Shembuj me një term të panjohur. Kur ka disa rrënjë

Tema:Ekuacioni. Zgjidhja e ekuacioneve bazuar në marrëdhëniet midis veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes. Term i panjohur.

Objektivi i mësimit: zhvillojnë aftësinë për të zgjidhur ekuacionet me term i panjohur bazuar në marrëdhëniet ndërmjet veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes; zhvillimi i aftësive për të mbledhur dhe zbritur dhjetëshe; përsëritja e njohurive për forma gjeometrike; duke ushqyer interesin për matematikën.

Ecuria e mësimit

1. Momenti organizativ

2.Përditësimi njohuri të sfondit, aftësitë dhe aftësitë.

1. Lojë “Trego shenjën”. Mësuesi/ja lexon problemat:

Bleva 10 zarfe pa pulla. Kam ngjitur pulla në 4 zarfe. Sa zarfe kanë mbetur pa pulla?

Albumi përmban 8 fotografi me ngjyra, dhe 3 më pak bardh e zi. Sa foto bardh e zi ka në album?

Kemi mbledhur 7 kanaçe me mjedra dhe 3 kanaçe me rrush pa fara. Sa kavanoza me manaferra keni mbledhur?

Buqeta përmban 5 karafila të verdhë dhe 8 të bardhë. Sa më pak karafila të verdhë?

Ka 8 ëmbëlsira në një kuti. Sa ëmbëlsira duhet të merren nga kutia në mënyrë që të mbeten 5 ëmbëlsira në të?

4 djem u larguan nga sheshi i patinazhit, 6 të tjerët vazhduan patinazhin. Sa djem ishin në fillim në pistën e patinazhit?

2. Në karta, gjeni ekuacionet midis hyrjeve dhe nënvizoni ato me një rresht (përgjatë një vizore). Ka një shënim në karta.

4 + 5 = 9 7 – a = 3 6 + b x 4 4 + y = 6

3. Gjeni zgjidhjen e secilit ekuacion. Shkruani atë.

7 + x = 9 8 – y = 2 3 + a = 9

3.Mësimi i materialit të ri.

P përgatitja për perceptimin e materialit të ri mësuesi

Bëni katër shembuj.

50 + 40 = 90 90 - 40 = 50

40 + 50 = 90 90 - 50 = 40

Pastaj zgjidhni ekuacionet.

50 + x = 90 x + 40 = 90

X=90 – 50 x= 90 - 40

X=40 x=50_____

50+40=90 50+40=90

Mund të gjendet rrënja e ekuacionit, ose mund të përdorni njohuri për marrëdhënien midis mbledhjes dhe zbritjes. Zgjidhja e ekuacionit duhet të kontrollohet. Nëse zbritni një term nga shuma, ju merrni një term tjetër.

4. Konsolidimi

Zdetyra 2 në fletore. Zgjidhini ekuacionet dhe kontrolloni.

Detyra 4 fq 187. çfarë formash shihni në figurë? Cilat ndërpriten?

5.Puna në një fletore. Nga 23

Detyra 3. zgjidhjen e një problemi me komentimin nga vendi

6. Punoni në një temë metodologjike. që synojnë zhvillimin të menduarit logjik. Mësoni të ndërtoni deklarata logjike.

Detyra 4 nga 24

Detyra 5. f 187. Cila dhuratë është më e rëndë? Cila është më e lehtë?

7. Detyrë shtëpie nga 23 z 1 8. Përmbledhje e mësimit

Ekuacionet janë një nga tema të vështira për asimilim, por në të njëjtën kohë janë të mjaftueshme mjet i fuqishëm për zgjidhjen e shumicës së problemeve.

Ekuacionet përdoren për të përshkruar procese të ndryshme, që ndodhin në natyrë. Ekuacionet përdoren gjerësisht në shkencat e tjera: ekonomi, fizikë, biologji dhe kimi.

NË këtë mësim Ne do të përpiqemi të kuptojmë thelbin e ekuacioneve më të thjeshta, të mësojmë të shprehim të panjohura dhe të zgjidhim disa ekuacione. Ndërsa mësoni materiale të reja, ekuacionet do të bëhen më komplekse, kështu që kuptimi i bazave është shumë i rëndësishëm.

Çfarë është një ekuacion?

Një ekuacion është një barazi që përmban një variabël vlerën e së cilës dëshironi ta gjeni. Kjo vlerë duhet të jetë e tillë që kur të zëvendësohet në ekuacioni origjinalështë marrë barazia e saktë numerike.

Për shembull, shprehja 2 + 2 = 4 është një barazi. Gjatë llogaritjes së anës së majtë, merret barazia e saktë numerike 4 = 4.

Por barazia është 2 + x= 4 është një ekuacion sepse përmban një ndryshore x, vlera e së cilës mund të gjendet. Vlera duhet të jetë e tillë që kur zëvendësohet kjo vlerë në ekuacionin origjinal, të merret barazia e saktë numerike.

Me fjalë të tjera, ne duhet të gjejmë një vlerë në të cilën shenja e barabartë do të justifikonte vendndodhjen e saj - ana e majtë duhet të jetë e barabartë me anën e djathtë.

Ekuacioni 2 + x= 4 është elementare. Vlera e ndryshueshme xështë e barabartë me numrin 2. Për asnjë vlerë tjetër nuk do të respektohet barazi

Ata thonë se numri 2 është rrënjë ose zgjidhja e ekuacionit 2 + x = 4

Rrënja ose zgjidhje e ekuacionit- kjo është vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë numerike.

Mund të ketë disa rrënjë ose fare. Zgjidhe ekuacionin do të thotë të gjesh rrënjët e tij ose të provosh se nuk ka rrënjë.

Ndryshorja e përfshirë në ekuacion quhet ndryshe i panjohur. Ju keni të drejtë ta quani atë siç preferoni. Këto janë sinonime.

Shënim. Fraza "zgjidh një ekuacion" flet vetë. Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë "barazimi" i ekuacionit - duke e bërë atë të balancuar në mënyrë që ana e majtë të jetë e barabartë me anën e djathtë.

Shpreh një gjë përmes tjetrës

Studimi i ekuacioneve tradicionalisht fillon me të mësuarit për të shprehur një numër të përfshirë në një barazi përmes një numri të tjerëve. Le të mos e thyejmë këtë traditë dhe të bëjmë të njëjtën gjë.

Merrni parasysh shprehjen e mëposhtme:

8 + 2

Kjo shprehje është shuma e numrave 8 dhe 2. Kuptimi shprehje e dhënëështë e barabartë me 10

8 + 2 = 10

Ne morëm barazi. Tani mund të shprehni çdo numër nga kjo barazi përmes numrave të tjerë të përfshirë në të njëjtën barazi. Për shembull, le të shprehim numrin 2.

Për të shprehur numrin 2, duhet të bëni pyetjen: "çfarë duhet bërë me numrat 10 dhe 8 për të marrë numrin 2". Është e qartë se për të marrë numrin 2, duhet të zbritni numrin 8 nga numri 10.

Kjo është ajo që ne bëjmë. Shkruajmë numrin 2 dhe me shenjën e barazimit themi se për të marrë këtë numër 2 kemi zbritur numrin 8 nga numri 10:

2 = 10 − 8

Ne shprehëm numrin 2 nga barazia 8 + 2 = 10. Siç mund të shihet nga shembulli, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me këtë.

Kur zgjidhni ekuacione, veçanërisht kur shprehni një numër në terma të të tjerëve, është e përshtatshme të zëvendësoni shenjën e barabartë me fjalën " ka" . Kjo duhet bërë mendërisht, dhe jo në vetë shprehjen.

Pra, duke shprehur numrin 2 nga barazia 8 + 2 = 10, kemi marrë barazinë 2 = 10 − 8. Kjo barazi mund të lexohet si më poshtë:

2 ka 10 − 8

Kjo është një shenjë = zëvendësohet me fjalën "është". Për më tepër, barazia 2 = 10 − 8 mund të përkthehet nga gjuha matematikore në të drejta të plota gjuha njerëzore. Pastaj mund të lexohet si më poshtë:

Numri 2 ka ndryshimi midis numrit 10 dhe numrit 8

Numri 2 ka ndryshimi midis numrit 10 dhe numrit 8.

Por ne do të kufizohemi vetëm në zëvendësimin e shenjës së barazisë me fjalën "është", dhe ne nuk do ta bëjmë gjithmonë këtë. Shprehjet elementare mund të kuptohen pa e përkthyer gjuhën matematikore në gjuhën njerëzore.

