KËNDET E PËRFSHIRË NË RRETH

Një kënd e ndan një plan në dy pjesë. Secila nga pjesët quhet një kënd i rrafshët. Në figurën 13, një nga këndet e rrafshët me brinjët a dhe b është i hijezuar. Kënde të sheshta me anët e përbashkëta quhen shtesë.

Nëse një kënd i rrafshët është pjesë e një gjysmë rrafshi, atëherë masa e shkallës së tij quhet masa e shkallës së një këndi të zakonshëm me të njëjtat brinjë. Nëse një kënd i rrafshët përmban një gjysmë rrafsh, atëherë masa e shkallës së tij merret e barabartë me 360° - b, ku b është masa e shkallës së një këndi shtesë të planit (Fig. 14).

Oriz. 13

Një kënd qendror në një rreth është një kënd i rrafshët me një kulm në qendër. Pjesa e rrethit që ndodhet brenda këndit të rrafshët quhet hark i rrethit që i përgjigjet këtij këndi qendror (Fig. 15). Masa e shkallës së një harku të një rrethi është masa e shkallës së këndit qendror përkatës.

Oriz. 15

Një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit kryqëzojnë këtë rreth quhet i brendashkruar në një rreth. Këndi BAC në figurën 16 është brendashkruar në një rreth. Kulmi i tij A shtrihet në rreth dhe brinjët e tij e ndërpresin rrethin në pikat B dhe C. Thuhet gjithashtu se këndi A mbështetet në kordën BC. Vija e drejtë BC e ndan rrethin në dy harqe. Këndi qendror, që i përgjigjet atij të këtyre harqeve që nuk përmban pikën A, quhet këndi qendror që i përgjigjet këndit të dhënë të brendashkruar.

Teorema 5. Këndi i gdhendur në një rreth e barabartë me gjysmën këndi qendror përkatës.

Dëshmi. Le të shqyrtojmë së pari rast i veçantë, kur njëra nga anët e këndit kalon nga qendra e rrethit (Fig. 17, a). Trekëndëshi AOB është dykëndësh sepse brinjët e tij OA dhe OB janë të barabarta në rreze. Prandaj, këndet A dhe B të trekëndëshit janë të barabartë. Dhe meqenëse shuma e tyre është e barabartë këndi i jashtëm trekëndëshi në kulmin O, atëherë këndi B i trekëndëshit është i barabartë me gjysmën e këndit AOC, që është ajo që duhej vërtetuar.

Rasti i përgjithshëm reduktohet në rastin e veçantë të konsideruar duke vizatuar diametrin ndihmës BD (Fig. 17, b, c). Në rastin e paraqitur në Figurën 17, b, ABC = CBD + ABD = S COD + S AOD = S AOC.

Në rastin e paraqitur në Figurën 17, c,

CBD - ABD = COD - AOD = AOC.

Teorema është plotësisht e vërtetuar.

PËRPËRPOPËSIA E SEGMENTEVE TË KORDIVE DHE SEKANTEVE TË NJË RRETHI

Nëse kordat AB dhe CD të një rrethi kryqëzohen në pikën S

Pastaj AS?BS=CS?DS.

Le të provojmë fillimisht se trekëndëshat ASD dhe CSB janë të ngjashëm (Fig. 19). Këndet e brendashkruara DCB dhe DAB janë të barabarta nga përfundimi i teoremës 5. Këndet ASD dhe BSC janë të barabartë si kënde vertikale. Nga barazia e këndeve të treguara rezulton se trekëndëshat ASZ dhe CSB janë të ngjashëm.

Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcioni

AS?BS = CS?DS, që është ajo që duhej vërtetuar

Fig.19

Nëse dy sekante janë tërhequr nga pika P në një rreth, duke e prerë rrethin në pikat A, B dhe C, D, përkatësisht, atëherë

Le të jenë pikat A dhe C pikat e prerjes së sekanteve me rrethin më afër pikës P (Fig. 20). Trekëndëshat PAD dhe PCB janë të ngjashëm. Ata kanë një kënd të përbashkët në kulmin P, dhe këndet në kulmet B dhe D janë të barabartë sipas vetive të këndeve të brendashkruara në një rreth. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcioni

Prandaj PA?PB=PC?PD, që është ajo që duhej vërtetuar.

Mësimi i gjeometrisë në klasën e 8-të me temën

"Proporcionaliteti i segmenteve të kordave, tangjentëve dhe sekanteve"

Objektivat e mësimit:

të identifikojë modele ndërmjet segmenteve të kordave, tangjentëve dhe sekanteve; të përcaktojë masën e këndit (i cili nuk është as qendror dhe as i brendashkruar) ndërmjet tangjentës dhe kordës së tërhequr deri në pikën e tangjences;

të sigurojë perceptimin e materialit të ri nëpërmjet ilustrimit gjeometrik dhe formulave të shkrimit;

t'i shtyjë studentët të zbulojnë në mënyrë të pavarur vërtetimin e teoremave përmes pyetjeve udhëzuese për materialin e trajtuar më parë; formimi i aftësive të provave;

të mësuarit për të algorithmizuar një detyrë të caktuar dhe përdorimin e njohurive të grumbulluara për ta zgjidhur atë;

nxitja e shkrim-leximit në hartimin e provave gjeometrike;

formimi i gjykimeve dhe përfundimeve përmes metodave të analizës, sintezës, induksionit;

zhvillimi i tipareve te nxënësit si saktësia, qartësia dhe logjika në formimin dhe ekzekutimin e mendimeve;

zhvillimin të menduarit abstrakt, aktivizimi proceset e të menduarit, zhvillimi i pamjes dhe kujtesa dëgjimore, aftësitë e të folurit të nxënësve.

