Derivati ​​i një funksioni $y = f(x)$ në një pikë të caktuar $x_0$ është kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen përkatëse të argumentit të tij, me kusht që ky i fundit të tentojë në zero:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Diferencimi është operacioni i gjetjes së derivatit.

Tabela e derivateve të disa funksionet elementare

Rregullat themelore të diferencimit

1. Derivati ​​i shumës (diferencës) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Gjeni derivatin e funksionit $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Derivati ​​i një shume (diferencë) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat i produktit

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Gjeni derivatin $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivati ​​i herësit

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Gjeni derivatin $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm dhe derivatin e funksionit të brendshëm.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Kuptimi fizik i derivatit

Nëse një pikë materiale lëviz në mënyrë drejtvizore dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit $x(t)$, atëherë shpejtësia e menjëhershme i një pike të caktuar është i barabartë me derivatin e funksionit.

Pika lëviz përgjatë vijës së koordinatave sipas ligjit $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, ku $x(t)$ është koordinata në kohën $t$. Në cilën pikë kohore shpejtësia e pikës do të jetë e barabartë me 12$?

1. Shpejtësia është derivati ​​i $x(t)$, kështu që le të gjejmë derivatin funksioni i dhënë

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Për të gjetur se në cilën pikë të kohës $t$ shpejtësia ishte e barabartë me $12$, ne krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

Kuptimi gjeometrik i derivatit

Kujtojmë se ekuacioni i një drejtëze që nuk është paralele me boshtet e koordinatave mund të shkruhet në formën $y = kx + b$, ku $k$ është pjerrësia e drejtëzës. Koeficienti $k$ e barabartë me tangjenten këndi i prirjes ndërmjet drejtëzës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $Ox$.

Derivati ​​i funksionit $f(x)$ në pikën $x_0$ është i barabartë me shpat$k$ tangjente me grafikun në një pikë të caktuar:

Prandaj, ne mund të krijojmë një barazi të përgjithshme:

$f"(x_0) = k = tanα$

Në figurë rritet tangjentja e funksionit $f(x)$, pra koeficienti $k > 0$. Meqenëse $k > 0$, atëherë $f"(x_0) = tanα > 0$. Këndi $α$ ndërmjet tangjentes dhe drejtimit pozitiv $Ox$ është akut.

Në figurë, tangjentja e funksionit $f(x)$ zvogëlohet, pra koeficienti $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Në figurë, tangjentja e funksionit $f(x)$ është paralele me boshtin $Ox$, pra koeficienti $k = 0$, pra, $f"(x_0) = tan α = 0$. pika $x_0$ në të cilën thirret $f "(x_0) = 0$ ekstreme.

Figura tregon një grafik të funksionit $y=f(x)$ dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën me abshisën $x_0$. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit $f(x)$ në pikën $x_0$.

Tangjentja e grafikut rritet, prandaj, $f"(x_0) = tan α > 0$

Për të gjetur $f"(x_0)$, gjejmë tangjentën e këndit të prirjes ndërmjet tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $Ox$. Për ta bërë këtë, ndërtojmë tangjenten me trekëndëshin $ABC$.

Le të gjejmë tangjenten e këndit $BAC$. (tangjenciale kënd akut V trekëndësh kënddrejtë quajtur relacion ana e kundert në këmbën ngjitur.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4) = 0,25$

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Përgjigje: 0,25 $

Derivati ​​përdoret gjithashtu për të gjetur intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese:

Nëse $f"(x) > 0$ në një interval, atëherë funksioni $f(x)$ po rritet në këtë interval.

Nëse $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Figura tregon grafikun e funksionit $y = f(x)$. Gjeni midis pikave $х_1,х_2,х_3...х_7$ ato pika në të cilat derivati ​​i funksionit është negativ.

Si përgjigje, shkruani numrin e këtyre pikave.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Elementet e përmbajtjes

Derivati, tangjenti, antiderivativi, grafikët e funksioneve dhe derivatet.

Derivat Le të përcaktohet funksioni \(f(x)\) në një fqinjësi të pikës \(x_0\).

Derivati ​​i funksionit \(f\) në pikën \(x_0\) i quajtur limit

\(f"(x_0)=\lim_(x\shigjeta djathtas x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

nëse ekziston ky kufi.

Derivati ​​i një funksioni në një pikë karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të këtij funksioni në një pikë të caktuar.

Tabela e derivateve

Rregullat e diferencimit\(f\) dhe \(g\) janë funksione në varësi të ndryshores \(x\); \(c\) është një numër.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\majtas(\dfrac(f)(g)\djathtas)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivat i një funksioni kompleks

Kuptimi gjeometrik i derivatit Ekuacioni i një drejtëze- jo paralel me boshtin \(Oy\) mund të shkruhet në formën \(y=kx+b\). Koeficienti \(k\) në këtë ekuacion quhet pjerrësia e një vije të drejtë. Është e barabartë me tangjenten këndi i prirjes këtë vijë të drejtë.

Këndi i drejtë- këndi ndërmjet drejtimit pozitiv të boshtit \(Ox\) dhe kësaj vije të drejtë, i matur në drejtim kënde pozitive(domethënë në drejtimin e rrotullimit më të vogël nga boshti \(Ox\) në boshtin \(Oy\)).

Derivati ​​i funksionit \(f(x)\) në pikën \(x_0\) është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit në këtë pikë: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Nëse \(f"(x_0)=0\), atëherë tangjentja me grafikun e funksionit \(f(x)\) në pikën \(x_0\) është paralel me boshtin \(Ox\).

Ekuacioni tangjent

Ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit \(f(x)\) në pikën \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonia e funksionit Nëse derivati ​​i një funksioni është pozitiv në të gjitha pikat e intervalit, atëherë funksioni rritet në këtë interval.

Nëse derivati ​​i një funksioni është negativ në të gjitha pikat e intervalit, atëherë funksioni zvogëlohet në këtë interval.

Pikat minimale, maksimale dhe të lakimit pozitive në negativ në këtë pikë, atëherë \(x_0\) është pika maksimale e funksionit \(f\).

Nëse funksioni \(f\) është i vazhdueshëm në pikën \(x_0\), dhe vlera e derivatit të këtij funksioni \(f"\) ndryshon me negativ në pozitive në këtë pikë, atëherë \(x_0\) është pika minimale e funksionit \(f\).

Quhen pikat në të cilat derivati ​​\(f"\) është i barabartë me zero ose nuk ekziston pikat kritike funksionet \(f\).

Pikat e brendshme të fushës së përcaktimit të funksionit \(f(x)\), në të cilat \(f"(x)=0\) mund të jenë pika minimale, maksimale ose inflektive.

Kuptimi fizik i derivatit Nëse një pikë materiale lëviz drejtvizore dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit \(x=x(t)\), atëherë shpejtësia e kësaj pike është e barabartë me derivatin e koordinatës në lidhje me kohën:

Nxitimi pikë materiale në të barabartë me derivatin e shpejtësisë së kësaj pike në lidhje me kohën:

\(a(t)=v"(t).\)

Niveli i parë

Derivat i një funksioni. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero në jetë ne përdorim nivelin e detit;

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur ecni përpara një distancë të caktuar. Në të vërtetë, në seksione të ndryshme të rrugës, duke ecur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të biem nga sasi të ndryshme metra në raport me nivelin e detit (përgjatë boshtit të ordinatave).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Kjo është - ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër! Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e funksionit, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart.

Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika e fundit doli të jetë më e ulët se ajo fillestare, do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk po ngjitemi, por po zbresim.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Tani le të shohim majën e një kodre. Nëse e merrni fillimin e seksionit gjysmë kilometër përpara majës, dhe fundin gjysmë kilometër pas tij, mund të shihni se lartësia është pothuajse e njëjtë.

Kjo do të thotë, sipas logjikës sonë, rezulton se pjerrësia këtu është pothuajse e barabartë me zero, gjë që nuk është qartë e vërtetë. Pak më shumë se një distancë prej kilometrash shumë mund të ndryshojnë. Është e nevojshme të merren parasysh zona më të vogla për një vlerësim më adekuat dhe më të saktë të pjerrësisë. Për shembull, nëse matni ndryshimin në lartësi ndërsa lëvizni një metër, rezultati do të jetë shumë më i saktë. Por edhe kjo saktësi mund të mos jetë e mjaftueshme për ne - në fund të fundit, nëse ka një shtyllë në mes të rrugës, ne thjesht mund ta kalojmë atë. Çfarë distancë duhet të zgjedhim atëherë? Centimetri? Milimetri? Më pak është më mirë!

NË jeta reale Matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël, domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është zero! Por shumë afër saj. Kjo do të thotë që ju mund të ndani me të.

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse keni dalë me më të madhin numrat e mundshëm, mjafton ta shumëzosh me dy dhe do të marrësh edhe më shumë. Dhe pafundësia ende Për më tepërçfarë do të ndodhë. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se pafundësi nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni mjaft numër i rregullt, Për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati ​​i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe caktohet se sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati ​​i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati ​​është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati ​​i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Njëlloj me derivatin: derivat funksion konstant(konstante) është e barabartë me zero:

pasi rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për çdo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit së bashku anët e ndryshme nga lart, në mënyrë që lartësia në skajet të jetë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston edhe një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati ​​është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, midis negative dhe vlerat pozitive patjetër duhet të ketë. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë: . Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

1. Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
2. E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

NË pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati ​​në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë- kjo është kur eksponenti:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati ​​është i barabartë me:

Derivati ​​i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksion kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim:.

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet për një funksion fuqie me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

1. (në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

1. . Besoni apo jo, ky është një funksion i fuqisë. Nëse keni pyetje si "Si është kjo? Ku është diploma?”, mbani mend temën “”!
   Po, po, edhe rrënja është shkallë, vetëm thyesore: .
   Pra e jona Rrenja katrore- kjo është vetëm një diplomë me një tregues:
   .
   Ne kërkojmë derivatin duke përdorur formulën e mësuar së fundmi:

   Nëse në këtë pikë bëhet përsëri e paqartë, përsërisni temën ""!!! (rreth diplomës me tregues negativ)

2. . Tani eksponenti:

   Dhe tani përmes përkufizimit (e keni harruar akoma?):
   ;
   .
   Tani, si zakonisht, ne e neglizhojmë termin që përmban:
   .

3. . Kombinimi i rasteve të mëparshme: .

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provën do ta mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Shtetit të Unifikuar). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni me këtë "qëllim".

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Ne shohim se sa më pak, aq vlerë më të afërt marrëdhënie me

a) Merrni parasysh funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitvogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinite e vogël mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra marrim rregulli tjetër:derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

1. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
2. Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

1. Së pari, le të gjejmë derivatin në pamje e përgjithshme, dhe më pas zëvendësoni vlerën e tij:
   ;
   .
2. Këtu kemi diçka të ngjashme me funksioni i fuqisë. Le të përpiqemi ta sjellim atë
   pamje normale:
   .
   E shkëlqyeshme, tani mund të përdorni formulën:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. cfare eshte kjo????

Mirë, ke të drejtë, ne ende nuk dimë si të gjejmë derivate të tillë. Këtu kemi një kombinim të disa llojeve të funksioneve. Për të punuar me ta, duhet të mësoni disa rregulla të tjera:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati ​​i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni është një konstante - është e pafundme dhjetore, pra një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le ta shohim menjëherë funksioni i anasjelltë. Cili funksion është anasjelltas i funksioni eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Ekspozuesi dhe logaritmi natyror- funksionet janë unike të thjeshta për sa i përket derivateve. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pas le t'i kalojmë rregullat diferencimi.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - disa numër konstant(konstante), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi kjo funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të hyjmë veçori e re dhe gjeni shtimin e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për këtë do të përdorim rregull i thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet më në formë të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e eksponencialit dhe funksionet logaritmike pothuajse kurrë nuk paraqiten në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të ishte keq t'i njihje.

Derivat i një funksioni kompleks.

Cfare ndodhi " funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt rend i kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: së pari ju e vendosni atë në katror dhe më pas unë kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Karakteristikë e rëndësishme funksionet komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Aplikuar në shembull origjinal duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky tashmë është një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë rendi do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksionin përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "i jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.