjigjet për problemat 4 dhe 5 janë si më poshtë:

Gjetja e këndit ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit

Epo, koha për enigma të thjeshta ka mbaruar! Tani shembujt do të jenë edhe më të ndërlikuar. Për të gjetur këndin ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit, do të veprojmë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ndërtojmë një ekuacion të rrafshit
   ,
   duke përdorur një përcaktor të rendit të tretë.
2. Duke përdorur dy pika, ne kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues të vijës së drejtë:
3. Ne aplikojmë formulën për të llogaritur këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi:

Siç mund ta shihni, kjo formulë është shumë e ngjashme me atë që kemi përdorur për të gjetur kënde midis dy vijave të drejta. Struktura në anën e djathtë është thjesht e njëjtë, dhe në të majtë tani po kërkojmë sinusin, jo kosinusin si më parë. Epo, u shtua një veprim i keq - kërkimi i ekuacionit të aeroplanit.

Të mos zvarritemi shembuj zgjidhjesh:

1. Prizmi i drejtpërdrejtë kryesor-por-va-ni-em-jemi një trekëndësh i barabartë me të varfër. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit

2. Në një par-ral-le-le-pi-pe-de drejtkëndëshe nga perëndimi Gjeni këndin midis drejtëzës dhe rrafshit

3. Në një prizëm të drejtë me gjashtë kënde, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit.

4. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em të brinjëve të njohura Gjeni një cep, ob-ra-zo-van - i sheshtë në bazë dhe i drejtë, duke kaluar nëpër gri. brinjë dhe

5. Gjatësitë e të gjitha brinjëve të një katërkëndëshi të drejtë pi-ra-mi-dy me kulm janë të barabarta me njëra-tjetrën. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit nëse pika është në mes të skajit të pi-ra-mi-dy.

Përsëri, dy problemet e para do t'i zgjidh në detaje, të tretin shkurt, dhe dy të fundit do t'ju lë t'i zgjidhni vetë. Veç kësaj, tashmë ju është dashur të merreni me trekëndëshin dhe piramida katërkëndëshe, por me prizma - ende jo.

Zgjidhjet:

1. Le të përshkruajmë një prizëm, si dhe bazën e tij. Le ta kombinojmë atë me sistemin e koordinatave dhe të shënojmë të gjitha të dhënat që jepen në deklaratën e problemit:

Kërkoj falje për disa mospërputhje me përmasat, por për zgjidhjen e problemit kjo, në fakt, nuk është aq e rëndësishme. Avioni është thjesht "muri i pasmë" i prizmit tim. Mjafton thjesht të merret me mend se ekuacioni i një rrafshi të tillë ka formën:

Sidoqoftë, kjo mund të tregohet drejtpërdrejt:

Le të zgjedhim tre pika arbitrare në këtë plan: për shembull, .

Le të krijojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ushtroni për ju: llogarisni vetë këtë përcaktor. A keni pasur sukses? Atëherë ekuacioni i aeroplanit duket si ky:

Ose thjesht

Kështu,

Për të zgjidhur shembullin, më duhet të gjej koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës. Meqenëse pika përkon me origjinën e koordinatave, koordinatat e vektorit thjesht do të përkojnë me koordinatat e pikës Për ta bërë këtë, së pari gjeni koordinatat e pikës.

Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh. Le të nxjerrim lartësinë (e njohur edhe si mediana dhe përgjysmues) nga kulmi. Meqenëse, ordinata e pikës është e barabartë me. Për të gjetur abshisën e kësaj pike, duhet të llogarisim gjatësinë e segmentit. Sipas teoremës së Pitagorës kemi:

Atëherë pika ka koordinata:

Një pikë është një pikë "e ngritur":

Atëherë koordinatat e vektorit janë:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë thelbësisht të vështirë në zgjidhjen e problemeve të tilla. Në fakt, procesi thjeshtohet pak më shumë nga "drejtësia" e një figure të tillë si prizmi. Tani le të kalojmë në shembullin tjetër:

2. Vizatoni një paralelipiped, vizatoni një plan dhe një vijë të drejtë në të dhe gjithashtu vizatoni veçmas bazën e poshtme të tij:

Së pari, gjejmë ekuacionin e rrafshit: Koordinatat e tre pikave që ndodhen në të:

(dy koordinatat e para merren në mënyrë të dukshme, dhe ju mund ta gjeni lehtësisht koordinatën e fundit nga fotografia nga pika). Pastaj përpilojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ne llogarisim:

Po kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues: Është e qartë se koordinatat e tij përkojnë me koordinatat e pikës, apo jo? Si të gjeni koordinatat? Këto janë koordinatat e pikës, të ngritura përgjatë boshtit aplikativ me një! . Pastaj kërkojmë këndin e dëshiruar:

Përgjigje:

3. Vizatoni një piramidë të rregullt gjashtëkëndore, dhe më pas vizatoni një rrafsh dhe një vijë të drejtë në të.

Këtu është edhe problematike të vizatoni një aeroplan, për të mos përmendur zgjidhjen e këtij problemi, por metoda e koordinatave nuk i intereson! Shkathtësia e tij është përparësia e tij kryesore!

Aeroplani kalon nëpër tri pika: . Ne jemi duke kërkuar për koordinatat e tyre:

1) . Gjeni vetë koordinatat për dy pikat e fundit. Për këtë ju duhet të zgjidhni problemin e piramidës gjashtëkëndore!

2) Ndërtojmë ekuacionin e rrafshit:

Kërkojmë koordinatat e vektorit: . (Shihni përsëri problemin e piramidës trekëndore!)

3) Duke kërkuar për një kënd:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të mbinatyrshme të vështirë në këto detyra. Thjesht duhet të jeni shumë të kujdesshëm me rrënjët. Unë do të jap përgjigje vetëm për dy problemet e fundit:

Siç mund ta shihni, teknika për zgjidhjen e problemeve është e njëjtë kudo: detyra kryesore është të gjeni koordinatat e kulmeve dhe t'i zëvendësoni ato në formula të caktuara. Ne ende duhet të konsiderojmë një klasë tjetër të problemeve për llogaritjen e këndeve, domethënë:

Llogaritja e këndeve ndërmjet dy rrafsheve

Algoritmi i zgjidhjes do të jetë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ne kërkojmë ekuacionin e planit të parë:
2. Duke përdorur tre pikat e tjera ne kërkojmë ekuacionin e planit të dytë:
3. Ne aplikojmë formulën:

Siç mund ta shihni, formula është shumë e ngjashme me dy të mëparshmet, me ndihmën e së cilës ne kërkuam kënde midis vijave të drejta dhe midis një drejtëze dhe një rrafshi. Kështu që nuk do të jetë e vështirë për ju ta mbani mend këtë. Le të kalojmë në analizën e detyrave:

1. Brinja e bazës së prizmit të drejtë trekëndësh është e barabartë, dhe diagonali i faqes anësore është i barabartë. Gjeni këndin ndërmjet rrafshit dhe rrafshit të boshtit të prizmit.

2. Në katërkëndëshin e djathtë pi-ra-mi-de, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta, gjeni sinusin e këndit ndërmjet rrafshit dhe kockës së rrafshët, duke kaluar nëpër pikën per-pen-di-ku-. gënjeshtar-por i drejtë.

3. Në një prizëm të rregullt me ​​katër kënde, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga-me-che-on në mënyrë që. Gjeni këndin midis planeve dhe

4. Në një prizëm të drejtë katërkëndësh, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga pika në mënyrë që Gjeni këndin midis planeve dhe.

5. Në një kub, gjeni co-si-nus të këndit ndërmjet rrafsheve dhe

Zgjidhjet e problemeve:

1. Unë vizatoj atë të saktë (në bazë ka një trekëndësh barabrinjës) prizëm trekëndor dhe shënoni mbi të rrafshet që shfaqen në deklaratën e problemit:

Duhet të gjejmë ekuacionet e dy rrafsheve: Ekuacioni i bazës është i parëndësishëm: mund të kompozoni përcaktorin përkatës duke përdorur tre pika, por unë do ta përpiloj ekuacionin menjëherë:

Tani le të gjejmë ekuacionin Pika ka koordinata Pika - Meqenëse është mesatarja dhe lartësia e trekëndëshit, ajo gjendet lehtësisht duke përdorur teoremën e Pitagorës në trekëndësh. Atëherë pika ka koordinata: Le të gjejmë aplikimin e pikës Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë

Pastaj marrim koordinatat e mëposhtme: Hartojmë ekuacionin e rrafshit.

Ne llogarisim këndin midis planeve:

Përgjigje:

2. Bërja e një vizatimi:

Gjëja më e vështirë është të kuptosh se çfarë është ky aeroplan misterioz, duke kaluar pingul nëpër pikë. Epo, gjëja kryesore është, çfarë është? Gjëja kryesore është vëmendja! Në fakt, vija është pingul. Vija e drejtë është gjithashtu pingul. Atëherë avioni që kalon nëpër këto dy rreshta do të jetë pingul me vijën dhe, nga rruga, do të kalojë nëpër pikë. Ky aeroplan kalon edhe nga maja e piramidës. Pastaj avioni i dëshiruar - Dhe avioni tashmë na është dhënë. Kërkojmë koordinatat e pikave.

Gjejmë koordinatat e pikës përmes pikës. Nga vizatim i vogëlËshtë e lehtë të konkludohet se koordinatat e pikës do të jenë si më poshtë: Çfarë mbetet tani për të gjetur për të gjetur koordinatat e majës së piramidës? Ju gjithashtu duhet të llogarisni lartësinë e tij. Kjo bëhet duke përdorur të njëjtën teoremë të Pitagorës: së pari provoni atë (në mënyrë të parëndësishme nga trekëndëshat e vegjël që formojnë një katror në bazë). Meqenëse sipas kushteve kemi:

Tani gjithçka është gati: koordinatat e kulmit:

Ne hartojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ju jeni tashmë një ekspert në llogaritjen e përcaktuesve. Pa vështirësi do të merrni:

Ose ndryshe (nëse i shumëzojmë të dyja anët me rrënjën e dyve)

Tani le të gjejmë ekuacionin e aeroplanit:

(Nuk keni harruar se si e marrim ekuacionin e një aeroplani, apo jo? Nëse nuk e kuptoni se nga erdhi ky minus një, atëherë kthehuni te përkufizimi i ekuacionit të një aeroplani! Thjesht ka dalë gjithmonë përpara kësaj avioni im i përkiste origjinës!)

Ne llogarisim përcaktorin:

(Mund të vini re se ekuacioni i rrafshit përkon me ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika dhe! Mendoni pse!)

Tani le të llogarisim këndin:

Duhet të gjejmë sinusin:

Përgjigje:

3. Pyetje e ndërlikuar: çfarë është ajo? prizëm drejtkëndor, Si mendoni ju? Ky është vetëm një paralelipiped që ju e dini mirë! Le të bëjmë një vizatim menjëherë! Ju as nuk duhet ta përshkruani bazën veç e veç, është pak e dobishme këtu:

Aeroplani, siç kemi theksuar më herët, është shkruar në formën e një ekuacioni:

Tani le të krijojmë një aeroplan

Ne krijojmë menjëherë ekuacionin e aeroplanit:

Duke kërkuar për një kënd:

Tani përgjigjet për dy problemet e fundit:

Epo, tani është koha për të bërë një pushim të vogël, sepse ju dhe unë jemi të shkëlqyer dhe kemi bërë një punë të shkëlqyer!

Koordinatat dhe vektorët. Niveli i avancuar

Në këtë artikull do të diskutojmë me ju një klasë tjetër problemesh që mund të zgjidhen duke përdorur metodën e koordinatave: problemet e llogaritjes së distancës. Përkatësisht, ne do të shqyrtojmë rastet e mëposhtme:

1. Llogaritja e distancës ndërmjet vijave të kryqëzuara.

Unë i kam porositur këto detyra për të rritur vështirësinë. Rezulton të jetë më e lehtë për t'u gjetur distanca nga pika në aeroplan, dhe gjëja më e vështirë është të gjesh distanca midis vijave të kryqëzimit. Edhe pse, natyrisht, asgjë nuk është e pamundur! Le të mos zvarritemi dhe menjëherë të vazhdojmë të shqyrtojmë klasën e parë të problemeve:

Llogaritja e distancës nga një pikë në një plan

Çfarë na duhet për të zgjidhur këtë problem?

1. Koordinatat e pikave

Pra, sapo të marrim të gjitha të dhënat e nevojshme, zbatojmë formulën:

Duhet ta dini tashmë se si e ndërtojmë ekuacionin e një rrafshi detyrat e mëparshme, të cilën e diskutova në pjesën e fundit. Le të kalojmë drejtpërdrejt te detyrat. Skema është si më poshtë: 1, 2 - Unë ju ndihmoj të vendosni, dhe në disa detaje, 3, 4 - vetëm përgjigja, ju e kryeni vetë zgjidhjen dhe krahasoni. Le të fillojmë!

Detyrat:

1. Jepet një kub. Gjatësia e skajit të kubit është e barabartë. Gjeni distancën nga se-re-di-na nga prerja në rrafsh

2. Jepet e drejta me katër qymyr pi-ra-mi-po, ana e anës është e barabartë me bazën. Gjeni distancën nga pika në rrafshin ku - se-re-di-në skajet.

3. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em, skaji anësor është i barabartë, dhe njëqind-ro-on os-no-va-nia është i barabartë. Gjeni distancën nga maja në aeroplan.

4. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni distancën nga një pikë në një plan.

Zgjidhjet:

1. Vizatoni një kub me skaje të vetme, ndërtoni një segment dhe një plan, shënoni mesin e segmentit me një shkronjë

.

Së pari, le të fillojmë me atë të lehtë: gjeni koordinatat e pikës. Që atëherë (kujtoni koordinatat e mesit të segmentit!)

Tani përpilojmë ekuacionin e aeroplanit duke përdorur tre pika

\[\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\fund(array)) \djathtas| = 0\]

Tani mund të filloj të gjej distancën:

2. Fillojmë sërish me një vizatim në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat!

Për një piramidë, do të ishte e dobishme të vizatoni bazën e saj veçmas.

Edhe fakti që unë vizatoj si pula me putrën e saj nuk do të na pengojë ta zgjidhim këtë problem me lehtësi!

Tani është e lehtë të gjesh koordinatat e një pike

Që nga koordinatat e pikës, atëherë

2. Meqenëse koordinatat e pikës a janë mesi i segmentit, atëherë

Pa asnjë problem, ne mund të gjejmë koordinatat e dy pikave të tjera në aeroplan Ne krijojmë një ekuacion për rrafshin dhe e thjeshtojmë atë:

\[\majtas| (\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \djathtas|) \djathtas| = 0\]

Meqenëse pika ka koordinata: , ne llogarisim distancën:

Përgjigje (shumë e rrallë!):

Epo, e kuptove? Më duket se gjithçka këtu është po aq teknike sa në shembujt që shikuam në pjesën e mëparshme. Pra, jam i sigurt se nëse e keni zotëruar atë material, atëherë nuk do ta keni të vështirë t'i zgjidhni dy problemet e mbetura. Unë do t'ju jap vetëm përgjigjet:

Llogaritja e distancës nga një vijë e drejtë në një plan

Në fakt, këtu nuk ka asgjë të re. Si mund të vendosen një vijë e drejtë dhe një rrafsh në lidhje me njëra-tjetrën? Ata kanë vetëm një mundësi: të kryqëzohen, ose një vijë e drejtë është paralele me rrafshin. Sa mendoni se është distanca nga një drejtëz në rrafshin me të cilin kryqëzohet kjo drejtëz? Më duket se këtu është e qartë se një distancë e tillë është e barabartë me zero. Jo një rast interesant.

Rasti i dytë është më i ndërlikuar: këtu distanca është tashmë jo zero. Megjithatë, meqenëse drejtëza është paralele me rrafshin, atëherë çdo pikë e drejtëzës është e barabartë nga ky plan:

Kështu:

Kjo do të thotë që detyra ime është reduktuar në atë të mëparshmen: ne jemi duke kërkuar për koordinatat e çdo pike në një vijë të drejtë, duke kërkuar ekuacionin e rrafshit dhe duke llogaritur distancën nga pika në plan. Në fakt, detyra të tilla janë jashtëzakonisht të rralla në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Unë arrita të gjeja vetëm një problem, dhe të dhënat në të ishin të tilla që metoda e koordinatave nuk ishte shumë e zbatueshme për të!

Tani le të kalojmë në diçka tjetër, shumë më tepër klasë e rëndësishme detyrat:

Llogaritja e distancës së një pike në një vijë

Çfarë na duhet?

1. Koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Koordinatat e çdo pike që shtrihet në një vijë

3. Koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës

Çfarë formule përdorim?

Çfarë do të thotë emëruesi i kësaj thyese duhet të jetë e qartë për ju: kjo është gjatësia e vektorit drejtues të drejtëzës. Ky është një numërues shumë i ndërlikuar! Shprehja nënkupton modulin (gjatësinë) e produktit vektorial të vektorëve dhe Si të llogarisim produktin e vektorit, kemi studiuar në pjesën e mëparshme të punës. Rifresko njohuritë tuaja, do të na duhen shumë tani!

Kështu, algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë si më poshtë:

1. Kërkojmë koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Ne kërkojmë koordinatat e çdo pike të drejtëzës në të cilën kërkojmë distancën:

3. Ndërtoni një vektor

4. Ndërtoni një vektor drejtues të një drejtëze

5. Llogaritni prodhimin e vektorit

6. Kërkojmë gjatësinë e vektorit që rezulton:

7. Llogaritni distancën:

Kemi shumë punë për të bërë dhe shembujt do të jenë mjaft kompleks! Pra, tani përqendroni të gjithë vëmendjen tuaj!

1. Jepet një trekëndësh i drejtë pi-ra-mi-da me majë. Njëqind-ro-në bazë të pi-ra-mi-dy është i barabartë, ju jeni të barabartë. Gjeni distancën nga skaji gri në vijën e drejtë, ku pikat dhe janë skajet gri dhe nga veterinaria.

2. Gjatësitë e skajeve dhe këndi i drejtë-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da janë të barabarta në përputhje me rrethanat dhe Gjeni distancën nga maja në vijën e drejtë.

3. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta, gjeni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë

Zgjidhjet:

1. Ne bëjmë një vizatim të pastër në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat:

Kemi shumë punë për të bërë! Së pari do të doja të përshkruaj me fjalë se çfarë do të kërkojmë dhe në çfarë rendi:

1. Koordinatat e pikave dhe

2. Koordinatat e pikave

3. Koordinatat e pikave dhe

4. Koordinatat e vektorëve dhe

5. Produkti i tyre kryq

6. Gjatësia vektoriale

7. Gjatësia e produktit të vektorit

8. Largësia nga në

Epo, ne kemi shumë punë përpara! Le t'ia dalim me mëngët përveshur!

1. Për të gjetur koordinatat e lartësisë së piramidës, duhet të dimë koordinatat e pikës një trekëndësh barabrinjës, ai ndahet në raport, duke llogaritur nga kulmi, nga këtu. Më në fund, morëm koordinatat:

Koordinatat e pikave

2. - mesi i segmentit

3. - mesi i segmentit

Pika e mesme e segmentit

4.Koordinatat

Koordinatat vektoriale

5. Llogaritni produktin e vektorit:

6. Gjatësia e vektorit: mënyra më e lehtë për t'u zëvendësuar është se segmenti është mesi i trekëndëshit, që do të thotë se është i barabartë me gjysmën e bazës. Pra.

7. Llogaritni gjatësinë e prodhimit të vektorit:

8. Së fundi, gjejmë distancën:

Uh, kjo është ajo! Unë do t'ju them sinqerisht: zgjidhja e këtij problemi duke përdorur metoda tradicionale (nëpërmjet ndërtimit) do të ishte shumë më e shpejtë. Por këtu unë reduktova gjithçka në një algoritëm të gatshëm! Mendoj se algoritmi i zgjidhjes është i qartë për ju? Prandaj, do t'ju kërkoj t'i zgjidhni vetë dy problemet e mbetura. Le të krahasojmë përgjigjet?

Përsëri, po e përsëris: është më e lehtë (më e shpejtë) t'i zgjidhësh këto probleme përmes ndërtimeve, sesa t'i drejtohesh metodë koordinative. Unë e demonstrova këtë metodë zgjidhjeje vetëm për t'ju treguar një metodë universale që ju lejon të "mos përfundoni ndërtimin e asgjë".

Më në fund, merrni parasysh klasën e fundit të problemeve:

Llogaritja e distancës midis drejtëzave të kryqëzuara

Këtu algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë i ngjashëm me atë të mëparshëm. Ajo që kemi:

3. Çdo vektor që lidh pikat e vijës së parë dhe të dytë:

Si e gjejmë distancën ndërmjet vijave?

Formula është si më poshtë:

Numëruesi është moduli i produktit të përzier (e kemi prezantuar në pjesën e mëparshme), dhe emëruesi është, si në formulën e mëparshme (moduli i produktit vektorial të vektorëve të drejtimit të vijave të drejta, distanca ndërmjet të cilave ne janë në kërkim).

Unë do t'ju kujtoj atë

Pastaj formula për distancën mund të rishkruhet si:

Ky është një përcaktor i ndarë me një përcaktor! Edhe pse, të them të drejtën, nuk kam kohë për shaka këtu! Kjo formulë, në fakt, është shumë i rëndë dhe të çon në mjaft llogaritjet komplekse. Po të isha në vendin tuaj, do t'i drejtohesha vetëm si mjet i fundit!

Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme duke përdorur metodën e mësipërme:

1. Në një prizëm trekëndësh të drejtë, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta, gjeni distancën midis drejtëzave dhe.

2. Duke pasur parasysh një prizëm trekëndor të drejtë, të gjitha skajet e bazës janë të barabarta me seksionin që kalon nëpër brinjën e trupit dhe brinjët se-re-di-pus janë një katror. Gjeni distancën midis drejtëzave dhe

Unë vendos të parën, dhe në bazë të saj, ju vendosni të dytën!

1. Vizatoj një prizëm dhe shënoj drejtëza dhe

Koordinatat e pikës C: atëherë

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat vektoriale

\[\majtas((B,\mbidrejtë-shigjetë (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \djathtas) = ​​\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(l))(\fillimi(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\fillimi(array)(*(20) (c)) 0&0&1\fund(array))\\(\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \djathtas| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Ne llogarisim produktin e vektorit ndërmjet vektorëve dhe

\[\mbi shigjetë e drejtë (A(A_1)) \cdot \mbidrejtë shigjetë (B(C_1)) = \majtas| \fille(array)(l)\fille(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(array)\\\fille(array )(*(20)(c))0&0&1\fund(array)\\\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\mbi shigjetë e djathta k + \frac(1)(2)\mbi shigjetë e drejtë i \]

Tani llogarisim gjatësinë e tij:

Përgjigje:

Tani përpiquni të përfundoni detyrën e dytë me kujdes. Përgjigja për të do të jetë: .

Koordinatat dhe vektorët. Përshkrimi i shkurtër dhe formulat bazë

Një vektor është një segment i drejtuar. - fillimi i vektorit, - fundi i vektorit.
Një vektor shënohet me ose.

Vlera absolute vektor - gjatësia e segmentit që përfaqëson vektorin. Shënohet si.

Koordinatat e vektorit:

,
ku janë skajet e vektorit \displaystyle a .

Shuma e vektorëve: .

Produkti i vektorëve:

Produkti me pika i vektorëve: