Si të llogaritet koordinata z në projeksionin perspektiv. Vetitë gjeometrike të imazheve të shumta

Në një moment të caktuar, çdo zhvillues në fushën e grafikës kompjuterike ka një pyetje: si funksionojnë këto matrica premtuese? Ndonjëherë përgjigjja është shumë e vështirë për t'u gjetur dhe, siç ndodh zakonisht, shumica e zhvilluesve heqin dorë në gjysmë të detyrës.

Kjo nuk është një zgjidhje e problemit! Le ta kuptojmë së bashku!

Le të jemi realistë me një paragjykim praktik dhe ta marrim si lëndë testimi Versionet OpenGL 3.3. Duke filluar nga ky version, çdo zhvilluesi duhet të zbatojë në mënyrë të pavarur modulin operacionet e matricës. E shkëlqyeshme, kjo është ajo që na duhet. Le të zbërthejmë detyrën tonë të vështirë dhe të nxjerrim në pah pikat kryesore. Disa fakte nga specifikimi OpenGL:

• Matricat ruhen në kolona (kolona-major);
• Koordinatat homogjene;
• Vëllimi kanonik i prerjes (CVV) në një sistem koordinatash me dorën e majtë.

Koordinatat homogjene nuk janë një sistem shumë i ndërlikuar me një numër të rregulla të thjeshta mbi shndërrimin e koordinatave konvencionale karteziane në koordinata homogjene dhe anasjelltas. Një koordinatë homogjene është një matricë rreshti e dimensionit. Për të kthyer një koordinatë karteziane në një koordinatë homogjene, është e nevojshme x, y Dhe z shumëzohen me ndonjë numër real w(përveç 0). Tjetra, duhet të shkruani rezultatin në tre komponentët e parë, dhe komponenti i fundit do të jetë i barabartë me shumëzuesin w. Me fjale te tjera:
- Koordinatat karteziane
w- numri real jo i barabartë me 0

- koordinata homogjene

Një truk i vogël: Nëse wështë e barabartë me një, atëherë gjithçka që nevojitet për përkthim është transferimi i komponentëve x, y Dhe z dhe cakto një për komponentin e fundit. Kjo do të thotë, merrni një matricë rreshti:

Disa fjalë për cilësinë zero w. Nga pikëpamja e koordinatave homogjene, kjo është mjaft e pranueshme. Koordinatat homogjene ju lejojnë të bëni dallimin midis pikave dhe vektorëve. Në një sistem koordinativ kartezian, një ndarje e tillë është e pamundur.

- pika ku ( x, y, z) – Koordinatat karteziane

- vektor, ku ( x, y, z) – vektor i rrezes

Përkthimi i kundërt i një kulmi nga koordinatat homogjene në koordinatat karteziane kryhet si më poshtë. Të gjithë përbërësit e një matrice rreshti duhet të ndahen me komponentin e fundit. Me fjale te tjera:

- koordinata homogjene
- Koordinatat karteziane

Gjëja kryesore që duhet të dini është se të gjitha algoritmet e prerjes dhe rasterizimit të OpenGL punojnë në koordinata karteziane, por para kësaj të gjitha transformimet kryhen në koordinata homogjene. Kalimi nga koordinatat homogjene në koordinatat karteziane kryhet në harduer.

Vëllimi kanonik i prerjes (CVV) është një nga pjesët më pak të dokumentuara të OpenGL. Siç mund të shihet nga Fig. 1 CVV është një kub i përafruar me bosht i përqendruar në origjinë dhe me një gjatësi buzë të barabartë me dy. Çdo gjë që bie në zonën e CVV-së i nënshtrohet rasterizimit, gjithçka që është jashtë CVV-së injorohet. Çdo gjë që pjesërisht bie jashtë CVV-së i nënshtrohet algoritmeve të krasitjes. Gjëja më e rëndësishme që duhet të dini është se sistemi i koordinatave CVV është i majtë!

Oriz. 1. Vëllimi kanonik i prerjes OpenGL (CVV)

Sistemi i koordinatave të dorës së majtë? Si mund të jetë kjo, pasi specifikimi për OpenGL 1.0 thotë qartë se sistemi i koordinatave i përdorur është i dorës së djathtë? Le ta kuptojmë.

Oriz. 2. Sistemet e koordinatave

Siç mund të shihet nga Fig. Dy sistemet e koordinatave ndryshojnë vetëm në drejtimin e boshtit Z. OpenGL 1.0 përdor një sistem koordinativ përdoruesi me dorën e djathtë. Por sistemi i koordinatave CVV dhe sistemi i koordinatave të përdoruesit janë dy gjëra krejtësisht të ndryshme. Për më tepër, që nga versioni 3.3, nuk ka më një gjë të tillë si sistemi standard Koordinatat OpenGL. Siç u përmend më herët, vetë programuesi zbaton modulin e operacioneve të matricës. Formimi i matricave të rrotullimit, formimi i matricave të projeksionit, kërkimi i një matrice të anasjelltë, shumëzimi i matricës janë grup minimal operacionet e përfshira në modulin e operacioneve të matricës. Dy pyetje logjike lindin. Nëse vëllimi i dukshmërisë është një kub me një gjatësi të skajit të barabartë me dy, atëherë pse është e dukshme një skenë në madhësi disa mijëra në ekran? Në cilën pikë sistemi i koordinatave të përdoruesit shndërrohet në sistemin e koordinatave CVV? Matricat e projektimit janë pikërisht entiteti që merret me këto çështje.

Ideja kryesore e sa më sipër është që vetë zhvilluesi është i lirë të zgjedhë llojin e sistemit të koordinatave të përdoruesit dhe duhet të përshkruajë saktë matricat e projektimit. Kjo është ajo me faktet rreth OpenGL dhe është koha për të bashkuar gjithçka.

Një nga matricat më të zakonshme dhe më të vështira për t'u kuptuar është matrica e transformimit të perspektivës. Pra, si lidhet me CVV dhe sistemin e koordinatave të përdoruesit? Pse objektet bëhen më të vogla ndërsa largësia e tyre nga vëzhguesi rritet? Për të kuptuar pse objektet bëhen më të vogla me rritjen e distancës, le të shohim transformimet e matricës model tredimensional hap pas hapi. Nuk është sekret që çdo model tredimensional përbëhet nga një listë e fundme kulmesh që i nënshtrohen transformimeve të matricës krejtësisht të pavarura nga njëra-tjetra. Për të përcaktuar koordinatat e një kulmi tre-dimensional në një ekran dydimensional të monitorit, duhet:

1. Shndërroni koordinatat karteziane në koordinata homogjene;
2. Të shumëzohet koordinata homogjene me matricën e modelit;
3. Rezultati shumëzohet me matricën e pamjes;
4. Shumëzoni rezultatin me matricën e projeksionit;
5. Shndërroni rezultatin nga koordinatat homogjene në koordinatat karteziane.

Tani le të kalojmë në hapin e tretë. Këtu hyn në lojë hapësira e pamjes. Në këtë hapësirë, koordinatat maten në lidhje me pozicionin dhe orientimin e vëzhguesit sikur të ishte qendra e botës. Hapësira e pamjes është lokale në lidhje me hapësirën botërore, kështu që koordinatat duhet të futen në të (dhe jo të hiqen, si në rastin e mëparshëm). Direkt transformimi i matricës heq koordinatat nga një hapësirë. Përkundrazi, për t'i futur ato në të, është e nevojshme të përmbyset transformimi i matricës, prandaj transformimi i tipit përshkruhet nga matrica e kundërt. Si të merrni këtë matricë të kundërt? Së pari, le të marrim matricën e vëzhguesit të drejtpërdrejtë. Çfarë e karakterizon një vëzhgues? Vëzhguesi përshkruhet nga koordinata në të cilën ndodhet dhe vektorët e drejtimit të shikimit. Vëzhguesi gjithmonë shikon në drejtim të boshtit të tij lokal Z. Vëzhguesi mund të lëvizë nëpër skenë dhe të bëjë kthesa. Në shumë mënyra, kjo i ngjan kuptimit të matricës së modelit. Në përgjithësi, kështu është. Sidoqoftë, për një vëzhgues, operacioni i shkallëzimit është i pakuptimtë, prandaj, midis matricës së modelit të vëzhguesit dhe matricës së modelit objekt tredimensional Ju nuk mund të vendosni një shenjë të barabartë. Matrica e modelit të vëzhguesit është matrica direkte e dëshiruar. Duke e përmbysur këtë matricë, marrim matricën e pamjes. Në praktikë, kjo do të thotë që të gjitha kulmet në koordinatat homogjene globale do të marrin koordinata të reja homogjene në lidhje me vëzhguesin. Prandaj, nëse vëzhguesi pa një kulm të caktuar, atëherë vlera e koordinatës homogjene z të një kulmi të caktuar në hapësirën e pamjes do të ketë patjetër numër pozitiv. Nëse kulmi ishte prapa vëzhguesit, atëherë vlera e koordinatës së tij homogjene z në pamje hapësira do të jetë patjetër një numër negativ.

Hapi i katërt është më i madhi hap interesant. Hapat e mëparshëm janë diskutuar në mënyrë kaq të detajuar me qëllim që lexuesi të ketë foto e plotë për të gjithë operandët e hapit të katërt. Në hapin e katërt, koordinatat homogjene transferohen nga hapësira e shikimit në hapësirën CVV. Edhe një herë, theksohet fakti se të gjitha kulmet potencialisht të dukshme do të kenë vlerë pozitive koordinata homogjene z.

Konsideroni një matricë të formës:

Dhe një pikë në hapësirën homogjene të vëzhguesit:

Le të shumëzojmë koordinatën homogjene me matricën në fjalë:

Le t'i konvertojmë koordinatat homogjene që rezultojnë në koordinatat karteziane:

Le të themi se ka dy pika në hapësirë ​​me të njëjtat koordinata x Dhe y, por me koordinata të ndryshme z. Me fjalë të tjera, njëra nga pikat është prapa tjetrës. Për shkak të shtrembërimit të perspektivës, vëzhguesi duhet t'i shohë të dyja pikat. Në të vërtetë, nga formula është e qartë se për shkak të ndarjes nga koordinata z, ngjeshja ndodh në pikën e origjinës. Si më shumë vlerë z(sa më larg të jetë pika nga vëzhguesi), aq më i fortë është ngjeshja. Ky është shpjegimi për efektin e perspektivës.

Specifikimi OpenGL thotë se operacionet e prerjes dhe rasterizimit kryhen në koordinatat karteziane dhe procesi i konvertimit të koordinatave homogjene në koordinatat karteziane kryhet automatikisht.

Matrica (1) është një shabllon për një matricë projeksioni perspektiv. Siç u përmend më herët, detyra e matricës së projeksionit përbëhet nga dy pika: vendosja e një sistemi koordinativ të përdoruesit (me dorën e majtë ose të djathtë), transferimi i vëllimit të dukshmërisë së vëzhguesit në CVV. Le të nxjerrim një matricë perspektive për një sistem koordinativ përdoruesi të dorës së majtë.

Matrica e projeksionit mund të përshkruhet duke përdorur katër parametra (Fig. 3):

• Këndi i shikimit në radian ( foshnjë);
• Raporti i pamjes ( aspekti);
• Distanca nga avioni më i afërt i prerjes ( n);
• Distanca deri në aeroplanin e largët të prerjes ( f).

Le të shqyrtojmë projeksionin e një pike në hapësirën e vëzhguesit në skajin e përparmë të prerjes së vëllimit perspektiv të dukshmërisë. Për qartësi më të madhe, në Fig. 4 tregon një pamje anësore. Duhet gjithashtu të merret parasysh që sistemi i koordinatave të përdoruesit përkon me sistemin e koordinatave CVV, domethënë, sistemi i koordinatave të dorës së majtë përdoret kudo.

Oriz. 4. Projektimi i një pike arbitrare

Në bazë të vetive trekëndësha të ngjashëm barazitë e mëposhtme janë të vlefshme:

Le të shprehim yꞌ dhe xꞌ:

Në parim, shprehjet (2) janë të mjaftueshme për të marrë koordinatat e pikave të projeksionit. Sidoqoftë, për të ekzaminuar siç duhet objektet tredimensionale, duhet të dini thellësinë e secilit fragment. Me fjalë të tjera, është e nevojshme të ruhet vlera e komponentit z. Kjo është vlera e përdorur për testet e thellësisë OpenGL. Në Fig. 3 është e qartë se vlera zꞌ nuk është i përshtatshëm si një thellësi fragmenti, sepse të gjitha projeksionet e pikave munden të njëjtën vlerë zꞌ. Rruga për të dalë nga kjo situatë është përdorimi i të ashtuquajturës pseudo-thellësi.

Vetitë pseudo-thellësi:

1. Pseudo-thellësia llogaritet në bazë të vlerës z;
2. Sa më afër të jetë pika me vëzhguesin, aq më pak vlerë ka pseudothellësia;
3. Të gjitha pikat që shtrihen në rrafshin e përparmë të vëllimit të dukshmërisë kanë një vlerë pseudo-thellësie prej -1;
4. Të gjitha pikat që shtrihen në rrafshin e largët të prerjes së vëllimit të dukshmërisë kanë një vlerë pseudo-thellësie prej 1;
5. Të gjitha fragmentet që ndodhen brenda vëllimit të dukshmërisë kanë një vlerë pseudo-thellësie në intervalin [-1 1].

Shanset a Dhe b duhet llogaritur. Për ta bërë këtë, ne përdorim vetitë e pseudo-thellësive 3 dhe 4. Ne marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura:

Le të shtojmë të dy pjesët e sistemit dhe të shumëzojmë rezultatin me produktin fn, ku f Dhe n nuk mund të jetë e barabartë me zero. Ne marrim:

Le të hapim kllapat dhe të riorganizojmë termat në mënyrë që vetëm pjesa me A, dhe në të djathtë vetëm me b:

Le të zëvendësojmë (6) në (5). Le ta kthejmë shprehjen në një thyesë të thjeshtë:

Shumëzojini të dyja anët me -2 fn, ku f Dhe n nuk mund të jetë e barabartë me zero. Le të paraqesim të ngjashme, të riorganizojmë termat dhe të shprehemi b:

Le të zëvendësojmë (7) në (6) dhe të shprehim a:

Në përputhje me rrethanat, komponentët a Dhe b janë të barabarta:

Tani le t'i zëvendësojmë koeficientët e fituar në matricën e pjesës së punës (1) dhe të shohim se çfarë ndodh me koordinatat z për një pikë arbitrare në hapësirën homogjene të vëzhguesit. Zëvendësimi kryhet si më poshtë:

Lëreni distancën në rrafshin e përparmë të prerjes nështë e barabartë me 2, dhe distanca në rrafshin e largët të prerjes fështë e barabartë me 10. Konsideroni pesë pika në hapësirën homogjene të vëzhguesit:

Pika	Kuptimi	Përshkrim
1	1	Pika ndodhet përpara rrafshit të prerjes së përparme të vëllimit të dukshmërisë. Nuk kalon rasterizimin.
2	2	Pika ndodhet në skajin e përparmë të prerjes së vëllimit të dukshmërisë. Duke iu nënshtruar rasterizimit.
3	5	Pika ndodhet midis skajit të prerjes së përparme dhe skajit të largët të prerjes së volumit të dukshmërisë. Duke iu nënshtruar rasterizimit.
4	10	Pika ndodhet në skajin e largët të kufirit të vëllimit të dukshmërisë. Duke iu nënshtruar rasterizimit.
5	20	Pika ndodhet përtej skajit të largët të kufirit të vëllimit të dukshmërisë. Nuk kalon rasterizimin.

Le t'i shumëzojmë të gjitha pikat me matricën (8) dhe më pas t'i kthejmë koordinatat homogjene që rezultojnë në Koordinatat karteziane . Për ta bërë këtë, ne duhet të llogarisim vlerat e përbërësve të rinj homogjenë Dhe .
Pika 1:

vini re se koordinata homogjene është pozicionuar absolutisht saktë në CVV, dhe më e rëndësishmja, testi i thellësisë OpenGL tani është i mundur, sepse pseudo-thellësia plotëson plotësisht kërkesat e testit.

Me koordinatë z E kuptuam, le të kalojmë te koordinatat x Dhe y. Siç u tha më herët, të gjitha vëllim premtues dukshmëria duhet të përshtatet në CVV. Gjatësia e skajit CVV është dy. Prandaj, lartësia dhe gjerësia e vëllimit të dukshmërisë perspektive duhet të kompresohen në dy njësi konvencionale.

Ne kemi në dispozicion një kënd foshnjë dhe madhësisë aspekti. Le të shprehim lartësinë dhe gjerësinë duke përdorur këto vlera.

Oriz. 5. Vëllimi i dukshmërisë

Nga Fig. 5 është e qartë se:

Tani mund të marrim pamjen përfundimtare të matricës së projeksionit të perspektivës për një sistem koordinativ të personalizuar majtas që punon me CVV OpenGL:

Kjo plotëson derivimin e matricave.

Disa fjalë për DirectX - konkurrenti kryesor i OpenGL. DirectX ndryshon nga OpenGL vetëm në dimensionet e CVV dhe pozicionimin e tij. Në DirectX CVV është kuboid me gjatësi boshtore x Dhe y e barabartë me dy, dhe përgjatë boshtit z gjatësia është e barabartë me një. Gama x Dhe yështë [-1 1], dhe diapazoni z e barabartë me . Sa i përket sistemit të koordinatave CVV, DirectX, ashtu si OpenGL, përdor një sistem koordinatash të dorës së majtë.

Për tërheqje matrica premtuese për një sistem koordinativ të personalizuar me dorën e djathtë, duhet të rivizatoni figurën. 2, Fig. 3 dhe Fig. 4 duke marrë parasysh drejtimin e boshtit të ri Z. Llogaritjet e mëtejshme janë krejtësisht të ngjashme, deri në shenjë. Për matricat DirectX, vetitë pseudo-thellësi 3 dhe 4 modifikohen për t'iu përshtatur diapazonit.

Në këtë pikë, tema e matricave premtuese mund të konsiderohet e mbyllur.

Në projeksionet qendrore, skajet e objektit të shfaqur, paralel me rrafshin e figurës, përshkruhen pa shtrembërim të formës, por me shtrembërim të madhësisë.

Figura 24 Projeksionet qendrore të një kubi: a) me një pikë, b) me dy pika, c) me tre pika.

Projeksionet qendrore të çdo grupi drejtëzash paralele që nuk janë paralele me planin e figurës do të konvergojnë në pikë e zhdukjes. Pika e zhdukjes së drejtëzave paralele me një nga boshtet koordinative quhet pika kryesore e zhdukjes. Sepse Ekzistojnë tre akse koordinative, atëherë nuk mund të ketë më shumë se tre pika kryesore të zhdukjes.

Në varësi të vendndodhjes së boshteve të koordinatave dhe planit të figurës, ekzistojnë një, dy dhe tre pika. projeksionet qendrore.

Pika e vetme një projeksion fitohet kur rrafshi i figurës përkon me (ose është paralel me) një nga rrafshet koordinative. Kjo do të thotë, vetëm një bosht koordinativ nuk është paralel me rrafshin e figurës dhe ka një pikë kryesore zhdukjeje.

Pika për pikë një projeksion fitohet kur vetëm njëri prej boshteve të koordinatave është paralel me rrafshin e figurës. Dy boshtet e tjera të koordinatave nuk janë paralele me rrafshin e figurës dhe kanë dy pika kryesore të zhdukjes. Kur përshkruani objekte të vendosura në sipërfaqen e tokës, më së shpeshti përdoret projeksioni me dy pika, në të cilin rrafshi i figurës është paralel. boshti vertikal koordinatat Të dy pikat kryesore të zhdukjes janë të vendosura në të njëjtën gjë vije horizontale– vijat e horizontit (Fig. 6.5). Në tre pikësh projeksioni, të tre boshtet e koordinatave nuk janë paralele me rrafshin e figurës dhe, për rrjedhojë, ekzistojnë tre pika kryesore të zhdukjes.

Le të shqyrtojmë më në detaje rastin e projeksionit me një pikë të një pike R tek aeroplani z= 0 me qendër projeksioni ME, i shtrirë në bosht z(Fig. 25).

Pika A projektuar në ekran si A. Distanca nga vëzhguesi në planin e projeksionit është k. Është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e pikës Anë ekran. Le t'i shënojmë ato x e dhe y e. Nga ngjashmëria e trekëndëshave A y A z N Dhe y uh AKTIV ne e gjejmë atë

(x.9)

në mënyrë të ngjashme për x:

. (x.10)

Oriz. 25. Nxjerrja e formulave të projeksionit qendror.

Oriz. 26. Një mënyrë tjetër për të llogaritur koordinatat e pikave në projeksionin e perspektivës qendrore.

Kujtoni se k është distanca, dhe vëzhguesi është në pikë N= (0,0,-k). Nëse pika e vrojtimit vendoset në origjinë të koordinatave dhe rrafshi i projeksionit në distancë a, siç tregohet në figurën 26, pastaj formulat për x uh dhe y do të marrë formën:

,
(x.11)

Formulat (x.10) janë më të përshtatshme kur është e nevojshme që thjesht të zhvendoset vëzhguesi më afër ose më larg nga rrafshi i projektimit. Formulat (x.11) kërkojnë më pak kohë për llogaritjet për shkak të mungesës së operacionit të mbledhjes.

Konsideroni një pikë në hapësirën tredimensionale ( a, b, c). Nëse e imagjinojmë këtë pikë si një paraqitje homogjene të një pike në hapësirën dydimensionale, atëherë koordinatat e saj do të jenë ( a/ c, b/ c). Duke i krahasuar këto koordinata me tipin e dytë të formulave të nxjerra për projeksionin e perspektivës qendrore, është e lehtë të vërehet se paraqitja dydimensionale e një pike me koordinata ( a, b, c) duket si projeksioni i tij në një plan z= 1, siç tregohet në Fig. 27.

Oriz. 27. Projeksioni i një pike ( a, b, c) në rrafshin z = 1.

Në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh përdorimin e koordinatave homogjene për vektorët e hapësirës tre-dimensionale, mund të përfaqësohet hapësira tre-dimensionale si një projeksion i hapësirës katër-dimensionale në një hiperplan. w= 1 nëse ( x, y, z)(wx, wy, wz, w) = (x, y, z, 1). .

Në koordinatat homogjene, transformimi i perspektivës qendrore mund të përcaktohet nga një veprim matricë. Kjo matricë është shkruar si:

Le të tregojmë se kjo matricë përcakton transformimin e një pike objekti të specifikuar në koordinatat homogjene në një pikë të projeksionit të perspektivës (gjithashtu në koordinatat homogjene). Le fq= (x, y, z) – pikë në hapësirë ​​tredimensionale. Paraqitja e tij homogjene v= (wx, wy, wz, w). Shumëzoni v me P:

kjo përsërit saktësisht formulat (x.10) të nxjerra për perspektivën qendrore.

Për shkak të veçorive të vizionit njerëzor, është më mirë të aplikohet një projeksion perspektiv për objektet e largëta nga vëzhguesi, ortografik ose aksonometrik deri tek ato mjaft të afërta (në gjatësinë e krahut), dhe një projeksion perspektiv inversi për objektet edhe më të afërta.

Për krijimin imazhe stereo përdoren dy projeksione qendrore, qendrat e të cilave përkojnë me vendndodhjen e syve të një vëzhguesi hipotetik, d.m.th. ato janë të vendosura në një distancë nga njëra-tjetra në një vijë të drejtë paralele me rrafshin e figurës. Pas përfundimit të projeksionit, merren dy imazhe të objektit - për sytë e majtë dhe të djathtë. Pajisja dalëse duhet t'i sigurojë këto imazhe secilit sy të përdoruesit veç e veç. Për këtë qëllim, mund të përdoret një sistem me ngjyra ose filtra polarizues. Pajisjet më komplekse dalëse (të tilla si helmetat) paraqesin secilën prej imazheve në ekrane të veçanta për secilin sy.

Të gjitha projeksionet e diskutuara më sipër i përkasin klasës së projeksioneve të sheshta gjeometrike, sepse projeksioni bëhet në një plan (në vend se në një sipërfaqe të lakuar) dhe duke përdorur një grup vijash të drejta (në vend të kthesave). Kjo klasë e projeksioneve përdoret më shpesh në grafika kompjuterike. Në të kundërt, hartografia shpesh përdor projeksione jo planare ose jo gjeometrike.

Llojet e projeksionit perspektiv të propozuar në seksionin e mëparshëm ishin joinformative, pasi në të gjitha rastet vetëm një faqe e kubit ishte e dukshme nga çdo qendër projeksioni. Në mënyrë që një vëzhgues të perceptojë formën tredimensionale të një objekti bazuar në vetëm një pamje, disa fytyra të atij objekti duhet të jenë të dukshme. Për objekte të thjeshta si një kub, të paktën tre fytyra duhet të jenë të dukshme. Një pamje me shumë fytyra mund të merret nga një projeksion perspektiv me një pikë me një qendër fikse dhe një plan projeksioni, pingul me drejtimin shikim, nëse objekti është transferuar dhe/ose rrotulluar më parë. Më pas arrihet një pamje realiste, përveç nëse qendra e projeksionit është shumë afër temës.

Oriz. 3-31 Perspektiva me tre pika, (a) Kubi origjinal; (b) projeksion perspektiv mbi një plan; (c) kub i shtrembëruar.

Së pari, le të shqyrtojmë një transferim të thjeshtë të një objekti të ndjekur nga një projeksion me një pikë në një plan dhe me qendrën e projeksionit në pikën . Transformimi i kërkuar shkruhet në formë

, (3-59)

Oriz. 3-32 Projeksion perspektiv me një pikë me përkthim në , drejtime.

Ekuacioni (3-59) së bashku me Fig. 3-32 tregon se përkthimi në drejtime dhe hap faqe shtesë të objektit. Përkthimi në të dyja këto drejtime është i nevojshëm për të ekspozuar tre fytyrat e një objekti të thjeshtë në formë kubi. Në Fig. Figura 3-32 tregon rezultatet e transferimit të një kubi të përqendruar në lidhje me origjinën përgjatë një vije të drejtë dhe projeksion me një pikë në një plan. Vini re se për fytyrën e përparme madhësia e vërtetë dhe forma.

Ekuacioni (3-59) tregon gjithashtu se transferimi përgjatë boshtit, d.m.th. drejt ose larg qendrës së projeksionit, rezulton në një ndryshim të dukshëm në shkallë (për shkak të elementit ). Ky efekt korrespondon me realitetin fizik, pasi objektet e vendosura më larg nga vëzhguesi duken më të vogla. Vini re se ndërsa qendra e projeksionit i afrohet pafundësisë, fenomeni i shkallëzimit zhduket. Ky efekt është paraqitur në mënyrë skematike në Fig. 3-33. Siç tregohet në këtë figurë, objekti mund të jetë në të dyja anët e qendrës së projeksionit. Nëse objekti dhe rrafshi i projektimit janë në të njëjtën anë të qendrës, atëherë, siç tregohet në Fig. 3-33, merret një imazh i drejtpërdrejtë. Nëse objekti dhe rrafshi i projektimit shtrihen përgjatë anët e ndryshme nga qendra, merret një imazh i përmbysur.

Oriz. 3-33 Efekti i shkallëzimit kur lëviz përgjatë një boshti për një projeksion perspektiv me një pikë.

Në Fig. Figura 3-34 tregon rezultatet e lëvizjes së një objekti në të tre drejtimet. Këtu kubi lëviz përgjatë një linje tre-dimensionale nga në. Vihet re një rritje e dukshme në përmasa dhe në të gjitha llojet vihet re ruajtja formë e vërtetë, por jo madhësia e fytyrës së përparme.

Këto ide janë përshkruar më hollësisht në shembull.

Disa skaje do të jenë gjithashtu të dukshme nëse përdorni rrotullimin e objekteve. Një rrotullim do të zbulojë të paktën dy fytyra të një objekti, ndërsa dy ose më shumë rrotullime rreth boshteve të ndryshme do të zbulojnë të paktën tre fytyra.

Matrica e transformimit për rrotullimin rreth një boshti nga një kënd dhe projeksioni pasues perspektiv me një pikë në një plan me qendrën e projeksionit në:

. (3-60)

Në mënyrë të ngjashme, matrica e transformimit për rrotullimin rreth një boshti nga një kënd dhe projeksioni pasues i perspektivës me një pikë në një plan me qendrën e projeksionit në një pikë ka formën:

. (3-61)

Në të dy ekuacionet (3-60) dhe (3-61), dy elementët përgjegjës për transformimin e perspektivës (perspektivën) në kolonën e katërt të matricës së transformimit nuk janë të barabartë me zero. Pra, një kthesë boshti kryesor, pingul me atë boshti në të cilin shtrihet qendra e projeksionit është ekuivalent me një transformim të perspektivës me dy pika. Kur rrotullohet rreth boshtit në të cilin shtrihet qendra e projeksionit, nuk ka një efekt të tillë. Vini re se për një rrotullim, elementi perspektiv për boshtin e rrotullimit mbetet i pandryshuar, për shembull, në ekuacionet (3-60) dhe (3-61), elementët dhe janë përkatësisht të barabartë me zero.

NË rast i përgjithshëm rrotullimi rreth boshtit kryesor nuk zbulon numrin e fytyrave të nevojshme për një paraqitje adekuate tre-dimensionale - të paktën tre. Për ta bërë këtë, duhet të kombinohet me lëvizjen përgjatë boshtit. Shembulli tjetër e ilustron këtë.

Oriz. 3-35 Projeksion perspektiv me dy pika me rrotullim rreth një boshti.

Në mënyrë të ngjashme, një transformim i perspektivës me tre pika kryhet duke rrotulluar rreth dy ose më shumë boshte kryesore dhe më pas një transformim i perspektivës me një pikë. Për shembull, rrotullimi rreth boshtit, pastaj rrotullimi rreth boshtit dhe projeksioni perspektiv në një plan me qendrën e projeksionit në pikën ka matricën e mëposhtme të transformimit

.

Rezultati është treguar në Fig. 3-36.

Oriz. 3-36 Projeksion perspektiv me tre pika me rrotullim rreth dy boshteve.

Nga këto rezultate, është e qartë se një transformim i perspektivës me një, dy ose tre pika mund të ndërtohet duke përdorur rrotullime dhe përkthime rreth dhe përgjatë akseve kryesore, e ndjekur nga një transformim i perspektivës me një pikë me qendrën e projeksionit të vendosur në një nga boshtet kryesore. Këto rezultate janë gjithashtu të vlefshme për rrotullimin rreth një boshti arbitrar në hapësirë. Prandaj, kur përdoret në sistemi grafik paradigma me një qendër fikse projeksioni dhe një objekt të manipuluar, është e nevojshme të sigurohet vetëm ndërtimi i një projeksioni perspektiv me një pikë në një plan me qendrën e projeksionit në bosht.

Projeksionet perspektive

Një projeksion perspektiv i sheshtë përcaktohet në mënyrë unike nga pozicioni i pikës së vëzhgimit dhe distanca prej saj në planin e projeksionit (d). Pozicioni i pikës së vëzhgimit mund të specifikohet si vektor V, që lidh pikën e vëzhgimit dhe origjinën e sistemit koordinativ tredimensional nga i cili kryhet projeksioni. Sistemi i koordinatave tredimensionale nga i cili kryhet projeksioni quhet sistemi i koordinatave botërore.

Vektor V mund të specifikohet në një nga dy format (Fig. 6.2-1):

1) c sistemi polar koordinon përmes parametrave:

R- moduli vektor V;

Q -kënd midis boshti koordinativ X dhe projeksioni vektorial V në planin koordinativ XY të sistemit të koordinatave botërore;

J-këndi ndërmjet vektorit V dhe boshti Z i sistemit të koordinatave botërore;

2) në Sistemi kartezian koordinon përmes projeksioneve vektoriale V te boshtet koordinative të sistemit të koordinatave botërore:

V x – projeksion vektorial V në boshtin X;

V y – projeksion vektorial V në boshtin X;

V z – projeksion vektorial V në boshtin X.

Oriz.6.2 ‑ 1

Detyra e projektimit të një objekti grafik përfundimisht zbret në përcaktimin e koordinatave X,Y të pikave individuale të objektit në planin e projektimit, të cilat fillimisht janë specifikuar nga tre koordinata në sistemin e koordinatave botërore.

Përcaktimi i koordinatave të një pike në rrafshin e projektimit

Le ta zbërthejmë detyrë e përbashkët projeksioni i perspektivës në dy probleme të transformimit të koordinatave:

Transformimi në ndryshim nga sistemi koordinativ botëror në sistemin e koordinatave të shikimit

Transformimet për të shkuar nga sistemi i specieve koordinon me koordinata në rrafshin e projeksionit.

Kalo për të parë sistemin e koordinatave

Kalimi në sistemin koordinativ të pamjes është ilustruar në figurën më poshtë (Fig. 6.2-2).

Sistemi koordinativ i pamjes është sistemi tredimensional koordinon me boshtet e koordinatave X në , Y në , Z në , e cila është "e përshtatshme" për një projeksion të caktuar, d.m.th. nga i cili kryhet më lehtë kalimi në një sistem dy-dimensional në planin e projektimit (për shembull, një ekran). Për këtë lloj projeksioni perspektiv, origjina e sistemit koordinativ të pamjes duhet të jetë në pikën E, boshti i tij Z duhet të përkojë me vektorin e projeksionit. V, boshti i tij X duhet të projektohet në boshtin X e, dhe boshti i tij Y duhet të projektohet në boshtin Y e.

Oriz.6.2 ‑ 2

Bazuar në këtë, kalimi nga sistemi i koordinatave botërore në sistemin koordinativ të pamjes mund të kryhet përmes sekuencës së mëposhtme të transformimeve bazë:

1) transferimi i sistemit të koordinatave botërore në një vektor V, si rezultat i të cilit do të merret një sistem koordinativ me origjinë në pikën E dhe boshtet koordinative X 1, Y 1, Z 1 (implementuar nga matrica T -1 (-V x, -V y, -V z) );

2) rrotullimi i sistemit që rezulton në një kënd (-(90 0 -q)) në lidhje me boshtin e tij koordinativ Z 1, si rezultat i të cilit do të merret (zbatohet) një sistem me akset koordinative X 2, Y 2, Z 2 nga matrica R z -1 (-( 90 0 -q)), në të cilën vektori V ndodhet në rrafshin koordinativ Y 2, Z 2;

3) rrotullimi i sistemit që rezulton E, X 1, Y 1, Z 1 nga një kënd ((180 0 - j)) në lidhje me boshtin e tij koordinativ X 2, duke rezultuar në një sistem me boshte koordinative X 3, Y 3, Z 3, fillimi i së cilës është në pikën E, (zbatuar nga matrica R x -1 (180 0 - j)), në të cilën vektori V ndodhet në boshtin Z 3;

4) ndryshimi i drejtimit të boshtit të koordinatave X 3, si rezultat i të cilit do të merret sistemi i koordinatave të dëshiruara të pamjes me akset koordinative X në, Y në, Z në (implementuar nga matrica R (-x)).

Kështu, duke marrë parasysh katër transformimet bazë të koordinatave, për të transferuar në sistemin koordinativ të pamjes, është e nevojshme të përdoret produkti i mëposhtëm i matricave:

Për të specifikuar matricat e përdorura, ne përfaqësojmë të gjithë elementët e tyre përmes funksioneve trigonometrike sin j, cos j, sin q, cos q dhe prezantojmë shënimin:

cos j= a ; sin j = b ; cos q = c; sin q = d;

u x = -r bc; u y = -r bd; u z =-r a .

Për këtë qëllim, le t'i paraqesim matricat e renditura në shprehjen e mësipërme në formën e mëposhtme.

Matrica e Transferimit:

T -1 (u x, u y, u z)= T (-u x, -u y, -u z).

Kjo ide është legjitime, pasi matricë e anasjelltë transferimi në një vektor është i barabartë me matricën e transferimit të drejtpërdrejtë në të njëjtin vektor në drejtim të kundërt.

Duke marrë parasysh shënimet e prezantuara, do të kemi:

Matricat e rrotullimit në lidhje me boshtin Z 1:

R z -1 (-(90 0 -Q))= R z (90 0 -Q),

dhe, duke pasur parasysh se sin (90 0 -a)= cos a, mund të shkruajmë:

Matricat e rrotullimit në lidhje me boshtin koordinativ X 2:

R x -1 ((180 0 -j))= R x (-(180 0 -j)) ,

dhe, duke marrë parasysh se sin (-(180 0 -j)) =- sin j, cos (-(180 0 -j)) =- cos j, kemi:

Matrica për ndryshimin e drejtimit të boshtit të koordinatave X 2 duket si kjo:

Le të gjejmë matricën e transformimit të pamjes R në:

Le të përcaktojmë rendin e shumëzimit të matricës sipas kllapave në shënim:

Le të gjejmë R1:

Le të gjejmë produktin:

Kur gjejmë matricën e transformimit të pamjes R në, marrim parasysh nevojën për të zgjeruar matricën R 2 nga dimensioni 3 * 3 në dimensionin 4 * 4:

Kështu, matrica e transformimit të pamjes ka formën:

(6.2-1)

Kalimi nga sistemi i pamjes në koordinatat në planin e projektimit.

Për të përfunduar këtë fazë, përdorni figurën më poshtë (Fig. 6.2-3).

Emërtimet e mëposhtme përdoren në figurë:

E – origjina e sistemit koordinativ të pamjes me boshtet koordinative X në, Y në, Z në;

Т1 – pika në sistemin koordinativ të pamjes, e vendosur në plan koordinativ X në Z në ;

Т2 – një pikë në sistemin koordinativ të pamjes, e vendosur në planin koordinativ Y në Z në ;

D - distanca nga origjina e sistemit të koordinatave të pamjes në planin e projeksionit;

Xuh, Yuh- boshtet e sistemit të koordinatave në planin e projeksionit (në ekran).

Nga figura e mësipërme shihet se:

Kjo nënkupton varësinë e mëposhtme të koordinatave të një pike në ekran nga koordinatat e kësaj pike në sistemin koordinativ të pamjes:

(6.2-2)

Kështu, duke përdorur matricën e transformimit të specieve R në , të përcaktuar nga shprehja (6.2-1) dhe marrëdhëniet sipas shprehjeve (6.2-2), është e mundur të llogariten koordinatat pikët e dhëna në rrafshin e projeksionit të perspektivës.

Pikat dhe linjat e zhdukjes

Në një projeksion perspektiv, pika e zhdukjes së vijës së drejtë AA' është pika në rrafshin e projeksionit në të cilën priret projeksioni i pikës "duke ikur" deri në pafundësi përgjatë vijës së drejtë AA'. Për të prezantuar kuptimi gjeometrik pikat e zhdukjes, merrni parasysh figurën më poshtë (Fig. 6.2-4).

Simbolet e mëposhtme janë përdorur në figurë:

E - origjina e sistemit koordinativ të pamjes;

"PP" - plani i projektimit (ekrani) me akset koordinative X dhe Y.

Oriz.6.2 ‑ 4

Le të vizatojmë një vijë të drejtë Ea në pikën E, pingul me rrafshin projeksionet. Kjo drejtëzë kryqëzohet me rrafshin e projeksionit në pikën a n, e cila do të jetë pika e projeksionit të të gjitha pikave të drejtëzës Ea', duke përfshirë pikën që shkon përgjatë kësaj drejteje deri në pafundësi. Prandaj, pika a n është pika e zhdukjes për drejtëzën Ea'.

Le të marrim një pikë të caktuar b p në rrafshin e projeksionit dhe të vizatojmë një drejtëz b p b’ përmes saj, paralel me drejtëzën Ea’. Le të vizatojmë një rrafsh përmes drejtëzave Ea 'dhe b p b', të cilat do të kryqëzohen me rrafshin e projeksionit përgjatë drejtëzës b p a p . Le të marrim pikën b b në drejtëzën b p b ' dhe ta drejtojmë përgjatë një vije të drejtë deri në pafundësi.

Ndërsa pika e drejtimit lëviz përgjatë një vije të drejtë deri në pafundësi, projeksioni i saj b bp do të lëvizë përgjatë një vije të drejtë b p a p , duke u prirur të tregojë a p ndërsa pika b p priret drejt pafundësisë. Kështu, pika a p do të jetë pika e zhdukjes për drejtëzën b p b '.

Kushti i vetëm për zgjedhjen e vijës bb ' ishte që ajo të jetë paralele me drejtëzën Ea'. Rrjedhimisht, për të gjitha drejtëzat paralele me Ea ', pika e zhdukjes do të jetë e njëjta pikë a n.

Le të vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikës a n në rrafshin e projeksionit paralel me boshtin X të planit të projeksionit dhe ta marrim atë pikë arbitrare d p. Le të vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikave E dhe d p. Pastaj marrim një pikë tjetër arbitrare c p në rrafshin e projeksionit dhe vizatojmë përmes saj në sistemin koordinativ të pamjes një vijë të drejtë c p c paralele me drejtëzën E d P .

Nëpërmjet vijave paralele që rezultojnë vizatojmë një rrafsh që kryqëzon rrafshin e projeksionit përgjatë vijës së drejtë d p c p. Le të marrim një pikë c b në drejtëzën c n c dhe ta drejtojmë atë në pafundësi. Siç shihet nga figura, si pika c b. deri në pafundësi, projeksioni i tij do të lëvizë përgjatë një vije të drejtë c p d p., duke u prirur në pikën d p. Nga kjo rrjedh se pika d n është pika e zhdukjes për drejtëzën c n c.

Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, është e lehtë të tregohet se për të gjitha drejtëzat paralele me rrafshin që kalon nëpër pikën E dhe drejtëzën d p a p , pikat e zhdukjes do të jenë në drejtëzën që kalon nëpër pikat d p a p .

Nga sa më sipër rezulton se drejtëza d p a p është një vijë që zhduket për të gjithë plane horizontale. Kjo vijë e drejtë quhet vija e horizontit.

Nga sa më sipër mund të konkludojmë gjithashtu se të gjitha vija paralele, pavarësisht nga pozicioni i tyre, kanë një pikë zhdukjeje. Sa më sipër vlen edhe për vijat vertikale, të cilat kanë një pikë të vetme zhdukjeje të quajtur pika zenit.

Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se gjithçka plane paralele, kanë një linjë të vetme zhdukjeje.

Koncepti i pikave dhe linjave të zhdukjes përdoret gjatë ndërtimit të projeksioneve të objekteve tre-dimensionale. Le të shohim këtë shembull specifik.

Le të jetë e nevojshme të ndërtohet një projeksion i një paralelipipedi me skaje anësore vertikale, që ka një skaj të sipërm të përcaktuar nga pikat e ankorimit 1, 2,3, 4 dhe një faqe të poshtme të përcaktuar nga pikat e ankorimit 5, 6, 7, 8 (Fig. 6,2-5).

Vini re se nga vetitë e objektit të dhënë, skajet e specifikuara nga pikat nodale 1,2; 3.4; 5.6; 7.8, paralele, dhe, për rrjedhojë, vijat e drejta që i bartin ato konvergojnë në një pikë (pika Tc1). E drejtë, mbajtëse brinjë anësore 3.7; 4.8; 2.6 dhe 1.5 gjithashtu kanë të njëjtën pikë zhdukjeje (pika T3). E njëjta gjë mund të thuhet për brinjët 1.3; 2.4; 5.7; 6,8 - vijat e drejta që i bartin ato janë paralele me njëra-tjetrën, dhe për këtë arsye kanë një pikë të vetme zhdukjeje (pika Tc2).

Për të ndërtuar në mënyrë të qartë një projeksion të një objekti të caktuar, mjafton të përcaktohen në projeksion tre pikat e sipërpërmendura të zhdukjes (T3, Ts1, Ts2) dhe projeksionet e pikave 2,5,6,8 (Fig. 6.2- 6).

Oriz.6.2 ‑ 5

Projeksioni mund të ndërtohet në sekuencën e mëposhtme.

Nëpër pikat 5 dhe Tc2 vizatojmë një vijë të drejtë që mban skajet 5.7. Kryqëzimi i tij me vijën që kalon nëpër pikat Tc1 dhe 8 (vijë e drejtë,

Oriz.6.2 ‑ 6

buza mbajtëse 7.8), është pika 7. Kushinetat për brinjët anësore 3.7; 4.8; 2.6 dhe 1.5 do të përftohen nëse vizatojmë vija të drejta përmes pikës zenitore T3 dhe katër pikave nyjore ekzistuese buza e poshtme paralelepiped (linjat T3.6; T3.7; T3.8; T3.5).

Pastaj vizatojmë vija të drejta Tc1,2. Pika e prerjes së saj me drejtëzën T3.5 do të jetë pika 1. Të vizatojmë drejtëzat Tc1,4. Pika e kryqëzimit të saj me vijën T 3.7 do të jetë pika 3.

Në këtë mënyrë do të gjenden projeksionet e të gjitha pikave nodale të objektit të specifikuar për projeksion, nga të cilat mund të ndërtohet pa mëdyshje i gjithë paralelepipedi i projektuar në rrafshin e projeksionit.

Në mënyrë që një imazh i një objekti të merret gjatë projeksionit që është afër mënyrës se si perceptohet subjektivisht nga një person, është e nevojshme të kufizohet këndi i projeksionit (këndi i shikimit të një objekti tredimensional nga një vëzhgues nga vëzhgimi pikë, pra nga pikëpamja e origjinës së sistemit koordinativ të këndvështrimit). Si rregull, një rezultat i pranueshëm i projeksionit merret kur këndi i projeksionit nuk kalon 30-40 gradë.

Metoda e projektimit e konsideruar është e pranueshme vetëm për objekte relativisht të thjeshta.