Matricë normale. Shihni kuptimin e Matricës Normale në fjalorë të tjerë

Normalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vok matricë normale. Matrica normale, f; Normalmatrix, f rus. matricë normale, f pranc. matricë normale, f … Fizikos terminų žodynas

Një matricë katrore që lëviz me konjugatin e saj (d.m.th.) ... Enciklopedia Matematikore

Forma normale (jordaneze) e matricave. E lidhur me çdo matricë katrore është gjithë klasën matrica të ngjashme me matricën A. Në këtë klasë ekziston gjithmonë një matricë që ka një formë të veçantë normale (ose kanonike) Jordan [termi “N. (f.) f. m."......

Matrica në matematikë, një sistem elementesh aij (numra, funksione ose sasi të tjera mbi të cilat mund të kryhen veprime algjebrike), të rregulluar në formën diagrami drejtkëndor. Nëse qarku ka m rreshta dhe n kolona, atëherë flasim për një matricë (m n).… … Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Një tabelë drejtkëndëshe e përbërë nga m rreshta dhe n kolona; brazda e saj. M. madhësia Elementet (indeksi i parë tregon numrin e rreshtit, numrin e kolonës së dytë) M. mund të jenë numra, funksione ose madhësi të tjera, mbi të cilat mund të kryhen veprime algjebrike. operacionet. M.…… Enciklopedia fizike

1) N. f. matricat Një matricë e paracaktuar lloj i veçantë, e marrë nga Ac duke përdorur transformime të një lloji të caktuar. Në varësi të llojit të transformimit në shqyrtim, në rajonin K, të cilit i përkasin koeficientët A, nga lloji i A dhe ... Enciklopedia Matematikore

Ky term ka kuptime të tjera, shih Forma (kuptimet) normale. Forma normale në matematikë është edhe më e thjeshta pamje kanonike, në të cilën objekti është reduktuar transformimet ekuivalente. Përmbajtja 1 Jordanova ... ... Wikipedia

Ky term ka kuptime të tjera, shih Matricën. Matrica është një objekt matematikor i shkruar si tavolinë drejtkëndëshe elementet e unazës ose fushës (për shembull, numra të plotë, realë ose numra komplekse), që përfaqëson... ... Wikipedia

Një matricë është një objekt matematikor i shkruar në formën e një tabele drejtkëndore të numrave (ose elementeve të një unaze) dhe që lejon veprime algjebrike (mbledhje, zbritje, shumëzim, etj.) midis saj dhe objekteve të tjera të ngjashme. Rregullat për ekzekutimin... ... Wikipedia

I Matrix (gjermanisht Matrize, nga latinishtja matrix uterus, burimi, fillimi) në shtypje, 1) një element i zëvendësueshëm i një kallëpe derdhjeje me një imazh të thellë (ndonjëherë fotografik) të një shkronje ose shenje, që përdoret gjatë hedhjes tipografike. .. Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Matrica A është e kënaqur A ∗ = A T dhe prandaj është normale nëse A T A = A.A. T.

Normaliteti është një test i përshtatshëm për reduktueshmëria në formë diagonale- një matricë është normale nëse dhe vetëm nëse është e ngjashme me një matricë diagonale, dhe për këtë arsye çdo matricë A e plotëson ekuacionin A ∗ A = A.A. ∗ , mund të reduktohet në një formë diagonale. (Dy matricat A dhe B thuhet se janë unitarisht të ngjashme nëse ekziston një matricë unitare S për të cilën A = S -1 B.S. .)

Koncepti i një matrice normale mund të shtrihet tek operatorët normalë në hapësirat Hilbert me dimensione të pafundme dhe elementët normalë në C*-algjebra.

YouTube Enciklopedike

1 / 5
Midis matricave komplekse, të gjitha matricat unitare, hermitiane dhe anore-hermitiane janë normale. Ndër matricat reale, të gjitha matricat ortogonale, simetrike dhe anore-simetrike janë normale. Megjithatë, nuk është e vërtetë që të gjitha matricat normale janë ose unitare, hermitiane ose anore-hermitiane. Për shembull,
A = (1 1 0 0 1 1 1 0 1) (\displaystyle A=(\fillimi(pmatrix)1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\fund (pmatrix)))
nuk është as unitar, as hermitian, as hermitian, megjithëse është normale, pasi
A A ∗ = (2 1 1 1 2 1 1 1 2) = A ∗ A .
(\displaystyle AA^(*)=(\fillimi(pmatrix)2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end(pmatrix))=A^(*)A.)

