Gjeni asimptotat e drejtëzës. Asimptotat e grafikëve të funksioneve: llojet e tyre, shembuj zgjidhjesh

Si të futni formulat matematikore tek faqja?

Nëse ndonjëherë ju duhet të shtoni një ose dy formula matematikore në një faqe interneti, atëherë mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është siç përshkruhet në artikull: formulat matematikore futen lehtësisht në faqe në formën e fotografive që gjenerohen automatikisht nga Wolfram Alpha . Përveç thjeshtësisë, kjo metodë universale do të ndihmojë në përmirësimin e shikueshmërisë së faqes në internet motorët e kërkimit. Ajo ka funksionuar për një kohë të gjatë (dhe, mendoj, do të funksionojë përgjithmonë), por tashmë është e vjetëruar moralisht.

Nëse përdorni vazhdimisht formula matematikore në faqen tuaj, atëherë ju rekomandoj të përdorni MathJax - një bibliotekë speciale JavaScript që shfaq shënimi matematik në shfletuesit e internetit duke përdorur shënimin MathML, LaTeX ose ASCIIMathML.

Ka dy mënyra për të filluar përdorimin e MathJax: (1) duke përdorur një kod të thjeshtë, mund të lidhni shpejt një skript MathJax me faqen tuaj, i cili do të jetë në momentin e duhur ngarkohet automatikisht nga një server në distancë (lista e serverëve); (2) shkarkoni skriptin MathJax nga një server në distancë në serverin tuaj dhe lidheni atë me të gjitha faqet e faqes tuaj. Metoda e dytë - më komplekse dhe kërkon kohë - do të përshpejtojë ngarkimin e faqeve të faqes suaj, dhe nëse serveri prind MathJax bëhet përkohësisht i padisponueshëm për ndonjë arsye, kjo nuk do të ndikojë në faqen tuaj në asnjë mënyrë. Pavarësisht këtyre avantazheve, unë zgjodha metodën e parë pasi është më e thjeshtë, më e shpejtë dhe nuk kërkon aftësi teknike. Ndiqni shembullin tim dhe në vetëm 5 minuta do të mund të përdorni të gjitha veçoritë e MathJax në faqen tuaj.

Ju mund të lidhni skriptin e bibliotekës MathJax nga një server në distancë duke përdorur dy opsione kodi të marra nga faqja kryesore e internetit MathJax ose në faqen e dokumentacionit:

Një nga këto opsione kodi duhet të kopjohet dhe ngjitet në kodin e faqes tuaj të internetit, mundësisht midis etiketave dhe ose menjëherë pas etiketës. Sipas opsionit të parë, MathJax ngarkon më shpejt dhe ngadalëson faqen më pak. Por opsioni i dytë monitoron dhe ngarkon automatikisht versionet më të fundit të MathJax. Nëse futni kodin e parë, ai do të duhet të përditësohet periodikisht. Nëse futni kodin e dytë, faqet do të ngarkohen më ngadalë, por nuk do t'ju duhet të monitoroni vazhdimisht përditësimet e MathJax.

Mënyra më e lehtë për të lidhur MathJax është në Blogger ose WordPress: në panelin e kontrollit të faqes, shtoni një miniaplikacion të krijuar për të futur kodin JavaScript të palës së tretë, kopjoni në të versionin e parë ose të dytë të kodit të shkarkimit të paraqitur më sipër dhe vendoseni miniaplikacionin më afër. në fillim të shabllonit (nga rruga, kjo nuk është aspak e nevojshme, pasi skripti MathJax ngarkohet në mënyrë asinkrone). Kjo është ajo. Tani mësoni sintaksën e shënimit të MathML, LaTeX dhe ASCIIMathML dhe jeni gati të futni formula matematikore në faqet e internetit të faqes suaj.

Çdo fraktal ndërtohet sipas një rregull të caktuar, i cili aplikohet në mënyrë sekuenciale një numër të pakufizuar herë. Çdo kohë e tillë quhet përsëritje.

Algoritmi përsëritës për ndërtimin e një sfungjeri Menger është mjaft i thjeshtë: kubi origjinal me anën 1 ndahet me plane paralele me faqet e tij në 27 kube të barabarta. Një kub qendror dhe 6 kube ngjitur me të përgjatë fytyrave hiqen prej tij. Rezultati është një grup i përbërë nga 20 kube më të vegjël të mbetur. Duke bërë të njëjtën gjë me secilin prej këtyre kubeve, marrim një grup të përbërë nga 400 kube më të vegjël. Duke e vazhduar këtë proces pafundësisht, marrim një sfungjer Menger.

Në shumë raste, ndërtimi i një grafiku të një funksioni është më i lehtë nëse së pari ndërtoni asimptotat e kurbës.

Përkufizimi 1. Asimptotat janë ato vija të drejta të cilave grafiku i një funksioni afrohet në mënyrë arbitrare kur ndryshorja tenton në plus pafundësi ose minus pafundësi.

Përkufizimi 2. Drejtëza quhet asimptotë e grafikut të një funksioni nëse distanca nga pikë e ndryshueshme M grafiku i funksionit deri në këtë vijë priret në zero ndërsa pika largohet pafundësisht M nga origjina përgjatë çdo dege të grafikut të funksionit.

Ekzistojnë tre lloje asimptotesh: vertikale, horizontale dhe të zhdrejtë.

Përkufizimi . Drejt x = aështë asimptota vertikale e grafikut të funksionit, nëse pika x = aështë një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë për këtë funksion.

Nga përkufizimi del se drejtëza x = aështë asimptota vertikale e grafikut të funksionit f(x) nëse plotësohet të paktën një nga kushtet:

Në këtë rast, funksioni f(x) mund të mos përkufizohet fare, përkatësisht kur x ≥ a Dhe x ≤ a .

Koment:

Shembull 1. Grafiku i një funksioni y=n x ka një asimptotë vertikale x= 0 (d.m.th. që përkon me boshtin Oy) në kufirin e fushës së përkufizimit, pasi kufiri i funksionit kur x tenton në zero nga e djathta është i barabartë me minus pafundësinë:

(foto lart).

Shembulli 2. Gjeni asimptota të grafikut të funksionit.

Shembulli 3. Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Nëse (kufiri i një funksioni pasi argumenti tenton në plus ose minus pafundësi është i barabartë me një vlerë të caktuar b), Kjo y = b – asimptotë horizontale i shtrembër y = f(x) (djathtas kur X tenton në plus pafundësi, majtas kur X tenton në minus pafundësi dhe me dy anë nëse kufijtë si X priret në plus ose minus pafundësi janë të barabartë).

Shembulli 5. Grafiku i një funksioni

në a> 1 ka lënë asimpotote horizontale y= 0 (d.m.th. që përkon me boshtin kau), meqenëse kufiri i funksionit si "x" tenton në minus pafundësi është zero:

Kurba nuk ka një asimptotë horizontale të drejtë, pasi kufiri i funksionit si "x" tenton në plus pafundësi është i barabartë me pafundësinë:

Asimptotat vertikale dhe horizontale që shqyrtuam më sipër janë paralele me boshtet e koordinatave, kështu që për t'i ndërtuar ato na duheshin vetëm një numër të caktuar- një pikë në boshtin e abshisës ose të ordinatës nëpër të cilën kalon asimptota. Për një asimptotë të zhdrejtë, nevojitet një pjerrësi më e madhe k, e cila tregon këndin e prirjes së drejtëzës dhe anëtar i lirë b, e cila tregon se sa është vija mbi ose nën origjinën. Ata që nuk e kanë harruar gjeometrinë analitike dhe prej saj ekuacionet e drejtëzës, do të vërejnë se për një asimptotë të zhdrejtë gjejnë një ekuacion të drejtëzës me koeficient këndor. Ekzistenca e një asimptote të zhdrejtë përcaktohet nga teorema e mëposhtme, në bazë të së cilës gjenden koeficientët e sapopërmendur.

Teorema. Për të bërë kurbën y = f(x) kishte një asimptotë y = kx + b, të nevojshme dhe të mjaftueshme që ato të ekzistojnë kufij të fundëm k Dhe b të funksionit në shqyrtim si variabli tendencë x në plus pafundësi dhe minus pafundësi:

(1)

(2)

Numrat e gjetur në këtë mënyrë k Dhe b dhe janë koeficientët e asimptotës së zhdrejtë.

Në rastin e parë (pasi x tenton në plus pafundësi), fitohet një asimptotë e prirur djathtas, në rastin e dytë (pasi x tenton në minus pafundësi), fitohet një asimptotë e zhdrejtë majtas. Asimptota e zhdrejtë e djathtë është paraqitur në Fig. më poshtë.

Kur gjejmë ekuacionin për një asimptotë të zhdrejtë, është e nevojshme të merret parasysh tendenca e X në plus pafundësi dhe minus pafundësi. Për disa funksione, për shembull, ato racionale të pjesshme, këto kufij përkojnë, por për shumë funksione këto kufij janë të ndryshëm dhe vetëm njëri prej tyre mund të ekzistojë.

Nëse kufijtë përkojnë dhe x tenton në plus pafundësi dhe minus pafundësi, vija e drejtë y = kx + bështë asimptota e dyanshme e lakores.

Nëse të paktën një nga kufijtë që përcaktojnë asimptotën y = kx + b, nuk ekziston, atëherë grafiku i funksionit nuk ka asimptotë të zhdrejtë (por mund të ketë një vertikale).

Është e lehtë të shihet se asimptota horizontale y = bështë rast i veçantë i zhdrejtë y = kx + b në k = 0 .

Prandaj, nëse në ndonjë drejtim një kurbë ka një asimptotë horizontale, atëherë në këtë drejtim nuk ka një të prirur dhe anasjelltas.

Shembulli 6. Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje. Funksioni është përcaktuar në të gjithë vijën numerike përveç x= 0, d.m.th.

Prandaj, në pikën e thyerjes x= 0 kurba mund të ketë një asimptotë vertikale. Në të vërtetë, kufiri i funksionit kur x tenton në zero nga e majta është i barabartë me plus pafundësinë:

Prandaj, x= 0 – asimptotë vertikale e grafikut të këtij funksioni.

Grafiku i këtij funksioni nuk ka një asimptotë horizontale, pasi kufiri i funksionit kur x tenton në plus pafundësi është i barabartë me plus pafundësinë:

Le të zbulojmë praninë e një asimptote të zhdrejtë:

Ka kufij të fundëm k= 2 dhe b= 0. Drejt y = 2xështë asimptota e pjerrët dykahëshe e grafikut të këtij funksioni (figura brenda shembullit).

Shembulli 7. Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje. Funksioni ka një pikë ndërprerjeje x= −1. Le të llogarisim kufijtë e njëanshëm dhe të përcaktojmë llojin e ndërprerjes:

konkluzioni: x= −1 është një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë, pra vija e drejtë x= −1 është asimptota vertikale e grafikut të këtij funksioni.

Po kërkojmë asimptota të zhdrejta. Sepse këtë funksion- thyesore-racionale, kufijtë sipas dëshirës dhe sipas dëshirës përkojnë. Kështu, gjejmë koeficientët për zëvendësimin e vijës së drejtë - asimptotës së zhdrejtë në ekuacionin:

Zëvendësimi i koeficientëve të gjetur në ekuacionin e drejtëzës me shpat, marrim ekuacionin e asimptotës së zhdrejtë:

y = −3x + 5 .

Në figurë, grafiku i funksionit tregohet në ngjyrë burgundy, dhe asimptotat tregohen me ngjyrë të zezë.

Shembulli 8. Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje. Meqenëse ky funksion është i vazhdueshëm, grafiku i tij nuk ka asimptota vertikale. Ne jemi duke kërkuar për asimptota të zhdrejtë:

.

Kështu, grafiku i këtij funksioni ka një asimptotë y= 0 në dhe nuk ka asiptotë në .

Shembulli 9. Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje. Së pari ne shikojmë asimptota vertikale. Për ta bërë këtë, gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit. Një funksion përcaktohet kur pabarazia dhe . Shenja e ndryshores x përputhet me shenjën. Prandaj, merrni parasysh pabarazinë ekuivalente. Nga kjo marrim domenin e përkufizimit të funksionit: . Një asimptotë vertikale mund të jetë vetëm në kufirin e fushës së përcaktimit të funksionit. Por x= 0 nuk mund të jetë një asimptotë vertikale, pasi funksioni është përcaktuar në x = 0 .

Konsideroni kufirin e djathtë në (nuk ka kufi në të majtë):

.

Pika x= 2 është një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë, pra vija e drejtë x= 2 - asimptotë vertikale e grafikut të këtij funksioni.

Ne jemi duke kërkuar për asimptota të zhdrejtë:

Pra, y = x+ 1 - asimptotë e zhdrejtë e grafikut të këtij funksioni në . Ne jemi duke kërkuar për një asimptotë të zhdrejtë në:

Pra, y = −x− 1 - asimptotë e zhdrejtë në .

Shembulli 10. Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhje. Një funksion ka një fushë përkufizimi . Meqenëse asimptota vertikale e grafikut të këtij funksioni mund të jetë vetëm në kufirin e fushës së përkufizimit, ne gjejmë kufijtë e njëanshëm të funksionit në .

Një asimptotë e grafikut të një funksioni y = f(x) është një vijë e drejtë që ka vetinë që distanca nga pika (x, f(x)) në këtë drejtëz tenton në zero ndërsa pika e grafikut lëviz pafundësisht nga origjinën.

Në figurën 3.10. dhënë shembuj grafikë asimptota vertikale, horizontale dhe të zhdrejta.

Gjetja e asimptotave të grafikut bazohet në tre teoremat e mëposhtme.

Teorema e asimptotës vertikale. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) në një fqinjësi të caktuar të pikës x 0 (mundësisht duke përjashtuar vetë këtë pikë) dhe të paktën një nga kufijtë e njëanshëm të funksionit është i barabartë me pafundësinë, d.m.th. Atëherë drejtëza x = x 0 është asimptota vertikale e grafikut të funksionit y = f(x).

Natyrisht, drejtëza x = x 0 nuk mund të jetë një asimptotë vertikale nëse funksioni është i vazhdueshëm në pikën x 0, pasi në këtë rast . Rrjedhimisht, asimptotat vertikale duhet të kërkohen në pikat e ndërprerjes së funksionit ose në skajet e domenit të tij të përkufizimit.

Teorema e asimptotës horizontale. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) për x mjaftueshëm të madh dhe ka një kufi të kufizuar të funksionit. Atëherë drejtëza y = b është asimptota horizontale e grafikut të funksionit.

Komentoni. Nëse vetëm njëri nga kufijtë është i fundëm, atëherë funksioni ka, përkatësisht, një asimptotë horizontale të anës së majtë ose të djathtë.

Në rast se , funksioni mund të ketë një asimptotë të zhdrejtë.

Teorema e asimptotës së zhdrejtë. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) për x mjaftueshëm të madh dhe të ketë kufij të fundëm . Atëherë drejtëza y = kx + b është asimptota e pjerrët e grafikut të funksionit.

Asnjë provë.

Një asimptotë e zhdrejtë, ashtu si ajo horizontale, mund të jetë e djathtë ose e majtë nëse baza e kufijve përkatës përmban pafundësi të një shenje të caktuar.

Studimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve të tyre zakonisht përfshin hapat e mëposhtëm:

1. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.

2. Shqyrtoni funksionin për çift-teksinë.

3. Gjeni asimptota vertikale duke ekzaminuar pikat e ndërprerjes dhe sjelljen e funksionit në kufijtë e fushës së përkufizimit, nëse ato janë të fundme.

4. Gjeni asimptota horizontale ose të zhdrejta duke shqyrtuar sjelljen e funksionit në pafundësi.

5. Gjeni ekstremet dhe intervalet e monotonitetit të funksionit.

6. Gjeni intervalet e konveksitetit të funksionit dhe pikave të lakimit.

7. Gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave dhe, mundësisht, disa pikë shtesë, duke sqaruar orarin.

Diferenciali i funksionit

Mund të vërtetohet se nëse një funksion ka një kufi të barabartë me numër i kufizuar, atëherë mund të paraqitet si shuma e këtij numri dhe një vlerë infiniteminale me të njëjtën bazë (dhe anasjelltas): .

Le ta zbatojmë këtë teoremë për një funksion të diferencueshëm: .

Kështu, rritja e funksionit Dу përbëhet nga dy terma: 1) linear në lidhje me Dx, d.m.th. f `(x)Dх; 2) jolineare në lidhje me Dx, d.m.th. a(Dx)Dx. Në të njëjtën kohë, që nga , ky term i dytë përfaqëson një pafundësi më shumë rendit të lartë se Dx (pasi Dx tenton në zero, priret në zero edhe më shpejt).

Diferenciali i një funksioni është pjesa kryesore, lineare në lidhje me Dx e rritjes së funksionit, e barabartë me produktin derivat për rritjen e ndryshores së pavarur dy = f `(x)Dx.

Le të gjejmë diferencialin e funksionit y = x.

Meqë dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, atëherë dx = Dх, d.m.th. diferenciali i një ndryshoreje të pavarur është i barabartë me rritjen e kësaj ndryshoreje.

Prandaj, formula për diferencialin e një funksioni mund të shkruhet si dy = f `(x)dх. Kjo është arsyeja pse një nga shënimet për derivatin është thyesa dy/dх.

Kuptimi gjeometrik diferencial i ilustruar
Figura 3.11. Le të marrim funksionin y = f(x) në grafik pikë arbitrare M(x, y). Le t'i japim argumentit x shtimin Dx. Atëherë funksioni y = f(x) do të marrë rritjen Dy = f(x + Dх) - f(x). Le të vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në pikën M, e cila formon një kënd a me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës, d.m.th. f `(x) = tan a. Nga trekëndësh kënddrejtë MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Kështu, diferenciali i një funksioni është rritja në ordinatën e tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në një pikë të caktuar kur x merr shtimin Dx.

Vetitë e një diferenciali janë në thelb të njëjta me ato të një derivati:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Megjithatë, ekziston pronë e rëndësishme diferenciali i një funksioni që derivati ​​i tij nuk e zotëron është pandryshueshmëria e formës së diferencialit.

Nga përkufizimi i diferencialit për funksionin y = f(x), diferenciali dy = f `(x)dх. Nëse ky funksion y është kompleks, d.m.th. y = f(u), ku u = j(x), pastaj y = f dhe f `(x) = f `(u)*u`. Atëherë dy = f `(u)*u`dх. Por për funksionin
u = j(x) diferencial du = u`dх. Prandaj dy = f `(u)*du.

Duke krahasuar barazitë dy = f `(x)dх dhe dy = f `(u)*du, sigurohemi që formula diferenciale të mos ndryshojë nëse në vend të një funksioni të ndryshores së pavarur x konsiderojmë një funksion të ndryshorja e varur u. Kjo veti e një diferenciali quhet pandryshueshmëri (d.m.th., pandryshueshmëri) e formës (ose formulës) të diferencialit.

Megjithatë, ka ende një ndryshim në këto dy formula: në të parën prej tyre, diferenciali i ndryshores së pavarur është i barabartë me rritjen e kësaj ndryshore, d.m.th. dx = Dx, dhe së dyti, diferenciali i funksionit du është vetëm pjesa lineare e rritjes së këtij funksioni Du dhe vetëm për Dх du » Du të vogla.

Pikërisht kështu është formuluar detyrë tipike, dhe përfshin gjetjen e TË GJITHA asimptotave të grafikut (vertikale, e pjerrët/horizontale). Edhe pse, për të qenë më të saktë në shtrimin e pyetjes, po flasim për kërkime për praninë e asimptotave (në fund të fundit, mund të mos ketë fare).

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

Shembulli 1

Zgjidhja mund të ndahet lehtësisht në dy pika:

1) Fillimisht kontrollojmë nëse ka asimptota vertikale. Emëruesi shkon në zero në , dhe është menjëherë e qartë se në këtë pikë funksioni pëson një ndërprerje të pafundme, dhe drejtëza dhënë nga ekuacioni, është asimptota vertikale e grafikut të funksionit. Por, para se të nxirret një përfundim i tillë, është e nevojshme të gjesh kufij të njëanshëm:

Ju kujtoj teknikën e llogaritjes, në të cilën u fokusova në mënyrë të ngjashme në artikullin e vazhdimësisë së një funksioni. Pikat e thyerjes. Në shprehjen nën shenjën e kufirit zëvendësojmë . Nuk ka asgjë interesante në numërues:
.

Por në emërues rezulton pafundësisht i vogël numër negativ :
, përcakton fatin e kufirit.

Kufiri i majtë është i pafund dhe, në parim, tashmë është e mundur të merret një vendim për praninë e një asimptote vertikale. Por kufijtë e njëanshëm nevojiten jo vetëm për këtë - ato NDIHMOJNË PËR TË KUPTUAR SI gjendet grafiku i një funksioni dhe për ta ndërtuar atë SAKT. Prandaj, duhet të llogarisim edhe kufirin e dorës së djathtë:

Përfundim: kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se drejtëza është asimptota vertikale e grafikut të funksionit në .

Kufiri i parë të fundme, që do të thotë se është e nevojshme të "vazhdoni bisedën" dhe të gjeni kufirin e dytë:

Kufiri i dytë gjithashtu të fundme.

Pra, asimptota jonë është:

Përfundim: drejtëza e përcaktuar nga ekuacioni është asimptota horizontale e grafikut të funksionit në .

Për të gjetur asimptotën horizontale, mund të përdorni një formulë të thjeshtuar:

Nëse ka një kufi të fundëm, atëherë drejtëza është asimptota horizontale e grafikut të funksionit në .

Është e lehtë të vërehet se numëruesi dhe emëruesi i funksionit janë të rendit të njëjtë të rritjes, që do të thotë se kufiri i kërkuar do të jetë i fundëm:

Përgjigje:

Sipas kushtit, nuk ka nevojë të bëni një vizatim, por nëse hulumtimi i funksionit është në lëvizje të plotë, atëherë menjëherë bëjmë një skicë në draft:

Bazuar në tre kufijtë e gjetur, përpiquni të kuptoni vetë se si mund të vendoset grafiku i funksionit. A është fare e vështirë? Gjeni 5-6-7-8 pikë dhe shënojini ato në vizatim. Megjithatë, grafiku i këtij funksioni është ndërtuar duke përdorur transformimet e grafikut funksioni elementar, dhe lexuesit që shqyrtuan me kujdes Shembullin 21 të artikullit të mësipërm mund të marrin me mend lehtësisht se çfarë lloj lakore është kjo.

Shembulli 2

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Më lejoni t'ju kujtoj se procesi ndahet lehtësisht në dy pika - asimptota vertikale dhe asimptota të zhdrejtë. Në zgjidhjen e mostrës, asimptota horizontale gjendet duke përdorur një skemë të thjeshtuar.

Në praktikë, funksionet fraksionale-racionale hasen më shpesh, dhe pas trajnimit mbi hiperbolat, ne do ta komplikojmë detyrën:

Shembulli 3

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhja: Një, dy dhe e përfunduar:

1) Asimptotat vertikale janë të vendosura në pika me ndërprerje të pafundme, kështu që ju duhet të kontrolloni nëse emëruesi shkon në zero. Le të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Diskriminuesi është pozitiv, kështu që ekuacioni ka dy rrënjë reale, dhe puna është rritur ndjeshëm =)

Për të gjetur më tej kufij të njëanshëm trinom kuadratikËshtë i përshtatshëm për të faktorizuar:
(për shënimin kompakt, "minus" u përfshi në kllapin e parë). Për të qenë në anën e sigurt, le të kontrollojmë duke hapur kllapat mendërisht ose në një draft.

Le ta rishkruajmë funksionin në formë

Le të gjejmë kufijtë e njëanshëm në pikën:

Dhe në pikën:

Pra, drejtëzat janë asimptota vertikale të grafikut të funksionit në fjalë.

2) Nëse shikoni funksionin , atëherë është mjaft e qartë se kufiri do të jetë i fundëm dhe kemi një asimptotë horizontale. Le të tregojmë prezencën e saj në një mënyrë të shkurtër:

Pra, drejtëza (boshti i abshisës) është asimptota horizontale e grafikut të këtij funksioni.

Përgjigje:

Kufijtë dhe asimptotat e gjetura japin shumë informacion rreth grafikut të funksionit. Mundohuni të imagjinoni mendërisht vizatimin duke marrë parasysh faktet e mëposhtme:

Skico versionin tuaj të grafikut në draftin tuaj.

Natyrisht, kufijtë e gjetur nuk përcaktojnë qartë pamjen e grafikut dhe mund të bëni një gabim, por vetë ushtrimi do të japë ndihmë të paçmuar gjatë hulumtim të plotë funksionet Fotografia e saktë është në fund të mësimit.

Shembulli 4

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Shembulli 5

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Këto janë detyra për zgjidhje të pavarur. Të dy grafikët kanë përsëri asimptota horizontale, të cilat zbulohen menjëherë nga shenjat e mëposhtme: në shembullin 4 rendi i rritjes së emëruesit është më i madh se rendi i rritjes së numëruesit, dhe në shembullin 5 numëruesi dhe emëruesi janë të rendit të njëjtë të rritjes. Në zgjidhjen e mostrës, funksioni i parë ekzaminohet për praninë e asimptotave të zhdrejtë plotësisht, dhe i dyti - përmes kufirit.

Asimptotat horizontale, sipas përshtypjes sime subjektive, janë dukshëm më të zakonshme se ato që janë "me të vërtetë të anuara". Rasti i përgjithshëm i shumëpritur:

Shembulli 6

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhja: klasike e zhanrit:

1) Meqenëse emëruesi është pozitiv, funksioni është i vazhdueshëm përgjatë gjithë vijës numerike dhe nuk ka asimptota vertikale. ...A është mirë kjo? Nuk është fjala e duhur - e shkëlqyer! Pika nr.1 është e mbyllur.

2) Le të kontrollojmë praninë e asimptotave të zhdrejtë:

Kufiri i parë të fundme, kështu që le të vazhdojmë. Kur llogaritim kufirin e dytë për të eliminuar pasigurinë "pafundësi minus pafundësi", ne e reduktojmë shprehjen në një emërues të përbashkët:

Kufiri i dytë gjithashtu të fundme Prandaj, grafiku i funksionit në fjalë ka një asimptotë të zhdrejtë:

konkluzioni:

Kështu, kur grafiku i funksionit pafundësisht afër afrohet në një vijë të drejtë:

Vini re se ajo kryqëzon asimptotën e saj të zhdrejtë në origjinë, dhe pika të tilla kryqëzimi janë mjaft të pranueshme - është e rëndësishme që "gjithçka të jetë normale" në pafundësi (në fakt, këtu po flasim për asimptota).

Shembulli 7

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Zgjidhja: nuk ka asgjë të veçantë për të komentuar, kështu që do ta zyrtarizoj mostër e përafërt zgjidhja përfundimtare:

1) Asimptota vertikale. Le të shqyrtojmë pikën.

Vija e drejtë është asimptota vertikale për grafikun në .

2) Asimptota të zhdrejtë:

Vija e drejtë është asimptota e pjerrët për grafikun në .

Përgjigje:

Kufijtë dhe asimptotat e gjetura të njëanshme na lejojnë të parashikojmë me siguri të lartë se si duket grafiku i këtij funksioni. Vizatimi i saktë në fund të mësimit.

Shembulli 8

Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

Ky është një shembull për zgjidhje të pavarur, për lehtësinë e llogaritjes së disa kufijve, mund ta ndani numëruesin me emëruesin sipas termit. Përsëri, kur analizoni rezultatet tuaja, përpiquni të vizatoni një grafik të këtij funksioni.

Natyrisht, pronarët e asimptotave të pjerrëta "të vërteta" janë grafikët e atyre funksionet racionale thyesore, në të cilën shkalla më e lartë e numëruesit është një më e madhe se shkalla më e lartë e emëruesit. Nëse është më shumë, nuk do të ketë më asimptotë të zhdrejtë (për shembull, ).

Por në jetë ndodhin mrekulli të tjera:

Shembulli 9

Zgjidhje: funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, që do të thotë se nuk ka asimptota vertikale. Por mund të ketë edhe të prirur. Ne kontrollojmë:

Më kujtohet se si, në universitet, hasa në një funksion të ngjashëm dhe thjesht nuk mund ta besoja se kishte një asimptotë të zhdrejtë. Derisa llogarita kufirin e dytë:

Në mënyrë të rreptë, ka dy pasiguri këtu: dhe , por në një mënyrë ose në një tjetër, ju duhet të përdorni metodën e zgjidhjes, e cila diskutohet në Shembujt 5-6 të artikullit mbi kufijtë kompleksiteti i shtuar. Ne shumëzojmë dhe pjesëtojmë me shprehjen e konjuguar për të përdorur formulën:

Përgjigje:

Ndoshta asimptota e zhdrejtë më e njohur.

Deri më tani, pafundësia është "prerë me një furçë", por ndodh që grafiku i një funksioni të ketë dy asimptota të ndryshme të zhdrejtë në dhe në :

Shembulli 10

Shqyrtoni grafikun e një funksioni për praninë e asimptotave

Zgjidhja: shprehja radikale është pozitive, që do të thotë se fusha e përkufizimit është çdo numër real dhe nuk mund të ketë shkopinj vertikal.

Le të kontrollojmë nëse ekzistojnë asimptota të zhdrejta.

Nëse "x" priret në "minus pafundësi", atëherë:
(kur futni një "X" nën rrënjë katroreështë e nevojshme të shtoni një shenjë minus në mënyrë që të mos humbni negativitetin e emëruesit)

Duket e pazakontë, por këtu pasiguria është "pafundësia minus pafundësia". Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me shprehjen e konjuguar:

Kështu, vija e drejtë është asimptota e pjerrët e grafikut në .

Me "plus pafundësi" gjithçka është më e parëndësishme:

Dhe vija e drejtë është në .

Përgjigje:

Nëse ;
, Nëse .

Unë nuk mund të rezistoj imazh grafik:


Kjo është një nga degët e hiperbolës.

Nuk është e pazakontë që prania e mundshme e asimptotave fillimisht të kufizohet nga fusha e përkufizimit të funksionit:

Shembulli 11

Shqyrtoni grafikun e një funksioni për praninë e asimptotave

Zgjidhja: padyshim , prandaj konsiderojmë vetëm gjysmërrafshin e djathtë, ku ka një grafik të funksionit.

1) Funksioni është i vazhdueshëm në interval, që do të thotë se nëse ekziston një asimptotë vertikale, ajo mund të jetë vetëm boshti i ordinatave. Le të studiojmë sjelljen e funksionit pranë pikës drejtë:

Ju lutemi vini re se këtu nuk ka pasiguri (raste të tilla u theksuan në fillim të artikullit Metodat për zgjidhjen e kufijve).

Kështu, drejtëza (boshti i ordinatave) është asimptota vertikale për grafikun e funksionit në .

2) Studimi mbi asimptotën e zhdrejtë mund të kryhet duke përdorur skema e plotë, por në artikullin L'Hopital Rules e zbuluam këtë funksion linear rend më i lartë i rritjes se logaritmik, prandaj: (Shih Shembullin 1 të të njëjtit mësim).

Përfundim: boshti x është asimptota horizontale e grafikut të funksionit në .

Përgjigje:

Nëse ;
, Nëse .

Vizatim për qartësi:

Është interesante që një funksion në dukje i ngjashëm nuk ka fare asimptota (ata që dëshirojnë mund ta kontrollojnë këtë).

Dy shembujt e fundit për vetë-studim:

Shembulli 12

Shqyrtoni grafikun e një funksioni për praninë e asimptotave

Për të kontrolluar për asimptota vertikale, së pari duhet të gjeni domenin e përkufizimit të funksionit dhe më pas të llogarisni një palë kufijsh të njëanshëm në pikat "të dyshimta". Asimptotat e zhdrejta gjithashtu nuk përjashtohen, pasi funksioni përcaktohet në pafundësi "plus" dhe "minus".

Shembulli 13

Shqyrtoni grafikun e një funksioni për praninë e asimptotave

Por këtu mund të ketë vetëm asimptota të zhdrejtë, dhe drejtimet duhet të konsiderohen veçmas.

Shpresoj se keni gjetur asimptotën e duhur =)

Ju uroj suksese!

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2:Zgjidhje :
. Le të gjejmë kufijtë e njëanshëm:

Drejt është asimptota vertikale e grafikut të funksionit në .
2) Asimptota të zhdrejta.

Drejt .
Përgjigje:

Vizatimte Shembulli 3:

Shembulli 4:Zgjidhje :
1) Asimptota vertikale. Funksioni pëson një ndërprerje të pafundme në një pikë . Le të llogarisim kufijtë e njëanshëm:

Shënim: një numër negativ pafundësisht i vogël me një fuqi çift është i barabartë me një numër pozitiv infinite vogël: .

Drejt është asimptota vertikale e grafikut të funksionit.
2) Asimptota të zhdrejta.


Drejt (boshti i abshisave) është asimptota horizontale e grafikut të funksionit në .
Përgjigje:

Një asimptotë e grafikut të një funksioni y = f(x) është një vijë e drejtë që ka vetinë që distanca nga pika (x, f(x)) në këtë drejtëz tenton në zero ndërsa pika e grafikut lëviz pafundësisht nga origjinën.

Në figurën 3.10. jepen shembuj grafikë të asimptotave vertikale, horizontale dhe të pjerrëta.

Gjetja e asimptotave të grafikut bazohet në tre teoremat e mëposhtme.

Teorema e asimptotës vertikale. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) në një fqinjësi të caktuar të pikës x 0 (mundësisht duke përjashtuar vetë këtë pikë) dhe të paktën një nga kufijtë e njëanshëm të funksionit është i barabartë me pafundësinë, d.m.th. Atëherë drejtëza x = x 0 është asimptota vertikale e grafikut të funksionit y = f(x).

Natyrisht, drejtëza x = x 0 nuk mund të jetë një asimptotë vertikale nëse funksioni është i vazhdueshëm në pikën x 0, pasi në këtë rast . Rrjedhimisht, asimptotat vertikale duhet të kërkohen në pikat e ndërprerjes së funksionit ose në skajet e domenit të tij të përkufizimit.

Teorema e asimptotës horizontale. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) për x mjaftueshëm të madh dhe ka një kufi të kufizuar të funksionit. Atëherë drejtëza y = b është asimptota horizontale e grafikut të funksionit.

Komentoni. Nëse vetëm njëri nga kufijtë është i fundëm, atëherë funksioni ka, përkatësisht, një asimptotë horizontale të anës së majtë ose të djathtë.

Në rast se , funksioni mund të ketë një asimptotë të zhdrejtë.

Teorema e asimptotës së zhdrejtë. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) për x mjaftueshëm të madh dhe të ketë kufij të fundëm . Atëherë drejtëza y = kx + b është asimptota e pjerrët e grafikut të funksionit.

Asnjë provë.

Një asimptotë e zhdrejtë, ashtu si ajo horizontale, mund të jetë e djathtë ose e majtë nëse baza e kufijve përkatës përmban pafundësi të një shenje të caktuar.

Studimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve të tyre zakonisht përfshin hapat e mëposhtëm:

1. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.

2. Shqyrtoni funksionin për çift-teksinë.

3. Gjeni asimptota vertikale duke ekzaminuar pikat e ndërprerjes dhe sjelljen e funksionit në kufijtë e fushës së përkufizimit, nëse ato janë të fundme.

4. Gjeni asimptota horizontale ose të zhdrejta duke shqyrtuar sjelljen e funksionit në pafundësi.