Filloni në shkencë. Ekuacionet matematikore më elegante

Teksti i veprës është postuar pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë puna është e disponueshme në skedën "Work Files" në format PDF

PREZANTIMI

"Ekuacioni është çelësi i artë që hap të gjitha susamet matematikore"

S. Koval

Edukimi matematikor i marrë në shkollë është një pjesë shumë e rëndësishme e jetës. njeriu modern. Pothuajse gjithçka që na rrethon është disi e lidhur me matematikën. Zgjidhje e shumë probleme praktike reduktohet në zgjidhjen e ekuacioneve lloje të ndryshme.

Ekuacionet janë më temë voluminoze gjithë kursin e algjebrës. Në të kaluarën vit akademik Në mësimet e algjebrës mësuam për ekuacionet kuadratike. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e problemeve të ndryshme, si në fushën e matematikës, ashtu edhe në fushën e fizikës dhe kimisë.

NË kursi shkollor studiohet matematika bazë Zgjidhjet ekuacionet kuadratike. Sidoqoftë, ekzistojnë teknika të tjera për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, disa prej të cilave ju lejojnë t'i zgjidhni ato shpejt dhe racionalisht.

Kemi kryer një anketë midis 84 nxënësve të klasave 8-9 për dy pyetje:

Cilat metoda të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike dini?

Cilat i përdorni më shpesh?

Bazuar në rezultatet e anketës, janë marrë këto rezultate:

Pas analizimit të rezultateve të marra, arritëm në përfundimin se shumica e studentëve përdorin formula rrënjë duke përdorur diskriminuesin kur zgjidhin ekuacionet kuadratike dhe nuk janë mjaft të vetëdijshëm se si të zgjidhin ekuacionet kuadratike.

Pra, tema që kemi zgjedhur është e rëndësishme.

Ne e kemi vendosur veten objektiv: eksploroni mënyra jokonvencionale të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, prezantoni nxënësit e klasave 8 dhe 9 në menyra te ndryshme vendimet, zhvillojnë aftësinë për të zgjedhur mënyrë racionale zgjidhja e një ekuacioni kuadratik.

Për të arritur këtë qëllim, ju duhet të zgjidhni sa vijon detyrat:

mbledhin informacion rreth mënyrave të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike,

zotëroni zgjidhjet e gjetura,

krijoni një program për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik në Excel,

të zhvillojë material didaktik për një orë mësimi ose veprimtari jashtëshkollore mbi metoda jo standarde zgjidhja e ekuacioneve kuadratike,

zhvilloni një mësim "Mënyra të pazakonta për të zgjidhur ekuacionet kuadratike" me nxënësit e klasave 8 - 9.

Objekti i studimit: ekuacionet kuadratike.

Lënda e studimit: mënyra të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Ne besojmë se rëndësia praktike e punës qëndron në mundësinë e përdorimit të një banke teknikash dhe metodash për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në mësimet e matematikës dhe aktivitetet jashtëshkollore, si dhe në njohjen e nxënësve të klasave 8-9 me këtë material.

KAPITULLI 1. METODAT E PAZAKONSHME PËR ZGJIDHJEN E EKUACIONIT KUADRATE

1. 1. VETITË E KOEFICIENTËVE (a,b,c)

Metoda bazohet në vetitë e koeficientëve a,b,c:

Nëse a+b+c=0, atëherë = 1, =

Shembull:

-6x 2 + 2x +4=0, atëherë = 1, = = .

Nëse a - b+c=0, atëherë = -1, = -

Shembull:

2017x 2 + 2001х +16 =0, atëherë = -1, -.

1. 1. VARËSITË E KOEFICIENTËVE (a,b,c)

Varësitë e mëposhtme të koeficientëve janë të vlefshme: a,b,c:

Nëse b=a 2 +1, c=a, atëherë x 1 =-a; x 2 = - .

Nëse b=-(a 2 +1), a=c, atëherë x 1 =a; x 2 =.

Nëse b=a 2 -1, c=-a, atëherë x 1 =-a; x 2 = .

Nëse b=-(a 2 -1), -a=c, atëherë x 1 =a; x 2 = - .

Le të zgjidhim ekuacionet e mëposhtme:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 = 10 x 2 =-0,1.

1. 1. “TRANSFERIMI” I RAPORTIT KRYESOR

Koeficient A shumëzuar me anëtar i lirë, sikur i “hedhur” atij, prandaj quhet metoda e “hedhjes”. Më pas, rrënjët gjenden duke përdorur teoremën e Vieta-s. Rrënjët e gjetura ndahen me koeficientin e transferuar më parë, falë kësaj gjejmë rrënjët e ekuacionit.

Shembull:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

Le të "hedhim" koeficientin 2 në termin e lirë, dhe si rezultat marrim ekuacionin

në 2 - 3у + 2 = 0.

Sipas teoremës së Vietës

në 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

në 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Përgjigje: 0.5; 1.

1. 1. METODA GRAFIKE E ZGJIDHJES

Nëse në ekuacionin a x 2 + bx + c= 0 zhvendosni termat e dytë dhe të tretë në anën e djathtë, atëherë marrim një x 2 = -bx-c .

Le të ndërtojmë grafikët e varësisë në= sëpatë 2 dhe në= -bx-c në një sistem koordinativ.

Grafiku i varësisë së parë është një parabolë që kalon përmes origjinës. Grafiku i varësisë së dytë është i drejtë.

Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

një vijë e drejtë dhe një parabolë mund të kryqëzohen në dy pika, abshisat e pikave të kryqëzimit janë rrënjët e ekuacionit kuadratik;

një vijë e drejtë dhe një parabolë mund të prekin (vetëm një pikë të përbashkët), d.m.th. ekuacioni ka një zgjidhje;

një vijë e drejtë dhe një parabolë nuk kanë pikat e përbashkëta, d.m.th. një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë.

Le të zgjidhim ekuacionet e mëposhtme:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

Në një sistem koordinativ, ne do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 dhe një grafik të funksionit y = - 2x + 3. Duke shënuar abshisat e pikave të kryqëzimit, marrim përgjigjen.

Përgjigje: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

Në një sistem koordinativ, do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 dhe një grafik të funksionit y = -6x - 9. Pasi të kemi caktuar abshisën e pikës tangjente, do të marrim përgjigjen.

Përgjigje: x= - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x 2 dhe një grafik të funksionit

Parabola y = 2x 2 dhe drejtëza y = - 4x - 7 nuk kanë pika të përbashkëta, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë.

Përgjigje: pa rrënjë.

1. 1. ZGJIDHJA E EKUACIONIVE KUADRATE ME PËRDORIM KOMPASË DHE RREGULLARA

Le të zgjidhim ekuacionin aх 2 +bх+c=0:

Të ndërtojmë pikat S(-b:2a,(a+c):2a) - qendra e rrethit dhe pika A(0,1).

Vizatoni një rreth me rreze SA.

Abshisat e pikave të kryqëzimit me boshtin Ox janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Në këtë rast, tre raste janë të mundshme:

1) Rrezja e rrethit është më e madhe se ordinata e qendrës ( AS>SK, ose R>), rrethi pret boshtin Oh ne dy pika..B( X 1 ; 0) dhe D(x 2 ;0), ku X 1 Dhe X 2 - rrënjët e ekuacionit kuadratik Oh 2 + bx + c = 0.

2) Rrezja e rrethit është e barabartë me ordinatën e qendrës ( AS = SВ, ose R=), rrethi prek boshtin Oh ne piken B( X 1 ; 0), ku X 1 - rrënja e një ekuacioni kuadratik.

3) Rrezja e rrethit është më e vogël se ordinata e qendrës ( AS< SВ , ose R< ), rrethi nuk ka pika të përbashkëta me boshtin x, në këtë rast ekuacioni nuk ka zgjidhje.

A) AS > SВ ose R>, b) AS = SВ ose R= V) AS< SВ, ose R< .

Dy zgjidhje X 1 Dhe X 2 . Një zgjidhje X 1.. Nuk ka zgjidhje.

Shembulli 1: 2 x 2 - 8x + 6 = 0.

Zgjidhja:

Le të vizatojmë një rreth me rreze S.A. Ku A (0;1).

Përgjigje: x 1 = 1, x 2 = 3.

Shembulli 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Zgjidhje: Të gjejmë koordinatat e S: x=3, y=5.

Përgjigje: x=3.

Shembulli 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Zgjidhja: Koordinatat e qendrës së rrethit: x= - 2 dhe y = 3.

Përgjigje: pa rrënjë

1. 1. ZGJIDHJE PËRDORIM NOMOGRAM

Nomogram (nga greqishtja "nomos" - ligj dhe gram), paraqitje grafike funksionet e disa variablave, gjë që lejon përdorimin e operacioneve të thjeshta gjeometrike (për shembull, aplikimin e një vizoreje) për të eksploruar varësitë funksionale pa llogaritje. Për shembull, zgjidhja e një ekuacioni kuadratik pa përdorur formula.

Kjo është një metodë e vjetër dhe tashmë e harruar e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, e vendosur në faqen 83 të koleksionit: Bradis V.M. "Tabela matematikore me katër shifra". - M., “Drofa”, 2000. Tabela XXII. Nomogram për zgjidhjen e ekuacionit z 2 + pz + q = 0(shih Shtojcën 1).

Ky nomogram lejon që, pa zgjidhur një ekuacion kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit nga koeficientët e tij.

Shkalla curvilineare e nomogramit është ndërtuar sipas formulave: OB= , AB =

Duke besuar OS = p, ED = q, OE = a(të gjitha në cm), nga ngjashmëria e trekëndëshave SAN Dhe CDF marrim proporcionin nga i cili, pas zëvendësimeve dhe thjeshtimeve, vijon ekuacioni z 2 + pz + q = 0, dhe shkronja z nënkupton shenjën e çdo pike në shkallën lakor.

Shembulli 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

Në shkallën p gjejmë shenjën -9, dhe në shkallën q shënojmë 8. Nëpër këto shenja vizatojmë një vijë të drejtë, e cila pret shkallën e lakuar të nomogramit në shenjat 1 dhe 8. Prandaj, rrënjët e ekuacionit janë 1 dhe 8.

Përgjigje: 1; 8.

Është ky ekuacion që zgjidhet në tabelën Bradis në faqen 83 (shih Shtojcën 1).

Shembulli 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Duke pjesëtuar koeficientët e këtij ekuacioni me 2, marrim ekuacionin:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogrami jep rrënjë z 1 = 4 Dhe z 2 = 0,5.

Përgjigje: 4; 0.5.

Shembulli 3:x 2 - 25x + 66 = 0

Koeficientët p dhe q janë jashtë shkallës. Le të bëjmë zëvendësimin x = 5z, marrim ekuacionin:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

të cilin e zgjidhim duke përdorur një nomogram.

Ne marrim z 1 = 0,6 Dhe z 2 = 4,4,

ku x 1 = 5z 1 = 3,0 Dhe x 2 = 5z 2 = 22,0.

Përgjigje: 3; 22.

Shembulli 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , A rrënjë negative gjejmë duke zbritur rrënjë pozitive nga - fq , ato. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Përgjigje: 1; -6.

Shembulli 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogrami jep një rrënjë z pozitive 1 =4, dhe negative është e barabartë me z 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Përgjigje: 4; -2.

KAPITULLI 2. ZGJIDHJA E EKUACIONIT KUADRATE ME FORMULA RRENJORE DUKE PËRDORUR EXCEL

Ne vendosëm të krijojmë një program për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me duke përdorur Excel- është e përhapur program kompjuterik. Është e nevojshme për të kryer llogaritjet, për të përpiluar tabela dhe diagrame, për të llogaritur të thjeshta dhe funksione komplekse. Është pjesë e paketës së Microsoft Office.

Fletë programet Excel, ku shfaqen formulat:

Shfaqja e fletës së Excel shembull specifik zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike x 2 - 14x - 15 = 0:

KAPITULLI 3. KRAHASIMI I MËNYRAVE TË NDRYSHME PËR ZGJIDHJEN E EKUACIONET KUADRATE

"Shpesh është më e dobishme për një student të algjebrës të zgjidhë të njëjtin problem në tre mënyra të ndryshme sesa të zgjidhë tre ose katër. detyra të ndryshme. Zgjidhja e një problemi metoda të ndryshme, mund të zbuloni përmes krahasimeve se cili është më i shkurtër dhe më efikas. Kështu zhvillohet përvoja”.

Walter Warwick Sawyer

Gjatë punës mblodhëm material dhe studiuam mënyrat e zgjidhjes (gjetjes së rrënjëve) ekuacioneve kuadratike. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metoda të ndryshme është paraqitur në Shtojcën 2.

Duke studiuar menyra te ndryshme duke zgjidhur ekuacionet kuadratike, arritëm në përfundimin se për secilin ekuacion mund të zgjidhni opsionin më efektiv dhe më racional për gjetjen e rrënjëve. Çdo zgjidhje është unike dhe e përshtatshme në raste të caktuara. Disa metoda zgjidhjeje ju lejojnë të kurseni kohë, gjë që është e rëndësishme kur zgjidhni detyra në OGE, të tjera ndihmojnë në zgjidhjen e një ekuacioni me koeficientë shumë të mëdhenj. Ne u përpoqëm të krahasonim metoda të ndryshme zgjidhjeje duke përpiluar një tabelë që pasqyronte të mirat dhe të këqijat e secilës metodë.

Ne kemi zhvilluar Fletushka. Ju mund të njiheni me bankën e detyrave për temën në Shtojcën 3.

Duke përdorur Microsoft Excel, kemi përpiluar fletëllogaritëse, i cili ju lejon të llogaritni automatikisht rrënjët e një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulat rrënjësore.

Ne zhvilluam një mësim mbi në mënyra të pazakonta zgjidhja e ekuacioneve kuadratike, për nxënësit e klasës së 9-të. Nxënësve u pëlqyen shumë metodat, ata vunë re se njohuritë e marra do të ishin të dobishme për ta arsimim të mëtejshëm. Rezultati i mësimit ishte puna e studentëve, në të cilat ata paraqitën opsione të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike (shih Shtojcën 4).

Materiali i punës mund të përdoret si nga ata që e duan matematikën ashtu edhe nga ata që duan të dinë më shumë për matematikën.

LITERATURA

Bradis V. M. “Tabelat matematikore katërshifrore për gjimnaz", M.: Bustard, 2000.

Vilenkin N.Ya. "Algjebra për klasën e 8-të", M.: Prosveshchenie, 2000.

Galitsky M.L. "Koleksioni i problemeve në algjebër", M.: Prosveshchenie 2002.

Glazer G. I. "Historia e matematikës në shkollë", M.: Prosveshchenie, 1982.

Zvavich L.I. "Klasa e 8-të e Algjebrës", M.: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. "Algjebra 8th klasë", M.: Prosveshchenie, 2015.

Pluzhnikov I. "10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike" // Matematika në shkollë. - 2000.- Nr.40.

Presman A.A. "Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik duke përdorur një busull dhe vizore" // M., Kvant, Nr. 4/72, f.34.

Savin A.P. " fjalor enciklopedik matematikan i ri"

M.: Pedagogji, 1989.

Burimet e internetit:

http://revolution.allbest.ru/

ANEKSI 1

“KOLLEKSIONI I BRADIS V.M.”

SHTOJCA 2

“ZGJIDHJA E EKUACIONIT ME TË GJITHA MËNYRAT”

Ekuacioni origjinal:4x 2 +3x -1 = 0.

1.Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik duke përdorur diskriminuesin D

4x 2 +3x -1 = 0

D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => ekuacioni ka dy rrënjë

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. Teorema e Vietës

4x 2 +3x -1 = 0, pjesëtojeni ekuacionin me 4 në mënyrë që të zvogëlohet

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. Metoda e grupimit

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0, produkt =0 kur njëri prej faktorëve =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Vetitë e koeficientëve

4x 2 +3x -1 = 0

Nëse a - b+c=0, atëherë = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Metoda e “hedhjes” së koeficientit kryesor

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3v - 4 = 0

Teorema e Vieta:

y 1 = -4

y 2 = 1

Le të ndajmë rrënjët e gjetura me koeficientin kryesor dhe të marrim rrënjët e ekuacionit tonë:

X 1 = -1

X 2 =

7. Një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një busull dhe vizore

4x 2 +3x -1 = 0

Le të përcaktojmë koordinatat e pikës qendrore të rrethit duke përdorur formulat:

X 1 = -1

X 2 =

8. Zgjidhje grafike

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 4x 2 dhe grafikun e funksionit

y = - 3x+1. Pasi të kemi caktuar abshisat e pikave të kryqëzimit, marrim përgjigjen:

X 1 = -1

9. Përdorimi i një nomogrami

4x 2 +3x -1 = 0, Ndani koeficientët e ekuacionit 1/4, marrim ekuacionin

X 2 +x -= 0.

Nomogrami jep një rrënjë pozitive = ,

dhe rrënjën negative e gjejmë duke zbritur rrënjën pozitive nga - p , ato.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Zgjidhje ekuacioni i dhënë në EXCEL

SHTOJCA 3

“MATERIALI DIDAKTIK PËR TEMA

“ZGJIDHJA E EKUACIONIT KUADRATE” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1,5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

SHTOJCA 4

"PUNËT E STUDENTËVE"

Zakonisht, ekuacionet shfaqen në probleme në të cilat duhet të gjeni një sasi të caktuar. Ekuacioni ju lejon të formuloni problemin në gjuhën e algjebrës. Pasi kemi zgjidhur ekuacionin, marrim vlerën e sasisë së dëshiruar, e cila quhet e panjohur. "Andrey ka disa rubla në portofolin e tij. Nëse e shumëzoni këtë numër me 2 dhe më pas zbrisni 5, merrni 10. Sa para ka Andrei? Le ta caktojmë shumën e panjohur të parave si x dhe të shkruajmë ekuacionin: 2x-5=10.

Për të folur për mënyra për të zgjidhur ekuacionet, së pari ju duhet të përcaktoni konceptet bazë dhe të njiheni me shënimet e pranuara përgjithësisht. Për tipe te ndryshme ekuacionet, ekzistojnë algoritme të ndryshme për zgjidhjen e tyre. Mënyra më e lehtë për të zgjidhur ekuacionet është e shkallës së parë me një të panjohur. Shumë njerëz e njohin formulën për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike nga shkolla. Teknikat matematikë e lartë do të ndihmojë në zgjidhjen e ekuacioneve më shumë rendit të lartë. Bashkësia e numrave mbi të cilët përcaktohet një ekuacion është i lidhur ngushtë me zgjidhjet e tij. Marrëdhënia midis ekuacioneve dhe grafikëve të funksioneve është gjithashtu interesante, pasi paraqitja grafike e ekuacioneve është një ndihmë e madhe në zgjidhjen e tyre.

Përshkrim. Një ekuacion është një barazi matematikore me një ose më shumë madhësi të panjohura, për shembull 2x+3y=0.

Shprehjet në të dy anët e shenjës së barabartë quhen anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit. Letrat Alfabeti latin tregohen të panjohurat. Edhe pse mund të ketë ndonjë numër të panjohurash, më poshtë do të flasim vetëm për ekuacione me një të panjohur, të cilën do ta shënojmë me x.

Ekuacioni i fuqisë- Kjo shkallë maksimale, në të cilën ngrihet e panjohura. Për shembull,
$3x^4+6x-1=0$ është një ekuacion i shkallës së katërt, $x-4x^2+6x=8$ është një ekuacion i shkallës së dytë.

Quhen numrat me të cilët shumëzohet e panjohura koeficientët. Në shembullin e mëparshëm, e panjohura për fuqinë e katërt ka një koeficient 3. Nëse, kur zëvendësohet x me këtë numër, plotësohet barazia e dhënë, atëherë thuhet se ky numër plotëson ekuacionin. Quhet zgjidhja e ekuacionit, ose rrënja e saj. Për shembull, 3 është rrënja, ose zgjidhja, e ekuacionit 2x+8=14, pasi 2*3+8=6+8=14.

Zgjidhja e ekuacioneve. Le të themi se duam të zgjidhim ekuacionin 2x+5=11.

Ju mund të zëvendësoni një vlerë x në të, për shembull x=2. Zëvendësoni x me 2 dhe merrni: 2*2+5=4+5=9.

Këtu ka diçka që nuk shkon sepse në anën e djathtë të ekuacionit duhet të kishim marrë 11. Le të provojmë x=3: 2*3+5=6+5=11.

Përgjigja është e saktë. Rezulton se nëse e panjohura merr vlerën 3, atëherë barazia është e kënaqur. Prandaj, ne kemi treguar se numri 3 është një zgjidhje e ekuacionit.

Metoda që kemi përdorur për të zgjidhur këtë ekuacion quhet metoda e përzgjedhjes. Është e qartë se është e papërshtatshme për t'u përdorur. Për më tepër, ajo nuk mund të quhet as një metodë. Për ta verifikuar këtë, thjesht përpiquni ta zbatoni atë në një ekuacion të formës $x^4-5x^2+16=2365$.

Metodat e zgjidhjes. Ekzistojnë të ashtuquajturat "rregulla të lojës" me të cilat do të jenë të dobishme për t'u njohur. Qëllimi ynë është të përcaktojmë vlerën e të panjohurës që plotëson ekuacionin. Prandaj, është e nevojshme të identifikohet e panjohura në një farë mënyre. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të transferohen termat e ekuacionit nga një pjesë në tjetrën. Rregulli i parë për zgjidhjen e ekuacioneve është...

1. Kur zhvendoset një anëtar i një ekuacioni nga një pjesë në tjetrën, shenja e tij ndryshon në të kundërtën: plus ndryshon në minus dhe anasjelltas. Merrni si shembull ekuacionin 2x+5=11. Le të lëvizim 5 nga ana e majtë në të djathtë: 2x=11-5. Ekuacioni do të bëhet 2x=6.

Le të kalojmë te rregulli i dytë.
2. Të dyja anët e ekuacionit mund të shumëzohen dhe pjesëtohen me një numër, jo e barabartë me zero. Le të zbatojmë këtë rregull në ekuacionin tonë: $x=\frac62=3$. Në anën e majtë të barazisë, mbetet vetëm e panjohura x, prandaj gjetëm vlerën e saj dhe zgjidhëm ekuacionin.

Ne sapo kemi parë problemin më të thjeshtë - ekuacion linear me një të panjohur. Ekuacionet e këtij lloji kanë gjithmonë një zgjidhje, për më tepër, ato gjithmonë mund të zgjidhen duke përdorur veprimet më të thjeshta: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Mjerisht, jo të gjitha ekuacionet janë kaq të thjeshta. Për më tepër, shkalla e kompleksitetit të tyre rritet shumë shpejt. Për shembull, ekuacionet e shkallës së dytë mund të zgjidhen lehtësisht nga çdo nxënës i shkollës së mesme, por metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare ose ekuacioneve të gradave më të larta studiohen vetëm në shkollën e mesme.

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Ne qofte se je i interesuar kjo pune, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Objektivat e mësimit:

Edukative:

• Përmblidhni njohuritë për të gjitha llojet e ekuacioneve, theksojnë rëndësinë e të gjitha metodave të përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve.
• Intensifikimi i punës së nxënësve nëpërmjet një sërë teknikash në mësim.
• Testoni aftësitë teorike dhe praktike në zgjidhjen e ekuacioneve.
• Përqendrohuni në faktin se një ekuacion mund të zgjidhet në disa mënyra

Edukative:

• Rritja e interesit të nxënësve për lëndën përmes përdorimit të TIK-ut.
• Njohja e nxënësve me materialin historik mbi temën.
• Zhvillimi aktiviteti mendor gjatë përcaktimit të llojit të ekuacionit dhe metodave për zgjidhjen e tij.

Edukative:

• Mbjell disiplinën në klasë.
• Zhvillimi i aftësisë për të perceptuar bukurinë tek vetja, tek një person tjetër dhe në botën përreth nesh.

Lloji i mësimit:

• Mësimi i përgjithësimit dhe sistematizimit të njohurive.

Lloji i mësimit:

• Të kombinuara.

Pajisjet materiale dhe teknike:

• Kompjuter
• Ekrani
• Projektor
• Disku me prezantimin e temës

Metodat dhe teknikat:

• Duke përdorur një prezantim
• Bisedë frontale
• Punë gojore
• Momentet e lojës
• Punë në çift
• Puna në bord
• Puna në fletore

Plani i mësimit:

1. Momenti organizativ (1 minuta)
2. Dekodimi i temës së mësimit (3 minuta)
3. Deklaratë e temës dhe qëllimit të mësimit (1 minutë)
4. Ngrohje teorike (3 minuta)
5. Ekskursion historik (3 minuta)
6. Lojë "Hiqni tepricën" (2 minuta)
7. Punë krijuese(2 minuta)
8. Detyra "Gjeni gabimin" (2 minuta)
9. Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra (në rrëshqitje) (3 minuta)
10. Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra (në tabelë) (24 minuta)
11. Punë e pavarur në dyshe e ndjekur nga shpjegimi (5 minuta)
12. Detyrë shtëpie individuale (1 minuta)
13. Reflektim përmbledhës i mësimit (1 minutë)

Epigrafi i mësimit:

"Ju mund të mësoni vetëm përmes argëtimit, për të tretur njohuritë, ju duhet ta përthithni atë me oreks."
A.Franca

Përmbledhja e mësimit

Pjesa organizative

Kontrolloj gatishmërinë e nxënësve për mësimin dhe shënoj ata që mungojnë në mësim. Djema, shkrimtari francez i shekullit të 19-të A. France vuri në dukje një herë: "Ju mund të mësoni vetëm përmes argëtimit për të tretur njohuritë, ju duhet ta përthithni atë me oreks". Pra, le të ndjekim këshillat e shkrimtarit në mësimin tonë dhe të tretim njohuritë me shumë oreks, sepse ato do të jenë të dobishme në jetën tonë.

Dekodimi i temës së mësimit

Për të kaluar në një detyrë më komplekse, le ta shtrijmë trurin tonë me detyra të thjeshta. Tema e mësimit tonë është e koduar duke zgjidhur detyrat me gojë dhe duke gjetur përgjigjen e tyre, duke ditur se çdo përgjigje ka shkronjën e saj, ne do të zbulojmë temën e mësimit. Sllajdi i prezantimit 3

Komunikimi i temës dhe qëllimit të mësimit

Ju vetë emërtuat temën e mësimit sot

"Llojet e ekuacioneve dhe metodat për zgjidhjen e tyre." Sllajdi i prezantimit 4

Qëllimi: Kujtoni dhe përgjithësoni të gjitha llojet e ekuacioneve dhe metodave për zgjidhjen e tyre. Zgjidh një ekuacion duke përdorur të gjitha metodat. Diapozitivi 5 i prezantimit Lexoni deklaratën e Ajnshtajnit Diapozitivi 5 i prezantimit

Ngrohje teorike

Diapozitivi 7 i prezantimit të pyetjeve

Përgjigjet

1. Barazia që përmban vlerë e ndryshueshme, i caktuar me ndonjë shkronjë.
2. Kjo do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij, ose të provosh se nuk ka rrënjë.
3. Vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni bëhet i vërtetë.
4. Pas këtij përkufizimi, lexoni një poezi për ekuacionin 12,13,14

Përgjigjet për 2 pyetjet e fundit Sllajdi i prezantimit 9,10,11

Ekskursion historik

Informacion historik rreth "Kush e shpiku ekuacionin dhe kur" rrëshqitja e prezantimit 15

Le të imagjinojmë se një nënë primitive e quajtur... megjithatë, ajo ndoshta nuk kishte as emër, zgjodhi 12 mollë nga një pemë për t'ia dhënë secilit prej 4 fëmijëve të saj. Ajo ndoshta nuk dinte të numëronte jo vetëm deri në 12, por as në katër, dhe sigurisht nuk dinte të ndante 12 me 4. Dhe ndoshta i ndante mollët kështu: fillimisht i dha secilit fëmijë një mollë, pastaj një mollë tjetër. , pastaj një tjetër vetëm dhe pastaj pashë që nuk kishte më mollë dhe fëmijët ishin të lumtur. Nëse i shkruajmë këto veprime në gjuhën moderne matematikore, marrim x4=12, domethënë nëna ime zgjidhi problemin e kompozimit të një ekuacioni. Me sa duket, është e pamundur t'i përgjigjemi pyetjes së shtruar më lart. Problemet që çojnë në zgjidhjen e ekuacioneve janë zgjidhur nga njerëzit që përdorin sensin e shëndoshë që nga koha kur u bënë njerëz. Edhe 3-4 mijë vjet para Krishtit, egjiptianët dhe babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet më të thjeshta, forma e të cilave dhe metodat e zgjidhjes nuk ishin të ngjashme me ato moderne. Grekët trashëguan njohuritë e egjiptianëve dhe vazhduan. Ju uroj fat Zhvillimi i doktrinës së ekuacioneve u arrit nga shkencëtari grek Diophantus (shekulli III), për të cilin ata shkruan:

Ai zgjidhi shumë probleme.
Ai parashikoi erëra dhe dushe.
Vërtet, dija e tij është e mrekullueshme.

Matematikani i Azisë Qendrore Muhamed al-Khorezmi (shek. IX) dha një kontribut të madh në zgjidhjen e ekuacioneve. Libri i tij i famshëm al-Khwarizmi i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve. Quhet "Kitab el-xhebr uel-mukabela", d.m.th. "Libri i plotësimit dhe kundërshtimit". Ky libër u bë i njohur për evropianët, dhe nga fjala "al-jabr" nga titulli i tij doli fjala "algjebër" - emri i një prej pjesëve kryesore të matematikës. Më pas, shumë matematikanë punuan në problemet e ekuacioneve. Rregulli i përgjithshëm zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në formën x2+in=0 u formuluan nga matematikani gjerman Stiefel, i cili jetoi në shekullin e 15-të. Pas veprave të matematikanit holandez Girard (shek. XVI), si dhe Dekartit dhe Njutonit, metoda e zgjidhjes mori një formë moderne. Formulat që shprehin varësinë e rrënjëve të një ekuacioni nga koeficientët e tij u prezantuan nga Vieth. Francois Viet jetoi në shekullin e 16-të. Ai dha një kontribut të madh në studimin e problemeve të ndryshme në matematikë dhe astronomi; në veçanti, ai prezantoi emërtimet e shkronjave për koeficientët e ekuacionit. Tani le të njihemi me një episod interesant nga jeta e tij. Viet fitoi famë të madhe nën Mbretin Henry III, gjatë Luftës Franko-Spanjolle. Inkuizitorët spanjollë shpikën një shkrim sekret shumë kompleks, falë të cilit spanjollët korrespondonin me armiqtë e tyre Henri III edhe në vetë Francën.

Më kot francezët u përpoqën të gjenin çelësin e kodit dhe më pas mbreti iu drejtua Vietas. Ata thonë se Viet e gjeti çelësin e kodit në dy javë punë të vazhdueshme, pas së cilës, papritur për Spanjën, Franca filloi të fitonte një betejë pas tjetrës. Të bindur se kodi nuk mund të deshifrohej, spanjollët akuzuan Vietin se kishte lidhje me djallin dhe e dënuan atë të digjej në dru. Për fat të mirë, ai nuk u ekstradua në Inkuizicionin dhe hyri në histori si një matematikan i madh.

Lojë "Hiqni tepricën"

Qëllimi i lojës orientimi në llojet e ekuacioneve.

Na janë dhënë tre kolona e ekuacioneve, në Për secilën prej tyre, ekuacionet përcaktohen sipas disa kritereve, por njëra prej tyre është e tepërt për ta gjetur dhe karakterizuar atë. Sllajdi i prezantimit 16

Punë krijuese

Qëllimi i kësaj detyre: Të dëgjuarit e të kuptuarit të të folurit matematikor, orientimi i fëmijëve në llojet e ekuacioneve.

Në ekran shihni 9 ekuacione. Secili ekuacion ka numrin e tij, unë do të emërtoj llojin e këtij ekuacioni, dhe ju duhet të gjeni një ekuacion të këtij lloji, dhe të vendosni vetëm numrin nën të cilin shfaqet, si rezultat do të merrni një numër 9-shifror Sllajdi i prezantimit 17

1. Ekuacioni kuadratik i reduktuar.
2. Ekuacioni racional thyesor
3. Ekuacioni kub
4. Ekuacioni logaritmik
5. Ekuacioni linear
6. Ekuacion kuadratik jo i plotë
7. Ekuacioni eksponencial
8. Ekuacion irracional
9. Ekuacioni trigonometrik

Detyra "Gjeni gabimin"

Një nxënës zgjidhi ekuacione, por e gjithë klasa qeshi, ai bëri një gabim në çdo ekuacion, detyra juaj është ta gjeni dhe ta korrigjoni. Sllajdi i prezantimit 18

Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra

Tani le të zgjidhim një ekuacion në të gjitha mënyrat e mundshme, për të kursyer kohë në klasë, një ekuacion në ekran. Tani do të emërtoni llojin e këtij ekuacioni dhe do të shpjegoni se çfarë metode është përdorur për të zgjidhur këtë ekuacion 19-27

Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra (në tabelë)

Ne shikuam shembullin dhe tani le të zgjidhim ekuacionin në tabelë në çdo mënyrë të mundshme.

X-2 - ekuacion irracional

Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Ne e zgjidhim këtë ekuacion në tabelë në 9 mënyra.

Punë e pavarur në dyshe e ndjekur nga shpjegimi në tabelë

Dhe tani ju do të punoni në çifte, unë jap një ekuacion në tryezën tuaj, detyra juaj është të përcaktoni llojin e ekuacionit, të listoni të gjitha mënyrat për të zgjidhur këtë ekuacion, të zgjidhni 1-2 në mënyrat më racionale për ju. (2 minuta)

Detyrat për të punuar në dyshe

Zgjidhe ekuacionin

Pas punë e pavarur në dyshe, një përfaqësues vjen në tabelë, paraqet ekuacionin e tij, zgjidh në një mënyrë

Detyrë shtëpie individuale(e diferencuar)

Zgjidhe ekuacionin

(përcaktoni llojin e ekuacionit, zgjidhni në të gjitha mënyrat në një fletë të veçantë)

Përmbledhja e mësimit të reflektimit.

Unë e përmbledh mësimin, tërheq vëmendjen për faktin se një ekuacion mund të zgjidhet në shumë mënyra, jap nota, nxjerr një përfundim se kush ishte aktiv dhe kush duhet të jetë më aktiv. Unë lexova deklaratën e Kalinin, rrëshqitja 28 e Prezantimit

Shikoni me kujdes qëllimet që kemi vendosur për mësimin e sotëm:

• Çfarë mendoni se kemi arritur të bëjmë?
• Çfarë nuk funksionoi aq mirë?
• Çfarë ju pëlqeu dhe kujtuat veçanërisht?
• Sot mësova diçka të re...
• Njohuritë e mia ishin të dobishme gjatë mësimit ...
• Ishte e vështirë për mua ...
• Më pëlqeu mësimi ...

Letërsia.

1. Dorofeev G.V. "Përmbledhja e detyrave për kryerjen e një provimi me shkrim në matematikë për një kurs të shkollës së mesme" - M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Puzzles matematikore dhe argëtim.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Materiale didaktike mbi algjebrën dhe fillimet e analizës për klasën e 10-të, klasën e 11-të. M.: Iluminizmi. 2002.

e di matematika shkollore, fëmija dëgjon për herë të parë termin "ekuacion". Çfarë është kjo, le të përpiqemi ta kuptojmë së bashku. Në këtë artikull do të shqyrtojmë llojet dhe metodat e zgjidhjes.

Matematika. Ekuacionet

Për të filluar, ju sugjerojmë të kuptoni vetë konceptin, çfarë është? Siç thonë shumë tekste të matematikës, një ekuacion janë disa shprehje midis të cilave duhet të ketë një shenjë të barabartë. Këto shprehje përmbajnë shkronja, të ashtuquajturat variabla, vlera e të cilave duhet gjetur.

Ky është një atribut i sistemit që ndryshon vlerën e tij. Një shembull i qartë variablat janë:

• temperatura e ajrit;
• lartësia e fëmijës;
• peshë dhe kështu me radhë.

Në matematikë ato shënohen me shkronja, për shembull, x, a, b, c... Zakonisht një detyrë matematikore shkon kështu: gjeni vlerën e ekuacionit. Kjo do të thotë se është e nevojshme të gjendet vlera e këtyre variablave.

Varietetet

Ekuacioni (ne diskutuam se çfarë është në paragrafin e mëparshëm) mund të jetë i formës së mëposhtme:

• lineare;
• katror;
• kub;
• algjebrike;
• transcendentale.

Për më shumë njohje e detajuar me të gjitha llojet, le të shqyrtojmë secilën veç e veç.

Ekuacioni linear

Kjo është specia e parë me të cilën njihen nxënësit e shkollës. Ato zgjidhen mjaft shpejt dhe thjesht. Pra, çfarë është një ekuacion linear? Kjo është një shprehje e formës: ah=c. Nuk është veçanërisht e qartë, prandaj le të japim disa shembuj: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

Le të shohim shembuj të ekuacioneve. Për ta bërë këtë, ne duhet të mbledhim të gjitha të dhënat e njohura nga njëra anë dhe të panjohurat nga ana tjetër: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Përdoret këtu rregullat bazë matematika: a*c=e, nga kjo c=e/a; a=e/c. Për të përfunduar zgjidhjen e ekuacionit, kryejmë një veprim (në rastin tonë, pjesëtimi) x = 13; x=8; x=5. Këta ishin shembuj të shumëzimit, tani le të shohim zbritjen dhe mbledhjen: x+3=9; 10x-5=15. Të dhënat e njohura i transferojmë në një drejtim: x=9-3; x=20/10. Kryeni veprimin e fundit: x=6; x=2.

Janë të mundshme edhe variantet e ekuacioneve lineare, ku përdoren më shumë se një ndryshore: 2x-2y=4. Për të zgjidhur, është e nevojshme të shtoni 2y në secilën pjesë, marrim 2x-2y + 2y = 4-2y, siç vumë re, nga ana e majte shenjat e barabarta -2y dhe +2y anulohen duke na lënë: 2x=4-2y. Hapi i fundit është të ndajmë secilën pjesë me dy, marrim përgjigjen: x është e barabartë me dy minus y.

Problemet me ekuacionet gjenden edhe në papiruset e Ahmes. Këtu është një nga problemet: një numër dhe pjesa e katërt e tij mblidhen deri në 15. Për ta zgjidhur atë, shkruajmë ekuacioni i mëposhtëm: X plus një e katërta X është e barabartë me pesëmbëdhjetë. Shohim një shembull tjetër bazuar në rezultatin e zgjidhjes, marrim përgjigjen: x=12. Por ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, domethënë egjiptiane ose, siç quhet ndryshe, metoda e supozimit. Përdoret në papirus zgjidhje tjetër: merr katër dhe pjesën e katërt të saj, pra një. Në total ata japin pesë, tani pesëmbëdhjetë duhet të ndahen me shumën, marrim tre, hapi i fundit është të shumëzojmë tre me katër. Marrim përgjigjen: 12. Pse në zgjidhje pjesëtojmë pesëmbëdhjetë me pesë? Pra, ne zbulojmë sa herë pesëmbëdhjetë, domethënë, rezultati që duhet të marrim është më pak se pesë. Problemet u zgjidhën në këtë mënyrë në mesjetë, ajo u bë e njohur si metoda e pozicionit të rremë.

Ekuacionet kuadratike

Përveç shembujve të diskutuar më parë, ka edhe të tjerë. cilat saktësisht? Ekuacioni kuadratik, çfarë është ai? Ato duken si sëpatë 2 +bx+c=0. Për t'i zgjidhur ato, duhet të njiheni me disa koncepte dhe rregulla.

Së pari, duhet të gjeni diskriminuesin duke përdorur formulën: b 2 -4ac. Ekzistojnë tre rezultate të mundshme të vendimit:

• diskriminuese Mbi zero;
• më pak se zero;
• e barabartë me zero.

Në opsionin e parë përgjigjen mund ta marrim nga dy rrënjë, të cilat gjenden sipas formulës: -b+-rrënja e diskriminuesit pjesëtuar me dyfishin e koeficientit të parë, pra 2a.

Në rastin e dytë, ekuacioni nuk ka rrënjë. Në rastin e tretë, rrënja gjendet duke përdorur formulën: -b/2a.

Le të shohim një shembull të një ekuacioni kuadratik për një hyrje më të detajuar: tre x në katror minus katërmbëdhjetë x minus pesë janë të barabarta zero. Për të filluar, siç u shkrua më herët, ne po kërkojmë një diskriminues, në rastin tonë është i barabartë me 256. Vini re se numri që rezulton është më i madh se zero, prandaj, duhet të marrim një përgjigje të përbërë nga dy rrënjë. Ne e zëvendësojmë diskriminuesin që rezulton në formulën për gjetjen e rrënjëve. Si rezultat, kemi: x është e barabartë me pesë dhe minus një të tretën.

Raste të veçanta në ekuacionet kuadratike

Këta janë shembuj në të cilët disa vlera janë zero (a, b ose c), dhe ndoshta më shumë se një.

Për shembull, le të marrim ekuacionin e mëposhtëm, i cili është një kuadratik: dy x në katror janë zero, këtu shohim se b dhe c janë të barabarta me zero. Le të përpiqemi ta zgjidhim, për ta bërë këtë pjesëtojmë të dyja anët e ekuacionit me dy, kemi: x 2 =0. Si rezultat, marrim x=0.

Një rast tjetër është 16x 2 -9=0. Këtu vetëm b=0. Le të zgjidhim ekuacionin, transferojmë koeficientin e lirë në anën e djathtë: 16x 2 = 9, tani e ndajmë secilën pjesë me gjashtëmbëdhjetë: x 2 = nëntë të gjashtëmbëdhjetët. Meqenëse kemi x në katror, ​​rrënja e 9/16 mund të jetë ose negative ose pozitive. Përgjigjen e shkruajmë si më poshtë: x është plus/minus tre të katërtat.

Një përgjigje tjetër e mundshme është se ekuacioni nuk ka rrënjë fare. Le të shohim këtë shembull: 5x 2 +80=0, këtu b=0. Për të zgjidhur, hidhni anëtarin e lirë në anën e djathtë, pas këtyre veprimeve marrim: 5x 2 = -80, tani çdo pjesë e ndajmë me pesë: x 2 = minus gjashtëmbëdhjetë. Nëse ndonjë numër është në katror, ​​atëherë kuptim negativ nuk do ta marrim. Prandaj, përgjigja jonë është: ekuacioni nuk ka rrënjë.

Zgjerimi trinomial

Një detyrë mbi ekuacionet kuadratike mund të tingëllojë gjithashtu si kjo: zgjero trinom kuadratik nga shumëzuesit. Kjo mund të bëhet duke përdorur formulën e mëposhtme: a(x-x 1)(x-x 2). Për ta bërë këtë, si në versionin tjetër të detyrës, është e nevojshme të gjesh një diskriminues.

Le të shqyrtojmë shembulli tjetër: 3x 2 -14x-5, faktoro trinomin. Ne e gjejmë diskriminuesin duke përdorur një formulë tashmë të njohur për ne, rezulton të jetë e barabartë me 256. Vërejmë menjëherë se 256 është më e madhe se zero, prandaj, ekuacioni do të ketë dy rrënjë. I gjejmë, si në paragrafin e mëparshëm, kemi: x = pesë dhe minus një të tretën. Le të përdorim formulën për faktorizimin e trinomit: 3(x-5)(x+1/3). Në kllapin e dytë kemi marrë një shenjë të barabartë, sepse formula përmban një shenjë minus, dhe rrënja është gjithashtu negative, duke përdorur njohuritë bazë të matematikës, në shumë kemi një shenjë plus. Për ta thjeshtuar, le të shumëzojmë termat e parë dhe të tretë të ekuacionit për të hequr qafe thyesën: (x-5) (x+1).

Ekuacione reduktuese në kuadratike

Në këtë pikë do të mësojmë se si të zgjidhim më shumë ekuacionet komplekse. Le të fillojmë menjëherë me një shembull:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Mund të vërejmë elemente përsëritëse: (x 2 - 2x), për ta zgjidhur është e përshtatshme për ne që ta zëvendësojmë me një variabël tjetër, dhe më pas zgjidhni menjëherë ekuacionin e zakonshëm kuadratik Vëmë re se në një detyrë të tillë do të marrim katër rrënjë, kjo nuk duhet t'ju trembë. Shënojmë përsëritjen e ndryshores a. Marrim: a 2 -2a-3=0. Hapi ynë tjetër është të gjejmë diskriminuesin e ekuacionit të ri. Marrim 16, gjejmë dy rrënjë: minus një dhe tre. Kujtojmë që kemi bërë zëvendësimin, zëvendësojmë këto vlera, si rezultat kemi ekuacionet: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. I zgjidhim në përgjigjen e parë: x e barabartë me një, në të dytën: x është e barabartë me minus një dhe tre. Përgjigjen e shkruajmë si më poshtë: plus/minus një dhe tre. Si rregull, përgjigja shkruhet në rend rritës.

Ekuacionet kubike

Le të shohim edhe një variant i mundshëm. Do të flasim për ekuacionet kubike. Ato duken si: sëpatë 3 + b x 2 + cx + d =0. Ne do të shohim shembuj të ekuacioneve më poshtë, por së pari, një teori të vogël. Ato mund të kenë tre rrënjë, dhe ekziston gjithashtu një formulë për gjetjen e diskriminuesit për një ekuacion kub.

Le të shohim një shembull: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Si ta zgjidhim atë? Për ta bërë këtë, thjesht vendosim x jashtë kllapave: x(3x 2 +4x+2)=0. Gjithçka që duhet të bëjmë është të llogarisim rrënjët e ekuacionit në kllapa. Diskriminuesi i ekuacionit kuadratik në kllapa është më i vogël se zero, në bazë të kësaj shprehja ka rrënjë: x=0.

Algjebër. Ekuacionet

Le të kalojmë në pamjen tjetër. Tani do të shohim shkurtimisht ekuacionet algjebrike. Një nga detyrat është si më poshtë: faktori 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Më së shumti në një mënyrë të përshtatshme do të ketë grupimin e mëposhtëm: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Vini re se ne kemi përfaqësuar 8x 2 nga shprehja e parë si shumën e 3x 2 dhe 5x 2. Tani nxjerrim nga çdo kllapa shumëzues i përbashkët 3x 2 (x2+1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Shohim që kemi një faktor të përbashkët: x në katror plus një, e nxjerrim nga kllapa: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Zgjerimi i mëtejshëm nuk është i mundur pasi të dy ekuacionet kanë një diskriminues negativ.

Ekuacionet transcendentale

Ne ju sugjerojmë të merreni me llojin e mëposhtëm. Këto janë ekuacione që përmbajnë funksione transcendentale, përkatësisht logaritmike, trigonometrike ose eksponenciale. Shembuj: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 e kështu me radhë. Si zgjidhen ato do të mësoni në kursin e trigonometrisë.

Funksioni

Hapi i fundit është shqyrtimi i konceptit të një ekuacioni të një funksioni. Ndryshe nga opsionet e mëparshme, ky lloj nuk zgjidhet, por në bazë të tij ndërtohet një orar. Për ta bërë këtë, ia vlen të analizoni mirë ekuacionin, duke gjetur gjithçka pikat e nevojshme për të ndërtuar, llogaritur pikët minimale dhe maksimale.

Ministria e Përgjithshme dhe Arsimi profesional RF

Institucion arsimor komunal

Gjimnazi nr 12

përbërjen

me temë: Ekuacionet dhe metodat për zgjidhjen e tyre

Plotësuar nga: nxënësi i klasës 10 "A"

Krutko Evgeniy

Kontrolluar nga: mësuesja e matematikës Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Plani ..................................................... ................................................ .......................................... 1

Prezantimi................................................. .......................................................... .......................................... 2

Pjesa kryesore................................................ ................................................ ................... 3

konkluzioni................................................ ................................................ ................... 25

Aplikacion................................................. ................................................ ...... ................ 26

Lista e literaturës së përdorur................................................ .......................................... 29

Planifikoni.

Prezantimi.

Referencë historike.

Ekuacionet. Ekuacionet algjebrike.

a) Përkufizimet bazë.

b) Ekuacioni linear dhe metoda për zgjidhjen e tij.

c) Ekuacionet kuadratike dhe metodat për zgjidhjen e tyre.

d) Ekuacionet binomiale dhe mënyra e zgjidhjes së tyre.

d) Ekuacionet kubike dhe mënyrat për ta zgjidhur atë.

e) Ekuacioni bikuadratik dhe një mënyrë për ta zgjidhur atë.

g) Ekuacionet e shkallës së katërt dhe metodat e zgjidhjes së tyre.

g) Ekuacionet shkallë të lartë dhe metodat nga zgjidhja.

h) Racionale ekuacioni algjebrik dhe si është

Dhe) Ekuacionet irracionale dhe mënyrat për ta zgjidhur atë.

j) Ekuacionet që përmbajnë një të panjohur nën një shenjë.

vlera absolute dhe metoda për zgjidhjen e saj.

Ekuacionet transcendentale.

A) Ekuacionet eksponenciale dhe një mënyrë për t'i zgjidhur ato.

b) Ekuacionet logaritmike dhe një mënyrë për t'i zgjidhur ato.

Prezantimi

Arsimi në matematikë i marrë në shkolla e mesme, eshte komponent thelbësor arsimi i përgjithshëm Dhe kulturën e përgjithshme njeriu modern. Pothuajse gjithçka që rrethon njeriun modern është e gjitha e lidhur disi me matematikën. A arritjet e fundit në fizikë, teknologji dhe teknologjia e informacionit mos lini asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve që duhet të mësoni se si t'i zgjidhni.

Kjo punë është një përpjekje për të përmbledhur dhe sistemuar materialin e studiuar në temën e mësipërme. Materialin e kam renditur sipas vështirësisë, duke filluar nga më të thjeshtat. Ai përfshin të dy llojet e ekuacioneve të njohura për ne nga kursi i algjebrës shkollore, dhe material shtesë. Në të njëjtën kohë, u përpoqa të tregoja llojet e ekuacioneve që nuk studiohen në kursin e shkollës, por njohuria e të cilave mund të jetë e nevojshme kur hyni në arsimin e lartë. institucion arsimor. Në punën time, kur zgjidhja ekuacionet, nuk u kufizova vetëm në zgjidhje e vlefshme, por tregohet edhe kompleks, sepse mendoj se përndryshe ekuacioni është thjesht i pazgjidhur. Në fund të fundit, nëse një ekuacion nuk ka rrënjë reale, kjo nuk do të thotë se nuk ka zgjidhje. Fatkeqësisht, për mungesë kohe nuk arrita të prezantoj të gjithë materialin që kam, por edhe me materialin e paraqitur këtu mund të lindin shumë pikëpyetje. Shpresoj që njohuritë e mia të jenë të mjaftueshme për t'iu përgjigjur shumicës së pyetjeve. Pra, filloj të prezantoj materialin.

Matematika... zbulon rendin,

simetri dhe siguri,

dhe këto janë llojet më të rëndësishme të bukurisë.

Aristoteli.

Referencë historike

Në ato kohë të largëta, kur të urtët filluan të mendonin për barazitë që përmbanin sasi të panjohura, ndoshta nuk kishte monedha apo portofol. Por kishte grumbuj, si dhe tenxhere dhe shporta, të cilat ishin perfekte për rolin e ruajtjes që mund të mbanin një numër të panjohur artikujsh. “Kërkojmë një grumbull që së bashku me dy të tretat, një gjysmë e një të shtatën të bëjnë 37...”, mësonte shkruesi egjiptian Ahmes në mijëvjeçarin II para Krishtit. Në të lashtët problemet matematikore Mesopotamia, India, Kina, Greqia, sasi të panjohura shprehnin numrin e pallonjve në kopsht, numrin e demave në tufë, tërësinë e gjërave që merren parasysh gjatë ndarjes së pasurisë. Shkrimtarë, zyrtarë dhe inicues të trajnuar mirë në shkencën e llogarive njohuri sekrete Priftërinjtë u përballën me mjaft sukses me detyra të tilla.

Burimet që kanë arritur tek ne tregojnë se shkencëtarët e lashtë zotëronin disa teknikat e përgjithshme zgjidhjen e problemeve me sasi të panjohura. Megjithatë, asnjë papirus i vetëm, asnjë i vetëm tabletë balte nuk jepet asnjë përshkrim i këtyre teknikave. Autorët vetëm herë pas here i kanë dhënë llogaritjet e tyre numerike me komente të dobëta si: "Shiko!", "Bëje këtë!", "E gjete të duhurin". Në këtë kuptim, përjashtim është "Aritmetika" nga matematikani grek Diophantus i Aleksandrisë (shekulli III) - një koleksion problemesh për kompozimin e ekuacioneve me një paraqitje sistematike të zgjidhjeve të tyre.

Sidoqoftë, doracaku i parë për zgjidhjen e problemeve që u bë i njohur gjerësisht ishte puna e shkencëtarit të Bagdadit të shekullit të 9-të. Muhamed bin Musa el-Kuarizmi. Fjala "al-xhabr" nga emri arab i këtij traktati - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Libri i restaurimit dhe kundërshtimit") - me kalimin e kohës u shndërrua në fjalën e njohur "algjebër", dhe al- Vetë puna e Kuarizmit shërbeu si pikënisje në zhvillimin e shkencës së zgjidhjes së ekuacioneve.

ekuacionet Ekuacionet algjebrike

Përkufizimet bazë

Në algjebër konsiderohen dy lloje barazish - identitetet dhe ekuacionet.

Identitetiështë një barazi që vlen për të gjitha vlerat (të pranueshme) të shkronjave të përfshira në të). Për të regjistruar një identitet së bashku me një shenjë

Ekuacioniështë një barazi që vlen vetëm për disa vlera të shkronjave të përfshira në të. Shkronjat e përfshira në ekuacion, sipas kushteve të problemit, mund të jenë të pabarabarta: disa mund të pranojnë të gjitha vlerat e vlefshme(ato quhen parametrave ose koeficientët ekuacionet dhe zakonisht shënohen me shkronjat e para të alfabetit latin:

NË pamje e përgjithshme ekuacioni mund të shkruhet kështu:

Në varësi të numrit ekuacion i panjohur quhet ekuacion me të panjohura një, dy etj.