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri.

Plani i mësimit.

Përgatitja për të mësuar gjëra të reja material teorik duke anketuar nxënësit në kryesore parimet teorike rreth rrethit dhe elementeve që lidhen me të (tangjente, sekante, korda, kënde).

Prezantimi i materialit teorik.

1. Proporcionaliteti i segmenteve të diametrit dhe kordës; proporcionaliteti i segmenteve të kordës.

   Këndi ndërmjet tangjentës dhe kordës së tërhequr deri në pikën e tangjences.

   Proporcionaliteti i segmenteve sekante dhe tangjente, proporcionaliteti i segmenteve sekante.

Përmbledhja e orës së mësimit: sondazh i studentëve për formulimet e teoremave, ide për vërtetimin e teoremave, regjistrimi i detyrave të shtëpisë me komente nga mësuesi.

Përgatitja për të studiuar materiale të reja.

Përkujtim i dispozitave kryesore të temave " Pozicioni i ndërsjellë rrathë dhe drejtëza”, “Tangjente me rrethin”, “Vetitë e segmenteve tangjente”, “Këndi qendror”, “Këndi i brendashkruar. Matja e një këndi të brendashkruar përmes një këndi qendror." Pyetjet e mëposhtme duhet të mbulohen:

Trekëndësha të ngjashëm; Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave.

Pozicioni relativ i një rreshti dhe një rrethi: përkufizimi i një sekanti, një korde si një segment i një sekanti që shtrihet brenda një rrethi; tangjente.

Përcaktimi i këndit qendror; përcaktimi i këndit të brendashkruar; masë shkallë e këndit qendror; matja e këndit të brendashkruar përmes atij qendror; përfundimet e teoremës së këndit të brendashkruar.

Studimi dhe marrja e shënimeve të materialit të ri teorik.

2.1. Proporcionaliteti i segmenteve të kordës.

Kjo pjesa teorike përfshin një teoremë mbi proporcionalitetin e segmenteve të një korde dhe një diametër që kanë një pikë të përbashkët, një përfundim për rastin e dy kordave dhe një përgjithësim për rastin e çdo numri kordesh që kalojnë nëpër një pikë të përbashkët.

Teorema 1: Nëse përmes një pike (M) të marrë brenda një rrethi, një akord (AB) dhe një diametër (CD), atëherë prodhimi i segmenteve të kordës () është i barabartë me produktin e segmenteve të diametrit (
)(Fig. 1.).

D ano: Okr( RRETH; OA),
- diametri, AB− akord,
.

Provoni:= .

Dëshmi: Për të vërtetuar barazinë, mjafton të krahasohen raportet
Dhe
. Segmentet proporcionale janë brinjë të ngjashme në trekëndësha të ngjashëm. Merrni parasysh trekëndëshat
Dhe
. Këta trekëndësha do të jenë të ngjashëm sipas shenjës së parë të ngjashmërisë së trekëndëshave: si vertikal; siç është mbishkruar, mbështetur në të njëjtin hark DHE. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve të ngjashme, d.m.th.

, ose
, ose = .

Përfundimi 2: Nëse dy korda të një rrethi kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me prodhimin e segmenteve të një kordeje tjetër (Fig. 2.).

E dhënë: Okr( RRETH; OA), AB,E.F.− akordet,
.

Provoni:=
.

Dëshmi: Le të vizatojmë diametrin CD përmes pikës M. Më pas, nga teorema 1, për akordin AB: = ;

për akord E.F.:
= .

Meqenëse anët e djathta të barazive janë të barabarta, edhe anët e majta janë të barabarta, d.m.th.

Përfundimi 3 (përgjithësimi i përfundimit 1): Nëse përmes një pike (M) merret brenda një rrethi, çdo numër akordesh (AB, E.F., KL,...), atëherë prodhimi i segmenteve të çdo korde është një numër që është konstant për të gjitha kordat (pasi për secilën kordë ky produkt është i barabartë me prodhimin e segmenteve të diametrit që kalojnë në pikën e dhënë).

Këndi ndërmjet tangjentës dhe kordës së tërhequr deri në pikën e tangjences.

Ky artikull ju lejon të përcaktoni masën e këndit midis tangjentës dhe kordës së tërhequr deri në pikën e tangjences (e cila nuk është as një kënd qendror dhe as një kënd i gdhendur në një rreth). Gjithashtu ju lejon të provoni teoremën mbi proporcionalitetin e segmenteve tangjente dhe sekante.

Teorema 4: Këndi ndërmjet tangjentes dhe kordës së tërhequr në pikën e kontaktit matet me gjysmën e harkut që nënshtron këtë kordë (Fig. 3.).

D ano: Okr( O OA), AC- tangjente, A- pika e kontaktit,

AB– akord.

Provoni:
.