Le ta kthejmë barazinë që rezulton 2 = 10 − 8 në gjendjen e tij origjinale:

8 + 2 = 10

Le të shprehim numrin 8 këtë herë Çfarë duhet bërë me numrat e mbetur për të marrë numrin 8? Kjo është e drejtë, ju duhet të zbrisni 2 nga numri 10

8 = 10 − 2

Le ta kthejmë barazinë që rezulton 8 = 10 − 2 në gjendjen e tij origjinale:

8 + 2 = 10

Këtë herë do të shprehim numrin 10. Por rezulton se nuk ka nevojë të shprehet dhjetëshja, pasi tashmë është shprehur. Mjafton të ndërrojmë pjesët e majta dhe të djathta, atëherë marrim atë që na nevojitet:

10 = 8 + 2

Shembulli 2. Merrni parasysh barazinë 8 − 2 = 6

Le të shprehim numrin 8 nga kjo barazi Për të shprehur numrin 8, duhet të shtohen dy numrat e mbetur:

8 = 6 + 2

Le ta kthejmë barazinë që rezulton 8 = 6 + 2 në gjendjen e tij origjinale:

8 − 2 = 6

Le të shprehim numrin 2 nga kjo barazi Për të shprehur numrin 2, duhet të zbrisni 6 nga 8

2 = 8 − 6

Shembulli 3. Konsideroni barazinë 3 × 2 = 6

Le të shprehim numrin 3. Për të shprehur numrin 3, duhet 6 pjesëtuar me 2

Le ta kthejmë barazinë që rezulton në gjendjen e tij origjinale:

3 × 2 = 6

Le të shprehim numrin 2 nga kjo barazi për të shprehur numrin 2, ju duhet 6 pjesëtuar me 3

Shembulli 4. Merrni parasysh barazinë

Le të shprehim numrin 15 nga kjo barazi për të shprehur numrin 15, duhet të shumëzoni numrat 3 dhe 5

15 = 3 × 5

Le ta kthejmë barazinë që rezulton 15 = 3 × 5 në gjendjen e tij origjinale:

Le të shprehim numrin 5 nga kjo barazi për të shprehur numrin 5, ju duhet 15 pjesëtuar me 3

Rregullat për gjetjen e të panjohurave

Le të shqyrtojmë disa rregulla për gjetjen e të panjohurave. Ato mund të jenë të njohura për ju, por nuk është e dëmshme t'i përsërisni përsëri. Në të ardhmen, ato mund të harrohen, pasi mësojmë të zgjidhim ekuacione pa zbatuar këto rregulla.

Le të kthehemi te shembulli i parë, të cilin e pamë në temën e mëparshme, ku në barazinë 8 + 2 = 10 na duhej të shprehnim numrin 2.

Në barazinë 8 + 2 = 10, numrat 8 dhe 2 janë termat, dhe numri 10 është shuma.

Për të shprehur numrin 2, bëmë si më poshtë:

2 = 10 − 8

Kjo do të thotë, nga shuma prej 10 ne zbritëm termin 8.

Tani imagjinoni që në barazinë 8 + 2 = 10, në vend të numrit 2 ka një ndryshore x

8 + x = 10

Në këtë rast, barazia 8 + 2 = 10 bëhet ekuacioni 8 + x= 10 dhe ndryshorja x term i panjohur

Detyra jonë është të gjejmë këtë term të panjohur, domethënë të zgjidhim ekuacionin 8 + x= 10 . Për të gjetur një term të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:

Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma.

Kjo është në thelb ajo që bëmë kur shprehëm dy në barazinë 8 + 2 = 10. Për të shprehur termin 2, ne zbritëm një term tjetër 8 nga shuma 10

2 = 10 − 8

Tani, për të gjetur termin e panjohur x, duhet të zbresim termin e njohur 8 nga shuma 10:

x = 10 − 8

Nëse llogaritni anën e djathtë të barazisë që rezulton, mund të zbuloni se me çfarë është e barabartë ndryshorja x

x = 2

Ne e kemi zgjidhur ekuacionin. Vlera e ndryshueshme xështë e barabartë me 2. Për të kontrolluar vlerën e një ndryshoreje x dërguar në ekuacionin origjinal 8 + x= 10 dhe zëvendësues x. Këshillohet ta bëni këtë me çdo ekuacion të zgjidhur, pasi nuk mund të jeni absolutisht i sigurt se ekuacioni është zgjidhur saktë:

Si rezultat

I njëjti rregull do të zbatohej nëse termi i panjohur ishte numri i parë 8.

x + 2 = 10

Në këtë ekuacion xështë termi i panjohur, 2 është termi i njohur, 10 është shuma. Për të gjetur një term të panjohur x, ju duhet të zbritni termin e njohur 2 nga shuma 10

x = 10 − 2

x = 8

Le të kthehemi te shembulli i dytë nga tema e mëparshme, ku në barazinë 8 − 2 = 6 ishte e nevojshme të shprehej numri 8.

Në barazinë 8 − 2 = 6, numri 8 është minuend, numri 2 është nëntreg, dhe numri 6 është diferenca

Për të shprehur numrin 8, bëmë si më poshtë:

8 = 6 + 2

Kjo do të thotë, ne kemi shtuar diferencën e 6 dhe kemi zbritur 2.

Tani imagjinoni që në barazinë 8 − 2 = 6, në vend të numrit 8, ka një ndryshore x

x − 2 = 6

Në këtë rast ndryshorja x merr rolin e të ashtuquajturit minuend i panjohur

Për të gjetur një minuend të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:

Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.

Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 8 në barazinë 8 − 2 = 6. Për të shprehur minuend-in e 8-së, ne i shtuam subtrahend-in e 2 diferencës së 6-së.

Tani, për të gjetur minuendin e panjohur x, ne duhet të shtojmë subtrahend 2 në diferencën 6

x = 6 + 2

Nëse llogaritni anën e djathtë, mund të zbuloni se me çfarë është e barabartë ndryshorja x

x = 8

Tani imagjinoni që në barazinë 8 − 2 = 6, në vend të numrit 2, ka një ndryshore x

8 − x = 6

Në këtë rast ndryshorja x merr rolin nëntreg i panjohur

Për të gjetur një nëntokë të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:

Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.

Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 2 në barazinë 8 − 2 = 6. Për të shprehur numrin 2, zbritëm ndryshimin 6 nga minuend 8.

Tani, për të gjetur nëntokën e panjohur x, përsëri duhet të zbritni diferencën 6 nga minuend 8

x = 8 − 6

Ne llogarisim anën e djathtë dhe gjejmë vlerën x

x = 2

Le të kthehemi te shembulli i tretë nga tema e mëparshme, ku në barazinë 3 × 2 = 6 u përpoqëm të shprehim numrin 3.

Në barazinë 3 × 2 = 6, numri 3 është shumëzuesi, numri 2 është shumëzuesi, numri 6 është prodhimi

Për të shprehur numrin 3 bëmë si më poshtë:

Kjo do të thotë, ne e ndajmë prodhimin e 6 me faktorin 2.

Tani imagjinoni që në barazinë 3 × 2 = 6, në vend të numrit 3 ka një ndryshore x

x× 2 = 6

Në këtë rast ndryshorja x merr rolin shumëzues i panjohur.

Për të gjetur një shumëzues të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:

Për të gjetur një shumëzues të panjohur, duhet të ndani produktin me faktorin.

Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 3 nga barazia 3 × 2 = 6. Ne e ndajmë produktin 6 me faktorin 2.

Tani për të gjetur shumëzuesin e panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 6 me faktorin 2.

Llogaritja e anës së djathtë na lejon të gjejmë vlerën e një ndryshoreje x

x = 3

I njëjti rregull zbatohet nëse ndryshorja x ndodhet në vend të shumëzuesit, jo të shumëzuesit. Le të imagjinojmë që në barazinë 3 × 2 = 6, në vend të numrit 2 ka një ndryshore x.

Në këtë rast ndryshorja x merr rolin shumëzues i panjohur . Për të gjetur një faktor të panjohur, parashikohet e njëjta procedurë si për gjetjen e një shumëzuesi të panjohur, përkatësisht, pjesëtimi i produktit me një faktor të njohur:

Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet të ndani produktin me shumëzuesin.

Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 2 nga barazia 3 × 2 = 6. Më pas për të marrë numrin 2 ne e ndajmë prodhimin e 6 me shumëzuesin e tij 3.

Tani për të gjetur faktorin e panjohur x Ne e ndajmë prodhimin e 6 me shumëzuesin e 3.

Llogaritja e anës së djathtë të barazisë ju lejon të zbuloni se me çfarë është x

x = 2

Shumëzuesi dhe shumëzuesi së bashku quhen faktorë. Meqenëse rregullat për gjetjen e një shumëzuesi dhe një shumëzuesi janë të njëjta, ne mund të formulojmë rregull i përgjithshëm Gjetja e një faktori të panjohur:

Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.

Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin 9 × x= 18. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet të ndani produktin 18 me faktorin e njohur 9

Le të zgjidhim ekuacionin x× 3 = 27. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet të ndani produktin 27 me faktorin e njohur 3

Kthehemi te shembulli i katërt nga tema e mëparshme, ku në një barazi na duhej të shprehnim numrin 15. Në këtë barazi, numri 15 është dividenti, numri 5 është pjesëtuesi dhe numri 3 është herësi.

Për të shprehur numrin 15 bëmë si më poshtë:

15 = 3 × 5

Kjo do të thotë, ne shumëzuam herësin e 3 me pjesëtuesin e 5.

Tani imagjinoni që në barazi, në vend të numrit 15, ka një ndryshore x

Në këtë rast ndryshorja x merr rolin divident i panjohur.

Për të gjetur një dividend të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:

Për të gjetur dividentin e panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.

Kështu bëmë kur shprehëm numrin 15 nga barazia. Për të shprehur numrin 15, shumëzojmë herësin e 3 me pjesëtuesin e 5.

Tani, për të gjetur dividentin e panjohur x, ju duhet të shumëzoni herësin 3 me pjesëtuesin 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Tani imagjinoni që në barazi, në vend të numrit 5, ka një ndryshore x .

Në këtë rast ndryshorja x merr rolin pjesëtues i panjohur.

Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:

Kështu bëmë kur shprehëm numrin 5 nga barazia. Për të shprehur numrin 5, pjesëtojmë dividentin 15 me herësin 3.

Tani për të gjetur pjesëtuesin e panjohur x, ju duhet të pjesëtoni dividentin 15 me herësin 3

Le të llogarisim anën e djathtë të barazisë që rezulton. Në këtë mënyrë zbulojmë se me çfarë është e barabartë ndryshorja x .

x = 5

Pra, për të gjetur të panjohurat, ne studiuam rregullat e mëposhtme:

• Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma;
• Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni diferencës subtrahend;
• Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend;
• Për të gjetur një shumëzues të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin;
• Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me shumëzuesin;
• Për të gjetur një dividend të panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin;
• Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.

Komponentët

Ne do t'i quajmë komponentë numrat dhe variablat e përfshirë në barazi

Pra, përbërësit e shtimit janë kushtet Dhe shuma

Komponentët e zbritjes janë minuend, nëntrup Dhe ndryshim

Komponentët e shumëzimit janë shumëfishues, faktor Dhe puna

Përbërësit e pjesëtimit janë dividenti, pjesëtuesi dhe herësi.

Varësisht se me cilët komponentë kemi të bëjmë, do të zbatohen rregullat përkatëse për gjetjen e të panjohurave. Këto rregulla i kemi studiuar në temën e mëparshme. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, këshillohet që këto rregulla të njihen përmendësh.

Shembulli 1. Gjeni rrënjën e ekuacionit 45 + x = 60

45 - afati, x- term i panjohur, 60 - shuma. Kemi të bëjmë me komponentët e shtimit. Kujtojmë se për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma:

x = 60 − 45

Le të llogarisim anën e duhur dhe të marrim vlerën x e barabartë me 15

x = 15

Pra, rrënja e ekuacionit është 45 + x= 60 është e barabartë me 15.

Më shpesh, një term i panjohur duhet të reduktohet në një formë në të cilën mund të shprehet.

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Këtu, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, termi i panjohur nuk mund të shprehet menjëherë, pasi përmban një koeficient prej 2. Detyra jonë është ta sjellim këtë ekuacion në një formë në të cilën mund të shprehet x

Në këtë shembull, kemi të bëjmë me përbërësit e mbledhjes - termat dhe shumën. 2 xështë termi i parë, 4 është termi i dytë, 8 është shuma.

Në këtë rast, termi 2 x përmban një variabël x. Pas gjetjes së vlerës së ndryshores x termi 2 x do të marrë një pamje tjetër. Prandaj, termi 2 x mund të merret plotësisht si një term i panjohur:

Tani zbatojmë rregullin për gjetjen e termit të panjohur. Zbrisni termin e njohur nga shuma:

Le të llogarisim anën e djathtë të ekuacionit që rezulton:

Kemi një ekuacion të ri. Tani kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit: shumëzuesin, shumëzuesin dhe produktin. 2 - shumëzues, x- shumëzues, 4 - produkt

Në këtë rast, ndryshorja x nuk është thjesht një shumëzues, por një shumëzues i panjohur

Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me shumëzuesin:

Le të llogarisim anën e djathtë dhe të marrim vlerën e ndryshores x

Për të kontrolluar, dërgoni rrënjën e gjetur në ekuacionin origjinal dhe zëvendësojeni x

Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56

Shprehni të panjohurën menjëherë xështë e ndaluar. Së pari ju duhet të sillni ekuacioni i dhënë në formën në të cilën mund të shprehet.

Ne paraqesim në anën e majtë të këtij ekuacioni:

Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. 28 - shumëzues, x- shumëzues, 56 - produkt. Në të njëjtën kohë xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet të ndani produktin me shumëzuesin:

Nga këtu xështë e barabartë me 2

Ekuacionet ekuivalente

Në shembullin e mëparshëm, kur zgjidhet ekuacioni 3x + 9x + 16x = 56 , kemi sjellë terma të ngjashëm në anën e majtë të ekuacionit. Si rezultat, ne morëm një ekuacion të ri 28 x= 56 . Ekuacioni i vjetër 3x + 9x + 16x = 56 dhe ekuacioni i ri që rezulton 28 x= 56 quhet ekuacionet ekuivalente, pasi rrënjët e tyre përkojnë.

Ekuacionet quhen ekuivalente nëse rrënjët e tyre përkojnë.

Le ta kontrollojmë. Për ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56 gjetëm rrënjën e barabartë me 2. Le ta zëvendësojmë fillimisht këtë rrënjë në ekuacion 3x+ 9x+ 16x= 56 , dhe më pas në ekuacionin 28 x= 56, e cila u përftua duke sjellë terma të ngjashëm në anën e majtë të ekuacionit të mëparshëm. Duhet të marrim barazitë e sakta numerike

Sipas rendit të veprimeve, së pari kryhet shumëzimi:

Le të zëvendësojmë rrënjën 2 në ekuacionin e dytë 28 x= 56

Shohim që të dy ekuacionet kanë të njëjtat rrënjë. Pra ekuacionet 3x+ 9x+ 16x= 6 dhe 28 x= 56 janë vërtet ekuivalente.

Për të zgjidhur ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56 Ne përdorëm njërën prej tyre - reduktimin e termave të ngjashëm. Transformimi i saktë i identitetit të ekuacionit na lejoi të marrim ekuacionin ekuivalent 28 x= 56, e cila është më e lehtë për t'u zgjidhur.

Nga transformimet e identitetit në për momentin ne dimë vetëm të zvogëlojmë thyesat, të shtojmë terma të ngjashëm, të nxjerrim jashtë shumëzues i përbashkët përtej kllapave, dhe gjithashtu hapni kllapat. Ka konvertime të tjera për të cilat duhet të jeni të vetëdijshëm. Por për ide e përgjithshme për transformimet identike të ekuacioneve, temat që kemi studiuar janë mjaft të mjaftueshme.

Le të shqyrtojmë disa transformime që na lejojnë të marrim ekuacionin ekuivalent

Nëse shtoni të njëjtin numër në të dy anët e ekuacionit, merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

dhe në mënyrë të ngjashme:

Nëse zbrisni të njëjtin numër nga të dy anët e një ekuacioni, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

Me fjalë të tjera, rrënja e ekuacionit nuk do të ndryshojë nëse i njëjti numër i shtohet (ose i zbritet nga të dyja anët) të njëjtit numër.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin

Zbrisni 10 nga të dyja anët e ekuacionit

Ne kemi ekuacionin 5 x= 10 . Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur një faktor të panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 10 me faktorin e njohur 5.

dhe zëvendësues x vlera e gjetur 2

Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Zgjidhja e ekuacionit ne zbritëm numrin 10 nga të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, kemi marrë një ekuacion ekuivalent. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni është gjithashtu e barabartë me 2

Shembulli 2. Zgjidh ekuacionin 4( x+ 3) = 16

Zbrisni numrin 12 nga të dyja anët e ekuacionit

Do të mbeten 4 në anën e majtë x, dhe në anën e djathtë numri 4

Ne kemi ekuacionin 4 x= 4. Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur një faktor të panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 4 me faktorin e njohur 4

Le të kthehemi në ekuacionin origjinal 4 ( x+ 3) = 16 dhe zëvendësim x vlera e gjetur 1

Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Zgjidhja e ekuacionit 4 ( x+ 3) = 16 kemi zbritur numrin 12 nga të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, kemi marrë ekuacionin ekuivalent 4 x= 4. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni 4 ( x+ 3) = 16 është gjithashtu e barabartë me 1

Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin

Le të zgjerojmë kllapat në anën e majtë të barazisë:

Shtoni numrin 8 në të dy anët e ekuacionit

Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dy anët e ekuacionit:

Do të mbeten 2 në anën e majtë x, dhe në anën e djathtë numri 9

Në ekuacionin që rezulton 2 x= 9 shprehim termin e panjohur x

Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 4.5

Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Zgjidhja e ekuacionit Ne shtuam numrin 8 në të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, morëm një ekuacion të barabartë. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni gjithashtu e barabartë me 4.5

Rregulli tjetër që na lejon të marrim një ekuacion ekuivalent është si më poshtë

Nëse zhvendosni një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

Kjo do të thotë, rrënja e ekuacionit nuk do të ndryshojë nëse kalojmë një term nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin, duke ndryshuar shenjën e tij. Kjo veti është një nga më të rëndësishmet dhe nga ato që përdoret shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve.

Merrni parasysh ekuacionin e mëposhtëm:

Rrënja e këtij ekuacioni është e barabartë me 2. Le ta zëvendësojmë x këtë rrënjë dhe kontrolloni nëse barazia numerike është e saktë

Rezultati është një barazi e saktë. Kjo do të thotë se numri 2 është me të vërtetë rrënja e ekuacionit.

Tani le të përpiqemi të eksperimentojmë me termat e këtij ekuacioni, duke i lëvizur ato nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjat.

Për shembull, termi 3 x ndodhet në anën e majtë të ekuacionit. Le ta zhvendosim atë në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën:

Rezultati është një ekuacion 12 = 9x − 3x . në anën e djathtë të këtij ekuacioni:

xështë një faktor i panjohur. Le të gjejmë këtë faktor të njohur:

Nga këtu x= 2. Siç mund ta shihni, rrënja e ekuacionit nuk ka ndryshuar. Pra, ekuacionet janë 12 + 3 x = 9x Dhe 12 = 9x − 3x janë ekuivalente.

Në fakt, ky transformim është një metodë e thjeshtuar e transformimit të mëparshëm, ku i njëjti numër shtohet (ose zbritet) në të dy anët e ekuacionit.

Ne thamë se në ekuacionin 12 + 3 x = 9x termi 3 x u zhvendos në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Në realitet, ndodhi si vijon: termi 3 u zbrit nga të dy anët e ekuacionit x

Më pas janë dhënë terma të ngjashëm në anën e majtë dhe është marrë ekuacioni 12 = 9x − 3x. Pastaj u dhanë përsëri terma të ngjashëm, por në anën e djathtë, dhe u mor ekuacioni 12 = 6 x.

Por i ashtuquajturi "transferim" është më i përshtatshëm për ekuacione të tilla, prandaj është bërë kaq i përhapur. Kur zgjidhim ekuacione, ne shpesh do të përdorim këtë transformim të veçantë.

Ekuacionet 12 + 3 janë gjithashtu ekuivalente x= 9x Dhe 3x− 9x= −12 . Këtë herë ekuacioni është 12 + 3 x= 9x termi 12 u zhvendos në anën e djathtë, dhe termi 9 x në të majtë. Nuk duhet të harrojmë se shenjat e këtyre kushteve u ndryshuan gjatë transferimit

Rregulli tjetër që na lejon të marrim një ekuacion ekuivalent është si më poshtë:

Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, jo të barabartë me zero, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

Me fjalë të tjera, rrënjët e një ekuacioni nuk do të ndryshojnë nëse të dyja palët shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër. Ky veprim përdoret shpesh kur duhet të zgjidhni një ekuacion që përmban shprehjet thyesore.

Së pari, le të shohim shembuj në të cilët të dy anët e ekuacionit do të shumëzohen me të njëjtin numër.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin

Kur zgjidhen ekuacionet që përmbajnë shprehje thyesore, është zakon që fillimisht të thjeshtohet ekuacioni.

NË në këtë rast kemi të bëjmë pikërisht me një ekuacion të tillë. Për të thjeshtuar këtë ekuacion, të dy anët mund të shumëzohen me 8:

Kujtojmë se për , duhet të shumëzojmë numëruesin e një thyese të dhënë me këtë numër. Kemi dy thyesa dhe secila prej tyre shumëzohet me numrin 8. Detyra jonë është të shumëzojmë numëruesit e thyesave me këtë numër 8

Tani ndodh pjesa interesante. Numëruesit dhe emëruesit e të dy thyesave përmbajnë një faktor 8, i cili mund të reduktohet me 8. Kjo do të na lejojë të heqim qafe shprehjen thyesore:

Si rezultat, ekuacioni më i thjeshtë mbetet

Epo, nuk është e vështirë të merret me mend se rrënja e këtij ekuacioni është 4

x vlera e gjetur 4

Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni, ne i shumëzuam të dyja anët me 8. Si rezultat, morëm ekuacionin. Rrënja e këtij ekuacioni, ashtu si ekuacioni, është 4. Kjo do të thotë se këto ekuacione janë ekuivalente.

Faktori me të cilin shumëzohen të dyja anët e ekuacionit zakonisht shkruhet para pjesës së ekuacionit, dhe jo pas saj. Pra, duke zgjidhur ekuacionin, ne shumëzuam të dy anët me një faktor 8 dhe morëm hyrjen e mëposhtme:

Kjo nuk e ndryshoi rrënjën e ekuacionit, por nëse do ta kishim bërë këtë në shkollë, do të ishim qortuar, pasi në algjebër është zakon të shkruhet një faktor përpara shprehjes me të cilën shumëzohet. Prandaj, këshillohet të rishkruani shumëzimin e të dy anëve të ekuacionit me një faktor 8 si më poshtë:

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Në anën e majtë, faktorët e 15 mund të zvogëlohen me 15, dhe në anën e djathtë, faktorët e 15 dhe 5 mund të zvogëlohen me 5.

Le të hapim kllapat në anën e djathtë të ekuacionit:

Le të lëvizim termin x nga ana e majtë e ekuacionit në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Dhe ne zhvendosim termin 15 nga ana e djathtë e ekuacionit në anën e majtë, duke ndryshuar përsëri shenjën:

Ne paraqesim terma të ngjashëm në të dyja anët, marrim

Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. E ndryshueshme x

Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 5

Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë. Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni, ne i shumëzuam të dyja anët me 15. Duke kryer më tej transformime identike, kemi marrë ekuacionin 10 = 2 x. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni është e barabartë me 5. Kjo do të thotë se këto ekuacione janë ekuivalente.

Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin

Në anën e majtë mund të zvogëloni dy trefisha, dhe anën e djathtë do të jetë e barabartë me 18

Ekuacioni më i thjeshtë mbetet. Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Le të gjejmë këtë faktor të njohur:

Le të kthehemi në ekuacionin origjinal dhe të zëvendësojmë x vlera e gjetur 9

Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 6

Le të hapim kllapat në anën e majtë të ekuacionit. Në anën e djathtë, faktori 6 mund të ngrihet në numërues:

Le të zvogëlojmë atë që mund të reduktohet në të dyja anët e ekuacioneve:

Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:

Le të përdorim transferimin e termave. Termat që përmbajnë të panjohurën x, ne grupojmë në anën e majtë të ekuacionit, dhe termat pa të panjohura - në të djathtë:

Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dyja pjesët:

Tani le të gjejmë vlerën e ndryshores x. Për ta bërë këtë, ndani produktin 28 me faktorin e njohur 7

Nga këtu x= 4.

Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 4

Rezultati është një ekuacion numerik i saktë. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin

Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit ku është e mundur:

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 15

Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit:

Le të zvogëlojmë atë që mund të reduktohet në të dy anët e ekuacionit:

Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:

Le të zgjerojmë kllapat ku është e mundur:

Le të përdorim transferimin e termave. Ne grupojmë termat që përmbajnë të panjohurën në anën e majtë të ekuacionit dhe termat pa të panjohura në të djathtë. Mos harroni se gjatë transferimit, kushtet ndryshojnë shenjat e tyre në të kundërtën:

Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dy anët e ekuacionit:

Le të gjejmë vlerën x

Përgjigja që rezulton mund të ndahet në një pjesë të tërë:

Le të kthehemi në ekuacionin origjinal dhe të zëvendësojmë x vlerë të gjetur

Ajo rezulton të jetë një shprehje mjaft e rëndë. Le të përdorim variablat. Le të vendosim anën e majtë të barazisë në një ndryshore A, dhe anën e djathtë të barazisë në një ndryshore B

Detyra jonë është të sigurohemi nëse ana e majtë është e barabartë me të djathtën. Me fjalë të tjera, provoni barazinë A = B

Le të gjejmë vlerën e shprehjes në ndryshoren A.

Vlera e ndryshueshme A barazohet . Tani le të gjejmë vlerën e ndryshores B. Kjo është vlera e anës së djathtë të barazisë sonë. Nëse është gjithashtu i barabartë, atëherë ekuacioni do të zgjidhet saktë

Shohim se vlera e ndryshores B, si dhe vlera e ndryshores A është . Kjo do të thotë që ana e majtë është e barabartë me anën e djathtë. Nga kjo arrijmë në përfundimin se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Tani le të përpiqemi të mos shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me të njëjtin numër, por të pjesëtojmë.

Merrni parasysh ekuacionin 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Le ta zgjidhim metoda e zakonshme: termat që përmbajnë të panjohura grupohen në anën e majtë të ekuacionit dhe termat pa të panjohura grupohen në të djathtë. Më pas, duke kryer transformimet e identitetit të njohur, gjejmë vlerën x

Në vend të kësaj, le të zëvendësojmë vlerën e gjetur 2 x në ekuacionin origjinal:

Tani le të përpiqemi të ndajmë të gjitha termat e ekuacionit 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 me një numër Vërejmë se të gjithë termat e këtij ekuacioni kanë një faktor të përbashkët prej 2. Ne e ndajmë secilin term me të.

Le të bëjmë një reduktim në çdo term:

Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur transformimet e njohura të identitetit:

Ne morëm rrënjën 2. Pra ekuacionet 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Dhe 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 janë ekuivalente.

Pjestimi i të dy anëve të ekuacionit me të njëjtin numër ju lejon të hiqni të panjohurën nga koeficienti. Në shembullin e mëparshëm kur morëm ekuacionin 7 x= 14, na duhej të pjesëtonim prodhimin 14 me faktorin e njohur 7. Por nëse do ta kishim çliruar të panjohurën nga faktori 7 në anën e majtë, rrënja do të ishte gjetur menjëherë. Për ta bërë këtë, mjaftonte të ndani të dyja palët me 7

Ne gjithashtu do ta përdorim këtë metodë shpesh.

Shumëzimi me minus një

Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen me minus një, ju merrni një ekuacion të barabartë me këtë.