Pasojat Oferta.
Një matricë normale trekëndore është diagonale. Le të jetë A normale matrica e sipërme trekëndore (A ∗ A) . Që nga viti = (A.A. ∗) . Që nga viti ii
, rreshti i parë duhet të ketë të njëjtën normë si kolona e parë:
‖ A e 1 ‖ 2 = ‖ A ∗ e 1 ‖ 2 .
(\displaystyle \majtas\|Ae_(1)\djathtas\|^(2)=\majtas\|A^(*)e_(1)\djathtas\|^(2).)
Pasojat Elementet e parë të rreshtit të parë dhe kolonës së parë janë të njëjtë, dhe pjesa e mbetur e kolonës së parë përbëhet nga zero. Nga kjo rrjedh se në varg të gjithë elementët nga 2 në n duhet të jenë zero. Duke vazhduar këto argumente për çiftet rresht/kolona të numëruara nga 2 deri në n, gjejmë se A është diagonale. A = Koncepti i normalitetit është i rëndësishëm sepse matricat normale janë pikërisht ato që ka të bëjë teorema spektrale:Λ Koncepti i normalitetit është i rëndësishëm sepse matricat normale janë pikërisht ato që ka të bëjë teorema spektrale: ∗ .
Elementet diagonale të matricës Λ janë eigenvalues, dhe kolonat e U janë eigenvektorë të matricës A. (eigenvlerat në Λ janë në të njëjtin rend si eigenvektorët e tyre përkatës në U).
Një mënyrë tjetër për të shprehur teoremën spektrale është të themi se matricat normale janë pikërisht ato matrica që mund të përfaqësohen si një matricë diagonale duke zgjedhur një hapësirë të përshtatshme bazë ortonormale. C n. Mund të argumentohet gjithashtu se një matricë është normale nëse dhe vetëm nëse hapësira e tij vetjake përkon me C n dhe eigenvektorët janë ortogonalë sipas standardit produkt skalar V C n .
Teorema spektrale për matricat normale është një rast i veçantë i zbërthimit më të përgjithshëm të Schur-it, i cili vlen për të gjitha matricat katrore. Le të A - matricë katrore. Pastaj, sipas zbërthimit të Schur-it, është në mënyrë të njëtrajtshme e ngjashme me një matricë trekëndore të sipërme, të themi, B. Nëse A është normale, atëherë B është gjithashtu normale. Por atëherë B duhet të jetë diagonale për arsyen e përmendur më sipër.
Teorema spektrale na lejon të klasifikojmë matricat normale në terma të spektrit, për shembull:
Pasojat Matricë normaleështë unitar nëse dhe vetëm nëse spektri i tij shtrihet në rrethin njësi të rrafshit kompleks. Pasojat Një matricë normale është e lidhur vetë nëse dhe vetëm nëse spektri i saj është i përfshirë R .
NË rast i përgjithshëm shuma ose prodhimi i dy matricave normale nuk është domosdoshmërisht një matricë normale. Megjithatë, vlen sa vijon:
Pasojat Nëse A dhe B janë normale dhe të vërteta AB = B.A., pastaj AB, Dhe A + B janë gjithashtu normale. Për më tepër, ekziston një matricë unitare U e tillë që UAU ∗ dhe UBU ∗ janë diagonale. Me fjalë të tjera, A dhe B bashkërisht të reduktueshme në formë diagonale.
Në këtë rast të veçantë, kolonat e matricës Koncepti i normalitetit është i rëndësishëm sepse matricat normale janë pikërisht ato që ka të bëjë teorema spektrale: ∗ janë eigjenvektorë të A dhe B dhe formojnë një bazë ortonormale në C n. Deklarata rrjedh nga teoremat se mbi një fushë të mbyllur algjebrike matricat e lëvizjes bashkërisht të reduktueshme në pamje trekëndore dhe se një matricë normale është e reduktueshme në një diagonale, në rastin e fundit me shtimin se kjo mund të bëhet në të njëjtën kohë.

