Varësia e amplitudës së lëkundjeve të amortizuara nga koha. Lëkundjet harmonike – Hipermarketi i njohurive

1.21. 3 LËKUNDËRIME TË NDRYSHME, TË DETYRUARA

Ekuacioni diferencial i lëkundjeve të amortizuara dhe zgjidhja e tij. Koeficienti i zbutjes. Kuvertë logaritmikekoha e kalbjes.Faktori i cilësisë së lëkundjessistemi i trupit.Procesi periodik. Ekuacioni diferencial i lëkundjeve të detyruara dhe zgjidhja e tij.Amplituda dhe faza e lëkundjeve të detyruara. Procesi i vendosjes së lëkundjeve. Rasti i rezonancës.Vetë-lëkundjet.

Zbutja e lëkundjeve është një rënie graduale e amplitudës së lëkundjeve me kalimin e kohës, për shkak të humbjes së energjisë nga sistemi oscilues.

Lëkundjet natyrore pa amortizimin janë një idealizim. Arsyet e dobësimit mund të jenë të ndryshme. Në një sistem mekanik, dridhjet zbuten nga prania e fërkimit. Kur konsumohet e gjithë energjia e ruajtur në sistemin oscilues, lëkundjet do të ndalen. Prandaj amplituda lëkundjet e amortizuara zvogëlohet derisa të bëhet e barabartë me zero.

Lëkundjet e amortizuara, si të tyret, në sistemet që janë të ndryshme në natyrë, mund të konsiderohen nga një këndvështrim i vetëm - karakteristika të përbashkëta. Megjithatë, karakteristika të tilla si amplituda dhe periudha kërkojnë ripërcaktim, dhe të tjera kërkojnë shtim dhe sqarim në krahasim me të njëjtat karakteristika për lëkundjet natyrore të pamposhtura. Shenjat e përgjithshme dhe konceptet e lëkundjeve të amortizuara janë si më poshtë:

Ekuacioni diferencial duhet të merret duke marrë parasysh uljen gjatë procesit të lëkundjes energji vibruese.

Ekuacioni i lëkundjes është një zgjidhje për një ekuacion diferencial.

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara varet nga koha.

Frekuenca dhe periudha varen nga shkalla e zbutjes së lëkundjeve.

Faza dhe faza fillestare kanë të njëjtin kuptim si për lëkundjet e vazhdueshme.

Lëkundjet e amortizuara mekanike.

Sistemi mekanik : lavjerrës susta duke marrë parasysh forcat e fërkimit.

Forcat që veprojnë në një lavjerrës :

Forca elastike., ku k është koeficienti i ngurtësisë së sustës, x është zhvendosja e lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit.

Forca e rezistencës. Merrni parasysh forcën e rezistencës, proporcionale me shpejtësinë v lëvizje (kjo varësi është tipike për një klasë të madhe të forcave të rezistencës): . Shenja minus tregon se drejtimi i forcës së rezistencës është i kundërt me drejtimin e shpejtësisë së trupit. Koeficienti i rezistencës r numerikisht e barabartë me forcën rezistenca që lind me një njësi shpejtësie të lëvizjes së trupit:

Ligji i lëvizjes lavjerrësi pranveror - ky është ligji i dytë i Njutonit:

m a = F psh. + F rezistencës

Duke marrë parasysh që të dyja , ne shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit në formën:

. (21.1)

Duke i pjesëtuar të gjithë termat e ekuacionit me m dhe duke i lëvizur të gjithë në anën e djathtë, marrim ekuacioni diferencial lëkundjet e amortizuara:

Le të tregojmë se ku β – koeficienti i dobësimit , , Ku ω 0 – frekuenca e lëkundjeve të lira të pamposhtura në mungesë të humbjeve të energjisë në sistemin oscilues.

Në shënime të reja ekuacioni diferencial Lëkundjet e amortizuara kanë formën:

. (21.2)

Ky është një ekuacion diferencial linear i rendit të dytë.

Ky ekuacion diferencial linear zgjidhet duke ndryshuar variablat. Le të paraqesim funksionin x, në varësi të kohës t, në formën:

.

Le të gjejmë derivatin e parë dhe të dytë të këtij funksioni në funksion të kohës, duke marrë parasysh se funksioni z është gjithashtu funksion i kohës:

, .

Le t'i zëvendësojmë shprehjet në ekuacionin diferencial:

Le të paraqesim terma të ngjashëm në ekuacion dhe të zvogëlojmë çdo term me , marrim ekuacionin:

.

Le të shënojmë sasinë .

Zgjidhja e ekuacionit janë funksionet , .

Duke u kthyer te ndryshorja x, marrim formulat për ekuacionet e lëkundjeve të amortizuara:

Kështu , ekuacioni i lëkundjeve të amortizuaraështë një zgjidhje për ekuacionin diferencial (21.2):

Frekuenca e amortizuar :

(vetëm rrënja e vërtetë ka kuptim fizik, pra ).

Periudha e lëkundjeve të amortizuara :

(21.5)

Kuptimi që u fut në konceptin e një periudhe për lëkundjet e pamposhtura nuk është i përshtatshëm për lëkundjet e amortizuara, pasi sistemi oscilues nuk kthehet kurrë në gjendjen e tij origjinale për shkak të humbjeve të energjisë lëkundëse. Në prani të fërkimit, dridhjet janë më të ngadalta: .

Periudha e lëkundjeve të amortizuara është periudha minimale kohore gjatë së cilës sistemi kalon pozicionin e ekuilibrit dy herë në një drejtim.

Për sistemin mekanik lavjerrësi pranveror ne kemi:

, .

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara :

Për një lavjerrës pranveror.

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara nuk është një vlerë konstante, por ndryshon me kalimin e kohës, aq më shpejt koeficient më të lartëβ. Prandaj, përkufizimi për amplituda, i dhënë më herët për lëkundjet e lira të pamposhtura, duhet të ndryshohet për lëkundjet e amortizuara.

Për zbutje të vogla amplituda e lëkundjeve të amortizuara quhet devijimi më i madh nga pozicioni i ekuilibrit gjatë një periudhe.

Grafikët Diplomat e zhvendosjes kundrejt kohës dhe amplitudës kundrejt kohës janë paraqitur në figurat 21.1 dhe 21.2.

Figura 21.1 – Varësia e zhvendosjes nga koha për lëkundjet e amortizuara.

Figura 21.2 – Varësia e amplitudës nga koha për lëkundjet e amortizuara

Karakteristikat e lëkundjeve të amortizuara.

1. Koeficienti i zbutjes β .

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara ndryshon sipas një ligji eksponencial:

Le të ulet amplituda e lëkundjes me "e" herë gjatë kohës τ ("e" është baza e logaritmit natyror, e ≈ 2,718). Pastaj, nga njëra anë, , dhe nga ana tjetër, duke përshkruar amplituda A zat. (t) dhe Një zat. (t+τ), kemi . Nga këto marrëdhënie rrjedh βτ = 1, pra .

Kalimi i kohës τ , gjatë së cilës amplituda zvogëlohet me herë "e", quhet koha e relaksimit.

Koeficienti i zbutjes β – një sasi në përpjesëtim të zhdrejtë me kohën e relaksimit.

2. Zvogëlimi i amortizimit logaritmik δ - sasi fizike, numerikisht e barabartë logaritmi natyror raporti i dy amplitudave të njëpasnjëshme të ndara në kohë nga një periudhë.

Nëse zbutja është e vogël, d.m.th. vlera e β është e vogël, atëherë amplituda ndryshon pak gjatë periudhës, dhe zvogëlimi logaritmik mund të përcaktohet si më poshtë:

,

ku është A zat. (t) dhe Një zat. (t+NT) – amplituda e lëkundjeve në kohën e dhe pas periudhave N, pra në kohën (t + NT).

3. Faktori i cilësisë P sistemi oscilues – një sasi fizike pa dimensione e barabartë me produktin e sasisë (2π) ν dhe raportin e energjisë W(t) të sistemit në një moment kohor arbitrar me humbjen e energjisë gjatë një periudhe të lëkundjeve të amortizuara:

.

Meqenëse energjia është proporcionale me katrorin e amplitudës, atëherë

Për vlera të vogla të zvogëlimit logaritmik δ, faktori i cilësisë së sistemit oscilues është i barabartë me

,

ku N e është numri i lëkundjeve gjatë të cilave amplituda zvogëlohet me "e" herë.

Kështu, faktori i cilësisë së një lavjerrës susta është sa më i lartë të jetë faktori i cilësisë së sistemit oscilues, aq më pak dobësim, aq më gjatë do të zgjasë procesi periodik në një sistem të tillë. Faktori i cilësisë së sistemit oscilues - një sasi pa dimension që karakterizon shpërndarjen e energjisë me kalimin e kohës.

4. Me rritjen e koeficientit β zvogëlohet frekuenca e lëkundjeve të amortizuara dhe rritet periudha. Në ω 0 = β, frekuenca e lëkundjeve të amortizuara bëhet e barabartë me zero ω zat. = 0, dhe T zat. = ∞. Në këtë rast, lëkundjet humbasin karakterin e tyre periodik dhe quhen

periodike. Në ω 0 = β, parametrat e sistemit përgjegjës për uljen e energjisë vibruese marrin vlerat e quajtura . kritike Për një lavjerrës sustë, kushti ω 0 = β do të shkruhet si më poshtë: nga ku gjejmë sasinë

.

Oriz. 21.3. Varësia e amplitudës së lëkundjeve aperiodike nga koha

Dridhjet e detyruara.

Të gjitha lëkundjet reale janë amortizuar. Në mënyrë që lëkundjet reale të ndodhin mjaft gjatë, është e nevojshme që periodikisht të rimbushni energjinë e sistemit oscilues duke vepruar mbi të me një forcë të jashtme që ndryshon periodikisht.

Le të shqyrtojmë dukurinë e lëkundjeve nëse e jashtme (duke detyruar) forca ndryshon me kalimin e kohës ligji harmonik. Në këtë rast, luhatjet do të shfaqen në sisteme, natyra e të cilave, në një shkallë ose në një tjetër, do të përsërisë natyrën e forcës lëvizëse. Lëkundje të tilla quhen i detyruar .

Shenjat e përgjithshme të dridhjeve të detyruara mekanike.

1. Le të shqyrtojmë lëkundjet mekanike të detyruara të një lavjerrës sustë, mbi të cilin vepron një i jashtëm (duke detyruar ) forcë periodike . Forcat që veprojnë në lavjerrës, pasi të hiqen nga pozicioni i tij ekuilibër, zhvillohen në vetë sistemin oshilator. Këto janë forca elastike dhe forca e rezistencës.

Ligji i lëvizjes (Ligji i dytë i Njutonit) do të shkruhet si më poshtë:

(21.6)

Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me m, ta marrim parasysh atë dhe të marrim ekuacioni diferencial lëkundjet e detyruara:

Le të shënojmë ( β – koeficienti i dobësimit ), (ω 0 – frekuenca e lëkundjeve të lira të pamposhtura), forca që vepron në një njësi të masës. Në këto shënime ekuacioni diferencial Lëkundjet e detyruara do të marrin formën:

(21.7)

Ky është një ekuacion diferencial i rendit të dytë me anën e djathtë jozero. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë është shuma e dy zgjidhjeve

.

– zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial homogjen, d.m.th. ekuacioni diferencial pa anën e djathtë kur është e barabartë me zero. Ne e dimë një zgjidhje të tillë - ky është ekuacioni i lëkundjeve të amortizuara, i shkruar në një saktësi të një konstante, vlera e së cilës përcaktohet nga kushtet fillestare të sistemit oscilues:

Ku .

Ne diskutuam më herët se zgjidhja mund të shkruhet në termat e funksioneve sinus.

Nëse marrim parasysh procesin e lëkundjes së lavjerrësit pas një periudhe mjaft të madhe kohore Δt pas ndezjes së forcës lëvizëse (Figura 21.2), atëherë lëkundjet e amortizuara në sistem praktikisht do të ndalen. Dhe më pas zgjidhja e ekuacionit diferencial me anën e djathtë do të ketë një zgjidhje.

Zgjidhja është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit diferencial johomogjen, d.m.th. ekuacionet me anën e djathtë. Nga teoria e ekuacioneve diferenciale dihet se me ndryshimin e krahut të djathtë sipas një ligji harmonik, zgjidhja do të jetë një funksion harmonik (sin ose cos) me një frekuencë ndryshimi që korrespondon me frekuencën Ω të ndryshimit të së djathtës. - ana e dorës:

ku Një ampl. – amplituda e lëkundjeve të detyruara, φ 0 – zhvendosja e fazës , ato. diferenca fazore ndërmjet fazës së forcës lëvizëse dhe fazës së lëkundjes së detyruar. Dhe amplituda A ampl. , dhe zhvendosja fazore φ 0 varet nga parametrat e sistemit (β, ω 0) dhe nga frekuenca e forcës lëvizëse Ω.

Periudha e lëkundjeve të detyruara barazohet (21.9)

Grafiku i dridhjeve të detyruara në figurën 4.1.

Fig.21.3. Grafiku i lëkundjeve të detyruara

Lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme janë gjithashtu harmonike.

Varësia e amplitudës së lëkundjeve të detyruara dhe zhvendosja e fazës nga frekuenca e ndikimit të jashtëm. Rezonanca.

1. Le të kthehemi te sistemi mekanik i një lavjerrës sustë, mbi të cilin vepron një forcë e jashtme që ndryshon sipas një ligji harmonik. Për një sistem të tillë, ekuacioni diferencial dhe zgjidhja e tij, përkatësisht, kanë formën:

, .

Le të analizojmë varësinë e amplitudës së lëkundjes dhe zhvendosjes së fazës nga frekuenca e forcës lëvizëse të jashtme për ta bërë këtë, ne do të gjejmë derivatet e parë dhe të dytë të x dhe do t'i zëvendësojmë ato në ekuacionin diferencial.

Le të përdorim metodën e diagramit vektor. Ekuacioni tregon se shuma e tre dridhjeve në anën e majtë të ekuacionit (Figura 4.1) duhet të jetë e barabartë me dridhjen në anën e djathtë. Diagrami vektorial është bërë për një moment arbitrar të kohës t. Nga ajo mund të përcaktoni.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Duke marrë parasysh vlerën e , , marrim formula për φ 0 dhe A ampl. sistemi mekanik:

,

.

2. Studiojmë varësinë e amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës lëvizëse dhe madhësia e forcës së rezistencës në një sistem mekanik lëkundës, duke përdorur këto të dhëna ndërtojmë një grafik. . Rezultatet e studimit janë pasqyruar në figurën 21.5, e cila tregon se në një frekuencë të caktuar të forcës lëvizëse amplituda e lëkundjeve rritet ndjeshëm. Dhe kjo rritje është më e madhe, aq më i ulët është koeficienti i dobësimit β. Kur amplituda e lëkundjeve bëhet pafundësisht e madhe.

Fenomeni i një rritje të mprehtë të amplitudës lëkundjet e detyruara me një frekuencë të forcës lëvizëse të barabartë me , quhet rezonancë.

(21.12)

Lakoret në figurën 21.5 pasqyrojnë marrëdhënien dhe quhen lakoret e rezonancës së amplitudës .

Figura 21.5 – Grafikët e varësisë së amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës lëvizëse.

Amplituda e lëkundjeve rezonante do të marrë formën:

Dridhjet e detyruara janë i pamposhtur luhatjet. Humbjet e pashmangshme të energjisë për shkak të fërkimit kompensohen nga furnizimi me energji nga burim i jashtëm forcë që vepron në mënyrë periodike. Ka sisteme në të cilat lëkundjet e pamposhtura lindin jo për shkak të ndikimeve periodike të jashtme, por si rezultat i aftësisë së sistemeve të tilla për të rregulluar furnizimin me energji nga një burim konstant. Sisteme të tilla quhen vetëlëkundëse, dhe procesi i lëkundjeve të pamposhtura në sisteme të tilla është vetëlëkundjet.

Në një sistem vetëlëkundës, mund të dallohen tre elementë karakteristikë - një sistem oscilues, një burim energjie dhe një pajisje kthyese midis sistemit oscilues dhe burimit. Çdo sistem mekanik i aftë për të kryer lëkundjet e veta të amortizuara (për shembull, lavjerrësi i një ore muri) mund të përdoret si një sistem oscilues.

Burimi i energjisë mund të jetë energjia e deformimit të një sustë ose energjia potenciale e një ngarkese në një fushë gravitacionale. Një pajisje kthyese është një mekanizëm me anë të të cilit një sistem vetëlëkundës rregullon rrjedhën e energjisë nga një burim. Në Fig. Figura 21.6 tregon një diagramë të ndërveprimit të elementeve të ndryshëm të një sistemi vetëlëkundës.

Një shembull i një sistemi mekanik vetëlëkundës është një mekanizëm i orës me spirancë progresi (Fig. 21.7.). Rrota e drejtimit me dhëmbë të zhdrejtë është ngjitur fort në një daulle me dhëmbë, përmes së cilës hidhet një zinxhir me një peshë. Në skajin e sipërm të lavjerrësit ka një spirancë (spirancë) me dy pllaka materiali të fortë, të përkulura përgjatë një harku rrethor me qendër në boshtin e lavjerrësit. Në orët e dorës, pesha zëvendësohet nga një pranverë, dhe lavjerrësi zëvendësohet nga një balancues - një rrotë dore e lidhur me një pranverë spirale.

Balancuesi kryen dridhje rrotulluese rreth boshtit të tij. Sistemi oscilues në një orë është një lavjerrës ose balancues. Burimi i energjisë është një peshë e ngritur ose një pranverë plagë. Pajisja me të cilën kryhet reagime, është një spirancë që lejon rrotën e drejtimit të rrotullojë një dhëmb në një gjysmë cikli.

Reagimi sigurohet nga ndërveprimi i spirancës me rrotën e drejtimit. Me çdo lëkundje të lavjerrësit, një dhëmb i rrotës së drejtimit shtyn pirunin e ankorimit në drejtim të lëvizjes së lavjerrësit, duke transferuar në të një pjesë të caktuar të energjisë, e cila kompenson humbjet e energjisë për shkak të fërkimit. Kështu, energjia potenciale e peshës (ose susta e përdredhur) gradualisht, në pjesë të veçanta, transferohet në lavjerrës.

Sistemet mekanike vetëlëkundëse janë të përhapura në jetën rreth nesh dhe në teknologji. Vetë-lëkundjet ndodhin në motorët me avull, motorët me djegie të brendshme, këmbanat elektrike, telat e instrumenteve muzikore me hark, kolonat e ajrit në tubat e instrumenteve frymore, kordat vokale kur flet ose këndon etj.

Kapitulli 5

VARËSIA E AMPLITUDAVE NGA KOHA

§ 1. Atomet në qetësi; gjendjet stacionare

§ 2. Lëvizja uniforme

§ 3. Energjia potenciale; ruajtjes së energjisë

§ 4.Forcat; kufiri klasik

§ 5. “Precesion” i një grimce me rrotullim 1/2

Përsëriteni: Ch. 17 (çështja 2) “Hapësirë-kohë”; Ch. 48 (çështja 4) "Beats"

§ 1. Atomet në qetësi; gjendjet stacionare

Tani duam të flasim pak se si sillen amplituda e probabilitetit me kalimin e kohës. Themi “pak” sepse, në fakt, sjellja në kohë përfshin detyrimisht sjelljen në hapësirë. Kjo do të thotë se nëse duam të përshkruajmë sjelljen me gjithë korrektësinë dhe detajet, menjëherë gjendemi në një situatë shumë të vështirë. Vështirësia jonë e zakonshme lind para nesh - ose të studiojmë diçka në mënyrë strikte, por absolutisht abstrakte, ose të mos mendojmë për ashpërsinë, por të japim njëfarë ideje për gjendjen e vërtetë të punëve, duke shtyrë një studim më të plotë për më vonë. Tani, duke folur për varësinë e amplitudave nga energjia, ne synojmë të zgjedhim metodën e dytë. Do të bëhen një sërë deklaratash. Ne nuk do të përpiqemi të jemi shumë rigoroz këtu, por thjesht do t'ju tregojmë se çfarë është gjetur në mënyrë që të mund të kuptoni se si sillen amplituda me kalimin e kohës. Ndërsa prezantimi ynë përparon, saktësia e përshkrimit do të rritet, kështu që ju lutemi mos u shqetësoni kur shihni një magjistar duke nxjerrë gjërat nga ajri. Ato vijnë vërtet nga diçka e paprekshme - nga fryma e eksperimentit dhe nga imagjinata e shumë njerëzve. Por të kalosh nëpër të gjitha fazat e zhvillimit historik të një subjekti është një proces shumë i gjatë dhe thjesht do të duhet të kapërcesh disa gjëra. Ju mund të zhyteni në abstraksione dhe të nxirrni rreptësisht gjithçka (por vështirë se do ta kuptonit këtë) ose të kaloni nëpër shumë eksperimente, duke konfirmuar secilën nga deklaratat tuaja me to. Do të zgjedhim diçka në mes.

Një elektron i vetëm në hapësirën boshe, në kushte të caktuara, mund të ketë një energji shumë specifike, për shembull, nëse është në qetësi (d.m.th., ai nuk ka as lëvizje të lëvizshme, as momentum. energjia kinetike), atëherë ai ka energji pushimi. Një objekt më kompleks, për shembull një atom, gjithashtu, në qetësi, mund të ketë një energji të caktuar, por gjithashtu mund të rezultojë të jetë i ngacmuar nga brenda - i ngacmuar në një nivel tjetër energjie. (Mekanizmin e kësaj do ta përshkruajmë më vonë.) Shpesh kemi të drejtë të supozojmë se një atom në gjendje të ngacmuar ka një energji të caktuar; megjithatë, në fakt kjo është vetëm përafërsisht e vërtetë. Atomi nuk mbetet i ngacmuar përgjithmonë, sepse gjithmonë kërkon të shkarkojë energjinë e tij duke ndërvepruar me fushë elektromagnetike. Pra, ka gjithmonë një amplitudë që do të lindë një gjendje e re - me atomin në një gjendje më të ulët të ngacmimit dhe fushën elektromagnetike në një gjendje më të lartë. Energjia totale e sistemit para dhe pas është e njëjtë, por energjia atom zvogëlohet. Pra, nuk është shumë e saktë të thuhet se një atom i ngacmuar ka të caktuara energji; por shpesh është e përshtatshme të thuhet kështu dhe jo shumë gabim.

[Meqë ra fjala, pse gjithçka rrjedh në një anë dhe jo në tjetrën? Pse një atom lëshon dritë? Përgjigja ka të bëjë me entropinë Kur energjia është në një fushë elektromagnetike, aq shumë i zbulohet. rrugë të ndryshme- ka kaq shumë vende të ndryshme ku mund të arrijë - saqë, duke kërkuar kushtin e ekuilibrit, ne jemi të bindur se në pozicionin më të mundshëm fusha rezulton të jetë e ngacmuar nga një foton, dhe atomi është i pangacmuar. Dhe i duhet një kohë e gjatë që fotoni të kthehet dhe të zbulojë se mund të ngacmojë atomin mbrapsht. Është krejtësisht analog problem klasik: Pse rrezaton një ngarkesë e përshpejtuar? Jo sepse “do” të humbasë energjinë, jo, sepse në fakt, kur rrezaton, energjia e botës mbetet e njëjtë si më parë. Vetëm se emetimi ose thithja shkon gjithmonë në drejtim të rritjes entropia.

Kernelet gjithashtu mund të ekzistojnë në të ndryshme nivelet e energjisë, dhe në përafrim kur neglizhojnë efektet elektromagnetike, kemi të drejtë të themi se bërthama në gjendje të ngacmuar mbetet e tillë. Ndërsa ne e dimë se nuk do të qëndrojë kështu përgjithmonë, shpesh është e dobishme të fillohet me një përafrim disi të idealizuar që është më i lehtë për t'u parë. Për më tepër, në disa rrethana është një përafrim ligjor. (Kur prezantuam për herë të parë ligjet klasike të trupave që bien, nuk morëm parasysh fërkimin, por pothuajse kurrë nuk ndodh ai fërkim fare nuk kishte.)

Përveç kësaj, ka edhe "grimca të çuditshme" me masa të ndryshme. Por më masivet prej tyre kalbet në më të lehta, kështu që përsëri do të ishte gabim të thuhet se energjia e tyre është përcaktuar saktësisht. Kjo do të ishte e vërtetë nëse do të zgjasnin përgjithmonë. Pra, kur i konsiderojmë përafërsisht se kanë një energji të caktuar, harrojmë se ato duhet të prishen. Por tani ne do të harrojmë qëllimisht për procese të tilla, dhe më pas, me kalimin e kohës, do të mësojmë t'i marrim parasysh ato.

Le të jetë një atom (ose elektron, ose ndonjë grimcë) që zotëron një energji të caktuar në qetësi E 0 . Nën energjinë E 0 nënkuptojmë masën e të gjithëve shumëzuar me Me 2. Masa përfshin çdo energji të brendshme; prandaj, masa e atomit të ngacmuar ndryshon nga masa e të njëjtit atom, por në gjendjen bazë. (themelore shtet nënkupton gjendjen me energjinë më të ulët.) Le të thërrasim E 0 "energjia e pushimit". Për një atom në gjendje paqe, mekanike kuantike amplituda gjeje diku e njëjta gjë kudo; nga pozicioni që ajo nuk varet. Kjo, natyrisht, do të thotë probabiliteti i zbulimit një atom kudo është i njëjtë. Por kjo do të thotë edhe më shumë. Probabiliteti nuk mund të varej nga pozicioni, por faza e amplitudës në të njëjtën kohë, ajo ende mund të ndryshojë nga pika në pikë. Por për një grimcë në qetësi, amplituda totale është e njëjtë kudo. Megjithatë, varet nga koha. Për një grimcë në gjendje të një energjie të caktuar E 0 , amplituda për të zbuluar një grimcë në një pikë (x, y, z) për momentin t e barabartë me

Ku A - disa konstante. Amplituda e të qenit në një pikë të tillë në hapësirë ​​është e njëjtë për të gjitha pikat, por varet nga koha sipas (5.1). Thjesht do të supozojmë se ky rregull është gjithmonë i vërtetë.

Ju, sigurisht, mund të shkruani (5.1) si kjo:

A M- masa e pushimit të një gjendje ose grimce atomike. Ekzistojnë tre mënyra të ndryshme për të përcaktuar energjinë: nga frekuenca e amplitudës, nga energjia në kuptimi klasik ose me masë inerte. Ata janë të gjithë të barabartë; eshte e thjeshte mënyra të ndryshme shpreh të njëjtën gjë.

Mund t'ju duket e çuditshme të imagjinoni një "grimcë" me të njëjtat amplituda të jetë kudo në hapësirë. Në fund të fundit, ndër të tjera, ne gjithmonë imagjinojmë një "grimcë" si send i vogël, i vendosur "diku". Por mos harroni parimin e pasigurisë. Nëse një grimcë ka një energji të caktuar, atëherë ajo gjithashtu ka një momentum të caktuar. Nëse pasiguria në moment është zero, atëherë lidhja e pasigurisë D r D x=h thotë se pasiguria në pozicion duhet të jetë e pafundme; Kjo është pikërisht ajo që themi kur themi se ekziston e njëjta amplitudë për të zbuluar një grimcë në të gjitha pikat e hapësirës.

Nëse pjesët e brendshme të atomit janë në një gjendje të ndryshme me një energji totale të ndryshme, atëherë amplituda ndryshon ndryshe me kalimin e kohës. Dhe nëse nuk e dini se në çfarë gjendje është atomi, atëherë do të ketë një amplitudë të caktuar të të qenit në një gjendje dhe një amplitudë të caktuar të qenies në një tjetër, dhe secila nga këto amplituda do të ketë frekuencën e vet. Midis këtyre dy komponentëve të ndryshëm do të ketë ndërhyrje si rrahje, të cilat mund të shfaqen si një probabilitet i ndryshueshëm. Do të ketë diçka që "prodhon" brenda atomit, edhe nëse ai është "në qetësi" në kuptimin që qendra e tij e masës nuk do të lëvizë. Nëse atomi ka vetëm një energji specifike, atëherë amplituda jepet me formulën (5.1) dhe katrori i modulit të amplitudës nuk varet nga koha. Prandaj ju e shihni se nëse energjia e një gjëje përcaktohet dhe nëse bëni një pyetje rreth probabilitetet diçka në këtë gjë, atëherë përgjigja nuk varet nga koha. Edhe pse ata vetë amplituda varen nga koha, por nëse energjia e sigurt, ato ndryshojnë si një eksponencial imagjinar dhe vlerë absolute(moduli) nuk i ndryshon ato.

Kjo është arsyeja pse ne shpesh themi se një atom në një nivel të caktuar energjie është brenda gjendje stacionare. Nëse mat diçka brenda saj, do të zbulosh se asgjë (ndoshta) nuk ndryshon me kalimin e kohës. Që probabiliteti të ndryshojë me kalimin e kohës, do të duhej të kishte ndërhyrje midis dy amplitudave në dy frekuenca të ndryshme, që do të nënkuptonte se nuk dihet se çfarë është energjia. Një objekt do të kishte një amplitudë të të qenit në një gjendje me një energji dhe një amplitudë tjetër të të qenit në një gjendje të një energjie tjetër. Pra në mekanika kuantike diçka përshkruhet nëse sjellje kjo "diçka" varet nga koha.

Nëse ka një rast kur dy gjendje të ndryshme përzihen me energji të ndryshme, atëherë amplituda e secilës prej dy gjendjeve ndryshojnë me kohën sipas ekuacionit (5.2), le të themi, si

Dhe nëse ka një kombinim të këtyre dy gjendjeve, atëherë do të shfaqet ndërhyrja. Por vini re se shtimi i të njëjtës konstante për të dy energjitë nuk ndryshon asgjë. Nëse dikush tjetër ka përdorur një shkallë të ndryshme energjie, në të cilën të gjitha energjitë zhvendosen nga një konstante (të themi, A), atëherë amplituda për të qenë në këto dy gjendje, nga këndvështrimi i tij, do të ishin

Të gjitha amplitudat e tij do të shumëzoheshin me të njëjtin faktor

skad[- i(A/h)/t], dhe në të gjitha kombinimet lineare, në të gjitha interferencat, do të hynte i njëjti faktor. Duke llogaritur modulin për të përcaktuar probabilitetet, ai do të arrinte në të njëjtat përgjigje. Zgjedhja e një pike referimi në shkallën tonë të energjisë nuk ndryshon asgjë; energjia mund të numërohet nga çdo zero. Për problemet relativiste është më e përshtatshme të matet energjia në mënyrë që masa e pushimit të përfshihet në të, por për shumë qëllime të tjera jorelativiste shpesh është më mirë të zbritet një sasi standarde nga të gjitha energjitë e shfaqura. Për shembull, në rastin e një atomi zakonisht është e përshtatshme të zbritet energjia M s nga 2, ku M s - peshë individuale pjesët e tij, bërthama dhe elektronet, që ndryshojnë, natyrisht, nga masa e vetë atomit. Në probleme të tjera, është e dobishme të zbritet numri nga të gjitha energjitë M g c 2 , Ku M g - masa e të gjithë atomit kryesisht gjendje; atëherë energjia e mbetur është thjesht energjia e ngacmimit të atomit. Kjo do të thotë që ndonjëherë ne kemi të drejtë të zhvendosim energjinë tonë zero shumë, shumë, dhe kjo ende nuk ndryshon asgjë (me kusht që të gjitha energjitë në këtë llogaritje të veçantë të zhvendosen me të njëjtin numër). Me këtë ne do të ndahemi me grimcat në qetësi.

§ 2. Lëvizja uniforme

Nëse supozojmë se teoria e relativitetit është e saktë, atëherë një grimcë në qetësi në një sistemi inercial, në një kornizë tjetër inerciale mund të jetë in lëvizje uniforme. Në kornizën e mbetur të një grimce, amplituda e probabilitetit për të gjithë x, y Dhe zështë e njëjtë, por varet nga t. Madhësia amplituda për të gjithë tështë i njëjtë, dhe faza varet nga t. Ne mund të marrim një pamje të sjelljes së amplitudës nëse vizatojmë vija fazë të barabartë(thuaj zero) si funksione X Dhe t. Për një grimcë në qetësi, këto vija me fazë të barabartë janë paralele me boshtin X dhe ndodhet përgjatë boshtit t në distanca të barabarta(treguar me vija me pika në Fig. 5.1).

Fig. 5.1. Transformimi relativist i amplitudës në qetësi. grimcat në sistemin x-t.

Në një sistem tjetër, X", y", z", t", duke lëvizur në lidhje me një grimcë, të themi, në drejtim X, koordinatat X" Dhe t" disa pikë private hapësirat janë të lidhura me X Dhe t Transformimi i Lorencit. Ky transformim mund të paraqitet grafikisht duke vizatuar boshtet X" Dhe t", siç tregohet në Fig. 5.1 [shih Ch. 17 (çështja 2), fig. 17.2]. Ju shikoni se çfarë është në sistem x"--t" pikat me fazë të barabartë përgjatë boshtit t" të vendosura në distanca të ndryshme, kështu që shpeshtësia e ndryshimeve të përkohshme është e ndryshme. Përveç kësaj, faza ndryshon sipas X". d.m.th., amplituda e probabilitetit duhet të jetë një funksion X".

Nën transformimin e Lorencit për shpejtësi v drejtuar, të themi, së bashku drejtim negativ X. koha t lidhur me kohën t" formulë

dhe tani amplituda jonë ndryshon si kjo:

Në sistemin e çelur, ai ndryshon në hapësirë ​​dhe kohë. Nëse amplituda shkruhet në formë

atëherë është e qartë se E" r =E 0 /C( 1-v 2 / s 2). Kjo është energjia e llogaritur duke përdorur rregullat klasike për një grimcë me energji pushimi E 0 , duke lëvizur me shpejtësi v; p"=E" fq v/c 2 - momenti përkatës i grimcës.

Ju e dini këtë X m =(t, x, y, z) dhe r m =(E, f X , fq y , r G ) - katër-vektorë, a fq m x m = et-p x-invariant skalar. Në kornizën e mbetur të një grimce fq m x m vetëm të barabartë et; Kjo do të thotë se kur konvertohet në një sistem tjetër Et duhet të zëvendësohet nga

Pra, amplituda e probabilitetit për një grimcë, momenti i së cilës është r, do të jetë proporcional

Ku E r - energjia e një grimce me momentum p, dmth.

A E 0 , si më parë, energjia e pushimit. Në problemet jorelativiste mund të shkruhet

Ku W fq - teprica (ose mungesa) e energjisë në krahasim me energjinë e mbetur M s nga 2 pjesë të një atomi. Në përgjithësi, në W fq do të duhej të hynin si energjia kinetike e atomit ashtu edhe energjia e tij lidhëse ose ngacmuese, e cila mund të quhet energji "e brendshme". Pastaj do të shkruanim

dhe amplituda do të kishte formën

Ne do të kryejmë të gjitha llogaritjet në mënyrë jorelativiste, kështu që ky është pikërisht lloji i amplitudës së probabilitetit që do të përdorim.

Vini re se transformimi ynë relativist na dha një formulë për ndryshimin e amplitudës së një atomi që lëviz nëpër hapësirë, pa kërkuar ndonjë supozim shtesë. Numri i valës së ndryshimeve të saj në hapësirë, siç vijon nga (5.9), është i barabartë me

dhe, rrjedhimisht, gjatësia e valës

Kjo është e njëjta gjatësi vale që kemi përdorur më parë për grimcat me momentum r. Në këtë mënyrë de Broglie arriti për herë të parë në këtë formulë. Për një grimcë në lëvizje frekuenca ndryshimi në amplitudë jepet ende nga formula

Vlera absolute (5.9) është thjesht unitet, pra për një grimcë që lëviz me të energji të caktuar probabiliteti për ta gjetur atë kudo është i njëjtë kudo dhe nuk ndryshon me kalimin e kohës. (Është e rëndësishme të theksohet se amplituda është gjithëpërfshirëse valë. Nëse do të përdornim një valë të vërtetë sinus, atëherë katrori i saj do të ndryshonte nga pika në pikë, gjë që do të ishte e pasaktë.)

Natyrisht, ne e dimë se ka raste kur grimcat lëvizin nga një vend në tjetrin, kështu që probabiliteti varet nga pozicioni dhe ndryshon me kalimin e kohës. Si duhen përshkruar raste të tilla? Kjo mund të bëhet duke marrë parasysh amplituda që janë një mbivendosje e dy ose më shumë amplituda për gjendjet me një energji të caktuar. Ne e kemi diskutuar tashmë këtë situatë në kapitull. 48 (çështja 4), dhe veçanërisht për amplitudat e probabilitetit! Më pas zbuluam se shuma e dy amplitudave me numra të ndryshëm valorë k(d.m.th., pulset) dhe frekuencat w (d.m.th., energjitë) çojnë në përplasje ose rrahje të ndërhyrjeve, në mënyrë që katrori i amplitudës të ndryshojë si në hapësirë ​​ashtu edhe në kohë. Ne zbuluam gjithashtu se këto rrahje lëvizin me të ashtuquajturën "shpejtësi grupore", e përcaktuar nga formula

ku Dk dhe Dw janë ndryshimet midis numrave të valëve dhe frekuencave të dy valëve. Në valët më komplekse, të përbëra nga shuma e shumë amplitudave me frekuenca të ngjashme, shpejtësia e grupit është e barabartë me

Që nga w =E r /h, a k = p/h, Se

Por nga (5.6) rrjedh se

dhe që nga ajo kohë E fq =Mc 2 , Se

dhe kjo është vetëm shpejtësi klasike grimcat. Edhe duke përdorur shprehje jorelativiste, do të kemi

pra përsëri shpejtësia klasike.

Rezultati ynë, pra, është se nëse ka disa amplituda për të pastër gjendje energjetike me pothuajse të njëjtën energji, atëherë ndërhyrja e tyre çon në "shpërthime" të probabilitetit që lëvizin nëpër hapësirë ​​me një shpejtësi shpejtësi të barabartë grimca klasike me të njëjtën energji. Por duhet theksuar, megjithatë, se kur themi se mund të shtojmë dy amplituda me numra të ndryshëm valorë për të marrë paketa që korrespondojnë me një grimcë në lëvizje, ne po prezantojmë diçka të re - diçka që nuk rrjedh nga teoria e relativitetit. Ne thamë se si ndryshon amplituda e një grimce të palëvizshme, dhe më pas konkluduam nga kjo se si do të ndryshonte nëse grimca do të lëvizte. Por nga këto konsiderata ne në pamundësi për të konstatoni se çfarë do të ndodhte nëse do të kishte dy valët që lëvizin me shpejtësi të ndryshme. Nëse ndalojmë njërin prej tyre, nuk mund ta ndalojmë tjetrin. Kështu shtuam në heshtje një më shumë hipoteza: përveç faktit që (5.9) është të mundshme zgjidhje, ne. ne pranojmë se i njëjti sistem mund të ketë zgjidhje të tjera me të gjitha llojet e fq dhe se terma të ndryshëm do të ndërhyjnë.

§ 3. Energjia potenciale; ruajtjes së energjisë

Dhe tani do të donim të sqaronim pyetjen se çfarë ndodh; kur energjia e një grimce mund të ndryshojë. Le të fillojmë duke menduar për një grimcë që lëviz në një fushë forcash të përshkruara nga një potencial. Le të shqyrtojmë së pari efektin e një potenciali konstant. Supozoni se kemi një kuti të madhe metalike, të cilën ia kemi ngarkuar një të caktuar potencial elektrostatik j (Fig. 5.2).

|Fig. 5.2. Një grimcë me masë M dhe moment p në rajonin e potencialit konstant.

Nëse ka objekte të ngarkuara brenda kutisë, atëherë energjia e tyre potenciale do të jetë e barabartë me q j; këtë numër do ta shënojmë me shkronjë V. Me kusht, ai është plotësisht i pavarur nga pozicioni i vetë objektit. Asnjë potencial nga imponimi ndryshimet fizike brenda kutisë nuk do të ndodhë, sepse një potencial konstant nuk ndryshon asgjë për atë që ndodh brenda kutisë. Kjo do të thotë se ligji sipas të cilit tani do të ndryshojë amplituda nuk mund të nxirret. Mund vetëm të hamendësohet. Këtu është përgjigja e saktë - duket përafërsisht ashtu siç do të prisnit: në vend të energjisë duhet të vendosni sasinë energji potenciale V dhe energji E r , e cila në vetvete është shuma e energjive të brendshme dhe kinetike. Atëherë amplituda do të jetë proporcionale

Parimi i përgjithshëmështë se koeficienti në t, që mund të quhet bashkë, jepet gjithmonë plot energji sistemi: energjia e brendshme (“energjia në masë”) plus energjia kinetike plus energjia potenciale:

Ose në rastin jorelativist

Epo, çfarë mund të themi për fenomenet fizike brenda kutisë? Nëse gjendjen fizike jo një, por disa, atëherë çfarë marrim? Për amplituda e secilit shteti do të hyjë i njëjti faktor shtesë

e -( i / h ) Vt

përtej asaj që ishte atje V=0. Kjo nuk ndryshon nga zhvendosja e zeros së shkallës sonë të energjisë. Do të merrni të njëjtën zhvendosje të të gjitha fazave të të gjitha amplitudave, dhe kjo, siç e pamë më herët, nuk ndryshon asnjë probabilitet. Të gjitha fenomenet fizike mbeten të njëjta. (Ne supozuam se po flasim për O shtete të ndryshme i njëjti objekt i ngarkuar, pra q j është e njëjtë për të gjithë. Nëse një objekt mund të ndryshojë ngarkesën e tij, duke lëvizur nga një gjendje në tjetrën, atëherë do të arrinim në një rezultat krejtësisht të ndryshëm, por ruajtja e ngarkesës na mbron nga kjo.)

Deri më tani supozimi ynë ka qenë në përputhje me atë që do të pritej ndryshim i thjeshtë niveli i referencës së energjisë. Por nëse është në të vërtetë e vërtetë, atëherë duhet të jetë e vërtetë edhe për energjinë potenciale, e cila nuk është thjesht konstante. Në përgjithësi V mund të ndryshojnë në mënyrë arbitrare si në kohë ashtu edhe në hapësirë, dhe rezultati përfundimtar për amplituda duhet të shprehet në gjuhën e ekuacioneve diferenciale. Por ne nuk duam të fillojmë menjëherë rast i përgjithshëm, por le të kufizohemi në një ide se çfarë po ndodh. Pra, tani për tani ne do të shqyrtojmë vetëm potencialin që është konstant në kohë dhe ndryshon ngadalë në hapësirë. Atëherë do të jemi në gjendje të krahasojmë konceptet klasike dhe kuantike.

Supozoni se po mendojmë për rastin e paraqitur në Fig. 5.3, ku dy kuti mbahen në potenciale konstante j 1 dhe j 2, dhe në rajonin ndërmjet tyre potenciali ndryshon pa probleme nga j 1 në j 2.

Fig. 5.3. Amplituda për një grimcë që lëviz nga një potencial në tjetrin.

Le të imagjinojmë se një grimcë ka amplituda për të përfunduar në një nga këto rajone. Le të supozojmë gjithashtu se momenti është mjaft i madh në mënyrë që në çdo rajon të vogël që përmban shumë gjatësi vale potenciali është pothuajse konstant. Atëherë ne kemi të drejtë të supozojmë se në çdo pjesë të hapësirës amplituda duhet të duket si (5.18), vetëm VÇdo pjesë e hapësirës do të ketë të sajën.

Le të shqyrtojmë rast i veçantë, kur j 1 =0, pra energjia potenciale në kutinë e parë është zero, në të dytën le q j 2 do të jetë negative, kështu që në mënyrë klasike grimca në të do të ketë energji kinetike më të madhe. Në kuptimin klasik, ai do të lëvizë më shpejt në kutinë e dytë, dhe për këtë arsye do të ketë vrull më të madh. Le të shohim se si mund të dalë kjo nga mekanika kuantike.

Sipas supozimeve tona, amplituda në kutinë e parë duhet të ishte proporcionale

Do të supozojmë se të gjitha potencialet janë konstante me kalimin e kohës, kështu që asgjë nuk ndryshon në kushte. Më pas do të supozojmë se ndryshimet në amplitudë (d.m.th., faza e saj) kanë të njëjtin efekt kudo. frekuenca, sepse në “mjedisin” mes kutive nuk ka, si të thuash, asgjë që varet nga koha. Nëse asgjë nuk ndryshon në hapësirë, atëherë mund të supozojmë se një valë në një zonë "gjeneron" valë ndihmëse në të gjithë hapësirën, të cilat të gjitha lëkunden me të njëjtën frekuencë dhe, si valët e dritës që kalojnë nëpër materie në qetësi, nuk e ndryshojnë frekuencën e tyre. Nëse frekuencat në (5.21) dhe (5.22) janë të njëjta, atëherë barazia duhet të plotësohet

Këtu, në të dy anët ka thjesht energji totale klasike, kështu që (5.23) është një deklaratë për ruajtjen e energjisë. Me fjalë të tjera, deklarata klasike për ruajtjen e energjisë është mjaft e barabartë me deklaratën mekanike kuantike se frekuencat e një grimce janë të njëjta kudo nëse kushtet nuk ndryshojnë me kalimin e kohës. E gjithë kjo përputhet me idenë se h w =E.

Në rastin konkret kur V 1 =0, dhe V 2 është negative (5.23) do të thotë se fq edhe 2 r 1,t. Kjo do të thotë, në rajonin 2 valët janë më të shkurtra. Sipërfaqet me faza të barabarta janë paraqitur në Fig. 5.3 vijë me pika. Ekziston edhe një grafik i pjesës reale të amplitudës, nga i cili mund të shihet gjithashtu se si zvogëlohet gjatësia e valës kur lëviz nga rajoni 1 në rajonin 2. Shpejtësia grupore e valëve është e barabartë me r/m, gjithashtu rritet siç do të pritej nga ruajtja klasike e energjisë, sepse thjesht përkon me (5.23).

Ekziston një rast i veçantë interesant kur V 2 bëhet aq i madh sa V 2 - V 1 tashmë e tejkalon fq 2 1 /2 milion. Pastaj fq 2 2 , dhënë nga formula

bëhet negative. Dhe kjo do të thotë se r 2 është një numër imagjinar, le të themi ip". Klasikisht do të thoshim se grimca nuk do të futet kurrë në rajonin 2, nuk do të ketë energji të mjaftueshme për t'u ngjitur në kodrën e mundshme. Megjithatë, në mekanikën kuantike amplituda përfaqësohet ende nga ekuacioni (5.22); ndryshimet e saj në hapësirë ​​ende ndjekin ligjin

Por një herë fq 2 - numër imagjinar, atëherë varësia hapësinore kthehet në një eksponencial real. Nëse, të themi, grimca së pari lëvizi në drejtim +x, atëherë amplituda do të fillojë të ndryshojë si

Me rritjen X ajo bie shpejt.

Le të imagjinojmë se të dyja zonat me potenciale të ndryshme ndodhen shumë afër njëra-tjetrës, kështu që anergjia e mundshme ndryshon papritur nga V 1 deri në V 2 (Fig. 5.4, a).

Fig. 5.4. Amplituda për një grimcë që i afrohet një potenciali shumë të neveritshëm.

Duke vizatuar pjesën reale të amplitudës së probabilitetit, marrim varësinë e treguar në Fig. 5.4, b. Vala në rajonin 1 korrespondon me një grimcë që përpiqet të futet në rajonin 2, por aty amplituda zvogëlohet shpejt. Ka disa mundësi që ajo të vërehet në zonën 2, ku ajo klasikisht asnjë mënyrë Nuk doli të ishte, por amplituda e kësaj është shumë e vogël (përveç vendit afër vetë kufirit). Situata është shumë e ngjashme me atë që kemi gjetur plotësisht reflektimi i brendshëm Sveta. Zakonisht nuk ka dritë që del, por gjithsesi mund të shihet nëse vendosni diçka një ose dy gjatësi vale larg sipërfaqes.

Mos harroni se nëse vendosni sipërfaqen e dytë afër kufirit, ku drita reflektohet plotësisht, mund të merrni akoma pak dritë për të udhëtuar përmes pjesës së dytë të materialit. E njëjta gjë ndodh me grimcat në mekanikën kuantike. Nëse ka një zonë të ngushtë me një potencial kaq të lartë V, Meqenëse energjia kinetike klasike atje është negative, grimca nuk do të kalojë kurrë nëpër të. Por në mekanikën kuantike, një amplitudë në rënie eksponenciale mund të depërtojë në këtë rajon dhe të japë një shans të dobët që grimca të gjendet në anën tjetër - ku energjia kinetike është përsëri pozitive. E gjithë kjo është treguar në Fig. 5.5.

Fig. 5.5. Depërtimi i amplitudës përmes një pengese potenciale.

Efekti quhet "depërtim i pengesës" mekanike kuantike.

Depërtimi i amplitudës mekanike kuantike përmes barrierës ofron një shpjegim (ose përshkrim) të kalbjes a të bërthamës së uraniumit. Varësia e energjisë potenciale të një grimce a nga distanca nga qendra është paraqitur në Fig. 5.6, A.

Fig. 5.6. Potenciali i një grimce a në bërthamën e uraniumit (a) dhe pamje cilësore amplituda probabiliteti (b).

Nëse do të përpiqeshim të gjuanim një grimcë a me energji E deri në thelb atëherë ajo do të ndjente sprapsje elektrostatike nga ngarkesa bërthamore z dhe sipas kanoneve klasike, nuk do t'i afrohej bërthamës më afër se kjo distancë r 1 në të cilën ajo energji totale do të jetë e barabartë me potencialin V. Por diku brenda bërthamës energjia potenciale do të jetë shumë më e ulët për shkak të tërheqjes së fortë të rrezes së shkurtër forcat bërthamore. Si atëherë mund të shpjegohet pse zbërthimi radioaktiv zbulojmë grimcat a, të cilat duke qenë fillimisht brenda bërthamës, më pas gjenden jashtë saj me energji E?Sepse janë. me energji që në fillim E, “rrjedhte” përmes pengesës së mundshme. Një skicë skematike e amplitudës së probabilitetit është dhënë në Fig. 5.6, b, edhe pse në realitet zbërthimi eksponencial është shumë më i fortë se sa tregohet. Është mjaft e habitshme që jetëgjatësia mesatare e një grimce a në një bërthamë uraniumi arrin 4 1/2 miliardë vjet, ndërsa dridhjet natyrore brenda bërthamës janë jashtëzakonisht të shpejta, ka 10 22 të tilla në sekondë! Si është e mundur nga 10 -2 2 sek merrni një numër të rendit 10 9 vjet? Përgjigja është se eksponenciali jep një faktor tepër të vogël të rendit 10 -4 5, i cili çon në një probabilitet shumë të vogël, megjithëse mjaft të caktuar, rrjedhjeje. Nëse një grimcë a ka hyrë tashmë në bërthamë, atëherë nuk ka pothuajse asnjë amplitudë për ta zbuluar atë jashtë bërthamës; nëse, megjithatë, merrni më shumë nga këto bërthama dhe prisni më gjatë, atëherë mund të jeni me fat dhe do të shihni një grimcë që kërcehet jashtë.

§ 4. Forcat; kufiri klasik

Supozoni se një grimcë lëviz nëpër një rajon ku ka një potencial që ndryshon përgjatë lëvizjes. Në mënyrë klasike, ne do ta përshkruanim këtë rast siç tregohet në Fig. 5.7.

Fig. 5.7. Devijimi i një grimce nga një gradient potencial tërthor.

Nëse grimca lëviz në drejtim X dhe hyn në një rajon ku ka një potencial që ndryshon së bashku y, atëherë grimca do të marrë nxitim tërthor nga forca F=-dV/dy. Nëse forca është e pranishme vetëm në zonë e kufizuar gjerësia w, atëherë ai do të jetë i vlefshëm vetëm për një periudhë kohore w/v. Grimca do të marrë vrull tërthor

fq y = Fw/v

Atëherë këndi i devijimit dq do të jetë i barabartë me

Ku r - impulsi fillestar. Zëvendësimi në vend F numri - dV/dy, marrim

Tani duhet të zbulojmë nëse ky rezultat mund të merret duke përdorur idenë se valët i binden ekuacionit (5.20). Ne do të shikojmë të njëjtin fenomen kuantik mekanikisht, duke supozuar se të gjitha shkallët në të janë shumë më të mëdha se gjatësitë e valëve të amplitudave tona të probabilitetit. Në çdo rajon të vogël mund të supozojmë se amplituda ndryshon si

A jemi në gjendje të shohim se si grimcat do të devijojnë nga këtu kur V do të ketë një gradient tërthor? Në fig. 5.8 ne vlerësuam se si do të dukeshin valët e amplitudës së probabilitetit.

Fig. 5.8. Amplituda e probabilitetit në një rajon me një gradient potencial tërthor.

Ne kemi vizatuar një seri "nyjesh valore" që mund t'i mendoni si, të themi, sipërfaqe ku faza e amplitudës është zero. Në çdo zonë të vogël, gjatësia e valës (distanca midis nyjeve ngjitur) është

Ku r lidhur me V formulë

Në zonën ku V më shumë, atje r më të vogla dhe valët më të gjata. Prandaj, drejtimi i vijave të nyjeve valore ndryshon gradualisht, siç tregohet në figurë.

Për të gjetur ndryshimin në pjerrësinë e vijave të nyjeve të valës, vërejmë se në dy shtigje A Dhe b ka një ndryshim potencial D V=(dV/dy)D, dhe kështu ndryshimi D r mes pulseve. Ky ndryshim mund të merret nga (5.28):

Numri i valës p/h prandaj ndryshon edhe në shtigje të ndryshme, që do të thotë se fazat rriten përgjatë tyre me me shpejtësi të ndryshme. Dallimi në shkallën e rritjes së fazës është D k=D r/h, dhe të grumbulluara gjatë gjithë rrugës w diferenca fazore do të jetë e barabartë

Ky numër tregon se sa në kohën kur faza largohet nga shiriti përgjatë shtegut b"përparon" fazën përgjatë shtegut A. Por në dalje nga shiriti, një avancim i tillë fazor korrespondon me një avancim të nyjës së valës me shumën

Duke iu referuar FIG. 5.8, shohim se fronti i valës së re do të rrotullohet përmes këndit dq të dhënë nga formula

pra çfarë kemi

Dhe kjo përkon me (5.26), nëse e zëvendësojmë r/m në v, dhe D V/D në dV/dy.

Rezultati që sapo kemi marrë është i vërtetë vetëm kur potenciali ndryshon ngadalë dhe pa probleme - në të ashtuquajturat kufiri klasik. Ne kemi treguar se në këto kushte do të marrim të njëjtat lëvizje të grimcave që do të rezultojnë nga F=ma, nëse supozojmë se potenciali jep një kontribut në fazën e amplitudës së probabilitetit të barabartë me Vt/h. Në kufirin klasik, mekanika sasiore rezulton të jetë në përputhje me mekanikën Njutoniane.

§ 5. “Precesion” i një grimce me spin 1 / 2

Ju lutemi vini re se ne nuk supozuam se energjia jonë potenciale është ndonjë e veçantë, ajo është thjesht energji, derivati ​​i së cilës jep forcë. Për shembull, në eksperimentin Stern-Gerlach energjia kishte formën U=-m·B; pra, nëse B kishte variacion hapësinor, forca fitohej. Nëse do të na duhej një përshkrim mekanik kuantik i eksperimentit, do të duhej të themi se energjia e grimcave në një rreze ndryshon në një drejtim, dhe në rrezen tjetër - në ana e kundërt, (Energjia magnetike U mund të futet ose në energjinë potenciale V, ose në energji "të brendshme". W;ku saktësisht është krejtësisht e parëndësishme.) Për shkak të ndryshimeve në energji, valët përthyhen, rrezet përkulen lart ose poshtë. (Tani e dimë se mekanika kuantike parashikon të njëjtën lakim që rrjedh nga llogaritja e mekanikës klasike.)

Nga varësia e amplitudës nga energjia potenciale rrjedh gjithashtu se për një grimcë të ulur në një fushë magnetike uniforme të drejtuar përgjatë boshtit z, amplituda e probabilitetit duhet të ndryshojë me kalimin e kohës sipas ligjit.

përtej asaj që do të kishte ndodhur pa fushë. Meqenëse për një grimcë me rrotullim 1/2 vlera m z mund të jetë e barabartë me plus ose minus një numër, le të themi m, pastaj për dy gjendjet e imagjinueshme në një fushë uniforme, fazat do të ndryshojnë me të njëjtën shpejtësi në drejtime të kundërta. Amplituda do të shumëzohet me

Ky rezultat çon në pasoja interesante. Le të jetë një grimcë me spin 1/2 në një gjendje që nuk është as një gjendje e pastër rrotullimi dhe as një gjendje e pastër rrotulluese. Mund të përshkruhet përmes amplitudave të të qenurit në këto dy gjendje. Por në një fushë magnetike, fazat e këtyre dy gjendjeve do të fillojnë të ndryshojnë me shpejtësi të ndryshme. Dhe nëse shtrojmë ndonjë pyetje në lidhje me amplituda, atëherë përgjigja do të varet nga sa kohë ka kaluar grimca në këtë fushë.

Si shembull, merrni parasysh zbërthimin e një muoni në një fushë magnetike. Kur muonet lindin nga zbërthimi i p mezoneve, ato polarizohen (me fjalë të tjera, ata kanë një drejtim të preferuar rrotullimi). Muonët, nga ana tjetër, kalbet (mesatarisht pas 2.2 µsec), duke emetuar një elektron dhe një palë neutrinos:

Në këtë zbërthim rezulton se (të paktën në energji të larta) elektronet emetohen kryesisht në drejtim drejtim të kundërt rrotullimi i muonit.

Le të supozojmë se ekziston një pajisje eksperimentale (Fig. 5.9): muonet e polarizuara hyjnë nga e majta dhe në bllokun e materies A ndalet dhe më pas shpërbëhet pak më vonë.

Fig.. 5.9. Eksperimentoni me zbërthimin e muonit.

Elektronet e emetuara dalin jashtë, në përgjithësi, në çdo drejtim të imagjinueshëm. Le të imagjinojmë, megjithatë, se të gjithë muonët do të hyjnë në bllokun e frenimit A në mënyrë që shpina e tyre të jetë e kthyer në drejtim X. pa fushë magnetike do të kishte një lloj shpërndarjeje këndore të drejtimeve të kalbjes; ne duam të dimë se si do të ndryshonte kjo shpërndarje në prani të një fushe magnetike. Ju mund të prisni që ajo të ndryshojë disi me kalimin e kohës. Çfarë ndodh mund të zbulohet duke pyetur se cila do të jetë amplituda në çdo moment kur muoni gjendet në gjendje (+ x).

Ky problem mund të formulohet si më poshtë: le të dihet se në momentin t=0 spin-i i muonit drejtohet përgjatë + X; sa është amplituda e faktit që në momentin t ai do të jetë në të njëjtën gjendje? Dhe megjithëse nuk i dimë rregullat për sjelljen e një grimce me rrotullim 1/2 në një fushë magnetike pingul me rrotullimin, ne e dimë se çfarë ndodh me gjendjet kur rrotullimet drejtohen lart ose poshtë fushës - atëherë amplituda e tyre shumëzohet me shprehje (5.34) . Procedura jonë më pas do të ishte zgjedhja e një paraqitjeje në të cilën gjendjet bazë janë drejtimet spin-up ose spin-down në lidhje me z(në lidhje me drejtimin e fushës). Dhe çdo pyetje mund të shprehet më pas përmes amplitudave të këtyre gjendjeve.

Le të përfaqësojë |y(t)> gjendjen e muonit. Kur hyn në bllok A, gjendja e tij është |y (0)>, dhe ne. ne duam të dimë |y (t)> në një kohë të mëvonshme t. Nëse dy gjendjet bazë shënohen (+z) dhe (-z), atëherë ne i dimë amplitudat dhe - ato njihen sepse e dimë se |y (0)> paraqet një gjendje me një rrotullim në drejtimin (+ x). Nga kapitulli i mëparshëm rrjedh se këto amplituda janë të barabarta

Ata rezultojnë të jenë të njëjtë. Meqenëse ato i referohen pozicionit në t=0, ne i shënojmë ato ME+ (0) dhe ME - (0).

Por nëse e dimë C + (t) Dhe C - (t), atëherë kemi gjithçka për të ditur kushtet për momentin t. Na duhet vetëm të kapërcejmë një vështirësi tjetër: na duhet probabiliteti që rrotullimi (për momentin t) do të drejtohet përgjatë + X. Por rregullat tona të përgjithshme e marrin parasysh këtë detyrë gjithashtu. Ne shkruajmë se amplituda e të qenit në një gjendje (+x) për momentin t[le ta shënojmë A + (t)]Ka

Përsëri duke përdorur rezultatin e kapitullit të fundit (ose më mirë barazinë

* nga kap. 3), ne shkruajmë

Pra, në (5.37) gjithçka dihet. marrim

Rezultat çuditërisht i thjeshtë! Vini re se përgjigja është në përputhje me atë që pritej kur t= 0. marrim A + (0)= 1, dhe kjo është mjaft e saktë, sepse në fillim u supozua se kur t=0 muoni ishte në gjendje të (+ x).

Probabiliteti R + se muoni do të jetë në gjendje të (+x) për momentin t, ka (A+) 2, d.m.th.

Probabiliteti varion nga zero në një, siç tregohet në Fig. 5.10.

Fig. 5.10. Varësia kohore e probabilitetit të kësaj. që një grimcë me rrotullim 1 / 2 do të jetë në gjendjen (+) në raport me boshtin x.

Vini re se probabiliteti kthehet në një në m Bt/h=p (jo në 2p). Për shkak se kosinusi është në katror, ​​probabiliteti përsëritet me frekuencë 2 mV/h.

Pra, ne zbuluam se mundësia e kapjes në numëruesin elektronik të paraqitur në Fig. 5.9, elektroni i zbërthimit ndryshon periodikisht me intervalin kohor gjatë të cilit muoni u ul në fushën magnetike. Frekuenca varet nga momenti magnetik (L. Kjo është saktësisht se si është matur në të vërtetë moment magnetik muon.

E njëjta metodë, natyrisht, mund të përdoret për t'iu përgjigjur pyetjeve të tjera në lidhje me prishjen e muonit. Për shembull, si varet nga koha? t mundësia për të vërejtur një elektron të zbërthyer në drejtim y, në 90° në drejtim X, por ende në kënde të drejta me fushën? Nëse e zgjidhni këtë problem, do të shihni se probabiliteti për të qenë në gjendje (+y) ndryshon si cos 2 ((m Bt/h)-(p/4)); luhatet me të njëjtën periudhë, por maksimumin e arrin një çerek cikël më vonë, kur mBt/h=p/4. Ajo që ndodh në të vërtetë është kjo: me kalimin e kohës, muoni kalon nëpër një sekuencë gjendjesh që korrespondojnë me polarizimin e plotë në një drejtim që rrotullohet vazhdimisht rreth boshtit z. Kjo mund të përshkruhet duke thënë se preceset e rrotullimit me frekuencë

Duhet të bëhet e qartë për ju se çfarë forme merr përshkrimi mekanik kuantik kur përshkruajmë sjelljen e diçkaje me kalimin e kohës.

*Nëse keni humbur kapitullin. 4, atëherë thjesht mund ta konsideroni (5.35) një rregull të pavlerësuar tani për tani. Më vonë, në kap. 8, do të analizojmë më në detaje precesionin e rrotullimit dhe do të përftohen gjithashtu këto amplituda.

* Supozojmë se fazat duhet të kenë të njëjtën vlerë në pikat përkatëse në dy sistemet koordinative. Sidoqoftë, kjo është një pikë shumë delikate, pasi në mekanikën kuantike faza është kryesisht arbitrare. Për të justifikuar plotësisht këtë supozim, nevojitet një arsyetim më i detajuar që merr parasysh ndërhyrjen e dy ose më shumë amplitudave.

Tani duam të flasim pak se si sillen amplituda e probabilitetit me kalimin e kohës. Themi “pak” sepse, në fakt, sjellja në kohë përfshin detyrimisht sjelljen në hapësirë. Kjo do të thotë se nëse duam të përshkruajmë sjelljen me gjithë korrektësinë dhe detajet, menjëherë e gjejmë veten në një shumë situatë e vështirë. Vështirësia jonë e zakonshme lind para nesh - ose të studiojmë diçka në mënyrë strikte, por absolutisht abstrakte, ose të mos mendojmë për ashpërsinë, por të japim njëfarë ideje për gjendjen e vërtetë të punëve, duke shtyrë një studim më të plotë për më vonë. Tani, duke folur për varësinë e amplitudave nga energjia, ne synojmë të zgjedhim metodën e dytë. Do të bëhen një sërë deklaratash. Ne nuk do të përpiqemi të jemi shumë rigoroz këtu, por thjesht do t'ju tregojmë se çfarë është gjetur në mënyrë që të mund të kuptoni se si sillen amplituda me kalimin e kohës. Ndërsa prezantimi ynë përparon, saktësia e përshkrimit do të rritet, kështu që ju lutemi mos u shqetësoni kur shihni një magjistar duke nxjerrë gjërat nga ajri. Ato vijnë vërtet nga diçka e paprekshme - nga fryma e eksperimentit dhe nga imagjinata e shumë njerëzve. Por kaloni nëpër të gjitha fazat zhvillim historik tema është një çështje shumë e gjatë, disa gjëra thjesht duhet të anashkalohen. Ju mund të zhyteni në abstraksione dhe të nxirrni rreptësisht gjithçka (por vështirë se do ta kuptonit këtë) ose të kaloni nëpër shumë eksperimente, duke konfirmuar secilën nga deklaratat tuaja me to. Do të zgjedhim diçka në mes.

Një elektron i vetëm në hapësirën boshe, në kushte të caktuara, mund të ketë një energji shumë specifike. Për shembull, nëse është në qetësi (d.m.th., nuk ka as zhvendosje, as impuls, as energji kinetike), atëherë ka energji pushimi. Një objekt më kompleks, për shembull një atom, gjithashtu, në qetësi, mund të ketë një energji të caktuar, por gjithashtu mund të rezultojë të jetë i ngacmuar nga brenda - i ngacmuar në një nivel tjetër energjie. (Mekanizmin e kësaj do ta përshkruajmë më vonë.) Shpesh kemi të drejtë të supozojmë se një atom në gjendje të ngacmuar ka një energji të caktuar; megjithatë, në fakt kjo është vetëm përafërsisht e vërtetë. Një atom nuk mbetet i ngacmuar përgjithmonë, sepse ai gjithmonë kërkon të shkarkojë energjinë e tij duke ndërvepruar me fushën elektromagnetike. Pra, ka gjithmonë një amplitudë që do të lindë një gjendje e re - me atomin në një gjendje më të ulët të ngacmimit dhe fushën elektromagnetike në një gjendje më të lartë. Energjia totale e sistemit para dhe pas është e njëjtë, por energjia e atomit zvogëlohet. Pra, nuk është shumë e saktë të thuhet se një atom i ngacmuar ka një energji të caktuar; por shpesh është e përshtatshme të thuhet kështu dhe jo shumë gabim.

[Meqë ra fjala, pse gjithçka rrjedh në një anë dhe jo në tjetrën? Pse një atom lëshon dritë? Përgjigja ka të bëjë me entropinë. Kur energjia është në një fushë elektromagnetike, ka kaq shumë shtigje të ndryshme të hapura për të - kaq shumë vende të ndryshme ku ajo mund të shkojë - saqë, duke kërkuar gjendjen e ekuilibrit, ne jemi të bindur se në pozicionin më të mundshëm fusha rezulton të të ngacmohen nga një foton, dhe atomi është i pangacmuar. Dhe i duhet një kohë e gjatë që fotoni të kthehet dhe të zbulojë se mund të ngacmojë atomin. Kjo është krejtësisht analoge me problemin klasik: pse rrezaton një ngarkesë e përshpejtuar? Jo sepse “do” të humbasë energjinë, jo, sepse në fakt, kur rrezaton, energjia e botës mbetet e njëjtë si më parë. Është vetëm se emetimi ose thithja shkon gjithmonë në drejtim të rritjes së entropisë.]

Bërthamat mund të ekzistojnë gjithashtu në nivele të ndryshme energjetike, dhe përafërsisht kur efektet elektromagnetike neglizhohen, kemi të drejtë të themi se bërthama në një gjendje të ngacmuar mbetet e tillë. Ndërsa ne e dimë se nuk do të qëndrojë kështu përgjithmonë, shpesh është e dobishme të fillohet me një përafrim disi të idealizuar që është më i lehtë për t'u parë. Për më tepër, në disa rrethana është një përafrim ligjor. (Kur u prezantuam për herë të parë ligjet klasike trupat në rënie, ne nuk kemi marrë parasysh fërkimin, por pothuajse kurrë nuk ndodh që të mos ketë fare fërkime.)

Përveç kësaj, ka edhe "grimca të çuditshme" me masa të ndryshme. Por më masivet prej tyre kalbet në më të lehta, kështu që përsëri do të ishte gabim të thuhet se energjia e tyre është përcaktuar saktësisht. Kjo do të ishte e vërtetë nëse do të zgjasnin përgjithmonë. Pra, kur i konsiderojmë përafërsisht se kanë një energji të caktuar, harrojmë se ato duhet të prishen. Por tani ne do të harrojmë qëllimisht për procese të tilla, dhe më pas, me kalimin e kohës, do të mësojmë t'i marrim parasysh ato.

Le të jetë një atom (ose elektron, ose ndonjë grimcë) që ka një energji të caktuar në qetësi. Me energji nënkuptojmë masën e saj gjatë gjithë kohës. Masa përfshin çdo energji të brendshme; prandaj, masa e atomit të ngacmuar ndryshon nga masa e të njëjtit atom, por në gjendjen bazë. (Gjendja bazë nënkupton gjendjen me energjinë më të ulët.) Le ta quajmë "energji pushimi".

Për një atom në qetësi, amplituda mekanike kuantike për ta zbuluar atë në një vend është e njëjtë kudo; nuk varet nga pozicioni. Kjo, natyrisht, do të thotë se probabiliteti për të gjetur një atom kudo është i njëjtë. Por kjo do të thotë edhe më shumë. Probabiliteti nuk mund të varet nga pozicioni, dhe faza e amplitudës mund të ndryshojë ende nga pika në pikë. Por për një grimcë në qetësi, amplituda totale është e njëjtë kudo. Megjithatë, kjo varet nga koha. Për një grimcë në një gjendje të një energjie të caktuar, amplituda për të zbuluar grimcën në një pikë në një çast është e barabartë me

ku ka disa konstante. Amplituda e të qenit në një pikë të tillë në hapësirë ​​është e njëjtë për të gjitha pikat, por varet nga koha sipas (5.1). Thjesht do të supozojmë se ky rregull është gjithmonë i vërtetë.

Ju, sigurisht, mund të shkruani (5.1) si kjo:

,

a është masa e pushimit të një gjendje ose grimce atomike. Ekzistojnë tre mënyra të ndryshme për të përcaktuar energjinë: me frekuencë amplitude, me energji në kuptimin klasik ose me masë inerciale. Ata janë të gjithë të barabartë; ato janë thjesht mënyra të ndryshme për të shprehur të njëjtën gjë.

Mund t'ju duket e çuditshme të imagjinoni një "grimcë" me të njëjtat amplituda të jetë kudo në hapësirë. Në fund të fundit, ndër të tjera, ne gjithmonë imagjinojmë një "grimcë" si një objekt të vogël të vendosur "diku". Por mos harroni parimin e pasigurisë. Nëse një grimcë ka një energji të caktuar, atëherë ajo gjithashtu ka një momentum të caktuar. Nëse pasiguria në moment është zero, atëherë lidhja e pasigurisë thotë se pasiguria në pozicion duhet të jetë e pafundme; Kjo është pikërisht ajo që themi kur themi se ekziston e njëjta amplitudë për të zbuluar një grimcë në të gjitha pikat e hapësirës.

Nëse pjesët e brendshme të atomit janë në një gjendje të ndryshme me një energji totale të ndryshme, atëherë amplituda ndryshon ndryshe me kalimin e kohës. Dhe nëse nuk e dini se në çfarë gjendje është atomi, atëherë do të ketë një amplitudë të caktuar të të qenit në një gjendje dhe një amplitudë të caktuar të qenies në një tjetër, dhe secila nga këto amplituda do të ketë frekuencën e vet. Midis këtyre dy komponentëve të ndryshëm do të ketë ndërhyrje si rrahje, të cilat mund të shfaqen si një probabilitet i ndryshueshëm. Do të ketë diçka që "prodhon" brenda atomit, edhe nëse ai është "në qetësi" në kuptimin që qendra e tij e masës nuk do të lëvizë. Nëse atomi ka vetëm një energji specifike, atëherë amplituda jepet me formulën (5.1) dhe katrori i modulit të amplitudës nuk varet nga koha. Prandaj, shihni se nëse energjia e një gjëje përcaktohet dhe nëse pyet një sondazh për probabilitetin e diçkaje në atë gjë, atëherë përgjigja nuk varet nga koha. Edhe pse vetë amplituda varen nga koha, nëse energjia është e sigurt, ato ndryshojnë si një eksponencial imagjinar dhe vlera e tyre absolute (moduli) nuk ndryshon.

Kjo është arsyeja pse ne shpesh themi se një atom në një nivel të caktuar energjie është në një gjendje të palëvizshme. Nëse mat diçka brenda saj, do të zbulosh se asgjë (ndoshta) nuk ndryshon me kalimin e kohës. Që probabiliteti të ndryshojë me kalimin e kohës, do të duhej të kishte ndërhyrje midis dy amplitudave në dy frekuenca të ndryshme, që do të nënkuptonte se nuk dihet se çfarë është energjia. Një objekt do të kishte një amplitudë të të qenit në një gjendje me një energji dhe një amplitudë tjetër të të qenit në një gjendje të një energjie tjetër. Kjo është mënyra se si mekanika kuantike përshkruan diçka nëse sjellja e kësaj "diçkaje" varet nga koha.

Nëse ka një rast që dy janë të përziera shtete të ndryshme me energji të ndryshme, atëherë amplituda e secilës prej dy gjendjeve ndryshojnë me kohën sipas ekuacionit (5.2), të themi, si

Dhe nëse ka një kombinim të këtyre dy gjendjeve, atëherë do të shfaqet ndërhyrja. Por vini re se shtimi i të njëjtës konstante për të dy energjitë nuk ndryshon asgjë. Nëse dikush tjetër do të përdorte një shkallë të ndryshme energjie, në të cilën të gjitha energjitë zhvendosen nga një konstante (të themi, nga ), atëherë amplituda për t'u shfaqur në këto dy gjendje, nga këndvështrimi i tij, do të ishte

Të gjitha amplitudat e tij do të shumëzoheshin me të njëjtin faktor , dhe të gjitha kombinimet lineare, të gjitha interferencat do të kishin të njëjtin faktor. Duke llogaritur modulin për të përcaktuar probabilitetet, ai do të arrinte në të njëjtat përgjigje. Zgjedhja e një pike referimi në shkallën tonë të energjisë nuk ndryshon asgjë; energjia mund të numërohet nga çdo zero. Për problemet relativiste është më e përshtatshme të matet energjia në mënyrë që masa e pushimit të përfshihet në të, por për shumë qëllime të tjera jorelativiste shpesh është më mirë të zbritet një sasi standarde nga të gjitha energjitë e shfaqura. Për shembull, në rastin e një atomi, zakonisht është e përshtatshme të zbritet energjia, ku është masa e pjesëve të tij individuale, bërthamës dhe elektroneve, e cila, natyrisht, ndryshon nga masa e vetë atomit. Në probleme të tjera, është e dobishme të zbritet numri nga të gjitha energjitë, ku është masa e të gjithë atomit në gjendjen bazë; atëherë energjia e mbetur është thjesht energjia e ngacmimit të atomit. Kjo do të thotë që ne kemi të drejtë të zhvendosim energjinë tonë zero shumë, shumë fort, por kjo ende nuk ndryshon asgjë (me kusht që të gjitha energjitë në këtë llogaritje të veçantë të zhvendosen me të njëjtin numër). Me këtë ne do të ndahemi me grimcat në qetësi.

Amortizimi i lëkundjeve quhet ulje graduale amplituda e lëkundjeve me kalimin e kohës për shkak të humbjes së energjisë nga sistemi oscilues.

Lëkundjet natyrore pa amortizimin janë një idealizim. Arsyet e dobësimit mund të jenë të ndryshme. Në një sistem mekanik, dridhjet zbuten nga prania e fërkimit. NË qark elektromagnetik Humbjet e nxehtësisë në përçuesit që formojnë sistemin çojnë në një ulje të energjisë së dridhjeve. Kur konsumohet e gjithë energjia e ruajtur në sistemin oscilues, lëkundjet do të ndalen. Prandaj amplituda lëkundjet e amortizuara zvogëlohet derisa të bëhet e barabartë me zero.

Lëkundjet e amortizuara, si lëkundjet natyrore, në sisteme që janë të ndryshme në natyrë, mund të konsiderohen nga një këndvështrim i vetëm - karakteristika të përbashkëta. Megjithatë, karakteristika të tilla si amplituda dhe periudha kërkojnë ripërcaktim, dhe të tjera kërkojnë shtim dhe sqarim në krahasim me të njëjtat karakteristika për lëkundjet natyrore të pamposhtura. Karakteristikat dhe konceptet e përgjithshme të lëkundjeve të amortizuara janë si më poshtë:

Ekuacioni diferencial duhet të merret duke marrë parasysh uljen e energjisë vibruese gjatë procesit të lëkundjes.

Ekuacioni i lëkundjes është një zgjidhje për një ekuacion diferencial.

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara varet nga koha.

Frekuenca dhe periudha varen nga shkalla e zbutjes së lëkundjeve.

Faza dhe faza fillestare kanë të njëjtin kuptim si për lëkundjet e pamposhtura.

3.1. Lëkundjet e amortizuara mekanike

Sistemi mekanik: lavjerrës susta duke marrë parasysh forcat e fërkimit.

Forcat që veprojnë në një lavjerrës:

Forca elastike. , ku k është koeficienti i ngurtësisë së sustës, x është zhvendosja e lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit.

Forca e rezistencës. Le të shqyrtojmë një forcë rezistence proporcionale me shpejtësinë v të lëvizjes (kjo varësi është tipike për një klasë të madhe të forcave të rezistencës): . Shenja minus tregon se drejtimi i forcës së rezistencës është i kundërt me drejtimin e shpejtësisë së trupit. Koeficienti i tërheqjes r është numerikisht i barabartë me forcën e tërheqjes që lind me një njësi shpejtësie të lëvizjes së trupit:

Ligji i lëvizjes lavjerrësi pranveror - ky është ligji i dytë i Njutonit:

m a = F psh. + F rezistencës

Duke marrë parasysh që të dyja , ne shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit në formën:

.

Duke i pjesëtuar të gjithë termat e ekuacionit me m dhe duke i lëvizur të gjithë në anën e djathtë, marrim ekuacioni diferencial lëkundjet e amortizuara:

Le të shënojmë, ku β - koeficienti i dobësimit, , ku ω 0 është frekuenca e lëkundjeve të lira të pamposhtura në mungesë të humbjeve të energjisë në sistemin oscilues.

Në shënimin e ri, ekuacioni diferencial i lëkundjeve të amortizuara ka formën:

.

Ky është një ekuacion diferencial linear i rendit të dytë.

Ekuacioni i oscilimit të lagur ka një zgjidhje për ekuacionin diferencial të mëposhtëm:

Shtojca 1 tregon se si të merret një zgjidhje për ekuacionin diferencial të lëkundjeve të amortizuara duke ndryshuar variablat.

Frekuenca e amortizuar:

(vetëm rrënja e vërtetë ka kuptim fizik, pra ).

Periudha e lëkundjeve të amortizuara:

.

Kuptimi që u fut në konceptin e një periudhe për lëkundjet e pamposhtura nuk është i përshtatshëm për lëkundjet e amortizuara, pasi sistemi oscilues nuk kthehet kurrë në gjendjen e tij origjinale për shkak të humbjeve të energjisë lëkundëse. Në prani të fërkimit, dridhjet janë më të ngadalta: .

Periudha e lëkundjeve të amortizuaraështë periudha minimale kohore gjatë së cilës sistemi kalon pozicionin e ekuilibrit dy herë në një drejtim.

Për sistemin mekanik të një lavjerrës sustë kemi:

, .

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara:

Për një lavjerrës pranveror.

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara nuk është një vlerë konstante, por ndryshon me kalimin e kohës, aq më shpejt aq më i madh është koeficienti β. Prandaj, përkufizimi për amplituda, i dhënë më herët për lëkundjet e lira të pamposhtura, duhet të ndryshohet për lëkundjet e amortizuara.

Për zbutje të vogla amplituda e lëkundjeve të amortizuara quhet devijimi më i madh nga pozicioni i ekuilibrit gjatë një periudhe.

Grafikët Diplomat e zhvendosjes kundrejt kohës dhe amplitudës kundrejt kohës janë paraqitur në figurat 3.1 dhe 3.2.

Figura 3.1 – Varësia e zhvendosjes nga koha për lëkundjet e amortizuara

Figura 3.2 – Varësia e amplitudës nga koha për lëkundjet e amortizuara

3.2. Lëkundjet elektromagnetike të amortizuara

Lëkundjet elektromagnetike të amortizuara lindin në e sistemi oscilues elektromagnetik, i quajtur LCR - qark (Figura 3.3).

Figura 3.3.

Ekuacioni diferencial ne marrim duke përdorur ligjin e dytë të Kirchhoff për një qark të mbyllur LCR: shuma e rënies së tensionit në rezistencën aktive (R) dhe kondensatorin (C) është e barabartë me emf i induktuar, i zhvilluar në qarkun e qarkut:

Rënia e tensionit:

Në rezistencën aktive: , ku I është forca aktuale në qark;

Në kondensator (C): , ku q është sasia e ngarkesës në njërën nga pllakat e kondensatorit.

EMF i zhvilluar në qark është EMF i induktuar që ndodh në induktor kur rryma në të ndryshon, dhe për këtë arsye fluksi magnetik përmes seksionit të saj kryq: (Ligji i Faradeit).

Le të zëvendësojmë vlerat U R, U C në ekuacionin që pasqyron ligjin e Kirchhoff, marrim:

.

Fuqia aktuale përcaktohet si derivat i ngarkesës, atëherë , dhe ekuacioni diferencial do të marrë formën:

.

Le të shënojmë dhe në këtë shënim marrim ekuacionin diferencial të lëkundjeve të amortizuara në formën:

Zgjidhja e një ekuacioni diferencial ose ekuacioni i lëkundjes për ngarkesën në pllakat e kondensatorit duket si kjo:

Amplituda e lëkundjeve të ngarkesës së amortizuar ka formën:

Frekuenca e amortizuar në qarkun LCR:

.

Periudha lëkundjet elektromagnetike të amortizuara:

.

Le të marrim ekuacionin për ngarkesën në formën , atëherë ekuacioni i tensionit në pllakat e kondensatorit mund të shkruhet kështu:
.

Sasia quhet amplituda e tensionit në të gjithë kondensatorin.

Aktuale në qark ndryshon me kalimin e kohës. Ekuacioni për rrymën në kontur mund të merret duke përdorur raportin dhe diagramin vektorial.

Ekuacioni përfundimtar për rrymën është:

Ku - faza fillestare.

Nuk është e barabartë me α, pasi forca aktuale nuk ndryshon sipas sinusit, i cili do të ishte derivati ​​i ngarkesës, por sipas kosinusit.

Energjisë lëkundjet në qark përbëhen nga energjia e fushës elektrike

dhe energjia e fushës magnetike

Energjia totale në çdo kohë:

Ku W 0– energjia totale e qarkut në kohën t=0 .

3.3. Karakteristikat e lëkundjeve të amortizuara

1.Koeficienti i zbutjes β.

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara ndryshon sipas një ligji eksponencial:

Le të ulet amplituda e lëkundjes me "e" herë gjatë kohës τ ("e" është baza e logaritmit natyror, e ≈ 2,718). Pastaj, nga njëra anë, , dhe nga ana tjetër, duke përshkruar amplituda A zat. (t) dhe Një zat. (t+τ), kemi . Nga këto marrëdhënie rrjedh βτ = 1, pra

Periudha kohore τ gjatë së cilës amplituda zvogëlohet me herë "e" quhet koha e relaksimit.

Koeficienti i zbutjesβ është një vlerë në përpjesëtim të zhdrejtë me kohën e relaksimit.

2. Zvogëlimi logaritmik amortizimi δ- një sasi fizike numerikisht e barabartë me logaritmin natyror të raportit të dy amplitudave të njëpasnjëshme të ndara në kohë me një periudhë.

§6 Lëkundjet e amortizuara

Zvogëlimi i zbutjes. Zvogëlimi i amortizimit logaritmik.

Dridhje të lira sistemet teknike V kushte reale ndodhin kur mbi to veprojnë forcat e rezistencës. Veprimi i këtyre forcave çon në një ulje të amplitudës së vlerës lëkundëse.

Lëkundjet, amplituda e të cilave zvogëlohet me kalimin e kohës për shkak të humbjeve të energjisë të sistemit real oscilues, quhen venitje.

Rastet më të zakonshme janë kur forca e rezistencës është proporcionale me shpejtësinë e lëvizjes

Ku r- koeficienti i rezistencës së mediumit. Shenja minus tregon këtëF Cdrejtuar në drejtim të kundërt me shpejtësinë.

Le të shkruajmë ekuacionin e lëkundjeve në një pikë që lëkundet në një mjedis koeficienti i rezistencës së të cilit ështër. Sipas ligjit të dytë të Njutonit

ku β është koeficienti i dobësimit. Ky koeficient karakterizon shkallën e zbutjes së lëkundjeve Në prani të forcave të rezistencës, energjia e sistemit lëkundës do të ulet gradualisht dhe lëkundjet do të shuhen.

- ekuacioni diferencial i lëkundjeve të amortizuara.

U barazimi i lëkundjeve të amortizuara.

ω - frekuenca e lëkundjeve të amortizuara:

Periudha e lëkundjeve të amortizuara:

Lëkundjet e amortizuara, kur merren parasysh rreptësisht, nuk janë periodike. Prandaj, mund të flasim për periudhën e lëkundjeve të amortizuara kur β është i vogël.

Nëse dobësimi shprehet dobët (β→0), atëherë. Lëkundjet e amortizuara mund të jenë

të konsiderohen si lëkundje harmonike, amplituda e të cilave ndryshon sipas një ligji eksponencial

Në ekuacionin (1) A 0 dhe φ 0 janë konstante arbitrare në varësi të zgjedhjes së momentit të kohës, duke filluar nga i cili konsiderojmë lëkundjet

Le të shqyrtojmë një lëkundje për ca kohë τ, gjatë së cilës amplituda do të ulet me e një herë

τ - koha e relaksimit.

Koeficienti i amortizimit β është në përpjesëtim të zhdrejtë me kohën gjatë së cilës amplituda zvogëlohet e një herë. Megjithatë, koeficienti i amortizimit nuk është i mjaftueshëm për të karakterizuar amortizimin e lëkundjeve. Prandaj, është e nevojshme të futet një karakteristikë për zbutjen e lëkundjeve, e cila përfshin kohën e një lëkundjeje. Kjo karakteristikë është pakësim(në rusisht: ulje) zbutje D, e cila e barabartë me raportin amplituda të ndara në kohë me një periudhë:

Zvogëlimi i amortizimit logaritmik e barabartë me logaritmin D:

Zvogëlimi logaritmik i amortizimit është në përpjesëtim të zhdrejtë me numrin e lëkundjeve, si rezultat i së cilës amplituda e lëkundjeve u ul me e një herë. Zvogëlimi logaritmik i amortizimit është një vlerë konstante për një sistem të caktuar.

Një karakteristikë tjetër e një sistemi oscilues është faktori i cilësisëP.

Faktori i cilësisë është proporcional me numrin e lëkundjeve të kryera nga sistemi gjatë kohës së relaksimit τ.

Psistemi oscilues është një masë e shpërndarjes (shpërndarjes) relative të energjisë.

Psistemi oscilues është një numër që tregon sa herë është forca elastike më shumë fuqi rezistencës.

§7 Dridhjet e detyruara.

Rezonanca

Në një numër rastesh, ekziston nevoja për të krijuar sisteme që kryejnë lëkundje të vazhdueshme. Është e mundur të merren lëkundje të pamposhtura në sistem nëse kompensoni humbjet e energjisë duke vepruar në sistem me një forcë që ndryshon periodikisht.

Le

Le të shkruajmë shprehjen për ekuacionin e lëvizjes pika materiale, duke kryer një harmonike lëvizje osciluese nën ndikimin e një force imponuese.

Sipas ligjit të dytë të Njutonit:

(1)

Ekuacioni diferencial i lëkundjeve të detyruara.

Ky ekuacion diferencial është linear johomogjen.

Zgjidhja e tij është e barabartë me shumën zgjidhje e përgjithshme ekuacioni homogjen dhe zgjidhje private ekuacioni johomogjen:

Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë për ekuacionin johomogjen. Për ta bërë këtë, ne rishkruajmë ekuacionin (1) në formën e mëposhtme:

(2)

Ne do të kërkojmë një zgjidhje të veçantë për këtë ekuacion në formën:

Pastaj

Le të zëvendësojmë në (2):

sepse punon për çdot, atëherë barazia γ = ω duhet të jetë, prandaj,

Kjo numër kompleksështë e përshtatshme ta përfaqësosh atë në formë

Ku A përcaktohet me formulën (3 më poshtë), dhe φ - me formulën (4), pra, zgjidhja (2), në formë komplekse duket si

Pjesa e saj reale, e cila ishte zgjidhja e ekuacionit (1), është e barabartë me:

Ku

(3)

(4)

Termi X o.o. luan një rol të rëndësishëm vetëm në fazën fillestare kur vendosen lëkundjet derisa amplituda e lëkundjeve të detyruara të arrijë vlerën e përcaktuar nga barazia (3). Në gjendje të qëndrueshme, lëkundjet e detyruara ndodhin me një frekuencë ω dhe janë harmonike. Amplituda (3) dhe faza (4) e lëkundjeve të detyruara varen nga frekuenca e forcës lëvizëse. Në një frekuencë të caktuar të forcës lëvizëse, amplituda mund të arrijë shumë vlera të mëdha. Rritje e mprehtë amplituda e lëkundjeve të detyruara kur frekuenca e forcës lëvizëse i afrohet frekuencës natyrore të sistemit mekanik quhet rezonancë.

Frekuenca ω e forcës lëvizëse në të cilën vërehet rezonanca quhet rezonante. Për të gjetur vlerën e ω res, është e nevojshme të gjendet kushti për amplituda maksimale. Për ta bërë këtë, ju duhet të përcaktoni kushtin për minimumin e emëruesit në (3) (d.m.th., të ekzaminoni (3) për një ekstrem).

Varësia e amplitudës së një sasie lëkundëse nga frekuenca e forcës lëvizëse quhet kurba e rezonancës. Sa më i ulët të jetë koeficienti i amortizimit β, aq më i lartë është kurba e rezonancës dhe kur β zvogëlohet, maksimumi i kurbave të rezonancës do të zhvendoset djathtas. Nëse β = 0, atëherë

ω res = ω 0 .

Kur ω→0 të gjitha kthesat vijnë në vlerë- devijimi statik.

Rezonanca parametrike ndodh kur ndryshim periodik Një nga parametrat e sistemit çon në një rritje të mprehtë të amplitudës së sistemit lëkundës. Për shembull, kabina që krijojnë një "diell" duke ndryshuar pozicionin e qendrës së gravitetit të sistemit (E njëjta gjë në "varkat.") Shih §61.t. 1 Savelyev I.V.