Ky rregull rrjedh nga fakti që shumëzimi (ose pjesëtimi) i të dyja anëve të një ekuacioni me të njëjtin numër nuk e ndryshon rrënjën e ekuacionit të dhënë. Kjo do të thotë që rrënja nuk do të ndryshojë nëse të dyja pjesët e saj shumëzohen me -1.

Ky rregull ju lejon të ndryshoni shenjat e të gjithë komponentëve të përfshirë në ekuacion. Për çfarë është kjo? Përsëri, për të marrë një ekuacion ekuivalent që është më i lehtë për t'u zgjidhur.

Merrni parasysh ekuacionin. Pse e barabartë me rrënjën ky ekuacion?

Shtoni numrin 5 në të dy anët e ekuacionit

Le të shohim terma të ngjashëm:

Tani le të kujtojmë për. Cila është ana e majtë e ekuacionit? Ky është prodhimi i minus një dhe një ndryshoreje x

Domethënë, shenja minus përballë ndryshores x nuk i referohet vetë ndryshores x, por në një, të cilën nuk e shohim, pasi koeficienti 1 zakonisht nuk shkruhet. Kjo do të thotë që ekuacioni në fakt duket kështu:

Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur X, ju duhet ta ndani produktin −5 me faktorin e njohur −1.

ose pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me -1, që është edhe më e thjeshtë

Pra, rrënja e ekuacionit është 5. Për të kontrolluar, le ta zëvendësojmë atë në ekuacionin origjinal. Mos harroni se në ekuacionin origjinal minusi është përpara ndryshores x i referohet një njësie të padukshme

Rezultati është një ekuacion numerik i saktë. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.

Tani le të përpiqemi të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me minus një:

Pas hapjes së kllapave, shprehja formohet në anën e majtë, dhe ana e djathtë do të jetë e barabartë me 10

Rrënja e këtij ekuacioni, ashtu si ekuacioni, është 5

Kjo do të thotë që ekuacionet janë ekuivalente.

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Në këtë ekuacion, të gjithë komponentët janë negativë. Është më i përshtatshëm të punosh me komponentë pozitivë sesa me negativë, kështu që le të ndryshojmë shenjat e të gjithë komponentëve të përfshirë në ekuacion. Për ta bërë këtë, shumëzojini të dyja anët e këtij ekuacioni me -1.

Është e qartë se kur shumëzohet me -1, çdo numër do të ndryshojë shenjën e tij në të kundërtën. Prandaj, procedura e shumëzimit me -1 dhe hapja e kllapave nuk përshkruhet në detaje, por përbërësit e ekuacionit me shenja të kundërta shënohen menjëherë.

Kështu, shumëzimi i një ekuacioni me -1 mund të shkruhet në detaje si më poshtë:

ose thjesht mund të ndryshoni shenjat e të gjithë komponentëve:

Rezultati do të jetë i njëjtë, por ndryshimi do të jetë se do të kursejmë kohë.

Pra, duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me -1, marrim ekuacionin. Le ta zgjidhim këtë ekuacion. Zbrisni 4 nga të dyja anët dhe ndani të dyja anët me 3

Kur gjendet rrënja, ndryshorja zakonisht shkruhet në anën e majtë, dhe vlera e saj në të djathtë, që është ajo që bëmë.

Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin

Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me −1. Atëherë të gjithë përbërësit do të ndryshojnë shenjat e tyre në ato të kundërta:

Zbrisni 2 nga të dy anët e ekuacionit që rezulton x dhe jepni terma të ngjashëm:

Le të shtojmë një në të dy anët e ekuacionit dhe të japim terma të ngjashëm:

Barazohet me zero

Kohët e fundit mësuam se nëse zhvendosim një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të marrim një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.

Çfarë ndodh nëse kaloni nga një pjesë në tjetrën jo vetëm një term, por të gjithë termat? Ashtu është, në pjesën ku janë hequr të gjitha termat do të mbetet zero. Me fjalë të tjera, nuk do të mbetet asgjë.

Si shembull, merrni parasysh ekuacionin. Le ta zgjidhim këtë ekuacion si zakonisht - ne do të grupojmë termat që përmbajnë të panjohura në një pjesë, dhe do t'i lëmë termat numerikë të lirë nga të panjohurat në tjetrën. Më pas, duke kryer transformimet e identitetit të njohur, gjejmë vlerën e ndryshores x

Tani le të përpiqemi të zgjidhim të njëjtin ekuacion duke barazuar të gjithë përbërësit e tij me zero. Për ta bërë këtë, ne lëvizim të gjitha termat nga ana e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjat:

Le të paraqesim terma të ngjashëm në anën e majtë:

Shtoni 77 në të dyja anët dhe ndani të dyja anët me 7

Një alternativë ndaj rregullave për gjetjen e të panjohurave

Natyrisht, duke ditur për transformimet identike të ekuacioneve, nuk duhet të mësoni përmendësh rregullat për gjetjen e të panjohurave.

Për shembull, për të gjetur të panjohurën në një ekuacion, ne e ndajmë produktin 10 me faktorin e njohur 2

Por nëse i ndani të dyja anët e ekuacionit me 2, rrënja do të gjendet menjëherë. Në anën e majtë të ekuacionit në numërues faktori 2 dhe në emërues faktori 2 do të zvogëlohet me 2. Dhe ana e djathtë do të jetë e barabartë me 5

Ekuacionet e formës i zgjidhëm duke shprehur termin e panjohur:

Por ju mund të përdorni transformimet identike që kemi studiuar sot. Në ekuacion, termi 4 mund të zhvendoset në anën e djathtë duke ndryshuar shenjën:

Në anën e majtë të ekuacionit, dy dyshe do të anulohen. Ana e djathtë do të jetë e barabartë me 2. Prandaj .

Ose mund të zbrisni 4 nga të dyja anët e ekuacionit, atëherë do të merrnit sa vijon:

Në rastin e ekuacioneve të formës, është më e përshtatshme të ndahet produkti me një faktor të njohur. Le të krahasojmë të dyja zgjidhjet:

Zgjidhja e parë është shumë më e shkurtër dhe më e rregullt. Zgjidhja e dytë mund të shkurtohet ndjeshëm nëse bëni ndarjen në kokën tuaj.

Megjithatë, është e nevojshme të njihni të dyja metodat dhe vetëm atëherë të përdorni atë që preferoni.

Kur ka disa rrënjë

Një ekuacion mund të ketë shumë rrënjë. Për shembull ekuacioni x(x+ 9) = 0 ka dy rrënjë: 0 dhe −9.

Në barazimin. x(x+ 9) = 0 ishte e nevojshme për të gjetur një vlerë të tillë x në të cilën ana e majtë do të ishte e barabartë me zero. Ana e majtë e këtij ekuacioni përmban shprehjet x Dhe (x+9), të cilët janë faktorë. Nga ligjet e produktit dimë se produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët e barabartë me zero(ose faktori i parë ose i dyti).

Kjo është, në barazimin. x(x+ 9) = 0 barazia do të arrihet nëse x do të jetë e barabartë me zero ose (x+9) do të jetë e barabartë me zero.

x= 0 ose x + 9 = 0

Duke i vendosur të dyja këto shprehje në zero, ne mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit x(x+ 9) = 0. Rrënja e parë, siç shihet nga shembulli, u gjet menjëherë. Për të gjetur rrënjën e dytë ju duhet të zgjidhni ekuacioni elementar x+ 9 = 0. Është e lehtë të merret me mend se rrënja e këtij ekuacioni është −9. Kontrollimi tregon se rrënja është e saktë:

−9 + 9 = 0

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion ka dy rrënjë: 1 dhe 2. Ana e majtë ekuacioni është produkt i shprehjeve ( x− 1) dhe ( x− 2) . Dhe produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero (ose faktori ( x− 1) ose faktori ( x − 2) ).

Le të gjejmë diçka të tillë x nën të cilat shprehjet ( x− 1) ose ( x− 2) bëhet zero:

Ne i zëvendësojmë vlerat e gjetura një nga një në ekuacionin origjinal dhe sigurohemi që për këto vlera ana e majtë të jetë e barabartë me zero:

Kur ka pafundësisht shumë rrënjë

Një ekuacion mund të ketë pafundësisht shumë rrënjë. Kjo do të thotë, duke zëvendësuar çdo numër në një ekuacion të tillë, marrim barazinë e saktë numerike.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin

Rrënja e këtij ekuacioni është çdo numër. Nëse hapni kllapat në anën e majtë të ekuacionit dhe shtoni terma të ngjashëm, merrni barazinë 14 = 14. Kjo barazi do të merret për çdo x

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Rrënja e këtij ekuacioni është çdo numër. Nëse hapni kllapat në anën e majtë të ekuacionit, merrni barazinë 10x + 12 = 10x + 12. Kjo barazi do të merret për çdo x

Kur nuk ka rrënjë

Ndodh gjithashtu që ekuacioni të mos ketë fare zgjidhje, domethënë të mos ketë rrënjë. Për shembull, ekuacioni nuk ka rrënjë, pasi për ndonjë vlerë x, ana e majtë e ekuacionit nuk do të jetë e barabartë me anën e djathtë. Për shembull, le . Atëherë ekuacioni do të marrë formën e mëposhtme

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Le të zgjerojmë kllapat në anën e majtë të barazisë:

Le të shohim terma të ngjashëm:

Shohim që ana e majtë nuk është e barabartë me anën e djathtë. Dhe ky do të jetë rasti për çdo vlerë. y. Për shembull, le y = 3 .

