Shumëzuar me numrin e tyre përcakton. Lojë "Krahasimet matematikore"

Le të shohim konceptin e shumëzimit duke përdorur një shembull:

Turistët ishin në rrugë për tre ditë. Çdo ditë kanë ecur në të njëjtën rrugë prej 4200 m. Zgjidheni problemin në dy mënyra.

Zgjidhja:
Le të shqyrtojmë problemin në detaje.

Në ditën e parë, turistët ecën 4200 m. Në ditën e dytë, turistët ecën në të njëjtën rrugë 4200 m dhe në ditën e tretë – 4200 m. Le ta shkruajmë në gjuhën matematikore:
4200+4200+4200=12600m.
Ne shohim një model në të cilin numri 4200 përsëritet tre herë, prandaj, shuma mund të zëvendësohet me shumëzim:
4200⋅3=12600m.
Përgjigje: turistët ecën 12600 metra në tre ditë.

Le të shohim një shembull:

Për të shmangur shkrimin e një hyrje të gjatë, mund ta shkruajmë në formën e shumëzimit. Numri 2 përsëritet 11 herë, kështu që një shembull me shumëzim do të duket kështu:
2⋅11=22

Le të përmbledhim. Çfarë është shumëzimi?

Shumëzimi– ky është një veprim që zëvendëson përsëritjen e termit m n herë.

Shënimi m⋅n dhe rezultati i kësaj shprehjeje quhen prodhimi i numrave, dhe quhen numrat m dhe n shumëzuesit.

Le ta shohim këtë me një shembull:
7⋅12=84
Quhet shprehja 7⋅12 dhe rezultati 84 prodhimi i numrave.
Numrat 7 dhe 12 thirren shumëzuesit.

Ekzistojnë disa ligje të shumëzimit në matematikë. Le t'i shikojmë ato:

Ligji komutativ i shumëzimit.

Le të shqyrtojmë problemin:

I dhamë dy mollë 5 miqve tanë. Matematikisht, hyrja do të duket kështu: 2⋅5.
Ose u dhamë 5 mollë dy miqve tanë. Matematikisht, hyrja do të duket kështu: 5⋅2.
Në rastin e parë dhe të dytë, do të shpërndajmë të njëjtin numër mollësh të barabartë me 10 copë.

Nëse shumëzojmë 2⋅5=10 dhe 5⋅2=10, rezultati nuk do të ndryshojë.

Vetia e ligjit të shumëzimit komutativ:
Ndryshimi i vendeve të faktorëve nuk e ndryshon produktin.
m⋅ n=n⋅m

Ligji i kombinuar i shumëzimit.

Le të shohim një shembull:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 ose 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 marrim,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ b) ⋅ c= a⋅(b⋅ c)

Vetia e ligjit të shumëzimit asociativ:
Për të shumëzuar një numër me produktin e dy numrave, fillimisht mund ta shumëzoni atë me faktorin e parë dhe më pas produktin që rezulton me të dytin.

Duke ndërruar shumë faktorë dhe duke i vendosur në kllapa, rezultati ose produkti nuk do të ndryshojë.

Këto ligje janë të vërteta për çdo numrat natyrorë.

Shumëzimi i çdo numri natyror me një.

Le të shohim një shembull:
7⋅1=7 ose 1⋅7=7
a⋅1=a ose 1⋅a= a
Kur çdo numër natyror shumëzohet me një, prodhimi do të jetë gjithmonë i njëjti numër.

Shumëzimi i çdo numri natyror me zero.

6⋅0=0 ose 0⋅6=0
a⋅0=0 ose 0⋅a=0
Kur një numër natyror shumëzohet me zero, produkti do të jetë i barabartë me zero.

Pyetje për temën "Shumëzimi":

Çfarë është prodhimi i numrave?
Përgjigje: prodhimi i numrave ose shumëzimi i numrave është shprehja m⋅n, ku m është një term dhe n është numri i përsëritjeve të këtij termi.

Për çfarë përdoret shumëzimi?
Përgjigje: për të mos shkruar mbledhje të gjatë të numrave, por për të shkruar shkurtuar. Për shembull, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Cili është rezultati i shumëzimit?
Përgjigje: kuptimi i veprës.

Çfarë do të thotë shumëzimi 3⋅5?
Përgjigje: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Nëse shumëzoni një milion me zero, me çfarë është produkti?
Përgjigje: 0

Shembulli #1:
Zëvendësoni shumën me produktin: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Përgjigje: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Shembulli #2:
Shkruajeni si produkt: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Zgjidhja:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Detyra numër 1:
Mami bleu 3 kuti çokollate. Çdo kuti përmban 8 karamele. Sa karamele bleu mami?
Zgjidhja:
Ka 8 karamele në një kuti, dhe ne kemi 3 kuti të tilla.
8+8+8=8⋅3=24 karamele
Përgjigje: 24 karamele.

Detyra numër 2:
Mësuesja e artit u tha tetë nxënësve të saj të përgatisnin shtatë lapsa për çdo mësim. Sa lapsa kishin gjithsej fëmijët?
Zgjidhja:
Ju mund të llogarisni shumën e detyrës. Nxënësi i parë kishte 7 lapsa, nxënësi i dytë kishte 7 lapsa, etj.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Regjistrimi doli të ishte i papërshtatshëm dhe i gjatë, le ta zëvendësojmë shumën me produktin.
7⋅8=56
Përgjigja është 56 lapsa.

