Një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës janë formuar quhet. Ndryshore e rastësishme

Përkufizimi. Një ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i një eksperimenti, merr një vlerë të vetme nga shumë vlerat e saj të mundshme, dhe është e pamundur të parashikohet se cila para eksperimentit.

Variablat e rastësishëm janë, për shembull, numri i pikëve të marra gjatë hedhjes së një koke, numri i vizitorëve në një farmaci gjatë ditës, numri i mollëve në një pemë, etj.

Variablat e rastësishëm janë gjithashtu temperatura e një pacienti në një kohë të zgjedhur rastësisht të ditës, masa e një tablete të zgjedhur rastësisht të një ilaçi të caktuar, lartësia e një studenti të zgjedhur rastësisht, etj.

RRETH

megjithatë me pikë matematikore Nga pikëpamja, midis variablave të tillë të rastësishëm si, për shembull, numri i vizitorëve në një farmaci gjatë ditës (le të shënojmë këtë variabël të rastësishëm X 1) dhe gjatësisë së një studenti të zgjedhur rastësisht nga një grup i caktuar studentësh (vlera X 2), ekziston një ndryshim thelbësor, domethënë: për vlerën X 1 mund t'i renditni të gjitha vlerat e mundshme(1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), ndërsa për vlerën X 2 kjo nuk mund të bëhet, pasi kjo vlerë, si rezultat i matjes, mund të marrë çdo vlerë nga segmenti ku

dhe - respektivisht lartësinë minimale dhe maksimale të nxënësve në grup.

Variablat e rastësishëm zakonisht shënohen me shkronja të mëdha Alfabeti latin- X, Y, Z, etj., dhe vlerat e tyre të mundshme - përkatëse shkronjat e vogla me indekse numerike. Për shembull, vlerat e ndryshores së rastësishme x shënohen si më poshtë: x 1, x 2, x 3, etj.

Koncepti i ndryshoreve të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme

Përkufizimi. Një ndryshore e rastësishme quhet diskrete nëse grupi i të gjitha vlerave të tij të mundshme përfaqëson një grup vlerash të fundme ose të pafundme, por domosdoshmërisht të numërueshme, domethënë një grup, të gjithë elementët e të cilit mund të numërohen (të paktën teorikisht) dhe të shkruhen në sekuencën e duhur.

Përkufizimi. Një ndryshore e rastësishme quhet e vazhdueshme nëse grupi i vlerave të tij të mundshme përfaqëson një interval të fundëm ose të pafund. boshti numerik.

Bazuar në këto përkufizime, variabla të tilla të rastësishme siç janë renditur më sipër, si numri i pikëve të marra gjatë hedhjes së një zari, numri i vizitorëve në farmaci gjatë ditës, numri i mollëve. pema janë variabla diskrete të rastësishme, dhe të tilla si temperatura e një pacienti në një kohë të caktuar të ditës, pesha e një tablete të zgjedhur rastësisht të një ilaçi të caktuar, lartësia e një studenti të zgjedhur rastësisht janë variabla të vazhdueshme.

Variabla të rastësishme diskrete

Le të hedhim një vështrim më të afërt variabla diskrete të rastësishme, dhe, si rregull, ne do ta kufizojmë shqyrtimin tonë në variabla të tilla të rastësishme për të cilat numri i vlerave të mundshme është i kufizuar.

Shumica informacion të plotë rreth një ndryshoreje të rastësishme diskrete jepet nga ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshore.

Përkufizimi. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është korrespondenca midis të gjitha vlerave të mundshme të kësaj ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre përkatëse.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme shpesh specifikohet në formën e një tabele me dy rreshta, rreshti i parë i së cilës liston të gjitha vlerat e mundshme të kësaj vlere (zakonisht në rend rritës), dhe rreshti i dytë rendit probabilitetet përkatëse. ndaj këtyre vlerave në tabelën 1:

Shembulli 2. Janë dhjetë grupet e nxënësve, duke numëruar përkatësisht 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 dhe 11 nxënës. Hartoni një ligj të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme X, të përcaktuar si numri i studentëve në një grup të zgjedhur rastësisht.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të ndryshores së rastit të konsideruar X janë si më poshtë (në rend rritës):

8, 9, 10, 11 dhe 12.

Që nga viti ndryshore e rastësishme X merr një vlerë të barabartë me 8, në rast se një grup prej 8 studentësh zgjidhet rastësisht (le ta quajmë këtë ngjarje A), probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X të marrë vlerën
, është e barabartë me probabilitetin e kësaj ngjarjeje të rastësishme:
.

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme A në përputhje me përkufizimin klasik të probabilitetit është i barabartë me
pasi nga 10 grupe, dy kanë nga 8 nxënës secili.

Kështu, për vlerën e probabilitetit marrim:

.

Në mënyrë të ngjashme, mund të gjeni probabilitetet e vlerave të mbetura të ndryshores së rastësishme X:

i cili na lejon të hartojmë ligjin e dëshiruar të shpërndarjes (Tabela 2):

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete gjithashtu mund të specifikohet duke përdorur një formulë që na lejon të përcaktojmë probabilitetin përkatës për çdo vlerë të mundshme të kësaj ndryshore.

Variabla të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme

Si rregull, kur prodhohet një produkt, procesi i prodhimit të tij ndikohet nga shumë faktorë të ndryshëm, si rezultat i së cilës ka një shpërndarje në vlerat e treguesve të cilësisë së produktit. Kështu, treguesit e cilësisë së produkteve të prodhuara ose shërbimeve të ofruara duhet të konsiderohen si variabla të rastësishëm.

Ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i testimit brenda një intervali të caktuar, mund të marrë vlera të ndryshme numerike (sipas STB GOST R 50779.10, një ndryshore e rastësishme është një variabël që mund të marrë çdo vlerë nga një grup i caktuar vlerash dhe shoqërohet me një shpërndarje probabiliteti).

Variabla të rastësishme diskrete janë ato që, si rezultat i testimit, mund të marrin vetëm vlera të veçanta, të izoluara dhe nuk mund të marrin vlera të ndërmjetme mes tyre. Për shembull, numri i pjesëve të papërdorshme në një grup mund të jetë vetëm një numër i plotë numër pozitiv 1, 2, 3, etj., por nuk mund të jetë 1,3; 1.7, etj.

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme është një vlerë që, si rezultat i testimit, mund të marrë çdo vlerat numerike nga një seri e vazhdueshme e vlerave të tyre të mundshme brenda një intervali të caktuar.

Për shembull, dimensionet aktuale të pjesëve të përpunuara në një makinë janë variabla të rastësishme të një lloji të vazhdueshëm, pasi ato mund të marrin çdo vlerë numerike brenda kufijve të caktuar.

Aftësia e variablave të rastësishëm për të marrë vlera të caktuara numerike gjatë testimit vlerësohet duke përdorur probabilitete.

Një grup vlerash të ndryshoreve të rastësishme të renditura në rend rritës që tregojnë probabilitetet e tyre për secilën vlerë quhet shpërndarja e ndryshoreve të rastësishme (sipas STB GOST R Shpërndarja 50779.10 është një funksion që përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të caktuar ose t'i përkasë një grupi të caktuar vlerash).

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme mund të paraqitet në formë tabelare, grafike dhe duke përdorur vlerësime statistikore.

Gjatë paraqitjes së shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme në formë tabelare, çdo numër i njësisë së prodhimit në studim (numri i matjes) korrespondon me vlerën e treguesit të cilësisë për këtë njësi prodhimi (rezultati i matjes).

Kur përfaqëson shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme në formë grafike, një grafik shpërndarjeje vizatohet në koordinata, vlera e ndryshores së rastësishme - probabiliteti (frekuenca, frekuenca) e vlerës së ndryshores së rastit.

Figura më poshtë tregon grafikët e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme.

Figura - Grafiku i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Figura - Grafiku i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Ekzistojnë shpërndarje teorike dhe empirike të variablave të rastësishëm. Në shpërndarjet teorike, vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme vlerësohen duke përdorur probabilitete, dhe në shpërndarjet empirike, duke përdorur frekuencat ose frekuencat e marra si rezultat i testeve.

Prandaj, shpërndarja empirike e një ndryshoreje të rastësishme është një grup vlerash eksperimentale të tij, të renditura në rend rritës, duke treguar frekuencat ose frekuencat për secilën nga vlerat (sipas STB GOST R 50779.10 shpërndarja e frekuencës është një marrëdhënie empirike midis vlerave të një tipari dhe frekuencave të tij ose frekuencave të tij relative).

Tabela. Një shembull i një paraqitjeje tabelare të shpërndarjes teorike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Grafikisht, shpërndarja empirike e një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të përfaqësohet si grafik me shtylla , i formuar nga një grup kolonash me gjerësi të barabartë, lartësitë e të cilave janë proporcionale me frekuencat vlera diskrete ndryshore e rastësishme.

Figura - Grafik me shtylla të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Nëse ndryshorja e rastësishme është e vazhdueshme, atëherë lindin disa vështirësi në paraqitjen e shpërndarjes së saj në formën e një tabele ose grafiku. Prandaj, në praktikë, kur studiohen variablat e rastësishëm të një lloji të vazhdueshëm, vlerat e marra ndahen në intervale të barabarta në mënyrë që vlera e intervalit të jetë pak më e madhe se gabimi i matjes së vlerës që studiohet. Atëherë frekuencat numërohen jo sipas vlerat aktuale ndryshore e rastësishme, por mbi intervale. Prandaj, tabela e shpërndarjes empirike të një ndryshoreje të rastësishme të tipit të vazhdueshëm do të ketë formën e mëposhtme.

Tabela. Shpërndarja empirike ndryshore e rastësishme e tipit të vazhdueshëm.

Shpërndarja empirike e një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme mund të paraqitet grafikisht në formën e një histogrami të shpërndarjes, një poligon të frekuencës ose një poligon të frekuencës kumulative.

Histogrami i shpërndarjes është një grup drejtkëndëshash ngjitur, bazat e të cilëve janë të barabarta me intervalet e ndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, dhe zonat janë proporcionale me frekuencat me të cilat vlerat e ndryshores së rastësishme bien në këto intervale. (sipas STB GOST R 50779.10 histogrami (shpërndarjet) janë paraqitje grafike Shpërndarja e frekuencës për një karakteristikë sasiore, e formuar nga drejtkëndësha ngjitur, bazat e të cilave janë intervale klasash dhe zonat janë në përpjesëtim me frekuencat e këtyre klasave).

Figura - Histogrami i shpërndarjes së një ndryshoreje të vazhdueshme të rastit.

Shumëkëndëshi i frekuencës - Kjo vijë e thyer, e përftuar duke lidhur pikat, abshisat e të cilave janë të barabarta me pikat e mesit të intervaleve të ndarjes dhe ordinatat janë të barabarta me frekuencat përkatëse.

Figura - Shumëkëndëshi i frekuencave të një vlere të vazhdueshme të rastësishme.

Shumëkëndëshi kumulativ frekuencave është një vijë e thyer e përftuar nga lidhjet e pikave, abshisat e të cilave janë të barabarta kufijtë e sipërm intervalet e ndarjes, dhe ordinatat - ose frekuenca kumulative ose frekuenca kumulative (frekuenca relative kumulative).

Figura - Shumëkëndëshi i frekuencave kumulative të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastit.

Në përshkrimet teorike të variablave të rastësishëm të tipit të vazhdueshëm, përdoret funksioni i shpërndarjes. Shpërndarja teorike ndryshorja e rastësishme e vazhdueshme mund të paraqitet grafikisht si integral, integral i anasjelltë, diferencial funksionet dhe funksionet e shpërndarjes intensiteti.

Le të jetë X një ndryshore e rastësishme dhe x një numër real (në këtë rast X< х ). Ngjarja X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) quhet funksioni i shpërndarjes probabilitetet ndryshore e rastësishme ose funksion integral shpërndarjet.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete, funksioni i shpërndarjes kumulative F(X) përcaktohet lehtësisht nga një tabelë ose grafik.

Kështu, për shembullin e mësipërm të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete (në X< 4):

F(X) = Р( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Grafiku i funksionit të shpërndarjes kumulative të një ndryshoreje të rastësishme diskrete do të duket si një kurbë me shkallë. Ordinatat e lakores për çdo vlerë të X do të përfaqësojnë shumën e probabiliteteve të vlerave të mëparshme.

Figura - Funksioni kumulativ i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme gjatë testimit të jetë brenda dy vendos vlerat x 1 dhe x 2 (x 2 > x 1) është e barabartë me rritjen e funksionit integral në këtë seksion, d.m.th.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Nëse i drejtohemi shembullit të mësipërm të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete, atëherë për x1 = 2 dhe x2 = 3:

Р(2≤Х≤3) = Р(Х< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, grafiku i funksionit të shpërndarjes kumulative do të duket si një kurbë në rritje monotonike. Në praktikë, funksioni i shpërndarjes integrale përdoret për të përcaktuar frekuencat teorike shpërndarjet.

Figura - Funksioni kumulativ i shpërndarjes

ndryshore e vazhdueshme e rastësishme

Funksioni i shpërndarjes kumulative të kundërt është i barabartë me diferencën midis unitetit dhe funksionit të shpërndarjes kumulative.

Dendësia e shpërndarjes (funksioni i shpërndarjes diferenciale) një ndryshore e rastësishme quhet derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes kumulative:

Për përshkrim analitik përdoret variabli i rastësishëm i vazhdueshëm në teorinë e besueshmërisë funksioni i intensitetit , e barabartë me raportin funksioni diferencial shpërndarja në funksionin e shpërndarjes kumulative inverse:

Figura - Funksioni i intensitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.

Tema 3.

Variablat e rastësishëm dhe funksionet e shpërndarjes

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme.

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, vetitë e saj

Variabla të rastësishme me shpërndarje diskrete

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme me një shpërndarje diskrete

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Shembuj të shpërndarjeve diskrete

Variabla të rastësishme me shpërndarje absolutisht të vazhdueshme

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme me një shpërndarje absolutisht të vazhdueshme

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme absolutisht të vazhdueshme. Dendësia, vetitë e tij

Shembuj të shpërndarjeve absolutisht të vazhdueshme

Koncepti i një vektori të rastësishëm.

Koncepti i vektorit të rastësishëm

Variabla të rastësishme të pavarura

Shpërndarja e përbashkët e variablave të rastit

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme.

Që nga shfaqja e teorisë së probabilitetit, detyra e saj kryesore ka qenë të studiojë jo vetitë probabiliste të eksperimenteve me rezultate të rastësishme, por sasitë numerike që lidhen me këto eksperimente, të cilat është e natyrshme të quhen variablat e rastësishëm. Për shembull, ne mund të mos jemi të interesuar për çifte numrash fytyrat e sipërme kube dhe shuma e tyre; numri i sukseseve ose numri i dështimeve para suksesit të parë në skemën e Bernulit.

Shpesh në literaturë mund të gjesh variacione mbi temën përkufizimin e mëposhtëm: Ndryshore e rastësishme thirrur vlerë e ndryshueshme, e cila, në varësi të rezultatit të testit, merr vlera specifike për rastin.

Kështu, ndryshorja e rastësishme është vlerë numerike, vlera e të cilit varet nga çfarë lloj rezultati (elementar) ka ndodhur si rezultat i një eksperimenti me një rezultat të rastësishëm. Quhet grupi i të gjitha vlerave që mund të marrë një ndryshore e rastësishme grup vlerash të mundshme të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Ne do të japim një përkufizim më të rreptë, pasi koncepti i një ndryshoreje të rastësishme është një prej tyre konceptet kryesore, të cilat lidhin teorinë e probabilitetit me analiza matematikore dhe formojnë bazën konceptuale të statistikave matematikore.

Përkufizimi. Ndryshore e rastësishme quhet një funksion X = X(ω), i përcaktuar në hapësirë ngjarje elementareΩ, për të cilën ngjarja (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Gjendja (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из A. Përveç kësaj, përmes ngjarjeve (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно ngjarje komplekse, i lidhur me ndryshoren e rastit X. Një ngjarje e tillë do t'i përkasë edhe σ-algjebrës së ngjarjeve A dhe, për rrjedhojë, për të përcaktohet një probabilitet.

Komentoni. Kështu, një ndryshore e rastësishme është një funksion, domeni i të cilit është hapësira e ngjarjeve elementare Ω, dhe grupi i vlerave është një grup numerik, mundësisht i gjithë grupi. numra realë R.

Σ-algjebra e ngjarjeve A është fusha e probabilitetit nëse e konsiderojmë si funksion.

Komentoni . “Termi “ndryshore” është disi i pasaktë termi “Funksioni i rastit” do të ishte më i përshtatshëm; rezultati i një eksperimenti ose i një rasti.” (W. Feller “Hyrje në teorinë e probabilitetit”, Ch. IX)

Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të alfabetit grek: (xi), (eta),  ose me shkronja të mëdha Alfabeti latin X, Y, ... Ne do të shkruajmë vlerat e një ndryshoreje të rastësishme në formën e një sekuence të fundme ose të pafundme x 1 ,x 2,, x n,; y 1, y 2,,y n ,

Komentoni . Më parë kemi prezantuar konceptin e probabilitetit në lidhje me ngjarje të caktuara. Tani kalojmë te flasim për funksionet. Ngjarja më e dukshme që mund të shoqërohet me konceptin e një funksioni është pranimi i tij i një vlere (specifike ose që i përket një intervali)

Për të studiuar vetitë probabilistike të një ndryshoreje të rastësishme, duhet të dini një rregull që ju lejon të gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë nga një nëngrup i vlerave të saj. Çdo rregull i tillë quhet ligji i shpërndarjes së probabilitetit ose shpërndarjes (probabiliteteve) të një ndryshoreje të rastësishme.(në këtë rast, fjala "probabilitete" zakonisht hiqet)

Ligji i përgjithshëm i shpërndarjes i natyrshëm në të gjitha variablat e rastësishëm është funksioni i shpërndarjes.

Përkufizimi. I gjithë grupi i probabiliteteve P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X V rast i përgjithshëm. Shpesh, për shkurtësi, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme quhet thjesht shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme.

Përkufizimi. Funksioni F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X.

Vlera e funksionit të shpërndarjes në pikën x është e barabartë me probabilitetin e ngjarjes (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех rezultatet elementareω, për të cilën X< х.

Zakonisht themi se vlera e funksionit të shpërndarjes në një pikë x është e barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x.

Gjeometrikisht, kjo do të thotë si vijon: F(x) është probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X të marrë vlerën që përfaqësohet nga një pikë në vijën numerike të vendosur në të majtë të pikës x.

Komentoni . Funksioni i shpërndarjes quhet gjithashtu funksioni integral, ose ligji i shpërndarjes integrale të ndryshores së rastësishme X

Funksioni i shpërndarjes ka si më poshtë vetitë:

0≤ F(x)≤1 (pasi, sipas përkufizimit, funksioni i shpërndarjes është një probabilitet)

F(x 1) ≤ F(x 2) për x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 si x → - ∞ , lim F(x) = 1 si x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F (x 1) - F (x 2)

F(x) është një funksion i vazhdueshëm i majtë, d.m.th. F(x) = F(x - 0), ku F(x - 0) = lim F(y) si y → x - 0 (kufi në të majtë)

Komentoni . Për të theksuar se cilës ndryshore të rastësishme i përket funksioni i shpërndarjes F(x), këtij funksioni ndonjëherë i caktohet një nënshkrim që tregon një ndryshore specifike të rastit. Për shembull, F X (x) = P (X< х}

Komentoni. Në disa botime, funksioni i shpërndarjes përcaktohet si F(x) = P(X ≤ x). Ky përkufizim nuk ndryshon asgjë në thelb konceptin e një funksioni të shpërndarjes, ndryshon vetëm vetia e fundit, e pesta. Funksioni në këtë rast rezulton të jetë i drejtë i vazhdueshëm.

Digresioni: "Çfarë është një funksion?"

Le të na jepen dy grupe X dhe Y, dhe Y është një bashkësi numerike. Dhe le të jepet një rregull f, sipas të cilit çdo element (pikë) i bashkësisë X shoqërohet me (një dhe vetëm një) element (numër) të bashkësisë Y. Rregulli f, së bashku me bashkësitë X dhe Y, përcaktoni funksionin f. Shënimi y=f(x) do të thotë se rregulli f është zbatuar në një pikë x të grupit X, dhe si rezultat kemi marrë një pikë y nga bashkësia Y. X quhet argument (ndryshore e pavarur), dhe y është vlera (ndryshore e varur) e funksionit f në pikën X. Kompleti X quhet domeni i përkufizimit (domeni i përkufizimit) i funksionit, ata thonë se funksioni është përcaktuar në këtë grup; Seti X nuk është domosdoshmërisht grup numerik. Kështu, një ndryshore e rastësishme është një funksion i përcaktuar në një hapësirë ​​jo-numerike të ngjarjeve elementare.

NDRYSHORET E RASTËSISHME

Një sasi e rastësishme është një sasi që, si rezultat i testimit, do të marrë një dhe vetëm një vlerë të mundshme dhe e cila është e panjohur paraprakisht.

Diskrete është një ndryshore e rastësishme që merr vlera të mundshme të veçanta, të izoluara me probabilitete të caktuara.

Continuous është një ndryshore e rastësishme që mund të marrë të gjitha vlerat nga një interval i fundëm ose i pafund.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është korrespondenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre. Ky ligj jepet në formën e një tabele, formule ose grafiku.

Për variablat diskrete të rastësishme, një nga më të përdorurit është i ashtuquajturi ligj i shpërndarjes binomiale, i cili çon në skemën e përsëritjes së testit Bernoulli. Formula (8) është shprehje analitike këtë ligj.

Shembulli 11.

Një mesazh transmetohet përmes një kanali komunikimi duke përdorur një kod të përbërë nga dy karaktere. Probabiliteti që i pari të shfaqet është 2/3. U transmetuan tre personazhe. Gjeni ligjin e shpërndarjes për dukuritë e karakterit të parë.

Zgjidhje.

Sipas kushteve n=4, r=2/3, q= 1/3. Vlerat e mundshme për numrin e paraqitjeve të karakterit të parë: 0, 1, 2 dhe 3. Le të gjejmë probabilitetet e tyre duke përdorur formulën (8):

Ky ligj mund të paraqitet në formën e një tabele

Një funksion shpërndarjeje është një funksion që përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme X si rezultat i provës vlera do të jetë më e vogël X, pra

Gjeometrikisht, kjo do të thotë se një ndryshore e rastësishme me probabilitet r do të marrë vlerën që përfaqësohet në boshtin e numrave nga një pikë e shtrirë në të majtë X.

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, funksioni i shpërndarjes është një funksion i vazhdueshëm i diferencueshëm pjesë-pjesë. Karakteristikat themelore rrjedhin nga përkufizimi:

1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit, d.m.th.

2. F(x) është një funksion jo-zvogëlues, domethënë nëse

3. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të përmbajtur në intervalin [ a, b[, e barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes në këtë interval

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, probabiliteti i marrjes kuptim të veçantë barazohet me zero. Prandaj, për variabla të rastësishme të vazhdueshme

Shembulli 12.

Ndryshore e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë një vlerë që i përket segmentit [-1;0.5].

Zgjidhje.

Nga kushti del se X- një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme që mund të marrë një vlerë nga 0 në 1.

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të vazhdueshme ndryshore e rastësishme X quhet derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes

Funksioni i shpërndarjes F(x)është një nga antiderivativët për densitetin e shpërndarjes. Bazuar në përkufizimin e dendësisë ose ligji diferencial shpërndarja dhe lidhja e saj me funksionin e shpërndarjes, është e lehtë të tregohen vetitë e mëposhtme:

1. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është një funksion jo negativ

2. Probabiliteti i goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në interval është i barabartë me

(16)

3. Nga vetia 2 marrim një shprehje për funksionin e shpërndarjes

(17)

4. Gjendja e normalizimit

(18)

Shembulli 13. Sasi diskrete X dhënë nga tabela

Gjeni funksionin e shpërndarjes dhe vizatoni atë.

Zgjidhje.

1. Nëse , atëherë , pasi X nuk mund të marrë një vlerë më të vogël se 2.

Në këtë rast, në intervalin (-¥, X) vetëm një vlerë e variablit të rastësishëm godet X (X=2). Kjo është arsyeja pse

Për çdo vlerë argumenti X funksionet F(x), të kënaqshme kjo pabarazi, në intervalin (-¥, X) godet dy vlera të ndryshores së rastësishme ( X=2 dhe X=3). Sepse ngjarjet që X do të pranojë që vlerat e dhëna janë të papajtueshme (ose X=2 ose X=3), atëherë

4. Në mënyrë të ngjashme nëse

Prandaj, funksioni i shpërndarjes do të ketë formën

Grafikimi i funksionit të shpërndarjes

Oriz. 1 - Grafiku i funksionit të shpërndarjes

ndryshore diskrete e rastësishme

Shembulli 14. Dendësia e shpërndarjes së gabimit të matjes

Zgjerimi i konceptit ngjarje të rastësishme, që konsiston në pamjen e disave vlerat numerike si rezultat i eksperimentit, është ndryshore e rastësishme X.

Përkufizimi. E rastësishme Ata e quajnë një sasi që, si rezultat i një eksperimenti, merr vetëm një vlerë nga një pjesë e tërësisë së tyre dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Ndryshore e rastësishme, për shembull, është një model i arsyeshëm për përshkrimin e të dhënave gjeologjike, duke marrë parasysh ndikimin e faktorëve të ndryshëm në fushën fizike.

Si rezultat i një eksperimenti të veçantë, vlerën e saktëËshtë e pamundur të parashikohet një variabël i rastësishëm mund të vendoset vetëm modelet e tij statistikore, d.m.th. të përcaktojë probabilitetin e vlerave të ndryshoreve të rastësishme. Për shembull, matjet vetitë fizike shkëmbinj janë vëzhgime të variablave të rastit përkatës.

Ndër variablat e rastësishëm që has një gjeolog, mund të dallohen dy lloje kryesore: variablat diskrete dhe madhësisë të vazhdueshme.

Përkufizimi. Diskret Një ndryshore e rastësishme është ajo që mund të marrë një grup vlerash të fundme ose të pafundme të numërueshme.

Si shembuj tipikë Një ndryshore e rastësishme diskrete mund të jenë të gjitha rezultatet e punës në terren, të gjitha rezultatet e eksperimenteve, mostrat e sjella nga terreni, etj.

Të gjitha vlerat e mundshme të një forme variabile të rastësishme grupi i plotë ngjarjet, d.m.th. , ku është e fundme ose e pafundme. Prandaj mund të themi se ndryshore e rastësishme përgjithëson konceptin e një ngjarjeje të rastësishme.

Le të merren seritë e mëposhtme të të dhënave si rezultat i hulumtimit: përbërjen sasiore disa raca: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Janë kryer gjithsej 20 teste. Për ta bërë të përshtatshëm punën me të dhënat, ato u transformuan: vlerat rezultuese u renditën në rend rritës dhe u numërua numri i dukurive të secilës vlerë. Si rezultat kemi marrë (Tabela 7.1):

Përkufizimi. Një shpërndarje në rritje e të dhënave quhet renditjen.

Përkufizimi. Vlera e vëzhguar e disa atributeve të një ndryshoreje të rastësishme quhet variant.

Përkufizimi. Një seri e përbërë nga variante quhet seri variacionesh.

Përkufizimi. Një ndryshim në disa atribute të një ndryshoreje të rastësishme quhet të ndryshme.

Përkufizimi. Numri që tregon se sa herë ndryshon një opsion i caktuar quhet frekuencë dhe shënohet me .

Përkufizimi. Probabiliteti pamja e këtij opsioni është e barabartë me raportin e frekuencës me shuma totale seri variacionesh

Duke marrë parasysh përkufizimet e paraqitura, do të rishkruajmë tabelën 7.1.

Probabiliteti Në analiza statistikore përdoren kryesisht të dhënat eksperimentale sasi diskrete . Tabela 7.3 tregon karakteristikat kryesore numerike të këtyre sasive, të cilat janë të rëndësishme rëndësi praktike

variablat e rastësishëm	N p/p	Karakteristikat (parametri) i një ndryshoreje të rastësishme dhe emërtimi i saj	Formula për gjetjen e karakteristikave të një ndryshoreje të rastësishme
1	Shënim	(2)	pritje
2	Karakterizon pozicionin e një ndryshoreje të rastësishme në boshtin e numrave	(3)	Vlera mesatare
3	Nëse ndryshorja e rastësishme është e pavarur, atëherë	Moda	Kjo është vlera për të cilën më e madhe E barabartë me vlerën që shfaqet më shpesh. Nëse vlera të tilla në seri variacionesh
4	disa, nuk është përcaktuar.	mesatare Nëse edhe, atëherë	Nëse është e çuditshme, atëherë
5	Kjo është vlera që është në qendër të serisë së renditur.		Dispersion
7	Karakterizon shpërndarjen aktuale të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare.	(6)	Koeficienti i variacionit
8	Së bashku me dispersionin, ai karakterizon ndryshueshmërinë e një ndryshoreje të rastësishme

Devijim i normalizuar i përqendruar

Institucioni arsimor "Shteti Bjellorusi".

Akademia Bujqësore"

Departamenti i Matematikës së Lartë

Udhëzimet

për të studiuar temën “Ndryshoret e rastësishme” nga studentët e Fakultetit të Kontabilitetit për Edukimin me Korrespondencë (NISPO)

Gorki, 2013

Variabla të rastësishme

Variabla të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme Një nga konceptet kryesore në teorinë e probabilitetit është koncepti . ndryshore e rastësishme është një sasi që si rezultat i testimit merr vetëm një nga vlerat e shumta të mundshme dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Ka variabla të rastësishëm diskrete dhe të vazhdueshme . Ndryshore diskrete e rastësishme (DRV) është një ndryshore e rastësishme që mund të marrë një numër të kufizuar vlerash të izoluara nga njëra-tjetra, d.m.th. nëse vlerat e mundshme të kësaj sasie mund të rillogariten. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme (CNV) është një ndryshore e rastësishme, të gjitha vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë plotësisht një interval të caktuar të vijës numerike.

Variablat e rastësishëm përcaktohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin X, Y, Z, etj. Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm tregohen me shkronjat e vogla përkatëse.

Regjistro
do të thotë "probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X do të marrë një vlerë prej 5, e barabartë me 0,28.”

Shembulli 1 . X Zari hidhet një herë. Në këtë rast, numrat nga 1 në 6 mund të shfaqen, duke treguar numrin e pikëve. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(numri i pikave të rrotulluara). Kjo ndryshore e rastësishme si rezultat i testit mund të marrë vetëm një nga gjashtë vlerat: 1, 2, 3, 4, 5 ose 6. Prandaj, ndryshorja e rastësishme

ka DSV. Shembulli 2 X. Kur një gur hidhet, ai përshkon një distancë të caktuar. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(distanca e fluturimit me gurë). Kjo ndryshore e rastësishme mund të marrë çdo vlerë, por vetëm një, nga një interval i caktuar. Prandaj, ndryshorja e rastësishme

ka NSV.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete Një ndryshore e rastësishme diskrete karakterizohet nga vlerat që mund të marrë dhe nga probabilitetet me të cilat merren këto vlera. Korrespondenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe probabiliteteve përkatëse të tyre quhet .

ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Nëse dihen të gjitha vlerat e mundshme X ndryshore e rastësishme
dhe probabilitetet shfaqja e këtyre vlerave, atëherë ata besojnë se ligjiX Shpërndarjet DSV

është i njohur dhe mund të shkruhet në formën e tabelës:
,
, …,
Ligji i shpërndarjes DSV mund të përshkruhet grafikisht nëse pikat përshkruhen në një sistem koordinativ drejtkëndor

dhe lidhni ato me segmente të drejtë. Shifra që rezulton quhet poligon i shpërndarjes. Shembulli 3 X. Kokrra e destinuar për pastrim përmban 10% barërat e këqija. 4 kokrra janë përzgjedhur në mënyrë të rastësishme. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(numri i barërave të këqija midis katër të përzgjedhurve). Ndërtoni ligjin e shpërndarjes DSV

dhe poligonin e shpërndarjes. Zgjidhje

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së DSV X në formën e një tabele dhe të ndërtojmë një poligon të shpërndarjes:

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Vetitë më të rëndësishme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete përshkruhen nga karakteristikat e saj. Një nga këto karakteristika është pritje matematikore ndryshore e rastësishme.

Le të dihet ligji i shpërndarjes së DSV X:

Pritshmëria matematikore DSV Xështë shuma e produkteve të secilës vlerë të kësaj sasie me probabilitetin përkatës:
.

Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është afërsisht e barabartë me mesataren aritmetike të të gjitha vlerave të saj. Prandaj, në problemet praktike është shpesh pritje matematikore merrni vlerën mesatare të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Shembull 8 . Qitësi shënon 4, 8, 9 dhe 10 pikë me probabilitete 0.1, 0.45, 0.3 dhe 0.15. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të pikëve me një goditje.

dhe poligonin e shpërndarjes. . Le të shënojmë variablin e rastësishëm X= (numri i pikëve të shënuara). Pastaj . Kështu, numri mesatar i pritur i pikëve të shënuar me një goditje është 8.2, dhe me 10 goditje - 82.

Vetitë kryesore pritjet matematikore janë:

.

.

, Ku
,
.

.

, Ku X Dhe Y janë variabla të rastësishme të pavarura.

Diferenca
thirrur devijimi ndryshore e rastësishme X nga pritshmëria e tij matematikore. Ky ndryshim është një ndryshore e rastësishme dhe pritshmëria e saj matematikore është zero, d.m.th.
.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Për të karakterizuar një ndryshore të rastësishme, përveç pritshmërisë matematikore, përdorim edhe dispersion , e cila bën të mundur vlerësimin e shpërndarjes (përhapjes) të vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kur krahasohen dy ndryshore homogjene të rastit me pritshmëri të barabarta matematikore, vlera "më e mirë" konsiderohet ajo që ka më pak përhapje, d.m.th. më pak shpërndarje.

Varianca ndryshore e rastësishme X quhet pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore: .

NË probleme praktike ah për të llogaritur variancën, përdorni formulën ekuivalente.

Karakteristikat kryesore të dispersionit janë:

.

Një nga konceptet bazë më të rëndësishme të teorisë së probabilitetit është koncepti i një ndryshoreje të rastësishme.

Një ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Shembuj të variablave të rastësishëm:

1) numri i goditjeve me tre të shtëna;

2) numri i thirrjeve të marra në central telefonik në ditë;

3) shkalla e goditjes me 10 të shtëna.

Në të tre këta shembuj, variablat e rastësishëm mund të marrin vlera të veçanta, të izoluara që mund të numërohen paraprakisht.

Pra, në shembullin 1) këto vlera janë:

në shembullin 2):

në shembullin 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Variabla të tilla të rastësishme, të cilat marrin vetëm vlera të dallueshme që mund të numërohen paraprakisht, quhen ndryshore të rastësishme të ndërprera ose diskrete.

Ekzistojnë lloje të tjera të ndryshoreve të rastësishme, për shembull:

1) abshisa e pikës së goditjes kur gjuhet;

2) gabim në peshimin e trupit në peshore analitike;

3) shpejtësia e avionit në momentin që arrin një lartësi të caktuar;

4) pesha e një kokrre gruri të marrë rastësisht.

Vlerat e mundshme të ndryshoreve të tilla të rastësishme nuk janë të ndara nga njëra-tjetra; ato vazhdimisht plotësojnë një boshllëk të caktuar, i cili ndonjëherë ka kufij të përcaktuar qartë, dhe më shpesh - kufij të paqartë e të paqartë.

Variabla të tilla të rastësishme, vlerat e mundshme të të cilave plotësojnë vazhdimisht një interval të caktuar, quhen variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme luan një rol shumë të rëndësishëm rol të rëndësishëm në teorinë e probabilitetit. Nëse teoria "klasike" e probabilitetit vepron kryesisht me ngjarje, atëherë teoria moderne e probabilitetit preferon, kudo që është e mundur, të veprojë me ndryshore të rastësishme.

Le të japim shembuj të metodave të kalimit nga ngjarjet në ndryshore të rastësishme tipike për teorinë e probabilitetit.

Një eksperiment kryhet si rezultat i të cilit një ngjarje mund të shfaqet ose jo. Në vend të një ngjarjeje, ne mund të konsiderojmë një ndryshore të rastësishme, e cila është e barabartë me 1 nëse ndodh ngjarja dhe e barabartë me 0 nëse ngjarja nuk ndodh. Ndryshorja e rastësishme është padyshim e ndërprerë; ka dy vlera të mundshme: 0 dhe 1. Kjo ndryshore e rastësishme quhet ndryshore karakteristike e rastit të ngjarjes. Në praktikë, shpesh rezulton të jetë më i përshtatshëm për të vepruar me variablat e tyre karakteristike të rastësishme në vend të ngjarjeve. Për shembull, nëse kryhen një sërë eksperimentesh, në secilën prej të cilave ndodhja e ngjarjes është e mundur, atëherë numri i përgjithshëm dukuritë e një ngjarjeje janë të barabarta me shumën e ndryshoreve karakteristike të rastit të ngjarjes në të gjitha eksperimentet. Kur zgjidhni shumë probleme praktike, përdorimi i kësaj teknike rezulton të jetë shumë i përshtatshëm.

Nga ana tjetër, shumë shpesh, për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje, rezulton të jetë e përshtatshme të lidhet kjo ngjarje me një lloj ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme (ose sistem variablash të vazhdueshme).

Le të matim, për shembull, koordinatat e një objekti O për të ndërtuar një pikë M, duke e paraqitur këtë objekt në një panoramë (skanim) të zonës. Ne jemi të interesuar në rast se gabimi R në pozicionin e pikës M nuk do të kalojë vlerën e specifikuar (Fig. 2.4.1). Le të shënojmë gabime të rastësishme në matjen e koordinatave të një objekti. Natyrisht, ngjarja është ekuivalente me një pikë të rastësishme M me koordinata që bien brenda një rrethi me rreze me qendër në pikën O. Me fjalë të tjera, që ngjarja të ndodhë, ndryshoret e rastësishme dhe duhet të plotësojnë pabarazinë

Probabiliteti i një ngjarjeje nuk është gjë tjetër veçse probabiliteti që pabarazia (2.4.1) të përmbushet. Ky probabilitet mund të përcaktohet nëse dihen vetitë e ndryshoreve të rastësishme.

Një lidhje e tillë organike midis ngjarjeve dhe ndryshoreve të rastësishme është shumë karakteristike teori moderne probabilitete, e cila, kudo që është e mundur, kalon nga "skema e ngjarjeve" në "skema e ndryshoreve të rastit". Skema e fundit, krahasuar me të parën, është një aparat shumë më fleksibël dhe universal për zgjidhjen e problemeve që lidhen me fenomene të rastësishme.

LIGJI I SHPËRNDARJES DHE KARAKTERISTIKAT

NDRYSHORET E RASTËSISHME

Variablat e rastësishëm, klasifikimi i tyre dhe metodat e përshkrimit.

Një sasi e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, por që nuk dihet paraprakisht. Prandaj, për një ndryshore të rastësishme, mund të specifikoni vetëm vlera, njërën prej të cilave do ta marrë patjetër si rezultat i eksperimentit. Në vijim do t'i quajmë këto vlera vlera të mundshme të ndryshores së rastit. Meqenëse një ndryshore e rastësishme karakterizon në mënyrë sasiore rezultat i rastësishëm përvojë, mund të konsiderohet si karakteristikë sasiore ngjarje e rastësishme.

Variablat e rastësishëm zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, për shembull, X..Y..Z, dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronja të vogla përkatëse.

Ekzistojnë tre lloje të variablave të rastësishëm:

Diskret; E vazhdueshme; Të përziera.

Diskretështë një ndryshore e rastësishme, numri i vlerave të mundshme të së cilës formon një grup të numërueshëm. Nga ana tjetër, një grup, elementët e të cilit mund të numërohen quhet i numërueshëm. Fjala "diskrete" vjen nga latinishtja discretus, që do të thotë "i pandërprerë, i përbërë nga pjesë individuale» .

Shembulli 1. Një ndryshore e rastësishme diskrete është numri i pjesëve X me defekt në një grup nproduktesh. Në të vërtetë, vlerat e mundshme të kësaj ndryshoreje të rastësishme janë një seri numrash të plotë nga 0 në n.

Shembulli 2. Një ndryshore e rastësishme diskrete është numri i të shtënave përpara goditjes së parë në objektiv. Këtu, si në shembullin 1, vlerat e mundshme mund të numërohen, megjithëse në rastin kufizues vlera e mundshme është një numër pafundësisht i madh.

E vazhdueshmeështë një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë vazhdimisht një interval të caktuar të boshtit numerik, që nganjëherë quhet intervali i ekzistencës së kësaj ndryshoreje të rastësishme. Kështu, në çdo interval të kufizuar të ekzistencës, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është pafundësisht i madh.

Shembulli 3. Një variabël rastësor i vazhdueshëm është konsumi mujor i energjisë elektrike i një ndërmarrje.

Shembulli 4. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme është gabimi në matjen e lartësisë duke përdorur një lartësimatës. Nga parimi i funksionimit të lartësimatësit le të dihet se gabimi qëndron në intervalin nga 0 deri në 2 m. Prandaj, intervali i ekzistencës së kësaj ndryshoreje të rastësishme është intervali nga 0 në 2 m.

Ligji i shpërndarjes së ndryshoreve të rastit.

Një ndryshore e rastësishme konsiderohet plotësisht e specifikuar nëse vlerat e saj të mundshme tregohen në boshtin numerik dhe vendoset ligji i shpërndarjes.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është një lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve përkatëse.

Një ndryshore e rastësishme thuhet se shpërndahet këtë ligj, ose i nënshtrohet një ligji të caktuar të shpërndarjes. Një numër probabilitetesh, funksioni i shpërndarjes, densiteti i probabilitetit dhe funksioni karakteristik përdoren si ligje të shpërndarjes.

Ligji i shpërndarjes jep një përshkrim të plotë të mundshëm të një ndryshoreje të rastësishme. Sipas ligjit të shpërndarjes, para eksperimentit mund të gjykohet se cilat vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme do të shfaqen më shpesh dhe cilat më rrallë.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete, ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në formën e një tabele, në mënyrë analitike (në formën e një formule) dhe grafikisht.

Forma më e thjeshtë përcaktimi i ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një tabelë (matricë) në të cilën të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe probabilitetet e tyre përkatëse renditen në rend rritës, d.m.th.

Një tabelë e tillë quhet një seri shpërndarjeje e një ndryshoreje të rastësishme diskrete. 1

Ngjarjet X 1, X 2,..., X n, që konsistojnë në faktin se si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme X do të marrë respektivisht vlerat x 1, x 2,...x n. jokonsistente dhe të vetmet të mundshme (pasi tabela liston të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme), d.m.th. formojnë një grup të plotë. Prandaj, shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1. Kështu, për çdo ndryshore diskrete të rastit

(Kjo njësi shpërndahet disi midis vlerave të ndryshores së rastësishme, pra termi "shpërndarje").

Seritë e shpërndarjes mund të përshkruhen grafikisht nëse vlerat e ndryshores së rastësishme vizatohen përgjatë boshtit të abshisës, dhe probabilitetet e tyre përkatëse vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. Lidhja e pikave të fituara formon një vijë të thyer, e quajtur shumëkëndësh ose shumëkëndësh i shpërndarjes së probabilitetit (Fig. 1).

Shembull Shorti përfshin: veturë në vlerë prej 5000 den. njësi, 4 televizorë që kushtojnë 250 den. njësi, 5 video regjistrues në vlerë prej 200 den. njësi Gjithsej 1000 bileta janë shitur për 7 ditë. njësi Hartoni një ligj shpërndarjeje për fitimet neto të marra nga një pjesëmarrës i lotarisë që bleu një biletë.

dhe poligonin e shpërndarjes.. Vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X - fitimet neto për biletë - janë të barabarta me 0-7 = -7 para. njësi (nëse bileta nuk fiton), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. njësi (nëse bileta ka fitimet e një VCR, TV ose makinë, përkatësisht). Duke pasur parasysh se nga 1000 bileta, numri i jofituesve është 990, dhe fitimet e treguara janë përkatësisht 5, 4 dhe 1, dhe duke përdorur përkufizim klasik probabilitete, marrim.