Ekuacionet e shkronjave

Një ekuacion mund të përmbajë jo vetëm numra me ndryshore, por edhe shkronja.

Për shembull, formula për gjetjen e shpejtësisë është një ekuacion i mirëfilltë:

Ky ekuacion përshkruan shpejtësinë e një trupi gjatë lëvizjes së përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme.

Një aftësi e dobishme është aftësia për të shprehur çdo komponent të përfshirë në një ekuacion shkronjash. Për shembull, për të përcaktuar distancën nga një ekuacion, duhet të shprehni variablin s .

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me t

Variablat në anën e djathtë t le ta shkurtojmë t

Në ekuacionin që rezulton, ne shkëmbejmë anën e majtë dhe të djathtë:

Ne kemi një formulë për gjetjen e distancës, të cilën e kemi studiuar më parë.

Le të përpiqemi të përcaktojmë kohën nga ekuacioni. Për ta bërë këtë ju duhet të shprehni variablin t .

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me t

Variablat në anën e djathtë t le ta shkurtojmë t dhe rishkruajmë atë që na ka mbetur:

Në ekuacionin që rezulton v×t = s ndani të dyja pjesët në v

Variablat në të majtë v le ta shkurtojmë v dhe rishkruajmë atë që na ka mbetur:

Ne kemi formulën për përcaktimin e kohës, të cilën e kemi studiuar më herët.

Le të supozojmë se shpejtësia e trenit është 50 km/h

v= 50 km/h

Dhe distanca është 100 km

s= 100 km

Pastaj letra do të marrë formën e mëposhtme

Nga ky ekuacion mund të gjendet koha. Për ta bërë këtë ju duhet të jeni në gjendje të shprehni variablin t. Ju mund të përdorni rregullin për gjetjen e një pjesëtuesi të panjohur duke pjesëtuar dividentin me herësin dhe duke përcaktuar kështu vlerën e ndryshores t

ose mund të përdorni transformime identike. Së pari shumëzojini të dyja anët e ekuacionit me t

Më pas ndajmë të dyja anët me 50

Shembulli 2 x

Zbrit nga të dyja anët e ekuacionit a

Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me b

a + bx = c, atëherë do të kemi zgjidhje e gatshme. Do të jetë e mjaftueshme për ta zëvendësuar atë vlerat e kërkuara. Ato vlera që do të zëvendësohen me shkronjat a, b, c zakonisht quhet parametrave. Dhe ekuacionet e formës a + bx = c thirrur ekuacioni me parametra. Në varësi të parametrave, rrënja do të ndryshojë.

Le të zgjidhim ekuacionin 2 + 4 x= 10 . Duket si një ekuacion shkronjash a + bx = c. Në vend që të kryejmë transformime identike, mund të përdorim një zgjidhje të gatshme. Le të krahasojmë të dyja zgjidhjet:

Ne shohim se zgjidhja e dytë është shumë më e thjeshtë dhe më e shkurtër.

Për një zgjidhje të gatshme ju duhet të bëni shënim i vogël. Parametri b nuk duhet të jetë e barabartë me zero (b ≠ 0), meqë lejohet pjesëtimi me zero me.

Shembulli 3. Jepet një ekuacion fjalë për fjalë. Shprehuni nga ky barazim x

Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit

Le të përdorim transferimin e termave. Parametrat që përmbajnë një ndryshore x, ne grupojmë në anën e majtë të ekuacionit, dhe parametrat e lirë nga kjo ndryshore - në të djathtë.

Në anën e majtë nxjerrim faktorin nga kllapat x

Le t'i ndajmë të dyja anët në shprehje a − b

Në anën e majtë, numëruesi dhe emëruesi mund të reduktohen me a − b. Kështu shprehet përfundimisht ndryshorja x

Tani, nëse hasim një ekuacion të formës a(x − c) = b(x + d), atëherë do të kemi një zgjidhje të gatshme. Do të jetë e mjaftueshme për të zëvendësuar vlerat e kërkuara në të.

Le të themi se na është dhënë ekuacioni 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Është si një ekuacion a(x − c) = b(x + d). Le ta zgjidhim në dy mënyra: duke përdorur transformime identike dhe duke përdorur një zgjidhje të gatshme:

Për lehtësi, le ta heqim atë nga ekuacioni 4(x− 3) = 2(x+ 4) vlerat e parametrave a, b, c, d . Kjo do të na lejojë të mos gabojmë kur zëvendësojmë:

Ashtu si në shembullin e mëparshëm, emëruesi këtu nuk duhet të jetë i barabartë me zero ( a − b ≠ 0) . Nëse hasim një ekuacion të formës a(x − c) = b(x + d) në të cilat parametrat a Dhe b do të jetë i njëjtë, mund të themi pa e zgjidhur se ky ekuacion nuk ka rrënjë, pasi diferenca numra të njëjtë e barabartë me zero.

Për shembull, ekuacioni 2(x − 3) = 2(x + 4)është një ekuacion i formës a(x − c) = b(x + d). Në barazimin. 2(x − 3) = 2(x + 4) parametrave a Dhe b identike. Nëse fillojmë ta zgjidhim, do të arrijmë në përfundimin se ana e majtë nuk do të jetë e barabartë me anën e djathtë:

Shembulli 4. Jepet një ekuacion fjalë për fjalë. Shprehuni nga ky barazim x

Le të sjellim anën e majtë të ekuacionit në një emërues të përbashkët:

Shumëzojini të dyja anët me a

Në anën e majtë x le ta vendosim jashtë kllapave

Ndani të dyja anët me shprehjen (1 − a)

Ekuacione lineare me një të panjohur

Quhen ekuacionet e diskutuara në këtë mësim ekuacionet lineare të shkallës së parë me një të panjohur.

Nëse ekuacioni është dhënë në shkallën e parë, nuk përmban pjesëtim me të panjohurën, dhe gjithashtu nuk përmban rrënjë nga e panjohura, atëherë mund të quhet linear. Ne nuk i kemi studiuar ende fuqitë dhe rrënjët, kështu që për të mos e komplikuar jetën tonë, fjalën "lineare" do ta kuptojmë si "të thjeshtë".

Shumica e ekuacioneve të zgjidhura në këtë mësim përfundimisht rezultuan në një ekuacion të thjeshtë në të cilin ju duhej ta ndanit produktin me një faktor të njohur. Për shembull, ky është ekuacioni 2 ( x+ 3) = 16 . Le ta zgjidhim.

Le të hapim kllapat në anën e majtë të ekuacionit, marrim 2 x+ 6 = 16. Le të zhvendosim termin 6 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Pastaj marrim 2 x= 16 − 6. Llogaritni anën e djathtë, marrim 2 x= 10. Për të gjetur x, pjestojeni produktin 10 me faktorin e njohur 2. Prandaj x = 5.

Ekuacioni 2 ( x+ 3) = 16 është lineare. Zbret në ekuacionin 2 x= 10, për të gjetur rrënjën e së cilës ishte e nevojshme të ndahej produkti me një faktor të njohur. Ky ekuacion më i thjeshtë quhet ekuacioni linear i shkallës së parë me një të panjohur in formë kanonike . Fjala "kanonike" është sinonim me fjalët "e thjeshtë" ose "normale".

Një ekuacion linear i shkallës së parë me një të panjohur në formë kanonike quhet ekuacion i formës sëpatë = b.

Ekuacioni ynë rezultues 2 x= 10 është një ekuacion linear i shkallës së parë me një të panjohur në formë kanonike. Ky ekuacion ka shkallën e parë, një të panjohur, nuk përmban pjesëtim me të panjohurën dhe nuk përmban rrënjë nga e panjohura dhe paraqitet në formë kanonike, pra në formën më të thjeshtë në të cilën vlera mund të përcaktohet lehtësisht. x. Në vend të parametrave a Dhe b ekuacioni ynë përmban numrat 2 dhe 10. Por një ekuacion i tillë mund të përmbajë edhe numra të tjerë: pozitiv, negativ ose të barabartë me zero.

Nëse në një ekuacion linear a= 0 dhe b= 0, atëherë ekuacioni ka pafundësisht shumë rrënjë. Në të vërtetë, nëse a e barabartë me zero dhe b barazohet me zero, pastaj ekuacioni linear sëpatë= b do të marrë formën 0 x= 0. Për çdo vlerë x ana e majtë do të jetë e barabartë me anën e djathtë.

Nëse në një ekuacion linear a= 0 dhe b≠ 0, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Në të vërtetë, nëse a e barabartë me zero dhe bështë e barabartë me një numër që nuk është i barabartë me zero, le të themi numri 5, pastaj ekuacioni sëpatë = b do të marrë formën 0 x= 5. Ana e majtë do të jetë zero, dhe ana e djathtë do të jetë pesë. Dhe zero nuk është e barabartë me pesë.

Nëse në një ekuacion linear a≠ 0, dhe b barazohet me çdo numër, atëherë ekuacioni ka një rrënjë. Përcaktohet duke ndarë parametrin b për parametër a

Në të vërtetë, nëse a i barabartë me një numër që nuk është zero, le të themi numrin 3, dhe b i barabartë me një numër, le të themi numrin 6, atëherë ekuacioni do të marrë formën .
Nga këtu.

