Valët avancuese në ekuacionet e Maksuellit. ekuacionet e Maksuellit

Çdo qark oscilues lëshon energji. Një fushë elektrike në ndryshim ngacmon një fushë magnetike alternative në hapësirën përreth, dhe anasjelltas. Ekuacionet matematikore, duke përshkruar marrëdhëniet midis fushave magnetike dhe elektrike, janë nxjerrë nga Maxwell dhe mbajnë emrin e tij. Le të shkruajmë ekuacionet e Maxwell-it në forma diferenciale për rastin kur nuk ka ngarkesa elektrike () dhe rrymat ( j= 0 ):

Sasitë dhe janë konstante elektrike dhe magnetike, përkatësisht, të cilat janë të lidhura me shpejtësinë e dritës në vakum nga relacioni

Konstantet karakterizojnë vetitë elektrike dhe magnetike të mediumit, të cilin do t'i konsiderojmë homogjene dhe izotropike.

Në mungesë të ngarkesave dhe rrymave, ekzistenca e fushave statike elektrike dhe magnetike është e pamundur. Sidoqoftë, një fushë elektrike alternative ngacmon një fushë magnetike dhe anasjelltas, një fushë magnetike alternative krijon një fushë elektrike. Prandaj, ka zgjidhje për ekuacionet e Maxwell-it në një vakum, në mungesë të ngarkesave dhe rrymave, ku fushat elektrike dhe magnetike janë të lidhura pazgjidhshmërisht me njëra-tjetrën. Teoria e Maxwell ishte e para që kombinoi dy ndërveprimet themelore, më parë konsiderohej i pavarur. Prandaj tani po flasim për fushë elektromagnetike.

Procesi oscilues në qark shoqërohet me një ndryshim në fushën që e rrethon. Ndryshimet që ndodhin në hapësirën përreth përhapen nga pika në pikë me një shpejtësi të caktuar, domethënë qarku oscilues lëshon energji elektrike në hapësirën që e rrethon. fushë magnetike.

Kur në mënyrë rigoroze ndryshim harmonik në vektorë kohorë dhe vala elektromagnetike quhet monokromatike.

Le të marrim nga ekuacionet e Maxwell-it ekuacionet valore për vektorët dhe .

Ekuacioni i valës për valët elektromagnetike

Siç u përmend në pjesën e mëparshme të kursit, rotori (kalbet) dhe divergjenca (div)- këto janë disa operacione diferencimi të kryera sipas rregulla të caktuara mbi vektorët. Më poshtë do t'i shohim më nga afër.

Le të marrim rotorin nga të dyja anët e ekuacionit

Në këtë rast, ne do të përdorim formulën e provuar në kursin e matematikës:

ku është laplasianja e futur më sipër. Termi i parë në anën e djathtë është zero për shkak të një ekuacioni tjetër Maxwell:

Si rezultat marrim:

Le të shprehemi kalbje B përmes një fushe elektrike duke përdorur ekuacionin e Maxwell:

dhe përdorni këtë shprehje në anën e djathtë të (2.93). Si rezultat, arrijmë në ekuacionin:

Duke marrë parasysh lidhjen

dhe duke hyrë indeksi i thyerjes mjedisi

Le të shkruajmë ekuacionin për vektorin e forcës së fushës elektrike në formën:

Duke krahasuar me (2.69), jemi të bindur se kemi marrë ekuacionin e valës, ku v- shpejtësia e fazës dritë në mjedis:

Marrja e rotorit nga të dyja anët e ekuacionit të Maksuellit

dhe duke vepruar në mënyrë të ngjashme, arrijmë në ekuacionin e valës për fushën magnetike:

Ekuacionet e valës që rezultojnë për dhe nënkuptojnë se fusha elektromagnetike mund të ekzistojë në formën e valëve elektromagnetike, shpejtësia fazore e së cilës është e barabartë me

Në mungesë të një mediumi (në ), shpejtësia e valëve elektromagnetike përkon me shpejtësinë e dritës në vakum.

Vetitë themelore të valëve elektromagnetike

Le të shqyrtojmë një valë elektromagnetike monokromatike të rrafshët që përhapet përgjatë boshtit X:

Mundësia e ekzistimit të zgjidhjeve të tilla rrjedh nga ekuacionet valore të marra. Megjithatë, fuqitë e fushës elektrike dhe magnetike nuk janë të pavarura nga njëra-tjetra. Lidhja ndërmjet tyre mund të vendoset duke zëvendësuar zgjidhjet (2.99) në ekuacionet e Maksuellit. Operacioni diferencial kalbje, aplikuar në disa fusha vektoriale A mund të shkruhet simbolikisht si një përcaktues:

Duke zëvendësuar këtu shprehjet (2.99), të cilat varen vetëm nga koordinata x, ne gjejme:

Diferencimi i valëve të rrafshët në lidhje me kohën jep:

Pastaj nga ekuacionet e Maxwell-it rezulton:

Së pari, rrjedh se fushat elektrike dhe magnetike lëkunden në fazë:

Me fjalë të tjera, dhe në mjedisi izotropik,

Atëherë mund të zgjidhni boshtet e koordinatave në mënyrë që vektori të drejtohet përgjatë boshtit në(Fig. 2.27) :

Oriz. 2.27. Lëkundjet e fushave elektrike dhe magnetike në një valë elektromagnetike të rrafshët

Në këtë rast, ekuacionet (2.103) marrin formën:

Nga kjo rrjedh se vektori është i drejtuar përgjatë boshtit z:

Me fjalë të tjera, vektorët e fushës elektrike dhe magnetike janë ortogonale me njëri-tjetrin dhe të dy janë ortogonalë me drejtimin e përhapjes së valës. Duke marrë parasysh këtë fakt, ekuacionet (2.104) thjeshtohen më tej:

Kjo çon në marrëdhënien e zakonshme midis vektorit të valës, frekuencës dhe shpejtësisë:

si dhe lidhjen ndërmjet amplitudave të lëkundjeve të fushës:

Vini re se lidhja (2.107) vlen jo vetëm për vlerat maksimale(amplitudat) e madhësive të vektorëve të fuqisë së fushës elektrike dhe magnetike të valës, por edhe për ato aktuale - në çdo kohë.

Pra, nga ekuacionet e Maxwell-it rezulton se valët elektromagnetike përhapen në një vakum me shpejtësinë e dritës. Në atë kohë, ky përfundim bëri një përshtypje të madhe. U bë e qartë se jo vetëm elektriciteti dhe magnetizmi janë manifestime të ndryshme të njëjtin ndërveprim. Të gjitha fenomenet e dritës, optika, u bënë gjithashtu objekt i teorisë së elektromagnetizmit. Dallimet në perceptimin njerëzor të valëve elektromagnetike lidhen me frekuencën ose gjatësinë e valës së tyre.

Shkalla e valëve elektromagnetike është një sekuencë e vazhdueshme frekuencash (dhe gjatësi vale) rrezatimi elektromagnetik. Teoria e Maxwell-it për valët elektromagnetike na lejon të vërtetojmë se në natyrë ekzistojnë valë elektromagnetike me gjatësi të ndryshme, të formuara nga vibratorë (burime) të ndryshëm. Në varësi të mënyrës se si prodhohen valët elektromagnetike, ato ndahen në disa vargje frekuence (ose gjatësi vale).

Në Fig. Figura 2.28 tregon shkallën e valëve elektromagnetike.

Oriz. 2.28. Shkalla e valëve elektromagnetike

Mund të shihet se vala varion lloje të ndryshme mbivendosen njëra-tjetrën. Prandaj, valët me gjatësi të tilla mund të merren menyra te ndryshme. Nuk ka dallime thelbësore midis tyre, pasi ato janë të gjitha valë elektromagnetike të krijuara nga grimcat e ngarkuara lëkundëse.

Ekuacionet e Maxwell-it gjithashtu çojnë në përfundimin se transversaliteti Valët elektromagnetike në një vakum (dhe në një mjedis izotropik): vektorët e fuqisë së fushës elektrike dhe magnetike janë ortogonale me njëri-tjetrin dhe me drejtimin e përhapjes së valës.

informacion shtese

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Ekuacioni i valës. Material nga Enciklopedia Fizike.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Ekuacionet e Maksuellit. Video leksione.

http://elementy.ru/trefil/24 - Ekuacionet e Maxwell. Material nga "Elementet".

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm - Shkurtimisht për ekuacionet e Maxwell.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 - Ekuacionet e Maxwell dhe kuptimi i tyre fizik.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Shkurtimisht rreth ekuacioneve të Maxwell për fushën elektromagnetike.

Efekti Doppler për valët elektromagnetike

Lëreni disa sistemi inercial numërimin mbrapsht TE Një valë elektromagnetike e rrafshët përhapet. Faza e valës ka formën:

Vëzhguesi në një kornizë tjetër inerciale TE", duke lëvizur në lidhje me të parën me një shpejtësi V përgjatë boshtit x, gjithashtu vëzhgon këtë valë, por përdor koordinata dhe kohë të ndryshme: t", r". Lidhja midis sistemeve të referencës është dhënë nga transformimet e Lorentz:

Le t'i zëvendësojmë këto shprehje në shprehjen për fazë, për të marrë fazën valët në një kornizë referimi lëvizëse:

Kjo shprehje mund të shkruhet si

Ku dhe - frekuenca ciklike dhe vektori i valës në lidhje me kornizën e referencës lëvizëse. Krahasuar me (2.110), gjejmë transformimet e Lorencit për vektorin e frekuencës dhe valës:

Për një valë elektromagnetike në vakum

Lëreni drejtimin e përhapjes së valës të bëjë një kënd me boshtin në sistemin e parë të referencës X:

Pastaj shprehja për frekuencën e valës në kornizën e referencës lëvizëse merr formën:

Kjo është ajo që është Formula e Dopplerit për valët elektromagnetike.

Nëse , atëherë vëzhguesi largohet nga burimi i rrezatimit dhe frekuenca e valës e perceptuar prej tij zvogëlohet:

Nëse , atëherë vëzhguesi i afrohet burimit dhe frekuenca e rrezatimit për të rritet:

Me shpejtësi V<< с ne mund të neglizhojmë devijimin e rrënjës katrore në emërues nga uniteti dhe arrijmë në formula të ngjashme me formulat (2.85) për efektin Doppler në një valë zanore.

Le të vërejmë një veçori thelbësore të efektit Doppler për një valë elektromagnetike. Shpejtësia e kornizës së referencës lëvizëse luan këtu rolin e shpejtësisë relative të vëzhguesit dhe burimit. Formulat që rezultojnë plotësojnë automatikisht parimin e relativitetit të Ajnshtajnit, dhe me ndihmën e eksperimenteve është e pamundur të përcaktohet se çfarë saktësisht po lëviz - burimi apo vëzhguesi. Kjo për faktin se për valët elektromagnetike nuk ka medium (eter) që do të luante të njëjtin rol si ajri për një valë zanore.

Vini re gjithashtu se për valët elektromagnetike kemi efekti tërthor Doppler. Kur ndryshon frekuenca e rrezatimit:

ndërsa për valët zanore, lëvizja në drejtim ortogonal me përhapjen e valës nuk çoi në një zhvendosje të frekuencës. Ky efekt lidhet drejtpërdrejt me zgjerimin relativist të kohës në një kornizë referimi në lëvizje: një vëzhgues në një raketë sheh një rritje në frekuencën e rrezatimit ose, në rast i përgjithshëm, përshpejtimi i të gjitha proceseve që ndodhin në Tokë.

Le të gjejmë tani shpejtësinë fazore të valës

në një kornizë referimi lëvizëse. Nga transformimet e Lorencit për vektorin e valës kemi:

Le të zëvendësojmë raportin këtu:

Ne marrim:

Nga këtu gjejmë shpejtësinë e valës në kornizën lëvizëse të referencës:

Ne zbuluam se shpejtësia e valës në kornizën e referencës lëvizëse nuk ka ndryshuar dhe është ende e barabartë me shpejtësinë e dritës Me. Le të theksojmë, megjithatë, se, me llogaritjet e sakta, kjo nuk mund të mos ndodhte, pasi pandryshueshmëria e shpejtësisë së dritës (valët elektromagnetike) në vakum është postulati kryesor i teorisë së relativitetit tashmë "inkorporuar" në transformimet e Lorencit. kemi përdorur për koordinatat dhe kohën (3.109).

Shembulli 1. Raketa fotonike lëviz me shpejtësi V = 0,9 s, duke u nisur drejt një ylli të vëzhguar nga Toka në intervalin optik (gjatësia valore μm). Le të gjejmë gjatësinë e valës së rrezatimit që do të vëzhgojnë astronautët.

Gjatësia e valës është në përpjesëtim të zhdrejtë me frekuencën e vibrimit. Nga formula (2.115) për efektin Doppler në rastin e afrimit të burimit të dritës dhe vëzhguesit, gjejmë ligjin e konvertimit të gjatësisë valore:

nga i cili rezulton rezultati:

Sipas Fig. 2.28 ne përcaktojmë se për astronautët rrezatimi i yllit është zhvendosur në rrezen ultravjollcë.

Energjia dhe momenti i fushës elektromagnetike

Dendësia vëllimore e energjisë w vala elektromagnetike përbëhet nga dendësi vëllimore të elektrike dhe fusha magnetike.

Tani do t'ia vlente të bënim pak matematikë; ekuacionet e Maksuellit do t'i shkruajmë në një formë më të thjeshtë. Ju mund të mendoni se po i komplikojmë, por nëse tregoheni të durueshëm, do të zbuloni papritur se janë shumë të thjeshta. Edhe pse jeni mësuar mjaft me secilin prej ekuacioneve të Maxwell-it, ka ende shumë pjesë që duhen bashkuar. Kjo është pikërisht ajo që ne do të bëjmë.

Le të fillojmë me ekuacionet më të thjeshta. Ne e dimë se kjo nënkupton se ka një rotor të diçkaje. Prandaj, nëse keni shkruar

atëherë konsideroni se tashmë keni zgjidhur një nga ekuacionet e Maksuellit. (Rastësisht, vini re se mbetet e vërtetë për një vektor tjetër nëse , ku është ndonjë fushë skalare sepse kaçurrela është zero dhe është ende e njëjtë. Ne folëm për këtë më parë.)

Tani le të shohim ligjin e Faradeit , sepse nuk përmban asnjë rrymë apo ngarkesë. Nëse shkruajmë si dhe dallojmë në lidhje me , ne mund ta rishkruajmë ligjin e Faradeit në formën

.

Meqenëse mund të diferencojmë fillimisht ose sipas kohës ose sipas koordinatave, këtë ekuacion mund ta shkruajmë edhe në formë

. (18.17)

Ne shohim se është një vektor, kaçurrela e të cilit është zero. Prandaj, një vektor i tillë është një gradient i diçkaje. Kur po bënim elektrostatikë, kishim , dhe më pas vendosëm që ishte gradienti i vetë diçkaje. Le të jetë ky një gradient nga (minus për komoditetin teknik). Ne do të bëjmë të njëjtën gjë për ; mendojmë

. (18.18)

Ne përdorim të njëjtin shënim, kështu që në rastin elektrostatik, ku asgjë nuk ndryshon me kalimin e kohës dhe nuk zhduket, do të jetë e vjetra. Pra, ligji i Faradeit mund të përfaqësohet në formë

. (18.19)

Ne kemi zgjidhur tashmë dy nga ekuacionet e Maxwell-it dhe kemi gjetur se katër funksione potenciale nevojiten për të përshkruar fushat elektromagnetike: një potencial skalar dhe një potencial vektor, i cili, natyrisht, përfaqëson tre funksione.

Pra, përcakton pjesën, ashtu si . Çfarë ndodh kur zëvendësojmë me? Në përgjithësi, do të duhej të ndryshonte nëse nuk do të merreshin masa të veçanta. Sidoqoftë, mund të supozojmë se ndryshon në atë mënyrë që të mos ndikojë në fushat dhe (d.m.th., pa ndryshuar fizikën), nëse ndryshojmë gjithmonë dhe së bashku sipas rregullave

. (18.20)

Atëherë as , as , e marrë nga ekuacioni (18.19), nuk ndryshojnë.

Më parë, ne zgjodhëm të thjeshtonim disi ekuacionet statike. Tani ne nuk do ta bëjmë këtë; ne duam të bëjmë zgjedhje të ndryshme. Por prisni pak para se të themi se për cilën zgjedhje bëhet fjalë, sepse më vonë do të bëhet e qartë pse është bërë fare zgjedhja.

Tani do të kthehemi te dy ekuacionet e mbetura të Maxwell, të cilat lidhen me potencialet dhe burimet dhe . Meqenëse mund të përcaktojmë si nga rrymat ashtu edhe nga ngarkesat, atëherë gjithmonë mund të marrim nga ekuacionet (18.16) dhe (18.19) dhe do të kemi një formë të ndryshme të ekuacioneve të Maksuellit.

Le të fillojmë duke zëvendësuar ekuacionin (18.19) në ; marrim

;

kjo mund të shkruhet edhe në formë

. (18.21)

Ky është ekuacioni i parë që lidhet me burimet.

Ekuacioni ynë i fundit do të jetë më i vështiri. Ne do të fillojmë duke rishkruar ekuacionin e katërt të Maxwell:

,

dhe më pas shpreheni atë në terma të potencialeve duke përdorur ekuacionet (18.16) dhe (18.19):

.

Termi i parë mund të rishkruhet duke përdorur identitetin algjebrik; marrim

. (18.22)

Nuk është shumë e thjeshtë!

Për fat të mirë, ne tani mund të përdorim lirinë tonë për të zgjedhur në mënyrë arbitrare divergjencën. Tani do të bëjmë një zgjedhje në mënyrë që ekuacionet për dhe për të ndahen, por të kenë të njëjtën formë. Ne mund ta bëjmë këtë duke zgjedhur

. (18.23)

Kur e bëjmë këtë, termat e dytë dhe të tretë në ekuacionin (18.22) anulohen dhe bëhet shumë më e thjeshtë:

. (18.24)

Dhe ekuacioni ynë (18.21) për merr të njëjtën formë:

. (18.25)

Sa ekuacione të bukura! Ato janë të shkëlqyera, para së gjithash, sepse janë të ndara mirë - dendësia e ngarkesës është , dhe rryma është . Tjetra, megjithëse ana e majtë duket pak qesharake - laplasiani së bashku me , kur e hapim, gjejmë

. (18.26)

Ky ekuacion ka një simetri të bukur në , , , ; këtu është e nevojshme, natyrisht, sepse koha dhe koordinatat ndryshojnë; kanë njësi të ndryshme.

Ekuacionet e Maxwell-it na çuan në një lloj të ri ekuacioni për potencialet dhe , por me të njëjtën formë matematikore për të katër funksionet , , dhe . Meqenëse kemi mësuar t'i zgjidhim këto ekuacione, mund të marrim edhe nga dhe . Arrijmë në një formë tjetër të ligjeve elektromagnetike, saktësisht ekuivalente me ekuacionet e Maksuellit; në shumë raste ato janë shumë më të lehta për t'u trajtuar. Dhe

Ekuacionet e Maxwell përmbajnë një ekuacion të vazhdimësisë që shpreh ligjin e ruajtjes së ngarkesës. 3. Ekuacionet e Maxwell-it janë të kënaqura në të gjitha sistemet inerciale të raportit. 4. Ekuacionet e Maksuellit janë simetrike.

6.3.4. Valët elektromagnetike

Nga ekuacionet e Maxwell-it rezulton se fusha elektromagnetike është e aftë të ekzistojë në mënyrë të pavarur, pa ngarkesat elektrike dhe rrymat. Fusha elektromagnetike në ndryshim ka karakter valor dhe përhapet në vakum në formën e valëve elektromagnetike me shpejtësinë e dritës.

Ekzistenca e valëve elektromagnetike rrjedh nga ekuacionet e Maxwell, të cilat përshkruhen nga ekuacionet valore për vektorët dhe respektivisht:

, (5.19)

Një ndryshim në kohën e një fushe magnetike ngacmon një fushë elektrike alternative dhe, anasjelltas, një ndryshim në kohën e një fushe elektrike ngacmon një fushë magnetike alternative. Fusha elektrike e vorbullës e shkaktuar nga fusha magnetike e alternuar , formon me vektorin sistemi i krahut të majtë (Fig. 7.2) dhe fusha magnetike e vorbullës e induktuar nga fusha elektrike , formon me vektorin sistemi i vidhave me dorën e djathtë (Fig. 5.2).

Ndodh ndërthurja e vazhdueshme e tyre, gjë që e bën të mundur

ekzistojnë dhe përhapen në hapësirë ​​dhe kohë në mungesë të ngarkesave dhe rrymave.

Kështu, teoria e Maxwell jo vetëm që parashikoi ekzistencën e valëve elektromagnetike, por gjithashtu vendosi vetitë e tyre më të rëndësishme:

Shpejtësia e përhapjes së valës elektromagnetike në një mjedis neutral jopërçues dhe joferromagnetik

(5.20)

ku c është shpejtësia e dritës në vakum.

Oriz.

gjithmonë lëkunden në të njëjtat faza (Fig. 5.4), dhe midis vlerave të menjëhershme të E dhe B në çdo pikë të hapësirës
. (5.21)

ekziston një lidhje, përkatësisht: E = vB ose

Ekzistenca e valëve elektromagnetike i lejoi Maxwell-it të shpjegonte natyrën valore të dritës. Drita është valë elektromagnetike.

6.3.5. Rrjedha e energjisë e fushës elektromagnetike

Ndërsa valët elektromagnetike përhapen nëpër hapësirë ​​dhe kohë, ato mbajnë energji me vete. Përmbahet në fushat elektrike dhe magnetike që transformohen reciprokisht.

, (5.22)

Dendësia e energjisë vëllimore të fushës elektrike

Dendësia e energjisë vëllimore të fushës magnetike

, (5.23)

ku B është induksioni i fushës magnetike.

Rrjedhimisht, dendësia e energjisë vëllimore e fushës elektromagnetike në rajonin e hapësirës ku vala elektromagnetike ndodhet në një moment arbitrar në kohë,

W= w e + w m =
. (5.24)

Ose duke marrë parasysh faktin se E = cB dhe
, ne kemi

w =  o E 2, (5.25)

ose
. (5.26)

Energjia e transferuar nga një valë elektromagnetike për njësi të kohës përmes një njësie sipërfaqe quhet densiteti i fluksit të energjisë elektromagnetike. Vektori i densitetit të fluksit të energjisë elektromagnetike quhet vektori Poynting.

Drejtimi i vektorit poynting përkon me drejtimin e përhapjes së valës elektromagnetike, pra me drejtimin e transferimit të energjisë. Shpejtësia e transferimit të energjisë është e barabartë me shpejtësinë fazore të kësaj vale.

Nëse një valë elektromagnetike, kur përhapet, kalon nëpër një zonë të caktuar S, pingul me drejtimin e përhapjes së saj, për shembull, përgjatë boshtit X, atëherë në një periudhë të caktuar kohore dt vala do të përshkojë një distancë dx = cdt, ku c është shpejtësia e përhapjes së valës.

Që nga dendësia vëllimore e energjisë së një vale elektromagnetike

atëherë energjia totale dW e valës elektromagnetike që përmban vëllimi

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5.27)

Rrjedhimisht, dendësia e fluksit të energjisë elektromagnetike që kalon nëpër zonën S gjatë kohës dt

. (5.28)

Vektor poynting përkon në drejtim me shpejtësinë e përhapjes së valës elektromagnetike, e cila është pingul me Dhe , d.m.th.

. (5.29)

Ekuacionet bazë të elektrodinamikës klasike (sistemi i ekuacioneve të Maxwell-it) janë ekuacione të pranuara përgjithësisht me të drejtë dhe përdoren gjerësisht në fizikë, radiofizikë dhe elektronikë. Sidoqoftë, këto ekuacione nuk u morën nga ligjet e përgjithshme fizike, të cilat nuk i lejonin ato të konsideroheshin absolutisht të sakta dhe lejonin lloje të ndryshme të manipulimit me to. Megjithatë, këto ekuacione janë të sakta dhe rrjedhin nga parimet e përgjithshme të fizikës dhe themelet e algjebrës vektoriale.

1. Përfundimi i ligjit induksioni elektromagnetik Faradei

Ligji i Faradeit për induksionin elektromagnetik mund të merret nga ekuacioni për forcat elektromagnetike që veprojnë në një ngarkesë elektrike pikë:

Kjo situatë ndodh në një përcjellës me rrymë elektrike me frekuencë të lartë, kur forca që vepron mbi një elektron nga fusha elektrike primare ndryshon aq shpejt sa është në antifazë me forcën inerciale të elektroneve.

Le të zvogëlojmë ngarkesën në barazinë (2) dhe të zbatojmë operacionin "rotor" në të dy anët e kësaj barazie:

Le, për shembull, boshti z përkon me drejtimin e vektorit boshtor B , atëherë vektori i rrezes do të duket si: r =x i+y j , Ku i Dhe j – vektorët njësi në drejtimet e boshteve të koordinatave x Dhe y, respektivisht. Vektor radial r nuk ka komponent të tretë përgjatë boshtit z, prandaj termi i dytë në (3) është i barabartë me –2(∂ B /∂t). Termi i parë në ekuacionin (3) është i barabartë me ∂ B /∂t. Si rezultat, pas transformimit të anës së djathtë të barazisë së fundit, marrim:

Kjo do të thotë, nga ekuacioni i forcës elektromagnetike (1) në rastin kur forca që vepron mbi elektronin nga fusha magnetike është plotësisht e balancuar nga forca nga fusha elektrike, vijon ligji i Faradeit për induksionin elektromagnetik (4), një nga themelet. ekuacionet e elektrodinamikës.

Ekuacionet (2) - (4) nuk varen nga fakti nëse një elektron është i pranishëm ose mungon në një pikë të caktuar të hapësirës. Si rezultat i kësaj pavarësie të fushave elektrike dhe magnetike nga ngarkesa elektrike, ekuacioni (4) pasqyron vetitë hapësinore-kohore të vetë fushave në ndryshim, të përfaqësuara si një fushë e vetme elektromagnetike. Për më tepër, ligji i Faradeit (4) jo vetëm që përfaqëson ligjin e induksionit elektromagnetik, por është gjithashtu ligji bazë i transformimit të ndërsjellë të fushave elektrike dhe magnetike, një pronë integrale e fushës elektromagnetike.

2. Nxjerrja e ekuacionit të Maksuellit

Përpara se të vazhdohet me derivimin e ekuacionit të Maxwell-it, është e nevojshme të plotësohet algjebër vektoriale me një operator tjetër vektorial.

2.1. Përkufizimi i një operatori vektori që kryen veprimin e anasjelltë të transformimit vektorial të operatorit vektorial diferencial "rotor"

Operatori i vektorit diferencial "rotori" kryen funksionin e transformimit të vektorëve në hapësirë ​​dhe funksionimin e diferencimit, domethënë është një operator kompleks që kryen dy lloje veprimesh në të njëjtën kohë. Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i tij:

,

Ku A - vektor, i , j , k – vektorët njësi në drejtim të boshteve të sistemit të koordinatave drejtkëndëshe (karteziane) x, y Dhe z, respektivisht. Në këtë rast, operatori i kundërt me operatorin "rotor" nuk përcaktohet në analizën vektoriale, megjithëse secili prej transformimeve që ai kryen është, në parim, i kthyeshëm.

Ilustrim gjeometrik i transformimit hapësinor të vektorit A te vektori kalbet( a) , i kryer nga operatori "rotor", është paraqitur në Fig. 1.

Oriz. 1. Paraqitja gjeometrike e një vektori A dhe fusha vektoriale e formuar nga operatori “rotor”.

2.2. Përkufizimi 1. Nëse dy fusha vektoriale të ndërlidhura të përfaqësuara me vektorë A Dhe b , kanë derivate në lidhje me variablat hapësinorë x, y, z(si kalbje a Dhe kalbje b ) dhe derivatet në lidhje me kohën, ¶ A /¶ t Dhe ¶ b /¶ t, dhe derivati ​​i vektorit A është ortogonal në kohë me derivatet në lidhje me variablat hapësinore të vektorit b , dhe anasjelltas, derivati ​​kohor i vektorit b është ortogonal me derivatet në lidhje me variablat hapësinore të vektorit A , atëherë ekziston një operator vektorial që kryen një transformim hapësinor të fushës vektoriale pa ndikuar në operacionin e diferencimit, të cilin në mënyrë konvencionale do ta quajmë operator " rirotulloj", (i përdredhur i kundërt ose "rotori i kthyeshëm") i tillë që:

Dhe ; (5)

Dhe . (5*)

2.3. Vetitë e operatorit vektor "i kthyeshëm" rotor"

2.3.1. Operatori vektor "rotori i kthyeshëm" vepron vetëm në derivatet e një vektori.

2.3.2. Operatori vektor "rotori i kthyeshëm" ndodhet përpara derivatit të vektorit mbi të cilin ai vepron.

2.3.3. Konstantat dhe koeficientët numerikë për derivatet vektoriale mund të zhvendosen jashtë fushëveprimit të operatorëve vektorial:

Ku c- konstante.

2.3.4. Operatori vektor "rotori i kthyeshëm" vepron në secilin nga termat e ekuacionit që përmban shumën e derivateve të vektorit:

Ku c Dhe d- konstante.

2.3.5. Rezultati i veprimit të operatorit vektor "rotori i kthyeshëm" në zero është zero:

Në këtë rast, rezultati i veprimit të operatorit vektor "rotori i kthyeshëm" në konstante të tjera, duke përfshirë vektorin, sipas paragrafit 2.3.1, nuk është i përcaktuar.

2.4. Një shembull i përdorimit të operatorit të "rotorit të kthyeshëm".

Le të zbatojmë operatorin "rotor i kthyeshëm" në një ekuacion që përmban vektorë të ndërlidhur a Dhe b :

Nëse tani aplikojmë edhe një herë operatorin "rotor i kthyeshëm" në barazinë e sapoformuar (**), marrim:

ose

, ose në fund:

Zbatimi i njëpasnjëshëm i dyfishtë (ose ndonjë i barabartë) i operatorit të rotorit të kundërt rezulton në barazinë origjinale. Me këtë, operatori vektorial "rotori i kthyeshëm" jo vetëm që kryen transformimin e ndërsjellë të ekuacioneve diferenciale të fushave vektoriale të ndërlidhura, por gjithashtu vendos ekuivalencën e këtyre ekuacioneve.

Gjeometrikisht duket kështu. Operatori "rotor" dallon dhe, si të thuash, kthen një fushë vektoriale drejtvizore, duke e bërë atë vorbull dhe ortogonale me fushën vektoriale origjinale. Operatori vektorial "rotori i kthyeshëm" kryen një transformim vektori, i cili, si të thuash, zbërthen fushën e vorbullës së përdredhur nga operatori "rotor", duke e kthyer atë në një fushë jo-vorbull në ndryshim, të përfaqësuar nga derivati ​​i vektorit në lidhje me koha. Meqenëse integrimi nuk kryhet, derivati ​​i vektorit në lidhje me kohën korrespondon me ndryshimin në madhësinë e vektorit. Si rezultat, kemi një ndryshim në vektor, madhësia e të cilit ndryshon në një drejtim të vetëm, ortogonal me ndryshoret hapësinore të operatorit "rotor". Anasjelltas, operatori vektorial i "rotorit të kundërt" rrotullon fushën vektoriale që nuk ndryshon vorbull e përfaqësuar nga derivati ​​kohor i vektorit, duke e kthyer atë në një fushë vektoriale hapësinore vorbull ortogonale me derivatin kohor origjinal të vektorit. Meqenëse drejtimi i "përdredhjes" së operatorit "rotorit të kthyeshëm" është i kundërt me drejtimin e rrotullimit të kryer nga operatori "rotor", shenja e fushës së vorbullës së sapoformuar zgjidhet të jetë e kundërt (negative). Domethënë, operatori vektorial "rotori i kthyeshëm" kryen veprimin e kundërt të transformimit hapësinor të operatorit "rotor" në të gjithë "hapësirën" e fushave vektoriale derivative. Në të njëjtën kohë, operatori vektor "rotori i kthyeshëm" nuk e diferencon vetë vektorin në derivatin e të cilit vepron. Kjo rezulton në një transformim identik të vektorit të kthyeshëm.