Dëshmi: Le të shënojmë atë që kërkohet
përmes . Sepse AC- tangjente, pra
. Le të shqyrtojmë
- dyshe ( SHA, VO– rreze), pastaj

Le të gjejmë

në anën tjetër
, pra,
, ose
.

Proporcionaliteti i segmenteve tangjente dhe sekante.

Kjo pjesë ju lejon të përcaktoni segmente proporcionale për një tangjente dhe një sekante të tërhequr nga një pikë, për dy ose më shumë sekante të tërhequra nga një pikë në një rreth të caktuar.

Teorema 5: Nëse nga një pikë (M) e marrë jashtë rrethit, tërhiqen disa sekante (MA) dhe tangjente (MS), atëherë prodhimi i sekantit (MA) dhe pjesës së jashtme të tij (MB) është i barabartë me katrori i tangjentes (MC) (Fig. 4.).

D ano: Okr( O OA), MS- tangjente, MA- sekant

MV– pjesa e jashtme e sekantit MA.

Provoni:
.

Dëshmi: Për të vërtetuar barazinë, mjafton të krahasohen raportet
Dhe
, pra konsideroni
Dhe
. Le të tregojmë se ato janë të ngjashme. ne fakt,
- gjeneral,
siç është shkruar, dhe
nga teorema 4 (si këndi ndërmjet tangjentës dhe kordës së tërhequr deri në pikën e tangjences), d.m.th. .

Pra, është e ngjashme (sipas kriterit të parë të ngjashmërisë së trekëndëshave), dhe, për rrjedhojë, = , ose .

Përfundimi 6: Nëse nga një pikë e marrë jashtë një rrethi tërhiqet një numër sekantesh në të, atëherë prodhimi i çdo sekanti dhe pjesës së jashtme të tij është një numër konstant për të gjitha këto sekante (pasi për çdo sekant ky produkt është i barabartë me katrorin të tangjentes së tërhequr nëpër pikën e marrë).

Duke përmbledhur.

Konsolidimi parësor i materialit teorik nëpërmjet shqiptimit të formulimeve të teoremave dhe konkluzioneve, ide për vërtetimin e tyre.

Më poshtë u sugjerua si detyrë shtëpie:

problem teorik: Diametri AB të një rrethi të caktuar të shtrirë përtej një pike NË. Përmes një farë pike ME e kësaj vazhdimësie vizatohet një vijë e drejtë
. Nëse pikë arbitrare M lidheni këtë pingul me pikën A, pastaj (shënohet me pika e dytë e prerjes me rrethin e kësaj drejtëze) produkti
është një vlerë konstante për çdo pikë M.

problemet nr. 666 dhe nr. 671 (libër mësuesi nga L. S. Atanasyan) mbi zbatimin e formulave për segmente proporcionale akorde, tangjente dhe sekante;

detyra nr.660 për shqyrtimin e temës “Këndi i brendashkruar”;

Mësoni material teorik të lexuar mirë (pasi mësimi i ardhshëm supozohet të fillojë me punë testuese sipas kësaj teorie).

Produktiviteti. Gjatë orës së mësimit, nxënësit identifikuan modele ndërmjet segmenteve të kordave, tangjentëve dhe sekanteve; përcaktohet masa e këndit ndërmjet tangjentes dhe kordës së tërhequr në pikën e tangjences; u sigurua perceptimi i nxënësve për materialin e ri nëpërmjet ilustrimit gjeometrik dhe formulave të shkrimit; Studentët u trajnuan për të qenë kompetent në hartimin e provave gjeometrike.

Për të vërtetuar teoremat, duhet t'i referoheni materialit të trajtuar në temën "Rrethi. Pozicioni relativ i vijës së drejtë dhe rrethit. Kënde qendrore dhe të brendashkruara. Kujtoni konceptin e proporcionalitetit të segmenteve si anë trekëndësha të ngjashëm.

Është e nevojshme të theksohet veçmas proporcionaliteti i segmenteve të dy akordeve. Vërtetimi mund të kryhet si me shkrim ashtu edhe me gojë, në varësi të klasës specifike dhe ritmit të mësimit.

Është më mirë që mësuesi të shkruajë në tabelë materialin teorik (formulimet për shkrim) për të kursyer kohë, cilësinë e dizajnit dhe për të përfshirë sa më shumë studentët në zbulimin e vërtetimit të teoremave.

Me një ritëm të lartë pune, mund të konsideroni problem teorik, propozuar në detyrat e shtëpisë, shtroni idenë e provës dhe ia lini dizajnin shtëpisë.

Për të kontrolluar materialin e studiuar në mësimin tjetër, duhet të drejtoni sondazh frontal teori në formë punë me shkrim, e cila mund të përfshijë detyrë e thjeshtë në formulat bazë proporcionaliteti në një rreth.

Letërsia.

proporcionaliteti segmente? Natyrisht, nga ngjashmëria... për shembull, mësimgjeometria në VI klasës në temë“Ndërtimi i një trekëndëshi Nga dy kënde... të formuara akord Dhe tangjentet në hark në pikat që shërbejnë si skaje akorde, janë të barabartë "...

Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe sekanteve.

Vetia e segmenteve tangjente.

Teorema mbi vendndodhjen e pikave.

Përgjysmues pingul.

Rrethi i rrethuar. Një trekëndësh i gdhendur në një rreth.

Një rreth i gdhendur në një trekëndësh.

Problemet janë propozuar për të gjitha konceptet dhe pohimet.

Prezantimi është krijuar për një sërë mësimesh. Mund të përdoret për mësim në distancë.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

TEMA: “RRETHON”.

Rretho. Rrezja. Akord. Diametri. Këndi qendror. Këndi qendror. Këndi i brendashkruar. Detyrë. Vetia e këndit të brendashkruar. Detyrë. Teorema mbi gjysmën e shumës së harqeve. Detyrë. Teorema mbi gjysmëdiferencën e harqeve. Detyrë. Produkt i segmenteve të kordave të kryqëzuara. Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe sekanteve. Vetia e segmenteve tangjente. Detyrë. Lokusi gjeometrik i pikave. Teorema mbi vendndodhjen e pikave. Përgjysmues pingul. Rrethi i rrethuar. Një trekëndësh i gdhendur në një rreth. Detyrë. Detyrë. Tangjent në një rreth. Një rreth i gdhendur në një trekëndësh. Detyrë. Një rreth i rrethuar rreth një katërkëndëshi. Detyrë. Një rreth i gdhendur në një katërkëndësh. Detyrë.

Një rreth është një figurë që përbëhet nga të gjitha pikat e rrafshit të barabarta nga një pikë e caktuar - qendra e rrethit. Distanca nga qendra O e rrethit deri te pika A e shtrirë mbi të është 5 cm Vërtetoni se distanca nga pika O në pikën B të këtij rrethi është 5 cm, dhe distanca nga O në pikat C dhe D që nuk janë të shtrira mbi të. nuk është e barabartë me 5 cm .perimetri. O C D A B mbrapa

RREZE. Rrezja është segmenti që lidh qendrën me çdo pikë të rrethit. Pikat X,Y,Z shtrihuni në një rreth me qendër M. Është rrezja e këtij rrethi Segmenti MX; Segmenti YZ? Y X Z mbrapa

KORDI. Çfarë është korda e një rrethi? Një akord është një segment që lidh dy pika në një rreth. mbrapa O A B

DIAMETRI. Sa është diametri i një rrethi? Diametri është akordi që kalon nëpër qendër. mbrapa O A B

KËNDI QENDROR Një kënd qendror është një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit. Masa e shkallës së këndit qendror korrespondon me masë shkallë harku mbi të cilin mbështetet (nëse harku është më i vogël se një gjysmërreth). Emërtoni të gjitha këndet qendrore nga figura. O C A B m mbrapa

Nëse këndet qendrore të një rrethi të caktuar janë të barabartë, atëherë harqet përkatëse janë të barabarta në çift. Tregoni deklaratën e kundërt. A O C B D mbrapa

KËNDI PËRFSHIRËS. Një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit kryqëzojnë këtë rreth quhet i brendashkruar në një rreth. Cilat kënde janë të brendashkruara në një rreth? mbrapa A B C

Këndi ABC është brendashkruar në një rreth. AC - diametri. Vërtetoni se këndi ABC është kënd i drejtë. Detyrë. mbrapa O A C B

VETI KËNDORE PËRFSHIRJE. Vërtetoni se të gjitha këndet e gdhendura në një rreth janë të barabartë, anët e të cilit kalojnë nëpër dy pika të dhëna të rrethit dhe kulmet shtrihen në të njëjtën anë të vijës së drejtë që lidh këto pika. mbrapa

DETYRË. Pikat A, B dhe C shtrihen në një rreth me qendër O,  ABC = 50 ,  AB:  CB = 5: 8. Gjeni këto harqe dhe  AOC. mbrapa

VËRTETONI TEOREMËN NGA FIGURA. Një kënd ( ABC), kulmi i të cilit shtrihet brenda rrethit, matet me gjysmën e shumës së dy harqeve (AC dhe D E), njëri prej të cilëve ndodhet midis anëve të tij dhe tjetri midis zgjatimeve të brinjëve. .  ABC = 0,5 ( D E +  AC). D E A C mbrapa

DETYRË. Akordet MK dhe PT kryqëzohen në pikën A. Gjeni gjatësinë AM nëse AR = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4. mbrapa

VËRTETONI TEOREMËN NGA FIGURA. Një kënd ( ABC), kulmi i të cilit shtrihet jashtë rrethit dhe brinjët kryqëzohen me rrethin, matet me gjysmëdiferencën e dy harqeve (AC dhe D E) të mbyllura midis brinjëve të tij.  ABC = 0,5 ( D E +  AC). B D E A C mbrapa

DETYRË. Distanca nga pika A deri në qendrën e një rrethi me rreze 5 cm është 10 cm Një sekant vizatohet përmes pikës A dhe e pret rrethin në pikat B dhe C. Gjeni AC nëse pika B e ndan segmentin AC në gjysmë. mbrapa

PRODUKTI I SEGMENTEVE TË KORDIVE KRYQËZUESE. Prodhimi i gjatësive të segmenteve të kordave të kryqëzuara janë të barabarta. Tregojeni këtë teoremë me fjalët "nëse" dhe "atëherë". Provoni veten: “Nëse kordat AB dhe C D kryqëzohen në pikën M, atëherë AM  BM = CM  D M C B m A D prapa

PËRPËRPOPIONALITETI I SEGMENTEVE TË KORDIVE DHE SEKONDAVE. Prodhimi i gjatësive të segmenteve sekante është i barabartë me katrorin e gjatësisë së segmentit tangjent. Nëse një sekant në rreth dhe një tangjente vizatohen përmes pikës M, dhe pikat A dhe B janë pikat e prerjes së rrethit me sekantin, dhe C është pika e tangjences, atëherë AM  BM = CM. M S V A mbrapa

VETITË E SEGMENTEVE TANGENTE. Segmentet e dy tangjentave të tërhequra në një rreth nga një pikë jashtë tij janë të barabarta dhe formojnë kënde të barabarta me një vijë të drejtë që lidh këtë pikë me qendrën. Vërtetoni vetë teoremën. A O C B mbrapa

DETYRË. Nga pika M në një rreth me qendër O dhe rreze 8 cm, vizatohen tangjentet AM dhe BM (A dhe B janë pika tangjence). Gjeni perimetrin e trekëndëshit ABM nëse këndi AOB është 120 . mbrapa

VENDNDODHJA GJEOMETRIKE E PIKAVE. Vendndodhja e pikave është një figurë që përbëhet nga të gjitha pikat e rrafshit që kanë një pronë të caktuar. Shpjegoni pse një rreth është vendndodhja e pikave në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar. mbrapa O A B

TEOREMA PËR PIKAT GJEOMETRIKE. Vendndodhja e pikave të barabarta nga dy pika të dhëna është një vijë e drejtë pingul me segmentin që lidh këto pika dhe kalon nga mesi i tij. Jepet: a; AB  a; AO = OB. Vërtetoni: a - vendndodhja pika të barabarta nga A dhe B. A do të vërtetohet teorema nëse vërtetojmë se çdo pikë në drejtëzën a është e barabartë nga A dhe B. mbrapa A B O M a

MESIM PERPENDIKULAR. Përgjysmues pingul me një segment AB është një drejtëz që kalon nga mesi i një segmenti AB pingul me të. Vërtetoni se qendra e rrethit shtrihet përgjysmues pingul ndaj çdo akord të këtij rrethi. mbrapa

RRETH RRETHOR. TREKËNDËSH I GJENDUR NË RRETH. Një rreth quhet i rrethuar rreth një trekëndëshi nëse ai kalon nëpër të gjitha kulmet e tij. Në këtë rast, trekëndëshi thuhet se është i gdhendur në një rreth. Vërtetoni se brinjët e një trekëndëshi të brendashkruar janë korda të rrethit të rrethuar rreth tij. Ku është qendra e rrethit të trekëndëshit? mbrapa

Ku është qendra e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi kënddrejtë? Detyrë. mbrapa O A C B

DETYRË. Gjeni rrezen e një rrethi të rrethuar nga një trekëndësh me brinjë 10, 12 dhe 10 cm mbrapa

TANGJENTA NË RRETHIN Një drejtëz që ka vetëm një pikë të përbashkët me rrethin quhet tangjente me rrethin. Pika e përbashkët rrethi dhe tangjentja quhet pika e tangjences. Çfarë mund të thuhet për brinjët e trekëndëshit C D E në raport me rrethin? mbrapa

RRETH I GJENDUR NË NJË TREKËNDËSH. Një rreth quhet i gdhendur në një trekëndësh nëse prek të gjitha anët e tij. Në këtë rast, trekëndëshi quhet i rrethuar rreth një rrethi. Ku ndodhet qendra e rrethit të gdhendur në trekëndësh? Trekëndëshi ABC është i rrethuar rreth një rrethi. Cilët nga trekëndëshat AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA janë të barabartë? mbrapa

DETYRË. NË trekëndësh kënddrejtë njëri prej këndeve është 30 . Gjeni anën më të vogël të trekëndëshit nëse rrezja e rrethit të brendashkruar është 4 cm mbrapa

RRETHI I PËRSHKRUAR RRETH NJË KADAGONI. Nëse rreth katërkëndësh konveks mund të përshkruajë një rreth, pastaj shumën e tij qoshet e kundërta e barabartë me dy kënde të drejta. Vërtetoni:  A +  C = 180  . Formuloni pohimin e kundërt. Rreth cilit katërkëndësh mund të vizatohet një rreth? Pse? B C D A mbrapa

DETYRË. Diagonalja e një trapezi është c bazë e madhe këndi është 30 , dhe qendra e rrethit të përshkruar pranë trapezit i përket kësaj baze. Gjeni zonën e trapezit nëse është anësor e barabartë me 2 cm mbrapa

RRETHI I GJENDUR NË NJË KËTRËKËNDËSH Nëse një rreth mund të futet në një katërkëndësh, atëherë shuma e gjatësive të tij anët e kundërta janë të barabartë. Vërtetoni: AB+C D = BC+A D. Formuloni pohimin e kundërt. Në cilët katërkëndësh mund të futet një rreth? B C D A N P K M mbrapa

DETYRË. Gjeni zonën trapezoid isosceles i rrethuar rreth një rrethi nëse bazat e tij janë 2 cm dhe 8 cm prapa

Prapa Përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha veçoritë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Synimi: rritjen e motivimit për të mësuar; zhvillojnë aftësitë informatike, inteligjencën dhe aftësinë për të punuar në një ekip.

Ecuria e mësimit

Përditësimi i njohurive. Sot do të vazhdojmë të flasim për rrathë. Më lejoni t'ju kujtoj përkufizimin e një rrethi: si quhet rrethi?

Rrethoështë një vijë e përbërë nga të gjitha pikat në rrafsh që janë në një distancë të caktuar nga një pikë e rrafshit, e quajtur qendra e rrethit.

Sllajdi tregon një rreth, qendra e tij është shënuar - pika O, vizatohen dy segmente: OA dhe SV. Segmenti OA lidh qendrën e rrethit me një pikë në rreth. Quhet RADIUS (në latinisht radius - "foli në një rrotë"). Segmenti CB lidh dy pika të rrethit dhe kalon nëpër qendrën e tij. Ky është diametri i një rrethi (përkthyer nga greqishtja si "diametër").

Do të na duhet gjithashtu përkufizimi i një korde të një rrethi - ky është një segment që lidh dy pika në një rreth (në figurë - akord DE).

Le të zbulojmë pyetjen për pozicionin relativ të drejtëzës dhe rrethit.

Pyetja tjetër dhe do të jetë kryesore: zbuloni vetitë që kanë kordat, sekantet dhe tangjentet kryqëzuese.

Këto veti do t'i vërtetoni në mësimet e matematikës dhe detyra jonë është të mësojmë se si t'i zbatojmë këto veti gjatë zgjidhjes së problemeve, pasi ato përdoren gjerësisht në provime si në formën e Provimit të Unifikuar të Shtetit ashtu edhe në formën e Provimit të Shtetit.

Detyrë për ekipet.

• Vizatoni dhe shkruani vetinë e kordave CM dhe NF që kryqëzohen në pikën P.
• Vizatoni dhe shkruani vetitë e tangjentes KM dhe sekantës KF.
• Vizatoni dhe shkruani vetitë e sekanteve KM dhe MF.

Duke përdorur të dhënat në figurë, gjeni x. Rrëshqitja 5–6

Kushdo që është më i shpejtë është më i saktë. Vijon diskutimi dhe verifikimi i zgjidhjeve të të gjitha problemeve. Ata që përgjigjen fitojnë pikë shpërblimi për ekipin e tyre.

Epo, tani le të kalojmë në zgjidhjen e problemeve më serioze. Ne ju ofrojmë tre blloqe: akorde kryqëzuese, një tangjente dhe një sekante, dy sekante. Ne do të analizojmë në detaje zgjidhjen e një problemi nga çdo bllok.

(Zgjidhja analizohet me regjistrim i detajuar №4, №7, №12)

2. Punëtori për zgjidhjen e problemeve

a) Korda të kryqëzuara

1. E – pika e prerjes së kordave AB dhe CD. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. Gjeni CD.

Zgjidhja:

2. E – pika e prerjes së kordave AB dhe CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Gjeni AE dhe BE.

Zgjidhja:

3. E – pika e kryqëzimit të kordave AB dhe CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Gjeni CE.

Zgjidhja:

4. E është pika e kryqëzimit të kordave AB dhe CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Gjeni CD.

Zgjidhja:

b) Tangjente dhe sekante

5. Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga një pikë në një rreth. Tangjentja është 6, sekanti është 18. Përcaktoni segmentin e brendshëm të sekantit.

Zgjidhja:

6. Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga një pikë në një rreth. Gjeni tangjenten nëse dihet se është më e vogël se segmenti i brendshëm i sekantit me 4 dhe më i madh se segmenti i jashtëm me 4.

Zgjidhja:

7. Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga një pikë në një rreth. Gjeni një sekant nëse dihet se segmenti i tij i brendshëm është i lidhur me segmentin e jashtëm si 3:1, dhe gjatësia e tangjentes është 12.

Zgjidhja:

8. Një tangjente dhe një sekant vizatohen nga një pikë në një rreth. Gjeni segmentin e jashtëm të sekantës nëse dihet se segmenti i brendshëm i tij është 12 dhe gjatësia e tangjentes është 8.

Zgjidhja:

9. Një tangjente dhe një sekant që burojnë nga e njëjta pikë janë përkatësisht të barabarta me 12 dhe 24 Përcaktoni rrezen e rrethit nëse sekanti është 12 larg qendrës.

Zgjidhja:

c) Dy sekante

10. Nga një pikë tërhiqen dy sekante në një rreth, segmentet e brendshme të të cilit janë përkatësisht të barabarta me 8 dhe 16. Segmenti i jashtëm i sekantit të dytë është 1 më pak se segmenti i jashtëm i të parit. Gjeni gjatësinë e çdo sekanti.

Zgjidhja:

11. Dy sekante vizatohen nga një pikë në një rreth. Segmenti i jashtëm i sekantit të parë lidhet me atë të brendshëm si 1:3. Segmenti i jashtëm i sekantit të dytë është 1 më pak se segmenti i jashtëm i të parit dhe lidhet me segmentin e tij të brendshëm si 1:8. Gjeni gjatësinë e çdo sekanti.

Zgjidhja:

12. Nëpër pikën A, e cila ndodhet jashtë rrethit në një distancë prej 7 nga qendra e tij, vizatohet një vijë e drejtë që pret rrethin në pikat B dhe C. Gjeni gjatësinë e rrezes së rrethit nëse AB = 3, BC. = 5.

Zgjidhja:

13. Nga pika A tërhiqen në rreth një sekant me gjatësi 12 cm dhe një tangjente, përbërës i segmentit të brendshëm të sekantit. Gjeni gjatësinë e tangjentes.

Zgjidhja:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Konsolidimi i njohurive

Besoj se keni njohuri të mjaftueshme për të shkuar në një udhëtim të shkurtër nëpër labirintet e intelektit tuaj duke vizituar stacionet e mëposhtme:

• Mendoni për këtë!
• Vendosni!
• Përgjigjuni!

Mund të qëndroni në stacion jo më shumë se 6 minuta. Për secilin vendim të drejtë detyrat ekipi merr pikë nxitëse.

Skuadrave u jepen fletët e rrugës:

Fleta e itinerarit

Do të doja të të zhgënjeja rezultatet e mësimit tonë:

Përveç njohurive të reja, shpresoj se jeni njohur më mirë me njëri-tjetrin dhe keni fituar përvojë duke punuar në një ekip. A mendoni se njohuritë e marra zbatohen diku në jetë?

Poeti G. Longfellow ishte gjithashtu një matematikan. Kjo është ndoshta arsyeja pse imazhet e gjalla që zbukurojnë konceptet matematikore që ai përdori në romanin e tij "Kawang" bëjnë të mundur ngulitjen e disa teoremave dhe zbatimet e tyre për jetën. Ne lexojmë problemin e mëposhtëm në roman:

Zambaku, që ngrihej një hap mbi sipërfaqen e ujit, nën një erë të freskët preku sipërfaqen e liqenit dy kubitë nga vendi i tij i mëparshëm; Bazuar në këtë, ishte e nevojshme të përcaktohej thellësia e liqenit” (1 hapësirë ​​​​është e barabartë me 10 inç, 2 kubitë është 21 inç).

Dhe ky problem zgjidhet në bazë të vetive të akordeve të kryqëzuara. Shikoni foton dhe do të bëhet e qartë se sa i thellë është liqeni.

Zgjidhja:

V.Përmbledhja e mësimit

U. Emërtoni të gjitha këndet e brendashkruara që rezultojnë (Fig. 30).

D. CAB; ABC; dielli.

U. Emërtoni të gjitha këndet ndërmjet tangjentes dhe kordave.

D. NAB; NBA; KBC; BKK; MCA; MAC.

U. Cili prej tyre do të jetë i barabartë dhe pse?

D. NAB = NBA; KBC= BKK; MCA = MAC. Çdo çift i këtyre këndeve ndërmjet tangjentes dhe kordës përmban të njëjtin hark, pra numerikisht janë të barabartë me gjysmën, domethënë të barabartë me njëri-tjetrin.

U. Cilat kënde të trekëndëshit janë të barabartë me secilin nga këto tre çifte dhe pse?

D. NAB = NBA = C; KBC = BKK = A; MCA = MAC = B. Meqenëse këndi ndërmjet tangjentës dhe kordës është i barabartë me këndin e brendashkruar të nënshtruar nga harku që përmban tangjentja dhe korda.

U. Çfarë mund të thoni për llojin e trekëndëshave ANB; BKC; CMA?

D. janë dykëndësh, pasi secili prej këtyre trekëndëshave ka dy kënde të barabarta.

VI. Detyrë shtëpie

Nr. 656, 663 sipas librit shkollor të Atanasyan.

Mësoni teorinë (përgatitja për testin).

Mësimi 6 – 7

Subjekti. Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe sekanteve.

Objektivat e mësimit. Testoni njohuritë dhe të kuptuarit e nxënësve për temën: “Këndi i brendashkruar”; konsideroni materialin teorik (për akordet dhe sekantet); të forcojë aftësitë për zgjidhjen e problemeve.

I. Pyetje për detyra shtëpie

II. Test njohurish

Testimi i teorisë, testimi i njohurive të studentëve për temën “Këndi i brendashkruar” është në natyrën e një testi. Testi kontrollon jo vetëm njohuritë aktuale të përkufizimeve dhe vetive, por edhe kuptimin e lidhjeve midis koncepteve. Prandaj, disa pyetje nuk janë formuar në mënyrë rigoroze në përputhje me tekstin shkollor. Duhen 5-7 minuta për të përfunduar. Puna duhet të vlerësohet. Nëse studenti dështon, rekomandohet të testojë njohuritë e tij për formulimin nga teksti shkollor.

Testi kryhet në fund të temës, pasi është e nevojshme të përpunohen të gjitha lidhjet midis harkut, këndeve qendrore dhe të gdhendura.

Nxënësit duhet të shkruajnë vetëm numrat përkatës gjatë kryerjes së testit. Ne kursejmë kohë dhe i bëjmë studentët të mendojnë.

Pas testit, mund t'i përgjigjeni pyetjes që zgjoi interesin e shumicës së studentëve.

Test (sipas librit shkollor nga L. S. Atanasyan)

Kombinoni fillimin dhe fundin e frazës për të bërë deklaratë e vërtetë. Në përgjigjen tuaj, tregoni numrat e pjesëve të majta dhe të djathta të detyrës, për shembull: 2-5.

Opsioni 1

Opsioni 2

Përgjigjet: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Kombinoni fillimin dhe fundin e frazës për të bërë një deklaratë të vërtetë. Në përgjigjen tuaj, tregoni numrat e pjesëve të majta dhe të djathta të detyrës, për shembull: 2-5.

Opsioni 1

Përgjigjet: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Opsioni 2

Përgjigjet. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Shpjegimi i materialit të ri

U. Le të shkruajmë temën e mësimit dhe të analizojmë problemin duke përdorur vizatimin e përfunduar me gojë (Fig. 31)

U. Diametri i vizatuar në një rreth AC, akorde BD, NE dhe AD dhe tangjente CN, që formon një kënd prej 30° me vazhdimin e kordës AD.

Gjeni DBC.

Arsyetimi i problemit:

1) Si quhet këndi DBC, Mbi çfarë harku mbështetet?

2) Çfarë mund të thuhet për qymyrin MUND?

3) Vetia tangjente CN.

4) Si mund të llogarisni këndin CAN dhe pse?

Përfundim: DBC = 60°

Gjatë arsyetimit tonë, ne shënojmë kënde të barabarta në vizatim, si dhe ACN = 90 °. Tjetra, ne propozojmë të konsiderojmë trekëndëshat HSR dhe AMD. Këta trekëndësha janë të ngjashëm (mund të jepni një aluzion nëse nuk e shihni vetë).

Për të vërtetuar ngjashmërinë e trekëndëshave, duhet të kujtojmë shenjat e ngjashmërisë.

Kënde të barabarta janë shënuar tashmë në vizatim C.B.M. = CAD(pushoni në një hark). Mbetet vetëm të vërehen këndet vertikale :

DIU = AMD, VSM ~ ∆AMD(në dy qoshe).

Çfarë duhet thënë për brinjët përkatëse të trekëndëshave të ngjashëm? Bëni një proporcion:

BMAM = CMDM = BCAD.

U.. Cilat janë segmentet në rreth që përfshihen në proporcion?

D. Pjesë akordesh dhe diametrash.

U. Kjo do të thotë, mund të supozojmë se ekziston një lidhje midis kordave të kryqëzuara në një rreth.

Le të formulojmë teoremën: nëse dy korda të një rrethi kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me produktin e segmenteve të kordës tjetër.

Prova kryhet sipas librit shkollor të Atanasyan, studentët janë të përgatitur për të kuptuar teoremën dhe shkrimi i saj nuk duhet të marrë shumë kohë.

Ne besojmë se është e nevojshme të merret parasysh teorema sekante.

Ne përgatisim një vizatim për teoremën dhe zbulojmë se çfarë nënkuptojmë me një sekant në një rreth: një vijë e drejtë që kryqëzon rrethin në dy pika.

Le ta shkruajmë formulimi i teoremës: nëse nga një pikë gënjeshtër

jashtë rrethit vizatohen dy sekante, pastaj prodhimet e sekantit dhe pjesët e jashtme të tyre janë të barabarta. (Ose: nëse dy sekante janë tërhequr nga pika P në rreth, duke e prerë rrethin në pikat A, NË dhe C, D respektivisht,

Se ARB.P. = = C.P.- D.P..)

E dhënë: B.P. Dhe D.P.- sekante (Fig. 32).

Vërtetoni: BP AP = PD PC.

Dëshmi:

1. Le të bëjmë një ndërtim shtesë: diellinAD.

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë pozicionin relativ të sekanteve dhe rrethit. Nëse e ndryshojmë këtë vizatim në atë mënyrë që sekanti PB merr pozicionin e tangjentes, atëherë teorema jonë do të formulohet si më poshtë: nëse një sekant dhe një tangjente me këtë rreth janë tërhequr nga një pikë jashtë rrethit, atëherë katrori të tangjentes e barabartë me produktin e sekantuar në pjesën e jashtme të saj.

P Pra, ne duhet ta vërtetojmë këtë B.P. 2 = PDPC.

Le të vizatojmë akorde dielli Dhe B.D.

BDC = ½udielli(siç është shkruar);

SVR = ½udielli(këndi ndërmjet tangjentes dhe kordës), pra

BDC = C.B.P..

∆BPD ~ ∆ C.P.B.në dy qoshe.

Le të shkruajmë proporcionin:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, që do të thotë B.P.2 = PCP.D.

Është e mundur, pasi të keni shkruar formulimin e teoremës, të zgjidhet problemi nr. 670 (Atanasyan) dhe kështu të kryhet vërtetimi i teoremës. Meqenëse parimi i vërtetimit përsëritet, në të tre teoremat ai bazohet në ngjashmëri, mund t'i kërkoni njërit prej studentëve të kryejë vërtetimin në tabelë.

Problemi 1

KL dhe MN janë sekante (Fig. Nr. 34). Çfarë vetie mund të formulohet? (Ne diskutojmë dhe përgatisim një vizatim, zgjidhim një problem bazuar në këtë vizatim.)

Akordet MN dhe KL kryqëzohen në pikën C. Përcaktoni gjatësinë e segmentitC.L., NëseKC= 3cm, MS = 3cm; CH = 9 cm. tema " Qendrore Dhe të mbishkruara kënde Përmbledhni dhe... Sot kemi finalen mësim Nga temë: "Qendrore Dhe të mbishkruara kënde“Përsërisim, përgjithësojmë, paraqesim...