Përkufizime ekuivalente

Ju mund të jepni mjaft listë e gjatë përkufizimet ekuivalente të një matrice normale. Le të A - n × n matricë komplekse. Deklaratat e mëposhtme janë ekuivalente:
1. A është normale.
2. A është reduktuar në formë diagonale duke përdorur një matricë unitare.
3. Të gjitha pikat në hapësirë mund të merren si kombinime lineare të një grupi të caktuar ortonormale eigenvektorë matricat A.
4. ||Sëpatë|| = ||A ∗ x|| për çdo x.
5. Norma Frobenius e matricës A mund të llogaritet nga eigenvlerat matricat A: tr ⁡ (A ∗ A) = ∑ j |
6. λ j | 2.(\displaystyle \operatorname (tr) (A^(*)A)=\sum \nlimitet _(j)|\lambda _(j)|^(2).) Pjesa hermitiane(A + A ∗) / 2 (\style ekrani (A+A^(\ast ))/2)
7. A dhe pjesa anore-hermitiane n(A − A ∗) / 2 (\displaystyle (A-A^(\ast ))/2)
8. A ∗ = matricat Një udhëtim.∗ është një polinom (gradë ≤
9. − 1) nga A. A = AU për disa matricë unitare U. U dhe P lëvizin, ku U dhe P përfaqësojnë zbërthimin polar U.P.
10. në
11. matricë unitare = |U dhe disa matricë pozitive të përcaktuara P. A lëviz me një matricë normale N që ka eigenvlera të ndryshme. σi ≤ nλi |
për të gjitha 1 ≤ i, ku A ka n vlera vetjake njëjës Një matricë normale mund të mendohet si një mjet organizativ, një kabinet skedarësh që përmban gjithçka hyrjet e mundshme n në hapësirë n-tupa, në të cilat asgjë nuk mungon apo dublikohet. Në shikim të parë, mund të duket se përfitimet e përdorimit të këtij mjeti janë të kufizuara. i vogël, kodet e bllokimit, pasi për kodet më të gjata se

=20 hapësirë -Typat kanë miliona elementë. Megjithatë, edhe për kode të mëdha, matrica normale na lejon të përcaktojmë karakteristika fillestare të rëndësishme, të tilla si shkëmbimet e mundshme midis zbulimit të gabimit dhe korrigjimit të gabimit dhe kufijtë e aftësive të korrigjimit të gabimeve të kodit. Një nga këto kufizime, i quajtur

Kufiri i Hamingut (6.52,6)

përshkruhet si më poshtë. Numri i bitave të barazisë: (6.52,a) Numri i koseteve: Këtu është vlera e përcaktuar nga ekuacioni (6.16), paraqet numrin e mënyrave për të zgjedhur n pak j e gabuar. Vini re se shuma e termave të ekuacionit (6.52) të vendosura në kllapa katrore, jep sasi minimalerreshtave, të cilat duhet të jenë të pranishme në një matricë normale për të korrigjuar të gjitha kombinimet e gabimeve, deri në t kllapa katrore-gabime bit. Pabarazia përcakton kufirin e poshtëm të numrit p- kllapa katrore k n- rreshtave, të cilat duhet të jenë të pranishme në një matricë normale për të korrigjuar të gjitha kombinimet e gabimeve, deri në biti i barazisë (ose cosets) si funksion i aftësive të korrigjimit të kodit kllapa katrore-gabime bit. Në mënyrë të ngjashme, mund të themi se pabarazia jeprreshtave, të cilat duhet të jenë të pranishme në një matricë normale për të korrigjuar të gjitha kombinimet e gabimeve, deri në) kufiri i sipërm

Për të treguar se si një matricë normale mund të sigurojë një paraqitje vizuale të këtij kufiri, le të marrim kodin BHC (127,106) si shembull. n Matrica përmban gjithçka = 2127 = 1.70 x 10 38 n- tuple të hapësirës. Rreshti i sipërm i matricës përmban = 2106 = 8,11 x 10 31 fjalë kodike; pra është numri i kolonave në matricë. Kolona më e majtë përmban 2,097,152 elemente përbërëse të klasave të kosetit; pra është numri i rreshtave në matricë. Edhe pse numri -Typat dhe fjalët kodike janë thjesht të mëdha, ne nuk jemi të interesuar lloj specifik kllapa katroreçdo element të matricës. Interesi kryesor është numri i kosetave. Janë 2,097,152 koset dhe për rrjedhojë 2,097,151 kombinime të gabuara që ky kod mund të korrigjojë. Më poshtë tregon se si përcaktohet ky numër kosetash

kufiri i sipërm

aftësitë e korrigjimit të kodit -gabime bit. Meqenëse çdo fjalë e koduar përmban 127 bit, ekzistojnë 127 mundësi për një gabim në një bit. Ne llogarisim numrin e mundësive që të ndodhin dy gabime - = 8,001 Më pas kalojmë në gabimet me tre bit, pasi gabimet e përmendura më sipër janë vetëm një pjesë e vogël e të gjitha 2,097,151 kombinimeve të gabimeve. Pra, ka = 333,375 mundësi për të bërë një gabim tre-bit. Këto llogaritje janë dhënë në tabelë. 6.3; aty tregohet edhe se zero e gabuar

Tabela 6.3. Kufiri i mundësive të korrigjimit për kodin (127, 106)

Numri i gabimeve të bitit Numri i të kërkuarve Numri total e nevojshme

klasa coset klasa coset

1. Le të jepet disa polinom me koeficientë nga fusha
Konsideroni një matricë katrore të rendit të th
. (36)
Është e lehtë të kontrollohet që polinomi është një polinom karakteristik i matricës:
.
Nga ana tjetër, minori i elementit në përcaktorin karakteristik është i barabartë me . Prandaj , .
Kështu, matrica ka një polinom invariant unik jo-njësi të barabartë me .
Matricën do ta quajmë matricë shoqëruese për polinomin.
Le të jepet një matricë me polinome invariante
Këtu janë të gjitha polinomet kanë një shkallë më të lartë se pika, dhe secili prej këtyre polinomeve, duke filluar nga i dyti, është pjesëtues i atij të mëparshmit. Ne shënojmë matricat shoqëruese për këto polinome me .
Pastaj matrica kuazi-diagonale e rendit të th
(38)
ka si polinome të pandryshueshme polinomet (37) (shih Teoremën 4 në faqen 145). Meqenëse matricat kanë të njëjtat polinome invariante, ato janë të ngjashme, d.m.th., ekziston gjithmonë një matricë josingulare e tillë që
Matrica quhet e para natyrale formë normale për matricën. Kjo formë normale karakterizohet nga: 1) një pamje pothuajse diagonale (38), 2) një strukturë e veçantë e qelizave diagonale (36) dhe 3) kusht shtesë: në një sërë polinomesh karakteristike të qelizave diagonale, secili polinom, duke filluar nga i dyti, është pjesëtues i atij të mëparshmit.
2. Le të shënojmë tani me
(39)
pjesëtuesit elementar të matricës në një fushë numerike. Matricat shoqëruese përkatëse i shënojmë me
.
Meqenëse është pjesëtuesi i vetëm elementar i matricës, atëherë, sipas Teoremës 5, matrica pothuajse diagonale
(40)
ka polinomet (39) si pjesëtues elementar.
Matricat dhe kanë të njëjtët pjesëtues elementar në fushë. Prandaj, këto matrica janë të ngjashme, d.m.th. ekziston gjithmonë një matricë jo njëjës e tillë që
Matrica quhet forma e dytë normale natyrore për një matricë. Kjo formë normale karakterizohet nga: 1) një formë pothuajse diagonale (40), 2) një strukturë e veçantë e qelizave diagonale (36) dhe 3) një kusht shtesë: polinomi karakteristik i secilës qelizë diagonale është shkalla e një polinomi të pareduktueshëm në fushë.
Koment. Pjesëtuesit e matricës elementare, ndryshe nga polinomet invariante, janë në thelb të lidhur me një fushë numerike të caktuar. Nëse, në vend të fushës numerike origjinale, marrim një fushë tjetër numerike (e cila përmban edhe elementet e kësaj matrice), atëherë pjesëtuesit elementar mund të ndryshojnë. Së bashku me pjesëtuesit elementar, do të ndryshojë edhe forma e dytë normale natyrore e matricës.
Kështu, për shembull, le të na jepet një matricë me elementë realë. Polinomi karakteristik i kësaj matrice do të ketë koeficientë realë. Në të njëjtën kohë, ky polinom mund të ketë rrënjë komplekse. Nëse është një fushë me numra realë, atëherë midis pjesëtuesve elementar mund të ketë edhe fuqi të pakësueshme trinomet katrore me koeficientë realë. Nëse është fusha e numrave kompleks, atëherë çdo pjesëtues elementar ka formën .
3. Le të supozojmë tani se fusha e numrave përmban jo vetëm elementet e matricës, por edhe të gjithë numrat karakteristikë të kësaj matrice. Atëherë pjesëtuesit elementar të matricës kanë formën
. (41)
Le të shqyrtojmë një nga këta pjesëtues elementar
dhe shoqëroni atë me matricën e rendit të mëposhtëm:
. (42)
Është e lehtë të kontrollohet nëse kjo matricë ka vetëm një pjesëtues elementar. Ne do ta quajmë matricën (42) një qelizë Jordan që korrespondon me pjesëtuesin elementar .
Qelizat Jordan që korrespondojnë me pjesëtuesit elementar (41) shënohen me
Pastaj matrica pothuajse diagonale
ka si pjesëtues të fuqisë elementare (41).
Matrica mund të shkruhet edhe kështu:
Meqenëse matricat dhe kanë të njëjtët pjesëtues elementar, ato janë të ngjashme me njëra-tjetrën, d.m.th., ekziston një matricë jo njëjës e tillë që
Një matricë quhet një formë normale Jordan ose thjesht një formë Jordan e një matrice. Forma Jordan karakterizohet nga një pamje pothuajse diagonale dhe një strukturë e veçantë (42) e qelizave diagonale.
Vini re gjithashtu se nëse , atëherë secila prej matricave
,
ka vetëm një pjesëtues elementar: . Prandaj, për një matricë jo njëjës që ka pjesëtues elementar (41), së bashku me (III) dhe (IV), përfaqësimet e mëposhtme vlejnë:

Një matricë katrore që lëviz me konjugatin e saj (d.m.th.)

Shiko vlerën Matrica normale në fjalorë të tjerë

Matricë- dhe. kallëp, kallëp, lyak, fole, kallëp për derdhjen e shkronjave të shtypura. Matricë ose matricë, që i përket një matrice.
Fjalori shpjegues i Dahl-it

Matricë- matricat, g. (Gjermanisht: Matrize) (tek.). 1. Një pjatë me shenja të kundërta të ekstruduara, të prera ose imazhet e diçkaje., duke shërbyer si kallëp për derdhje ose stampim. Kapur nga matricat......
Fjalori shpjegues i Ushakovit

Matrica J.— 1. Kallëp metalik i zhytur që përdoret për stampimin e metaleve, për derdhjen e tipit tipografik etj. 2. Kopje mbrapsht e thelluar e marre nga kompleti ne karton........
Fjalor shpjegues i Efremovës

Matricë- -s; dhe. [nga lat. matricë (matricis) - mitër]
1. Tekn. Një kallëp metalik i zhytur që përdoret në formimin e metaleve me injeksion, derdhjen tipografike, etj. Linotipi.........
Fjalori shpjegues i Kuznetsov

Matrica e variancës-kovariancës- një tabelë simetrike e kovariancave ndërmjet një numri të caktuar variablash të rastësishëm. Variacionet e ndryshoreve të rastësishme paraqiten në diagonalen e matricës, dhe kovarianca mbi dhe poshtë diagonales.
Fjalori ekonomik

Njësia e Tregtisë Normale— Shihni njësinë e shkëmbimit
Fjalori ekonomik

Kosto normale— Procesi i llogaritjes së kostos, kur objekti i kontabilitetit të kostos përfshin sasinë e materialeve të konsumuara dhe burimet njerëzore plus shumën e shpërndarë në bazë të normës.
Fjalori ekonomik

Matrica e Kovariancës— (matricë variancë-kovariancë) – simetrike
matricë që përmban
koeficientët e kovariancës variablat e rastësishëm, duke krijuar disa vektorë të rastësishëm.
Fjalori ekonomik

Regjistro Klasifikimi Normal- Klasifikimi në të cilin vlera logaritmike ndryshorja ndjek klasifikimin normal. Logaritmikisht klasifikimet normale përdoret për të përshkruar ........
Fjalori ekonomik

Matricë- agregat hapësinor vlerat numerike, të vendosura në nyjet e grilës konvencionale.
Fjalori ekonomik

Matrica e Pjesës së Tregut - Rritja e Tregut- një matricë prej katër kuadrantësh, e cila përdoret për të llogaritur
modeli i sjelljes strategjike të kompanisë. Matrica përdor
probabiliteti
suksese me te ndryshme......
Fjalori ekonomik

Matrica e stilit të investimit të një fondi të specializuar në aksionet e tregut të brendshëm— Matrica e stilit të investimit
fondi është një katror me -9 qeliza, i cili ju lejon të përcaktoni strategjinë e investimit të fondit dhe
madhësia e kompanive .........
Fjalori ekonomik

Matrica e stilit të investimit të një fondi të specializuar në aksionet ndërkombëtare- është përpiluar mbi bazën e treguesve që llogariten në një mënyrë pak më ndryshe se për fondet e specializuara në aksionet e tregut vendas. Në vertikale.......
Fjalori ekonomik

Matrica e stilit të investimit të një fondi të specializuar në letrat me vlerë me të ardhura fikse— Në matricën e stilit të investimit të një fondi të specializuar në letrat me vlerë me të ardhura fikse dhe që operon në tregjet e brendshme ose ndërkombëtare, ......
Fjalori ekonomik

Matrica e Marketingut Strategjik — modeli hapësinor, i formuar nga kryqëzimi i koordinatave të dy faktorëve, duke bërë të mundur vlerësimin e pozicionit të kompanisë, firmës në treg dhe zhvillimin e një marketingu........
Fjalori ekonomik

Nevojë për Matricë- një matricë, falë së cilës është e mundur të klasifikohen nevojat sipas karakteristikave që karakterizojnë llojet e mallrave të konsumuara dhe kategoritë e konsumatorëve të tyre.
Fjalori ekonomik

Matrica burim-objektiv- një matricë që bën të mundur llogaritjen e vëllimit burimet e nevojshme dhe shpërndarja e tyre ndërmjet programeve të planifikuara.
Fjalori ekonomik

Matrica e Kontabilitetit Social— Matrica e llogarive sociale është
një grup tabelash statistikore të ndërlidhura që përfaqësojnë një paraqitje skematike të ciklit të të ardhurave në ekonomi në një farë.........
Fjalori ekonomik

Marrëdhënie normale— (mbrapa normale) – lidhja e pritshme midis çmimit aktual të së ardhmes dhe çmimit
vend në vend
momenti i dorëzimit kur
çmimi i të ardhmes është më i ulët se sa pritej
çmimet spot
Fjalori ekonomik

Praktika Normale e Investimeve- Informacion rreth
investimet në
llogari
klienti i vendosur në
tregtar anëtar i Shoqatës Kombëtare të Tregtarëve të Letrave me Vlerë
letrat me vlerë (Shoqata Kombëtare e Tregtarëve të Letrave me Vlerë),.........
Fjalori ekonomik

Kapaciteti normal — Niveli mesatar prodhimi që duhet të sigurohet për të përmbushur nevojat e klientëve për një periudhë prej disa periudhash.
Fjalori ekonomik

Fitimi normal — -
fitimi i barabartë me kostot oportune të investuara në
prodhim nga pronari i kompanisë
Fjalori ekonomik

Fitimi normal (norma e kthimit nga investimi)— - fitimet dhe normat e kthimit nga investimet që janë afër mesatares së të gjitha firmave.
Fjalori ekonomik

Orari normal i punës- Cm.
Orari i punës është normal
Fjalori ekonomik

Pajisjet me kapacitet normal prodhues— Sasia e prodhimit që pritet të merret mesatarisht gjatë disa periudhave ose sezoneve në kushte normale
kushtet, duke marrë parasysh humbjet
pushtet në ........
Fjalori ekonomik

Ndryshore normale e rastësishme- Ndryshore e rastësishme me shpërndarje normale probabilitetet.
Fjalori ekonomik

Çmimi Normal- çmimi i vendosur si rezultat afatgjatë
procesi
rritja e elasticitetit
ofron.
Fjalori ekonomik

Matrica e Pagesave- - statistikore
një metodë vendimmarrjeje që ndihmon një menaxher të zgjedhë midis alternativave të mundshme.
Fjalori ekonomik

Fitimi Normal- kostot e sipërmarrësit nuk përfshihen në
kostot e pa pasqyruara në kostot e biznesit sipas dokumentacionit kontabël, të përfshira me kusht në kontabilitet
fitimi.
Fjalori ekonomik

Fitimi, normal- - 1. pjesë e të ardhurave sipërmarrëse, pagesat që duhet të bëjë një shoqëri për të përvetësuar dhe mbajtur aftësi sipërmarrëse, pagesa minimale (të ardhura),......
Fjalori ekonomik