Ekziston një formë tjetër regjistrimi ekuacioni linear shkalla e parë me një të panjohur. Duket kështu: sëpatë−b= 0. Ky është i njëjti ekuacion si sëpatë = b

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me tonën grup i ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Objektivat mësimore- të zgjidhë ekuacionet duke përdorur metodën e përzgjedhjes dhe duke u bazuar në lidhjen midis mbledhjes dhe zbritjes.

Objektivat e mësimit

Të gjithë studentët do të jenë në gjendje të:
Gjeni rrënjën e një ekuacioni duke përdorur metodën e përzgjedhjes

Shumica e studentëve do të jenë në gjendje të:
të jetë në gjendje të shkruajë dhe zgjidhë ekuacione të thjeshta për të gjetur një term të panjohur

Disa studentë do të jenë në gjendje të:
Bazuar në vizatim, hartoni dhe zgjidhni ekuacione në mënyrë të pavarur.

Njohuri të mëparshme: të kuptuarit e sistemit të numrave brenda 100; aftësia për të bërë krahasime dhe për të përdorur gjuhën krahasuese.

Ecuria e mësimit

Krijimi i një mjedisi bashkëpunues
(procesverbal psikologjik)

Bie zilja e gëzuar.
A jeni gati për të filluar mësimin?
Le të dëgjojmë, të flasim,
Dhe ndihmoni njëri-tjetrin!

Grupimi

Synimi: organizimi i nxënësve në grupe rritet interesi njohës në mësim, kohezioni për të punuar në grup.
Rishikimi i rregullave të punës në grup

Përditësimi i përvojës së jetës

Strategjia " Stuhi mendimesh“Përdorimi i trashës dhe i hollë është një pyetje.
- Çfarë është një ekuacion? (Barazimi me një të panjohur quhet ekuacion)
- Si tregohet e panjohura në ekuacion?
- Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion? (Do të thotë të gjesh të panjohurën)
- Cilat janë përbërësit e shtimit?

Vlerësimi: Tre duartrokitje
Fillestar "Shiko një video" (karikaturë edukative)
Metoda "Freeze Frame".

Vendosja e qëllimeve për mësimin
- E keni marrë me mend se çfarë do të bëjmë sot në klasë?
- Çfarë do të na ndihmojë të arrijmë qëllimet e mësimit (të mësojmë gjëra të reja, të mësojmë të zgjidhim problemet) shënime matematikore) (përvoja juaj, mësuesi, teksti shkollor)
Fëmijët formulojnë qëllimin e mësimit, unë e përgjithësoj.
- Sot në mësim do të mësoni se si të zgjidhni ekuacione me terma të panjohur

Studimi. Puna sipas tekstit shkollor.
Synimi: Hulumtoni materialin e tekstit shkollor f. 46

Detyra 1. Lojë e bazuar në tekstin "Makinat në tunel"
Punë në grup. Strategjia "Mendoni, diskutoni, ndani". Lidhja ndërdisiplinore e mësimdhënies së shkrim-leximit (të dëgjuarit dhe të folurit)

Lojë "Makinat në tunel"

Sa makina ka në tunel?
6 + x = 18 dhe 2 + x = 14.
Përgjigje: 12 karroca.

Përshkruesi:
- krijon një ekuacion në bazë të vizatimit
- gjen kuptimin e shkronjës duke përdorur metodën e përzgjedhjes.
- nxjerr një përfundim (formulon një rregull)

Reagime "Semafori"
Këtu po përdor modelimin e ekuacioneve me qëllimin
formimi i aftësisë për të zgjidhur ekuacione me një term të panjohur.

Detyra 2. Punë në dyshe. "Ndihmoni heroin"

Lojë "Ndihmoni heroin"

Për punën në dyshe, përdor të nxënit bashkëpunues që transferon njohuritë dhe aftësitë ndërmjet nxënësve.
Vetëvlerësimi sipas përshkruesit: "Thumb"

Pauzë dinamike. Ushtrim fizik muzikor.

Detyra 3. Punë në grup. "Mendoni, gjeni një palë, ndani!"

Përshkruesit:
- punon i gjithë grupi;
- harton dhe zgjidh ekuacione në mënyrë të pavarur bazuar në vizatim;
- nxjerr përfundimin (formulon një rregull).

Reagime "Rrota"
Aplikim (mësuesi - vëzhgon, ndihmon, kontrollon, nxënësi - zgjidh pyetje, demonstron njohuri)

Rishikim nga kolegët në sllajde
Këtu përdor punën në grup për të përmirësuar procesin mësimor.

Detyra 4. Lojë në çift "Cube" (provojeni)

Punë në grup: "Mendo, gjej një çift, ndaje!"

Përshkruesi:
- zëvendëson numrin e tërhequr
- zgjidh ekuacionin në mënyrë të pavarur.

Këtu përdor metodë aktive V forma e lojës gjë që çon në një kuptim më të thellë të zgjidhjes së një ekuacioni me një term të panjohur.
Vlerësimi i bazuar në përshkruesit e semaforëve

Detyra 5. Detyrë individuale
Detyra të diferencuara.
Detyrat zgjidhen për nxënësit me në nivele të ndryshme njohuri.

Përshkruesi:

1. gjen rrënjën e një ekuacioni duke përdorur një vijë numerike;
2. gjen duke përdorur numrat matematikë dhe shenjat e rrënjës së ekuacionit;
3. krijon një ekuacion nga figura.

Vetëvlerësimi “Semafor” (test kundrejt standardit).
- Bravo, e përfundove këtë detyrë!
Këtu përdor qasje e diferencuar për nevojat individuale të mësimit për çdo nxënës.

Përmbledhja e mësimit. Reflektimi "Metoda e intervistës"
- Çfarë punuam sot në klasë?
- Si të gjeni një term të panjohur?
- Cili është termi i panjohur? (Pjesë)
- E keni arritur qëllimin tuaj?
- Çfarë do të bëjnë ata djem që kishin vështirësi në punën me ekuacionet? (Deklaratat e studentëve)

Synimi: Mësuesi do të zbulojë nëse nxënësit e kanë kuptuar temën e mësimit dhe gabimet e tyre, në mënyrë që ato të korrigjohen në orën e ardhshme. (deklarata e studentëve) (këtu i përdor në mënyrë më të kënaqshme nevojat e studentëve)
Vlerësimi i kolegëve "2 yje, 1 dëshirë"

Reflektimi "Shkallët e suksesit" (fëmijët postojnë emoticon)
- Mund të zgjidh një ekuacion me një term të panjohur.
- Mund të mësoj dikë tjetër...
- E kam të vështirë të...
-Nuk kuptova asgje...

Synimi: vetëvlerësimi i arritjeve tuaja gjatë orës së mësimit.

Për të mësuar se si të zgjidhni shpejt dhe me sukses ekuacionet, duhet të filloni me më së shumti rregulla të thjeshta dhe shembuj. Para së gjithash, ju duhet të mësoni se si të zgjidhni ekuacionet që kanë një ndryshim, shumë, herës ose prodhim të disa numrave me një të panjohur në të majtë dhe një numër tjetër në të djathtë. Me fjalë të tjera, në këto ekuacione ka një term të panjohur dhe ose një minuend me një subtrahend, ose një dividend me një pjesëtues, etj. Bëhet fjalë për ekuacione të këtij lloji që do t'ju flasim.

Ky artikull i kushtohet rregullave bazë që ju lejojnë të gjeni faktorë, terma të panjohur, etj. Të gjitha parimet teorike Ne do të shpjegojmë menjëherë me shembuj specifik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gjetja e termit të panjohur

Le të themi se kemi një numër të caktuar topash në dy vazo, për shembull, 9. Dimë që në vazon e dytë ka 4 topa. Si të gjeni sasinë në të dytën? Le ta shkruajmë këtë problem në formë matematikore, duke përcaktuar numrin që do të gjendet si x. Sipas kushtit fillestar, ky numër së bashku me 4 formojnë 9, që do të thotë se mund të shkruajmë ekuacionin 4 + x = 9. Në të majtë kemi një shumë me një term të panjohur, në të djathtë kemi vlerën e kësaj shume. Si të gjeni x? Për ta bërë këtë, duhet të përdorni rregullin:

Përkufizimi 1

Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma.

Në këtë rast, zbritjes i japim një kuptim që është i kundërt i mbledhjes. Me fjalë të tjera, ekziston një lidhje e caktuar midis veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes, e cila mund të shprehet fjalë për fjalë si më poshtë: nëse a + b = c, atëherë c − a = b dhe c − b = a, dhe anasjelltas, nga shprehjet c − a = b dhe c − b = a, mund të nxjerrim se a + b = c.

Duke ditur këtë rregull, ne mund të gjejmë një term të panjohur duke përdorur termin e njohur dhe shumën. Cilin term të saktë dimë, i pari apo i dyti, në këtë rast nuk ka rëndësi. Le të shohim se si të aplikojmë këtë rregull në praktikë.

Shembulli 1

Le të marrim ekuacionin që morëm më lart: 4 + x = 9. Sipas rregullit, ne duhet të zbresim nga shuma e njohur, e barabartë me 9, një term i njohur i barabartë me 4. Le të zbresim një numër natyror nga një tjetër: 9 - 4 = 5. Morëm termin që na duhej, i barabartë me 5.

Në mënyrë tipike, zgjidhjet e ekuacioneve të tilla shkruhen si më poshtë:

1. Ekuacioni origjinal shkruhet së pari.
2. Më pas, shkruajmë ekuacionin që rezultoi pasi zbatuam rregullin për llogaritjen e termit të panjohur.
3. Pas kësaj, shkruajmë ekuacionin që është marrë pas të gjitha manipulimeve me numra.

Kjo formë shënimi nevojitet për të ilustruar zëvendësimin vijues të ekuacionit origjinal me ekuivalent dhe për të shfaqur procesin e gjetjes së rrënjës. Vendimi ynë ekuacion i thjeshtë dhënë më lart, do të ishte e saktë të shkruanim këtë:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

Mund të kontrollojmë saktësinë e përgjigjes së marrë. Le të zëvendësojmë atë që kemi marrë në ekuacionin origjinal dhe të shohim nëse barazia e saktë numerike del prej tij. Zëvendësoni 5 në 4 + x = 9 dhe merrni: 4 + 5 = 9. Barazia 9 = 9 është e saktë, që do të thotë se termi i panjohur është gjetur saktë. Nëse barazia rezulton e pasaktë, atëherë duhet të kthehemi te zgjidhja dhe ta kontrollojmë atë, pasi kjo është një shenjë gabimi. Si rregull, më shpesh ky është një gabim llogaritës ose zbatimi i një rregulli të pasaktë.

Gjetja e një subtrahendi ose minuend të panjohur

Siç kemi përmendur tashmë në paragrafin e parë, ekziston një lidhje e caktuar midis proceseve të mbledhjes dhe zbritjes. Me ndihmën e tij, ne mund të formulojmë një rregull që do të na ndihmojë të gjejmë një minuend të panjohur kur e dimë ndryshimin dhe subtrahend, ose një subtrahend të panjohur përmes minuend ose ndryshim. Le t'i shkruajmë këto dy rregulla me radhë dhe të tregojmë se si t'i zbatojmë ato për të zgjidhur problemet.

Përkufizimi 2

Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.

Shembulli 2

Për shembull, kemi ekuacionin x - 6 = 10. Minuend i panjohur. Sipas rregullit, ne duhet të shtojmë 6-në e zbritur në diferencën e 10, marrim 16. Kjo do të thotë, minuend origjinal është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë. Le të shkruajmë të gjithë zgjidhjen:

x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.

Le të kontrollojmë rezultatin duke shtuar numrin që rezulton në ekuacionin origjinal: 16 - 6 = 10. Barazia 16 - 16 do të jetë e saktë, që do të thotë se ne kemi llogaritur gjithçka saktë.

Përkufizimi 3

Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.

Shembulli 3

Le të përdorim rregullin për të zgjidhur ekuacionin 10 - x = 8. Ne nuk e dimë subtrahend, kështu që duhet të zbresim diferencën nga 10, d.m.th. 10 - 8 = 2. Kjo do të thotë se subtrahendi i kërkuar është i barabartë me dy. Këtu është e gjithë zgjidhja:

10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.

Le të kontrollojmë saktësinë duke i zëvendësuar të dyja në ekuacionin origjinal. Le të marrim barazinë e saktë 10 - 2 = 8 dhe të sigurohemi që vlera që gjetëm të jetë e saktë.

Para se të kalojmë në rregulla të tjera, vërejmë se ekziston një rregull për transferimin e çdo termi nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin, duke zëvendësuar shenjën me atë të kundërt. Të gjitha rregullat e mësipërme përputhen plotësisht me të.

Gjetja e një faktori të panjohur

Le të shohim dy ekuacione: x · 2 = 20 dhe 3 · x = 12. Në të dyja, ne e dimë vlerën e produktit dhe një nga faktorët që duhet të gjejmë të dytin; Për ta bërë këtë, duhet të përdorim një rregull tjetër.

Përkufizimi 4

Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.

Ky rregull bazohet në një kuptim që është i kundërt me kuptimin e shumëzimit. Ekziston lidhja e mëposhtme midis shumëzimit dhe pjesëtimit: a · b = c kur a dhe b nuk janë të barabarta me 0, c: a = b, c: b = c dhe anasjelltas.

Shembulli 4

Le të llogarisim faktorin e panjohur në ekuacionin e parë duke pjesëtuar herësin e njohur 20 me faktorin e njohur 2. Ne kryejmë ndarje numrat natyrorë dhe marrim 10. Le të shkruajmë sekuencën e barazive:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

Ne e zëvendësojmë dhjetëshen në barazinë origjinale dhe marrim atë 2 · 10 = 20. Vlera e shumëzuesit të panjohur u krye saktë.

Le të sqarojmë se nëse njëri prej shumëzuesve është zero, ky rregull nuk mund të zbatohet. Kështu, ne nuk mund ta zgjidhim ekuacionin x · 0 = 11 me ndihmën e tij. Ky shënim nuk ka kuptim, pasi për ta zgjidhur atë ju duhet të ndani 11 me 0, dhe ndarja me zero nuk është e përcaktuar. Lexoni më shumë rreth raste të ngjashme ne e trajtuam atë në një artikull mbi ekuacionet lineare.

Kur zbatojmë këtë rregull, në thelb po i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me një faktor të ndryshëm nga 0. ekziston rregull i veçantë, sipas të cilit një ndarje e tillë mund të kryhet dhe nuk do të ndikojë në rrënjët e ekuacionit, dhe ajo që kemi shkruar në këtë paragraf është plotësisht në përputhje me të.

Gjetja e një dividendi ose pjesëtuesi të panjohur

Një rast tjetër që duhet të shqyrtojmë është gjetja e dividendës së panjohur nëse njohim pjesëtuesin dhe herësin, si dhe gjetja e pjesëtuesit kur dividenti dhe dividenti dihen. Ne mund ta formulojmë këtë rregull duke përdorur lidhjen midis shumëzimit dhe pjesëtimit të përmendur tashmë këtu.

Përkufizimi 5

Për të gjetur dividendin e panjohur, duhet të shumëzoni pjesëtuesin me herësin.

Le të shohim se si zbatohet ky rregull.

Shembulli 5

Le ta përdorim për të zgjidhur ekuacionin x: 3 = 5. Shumëzojmë herësin e njohur dhe pjesëtuesin e njohur së bashku dhe marrim 15, që do të jetë dividenti që na nevojitet.

Këtu shënim i shkurtër zgjidhje e plotë:

x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.

Një kontroll tregon se ne kemi llogaritur gjithçka saktë, sepse kur pjesëtojmë 15 me 3, në të vërtetë rezulton të jetë 5. Barazia e saktë numerike është dëshmi e një zgjidhjeje të saktë.

Ky rregull mund të interpretohet si shumëzim i anës së djathtë dhe të majtë të ekuacionit me të njëjtin numër të ndryshëm nga 0. Ky transformim nuk ndikon në rrënjët e ekuacionit në asnjë mënyrë.

Le të kalojmë në rregullin tjetër.

Përkufizimi 6

Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.

Shembulli 6

Le të marrim një shembull të thjeshtë - ekuacioni 21: x = 3. Për ta zgjidhur atë, pjesëtojeni dividendën e njohur 21 me herësin 3 dhe merrni 7. Ky do të jetë pjesëtuesi i kërkuar. Tani le të zyrtarizojmë zgjidhjen në mënyrë korrekte:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

Le të sigurohemi që rezultati të jetë i saktë duke zëvendësuar shtatë në ekuacionin origjinal. 21: 7 = 3, kështu që rrënja e ekuacionit është llogaritur saktë.

Është e rëndësishme të theksohet se ky rregull zbatohet vetëm për rastet kur herësi nuk është i barabartë me zero, sepse përndryshe do të duhet të pjesëtojmë përsëri me 0. Nëse zero është private, dy opsione janë të mundshme. Nëse dividenti është gjithashtu i barabartë me zero dhe ekuacioni duket si 0: x = 0, atëherë vlera e ndryshores do të jetë çdo, domethënë ky ekuacion ka numër i pafund rrënjët. Por një ekuacion me një herës të barabartë me 0 dhe një divident të ndryshëm nga 0 nuk do të ketë zgjidhje, pasi vlera të tilla të pjesëtuesit nuk ekzistojnë. Një shembull do të ishte ekuacioni 5: x = 0, i cili nuk ka asnjë rrënjë.

Zbatimi i vazhdueshëm i rregullave

Shpesh në praktikë ka më shumë detyra komplekse, në të cilin rregullat për gjetjen e shtesave, minuendëve, nëntrahendës, faktorëve, dividentëve dhe koeficientëve duhet të zbatohen vazhdimisht. Le të japim një shembull.

Shembulli 7

Ne kemi një ekuacion të formës 3 x + 1 = 7. Ne njehsojmë termin e panjohur 3 x duke zbritur një nga 7. Përfundojmë me 3 x = 7 − 1, pastaj 3 x = 6. Ky ekuacion është shumë i thjeshtë për t'u zgjidhur: ndani 6 me 3 dhe merrni rrënjën e ekuacionit origjinal.

Këtu është një përmbledhje e shkurtër e zgjidhjes së një ekuacioni tjetër (2 x − 7): 3 − 5 = 2:

(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter