Ekstrema e funksioneve të disa variablave. Një kusht i domosdoshëm për një ekstrem. Kusht i mjaftueshëm për një ekstrem. Ekstrem i kushtëzuar. Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit. Gjetja e vlerave më të mëdha dhe më të vogla.

Leksioni 5.

Përkufizimi 5.1. Pika M 0 (x 0, y 0) thirrur pikë maksimale funksione z = f (x, y), Nëse f (x o , y o) > f(x,y) për të gjitha pikat (x, y) M 0.

Përkufizimi 5.2. Pika M 0 (x 0, y 0) thirrur pikë minimale funksione z = f (x, y), Nëse f (x o , y o) < f(x,y) për të gjitha pikat (x, y) nga ndonjë lagje e një pike M 0.

Shënim 1. Pikët maksimale dhe minimale quhen pika ekstreme funksionet e disa variablave.

Vërejtje 2. Pika ekstreme për një funksion të çdo numri variablash përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

Teorema 5.1(kushtet e nevojshme për një ekstrem). Nëse M 0 (x 0, y 0)– pika ekstreme e funksionit z = f (x, y), atëherë në këtë pikë derivatet e pjesshme të rendit të parë të këtij funksioni janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë.

Dëshmi.

Le të rregullojmë vlerën e ndryshores në, duke numëruar y = y 0. Pastaj funksioni f (x, y 0) do të jetë funksion i një ndryshoreje X, per cilin x = x 0është pika ekstreme. Prandaj, sipas teoremës së Fermatit, ose nuk ekziston. E njëjta deklaratë vërtetohet në mënyrë të ngjashme për .

Përkufizimi 5.3. Pikat që i përkasin domenit të një funksioni të disa ndryshoreve në të cilat derivatet e pjesshme të funksionit janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë quhen pika të palëvizshme këtë funksion.

Komentoni. Kështu, ekstremi mund të arrihet vetëm në pika të palëvizshme, por nuk vërehet domosdoshmërisht në secilën prej tyre.

Teorema 5.2 (kushte të mjaftueshme ekstreme). Lëreni në ndonjë lagje të pikës M 0 (x 0, y 0), e cila është një pikë e palëvizshme e funksionit z = f (x, y), ky funksion ka derivate të pjesshme të vazhdueshme deri në renditjen e tretë përfshirëse. Le të shënojmë Atëherë:

1) f(x,y) ka në pikën M 0 maksimale nëse AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ka në pikën M 0 minimale nëse AC–B² > 0, A > 0;

3) nuk ka ekstrem në pikën kritike nëse AC–B² < 0;

4) nëse AC–B² = 0, nevojiten kërkime të mëtejshme.

Dëshmi.

Le të shkruajmë formulën e rendit të dytë të Taylor për funksionin f(x,y), duke kujtuar se në një pikë të palëvizshme derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero:

Ku Nëse këndi ndërmjet segmentit M 0 M, Ku M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ në), dhe boshti O X shënojmë φ, pastaj Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Në këtë rast, formula e Taylor-it do të marrë formën: . Le Atëherë ne mund të pjesëtojmë dhe shumëzojmë shprehjen në kllapa me A. Ne marrim:

Le të shqyrtojmë tani katër rastet e mundshme:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и në Δρ mjaftueshëm të vogël. Prandaj, në disa lagje M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), kjo eshte M 0- pikë maksimale.

2) Le AC–B² > 0, A > 0. Pastaj , Dhe M 0- pikë minimale.

3) Le AC-B² < 0, A> 0. Konsideroni shtimin e argumenteve përgjatë rrezes φ = 0. Pastaj nga (5.1) rezulton se , domethënë kur lëviz përgjatë kësaj rreze, funksioni rritet. Nëse lëvizim përgjatë një rreze të tillë që tg φ 0 = -A/B, Se , pra, kur lëviz përgjatë kësaj rreze, funksioni zvogëlohet. Pra, periudha M 0 nuk është një pikë ekstreme.

3`) Kur AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

ngjashëm me atë të mëparshëm.

3``) Nëse AC–B² < 0, A= 0, atëherë . Ku . Pastaj për φ mjaft të vogël shprehja 2 B cosφ + C sinφ është afër 2 NË, domethënë ruan një shenjë konstante, por sinφ ndryshon shenjën në afërsi të pikës M 0. Kjo do të thotë se rritja e funksionit ndryshon shenjën në afërsi të një pike të palëvizshme, e cila për rrjedhojë nuk është një pikë ekstreme.

4) Nëse AC–B² = 0, dhe , , pra, shenja e rritjes përcaktohet me shenjën 2α 0. Në të njëjtën kohë, kërkime të mëtejshme janë të nevojshme për të sqaruar çështjen e ekzistencës së një ekstremi.

Shembull. Le të gjejmë pikat ekstreme të funksionit z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Për të gjetur pika të palëvizshme, ne zgjidhim sistemin . Pra, pika e palëvizshme është (-2,-1). Ku A = 2, NË = -2, ME= 4. Pastaj AC–B² = 4 > 0, pra, në një pikë të palëvizshme arrihet një ekstrem, domethënë një minimum (pasi A > 0).

Përkufizimi 5.4. Nëse argumentet e funksionit f (x 1 , x 2 ,…, x n) lidhur kushte shtesë si m ekuacionet ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

ku funksionet φ i kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme, atëherë thirren ekuacionet (5.2). ekuacionet e lidhjes.

Përkufizimi 5.5. Ekstremi i funksionit f (x 1 , x 2 ,…, x n) kur plotësohen kushtet (5.2), quhet ekstrem i kushtëzuar.

Komentoni. Ne mund të ofrojmë interpretimin gjeometrik të mëposhtëm të ekstremit të kushtëzuar të një funksioni të dy ndryshoreve: leni argumentet e funksionit f(x,y) lidhur me ekuacionin φ (x,y)= 0, duke përcaktuar një lakore në rrafshin O xy. Rindërtimi i pinguleve në rrafshin O nga çdo pikë e kësaj lakore xy derisa të kryqëzohet me sipërfaqen z = f (x,y), marrim një kurbë hapësinore të shtrirë në sipërfaqen mbi kurbë φ (x,y)= 0. Detyra është të gjesh pikat ekstreme të kurbës që rezulton, e cila, natyrisht, rast i përgjithshëm nuk përkojnë me pikat ekstreme të pakushtëzuara të funksionit f(x,y).

Le të përcaktojmë kushtet e nevojshme për një ekstrem të kushtëzuar për një funksion të dy ndryshoreve duke paraqitur fillimisht përkufizimin e mëposhtëm:

Përkufizimi 5.6. Funksioni L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Ku λi - disa janë konstante, të quajtura Funksioni i Lagranzhit, dhe numrat λi– faktorë të pacaktuar Lagranzhit.

Teorema 5.3(kushtet e nevojshme për një ekstrem të kushtëzuar). Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni z = f (x, y) në prani të ekuacionit të bashkimit φ ( x, y)= 0 mund të arrihet vetëm në pikat stacionare të funksionit Lagranzh L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Dëshmi. Ekuacioni i bashkimit specifikon një marrëdhënie të nënkuptuar në nga X, prandaj do të supozojmë se në ka një funksion nga X: y = y(x). Pastaj z ekziston një funksion kompleks nga X, dhe pikat e tij kritike përcaktohen nga kushti: . (5.4) Nga ekuacioni i bashkimit rezulton se . (5.5)

Le të shumëzojmë barazinë (5.5) me një numër λ dhe ta shtojmë atë në (5.4). Ne marrim:

, ose .

Barazia e fundit duhet të plotësohet në pikat stacionare, nga të cilat rrjedh:

(5.6)

Përftohet një sistem prej tre ekuacionesh për tre të panjohura: x, y dhe λ, dhe dy ekuacionet e para janë kushtet për pikën e palëvizshme të funksionit të Lagranzhit. Duke përjashtuar të panjohurën ndihmëse λ nga sistemi (5.6), gjejmë koordinatat e pikave në të cilat funksioni origjinal mund të ketë një ekstrem të kushtëzuar.

Vërejtje 1. Prania e një ekstremumi të kushtëzuar në pikën e gjetur mund të kontrollohet duke studiuar derivatet e pjesshme të rendit të dytë të funksionit të Lagranzhit në analogji me teoremën 5.2.

Vërejtje 2. Pikat në të cilat mund të arrihet ekstremi i kushtëzuar i funksionit f (x 1 , x 2 ,…, x n) kur plotësohen kushtet (5.2), mund të përkufizohen si zgjidhje të sistemit (5.7)

Shembull. Le të gjejmë ekstremumin e kushtëzuar të funksionit z = xy duke pasur parasysh se x + y= 1. Le të kompozojmë funksionin Lagranzh L(x, y) = xy + λ (x + y - 1). Sistemi (5.6) duket si ky:

Ku -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Ku L(x,y) mund të paraqitet në formë L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, pra, në pikën e palëvizshme të gjetur L(x,y) ka një maksimum dhe z = xy - maksimumi i kushtëzuar.

Le të përcaktohet funksioni z - /(x, y) në një fushë D dhe le të jetë Mo(xo, Vo) një pikë e brendshme e këtij domeni. Përkufizimi. Nëse ka një numër të tillë që për të gjitha që plotësojnë kushtet pabarazia është e vërtetë, atëherë pika Mo(xo, yo) quhet pika maksimale lokale e funksionit /(x, y); nëse për të gjitha Dx, Du, që plotësojnë kushtet | atëherë pika Mo(xo,yo) quhet minimum lokal i hollë. Me fjalë të tjera, pika M0(x0, y0) është një pikë maksimale ose minimale e funksionit f(x, y) nëse ekziston një fqinjësi 6 e pikës A/o(x0, y0) e tillë që fare pikat M(x, y) të kësaj në fqinjësi, rritja e funksionit ruan shenjën e tij. Shembuj. 1. Për pikën e funksionit - pika minimale (Fig. 17). 2. Për funksionin, pika 0(0,0) është pika maksimale (Fig. 18). 3. Për një funksion, pika 0(0,0) është një pikë maksimale lokale. 4 Në të vërtetë, ekziston një fqinjësi e pikës 0(0, 0), për shembull, një rreth me rreze j (shih Fig. 19), në çdo pikë të së cilës, ndryshe nga pika 0(0,0), vlera e funksionit /(x,y) më pak se 1 = Ne do të marrim parasysh vetëm pikat strikte maksimale dhe minimale të funksioneve kur pabarazi e rreptë ose pabarazia e rreptë vlen për të gjitha pikat M(x) y) nga disa lagje 6 të shpuara të pikës Mq. Vlera e një funksioni në pikën maksimale quhet maksimum, dhe vlera e funksionit në pikën minimale quhet minimumi i këtij funksioni. Pikat maksimale dhe minimale të një funksioni quhen pikat ekstreme të funksionit, dhe maksimalet dhe minimumet e vetë funksionit quhen ekstreme të tij. Teorema 11 (kusht i domosdoshëm për një ekstrem). Nëse funksioni Extremum është funksion i disa Koncepti i variablave ekstremi i një funksioni të disa ndryshoreve. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem Ekstrem i kushtëzuar Maksimumi dhe vlera më e vogël funksionet e vazhdueshme ka një ekstrem në pikë, atëherë në këtë pikë çdo derivat i pjesshëm u ose zhduket ose nuk ekziston. Le të ketë në pikën M0(x0, yо) Funksioni z = f(x) y) një ekstremum. Le t'i japim variablës y vlerën yo. Atëherë funksioni z = /(x, y) do të jetë funksion i një ndryshoreje x\ Meqenëse në x = xo ka një ekstrem (maksimum ose minimal, Fig. 20), atëherë derivati ​​i tij në lidhje me x = "o, | (*o,l>)" E barabartë me zero ose nuk ekziston. Në mënyrë të ngjashme, ne jemi të bindur se) ose është e barabartë me zero ose nuk ekziston. Pikat në të cilat = 0 dhe χ = 0 ose nuk ekzistojnë quhen kritike. pikat e funksionit z = Dx, y) Pikat në të cilat $£ = φ = 0 quhen pika të palëvizshme të funksionit 11, të cilat nuk janë të mjaftueshme Në të vërtetë, funksioni është i hollë në pikën 0(0,0) dhe merr vlera pozitive në pikën M(x,y), në mënyrë arbitrare afër pikës 0(0). ,0), kështu dhe vlerat negative. Për të, kështu që në pikat në pikat (0, y) për pikën arbitrare të vogël 0(0,0) e tipit të treguar quhet pikë mini-max (Fig. 21). Kushtet e mjaftueshme për një ekstrem të një funksioni të dy ndryshoreve shprehen me teoremën e mëposhtme. Teorema 12 (kushte të mjaftueshme për një ekstrem në dy variabla). Le të jetë pika Mo(xo»Yo) një pikë e palëvizshme e funksionit f(x, y), dhe në ndonjë fqinjësi të pikës /, duke përfshirë edhe vetë pikën Mo, funksioni f(z, y) ka derivate të pjesshme të vazhdueshme. deri në renditjen e dytë përfshirëse. Atëherë." 1) në pikën Mq(xq, V0) funksioni /(x, y) ka një maksimum nëse në këtë pikë përcaktorja 2) në pikën Mo(xq, V0) funksioni /(x, y) ka një minimum nëse në pikën Mo(xo, V0) funksioni /(xo, y) nuk ka një ekstrem nëse D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremumi i funksionit f(x, y) mund të ekzistojë ose të mos ekzistojë. Në këtë rast, kërkohet hulumtim i mëtejshëm. m Ne kufizohemi në vërtetimin e pohimeve 1) dhe 2) të teoremës. Le të shkruajmë formulën e Taylor-it të rendit të dytë për funksionin /(i, y): ku. Sipas kushtit, është e qartë se shenja e rritjes D/ përcaktohet nga shenja e trinomit në anën e djathtë të (1), d.m.th., shenja e diferencialit të dytë d2f. Le ta shënojmë për shkurtësi. Atëherë barazia (l) mund të shkruhet si vijon: Le të kemi në pikën MQ(pra, V0)... Meqenëse, sipas kushtit, derivatet e pjesshëm të rendit të dytë të funksionit f(s, y) janë të vazhdueshme, atëherë pabarazia (3) do të jetë gjithashtu në një afërsi të pikës M0(s0,yo). Nëse kushti është i plotësuar (në pikën А/0, dhe për shkak të vazhdimësisë derivati ​​/,z(s,y) do të ruajë shenjën e tij në ndonjë lagje të pikës Af0. Në rajonin ku А Ф 0, kemi Nga kjo shihet qartë se nëse ЛС - В2 > 0 në ndonjë lagje të pikës M0(x0) y0), atëherë shenja e trinomit AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 përkon me shenjën e A në pikën (pra. , V0) (si dhe me shenjën e C, pasi për AC - B2 > 0 A dhe C nuk mund të kenë shenja të ndryshme). Meqenëse shenja e shumës AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 në pikën (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) përcakton shenjën e diferencës, arrijmë në në përfundimin e mëposhtëm: nëse funksioni /(s,y) në një pikë stacionare (s0, V0) plotëson kushtin, atëherë për mjaftueshëm të vogla || pabarazia do të plotësohet. Kështu, në pikën (sq, V0) funksioni /(s, y) ka një maksimum. Nëse kushti është i plotësuar në pikën e palëvizshme (s0, y0), atëherë për të gjitha mjaftueshëm të vogla |Dr| dhe |Du| pabarazia është e vërtetë, që do të thotë se në pikën (so,yo) funksioni /(s, y) ka një minimum. Shembuj. 1. Hulumtoni funksionin për një ekstremum 4 Duke përdorur kushtet e nevojshme për një ekstremum, kërkojmë pika stacionare të funksionit. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatet e pjesshëm u dhe i barazojmë me zero. Ne marrim një sistem ekuacionesh nga ku - një pikë e palëvizshme. Le të përdorim tani Teoremën 12. Ne kemi Kjo do të thotë se ka një ekstrem në pikën Ml. Sepse ky është minimumi. Nëse e transformojmë funksionin r në formë, kjo është e lehtë të shihet pjesa e djathtë(“) do të jetë minimale kur është minimumi absolut i këtij funksioni. 2. Shqyrtoni funksionin për një ekstrem Ne gjejmë pika të palëvizshme të funksionit, për të cilat hartojmë një sistem ekuacionesh, në mënyrë që pika të jetë e palëvizshme. Meqenëse, në bazë të Teoremës 12, nuk ka asnjë ekstrem në pikën M. * 3. Hulumtoni skajshmërinë e funksionit Gjeni pikat e palëvizshme të funksionit. Nga sistemi i ekuacioneve e marrim atë, pra pika është e palëvizshme. Më pas kemi se teorema 12 nuk i përgjigjet pyetjes për praninë ose mungesën e një ekstremi. Le ta bëjmë në këtë mënyrë. Për një funksion rreth të gjitha pikave të ndryshme nga pika kështu, sipas përkufizimit, dhe pika A/o(0,0) funksioni r ka një minimum absolut. Me llogaritje të ngjashme vërtetojmë se funksioni ka një maksimum në pikë, por funksioni nuk ka një ekstrem në pikë. Le të jetë i diferencueshëm një funksion prej n variablash të pavarur në një pikë Pika Mo quhet pikë e palëvizshme e funksionit nëse teorema 13 (deri në kushte të mjaftueshme për një ekstrem). Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe të ketë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë në ndonjë fqinjësi të gjobës Mt(xi..., e cila është një funksion i palëvizshëm i imët nëse forma kuadratike (diferenciali i dytë i funksionit f në fine është pozitiv i caktuar (përcaktuar negativ), pika minimale (përkatësisht, maksimumi i imët) i funksionit f është i hollë Nëse forma kuadratike (4) është e alternuar, atëherë nuk ka ekstrem në gjobën LG0 për të përcaktuar nëse ka. do të jetë. formë kuadratike (4) definitiv pozitiv ose negativ, mund të përdorni, për shembull, kriterin e Sylvester-it për përcaktimin pozitiv (negativ) të një forme kuadratike. 15.2. Ekstrem i kushtëzuar Deri më tani, ne kemi kërkuar ekstreme lokale të një funksioni në të gjithë domenin e përcaktimit të tij, kur argumentet e funksionit nuk janë të lidhura me ndonjë kusht shtesë. Ekstreme të tilla quhen të pakushtëzuara. Megjithatë, shpesh ka probleme të gjetjes së të ashtuquajturave ekstreme të kushtëzuara. Le të përcaktohet funksioni z = /(x, y) në domenin D. Le të supozojmë se në këtë fushë është dhënë një kurbë L dhe duhet të gjejmë ekstremet e funksionit f(x> y) vetëm midis atyre të vlerave të saj që korrespondojnë me pikat e lakores L. Të njëjtat ekstreme quhen ekstreme të kushtëzuara të funksionit z = f(x) y) në lakoren L. Përkufizim Ata thonë se në një pikë të shtrirë në kurbë L. , funksioni f(x, y) ka një maksimum të kushtëzuar (minimum) nëse jobarazia plotësohet në të gjitha pikat M (s, y) y) kurba L, që i përket një lagjeje të pikës M0(x0, V0) dhe të ndryshme nga pika M0 (Nëse kurba L jepet me një ekuacion, atëherë problemi i gjetjes së ekstremit të kushtëzuar të funksionit r - f(x,y) në kurbë! mund të formulohet si më poshtë: gjeni ekstremet e funksionit x. = /(z, y) në rajonin D, me kusht që kështu, kur gjejmë ekstremin e kushtëzuar të funksionit z = y), argumentet e wildebeest nuk mund të konsiderohen më si variabla të pavarur: ato lidhen me njëri-tjetrin nga relacioni y) = 0, i cili quhet ekuacion i lidhjes. Për të sqaruar dallimin ndërmjet ekstremumit të pakushtëzuar dhe atij të kushtëzuar, le të shohim një shembull ku maksimumi i pakushtëzuar i funksionit (Fig. 23) është i barabartë me një dhe arrihet në pikën (0,0). I përgjigjet pikës M - kulmi i pvvboloidit Le të shtojmë ekuacionin e lidhjes y = j. Atëherë maksimumi i kushtëzuar do të jetë padyshim i barabartë me të Ajo arrihet në pikën (o,|), dhe i përgjigjet kulmit Afj të topit, që është drejtëza e prerjes së topit me rrafshin y = j. Në rastin e një mvximum të pakushtëzuar, kemi një aplikim mvximum midis të gjitha vpplicvt të sipërfaqes * = 1 - l;2 ~ y1; summvv kushtëzuar - vetëm ndër pikat vllikvt pvraboloidv, që i korrespondon pikës* të drejtëzës y = j jo rrafshit xOy. Një nga metodat për të gjetur ekstremin e kushtëzuar të një funksioni në prani dhe lidhje është si më poshtë. Le të përcaktojmë ekuacionin e lidhjes y) - O y si një funksion unik të diferencueshëm të argumentit x: Duke zëvendësuar një funksion në vend të y në funksion, marrim një funksion të një argumenti në të cilin kushti i lidhjes tashmë është marrë parasysh. Ekstremi (i pakushtëzuar) i funksionit është ekstremi i kushtëzuar i dëshiruar. Shembull. Gjeni ekstremin e një funksioni nën kushtin Ekstrem i një funksioni të disa ndryshoreve Koncepti i një ekstremi të një funksioni të disa ndryshoreve. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem Ekstrem i kushtëzuar Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme A Nga ekuacioni i lidhjes (2") gjejmë y = 1-x. Duke zëvendësuar këtë vlerë y në (V), marrim një funksion të një argument x: Le ta shqyrtojmë atë për ekstremin: prej nga x = 1 - pikë kritike; , në mënyrë që të sigurojë një minimum të kushtëzuar të funksionit r (Fig. 24). Le të tregojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur problemin e ekstremit të kushtëzuar, të quajtur metoda e shumëzuesit të Lagranzhit. Le të ketë një pikë ekstreme të kushtëzuar të një funksioni në prani të një lidhjeje Le të supozojmë se ekuacioni i lidhjes përcakton një funksion unik vazhdimisht të diferencueshëm në një lagje të caktuar të pikës xx. Duke marrë parasysh që marrim se derivati ​​në lidhje me x i funksionit /(r, ip(x)) në pikën xq duhet të jetë i barabartë me zero ose, që është ekuivalent me këtë, duhet të jetë e barabartë me zero diferenciali i f(x, y) në pikën Mo" O) Nga ekuacioni i lidhjes kemi (5) Duke shumëzuar barazinë e fundit me një faktor numerik ende të pacaktuar A dhe duke mbledhur term pas termi me barazinë (4), do të kemi (supozojmë se, për shkak të arbitraritetit të dx-së, ne marrim barazimet (6) dhe (7) shprehin kushtet e nevojshme për ekstremin e pakushtëzuar në pikën e funksionit që quhet funksioni i Lagranzhit pika e funksionit /(x, y), nëse, është domosdoshmërisht një pikë e palëvizshme e funksionit të Lagranzhit ku A është disa. koeficienti numerik. Prej këtu marrim një rregull për gjetjen e ekstremeve të kushtëzuara: për të gjetur pika që mund të jenë pika të ekstremit konvencional të një funksioni në prani të një lidhjeje, 1) hartojmë funksionin e Lagranzhit, 2) duke barazuar derivatet e këtij funksioni në zero dhe duke shtuar ekuacionin e lidhjes në ekuacionet rezultuese, marrim një sistem prej tre ekuacionesh nga i cili gjejmë vlerat e A dhe koordinatat x, y të pikave të mundshme ekstreme. Çështja e ekzistencës dhe natyrës së ekstremit të kushtëzuar zgjidhet në bazë të studimit të shenjës së diferencialit të dytë të funksionit Lagranzh për sistemin e konsideruar të vlerave x0, V0, A, të marra nga (8) me kusht që nëse , atëherë në pikën (x0, V0) funksioni /(x, y ) ka një maksimum të kushtëzuar; nëse d2F > 0 - atëherë një minimum i kushtëzuar. Në veçanti, nëse në një pikë të palëvizshme (xo, J/o) përcaktorja D për funksionin F(x, y) është pozitive, atëherë në pikën (®o, V0) ekziston një maksimum i kushtëzuar i funksionit f( x, y), nëse dhe minimumi i kushtëzuar i funksionit /(x, y), nëse Shembull. Le t'i kthehemi përsëri kushteve të shembullit të mëparshëm: gjeni ekstremin e funksionit me kushtin që x + y = 1. Do ta zgjidhim problemin duke përdorur metodën e shumëzuesit të Lagranzhit. Funksioni i Lagranzhit në në këtë rast ka formën Për të gjetur pika të palëvizshme, ne hartojmë një sistem nga dy ekuacionet e para të sistemit, marrim se x = y. Pastaj nga ekuacioni i tretë i sistemit (ekuacioni i lidhjes) gjejmë se x - y = j janë koordinatat e pikës së mundshme ekstreme. Në këtë rast (tregohet se A = -1. Pra, funksioni Lagranzh. është pika minimale e kushtëzuar e funksionit * = x2 + y2 nën kushtin Nuk ka ekstrem të pakushtëzuar për funksionin Lagranzh. P(x, y ) nuk do të thotë ende mungesë e një ekstremi të kushtëzuar për funksionin /(x, y) në prani të një lidhjeje Shembull: Gjeni ekstremin e një funksioni nën kushtin y 4 Ne hartojmë funksionin e Lagranzhit dhe shkruajmë një sistem për përcaktimi i A dhe koordinatave të pikave ekstreme të mundshme: Nga dy ekuacionet e para fitojmë x + y = 0 dhe vijmë te sistemi nga ku x = y = A = 0. Kështu, funksionin përkatës Lagranzhi ka formën Në pikën (0,0) funksioni F(x, y; 0) nuk ka një ekstrem të pakushtëzuar, por ekstremumin e kushtëzuar të funksionit r = xy. kur y = x, ka. Në të vërtetë, në këtë rast r = x2. Kjo tregon se në pikën (0,0) ekziston një minimum i kushtëzuar. "Metoda e shumëzuesve të Lagranzhit transferohet në rastin e funksioneve të çdo numri argumentesh. Le të kërkohet ekstremi i funksionit në prani të ekuacioneve të lidhjes. Le të hartojmë një funksion Lagranzhi ku A|, Az,..., A“, janë të papërcaktuara faktorë të vazhdueshëm. Duke barazuar me zero të gjithë derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksionit F dhe duke shtuar ekuacionet e lidhjes (9) në ekuacionet rezultuese, marrim një sistem n + m ekuacionesh, nga i cili përcaktojmë Ab A3|..., At dhe koordinatat x \) x2). » xn e pikave të mundshme të ekstremit të kushtëzuar. Çështja nëse pikat e gjetura duke përdorur metodën e Lagranzhit janë në të vërtetë pika të një ekstremi të kushtëzuar shpesh mund të zgjidhet bazuar në konsiderata të një natyre fizike ose gjeometrike. 15.3. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme Le të jetë e nevojshme të gjendet vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni z = /(x, y), e vazhdueshme në disa ciklike zonë e kufizuar D. Nga teorema 3, në këtë rajon ekziston një pikë (xo, V0) në të cilën funksioni merr vlerën më të madhe (më të vogël). Nëse pika (xo, y0) ndodhet brenda domenit D, atëherë funksioni / ka një maksimum (minimum) në të, kështu që në këtë rast pika e interesit për ne përmbahet midis pikave kritike të funksionit /(x, y). Megjithatë, funksioni /(x, y) mund të arrijë vlerën e tij më të madhe (më të vogël) në kufirin e rajonit. Prandaj, për të gjetur vlerën më të madhe (më të vogël) të marrë nga funksioni z = /(x, y) në një zonë e mbyllur 2), duhet të gjeni të gjitha maksimumet (minimumet) e funksionit që arrihen brenda kësaj zone, si dhe vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit në kufirin e kësaj zone. Më i madhi (më i vogli) nga të gjithë këta numra do të jetë vlera më e madhe (më e vogël) e dëshiruar e funksionit z = /(x,y) në rajonin 27. Le të tregojmë se si bëhet kjo në rastin e një funksioni të diferencueshëm. Prmmr. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit të rajonit 4. Ne gjejmë pikat kritike të funksionit brenda rajonit D. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë një sistem ekuacionesh Nga këtu marrim x = y «0, në mënyrë që pika 0 (0,0) është pika kritike e funksionit x. Meqenëse Le të gjejmë tani vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në kufirin Г të domenit D. Në një pjesë të kufirit kemi që y = 0 është një pikë kritike, dhe meqë = atëherë në këtë pikë funksioni z = 1 + y2 ka një minimum, e barabartë me një. Në skajet e segmentit Г", në pikat (, kemi. Duke përdorur konsideratat e simetrisë, marrim të njëjtat rezultate për pjesët e tjera të kufirit. Në fund fitojmë: vlerën më të vogël të funksionit z = x2+y2 në rajon. "B është e barabartë me zero dhe arrihet në zonat e pikës së brendshme 0( 0, 0), dhe vlera më e lartë i këtij funksioni, i barabartë me dy, arrihet në katër pika të kufirit (Fig. 25) Fig. 25 Ushtrime Gjeni fushën e përcaktimit të funksioneve: Ndërtoni vijat e nivelit të funksioneve: 9 Gjeni sipërfaqet e nivelit të funksioneve. e tre variablave të pavarur: Llogaritni kufijtë e funksioneve: Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve dhe të tyre diferenciale të plota: Gjeni derivate të funksioneve komplekse: 3 Gjeni J. Ekstremumi i një funksioni të disa ndryshoreve Koncepti i ekstremit të një funksioni të disa ndryshoreve. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem Ekstrem i kushtëzuar Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve të vazhdueshme 34. Duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni kompleks të dy ndryshoreve, gjeni dhe funksiononi: 35. Përdorimi i formulës për derivatin e një kompleksi funksioni i dy variablave, gjeni |J dhe funksionet: Gjeni funksionet jj të dhëna në mënyrë implicite: 40. Gjeni shpat tangjente me lakoren në pikën e prerjes me drejtëzën x = 3. 41. Gjeni pikat në të cilat tangjentja me lakoren x është paralele me boshtin Ox. . Në problemat e mëposhtme gjeni dhe T: Shkruani ekuacionet e planit tangjent dhe normales së sipërfaqes: 49. Shkruani ekuacionet e rrafsheve tangjente të sipërfaqes x2 + 2y2 + 3r2 = 21, paralel me rrafshin x + 4y + 6z = 0. Gjeni tre ose katër termat e parë të zgjerimit duke përdorur formulën e Taylor: 50. y në afërsi të pikës (0, 0). Duke përdorur përkufizimin e një ekstremi të një funksioni, shqyrtoni funksionet e mëposhtme për ekstremin:). Duke përdorur kushte të mjaftueshme për ekstremin e një funksioni të dy ndryshoreve, shqyrtoni ekstremin e funksionit: 84. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit z = x2 - y2 në një rreth të mbyllur 85. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla i funksionit * = x2y(4-x-y) në një trekëndësh të kufizuar nga drejtëza x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Përcaktoni përmasat e një pishine të hapur drejtkëndëshe me sipërfaqen më të vogël, me kusht që vëllimi i saj të jetë i barabartë me V. 87. Gjeni përmasat paralelipiped drejtkëndëshe me një prikë sipërfaqe të plotë 5 volum maksimal. Përgjigjet 1. dhe | Një katror i formuar nga segmentet e vijës x duke përfshirë anët e tij. 3. Familja e unazave koncentrike 2= 0,1,2,... .4. I gjithë rrafshi përveç pikave në vijat e drejta. Një pjesë e rrafshit që ndodhet mbi parabolën y = -x?. 8. Pikat e rrethit x. I gjithë rrafshi përveç drejtëzave x Shprehja radikale është jonegative në dy raste j * ^ ose j x ^ ^ e cila është ekuivalente me një seri të pafundme mosbarazish, përkatësisht Fusha e përkufizimit është katrore me hije (Fig. 26); l që është ekuivalente me një seri të pafundme Funksioni përcaktohet në pikë. a) Drejtëza paralele me drejtëzën x b) rrathë koncentrikë me qendër në origjinë. 10. a) parabolat y) parabolat y a) parabolat b) hiperbolat | .Aeroplanët xc. 13.Prime - hiperboloidë me një zgavër të rrotullimit rreth boshtit Oz; kur dhe janë hiperboloidë me dy fletë të rrotullimit rreth boshtit Oz, të dy familjet e sipërfaqeve ndahen nga një kon; Nuk ka kufi, b) 0. 18. Le të vendosim y = kxt pastaj z lim z = -2, pra funksioni i dhënë në pikën (0,0) nuk ka kufi. 19. a) Pika (0,0); b) pika (0,0). 20. a) Vija e thyerjes - rrethi x2 + y2 = 1; b) vija e thyerjes është drejtëza y = x. 21. a) Ndërprerja e linjave - boshtet koordinative Oh dhe Oh; b) 0 (grup bosh). 22. Të gjitha pikat (m, n), ku dhe n janë numra të plotë

Ekstrem i kushtëzuar.

Ekstrema e një funksioni të disa ndryshoreve

Metoda me katrorin më të vogël.

Ekstremi lokal i FNP

Le të jepet funksioni Dhe= f(P), РÎDÌR n dhe leni pikën P 0 ( A 1 , A 2 , ..., një fq) –e brendshme pika e grupit D.

Përkufizimi 9.4.

1) Pika P 0 quhet pikë maksimale funksione Dhe= f(P), nëse ka një fqinjësi të kësaj pike U(P 0) M D të tillë që për çdo pikë P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , kushti është i kënaqur f(P) £ f(P 0) . Kuptimi f Funksioni (P 0) në pikën maksimale quhet maksimumi i funksionit dhe është caktuar f(P0) = maksimumi f(P) .

2) Pika P 0 quhet pikë minimale funksione Dhe= f(P), nëse ka një fqinjësi të kësaj pike U(P 0)Ì D të tillë që për çdo pikë P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , kushti është i kënaqur f(P)³ f(P 0) . Kuptimi f Funksioni (P 0) në pikën minimale quhet funksioni minimal dhe është caktuar f(P 0) = min f(P).

Pikat minimale dhe maksimale të një funksioni thirren pika ekstreme, quhen vlerat e funksionit në pikat ekstreme ekstreme të funksionit.

Siç del nga përkufizimi, pabarazitë f(P) £ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) duhet të plotësohet vetëm në një lagje të caktuar të pikës P 0, dhe jo në të gjithë domenin e përcaktimit të funksionit, që do të thotë se funksioni mund të ketë disa ekstreme të të njëjtit lloj (disa minima, disa maksimum) . Prandaj, ekstremet e përcaktuara më sipër quhen lokal ekstreme (lokale).

Teorema 9.1 (kusht i domosdoshëm për ekstremin e FNP)

Nëse funksioni Dhe= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ka një ekstrem në pikën P 0 , atëherë derivatet e tij të pjesshme të rendit të parë në këtë pikë janë ose të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë.

Dëshmi. Lere ne piken P 0 ( A 1 , A 2 , ..., një fq) funksion Dhe= f(P) ka një ekstrem, për shembull, një maksimum. Le të rregullojmë argumentet X 2 , ..., x n, duke vënë X 2 =A 2 ,..., x n = një fq. Pastaj Dhe= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., një fq) është një funksion i një ndryshoreje X 1 . Meqenëse ky funksion ka X 1 = A 1 ekstrem (maksimumi), pastaj f 1 ¢=0 ose nuk ekziston kur X 1 =A 1 (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi të një funksioni të një ndryshoreje). Por, kjo do të thotë ose nuk ekziston në pikën P 0 - pika ekstreme. Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë derivate të pjesshëm në lidhje me variablat e tjerë. CTD.

Pikat në domenin e një funksioni në të cilat derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë quhen pikat kritike këtë funksion.

Siç vijon nga teorema 9.1, pikat ekstreme të FNP duhet të kërkohen midis pikave kritike të funksionit. Por, sa i përket funksionit të një ndryshoreje, jo çdo pikë kritike është një pikë ekstreme.

Teorema 9.2 (kusht i mjaftueshëm për ekstremin e FNP)

Le të jetë P 0 pika kritike e funksionit Dhe= f(P) dhe është diferenciali i rendit të dytë të këtij funksioni. Pastaj

dhe nëse d 2 u(P 0) > 0 në , atëherë P 0 është një pikë minimale funksione Dhe= f(P);

b) nëse d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimale funksione Dhe= f(P);

c) nëse d 2 u(P 0) nuk përcaktohet me shenjë, atëherë P 0 nuk është një pikë ekstreme;

Ne do ta konsiderojmë këtë teoremë pa prova.

Vini re se teorema nuk merr parasysh rastin kur d 2 u(P 0) = 0 ose nuk ekziston. Kjo do të thotë që çështja e pranisë së një ekstremi në pikën P 0 në kushte të tilla mbetet e hapur - na duhet kërkime shtesë, për shembull, duke studiuar rritjen e një funksioni në këtë pikë.

Në lëndët më të detajuara të matematikës vërtetohet se, në veçanti për funksionin z = f(x,y) të dy ndryshoreve, diferenciali i rendit të dytë i të cilave është një shumë e formës

mund të thjeshtohet studimi i pranisë së një ekstremi në pikën kritike P 0.

Le të shënojmë , , . Le të hartojmë një përcaktor

.

Rezulton:

d 2 z> 0 në pikën P 0, d.m.th. P 0 – pikë minimale, nëse A(P 0) > 0 dhe D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

nëse D(P 0)< 0, то d 2 z në afërsi të pikës P 0 ndryshon shenjë dhe nuk ka ekstrem në pikën P 0;

nëse D(Р 0) = 0, atëherë kërkohen edhe studime shtesë të funksionit në afërsi të pikës kritike Р 0.

Kështu, për funksionin z = f(x,y) të dy variablave që kemi algoritmi i ardhshëm(le ta quajmë "algoritmi D") për gjetjen e një ekstremi:

1) Gjeni domenin e përkufizimit D( f) funksione.

2) Gjeni pikat kritike, d.m.th. pikë nga D( f), për të cilat dhe janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë.

3) Në çdo pikë kritike P 0, kontrolloni kushtet e mjaftueshme për ekstremin. Për ta bërë këtë, gjeni , ku , , dhe llogaritni D(P 0) dhe A(P 0). Pastaj:

nëse D(P 0) >0, atëherë në pikën P 0 ka një ekstrem, dhe nëse A(P 0) > 0 - atëherë ky është minimumi, dhe nëse A(P 0)< 0 – максимум;

nëse D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Nëse D(P 0) = 0, atëherë nevojiten kërkime shtesë.

4) Në pikat ekstreme të gjetura, llogaritni vlerën e funksionit.

Shembulli 1.

Gjeni ekstremin e funksionit z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Zgjidhje. Fushëveprimi i këtij funksioni është i plotë rrafshi koordinativ. Le të gjejmë pikat kritike.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Le të kontrollojmë nëse plotësohen kushtet e mjaftueshme për ekstremin. Ne do të gjejmë

6X, = -3, = 48në Dhe = 288xy – 9.

Atëherë D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – në pikën Р 1 ka një ekstrem, dhe meqë A(P 1) = 3 >0, atëherë ky ekstrem është një minimum. Pra min z=z(P 1) = .

Shembulli 2.

Gjeni ekstremin e funksionit .

Zgjidhja: D( f) =R 2 . Pikat kritike: ; nuk ekziston kur në= 0, që do të thotë P 0 (0,0) është pika kritike e këtij funksioni.

2, = 0, = , = , por D(P 0) nuk është i përcaktuar, kështu që studimi i shenjës së tij është i pamundur.

Për të njëjtën arsye, është e pamundur të zbatohet drejtpërdrejt teorema 9.2 - d 2 z nuk ekziston në këtë pikë.

Le të shqyrtojmë rritjen e funksionit f(x, y) në pikën P 0. Nëse D f =f(P) - f(P 0)> 0 "P, atëherë P 0 është pika minimale, por nëse D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Në rastin tonë kemi

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Në D x= 0.1 dhe D y= -0,008 marrim D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 dhe D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, d.m.th. në afërsi të pikës P 0 nuk plotësohet as kushti D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) dhe për këtë arsye P 0 nuk është një pikë maksimale), as kushti D f>0 (d.m.th. f(x, y) > f(0, 0) dhe pastaj P 0 nuk është një pikë minimale). Kjo do të thotë, sipas përkufizimit të një ekstremi, ky funksion nuk ka ekstreme.

Ekstrem i kushtëzuar.

Ekstremumi i konsideruar i funksionit quhet pa kushte, pasi nuk vendosen kufizime (kushte) në argumentet e funksionit.

Përkufizimi 9.2. Ekstremi i funksionit Dhe = f(X 1 , X 2 , ... , x n), gjendet me kusht që argumentet e saj X 1 , X 2 , ... , x n plotësoni ekuacionet j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, ku P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), thirri ekstrem i kushtëzuar .

Ekuacionet j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, quhen ekuacionet e lidhjes.

Le të shohim funksionet z = f(x,y) dy variabla. Nëse ekuacioni i lidhjes është një, d.m.th. , atëherë gjetja e një ekstremi të kushtëzuar do të thotë që ekstremi nuk kërkohet në të gjithë domenin e përkufizimit të funksionit, por në një kurbë që shtrihet në D( f) (d.m.th., nuk është më i larti apo më i larti pikë të ulëta sipërfaqet z = f(x,y), dhe pikat më të larta ose më të ulëta midis pikave të kryqëzimit të kësaj sipërfaqeje me cilindrin, Fig. 5).

Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni z = f(x,y) e dy variablave mund të gjenden në mënyrën e mëposhtme ( metoda e eliminimit). Nga ekuacioni, shprehni një nga variablat në funksion të një tjetri (për shembull, shkruani ) dhe, duke zëvendësuar këtë vlerë të ndryshores në funksion, shkruani këtë të fundit si funksion të një ndryshoreje (në rastin e konsideruar ). Gjeni ekstremin e funksionit rezultues të një ndryshoreje.

Kusht i mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni të dy ndryshoreve

1. Le të jetë funksioni vazhdimisht i diferencueshëm në një lagje të caktuar të pikës dhe të ketë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë (të pastër dhe të përzier).

2. Le të shënojmë me përcaktorin e rendit të dytë

funksioni i ligjëratës variabël ekstrem

Teorema

Nëse pika me koordinata është një pikë e palëvizshme për funksionin, atëherë:

A) Në të është një pikë e ekstremumit lokal dhe, në një maksimum lokal, është një minimum lokal;

C) në pikë nuk është një pikë ekstreme lokale;

C) nëse, ndoshta të dyja.

Dëshmi

Le të shkruajmë formulën Taylor për funksionin, duke u kufizuar në dy terma:

Meqenëse, sipas kushteve të teoremës, pika është e palëvizshme, derivatet e pjesshme të rendit të dytë janë të barabartë me zero, d.m.th. Dhe. Pastaj

Le të shënojmë

Pastaj rritja e funksionit do të marrë formën:

Për shkak të vazhdimësisë së derivateve të pjesshme të rendit të dytë (të pastër dhe të përzier), sipas kushteve të teoremës në një pikë, mund të shkruajmë:

Ku ose; ,

1. Le dhe, d.m.th. ose.

2. Shumëzoni rritjen e funksionit dhe pjesëtoni me, marrim:

3. Le të shtojmë shprehjen në mbajtëse kaçurrelë përpara katror i plotë shumat:

4. Shprehja në mbajtëset kaçurrela është jo negative, pasi

5. Prandaj, nëse një mjet dhe, atëherë dhe, prandaj, sipas përkufizimit, pika është një pikë minimale lokale.

6. Nëse një mjet dhe, atëherë, sipas përkufizimit, pika me koordinata është një pikë e maksimumit lokal.

2. Konsideroni trinom kuadratik, diskriminues i saj, .

3. Nëse, atëherë ka pika të tilla që polinomi

4. Rritjen totale të funksionit e shkruajmë në një pikë në përputhje me shprehjen e marrë në I si:

5. Për shkak të vazhdimësisë së derivateve të pjesshme të rendit të dytë, sipas kushteve të teoremës në një pikë, mund të shkruajmë se

Prandaj, ekziston një fqinjësi e një pike e tillë që, për çdo pikë, trinomi kuadratik është më i madh se zero:

6. Konsideroni fqinjësinë e një pike.

Le të zgjedhim çdo vlerë, pra pikë. Duke supozuar se në formulën për rritjen e funksionit

Çfarë marrim:

7. Që atëherë.

8. Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme për rrënjën, gjejmë se në çdo - fqinjësi të një pike ka një pikë për të cilën, pra, në fqinjësi të pikës nuk ruan shenjë, prandaj nuk ka ekstrem në pikë.

Ekstremumi i kushtëzuar i një funksioni të dy ndryshoreve

Gjatë gjetjes së ekstremeve të një funksioni të dy variablave, shpesh lindin probleme që lidhen me të ashtuquajturin ekstrem të kushtëzuar. Ky koncept mund të shpjegohet duke përdorur shembullin e një funksioni të dy variablave.

Le të jepet një funksion dhe një drejtëz L në rrafshin 0xy. Detyra është të gjesh një pikë P (x, y) në vijën L në të cilën vlera e funksionit është më e madhja ose më e vogla në krahasim me vlerat e këtij funksioni në pikat në vijën L të vendosura afër pikës P. Pika të tilla P quhen funksione të pikave ekstreme të kushtëzuara në linjën L. Ndryshe nga pika e zakonshme ekstreme, vlera e funksionit në pikën ekstreme të kushtëzuar krahasohet me vlerat e funksionit jo në të gjitha pikat e fqinjësisë së tij, por vetëm në ato që shtrihen. në linjën L.

Është absolutisht e qartë se pika e ekstremit të zakonshëm (thonë edhe ekstremum i pakushtëzuar) është gjithashtu pika e ekstremumit të kushtëzuar për çdo vijë që kalon nga kjo pikë. E kundërta, natyrisht, nuk është e vërtetë: pika ekstreme e kushtëzuar mund të mos jetë pika e zakonshme ekstreme. Le ta ilustrojmë këtë me një shembull.

Shembulli nr. 1. Grafiku i funksionit është hemisfera e sipërme (Fig. 2).

Oriz. 2.

Ky funksion ka një maksimum në origjinë; i përgjigjet kulmit M të hemisferës. Nëse drejtëza L është një drejtëz që kalon nëpër pikat A dhe B (ekuacioni i saj), atëherë gjeometrikisht është e qartë se për pikat e kësaj drejtëze vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën që ndodhet në mes midis pikave A dhe B. Kjo është pika e funksioneve ekstreme (maksimale) të kushtëzuara në këtë linjë; korrespondon me pikën M 1 në hemisferë, dhe nga figura është e qartë se këtu nuk mund të flitet për ndonjë ekstrem të zakonshëm.

Vini re se në pjesën e fundit të problemit të gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një rajon të mbyllur, duhet të gjejmë vlerat ekstreme të funksionit në kufirin e këtij rajoni, d.m.th. në një linjë, dhe në këtë mënyrë zgjidh problemin e ekstremit të kushtëzuar.

Përkufizimi 1. Ata thonë se ku ka në një pikë që plotëson ekuacionin një maksimum të kushtëzuar ose relativ (minimum): nëse për ndonjë pikë që plotëson ekuacionin pabarazia

Përkufizimi 2. Një ekuacion i formës quhet ekuacion kufizues.

Teorema

Nëse funksionet dhe janë vazhdimisht të diferencueshëm në afërsi të një pike, dhe derivatit të pjesshëm, dhe pika është një pikë ekstreme e kushtëzuar e funksionit në lidhje me ekuacionin e kufizimit, atëherë përcaktorja e rendit të dytë është e barabartë me zero:

Dëshmi

1. Meqenëse, sipas kushteve të teoremës, derivatit të pjesshëm dhe vlerës së funksionit, atëherë në një drejtkëndësh të caktuar.

funksioni i nënkuptuar i përcaktuar

Një funksion kompleks i dy ndryshoreve në një pikë do të ketë një ekstrem lokal, pra, ose.

2. Në të vërtetë, sipas vetive të pandryshueshmërisë së formulës diferenciale të rendit të parë

3. Ekuacioni i lidhjes mund të paraqitet në këtë formë, që do të thotë

4. Shumëzoni ekuacionin (2) me, dhe (3) me dhe shtoni ato

Prandaj, kur

arbitrare. etj.

Pasoja

Kërkimi i pikave ekstreme të kushtëzuara të një funksioni të dy ndryshoreve në praktikë kryhet duke zgjidhur një sistem ekuacionesh

Pra, në shembullin e mësipërm nr. 1 nga ekuacioni i lidhjes që kemi. Nga këtu është e lehtë të kontrollosh se çfarë arrin maksimumin në. Por pastaj nga ekuacioni i komunikimit. Marrim pikën P, të gjetur gjeometrikisht.

Shembulli nr. 2. Gjeni pikat ekstreme të kushtëzuara të funksionit në lidhje me ekuacionin e bashkimit.

Le të gjejmë derivatet e pjesshme funksioni i dhënë dhe ekuacionet e bashkimit:

Le të krijojmë një përcaktues të rendit të dytë:

Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh për të gjetur pikat ekstreme të kushtëzuara:

Kjo do të thotë se janë katër pika të ekstremit të kushtëzuar të funksionit me koordinata: .

Shembulli nr. 3. Gjeni pikat ekstreme të funksionit.

Duke barazuar derivatet e pjesshme me zero: , gjejmë një pikë e palëvizshme- origjina. Këtu,. Rrjedhimisht, pika (0, 0) nuk është një pikë ekstreme. Një ekuacion është një ekuacion paraboloid hiperbolik(Fig. 3) Figura tregon se pika (0, 0) nuk është një pikë ekstreme.

Oriz. 3.

Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një rajon të mbyllur

1. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një fushë të mbyllur të kufizuar D.

2. Le të ketë funksioni derivate të pjesshëm të fundëm në këtë rajon, me përjashtim të pikave individuale të rajonit.

3. Në përputhje me teoremën e Weierstrass, në këtë rajon ekziston një pikë në të cilën funksioni merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla.

4. Nëse këto pika janë pika të brendshme të rajonit D, atëherë padyshim që ato do të kenë një maksimum ose një minimum.

5. Në këtë rast, pikat me interes për ne janë ndër pikat e dyshimta në ekstrem.

6. Megjithatë, funksioni mund të marrë gjithashtu vlerën më të madhe ose më të vogël në kufirin e rajonit D.

7. Për të gjetur vlerën më të madhe (më të vogël) të një funksioni në rajonin D, duhet të gjeni të gjitha pikat e brendshme të dyshimta për një ekstrem, llogarisni vlerën e funksionit në to, më pas krahasoni me vlerën e funksionit në pikat kufitare të rajonit dhe më e madhja nga të gjitha vlerat e gjetura do të jetë më e madhja në rajonin e mbyllur D.

8. Metoda e gjetjes së një maksimumi ose minimumi lokal u diskutua më herët në seksionin 1.2. dhe 1.3.

9. Mbetet të shqyrtojmë metodën e gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në kufirin e rajonit.

10. Në rastin e një funksioni prej dy zonë e ndryshueshme zakonisht shfaqet i kufizuar nga një kurbë ose disa kthesa.

11. Përgjatë një kurbë të tillë (ose disa kurbave), variablat ose varen nga njëri-tjetri, ose të dyja varen nga një parametër.

12. Kështu, në kufi funksioni rezulton të varet nga një ndryshore.

13. Metoda e gjetjes së vlerës më të madhe të një funksioni të një ndryshoreje u diskutua më herët.

14. Le të jepet kufiri i rajonit D ekuacionet parametrike:

Atëherë në këtë kurbë do të jetë funksioni i dy variablave funksion kompleks nga parametri: . Për një funksion të tillë, vlerat më të mëdha dhe më të vogla përcaktohen duke përdorur metodën për përcaktimin e vlerave më të mëdha dhe më të vogla për një funksion të një ndryshoreje.

Përkufizimi 1: Një funksion thuhet se ka një maksimum lokal në një pikë nëse ka një fqinjësi të pikës e tillë që për çdo pikë M me koordinata (x, y) pabarazia vlen: . Në këtë rast, d.m.th., rritja e funksionit< 0.

Përkufizimi 2: Një funksion thuhet se ka një minimum lokal në një pikë nëse ka një fqinjësi të pikës e tillë që për çdo pikë M me koordinata (x, y) pabarazia vlen: . Në këtë rast, d.m.th., rritja e funksionit > 0.

Përkufizimi 3: Pika minimumet lokale dhe maksimumi quhen pika ekstreme.

Ekstremet e kushtëzuara

Gjatë gjetjes së ekstremeve të një funksioni të shumë variablave, shpesh lindin probleme që lidhen me të ashtuquajturat ekstremi i kushtëzuar. Ky koncept mund të shpjegohet duke përdorur shembullin e një funksioni të dy variablave.

Le të jepet një funksion dhe një vijë L në sipërfaqe 0xy. Detyra është të futesh në linjë L gjeni një pikë të tillë P (x, y), në të cilën vlera e një funksioni është më e madhja ose më e vogla në krahasim me vlerat e këtij funksioni në pikat e vijës L, ndodhet pranë pikës P. Pika të tilla P quhen pikat ekstreme të kushtëzuara funksionon në linjë L. Në ndryshim nga pika e zakonshme ekstreme, vlera e funksionit në pikën ekstreme të kushtëzuar krahasohet me vlerat e funksionit jo në të gjitha pikat e fqinjësisë së tij, por vetëm në ato që shtrihen në vijë. L.

Është absolutisht e qartë se pika e ekstremit të zakonshëm (thonë gjithashtu ekstrem i pakushtëzuar) është gjithashtu një pikë ekstreme e kushtëzuar për çdo vijë që kalon nga kjo pikë. E kundërta, natyrisht, nuk është e vërtetë: pika ekstreme e kushtëzuar mund të mos jetë pika e zakonshme ekstreme. Më lejoni të shpjegoj atë që thashë shembull i zakonshëm. Grafiku i funksionit është hemisfera e sipërme (Shtojca 3 (Fig. 3)).

Ky funksion ka një maksimum në origjinë; kulmi i përgjigjet asaj M hemisferat. Nëse linja L ka një vijë që kalon nëpër pika A Dhe NË(ekuacioni i saj x+y-1=0), atëherë gjeometrikisht është e qartë se për pikat e kësaj drejtëze vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën që shtrihet në mes midis pikave. A Dhe NË. Kjo është pika e ekstremit të kushtëzuar (maksimumit) të funksionit në këtë linjë; korrespondon me pikën M 1 në hemisferë dhe nga figura është e qartë se këtu nuk mund të flitet për ndonjë ekstrem të zakonshëm.

Vini re se në pjesën e fundit të problemit të gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një rajon të mbyllur, duhet të gjejmë vlerat ekstreme të funksionit në kufirin e këtij rajoni, d.m.th. në një linjë, dhe në këtë mënyrë zgjidh problemin e ekstremit të kushtëzuar.

Le të vazhdojmë tani me kërkimin praktik për pikat ekstreme të kushtëzuara të funksionit Z= f(x, y) me kusht që ndryshoret x dhe y të lidhen me ekuacionin (x, y) = 0. Ne do ta quajmë këtë relacion ekuacioni i lidhjes. Nëse nga ekuacioni i bashkimit y mund të shprehet në mënyrë eksplicite në terma x: y=(x), marrim një funksion të një ndryshoreje Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Pasi kemi gjetur vlerën x në të cilën ky funksion arrin një ekstrem, dhe më pas kemi përcaktuar nga ekuacioni i lidhjes vlerat përkatëse y, marrim pikat e dëshiruara të ekstremit të kushtëzuar.

Pra, në shembullin e mësipërm, nga ekuacioni i relacionit x+y-1=0 kemi y=1-x. Nga këtu

Është e lehtë të kontrollohet nëse z arrin maksimumin e tij në x = 0.5; por më pas nga ekuacioni i lidhjes y = 0.5, dhe marrim saktësisht pikën P, të gjetur nga konsideratat gjeometrike.

Problemi i një ekstremi të kushtëzuar mund të zgjidhet shumë thjeshtë kur ekuacioni i lidhjes mund të përfaqësohet nga ekuacionet parametrike x=x(t), y=y(t). Zëvendësimi i shprehjeve për x dhe y në këtë funksion, përsëri vijmë te problemi i gjetjes së ekstremit të një funksioni të një ndryshoreje.

Nëse ekuacioni i bashkimit ka më shumë se pamje komplekse dhe ne nuk jemi në gjendje ose të shprehim në mënyrë eksplicite një variabël në terma të një tjetri, ose ta zëvendësojmë atë me ekuacione parametrike, atëherë detyra për të gjetur një ekstrem të kushtëzuar bëhet më e vështirë. Do të vazhdojmë të supozojmë se në shprehjen e funksionit z= f(x, y) ndryshorja (x, y) = 0. Derivati ​​total i funksionit z= f(x, y) është i barabartë me:

Ku derivati ​​y` gjendet duke përdorur rregullin e diferencimit funksioni i nënkuptuar. Në pikat e ekstremit të kushtëzuar, derivati ​​total i gjetur duhet të jetë i barabartë me zero; kjo jep një ekuacion që lidh x dhe y. Meqenëse ato duhet të plotësojnë gjithashtu ekuacionin e bashkimit, marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura

Le ta transformojmë këtë sistem në një sistem shumë më të përshtatshëm duke shkruar ekuacionin e parë në formën e një proporcioni dhe duke futur një të panjohur të re ndihmëse:

(shenja minus përpara është për lehtësi). Nga këto barazi është e lehtë të kalosh në sistemin e mëposhtëm:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

i cili së bashku me ekuacionin e lidhjes (x, y) = 0, formon një sistem prej tre ekuacionesh me të panjohura x, y dhe.

Këto ekuacione (*) janë më të lehta për t'u mbajtur mend duke përdorur rregulli tjetër: për të gjetur pikat që mund të jenë pika ekstreme të kushtëzuara të funksionit

Z= f(x, y) me ekuacionin e lidhjes (x, y) = 0, ju duhet të formoni një funksion ndihmës

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Ku është një konstante dhe krijoni ekuacione për të gjetur pikat ekstreme të këtij funksioni.

Sistemi i treguar i ekuacioneve siguron, si rregull, vetëm kushtet e nevojshme, d.m.th. jo çdo çift vlerash x dhe y që plotëson këtë sistem është domosdoshmërisht një pikë ekstreme e kushtëzuar. Nuk do të jap kushte të mjaftueshme për pikat e ekstremit të kushtëzuar; shumë shpesh vetë përmbajtja specifike e problemit sugjeron se cila është pika e gjetur. Teknika e përshkruar për zgjidhjen e problemeve në një ekstrem të kushtëzuar quhet metoda e shumëzuesit të Lagranzhit.