Nëse futim në analizën vektoriale një operator vektor integral që rikthen jo derivatin e vektorit, por vetë vektorin nga rotori i vektorit (le ta quajmë në mënyrë konvencionale një operator të tillë një rotor invers, ose " kalbje-1 "), atëherë një operator i tillë, së bashku me transformimin e vektorit të kundërt, duhet të kryejë njëkohësisht operacionin e integrimit.

Sidoqoftë, për shkak të paqartësisë së operacionit matematikor të integrimit, operatori plotësisht i kundërt me "rotorin" kalbje-1 nuk kryen një transformim unik të vektorit të anasjelltë.

2.5. Aplikimi i operatorit vektor "i kthyeshëm" rotor" në fushat fizike

Kur aplikoni operatorin e vektorit "rotori i kthyeshëm" në fushat vektoriale fizike, është e nevojshme të merret parasysh ndryshimi në dimensionin e anës së djathtë dhe të majtë të ekuacionit për shkak të ndërrimit të variablave. x, y, z Dhe t kur konvertohet. Le të shënojmë dimensionin e koordinatave - metër ( L), dhe koha është e dyta ( T).

Përkufizimi 2. Për fushat vektoriale fizike, operatori vektor "rotori i kthyeshëm" përcaktohet si më poshtë:

Dhe ;

(6)

Dhe . (6*)

Duke treguar marrëdhënie dimensionale L/T, si konstante v, që kanë dimensionin e shpejtësisë, [m/s], ekuacionet (6.4) dhe (6.4*) mund të paraqiten si:

Dhe ;

(7)

Dhe .

(7*)

2.6. Aplikimi i operatorit të "rotorit të kthyeshëm" në fushat fizike

Le të zbatojmë operatorin vektor "rotor i kthyeshëm", i përcaktuar nga ekuacionet (7), (7*), në ekuacionin (4), duke lidhur fusha fizike reale E Dhe B në elektrodinamikë:

;

, e cila shndërrohet në formën:

Konstanta elektrodinamike " v» nuk varet nga madhësia e fushave ose nga shpejtësia e ndryshimit të tyre dhe, siç vijon nga ekuacioni i valës, korrespondon me shpejtësinë e përhapjes së valës ndërveprimi elektromagnetik, c" 2,99792458H 10 8 m/s, që quhet ndryshe edhe shpejtësia e dritës në vakum.

Domethënë, me ndihmën e transformimit të vektorit të "rotorit të kthyeshëm", nga ekuacioni (4), i cili është ligji i Faradeit për induksionin elektromagnetik, rrjedh natyrshëm një nga ekuacionet bazë të elektrodinamikës - ekuacioni i Maxwell (8), i cili nuk ndjek as nga eksperimenti ose nga ligjet e njohura fizike. Ekuacionet (4) dhe (8) janë të ndërlidhura, të transformueshme në njëri-tjetrin duke përdorur një transformim vektori, i cili korrespondon me ekuivalencën e tyre fizike. Prandaj, vlefshmëria e një prej këtyre ekuacioneve, e vendosur në formën ligji fizik(V në këtë rast- ky është ligji i Faradeit për induksionin elektromagnetik (4)). gjendje e mjaftueshme për të pohuar vlefshmërinë e ekuacionit të dytë (ekuacioni i Maxwell (8)) si një ligj fizik ekuivalent.

2.7. Transformimi i fushave vektoriale

Nëse vazhdojmë nga përkufizimi i operatorit "rotor", atëherë veprimi i operatorit të vektorit "rotori i kundërt", siç duket, mund të përfaqësohet në formën e treguar në Fig. 2, ku njëfarë identiteti i fushave vektoriale supozohet para dhe pas transformimit të vektorit nga operatori vektorial diferencial "rotori".

Le ta kontrollojmë këtë supozim. Le të zbatojmë operatorin "rotor i kthyeshëm" në ekuacionin:

, nga ku rrjedh:

Barazia që rezulton ndryshon drejtimin e vektorëve në përkufizimin origjinal të operatorit të vektorit diferencial "rotor", gjë që është e papranueshme.

Kjo është arsyeja pse .

Aplikimi i operatorit vektorial "rotor i kthyeshëm" në derivatet e së njëjtës fushë vektoriale tregon ndryshimin themelor midis fushës vektoriale para aplikimit dhe fushës vektoriale pas aplikimit të operatorit "rotor". Kjo nënkupton nevojën për të përfaqësuar fushën vektoriale A dhe fusha vektoriale kalbet( A) si të transformueshme në njëra-tjetrën, por të ndryshme fusha vektoriale.

Fusha origjinale vektoriale e përfaqësuar nga vektori A , do të shqyrtojmë primare (shkakun), dhe fusha e formuar nga transformimi vektorial i operatorit "rotor" do të konsiderohet një fushë dytësore (pasojë e veprimit të operatorit "rotor") dhe do ta shënojmë atë si një fushë të vektorët b .

Oriz. 2. Rezultati i identifikimit të fushave vektoriale para dhe pas transformimit të vektorit “rotor”. Drejtimi i fushave nuk korrespondon me përkufizimin origjinal të operatorit të rotorit të paraqitur në Fig. 1, "vida e djathtë" shndërrohet në "vidë të majtë".

Pastaj konvertim i anasjelltë fushat vektoriale, të cilat nuk ndikojnë në funksionimin e diferencimit, në shënimin e paraqitur në këtë mënyrë do të kenë formën e treguar në Fig. 3.

Oriz. 3. Përkufizimi i transformimit të vektorit, operacion i kundërt"rotor", i cili nuk ndikon në funksionimin e diferencimit. Ndarja e fushave vektoriale kryhet në bazë të marrëdhënieve shkak-pasojë. Fusha origjinale përfaqësohet nga vektori A (shkaku), dhe fusha e krijuar nga operacioni "rotor" përfaqësohet nga vektori b (pasojë).

Në elektrodinamikë, në disa nga rastet më të thjeshta, kalimi në një kornizë referimi rrotulluese, brenda së cilës rrotullimi zhduket, çon në mungesën e forcave nga fusha magnetike dhe veprimi i forcës mund të përfaqësohet vetëm nga forca nga fusha elektrike. Por kjo nuk çon në asnjë mënyrë në përfundimin se nuk ka fushë magnetike ose se ajo mund të zëvendësohet gjithmonë nga një fushë elektrike. Rast special fushë vektoriale e marrë në një të veçantë sistem i izoluar referencë, lidhet vetëm me këtë sistem të zgjedhur në të cilin lëvizja e një ngarkese elektrike është e kufizuar në shkallë lirie.

Meqenëse të dyja fushat vektoriale drejtvizore dhe fushat vektoriale të mbyllura rrotulluese ekzistojnë në hapësirë, dhe është e pamundur të jesh në dy sisteme referencë në të njëjtën kohë, atëherë në rastin e përgjithshëm, duke zgjedhur një sistem koordinativ është e pamundur të reduktohet një fushë në tjetrën. Ekziston vetëm një burim i këtyre fushave - ngarkesat elektrike. Ngarkesat elektrike krijojnë një fushë elektrike rreth vetes (fushë vektoriale gjithëdrejtuese), dhe lëvizja e ngarkesave elektrike krijon një fushë magnetike (fushë vektoriale rrethore e mbyllur). Në të njëjtën kohë, natyrisht lëvizje e drejtë ngarkesat elektrike krijojnë një fushë magnetike rrethore rreth tyre, dhe Qarkullimi i rrethrrotullimit ngarkesat elektrike (si dhe rrotullimi i grimcave të ngarkuara elektrikisht përreth boshti i vet) krijon një fushë magnetike drejtvizore në hapësirë, e përmbajtur në një vëllim të kufizuar nga rrezja e rrotullimit.

2.8. Shpejtësia e përhapjes së ndërveprimit elektromagnetik

Shkalla e shndërrimit të fushave vektoriale në njëra-tjetrën nuk varet as nga madhësia e fushave dhe as nga shkalla e ndryshimit të tyre dhe, siç vijon nga ekuacioni i valës, korrespondon me shpejtësinë e përhapjes së një valë të ndërveprimit elektromagnetik në hapësirën e lirë. (vakum), c" 2,99792458Х 10 8 m/s, dhe kjo vlerë me të drejtë quhet konstante elektrodinamike.

Kështu, ndryshimi në fushat elektrike dhe magnetike kryhet në hapësirë ​​tredimensionale, ka vetinë e transformimit të ndërsjellë të vektorëve dhe kjo veti në elektrodinamikë realizohet nëpërmjet ligjit të Faradeit të induksionit elektromagnetik. Nëse e konsiderojmë një transformim të tillë si të drejtpërdrejtë, atëherë transformimi i anasjelltë i fushave vektoriale kryhet duke përdorur ekuacionin e marrë nga Maxwell në mënyrë intuitive dhe i cili mund të merret duke përdorur operatorin vektorial "rotor i kthyeshëm". Transformimi i ndërsjellë i fushave elektrike dhe magnetike, i cili kryhet pa burime të ngarkesës elektrike, është një nga lloje të veçanta lëvizje valore - një valë elektromagnetike tërthore që transferon energjinë elektromagnetike në hapësirën e lirë me shpejtësi absolute konvertimet në terren. Por në të njëjtën kohë, burimi i energjisë së një valë elektromagnetike është gjithmonë ngarkesa elektrike lëvizëse e përshpejtuar.

3. Ekuacionet e burimeve të fushave elektromagnetike.

Dy nga katër ekuacionet e mbetura bazë të sistemit të ekuacioneve të Maksuellit vërtetojnë vetëm faktin e pranisë në natyrë të ngarkesave elektrike që krijojnë një fushë elektrike (teorema e Gausit, e cila rrjedh drejtpërdrejt nga ligji i Kulombit):

dhe fakti që nuk ka ngarkesa magnetike në natyrë:

Letërsia

1. Sokol-Kutylovsky O.L. Forcat gravitacionale dhe elektromagnetike. Ekaterinburg, 2005.
2. Sokol-Kutylovsky O.L. fizika ruse. Ekaterinburg, 2006.
3. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të fakulteteve teknike (redaktuar nga G. Groshe dhe V. Ziegler), M., “Nauka”, 1980.

Sokol-Kutylovsky O.L., Derivimi i ekuacioneve themelore të elektrodinamikës // "Akademia e Trinitarianizmit", M., El Nr. 77-6567, pub

Një grup ekuacionesh diferenciale. Ekuacionet diferenciale, të cilin secili prej vektorëve të fushës duhet ta plotësojë veçmas, mund të merret duke përjashtuar vektorët e mbetur. Për një zonë fushore që nuk përmban tarifa falas dhe rrymat ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), ekuacionet për vektorët $\overrightarrow(B)$ dhe $\overrightarrow(E)$ kanë formën:

Ekuacionet (1) dhe (2) janë ekuacione të zakonshme të lëvizjes valore, që do të thotë se valë të lehta përhapet në mjedis me një shpejtësi ($v$) të barabartë me:

Shënim 1

Duhet të theksohet se koncepti i shpejtësisë së një valë elektromagnetike ka një kuptim të caktuar vetëm në lidhje me valët lloj i thjeshtë, për shembull banesë. Shpejtësia $v$ nuk është shpejtësia e përhapjes së valës në rast vendim arbitrar ekuacionet (1) dhe (2), pasi këto ekuacione pranojnë zgjidhje në formën e valëve në këmbë.

Në çdo teoria e valës drita konsiderohet një proces elementar valë harmonike në hapësirë ​​dhe kohë. Nëse frekuenca e kësaj vale qëndron në intervalin $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7.5\cdot (10)^(-14)\frac(1 ) (c)$, një valë e tillë shkakton një ndjesi fiziologjike të një ngjyre të caktuar tek një person.

Për substanca transparente konstanta dielektrike $\varepsilon $ është zakonisht më e madhe se uniteti, përshkueshmëria magnetike e mediumit $\mu $ është pothuajse e barabartë me unitetin, rezulton se, në përputhje me ekuacionin (3), shpejtësia $v$ është më e vogël se shpejtësia e dritës në vakum. Çfarë u tregua eksperimentalisht për herë të parë për rastin e përhapjes së dritës në ujë nga shkencëtarët Foucault Dhe Fizeau.

Zakonisht nuk është vetë vlera e shpejtësisë që përcaktohet ($v$), por raporti $\frac(v)(c)$, për të cilin ata përdorin ligji i thyerjes . Në përputhje me këtë ligj, kur një valë e rrafshët elektromagnetike bie në një kufi të planit që ndan dy media homogjene, raporti i sinusit të këndit $(\theta )_1$ të rënies me sinusin e këndit të thyerjes $(\theta )_2$ (Fig. 1) është konstant dhe i barabartë me raportin e shpejtësive të valës përhapja në dy media ($v_1\ dhe (\v)_2$):

Vlera e raportit konstant të shprehjes (4) zakonisht shënohet si $n_(12)$. Ata thonë se $n_(12)$ është indeksi relativ i thyerjes së substancës së dytë në raport me të parën, të cilin balli (vala) e valës e përjeton kur kalon nga mediumi i parë në të dytin.

Foto 1.

Përkufizimi 1

Indeksi absolut i thyerjes(thjesht indeksi i thyerjes) i një mediumi $n$ është indeksi i thyerjes së një substance në lidhje me vakumin:

Një substancë që ka normë më të lartë përthyerja është optikisht më e dendur. Treguesi relativ thyerja e dy substancave ($n_(12)$) lidhet me to në terma absolute($n_1,n_2$) si:

formula e Maxwell-it

Përkufizimi 2

Maxwell zbuloi se indeksi i thyerjes së një mediumi varet nga dielektriku i tij dhe vetitë magnetike. Nëse e zëvendësojmë shprehjen për shpejtësinë e përhapjes së dritës nga ekuacioni (3) në formulën (5), marrim:

\ \

Shprehja (7) quhet formula e Maxwell-it. Për shumicën e substancave transparente jomagnetike që konsiderohen në optikë, përshkueshmëria magnetike e substancës mund të merret parasysh përafërsisht e barabartë me një, prandaj barazia (7) përdoret shpesh në formën:

Shpesh supozohet se $\varepsilon$ është vlerë konstante. Megjithatë, ne jemi të vetëdijshëm për eksperimentet e Njutonit me një prizëm mbi zbërthimin e dritës si rezultat i këtyre eksperimenteve, bëhet e qartë se indeksi i thyerjes varet nga frekuenca e dritës. Prandaj, nëse supozojmë se formula e Maxwell është e vlefshme, atëherë duhet ta pranojmë këtë konstanta dielektrike substanca varet nga frekuenca e fushës. Lidhja midis $\varepsilon$ dhe frekuencës së fushës mund të shpjegohet vetëm nëse marrim parasysh struktura atomike substancave.

Megjithatë, duhet thënë se formula e Maksuellit me një konstante dielektrike të një substance në disa raste mund të përdoret si një përafrim i mirë. Një shembull do të ishin gazrat me të thjeshtë struktura kimike, në të cilën nuk ka shpërndarje të konsiderueshme të dritës, që do të thotë një varësi e dobët e vetive optike nga ngjyra. Formula (8) funksionon mirë edhe për hidrokarburet e lëngëta. Nga ana tjetër, shumica të ngurta, për shembull, në gota dhe në shumicën e lëngjeve ka një devijim të fortë nga formula (8), nëse marrim konstante $\varepsilon $.

Shembulli 1

Ushtrimi: Sa është përqendrimi elektronet e lira në jonosferë, nëse dihet se për valët e radios me frekuencë $\nu$ indeksi i thyerjes së tij është i barabartë me $n$.

Zgjidhja:

Le të marrim formulën e Maxwell si bazë për zgjidhjen e problemit:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\majtas(1.2\djathtas),\]

ku $\varkappa$ është ndjeshmëria dielektrike, P është vlera e polarizimit të menjëhershëm. Nga (1.1) dhe (1.2) rrjedh se:

Nëse përqendrimi i atomeve në jonosferë është i barabartë me $n_0, atëherë vlera e menjëhershme e polarizimit është e barabartë me:

Nga shprehjet (1.3) dhe (1.4) kemi:

ku $\omega $ është frekuenca ciklike. Ekuacioni i lëkundjeve të detyruara të një elektroni pa marrë parasysh forcën e rezistencës mund të shkruhet si:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\majtas(1.7\djathtas),\]

ku $m_e$ është masa e elektronit, $q_e$ është ngarkesa e elektronit. Zgjidhja e ekuacionit (1.7) është shprehja:

\ \

Ne e dimë frekuencën e valëve të radios, prandaj mund të gjejmë frekuencën ciklike:

\[\omega =2\pi \nu \majtas(1.10\djathtas).\]

Le të zëvendësojmë në (1.5) anën e djathtë shprehja (1.9) në vend të $x_(max)$ dhe përdorimi (1.10), marrim:

Përgjigje:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\majtas(1-n^2\djathtas).$

Shembulli 2

Ushtrimi: Shpjegoni pse formula e Maksuellit bie ndesh me disa të dhëna eksperimentale.

Zgjidhja:

Nga klasikja teoria elektromagnetike Maxwell rrjedh se indeksi i thyerjes së mediumit mund të shprehet si:

ku në rajonin optik të spektrit për shumicën e substancave mund të supozojmë se $\mu \afërsisht 1$. Rezulton se indeksi i thyerjes për një substancë duhet të jetë një vlerë konstante, pasi $\varepsilon $ - konstanta dielektrike e mediumit është konstante. Ndërsa eksperimenti tregon se indeksi i thyerjes varet nga frekuenca. Vështirësitë që dolën përpara teorisë së Maxwell në kjo çështje, eliminon teoria e elektroneve Lorenz. Lorenci e konsideroi shpërndarjen e dritës si rezultat i ndërveprimit të valëve elektromagnetike me grimcat e ngarkuara që janë pjesë e substancës dhe kryejnë lëkundjet e detyruara valët e dritës në një fushë elektromagnetike të alternuar. Duke përdorur hipotezën e tij, Lorentz mori një formulë që lidh indeksin e thyerjes me frekuencën e një valë elektromagnetike (shih shembullin 1).

Përgjigje: Problemi me teorinë e Maxwell është se ajo është makroskopike dhe nuk merr parasysh strukturën e materies.