Si të gjeni shumën e këndeve të një trekëndëshi. Përforcimi i materialit të mësuar

Kjo teoremë është formuluar edhe në librin shkollor nga L.S. , dhe në librin shkollor nga Pogorelov A.V. . Vërtetimet e kësaj teoreme në këto libra shkollorë nuk ndryshojnë ndjeshëm, dhe për këtë arsye ne paraqesim vërtetimin e saj, për shembull, nga libri shkollor i A.V.

Teorema: Shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°

Dëshmi. Lere ABC - trekëndëshi i dhënë. Le të vizatojmë një vijë përmes kulmit B paralel me drejtëzën AC. Le të shënojmë pikën D në të në mënyrë që pikat A dhe D të qëndrojnë së bashku anët e ndryshme nga vija e drejtpërdrejtë BC (Fig. 6).

Këndet DBC dhe ACB janë të barabarta si ato të brendshme të kryqëzuara, të formuara nga sekanti BC me drejtëza paralele AC dhe BD. Prandaj, shuma e këndeve të një trekëndëshi në kulmet B dhe C është e barabartë me këndin ABD. Dhe shuma e të tre këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me shumën e këndeve ABD dhe BAC. Meqenëse këto janë kënde të brendshme të njëanshme për AC dhe BD paralele dhe sekante AB, shuma e tyre është 180°. Teorema është e vërtetuar.

Ideja e kësaj prove është të realizohet vijë paralele dhe përcaktimi i barazisë së këndeve të dëshiruara. Le të rindërtojmë idenë e një të tillë ndërtim shtesë, duke vërtetuar këtë teoremë duke përdorur konceptin e një eksperimenti mendimi. Vërtetimi i teoremës duke përdorur një eksperiment mendimi. Pra, tema e eksperimentit tonë të mendimit janë këndet e një trekëndëshi. Le ta vendosim atë mendërisht në kushte në të cilat thelbi i tij mund të zbulohet me siguri të veçantë (faza 1).

Kushtet e tilla do të jenë një rregullim i tillë i këndeve të trekëndëshit në të cilin të tre kulmet e tyre do të kombinohen në një pikë. Një kombinim i tillë është i mundur nëse lejojmë mundësinë e "lëvizjes" së këndeve duke lëvizur brinjët e trekëndëshit pa ndryshuar këndin e prirjes (Fig. 1). Lëvizje të tilla janë në thelb transformime mendore të mëvonshme (faza 2).

Duke përcaktuar këndet dhe brinjët e një trekëndëshi (Fig. 2), këndet e marra nga "lëvizja", ne formojmë mendërisht mjedisin, sistemin e lidhjeve në të cilin vendosim subjektin tonë të mendimit (faza 3).

Drejtëza AB, "duke lëvizur" përgjatë vijës BC dhe pa ndryshuar këndin e prirjes ndaj saj, kalon këndin 1 në këndin 5, dhe "duke lëvizur" përgjatë vijës AC, kalon këndin 2 në këndin 4. Meqenëse me një "lëvizje" të tillë drejtëza AB. nuk e ndryshon këndin e prirjes në drejtëzat AC dhe BC, atëherë përfundimi është i qartë: rrezet a dhe a1 janë paralele me AB dhe shndërrohen në njëra-tjetrën, dhe rrezet b dhe b1 janë përkatësisht vazhdim i brinjëve BC dhe AC. Meqenëse këndi 3 dhe këndi ndërmjet rrezeve b dhe b1 janë vertikal, ato janë të barabarta. Shuma e këtyre këndeve është e barabartë me këndin e rrotulluar aa1 - që do të thotë 180°.

PËRFUNDIM

NË punë diplome kryer prova “të ndërtuara” të disa shkollave teorema gjeometrike, duke përdorur strukturën e një eksperimenti mendimi, i cili konfirmoi hipotezën e formuluar.

Provat e paraqitura bazoheshin në idealizime të tilla vizuale dhe shqisore: "ngjeshje", "shtrirje", "rrëshqitje", të cilat bënë të mundur transformimin e objektit origjinal gjeometrik në një mënyrë të veçantë dhe nxjerrjen në pah karakteristikat e tij thelbësore, tipike për një mendim. eksperiment. Në këtë rast, një eksperiment mendimi vepron si një "mjet krijues" i caktuar që kontribuon në shfaqjen e njohurive gjeometrike (për shembull, rreth vija e mesme trapez ose rreth këndeve të një trekëndëshi). Idealizime të tilla bëjnë të mundur të kuptojmë të gjithë idenë e provës, idenë e kryerjes së "ndërtimit shtesë", e cila na lejon të flasim për mundësinë e një kuptimi më të vetëdijshëm nga nxënësit e procesit të provës formale deduktive të teorema gjeometrike.

Eksperimenti i mendimit është një nga metodat bazë për marrjen dhe zbulimin e teoremave gjeometrike. Është e nevojshme të zhvillohet një metodologji për transferimin e metodës tek studenti. Pyetja mbetet e hapur për moshën e një studenti të pranueshëm për "pranimin" e metodës, për " Efektet anësore» provat e paraqitura në këtë mënyrë.

Këto çështje kërkojnë studim të mëtejshëm. Por në çdo rast, një gjë është e sigurt: një eksperiment mendimi zhvillohet tek nxënësit e shkollës të menduarit teorik, është baza e tij dhe, për rrjedhojë, duhet të zhvillohet aftësia për eksperimentim mendor.

>>Gjeometria: Shuma e këndeve të një trekëndëshi. Mësime të plota

TEMA MËSIMORE: Shuma e këndeve të një trekëndëshi.

Objektivat e mësimit:

Konsolidimi dhe testimi i njohurive të nxënësve për temën: “Shuma e këndeve të një trekëndëshi”;
Vërtetimi i vetive të këndeve të një trekëndëshi;
Zbatimi i kësaj vetie në zgjidhjen e problemeve të thjeshta;
Përdorimi material historik për zhvillim aktiviteti njohës studentë;
Futja e aftësisë së saktësisë gjatë ndërtimit të vizatimeve.

Objektivat e mësimit:

Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.

Plani i mësimit:

Trekëndëshi;
Teorema mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi;
Shembull detyrash.

Trekëndëshi.

Skedari:O.gif Trekëndëshi- shumëkëndëshi më i thjeshtë që ka 3 kulme (kënde) dhe 3 brinjë; pjesë e rrafshit të kufizuar nga tre pika dhe tre segmente që lidhin këto pika në çifte.
Tre pika në hapësirë që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë korrespondojnë me një dhe vetëm një plan.
Çdo shumëkëndësh mund të ndahet në trekëndësha - ky proces quhet trekëndëshim.
Ekziston një pjesë e matematikës kushtuar tërësisht studimit të ligjeve të trekëndëshave - Trigonometria.

Teorema mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi.

Skedari:T.gif Teorema e shumës së këndit të trekëndëshit është një teoremë klasike e gjeometrisë Euklidiane që thotë se shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°.

prova" :

Le të jepet Δ ABC. Le të vizatojmë një vijë paralele me (AC) përmes kulmit B dhe të shënojmë pikën D në të në mënyrë që pikat A dhe D të shtrihen në anët e kundërta të drejtëzës BC. Atëherë këndi (DBC) dhe këndi (ACB) janë të barabarta si të brendshme të tërthorta të shtrira me drejtëza paralele BD dhe AC dhe sekanti (BC). Atëherë shuma e këndeve të trekëndëshit në kulmet B dhe C është e barabartë me këndin (ABD). Por këndi (ABD) dhe këndi (BAC) në kulmin A të trekëndëshit ABC janë të brendshëm të njëanshëm me drejtëza paralele BD dhe AC dhe sekantin (AB), dhe shuma e tyre është 180°. Prandaj, shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°. Teorema është e vërtetuar.

Pasojat.

Këndi i jashtëm i një trekëndëshi e barabartë me shumën dy kënde të një trekëndëshi që nuk janë ngjitur me të.

Dëshmi:

Le të jepet Δ ABC. Pika D shtrihet në vijën AC në mënyrë që A të shtrihet midis C dhe D. Atëherë BAD është e jashtme ndaj këndit të trekëndëshit në kulmin A dhe A + BAD = 180°. Por A + B + C = 180°, dhe për rrjedhojë B + C = 180° – A. Prandaj KEQ = B + C. Përfundimi është vërtetuar.

Pasojat.

Një kënd i jashtëm i një trekëndëshi është më i madh se çdo kënd i trekëndëshit që nuk është ngjitur me të.

Detyrë.

Një kënd i jashtëm i një trekëndëshi është një kënd ngjitur me çdo kënd të këtij trekëndëshi. Vërtetoni këtë këndi i jashtëm i një trekëndëshi është i barabartë me shumën e dy këndeve të një trekëndëshi që nuk janë ngjitur me të.
(Fig. 1)

Zgjidhja:

Le të jetë Δ ABC ∠DAС e jashtme (Fig. 1). Pastaj ∠DAC=180°-∠BAC (sipas vetisë qoshet ngjitur), sipas teoremës mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Nga këto barazi marrim ∠DAС=∠В+∠С

Fakt interesant:

Shuma e këndeve të një trekëndëshi" :

Në gjeometrinë Lobachevsky, shuma e këndeve të një trekëndëshi është gjithmonë më e vogël se 180. Në gjeometrinë Euklidiane është gjithmonë e barabartë me 180. Në gjeometrinë e Riemann-it, shuma e këndeve të një trekëndëshi është gjithmonë më e madhe se 180.

Nga historia e matematikës:

Euklidi (shek. III para Krishtit) në veprën e tij "Elementet" jep përkufizimin e mëposhtëm: "Vijat paralele janë vija që janë në të njëjtin rrafsh dhe, duke u shtrirë në të dy drejtimet pafundësisht, nuk takohen me njëra-tjetrën në asnjërën anë".
Posidonius (shekulli I para Krishtit) "Dy vija të drejta të shtrira në të njëjtin rrafsh, të barabarta nga njëra-tjetra"
Shkencëtari i lashtë grek Pappus (shek. III para Krishtit) prezantoi simbolin e paraleles shenjë e drejtë=. Më pas ekonomist anglez Ricardo (1720-1823) e përdori këtë simbol si shenjë barazimi.
Vetëm në shekullin e 18-të filluan të përdorin simbolin për vijat paralele - shenjën ||.
Lidhja e gjallë midis brezave nuk ndërpritet për asnjë moment, ne mësojmë përvojën e grumbulluar nga të parët tanë. Grekët e lashtë bazuar në vëzhgime dhe nga përvojë praktike ata nxorrën përfundime, shprehën hipoteza dhe më pas, në takimet e shkencëtarëve - simpoziume (fjalë për fjalë "festë") - ata u përpoqën të vërtetonin dhe vërtetonin këto hipoteza. Në atë kohë, u ngrit deklarata: "E vërteta lind në një mosmarrëveshje".

Pyetje:

Çfarë është një trekëndësh?
Çfarë thotë teorema për shumën e këndeve të një trekëndëshi?
Cili është këndi i jashtëm i trekëndëshit?

Qellime dhe objektiva:

Edukative:

përsëritni dhe përgjithësoni njohuritë për trekëndëshin;
të vërtetojë teoremën mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi;
të verifikojë praktikisht korrektësinë e formulimit të teoremës;
mësoni të zbatoni njohuritë e marra gjatë zgjidhjes së problemeve.

Edukative:

zhvillojnë të menduarit gjeometrik, interes për lëndën, njohës dhe veprimtari krijuese studentë, fjalim matematikor, aftësia për të marrë në mënyrë të pavarur njohuri.

Edukative:

zhvillojnë cilësitë personale nxënësit, si vendosmëria, këmbëngulja, saktësia, aftësia për të punuar në grup.

Pajisjet: projektor multimedial, trekëndësha prej letre me ngjyra, materiale mësimore " Matematikë e gjallë", ekran kompjuteri.

Faza përgatitore: Mësuesi/ja i jep nxënësit detyrën për t'u përgatitur informacion historik rreth teoremës "Shuma e këndeve të një trekëndëshi".

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ

pershendetje. Qëndrimi psikologjik nxënësit për të punuar.

II. Ngrohje

ME figura gjeometrike"Trekëndëshi" që takuam në mësimet e mëparshme. Le të përsërisim atë që dimë për trekëndëshin?

Nxënësit punojnë në grupe. Atyre u jepet mundësia të komunikojnë me njëri-tjetrin, secili të ndërtojë në mënyrë të pavarur procesin e njohjes.

Cfare ndodhi? Secili grup bën propozimet e tij, mësuesi i shkruan në tabelë. Rezultatet diskutohen:

Foto 1

III. Formulimi i objektivit të mësimit

Pra, ne tashmë dimë shumë për trekëndëshin. Por jo të gjitha. Secili prej jush ka trekëndësha dhe raportorë në tryezën tuaj. Çfarë lloj problemi mendoni se mund të formulojmë?

Nxënësit formulojnë detyrën e orës së mësimit - të gjejnë shumën e këndeve të një trekëndëshi.

IV. Shpjegimi i materialit të ri

Pjesa praktike(promovon përditësimin e njohurive dhe aftësive të vetë-njohjes Matni këndet duke përdorur një raportues dhe gjeni shumën e tyre). Shkruani rezultatet në fletoren tuaj (dëgjoni përgjigjet e marra). Zbulojmë se shuma e këndeve është e ndryshme për të gjithë (kjo mund të ndodhë sepse raportori nuk është zbatuar saktë, llogaritja është kryer pa kujdes, etj.).

Palosni përgjatë vijave me pika dhe zbuloni se me çfarë tjetër është e barabartë shuma e këndeve të një trekëndëshi:

A)
Figura 2

b)
Figura 3

V)
Figura 4

G)
Figura 5

d)
Figura 6

Pas përfundimit të punës praktike, nxënësit formulojnë përgjigjen: Shuma e këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me masë shkallë këndi i shpalosur, pra 180°.

Mësuesi: Në matematikë punë praktike Ajo bën të mundur vetëm një lloj deklarate, por duhet vërtetuar. Një deklaratë vlefshmëria e së cilës përcaktohet nga prova quhet teoremë. Çfarë teoreme mund të formulojmë dhe vërtetojmë?

Studentët: Shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180 gradë.

Referenca historike: Vetia e shumës së këndeve të një trekëndëshi u vendos në Egjipti i lashte. Prova e paraqitur në tekstet moderne shkollore, të përfshira në komentet e Proclus-it për Elementet e Euklidit. Proclus pretendon se kjo provë (Fig. 8) u zbulua nga Pitagorianët (shek. V para Krishtit). Në librin e parë të Elementeve, Euklidi paraqet një provë tjetër të teoremës mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi, e cila mund të kuptohet lehtësisht me ndihmën e një vizatimi (Fig. 7):

Figura 7

Figura 8

Vizatimet shfaqen në ekran përmes një projektori.

Mësuesi ofron të vërtetojë teoremën duke përdorur vizatime.

Më pas vërtetimi kryhet duke përdorur kompleksin mësimor dhe mësimor “Matematika e gjallë”. Mësuesi/ja projekton vërtetimin e teoremës në kompjuter.

Teorema mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi: "Shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°"

Figura 9

Dëshmi:

A)

Figura 10

b)

Figura 11

V)

Figura 12

Nxënësit bëjnë në fletore shënim i shkurtër vërtetimi i teoremës:

Teorema: Shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°.

Figura 13

E dhënë:Δ ABC

Provoj: A + B + C = 180°.

Dëshmi:

Çfarë duhej vërtetuar.

V. Fiz. vetem nje minute.

VI. Shpjegimi i materialit të ri (vazhdim)

Përfundimi nga teorema për shumën e këndeve të një trekëndëshi nxirret nga studentët në mënyrë të pavarur, kjo kontribuon në zhvillimin e aftësisë për të formuluar pikë e vet këndvështrimin, shprehni dhe argumentoni për të:

Në çdo trekëndësh, ose të gjithë këndet janë të mprehtë, ose dy janë të mprehtë dhe i treti është i mpirë ose i drejtë..

Nëse një trekëndësh i ka të gjitha këndet akute, atëherë ai quhet me kënd akute.

Nëse njëri nga këndet e një trekëndëshi është i mpirë, atëherë ai quhet me kënd të mpirë.

Nëse njëri nga këndet e një trekëndëshi është i drejtë, atëherë ai quhet drejtkëndëshe.

Teorema mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi na lejon të klasifikojmë trekëndëshat jo vetëm sipas brinjëve, por edhe sipas këndeve. (Ndërsa studentët prezantojnë llojet e trekëndëshave, nxënësit plotësojnë tabelën)

Tabela 1

Pamje trekëndëshi	Isosceles	Barabrinjës	I gjithanshëm
Drejtkëndëshe
I mpirë
Akut-këndor

VII. Konsolidimi i materialit të studiuar.

Zgjidh problemet me gojë:

(Vizatimet shfaqen në ekran përmes një projektori)

Detyra 1. Gjeni këndin C.

Figura 14

Detyra 2. Gjeni këndin F.

Figura 15

Detyra 3. Gjeni këndet K dhe N.

Figura 16

Detyra 4. Gjeni këndet P dhe T.

Figura 17

Zgjidheni vetë problemën nr.223 (b, d).
Zgjidh problemin në tabelë dhe në fletore, nxënësi nr.224.
Pyetje: A mund të ketë një trekëndësh: a) dy kënde të drejta; b) dy kënde të mpirë; c) një kënd të drejtë dhe një të mpirë.
(bëhet me gojë) Kartat në secilën tabelë tregojnë trekëndësha të ndryshëm. Përcaktoni me sy llojin e secilit trekëndësh.

Figura 18

Gjeni shumën e këndeve 1, 2 dhe 3.

Figura 19

VIII. Përmbledhja e mësimit.

Mësuesja: Çfarë kemi mësuar? A është teorema e zbatueshme për çdo trekëndësh?

IX. Reflektimi.

Më tregoni disponimin tuaj, djema! ME ana e kundërt përdorni një trekëndësh për të përshkruar shprehjet tuaja të fytyrës.

Figura 20

Detyre shtepie: paragrafi 30 (pjesa 1), pyetja 1 kap. IV faqe 89 e tekstit shkollor; nr 223 (a, c), nr 225.

Teorema. Shuma qoshet e brendshme i një trekëndëshi është i barabartë me dy kënde të drejta.

Le të marrim një trekëndësh ABC (Fig. 208). Le t'i shënojmë këndet e tij të brendshme me numrat 1, 2 dhe 3. Le ta vërtetojmë këtë

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Le të vizatojmë përmes një kulmi të trekëndëshit, për shembull B, një vijë të drejtë MN paralele me AC.

Në kulmin B kemi tre kënde: ∠4, ∠2 dhe ∠5. Shuma e tyre është një kënd i drejtë, prandaj është e barabartë me 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Por ∠4 = ∠1 janë kënde të brendshme tërthore me drejtëza paralele MN dhe AC dhe sekant AB.

∠5 = ∠3 - këto janë kënde të brendshme tërthore me drejtëza paralele MN dhe AC dhe sekante BC.

Kjo do të thotë se ∠4 dhe ∠5 mund të zëvendësohen me barazimet e tyre ∠1 dhe ∠3.

Prandaj, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema është e vërtetuar.

2. Veti e këndit të jashtëm të trekëndëshit.

Teorema. Një kënd i jashtëm i një trekëndëshi është i barabartë me shumën e dy këndeve të brendshme që nuk janë ngjitur me të.

Në fakt, në trekëndëshi ABC(Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, por edhe ∠ВСD, këndi i jashtëm i këtij trekëndëshi, jo ngjitur me ∠1 dhe ∠2, është gjithashtu i barabartë me 180° - ∠3.

Kështu:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prandaj, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Vetia e prejardhur e këndit të jashtëm të një trekëndëshi sqaron përmbajtjen e teoremës së provuar më parë mbi këndin e jashtëm të një trekëndëshi, e cila deklaroi vetëm se këndi i jashtëm i një trekëndëshi është më i madh se çdo kënd i brendshëm i një trekëndëshi jo ngjitur me të; tani është vërtetuar se këndi i jashtëm është i barabartë me shumën e të dy këndeve të brendshëm që nuk janë ngjitur me të.

3. Veti e trekëndëshit kënddrejtë me kënd 30°.

Teorema. Një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë e shtrirë përballë një këndi prej 30° e barabartë me gjysmën hipotenuzë.

Lere brenda trekëndësh kënddrejtë Këndi ASV B është 30° (Fig. 210). Pastaj tjetri është i tij kënd i mprehtë do të jetë e barabartë me 60°.

Le të vërtetojmë se këmba AC është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës AB. Le të vazhdojmë këmbën AC përtej majës kënd i drejtë C dhe lini mënjanë segmentin CM, e barabartë me segmentin AC. Lidhni pikën M me pikën B. Trekëndëshi që rezulton ВСМ e barabartë me një trekëndësh DIA Shohim se çdo kënd i trekëndëshit ABM është i barabartë me 60°, prandaj ky trekëndësh është një trekëndësh barabrinjës.

Këmba AC është e barabartë me gjysmën e AM, dhe meqenëse AM është e barabartë me AB, këmba AC do të jetë e barabartë me gjysmën e hipotenuzës AB.