Disa probleme mund të zgjidhen lehtësisht dhe qartë duke përdorur diagramet Euler-Venn. Për shembull, problemet që përfshijnë grupe. Nëse nuk e dini se çfarë janë diagramet Euler-Venn dhe si t'i ndërtoni ato, atëherë lexoni së pari.

Tani le ta shohim detyra tipike rreth kompleteve.

Detyra 1.

Një anketë u krye midis 100 nxënësve të një shkolle me studim të thelluar të gjuhëve të huaja. Nxënësve iu drejtua pyetja: “Çfarë gjuhë të huaja A po studion?" Doli se 48 studentë studiojnë anglisht, 26 - frëngjisht, 28 - gjermanisht. 8 studentë studiojnë anglisht dhe gjermanisht, 8 - anglisht dhe frëngjisht, 13 - frëngjisht dhe gjermanisht. 24 studentë nuk studiojnë as anglisht, as frëngjisht, as Sa nxënës të shkollës që përfunduan studimin studiojnë tre gjuhë në të njëjtën kohë: anglisht, frëngjisht dhe gjermanisht?

Përgjigje: 3.

Zgjidhja:

• shumë nxënës që mësojnë anglisht ("A");
• shumë nxënës që studiojnë frëngjisht (“F”);
• shumë nxënës që studiojnë gjermanisht (“N”).

Le të përshkruajmë duke përdorur diagramin Euler-Venn atë që na është dhënë sipas kushtit.

Le ta shënojmë zonën e dëshiruar A=1, Ф=1, Н=1 si “x” (në tabelën e mëposhtme, zona nr. 7). Le të shprehim zonat e mbetura në terma x.

0) Rajoni A=0, Ф=0, Н=0: 24 nxënës - jepen sipas kushteve të problemit.

1) Zona A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x nxënës.

2) Zona A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x nxënës.

3) Zona A=0, F=1, N=1: 13 nxënës.

4) Zona A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x nxënës.

5) Zona A=1, F=0, H=1: 8 nxënës.

6) Zona A=1, F=1, H=0: 8 nxënës.

Le të përcaktojmë x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Ne zbuluam se 3 nxënës studionin tre gjuhë në të njëjtën kohë: anglisht, frëngjisht dhe gjermanisht.

Kështu do të duket diagrami Euler-Venn për x të njohur:

Detyra 2.

Në Olimpiadën e Matematikës, nxënësve iu kërkua të zgjidhin tre probleme: një në algjebër, një në gjeometri, një në trigonometri. Në Olimpiadë morën pjesë 1000 nxënës. Rezultatet e Olimpiadës ishin si më poshtë: 800 pjesëmarrës zgjidhën problemin në algjebër, 700 në gjeometri, 600 nxënës zgjidhën probleme në algjebër dhe gjeometri, 500 në algjebër dhe trigonometri, 400 në gjeometri. 300 njerëz zgjidhën probleme në algjebër, gjeometri dhe trigonometri. Sa nxënës nuk zgjidhën një problem të vetëm?

Përgjigje: 100.

Zgjidhja:

Së pari, ne përcaktojmë grupet dhe prezantojmë shënimin. Janë tre prej tyre:

• shumë probleme në algjebër ("A");
• shumë probleme në gjeometri ("G");
• shumë probleme në trigonometri ("T").

Le të përshkruajmë atë që duhet të gjejmë:

Le të përcaktojmë numrin e nxënësve për të gjitha fushat e mundshme.

Le ta shënojmë zonën e dëshiruar A=0, G=0, T=0 si “x” (në tabelën e mëposhtme, zona nr. 0).

Le të gjejmë zonat e mbetura:

1) Zona A=0, G=0, T=1: nuk ka nxënës.

2) Zona A=0, G=1, T=0: nuk ka nxënës.

3) Sipërfaqja A=0, G=1, T=1: 100 nxënës.

4) Zona A=1, G=0, T=0: nuk ka nxënës.

5) Rajoni A=1, G=0, T=1: 200 nxënës.

6) Zona A=1, G=1, T=0: 300 nxënës.

7) Rajoni A=1, G=1, T=1: 300 nxënës.

Le të shkruajmë vlerat e zonave në tabelë:

Le të shfaqim vlerat për të gjitha zonat duke përdorur një diagram:

Le të përcaktojmë x:

x=U-(A V Г V Т), ku U është universi.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Ne konstatuam se 100 nxënës nuk zgjidhën asnjë problem.

Detyra 3.

Në Olimpiadën e Fizikës, nxënësve iu kërkua të zgjidhin tre probleme: një në kinematikë, një në termodinamikë dhe një në optikë. Rezultatet e Olimpiadës ishin si më poshtë: 400 pjesëmarrës zgjidhën problemin në kinematikë, 350 në termodinamikë dhe 300 në optikë, 300 nxënës zgjidhën probleme në kinematikë dhe termodinamikë, 200 në kinematikë dhe optikë, 150 në termodinamikë. 100 njerëz zgjidhën probleme në kinematikë, termodinamikë dhe optikë. Sa nxënës zgjidhën dy probleme?

Përgjigje: 350.

Zgjidhja:

Së pari, ne përcaktojmë grupet dhe prezantojmë shënimin. Janë tre prej tyre:

• shumë probleme në kinematikë ("K");
• shumë probleme në termodinamikë ("T");
• shumë probleme në optikë ("O").

Le të përshkruajmë duke përdorur diagramin Euler-Venn atë që na është dhënë sipas kushtit:

Le të përshkruajmë atë që duhet të gjejmë:

Le të përcaktojmë numrin e nxënësve për të gjitha fushat e mundshme:

0) Rajoni K=0, T=0, O=0: i pa përcaktuar.

1) Rajoni K=0, T=0, O=1: 50 nxënës.

2) Rajoni K=0, T=1, O=0: nuk ka nxënës.

3) Rajoni K=0, T=1, O=1: 50 nxënës.

4) Zona K=1, T=0, O=0: nuk ka nxënës.

5) Rajoni K=1, T=0, O=1: 100 nxënës.

6) Rajoni K=1, T=1, O=0: 200 nxënës.

7) Rajoni K=1, T=1, O=1: 100 nxënës.

Le të shkruajmë vlerat e zonave në tabelë:

Le të shfaqim vlerat për të gjitha zonat duke përdorur një diagram:

Le të përcaktojmë x.

x=200+100+50=350.

E morëm, 350 nxënës zgjidhën dy probleme.

Detyra 4.

Është bërë një sondazh mes kalimtarëve. U bë pyetja: "Çfarë kafshe keni?" Sipas rezultateve të sondazhit, rezultoi se 150 njerëz kanë një mace, 130 kanë një qen dhe 50 kanë një zog. 60 njerëz kanë një mace dhe një qen, 20 kanë një mace dhe një zog, 30 kanë një qen dhe një zog. 70 persona nuk kanë fare kafshë shtëpiake. 10 persona kanë një mace, një qen dhe një zog. Sa kalimtarë morën pjesë në sondazh?

Përgjigje: 300.

Zgjidhja:

Së pari, ne përcaktojmë grupet dhe prezantojmë shënimin. Janë tre prej tyre:

• shumë njerëz që kanë një mace ("K");
• shumë njerëz që kanë një qen ("C");
• shumë njerëz që kanë një zog ("P").

Le të përshkruajmë duke përdorur diagramin Euler-Venn atë që na është dhënë sipas kushtit:

Le të përshkruajmë atë që duhet të gjejmë:

Le të përcaktojmë numrin e njerëzve për të gjitha fushat e mundshme:

0) Rajoni K=0, S=0, P=0: 70 persona.

1) Sipërfaqja K=0, S=0, P=1: 10 persona.

2) Rajoni K=0, S=1, P=0: 50 persona.

3) Sipërfaqja K=0, S=1, P=1: 20 persona.

4) Rajoni K=1, S=0, P=0: 80 persona.

5) Sipërfaqja K=1, T=0, O=1: 10 persona.

6) Sipërfaqja K=1, T=1, O=0: 50 persona.

7) Sipërfaqja K=1, T=1, O=1: 10 persona.

Le të shkruajmë vlerat e zonave në tabelë:

Le të shfaqim vlerat për të gjitha zonat duke përdorur një diagram:

Le të përcaktojmë x:

x=U (univers)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Ne zbuluam se 300 persona morën pjesë në anketë.

Detyra 5.

120 persona hynë në një specialitet në një nga universitetet. Aplikantët dhanë tre provime: në matematikë, shkenca kompjuterike dhe në gjuhën ruse. 60 persona kaluan matematikë, 40 - shkenca kompjuterike 30 aplikantë kaluan matematikë dhe shkenca kompjuterike, 30 - matematikë dhe gjuhë ruse, 25 - shkenca kompjuterike dhe gjuhë ruse. Të tre provimet i kaluan 20 persona dhe dështuan 50 persona. Sa aplikantë kaluan testin e gjuhës ruse?

Niveli i hyrjes

Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve duke përdorur grafikët e funksioneve. Udhëzues vizual (2019)

Shumë detyra që jemi mësuar t'i llogaritim thjesht në mënyrë algjebrike mund të zgjidhen shumë më lehtë dhe më shpejt duke përdorur grafikët e funksionit. Ju thoni "si kështu?" vizatoni diçka dhe çfarë të vizatoni? Më besoni, ndonjëherë është më e përshtatshme dhe më e lehtë. Le të fillojmë? Le të fillojmë me ekuacionet!

Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Zgjidhja grafike e ekuacioneve lineare

Siç e dini tashmë, grafiku i një ekuacioni linear është një vijë e drejtë, prandaj emri i këtij lloji. Ekuacionet lineare janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur në mënyrë algjebrike - ne transferojmë të gjitha të panjohurat në njërën anë të ekuacionit, gjithçka që dimë në anën tjetër dhe voila! E gjetëm rrënjën. Tani do t'ju tregoj se si ta bëni atë grafikisht.

Pra, ju keni ekuacionin:

Si ta zgjidhim atë?
Opsioni 1, dhe më e zakonshmja është zhvendosja e të panjohurave në njërën anë dhe të njohurat në anën tjetër, marrim:

Tani le të ndërtojmë. Çfarë keni marrë?

Cila mendoni se është rrënja e ekuacionit tonë? Ashtu është, koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve është:

Përgjigja jonë është

Kjo është e gjithë mençuria e zgjidhjes grafike. Siç mund ta kontrolloni lehtësisht, rrënja e ekuacionit tonë është një numër!

Siç thashë më lart, ky është opsioni më i zakonshëm, afër zgjidhje algjebrike, por mund ta zgjidhni ndryshe. Për shqyrtim zgjidhje alternative Le të kthehemi te ekuacioni ynë:

Këtë herë ne nuk do të lëvizim asgjë nga njëra anë në tjetrën, por do të ndërtojmë grafikët drejtpërdrejt, pasi ata tani ekzistojnë:

E ndërtuar? Le të shohim!

Cila është zgjidhja këtë herë? Kjo është e drejtë. E njëjta gjë - koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve:

Dhe, përsëri, përgjigja jonë është.

Siç mund ta shihni, me ekuacionet lineare gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë. Është koha për të parë diçka më komplekse... Për shembull, zgjidhje grafike e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve kuadratike

Pra, tani le të fillojmë të zgjidhim ekuacionin kuadratik. Le të themi se ju duhet të gjeni rrënjët e këtij ekuacioni:

Sigurisht, tani mund të filloni të numëroni përmes diskriminuesit, ose sipas teoremës së Vietës, por shumë njerëz, nga nervat, bëjnë gabime kur shumëzojnë ose katrorojnë, veçanërisht nëse shembulli është me numra të mëdhenj, dhe, siç e dini, nuk do të keni makinë llogaritëse për provimin... Prandaj, le të përpiqemi të pushojmë pak dhe të vizatojmë gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni.

Gjeni zgjidhje në mënyrë grafike ekuacioni i dhënë Mund në mënyra të ndryshme. Le të shohim opsionet e ndryshme dhe ju mund të zgjidhni se cila ju pëlqen më shumë.

Metoda 1. Direkt

Ne thjesht ndërtojmë një parabolë duke përdorur këtë ekuacion:

Për ta bërë këtë shpejt, unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: Është i përshtatshëm për të filluar ndërtimin duke përcaktuar kulmin e parabolës. Formulat e mëposhtme do të ndihmojnë në përcaktimin e koordinatave të kulmit të një parabole:

Do të thuash “Stop! Formula për është shumë e ngjashme me formulën për gjetjen e diskriminuesit,” po, është, dhe ky është një disavantazh i madh i ndërtimit “drejtpërdrejt” të një parabole për të gjetur rrënjët e saj. Megjithatë, le të numërojmë deri në fund, dhe pastaj do t'ju tregoj se si ta bëni atë shumë (shumë!) më lehtë!

A keni numëruar? Çfarë koordinatash keni marrë për kulmin e parabolës? Le ta kuptojmë së bashku:

Saktësisht e njëjta përgjigje? bravo! Dhe tani ne tashmë i dimë koordinatat e kulmit, por për të ndërtuar një parabolë na duhen më shumë... pikë. Sa pikë minimale mendoni se na duhen? E drejta,.

Ju e dini që një parabolë është simetrike në lidhje me kulmin e saj, për shembull:

Prandaj, ne kemi nevojë për dy pika të tjera në degën e majtë ose të djathtë të parabolës, dhe në të ardhmen do t'i pasqyrojmë në mënyrë simetrike këto pika në anën e kundërt:

Le të kthehemi te parabola jonë. Për rastin tonë, pika. Ne kemi nevojë për dy pikë të tjera, kështu që mund të marrim ato pozitive, apo mund të marrim ato negative? Cilat pika janë më të përshtatshme për ju? Është më e përshtatshme për mua të punoj me pozitive, kështu që do të llogaris në dhe.

Tani kemi tre pika dhe mund ta ndërtojmë me lehtësi parabolën tonë duke reflektuar dy pikat e fundit në lidhje me majën e saj:

Cila mendoni se është zgjidhja e ekuacionit? Kjo është e drejtë, pikat në të cilat, domethënë, dhe. Sepse.

Dhe nëse themi këtë, do të thotë se duhet të jetë gjithashtu e barabartë, ose.

Vetëm? Ne kemi përfunduar zgjidhjen e ekuacionit në një mënyrë grafike komplekse, ose do të ketë më shumë!

Sigurisht, ju mund ta kontrolloni përgjigjen tonë në mënyrë algjebrike - mund të llogaritni rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s ose Diskriminuesin. Çfarë keni marrë? E njëjta gjë? E shihni! Tani le të shohim një zgjidhje grafike shumë të thjeshtë, jam i sigurt se do t'ju pëlqejë shumë!

Metoda 2. Ndarë në disa funksione

Le të marrim të njëjtin ekuacion: , por do ta shkruajmë pak më ndryshe, domethënë:

A mund ta shkruajmë kështu? Ne mundemi, pasi transformimi është ekuivalent. Le të shohim më tej.

Le të ndërtojmë dy funksione veç e veç:

1. - orari është parabolë e thjeshtë, të cilin mund ta ndërtoni lehtësisht edhe pa përcaktuar kulmin duke përdorur formula dhe duke hartuar një tabelë për të përcaktuar pikat e tjera.
2. - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni po aq lehtë duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E ndërtuar? Le të krahasojmë me atë që kam marrë:

A mendoni se në në këtë rast janë rrënjët e ekuacionit? E drejtë! Koordinatat e marra nga kryqëzimi i dy grafikëve dhe, domethënë:

Prandaj, zgjidhja e këtij ekuacioni është:

Çfarë thoni ju? Pajtohem, kjo metodë e zgjidhjes është shumë më e lehtë se ajo e mëparshmja dhe madje më e lehtë sesa kërkimi i rrënjëve përmes një diskriminuesi! Nëse po, provoni të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm duke përdorur këtë metodë:

Çfarë keni marrë? Le të krahasojmë grafikët tanë:

Grafikët tregojnë se përgjigjet janë:

A ia dolët? bravo! Tani le t'i shohim ekuacionet pak më të ndërlikuara, domethënë zgjidhjen ekuacione të përziera, pra ekuacione që përmbajnë funksione të llojeve të ndryshme.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve të përziera

Tani le të përpiqemi të zgjidhim sa vijon:

Sigurisht, ne mund të sjellim gjithçka emërues i përbashkët, gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton, duke mos harruar të marrim parasysh ODZ, por përsëri, ne do të përpiqemi ta zgjidhim atë grafikisht, siç bëmë në të gjitha rastet e mëparshme.

Këtë herë le të ndërtojmë 2 grafikët e mëposhtëm:

1. - grafiku është një hiperbolë
2. - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni lehtësisht duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E kuptove? Tani filloni ndërtimin.

Ja çfarë mora:

Duke parë këtë foto, më thuaj cilat janë rrënjët e ekuacionit tonë?

Kjo është e drejtë, dhe. Ja konfirmimi:

Provoni të futni rrënjët tona në ekuacion. A funksionoi?

Kjo është e drejtë! Pajtohem, zgjidhja grafike e ekuacioneve të tilla është një kënaqësi!

Mundohuni ta zgjidhni vetë ekuacionin grafikisht:

Unë do t'ju jap një sugjerim: zhvendosni një pjesë të ekuacionit në anën e djathtë, në mënyrë që në të dyja anët të ketë funksionet më të thjeshta për t'u ndërtuar. E morët sugjerimin? Merrni masa!

Tani le të shohim se çfarë keni:

Përkatësisht:

1. - parabolë kubike.
2. - vijë e drejtë e zakonshme.

Epo, le të ndërtojmë:

Siç e keni shkruar shumë kohë më parë, rrënja e këtij ekuacioni është - .

Pasi vendosi këtë numër i madh shembuj, jam i sigurt që e keni kuptuar se sa shpejt dhe lehtë mund të zgjidhni ekuacionet grafikisht. Është koha për të kuptuar se si t'i zgjidhni sistemet në këtë mënyrë.

Zgjidhja grafike e sistemeve

Zgjidhje grafike sistemet në thelb nuk ndryshojnë nga zgjidhja grafike e ekuacioneve. Ne gjithashtu do të ndërtojmë dy grafikë, dhe pikat e kryqëzimit të tyre do të jenë rrënjët e këtij sistemi. Një grafik është një ekuacion, grafiku i dytë është një ekuacion tjetër. Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë!

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë - zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare

Le të themi se kemi sistemin e mëposhtëm:

Së pari, le ta transformojmë atë në mënyrë që në të majtë të ketë gjithçka që lidhet me të, dhe në të djathtë - gjithçka që lidhet me të. Me fjalë të tjera, le t'i shkruajmë këto ekuacione si funksion në formën tonë të zakonshme:

Tani ne thjesht ndërtojmë dy vija të drejta. Cila është zgjidhja në rastin tonë? E drejtë! Pika e kryqëzimit të tyre! Dhe këtu duhet të jeni shumë, shumë të kujdesshëm! Mendoni për këtë, pse? Më lejoni t'ju jap një sugjerim: kemi të bëjmë me një sistem: në sistem ka të dyja, dhe... E kuptuat?

Kjo është e drejtë! Kur zgjidhim një sistem, duhet të shikojmë të dyja koordinatat, dhe jo vetëm si kur zgjidhim ekuacione! Një tjetër pikë e rëndësishme- shkruajini saktë dhe mos i ngatërroni ku e kemi kuptimin dhe ku është kuptimi! E ke shkruar? Tani le të krahasojmë gjithçka në rend:

Dhe përgjigjet: dhe. Bëni një kontroll - zëvendësoni rrënjët e gjetura në sistem dhe sigurohuni nëse e kemi zgjidhur saktë grafikisht?

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve jolineare

Po sikur, në vend të një vije të drejtë, të kemi ekuacioni kuadratik? është në rregull! Ju thjesht ndërtoni një parabolë në vend të një vije të drejtë! Nuk më besoni? Provoni të zgjidhni sistemin e mëposhtëm:

Cili është hapi ynë i ardhshëm? Është e drejtë, shkruajeni në mënyrë që të jetë e përshtatshme për ne të ndërtojmë grafikë:

Dhe tani gjithçka është çështje e gjërave të vogla - ndërtojeni shpejt dhe ja ku është zgjidhja juaj! Ne po ndërtojmë:

A dolën grafikët njësoj? Tani shënoni zgjidhjet e sistemit në figurë dhe shkruani saktë përgjigjet e identifikuara!

A keni bërë gjithçka? Krahasoni me shënimet e mia:

A është gjithçka në rregull? bravo! Ju tashmë jeni duke klikuar detyra të ngjashme si arra! Nëse po, le t'ju japim një sistem më të komplikuar:

çfarë po bëjmë? E drejtë! Ne e shkruajmë sistemin në mënyrë që të jetë i përshtatshëm për të ndërtuar:

Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël, pasi sistemi duket shumë i ndërlikuar! Kur ndërtoni grafikë, ndërtoni ato "më shumë", dhe më e rëndësishmja, mos u habitni nga numri i pikave të kryqëzimit.

Pra, le të shkojmë! Shfryrë? Tani filloni të ndërtoni!

Pra, si? E bukur? Sa pika kryqëzimi keni marrë? Unë kam tre! Le të krahasojmë grafikët tanë:

Gjithashtu? Tani shkruani me kujdes të gjitha zgjidhjet e sistemit tonë:

Tani shikoni përsëri sistemin:

Mund ta imagjinoni se e keni zgjidhur këtë në vetëm 15 minuta? Dakord, matematika është ende e thjeshtë, veçanërisht kur shikon një shprehje nuk ke frikë të bësh një gabim, por thjesht merre dhe zgjidhe! je i madh!

Zgjidhja grafike e inekuacioneve

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve lineare

Pas shembulli i fundit Ju mund të përballoni gjithçka! Tani merrni frymë - në krahasim me seksionet e mëparshme, kjo do të jetë shumë, shumë e lehtë!

Ne do të fillojmë, si zakonisht, me një zgjidhje grafike pabarazia lineare. Për shembull, ky:

Së pari, le të bëjmë transformimet më të thjeshta - hapni kllapat katrorë të plotë dhe jepni terma të ngjashëm:

Pabarazia nuk është e rreptë, prandaj nuk përfshihet në interval dhe zgjidhja do të jenë të gjitha pikat që janë në të djathtë, pasi më shumë, më shumë, e kështu me radhë:

Përgjigje:

Kjo është ajo! Lehtësisht? Le të zgjidhim një pabarazi të thjeshtë me dy ndryshore:

Le të vizatojmë një funksion në sistemin koordinativ.

A keni marrë një orar të tillë? Tani le të shohim me kujdes se çfarë pabarazie kemi atje? Më pak? Kjo do të thotë që ne pikturojmë mbi gjithçka që është në të majtë të vijës sonë të drejtë. Po sikur të kishte më shumë? Kjo është e drejtë, atëherë ne do të pikturonim mbi gjithçka që është në të djathtë të vijës sonë të drejtë. Është e thjeshtë.

Të gjitha zgjidhjet të kësaj pabarazie"me hije" portokalli. Kaq, zgjidhet pabarazia me dy ndryshore. Kjo do të thotë se koordinatat e çdo pike nga zona e hijezuar janë zgjidhjet.

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve kuadratike

Tani do të kuptojmë se si të zgjidhim grafikisht pabarazitë kuadratike.

Por, para se të fillojmë me biznesin, le të shqyrtojmë disa materiale në lidhje me funksionin kuadratik.

Për çfarë është përgjegjës diskriminuesi? Kjo është e drejtë, për pozicionin e grafikut në lidhje me boshtin (nëse nuk e mbani mend këtë, atëherë lexoni patjetër teorinë për funksionet kuadratike).

Në çdo rast, këtu është një kujtesë e vogël për ju:

Tani që kemi rifreskuar të gjithë materialin në kujtesën tonë, le t'i drejtohemi punës - zgjidhim pabarazinë grafikisht.

Unë do t'ju them menjëherë se ka dy mundësi për ta zgjidhur atë.

Opsioni 1

Ne shkruajmë parabolën tonë si funksion:

Duke përdorur formulat, ne përcaktojmë koordinatat e kulmit të parabolës (saktësisht njësoj si kur zgjidhim ekuacionet kuadratike):

A keni numëruar? Çfarë keni marrë?

Tani le të marrim dy pika të tjera të ndryshme dhe të llogarisim për to:

Le të fillojmë të ndërtojmë një degë të parabolës:

Ne pasqyrojmë në mënyrë simetrike pikat tona në një degë tjetër të parabolës:

Tani le të kthehemi te pabarazia jonë.

Ne kemi nevojë që të jetë më pak se zero, respektivisht:

Meqenëse në pabarazinë tonë shenja është rreptësisht më e vogël se, atëherë pikat fundore ne përjashtojmë - "shpoj".

Përgjigje:

Rrugë e gjatë, apo jo? Tani do t'ju tregoj një version më të thjeshtë të zgjidhjes grafike duke përdorur shembullin e të njëjtës pabarazi:

Opsioni 2

Ne i kthehemi pabarazisë sonë dhe shënojmë intervalet që na duhen:

Dakord, është shumë më shpejt.

Le të shkruajmë tani përgjigjen:

Le të shqyrtojmë një zgjidhje tjetër që thjeshton pjesën algjebrike, por gjëja kryesore është të mos ngatërrohemi.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Mundohuni të zgjidhni vetë çështjet e mëposhtme pabarazia kuadratike në çdo mënyrë që ju pëlqen: .

A ia dolët?

Shikoni si doli grafiku im:

Përgjigje: .

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve të përziera

Tani le të kalojmë te pabarazitë më komplekse!

Si ju pëlqen kjo:

Është e frikshme, apo jo? Sinqerisht, nuk e kam idenë se si ta zgjidh këtë në mënyrë algjebrike... Por nuk është e nevojshme. Grafikisht nuk ka asgjë të komplikuar për këtë! Sytë kanë frikë, por duart po bëjnë!

Gjëja e parë me të cilën do të fillojmë është duke ndërtuar dy grafikë:

Unë nuk do të shkruaj një tabelë për secilën prej tyre - jam i sigurt se mund ta bëni atë në mënyrë të përsosur vetë (wow, ka kaq shumë shembuj për të zgjidhur!).

E keni pikturuar? Tani ndërtoni dy grafikë.

Le të krahasojmë vizatimet tona?

A është e njëjta gjë me ju? E shkëlqyeshme! Tani le të rregullojmë pikat e kryqëzimit dhe të përdorim ngjyrën për të përcaktuar se cilin grafik duhet të kemi më të madh në teori, domethënë. Shikoni çfarë ndodhi në fund:

Tani le të shohim se ku grafiku ynë i zgjedhur është më i lartë se grafiku? Mos ngurroni të merrni një laps dhe të lyeni këtë zonë! Ajo do të jetë zgjidhja e pabarazisë sonë komplekse!

Në cilat intervale përgjatë boshtit ndodhemi më lart se? E drejta,. Kjo është përgjigja!

Epo, tani ju mund të trajtoni çdo ekuacion, çdo sistem dhe aq më tepër çdo pabarazi!

SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur grafikët e funksionit:

1. Le ta shprehim përmes
2. Le të përcaktojmë llojin e funksionit
3. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve që rezultojnë
4. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve
5. Le ta shkruajmë saktë përgjigjen (duke marrë parasysh ODZ dhe shenjat e pabarazisë)
6. Le të kontrollojmë përgjigjen (zëvendësojmë rrënjët në ekuacion ose sistem)

Për më shumë informacion rreth ndërtimit të grafikëve të funksioneve, shihni temën "".

>> Mësimi 11. Grafikët e kolonave dhe vijave

Marrëdhënia midis sasive mund të përfaqësohet vizualisht me shirita ose segmente.

Tabela tregon kohën e kaluar nga fëmijët në rrugën nga shtëpia në shkollë.

Është e lehtë të nxirret nga diagrami karakteristika të ndryshme marrëdhëniet ndërmjet sasive. Për shembull, nga diagrami ynë është menjëherë e qartë se Igor merr më shumë kohë për të shkuar në shkollë, dhe Tanya më shpejt, që Olya dhe Misha kalojnë të njëjtën kohë në rrugën për në shkollë - 15 minuta, dhe rruga për në shkollë për Sasha dhe Igor merr më shumë se 15 minuta etj.

1. Toka magjike përbëhet nga pesë pjesë: Toka Rozë. E verdhë, blu. Vjollca dhe qyteti i smeraldit.

a) Grafiku me shtylla tregon sasinë e reshjeve në një vit në Vendin Blu. Duke përdorur diagramin, përgjigjuni pyetjeve:

1) Sa reshje ranë në shtator?
2) Kur ka qenë sasia më e vogël e reshjeve, dhe kur ka qenë më e shumta?
3) Në cilët muaj ka rënë e njëjta sasi reshjesh?
4) Kur kanë rënë 90 mm reshje, dhe kur kanë rënë më shumë se 90 mm?
5) Kur kanë rënë më pak se 60 mm reshje?
b) Sa më pak reshje ranë në gusht se në tetor?
7) Sa reshje ranë gjatë çdo sezoni? Sa reshje ka pasur gjatë gjithë vitit?

b) Bazuar në të dhënat e tabelës, ndërtoni një grafik me shtylla të reshjeve në qytetin Emerald gjatë vitit. Analizoni atë.

c) Grafiku i linjës tregon informacionin mbi lindshmërinë e fëmijëve në vendin rozë për vitin. Duke përdorur diagramin, përgjigjuni pyetjeve:

1) Sa fëmijë kanë lindur në korrik?
2) Në cilin muaj kanë lindur më së shumti fëmijë dhe në cilin muaj më pak?
3) Sa fëmijë kanë lindur në verë? Sa fëmijë kanë lindur në një vit?
4) Sa fëmijë më shumë kanë lindur në maj se në prill?
5) Në cilët muaj kanë lindur 500 fëmijë?
6) Në cilët muaj kanë lindur më shumë se 600 fëmijë?

Rrëshqitni vijë e thyer, duke lidhur në mënyrë sekuenciale skajet e sipërme të segmenteve të diagramit dhe përcaktoni se në cilët muaj u rrit lindshmëria e fëmijëve, në cilët muaj u ul dhe kur nuk ndryshoi.

d) Bazuar në të dhënat e tabelës, ndërtoni një diagram linear të lindshmërisë së fëmijëve në Vendi i purpurt. Analizoni atë.

2. Përcaktoni koordinatat e pikave A, B, C, D, E dhe F dhe gjeni gjatësinë e segmenteve AB, CD, EF.

3. Zgjidh ekuacionet:

4. “Turneu Blitz”.

a) Korbi Kaggi-Karr fluturoi në 4 orë dhe km. Sa larg do të fluturojë për 7 orë nëse fluturon me të njëjtën shpejtësi?

b) Ellie eci përgjatë luginës b km, dhe përgjatë rrugës malore - vetëm 24% e kësaj distance. Me çfarë shpejtësie eci Ellie përgjatë rrugës malore nëse e mbulonte për 3 orë?

c) Në ushtrinë e Oorfene Deuce kishte nëntetare, që përbënin 15% të numrit të ushtarëve në ushtrinë e tij. Sa më shumë ushtarë se nëntetare kishte në ushtrinë e Oorfene Deuce?

d) Oorfene Deuce vendosi të bënte x ushtarë prej druri për ushtrinë e tij. Ai e bën atë për ushtarët brenda një dite. Sa ushtarë i ka mbetur për të bërë pas 9 ditësh? puna ?

e) Sailor Charlie mbushi 5 vjeç. Sa vjeç do të jetë pas 4 vitesh?

5. Vendi Rozë ka 540,000 banorë, që është po aq popullsi me Vendin Blu. 40% e popullsisë jeton në Vendin e Verdhë numri total banorët e vendeve Rozë dhe Blu, dhe në vendin e Vjollcës ka 78,000 banorë më shumë se në vendin e Verdhë. Sa banorë ka në qytetin e smeraldit, nëse gjithsej ka 3 000 000 banorë në Tokën Magjike?

6. Shkruani grupin zgjidhje natyrale pabarazitë:

7*. Vizatoni një diagram të Tokës Magjike nëse e dini se vendet Blu, Vjollcë dhe Rozë kanë një kufi të përbashkët me katër pjesët e tjera. Vendi i Verdhë dhe Qyteti smerald nuk e kanë njëri-tjetrin kufiri i përbashkët, dhe Vendi i Verdhë është i rrethuar nga të gjitha anët nga Shkretëtira e Madhe, duke u ndarë tokë magjike nga pjesa tjetër e botës.

Peterson Lyudmila Georgievna. Matematika. klasën e 4-të. Pjesa 3. - M.: Shtëpia Botuese Yuventa, 2005, - 64 f.: ill.

Në figurë, pikat e theksuara tregojnë sasinë ditore të reshjeve që ranë në qytetin e N nga 4 shkurti deri më 17 shkurt 1908. Datat e muajit tregohen horizontalisht, dhe sasia e reshjeve që ranë në ditën përkatëse në milimetra tregohet vertikalisht. Për qartësi, pikat e theksuara në figurë janë të lidhura me një vijë. Përcaktoni nga fotografia në cilën datë kanë rënë saktësisht 2 milimetra reshje për herë të parë.

Zgjidhje

Zgjedhim një pikë me ordinaten 2 dhe abshisën më të vogël. Shohim që abshisa e saj është 8. Kjo do të thotë se më 8 shkurt ranë për herë të parë 2 mm reshje.

Përgjigju

gjendja

Grafiku tregon procesin e ngrohjes së motorit të makinës. Boshti i abshisës tregon kohën në minuta që ka kaluar që nga fillimi i motorit, dhe boshti y tregon temperaturën e motorit në gradë Celsius. Përcaktoni nga grafiku sa minuta është ngrohur motori nga temperatura 30 ^(\rreth)C deri në temperaturë 70 ^(\rreth)C.

Zgjidhje

Në boshtin e ordinatave gjejmë intervalin nga 30 në 70^(\circ)C.

Përgjigju

Ajo korrespondon në boshtin e abshisës me një periudhë nga 1 deri në 7 minuta. Kjo do të thotë, motori nxehet për gjashtë minuta. Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit

gjendja

" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zgjidhje

Grafiku tregon varësinë e çift rrotullues të një motori makine nga numri i rrotullimeve të tij në minutë. Numri i rrotullimeve në minutë paraqitet në boshtin e abshisës. Në boshtin e ordinatave është çift rrotullimi në Nm. Që makina të fillojë të lëvizë, çift rrotullimi duhet të jetë së paku 50 Nm. Cili është numri më i ulët i rrotullimeve të motorit në minutë që kërkohet për të ndezur makinën?

Përgjigju

Zgjedhim një pikë me ordinatë 50, më afër origjinës. Duke përdorur figurën, gjejmë pikën në grafik që i korrespondon ordinatës, prej saj e ulim pingulën me boshtin e abshisës dhe marrim një pikë abshisa e së cilës është e barabartë me 2000, që është numri më i vogël i rrotullimeve.

gjendja

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Fuqia e ngrohësit në makinë rregullohet nga një rezistencë shtesë, e cila mund të ndryshohet duke rrotulluar një dorezë brenda makinës. Ndërsa rezistenca zvogëlohet, rryma rritet motor elektrik, i cili çon në rrotullimin më të shpejtë të motorit të ngrohësit. Grafiku tregon varësinë e rrymës nga rezistenca në qark. Boshti x tregon rezistencën (në ohmë), dhe boshti y tregon rrymën në amper. Doreza e ngrohësit u kthye në atë mënyrë që rryma në qark u ul nga 8 në 4 amper. Duke përdorur grafikun, përcaktoni me sa ohmë u rrit rezistenca?

Zgjidhje

Duke përdorur figurën, ne përcaktojmë në boshtin e ordinatave një hendek nga 8 në 4 amper (rryma në qarkun e motorit elektrik zvogëlohet), ajo korrespondon me një hendek në boshtin e abshisës nga 1 në 2.5 Ohms, domethënë rezistencën në qarku është rritur me 1.5 Ohm.

Përgjigju

Zgjedhim një pikë me ordinatë 50, më afër origjinës. Duke përdorur figurën, gjejmë pikën në grafik që i korrespondon ordinatës, prej saj e ulim pingulën me boshtin e abshisës dhe marrim një pikë abshisa e së cilës është e barabartë me 2000, që është numri më i vogël i rrotullimeve.

gjendja

Në aeroport, valixhet e pasagjerëve ngrihen në zonën e marrjes së bagazheve nëpërmjet një rripi transportieri. Tensioni i lejuar i rripit varet drejtpërdrejt nga këndi i prirjes së transportuesit në horizont në ngarkesën e projektimit. Kjo varësi është paraqitur në grafik. Aksi i abshisës tregon këndin e ngritjes së transportuesit në gradë, dhe boshti i ordinatave tregon forcën e tensionit të rripit në ngarkesën e lejuar (në kilogram-forcë). Duke përdorur grafikun, përcaktoni në cilin kënd të prirjes së transportuesit forca e tensionit të rripit do të jetë 200 kgf? Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.

Zgjidhje

Në boshtin e ordinatave gjejmë shenjën 200 kgf. Vizato një vijë të drejtë pingul me ordinatën derisa ajo të kryqëzohet me grafikun; nga kjo pikë (në grafik) ne ulim pingul me boshtin e abshisës, vlera përkatëse është 75. Këndi i prirjes së transportuesit në horizont është 75^(\circ) .

Përgjigju

Zgjedhim një pikë me ordinatë 50, më afër origjinës. Duke përdorur figurën, gjejmë pikën në grafik që i korrespondon ordinatës, prej saj e ulim pingulën me boshtin e abshisës dhe marrim një pikë abshisa e së cilës është e barabartë me 2000, që është numri më i vogël i rrotullimeve.

gjendja

Gjatë reaksion kimik sasia materiali fillestar(reagent), i cili ende nuk ka reaguar, gradualisht zvogëlohet me kalimin e kohës. Kjo varësi paraqitet në një grafik. Boshti i abshisës tregon kohën në minuta që ka kaluar që nga fillimi i reaksionit, dhe boshti i ordinatave tregon masën e substancës së mbetur në gram që nuk ka reaguar. Duke përdorur grafikun, përcaktoni se sa gram reagent reagoi në minutën e parë.

Drejtori i koncepteve vizuale të McKinsey, Gene Zelazny, di gjithçka për punën e tij. Kjo nuk është për t'u habitur: gjatë 55 viteve të jetës së tij që ai i kushtoi studimit të diagrameve dhe metodave të tjera të vizualizimit, ai grumbulloi përvojë të mjaftueshme, të cilën e ndau në librin "Flisni gjuhën e diagrameve".

Për lexuesit tanë - një muaj në Bookmate falas: futni kodin promovues RUSBASE duke përdorur lidhjen http://bookmate.com/code.

Hapi 3: Nga krahasimi në grafik – Zgjidhni llojin e grafikut

Çdo lloj krahasimi korrespondon me lloj i caktuar diagramet. Zgjidhni llojin e vizualizimit bazuar në llojin e krahasimit.

Formulimi i një ideje

Ndërtimi i diagrameve fillon me formulimin e idesë kryesore që dëshironi t'i përcillni audiencës me ndihmën e saj. Ideja kryesore është përgjigjja e pyetjes se çfarë na tregojnë saktësisht të dhënat dhe si lidhen ato me njëra-tjetrën.

Mënyra më e thjeshtë për ta shprehur ideja kryesore- vendoseni në titullin e diagramit.

Titulli duhet të jetë specifik dhe t'i përgjigjet pyetjes që i bëni auditorit. Kur zgjidhni fjalë, përdorni sasiore dhe karakteristikat e cilësisë dhe përpiquni të shmangni fraza të zakonshme dhe shprehjet.

Shembuj të titujve specifikë dhe të përgjithshëm

Mos harroni rregullin kryesor: një diagram - një ide. Mos u mundoni të tregoni të gjitha lidhjet dhe mendimet që keni gjetur në një grafik. Diagrame të tilla do të jenë të mbingarkuara dhe të vështira për t'u kuptuar.

Përcaktimi i llojit të krahasimit

Çdo mendim dhe ide mund të shprehet duke përdorur një nga pesë llojet e krahasimit. Detyra juaj është të zgjidhni llojin e duhur të krahasimit dhe të zgjidhni diagramin e duhur për të.

Një sugjerim i vogël:

Krahasimi pjesë-pjesë - të dhënat tuaja tregojnë një proporcion të caktuar në raport me të tërën.

Krahasimi i pozicionit - dëshironi të tregoni se si lidhen të dhënat me njëra-tjetrën.

Krahasimi i përkohshëm - ju tregoni se si ndryshojnë të dhënat me kalimin e kohës.

Krahasimi i frekuencës - dëshironi të tregoni se sa objekte bien brenda një diapazoni të caktuar.

Krahasimi korrelativ - ju tregoni sesi të dhënat varen nga njëra-tjetra.

Zgjedhja e grafikut ideal

Çdo lloj krahasimi ka llojin e vet të diagramit. Ishte prej tij zgjedhja e duhur Qartësia e perceptimit të të dhënave të vizualizuara varet.

Ekzistojnë pesë lloje tabelash dhe disa nga variacionet dhe kombinimet e tyre:

1. Tabela me byrek

"byrek" i njohur është lloji më i përdorur i grafikut. Sipas Jin, kjo është e pajustifikuar pasi ky lloj është më pak praktik dhe duhet të përbëjë pak më shumë se 5% të të gjitha diagrameve në prezantime.

2. Grafik me shtylla

Vlerat individuale në këtë grafik përfaqësohen nga shufra me gjatësi të ndryshme të vendosura horizontalisht përgjatë boshtit X Sipas mendimit të autorit, kjo është grafiku më i nënvlerësuar, lloji më fleksibël dhe i gjithanshëm dhe duhet të përbëjë 25% të të gjithëve. grafikët e përdorur.

3. Histogram

Marrëdhëniet sasiore të një treguesi të caktuar paraqiten në formën e drejtkëndëshave, sipërfaqet e të cilëve janë proporcionale. Më shpesh, për lehtësinë e perceptimit, gjerësia e drejtkëndëshave merret të jetë e njëjtë, ndërsa lartësia e tyre përcakton raportin e parametrit të shfaqur.

4. Orari

E njohur për të gjithë nga shkolla grafikët e linjës përbëhet nga pika në një rrjet koordinativ të lidhur me vija. Përdoret për të karakterizuar variacionin, dinamikën dhe marrëdhëniet. Së bashku me histogramin, ato duhet të përbëjnë gjysmën e grafikëve të përdorur.

5. Komploti i shpërndarjes

I njohur gjithashtu si scatterplot, përdoret për të vendosur pikat e të dhënave horizontalisht dhe boshti vertikal me qëllim që të tregohet shkalla e ndikimit të një ndryshoreje në tjetrën. Sipas Zelazny, duhet të përdoret në 10% të rasteve.

mos harro! Qëllimi kryesorçdo diagram - tregoni qartë lidhjet ose varësitë midis të dhënave. Nëse ilustrimi nuk është në gjendje të tregojë marrëdhëniet, është më mirë të përdorni tabela.

Krahasimi i dyfishtë

Në disa raste, bëhet e nevojshme të tregohen disa lloje të dhënash që krahasohen dhe marrëdhënia midis tyre në një grafik.

Në raste të tilla, është e nevojshme të përcaktohet lloji kryesor i krahasimit dhe të zgjidhni një diagram bazuar në të. Për shembull, nëse doni të tregoni kontributin e divizioneve individuale në të ardhurat e përgjithshme të kompanisë sipas muajve, është më mirë të përdorni llojet e grafikëve për krahasimin e kohës: grafikun ose histogramin. Dhe nëse jeni më të interesuar për arritje specifike sesa për ndryshime me kalimin e kohës, përdorni grafikët me shirita.

Mbani mend: nëse një tabelë nuk mund të përcjellë thjesht dhe qartë idenë kryesore duke kombinuar të dhënat, është më mirë të përdorni dy miniaplikacione të veçanta.

Peshore, legjenda dhe mbishkrime të tjera

Një diagram ideal është i kuptueshëm pa informacione shtesë mbi të. Megjithatë, kjo nuk do të thotë që ju nuk mund të përdorni një peshore ose legjendë për të ndihmuar të kuptoni pikën tuaj.

Rregullat kryesore kur shtoni informacion shtesë:

Ata nuk e mbingarkojnë diagramin.

Ata nuk shpërqendrohen nga fotografia kryesore.

Ata plotësojnë diagramin.

Mund të gjeni shembuj specifikë për çdo lloj krahasimi dhe diagrame në libër ose të përdorni versionin e tyre elektronik në faqen e internetit të botuesit.