Në këtë kontekst, shenja e shumëzimit është një operator binar. Nuk ka asnjë shenjë shumëzimi emër i veçantë, siç është shenja e shtimit të quajtur "plus".

Simboli më i vjetër në përdorim është kryqi diagonal (×). Ajo u përdor për herë të parë nga matematikani anglez William Oughtred në veprën e tij "Clavis Mathematicae" në vitin 1631. Matematikani gjerman Leibniz preferoi shenjën në formën e një pike të ngritur (∙) Ai e përdori këtë simbol në një letër të vitit 1698. Johann Rahn prezantoi ylli (∗) si një shenjë shumëzimi, u shfaq në librin e tij Teutsche Algjebra të vitit 1659.

NË Tekstet shkollore ruse Në matematikë përdoret kryesisht shenja në formën e pikës së ngritur (∙). Ylli (∗) përdoret në shënimin kompjuterik. Rezultati është shkruar duke përdorur shenjën e barabartë " $=$", Për shembull:

$a\; \backslash cdot\; b\; =\; c$ ; $6\backslash cpika\; 3\; =\; 18$(“gjashtë herë tre janë tetëmbëdhjetë” ose “gjashtë herë tre janë tetëmbëdhjetë”).

tabela e shumëzimit në sistemin e numrave dhjetorë

Kjo procedurë është e zbatueshme për shumëzimin e numrave natyrorë dhe të plotë (përfshirë shenjën). Për numrat e tjerë, përdoren algoritme më komplekse.

Shumëzimi i numrave

Numrat natyrorë

Le të përdorim përkufizimin e numrave natyrorë $\backslash mathbb(N)$ si klasa ekuivalente të bashkësive të fundme. Shënojmë klasat ekuivalente të bashkësive të fundme $C,\; A,\; B$ gjeneruar nga bijeksione, duke përdorur kllapa: $[C],\; [A],\; [B]$. Pastaj operacioni aritmetik "shumëzimi" përcaktohet si më poshtë:

$[C]=[A]\; \backslash cdot\; [B]\; =\; ;$

Ku: $A\; \backslash herë\; B=\backslash ((a,b)\; \backslash mid\; a\; \backslash në\; A\; ,\; b\; \backslash në\; B\; \backslash )$ prodhim i drejtpërdrejtë i bashkësive - grup $C$, elementet e të cilit janë çifte të renditura $(a,b)$ për të gjitha llojet $a\; \backslash \; në\; A\; ,\; b\; \backslash \; në\; B$. Ky operacion në klasa është futur saktë, domethënë nuk varet nga zgjedhja e elementeve të klasës dhe përkon me përkufizimin induktiv.

Hartë një-për-një grup i kufizuar $A$ për një segment $N\_a$ mund të kuptohet si numërimi i elementeve të një grupi $A:\backslash quad\; A\backslash sim\; N\_a$. Ky proces numërimi quhet "NUMËRIMI". Kështu, "numërimi" është vendosja e një korrespondence një me një midis elementeve të një grupi dhe një segmenti të një serie natyrore numrash.

Për të shumëzuar numrat natyrorë në sistemin e shënimit të numrave pozicional, përdoret një algoritëm shumëzimi bit. Nëse jepen dy numra natyrorë $a$ Dhe $b$ të tilla që:

$a=a\_(n-1)\; a\_(n-2)\backslash pika\; a\_0,\; \backslash katër\; b=b\_(n-1)\; b\_(n-2)\backslash pika\; b\_0,\; \backslash quad\; \backslash përgjithësisht\; a\_(k),b\_(k\; )\; \backslash në\; \backslash (P\; \backslash ),\; \backslash quad\; \backslash përgjithësisht\; a\_(n-1),\; b\_(n-1)\; \backslash ne\; 0,\; \backslash quad\; \backslash ekziston\; 0\backslash në\; \backslash N;$

Ku $a\_(0\; \backslash pika\; n-1)=a\_k\; P^k,\; \backslash quad\; b\_(0\; \backslash pika\; n-1)=b\_k\; P^k$; $n$- numri i shifrave në një numër $n\; \backslash në\; \backslash (1,\; 2,\; \backslash pika\; ,n\; \backslash )$; $k$ - numri serial gradë (pozitë), $k\; \backslash in\; \backslash (0,\; 1,\; \backslash pika\; ,n-1\; \backslash )$; $P$- baza e sistemit të numrave; $\backslash (P\backslash )$ shumë shenja numerike (shifra), sistem specifik shënimi: $\backslash (P\_2\backslash )=\; \backslash (0,1\backslash )$, $\backslash (P\_(10)\; \backslash )=\; \backslash (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\backslash )$, $\backslash (P\_(16)\; \backslash )=\; \backslash (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\; \backslash )$; Pastaj:

$c=a\; \backslash sdot\; b;\; \backslash katër\; c\_(n-1)\; c\_(n-2)\backslash pika\; c\_0=a\_(n-1)\; a\_(n-2)\backslash pika\; a\_0\; \backslash sdot\; b\_(n-1)\; b\_(n-2)\backslash pika\; b\_0\; ;$

duke shumëzuar në mënyrë bitale marrim $n$ rezultatet e ndërmjetme:

• $t\_(n-1,~0)\; =\; mod(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_0\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_0\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_0\; \backslash sdot~\; P^k;$
• $t\_(n-1,~1)\; =\; mod(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_1\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_1\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_1\; \backslash sdot~\; P^k;$
• $...\; \backslash qquad\; \backslash qquad...\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad...\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad...$
• $t\_(n-1,~k)\; =\; mod(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_(k)\; +\; r\_(n-1),P),\; \backslash quad\; r\_(n)=div(a\_(n-1)\; \backslash cdot\; b\_(k)\; +\; r\_(n-1),P)~,~~\; t\_(k)\; \backslash sdot~\; P^k;$

ku: r është vlera bartëse, mod() është funksioni i gjetjes së pjesës së mbetur të pjesëtimit, div() është funksioni i gjetjes së herësit jo të plotë.

Pastaj mori $n$ Ne mbledhim rezultatet e ndërmjetme: $c=t\_0+t\_1+...+t\_(k).$

Kështu, operacioni i shumëzimit reduktohet në një procedurë sekuenciale shumëzim i thjeshtë numrat njëshifrorë $a\_(k)\backslash sdot\; b\_(k)$, me formimin e një bartjeje nëse është e nevojshme, e cila bëhet ose me metodën tabelare ose me shtim vijues. Dhe pastaj te shtesa.

Veprimet aritmetike mbi numrat në çdo sistem numrash pozicional kryhen sipas të njëjtave rregulla si në sistemin dhjetor, pasi të gjitha ato bazohen në rregullat për kryerjen e veprimeve në polinomet përkatëse. Në këtë rast, duhet të përdorni tabelën e shumëzimit që korrespondon me bazën e dhënë. $P$ sistemet e numrave.

Një shembull i shumëzimit të numrave natyrorë në sistemet e numrave binar, dhjetorë dhe heksadecimal, për lehtësi, numrat shkruhen nën njëri-tjetrin sipas shifrave, bartja shkruhet sipër;

$\backslash fillimi(arriti)(cccccccccccc)$

& & & & & & & & \\ & & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& & &1&1&0&1 \\ \hline & & & & & & &&0&0&0&0&0&0&(\ngjyra (Gri)0) \\ &1&1&1&0 \\ &1&1&1&0 ngjyra (Gri)0) &(\ngjyrë(Gri)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\ngjyrë(Gri)0) &(\ngjyrë(Gri)0) &(\ngjyrë(Gri)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0 \end(array); \katër \katër \fillimi(arriti) (cccccccccc) & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & & 0&8&4 \ ngjyra(Gri)0) \\ +&4&2&2&8&3&5&(\ngjyrë(Gri)0)&(\ngjyrë(Gri)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \fund(grizë); \katër \katër

\fillim(array)(cccccccc) &&&&_8&_8&_2 \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&&0&8&_D&_3 \ngjyrë (Gri) 0 ) &(\ngjyrë(Gri)0) \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C

\fund (arresë)~~.

Numrat e plotë

të përcaktuara përkatësisht nga sekuencat themelore të numrave racionalë (që plotësojnë kushtin Cauchy), të shënuar si: $\backslash alfa\; =$ Dhe $\backslash beta\; =$, atëherë produkti i tyre është numri $\backslash gama\; =$, i përcaktuar nga prodhimi i sekuencave $\backslash (a\_n\backslash )$ Dhe $\backslash (b\_n\backslash )$:

$\backslash gama\; =\; \backslash alfa\; \backslash cdot\; \backslash beta\; \backslash overset(\backslash tekst(def))(=)\; \backslash cdot\; =$;

numër real $\backslash gama\; =\; \backslash alfa\; \backslash cdot\; \backslash beta$, plotëson kushtin e mëposhtëm:

\përgjithësisht a",a , b", b\në \mathbb(Q); ~~~~ (a" \leqslant \alpha \leqslant a ) \dhe (b" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b"\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a" \cdot b"\leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

.

Kështu, prodhimi i dy numrave realë $\backslash alfa$ Dhe $\backslash beta$është një numër kaq real $\backslash gama$ që përmbahet ndërmjet të gjitha produkteve të formës $a"\; \backslash cdot\; b"$ nga njëra anë dhe të gjitha veprat e formës $a$\cdot b në anën tjetër.

Në praktikë, për të shumëzuar dy numra $\backslash alfa$ Dhe $\backslash beta$, është e nevojshme që ato të zëvendësohen me saktësinë e kërkuar me numra racionalë të përafërt $a$ Dhe $b$. Për vlerën e përafërt të prodhimit të numrave $\backslash alfa\; \backslash cdot\; \backslash beta$ merrni prodhimin e numrave racionalë të treguar $a\; \backslash cdot\; b$. Në këtë rast, nuk ka rëndësi se nga cila anë (me mangësi apo tepricë) merret numrat racionalë afroj $\backslash alfa$ Dhe $\backslash beta$. Shumëzimi kryhet duke përdorur algoritmin e shumëzimit bit.

Për të shumëzuar dy numra kompleksë në shënimin trigonometrik, duhet të shumëzoni modulet e tyre dhe të shtoni argumentet e tyre:

$c=a\; \backslash cdot\; b=r\_1\; (Cos\; \backslash varphi\; \_1+\; iSin\; \backslash varphi\; \_1)\; ~\backslash cdot~\; r\_2\; (Cos\; \backslash varphi\; \_2+\; iSin\backslash varphi\; \_2)\; =r\_1\; \backslash cdot\; r\_2\; (Cos\; (\backslash varphi\; \_1+\backslash varphi\; \_2)+\; iSin\; (\backslash varphi\; \_1+\backslash varphi\; \_2)),$ Ku: $r=|z|=|a+ib|=\backslash sqrt(a^2+b^2);~~~\backslash varphi\; =\; Arg(z)=arctg\; \backslash biggl(\backslash frac(b)(a)\; \backslash biggr)\; ,$ moduli dhe argumenti i një numri kompleks.

Shumëzimi i një numri kompleks $a\; =\; r\_1\; e^\; (i\backslash varphi\; \_1)$ në formë eksponenciale, për një numër kompleks $b\; =\; r\_2\; e^\; (i\backslash varphi\; \_2)$ reduktohet në rrotullimin e vektorit që i përgjigjet numrit $a$, në qoshe $Arg(b)$ dhe duke ndryshuar gjatësinë e saj në $|b|$ një herë. Për një copë numra komplekse në formë eksponenciale barazia është e vërtetë:

$c=re^\; (i\backslash varphi)=a\; \backslash cdot\; b\; =\; r\_1\; e^\; (i\backslash varphi\; \_1)\; \backslash cdot\; r\_2\; e^\; (i\backslash varphi\; \_2)=\; r\_1\backslash cdot\; r\_2\backslash cdot\; e^\; (i(\backslash varphi\; \_1+\; \backslash varphi\; \_2)),$

Ku: $e=2.718281828...$- numri e.

Shënim eksponencial

Për shembull, nëse shumëzoni shpejtësinë $V=4\; ~m/s$ për një kohë $T=2\; ~s$, që korrespondon me një proces fizik, ju merrni një numër të emërtuar ( sasi fizike) që korrespondon me të njëjtin proces fizik, i cili quhet "gjatësi" dhe matet në metra: $L=8\; ~m$.

$L=V\; \backslash cdot\; T\; =\; 4~\backslash frac(m)(s)\; \backslash cdot\; 2~s\; =8\; ~\backslash frac(m\; \backslash cdot\; s)(s)=\; 8\; ~m.$

Kur përshkruani mjete matematikore proceset fizike Një rol të rëndësishëm luan koncepti i homogjenitetit, që do të thotë, për shembull, se "1 kg miell" dhe "1 kg bakër" i përkasin. komplete të ndryshme(miell) dhe (bakër) përkatësisht. Gjithashtu, koncepti i homogjenitetit supozon se sasitë e shumëzuara i përkasin të njëjtit proces fizik.

Shihni gjithashtu

Shkruani një koment për artikullin "Shumëzimi"

Shënime

Letërsia

• Ilyin V.A. etj.. - Universiteti Shtetëror i Moskës, 1985. - T. 1. - 662 f.
• Enderton G. Elements of Set Theory = Elemente të Teorisë së Kompleteve. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 f. - ISBN 0-12-238440-7.
• Barsukov A.N.. - Arsimi, 1966. - 296 f.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.. - Arsimi, 1988. - 416 f.
• Istomina N.B.. - Shoqata shekulli XXI, 2005. - 272 f. - ISBN 5-89308-193-5.
• Vygodsky M. Ya. Udhëzues për matematika elementare. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
• V.I. Igoshin(rusisht): artikull. - Saratov universiteti shtetëror me emrin N.G. Chernyshevsky, 2010.
• Kononyuk A.E.. - Osvita Ukraine, 2012. - T. 2. - 548 f. - ISBN 978-966-7599-50-8.
• : [24 gusht 2011] // Udhëheqja / Artemy Lebedev. - 15 janar 2003 - § 97.

Fragment që përshkruan shumëzimin

- Ai po vjen! - bërtiti makhalny në këtë kohë.
Komandanti i regjimentit, i skuqur, vrapoi drejt kalit, me duar të dridhura mori trazimin, e hodhi trupin, u drejtua, nxori shpatën dhe me një fytyrë të gëzuar, të vendosur, me gojë hapur anash, u përgatit të bërtiste. Regjimenti u ngrit si një zog që po shërohej dhe ngriu.
- Smir r r r na! - bërtiti komandanti i regjimentit me një zë shpirtmadh, të gëzuar për veten e tij, i rreptë në raport me regjimentin dhe miqësor në raport me komandantin që po afrohej.
Përgjatë një rruge të gjerë, të mbushur me pemë, pa autostradë, një karrocë e gjatë blu vjeneze po lëvizte në një tren me një ecje të shpejtë, duke tundur pak burimet e saj. Pas karrocës galoponte një turmë dhe një kolonë kroate. Pranë Kutuzovit ishte ulur një gjeneral austriak me një uniformë të bardhë të çuditshme mes rusëve të zinj. Karroca u ndal në raft. Kutuzov dhe gjenerali austriak po flisnin qetësisht për diçka, dhe Kutuzov buzëqeshi lehtë, ndërsa, duke shkelur rëndë, uli këmbën nga mbështetësi i këmbëve, sikur të mos ishin këta 2000 njerëz, të cilët po e shikonin atë dhe komandantin e regjimentit pa marrë frymë.
U dëgjua një britmë komandimi dhe përsëri regjimenti u drodh me një tingull zileje, duke u vënë në roje. Në heshtjen e vdekur dëgjova zë i dobët komandant i përgjithshëm. Regjimenti leh: "Ne ju dëshirojmë shëndet të mirë, tuajin!" Dhe përsëri gjithçka ngriu. Në fillim, Kutuzov qëndroi në një vend ndërsa regjimenti lëvizte; atëherë Kutuzov, pranë gjeneralit të bardhë, në këmbë, i shoqëruar nga ndjekja e tij, filloi të ecë përgjatë radhëve.
Nga mënyra se si komandanti i regjimentit përshëndeti komandantin e përgjithshëm, duke e parë me sy, duke u shtrirë dhe duke u afruar, se si ai u përkul përpara dhe ndiqte gjeneralët përgjatë radhëve, duke mbajtur mezi një lëvizje të dridhur, si kërceu në çdo fjalën dhe lëvizjen e komandantit të përgjithshëm, dukej qartë se detyrat e tij vartëse po i kryente me kënaqësi edhe më të madhe se detyrat e eprorit. Regjimenti, falë ashpërsisë dhe zellit të komandantit të regjimentit, ishte në gjendje të shkëlqyer në krahasim me të tjerët që erdhën në Braunau në të njëjtën kohë. Ishin vetëm 217 persona të prapambetur dhe të sëmurë. Dhe gjithçka ishte në rregull, përveç këpucëve.
Kutuzov ecte nëpër radhët, herë pas here ndalonte dhe u thoshte disa fjalë të mira oficerëve që i njihte nga lufta turke, e ndonjëherë edhe ushtarëve. Duke parë këpucët, me trishtim tundi kokën disa herë dhe ia tregoi gjeneralit austriak me një shprehje të tillë, saqë dukej se nuk fajësonte askënd për këtë, por nuk mund të mos e shihte sa keq ishte. Sa herë që komandanti i regjimentit vraponte përpara, me frikë se do të humbiste fjalën e komandantit të përgjithshëm në lidhje me regjimentin. Pas Kutuzov, në një distancë të tillë që mund të dëgjohej çdo fjalë e thënë dobët, ecën rreth 20 njerëz në vazhdimin e tij. Zotërinjtë e turmës flisnin mes tyre dhe herë-herë qeshnin. Adjutanti i pashëm eci më afër komandantit të përgjithshëm. Ishte Princi Bolkonsky. Pranë tij ishte shoku i tij Nesvitsky, një oficer shtabi i gjatë, jashtëzakonisht i trashë, i sjellshëm dhe i qeshur. fytyrë e bukur dhe sy të lagur; Nesvitsky mezi e përmbajti veten të mos qeshte, i emocionuar nga oficeri hussar i zi që po ecte pranë tij. Oficeri hussar, pa buzëqeshur, pa ndryshuar shprehjen e syve të tij të fiksuar, shikoi me një fytyrë serioze në pjesën e pasme të komandantit të regjimentit dhe imitoi çdo lëvizje të tij. Sa herë që komandanti i regjimentit dridhej dhe përkulej përpara, në të njëjtën mënyrë, saktësisht në të njëjtën mënyrë, oficeri hussar u dridh dhe u përkul përpara. Nesvitsky qeshi dhe i shtyu të tjerët të shikonin njeriun qesharak.
Kutuzov ecte ngadalë dhe plogësht përtej mijëra syve që doli nga bazat e tyre, duke parë shefin e tyre. Pasi u kap me kompaninë e tretë, ai papritmas u ndal. Rajonet, duke mos e parashikuar këtë ndalesë, padashur u zhvendosën drejt tij.
- Ah, Timokhin! - tha komandanti i përgjithshëm, duke njohur kapitenin me hundë të kuqe, i cili vuante për pardesynë blu.
Dukej e pamundur të shtrihesha për më tepër, ndërsa Timokhin u shtri, ndërsa komandanti i regjimentit e qortoi. Por në atë moment komandanti i përgjithshëm iu drejtua, kapiteni u ngrit drejt, saqë dukej se po ta shihte kryekomandanti edhe pak, kapiteni nuk do ta duronte dot; dhe për këtë arsye Kutuzov, me sa duket duke kuptuar pozicionin e tij dhe duke dëshiruar, përkundrazi, të gjitha të mirat për kapitenin, u largua me nxitim. Një buzëqeshje mezi e dukshme përshkoi fytyrën e trashë dhe të shpërfytyruar të Kutuzov.
“Një tjetër shok i Izmailovës,” tha ai. - Oficer trim! Jeni të kënaqur me të? – pyeti Kutuzov komandantin e regjimentit.
Dhe komandanti i regjimentit, i pasqyruar si në një pasqyrë, i padukshëm për veten e tij, në një oficer hussar, u drodh, doli përpara dhe u përgjigj:
– Jam shumë i kënaqur, Shkëlqesi.
"Ne nuk jemi të gjithë pa dobësi," tha Kutuzov, duke buzëqeshur dhe duke u larguar prej tij. “Ai kishte një përkushtim ndaj Bacchus.
Komandanti i regjimentit kishte frikë se ai ishte fajtor për këtë dhe nuk u përgjigj asgjë. Oficeri në atë moment vuri re fytyrën e kapitenit me një hundë të kuqe dhe një bark të mbërthyer dhe imitoi fytyrën e tij dhe pozoi aq afër sa Nesvitsky nuk mund të ndalonte së qeshuri.
Kutuzov u kthye. Ishte e qartë se oficeri mund ta kontrollonte fytyrën si të donte: në momentin që Kutuzov u kthye, oficeri arriti të bënte një grimasë dhe më pas të merrte shprehjen më serioze, më të respektueshme dhe të pafajshme.
Kompania e tretë ishte e fundit, dhe Kutuzov mendoi për të, me sa duket duke kujtuar diçka. Princi Andrei doli nga grupi i tij dhe tha qetësisht në frëngjisht:
- Ju urdhëruat një kujtesë për Dolokhovin, i cili u degradua, në këtë regjiment.
- Ku është Dolokhov? – pyeti Kutuzov.
Dolokhov, tashmë i veshur me pardesynë gri të një ushtari, nuk priti të thirrej. Figura e hollë bionde me flokë të pastër sy blu ushtari doli nga fronti. Ai iu afrua komandantit të përgjithshëm dhe e vuri në roje.
- Pretendoni? – pyeti Kutuzov, duke u vrenjtur paksa.
"Ky është Dolokhov," tha Princi Andrei.
- A! - tha Kutuzov. "Shpresoj se ky mësim do t'ju korrigjojë, do të shërbejë mirë." Zoti është i mëshirshëm. Dhe nuk do të të harroj nëse e meriton.
Sytë e kaltër e të kthjellët e shikonin kryekomandantin po aq sfidues sa edhe komandantin e regjimentit, sikur me shprehjen e tyre të grisnin velin e konventës që ndante deri tani kryekomandantin nga ushtari.
"Unë kërkoj një gjë, Shkëlqesia Juaj," tha ai me zërin e tij të zhurmshëm, të vendosur dhe të pangutur. "Ju lutem më jepni një shans për të korrigjuar fajin tim dhe për të provuar përkushtimin tim ndaj Perandorit dhe Rusisë."
Kutuzov u largua. E njëjta buzëqeshje në sytë e tij shkëlqeu në fytyrën e tij si kur u largua nga kapiteni Timokhin. Ai u kthye dhe u tërhoq, sikur donte të shprehte se gjithçka që i tha Dolokhov dhe gjithçka që mund t'i tregonte, ai e dinte për një kohë të gjatë, se e gjithë kjo tashmë e kishte mërzitur dhe se e gjithë kjo nuk ishte fare çfarë i nevojitej. U kthye dhe u drejtua drejt karrocave.
Regjimenti u shpërbë në kompani dhe u drejtua në lagjet e caktuara jo larg Braunau, ku ata shpresonin të vishnin këpucë, të visheshin dhe të pushonin pas marshimeve të vështira.
- Ti nuk pretendon për mua, Prokhor Ignatyich? - tha komandanti i regjimentit, duke vozitur rreth kompanisë së tretë duke lëvizur drejt vendit dhe duke iu afruar kapitenit Timokhin, i cili po ecte përpara. Fytyra e komandantit të regjimentit shprehte gëzim të pakontrolluar pas një rishikimi të përfunduar me gëzim. - Sherbimi mbreteror... eshte e pamundur... nje here tjeter do ta perfundosh ne front... Une fillimisht te kerkoj falje, ti me njeh... Ju falenderova shume! - Dhe i zgjati dorën komandantit të kompanisë.
- Për hir të mëshirës, ​​gjeneral, guxoj! - iu përgjigj kapiteni, duke u skuqur me hundë, duke buzëqeshur dhe duke treguar me buzëqeshje mungesën e dy dhëmbëve të përparmë, të rrëzuar nga prapanica nën Ismailin.
- Po, thuaj zotit Dolokhov se nuk do ta harroj, që të jetë i qetë. Po, të lutem më thuaj, vazhdova ta pyesja si është, si po sillet? Dhe kjo është e gjitha ...
"Ai është shumë i dobishëm në shërbimin e tij, Shkëlqesia juaj... por qiramarrësi...", tha Timokhin.
- Çfarë, çfarë personazhi? – pyeti komandanti i regjimentit.
"Shkëlqesia juaj zbulon, për ditë të tëra," tha kapiteni, "se ai është i zgjuar, i ditur dhe i sjellshëm." Është një bishë. Ai vrau një hebre në Poloni, nëse ju lutem...
"Epo, po, mirë," tha komandanti i regjimentit, "ne ende duhet të ndjejmë keqardhje për të riun në fatkeqësi." Në fund të fundit, lidhje të shkëlqyera... Kështu që ju...
"Po dëgjoj, Shkëlqesia Juaj," tha Timokhin, duke buzëqeshur, duke e bërë të ndihej sikur i kuptonte dëshirat e shefit.
- Epo, po, mirë, po.
Komandanti i regjimentit e gjeti Dolokhovin në radhët dhe frenoi kalin e tij.
"Përpara detyrës së parë, epauleta," i tha ai.
Dolokhov shikoi përreth, nuk tha asgjë dhe nuk e ndryshoi shprehjen e gojës së tij të qeshur tallës.
"Epo, kjo është mirë," vazhdoi komandanti i regjimentit. "Njerëzit kanë secili një gotë vodka nga unë," shtoi ai në mënyrë që ushtarët të mund të dëgjonin. – Faleminderit të gjithëve! Zoti e bekoftë! - Dhe ai, duke kapërcyer kompaninë, u ngjit me makinë në një tjetër.
- Epo, ai me të vërtetë njeri i mire; "Ju mund të shërbeni me të," i tha Timokhin subaltern oficerit që ecte pranë tij.
“Një fjalë, ajo e kuqja!... (komandantit të regjimentit i vunë nofkën mbreti i të kuqve), – tha oficeri i nëndheshëm duke qeshur.
Humori i gëzuar i autoriteteve pas rishikimit u përhap edhe te ushtarët. Shoqëria ecte e gëzuar. Zërat e ushtarëve flisnin nga të gjitha anët.
- Çfarë thanë ata, Kutuzov shtrembër, për njërin sy?
- Përndryshe, jo! Krejt e shtrembër.
- Jo... vëlla, ai i ka sytë më të mëdhenj se ti. Çizme dhe tufa - shikova gjithçka...
- Si mund të më shikojë ai o vëlla në këmbët e mia... mirë! Mendoni…
- Dhe austriaku tjetër, me të, ishte si i lyer me shkumës. Si mielli, i bardhë. Unë çaj, si pastrojnë municionet!
- Çfarë, Fedeshow!... tha se kur filluan luftimet, ju qëndruat më afër? Të gjithë thanë se vetë Bunaparte qëndron në Brunovë.
- Bunaparte ia vlen! po gënjen o budalla! Ajo që ai nuk e di! Tani prusiani po rebelohet. Prandaj austriaku e qetëson atë. Sapo të bëjë paqe, atëherë do të hapet lufta me Bunaparten. Ndryshe, thotë ai, Bunaparte po qëndron në Brunovë! Kjo është ajo që tregon se ai është një budalla. Dëgjo më shumë.
- Shiko, dreqin banoret! Kompania e pestë, shikoni, tashmë po kthehet në fshat, ata do të gatuajnë qull, dhe ne ende nuk do të arrijmë në vend.
- Më jep një krisur, dreqin.
- Më ke dhënë duhan dje? Kjo është ajo, vëlla. Epo, ja ku shkojmë, Zoti qoftë me ju.
"Të paktën ata ndaluan, përndryshe nuk do të hamë për pesë milje të tjera."
"Ishte bukur se si gjermanët na dhanë karroca." Kur të shkoni, dijeni: është e rëndësishme!
"Dhe këtu, vëlla, njerëzit janë tërbuar plotësisht." Gjithçka atje dukej se ishte një pol, gjithçka ishte nga kurora ruse; dhe tani, vëlla, ai është plotësisht gjerman.
– Përpara kantautorët! – u dëgjua klithma e kapitenit.
Dhe njëzet veta dolën me vrap nga rreshta të ndryshëm para kompanisë. Bateristi filloi të këndonte dhe u kthye për t'u përballur me kompozitorët dhe, duke tundur dorën, filloi një këngë ushtarake e tërhequr, e cila fillonte: "A nuk është gdhirë, dielli ka rënë..." dhe përfundonte me fjalët: “Atëherë, vëllezër, do të kemi lavdi për ne dhe babain e Kamenskit...” Kjo këngë është kompozuar në Turqi dhe tani këndohet në Austri, vetëm me ndryshimin që në vend të “babait të Kamenskit” ishin futur fjalët: “Kutuzov. babai.”
Duke i grisur këto fjalët e fundit si ushtar dhe duke tundur duart, sikur të hidhte diçka në tokë, bateristi, një ushtar i thatë dhe i pashëm rreth dyzet vjeç, i shikoi me rreptësi kantautorët e ushtarëve dhe mbylli sytë. Pastaj, duke u siguruar që të gjithë sytë ishin fiksuar tek ai, ai dukej se ngriti me kujdes me të dyja duart një gjë të padukshme, të çmuar mbi kokën e tij, e mbajti ashtu për disa sekonda dhe befas e hodhi në mënyrë të dëshpëruar:
Oh, ti, kulmi im, kulmi im!
“Kopoja ime e re...”, jehonin njëzet zëra dhe mbajtësi i lugës, me gjithë peshën e municionit, u hodh shpejt përpara dhe eci mbrapsht para kompanisë, duke lëvizur shpatullat dhe duke kërcënuar dikë me lugë. Ushtarët, duke tundur krahët në ritmin e këngës, ecnin me hapa të gjatë, duke goditur në mënyrë të pavullnetshme këmbët e tyre. Nga pas kompanisë dëgjoheshin tingujt e rrotave, kërcitja e burimeve dhe shkelja e kuajve.
Kutuzov dhe shoqëria e tij po ktheheshin në qytet. Komandanti i përgjithshëm dha një shenjë që populli të vazhdonte të ecte lirshëm dhe kënaqësia u shpreh në fytyrën e tij dhe në të gjitha fytyrat e grupit të tij në tingujt e këngës, në pamjen e ushtarit që kërcente dhe ushtarëve të shoqëria ecën e gëzuar dhe me vrull. Në rreshtin e dytë, nga krahu i djathtë, nga ku karroca kapërceu kompanitë, padashur ra një ushtar me sy të kaltër, Dolokhov, i cili veçanërisht me shpejtësi dhe hijeshi eci drejt ritmit të këngës dhe shikoi fytyrat e ata që kalonin me një shprehje të tillë, sikur i vinte keq për të gjithë ata që nuk shkonin në këtë kohë me shoqërinë. Një korne hussar nga ndjekja e Kutuzov, duke imituar komandantin e regjimentit, ra pas karrocës dhe u nis për në Dolokhov.
Hussar cornet Zherkov në një kohë në Shën Petersburg i përkiste asaj shoqërie të dhunshme të udhëhequr nga Dolokhov. Jashtë vendit, Zherkov e takoi Dolokhovin si ushtar, por nuk e konsideroi të nevojshme ta njihte. Tani, pas bisedës së Kutuzov me njeriun e degraduar, ai iu drejtua atij me gëzimin e një miku të vjetër:
- I dashur mik, si jeni? - tha ai në tingullin e këngës, duke përputhur hapin e kalit me hapin e kompanisë.
- Si jam? - u përgjigj Dolokhov ftohtë, - siç e shihni.
Kënga e gjallë i dha një rëndësi të veçantë tonit të haresë së pacipë me të cilën foli Zherkov dhe ftohtësisë së qëllimshme të përgjigjeve të Dolokhovit.
- Epo, si kaloni mirë me shefin tuaj? – pyeti Zherkovi.
- Asgjë, njerëz të mirë. Si u futët në seli?
- I dërguar, në detyrë.
Ata heshtën.
"Ajo lëshoi ​​një skifter nga mëngja e saj e djathtë," thoshte kënga, duke ngjallur padashur një ndjenjë të gëzuar, gazmore. Biseda e tyre ndoshta do të kishte qenë ndryshe nëse nuk do të kishin folur me tingujt e një kënge.
– Është e vërtetë që austriakët janë rrahur? – pyeti Dolokhov.
"Djalli i njeh ata," thonë ata.
"Më vjen mirë," u përgjigj Dolokhov shkurt dhe qartë, siç kërkonte kënga.
"Epo, ejani te ne në mbrëmje, ju do të vendosni peng faraonin," tha Zherkov.
– Apo ke shumë para?
- Ejani.
- Është e ndaluar. Bëra një betim. Unë nuk pi dhe nuk luaj kumar derisa ta arrijnë.
- Epo, te gjeja e pare...
- Do të shohim atje.
Përsëri ata heshtën.
“Hyni nëse keni nevojë për ndonjë gjë, të gjithë në seli do të ndihmojnë...” tha Zherkov.
Dolokhov buzëqeshi.
- Më mirë mos u shqetëso. Nuk do të kërkoj asgjë që më nevojitet, do ta marr vetë.
- Epo, unë jam shumë ...
- Epo, edhe unë.
- Mirupafshim.
- Jini të shëndetshëm ...
...dhe lart e larg,
Në anën e shtëpisë...
Zherkovi preku shtyllat e tij te kali, i cili, duke u emocionuar, goditi tre herë me shkelm, duke mos ditur se me cilin të fillonte, ia doli dhe galopoi, duke parakaluar kompaninë dhe duke arritur karrocën, gjithashtu në ritmin e këngës.

Pas kthimit nga rishikimi, Kutuzov, i shoqëruar nga gjenerali austriak, hyri në zyrën e tij dhe, duke thirrur adjutantin, urdhëroi t'i jepeshin disa dokumente në lidhje me gjendjen e trupave që mbërrinin dhe letra të marra nga arkiduka Ferdinand, i cili komandonte ushtrinë e përparuar. . Princi Andrei Bolkonsky hyri në zyrën e komandantit të përgjithshëm me dokumentet e kërkuara. Kutuzov dhe një anëtar austriak i Gofkriegsrat u ulën përballë planit të vendosur në tryezë.
"Ah..." tha Kutuzov, duke parë përsëri Bolkonsky, sikur me këtë fjalë po e ftonte adjutantin të priste, dhe vazhdoi bisedën që kishte filluar në frëngjisht.
"Unë po them vetëm një gjë, gjeneral," tha Kutuzov me një hir të këndshëm shprehjeje dhe intonacioni, gjë që ju detyroi të dëgjoni me kujdes çdo fjalë të folur me kohë. Ishte e qartë se vetë Kutuzov kënaqej duke dëgjuar veten. "Unë them vetëm një gjë, gjeneral, se nëse çështja do të varej nga dëshira ime personale, atëherë vullneti i Madhërisë së Tij Perandorit Franz do të ishte përmbushur shumë kohë më parë." Unë do të isha bashkuar me Archduke shumë kohë më parë. Dhe besoni nderin tim, do të ishte një gëzim për mua personalisht t'ia dorëzoja komandën më të lartë të ushtrisë një gjenerali më të ditur dhe më të aftë se unë, me të cilin Austria është aq i bollshëm, dhe të heq dorë nga gjithë kjo përgjegjësi e rëndë. Por rrethanat janë më të forta se ne, Gjeneral.
Dhe Kutuzov buzëqeshi me një shprehje sikur të thoshte: "Ti ke të drejtë të mos më besosh, madje mua nuk më intereson fare nëse më beson apo jo, por nuk ke pse ta thuash këtë. Dhe kjo është e gjithë çështja.”
Gjenerali austriak dukej i pakënaqur, por nuk mund të mos i përgjigjej Kutuzov me të njëjtin ton.
"Përkundrazi," tha ai me një ton të vrenjtur dhe të zemëruar, në kundërshtim me kuptimin lajkatar të fjalëve që thoshte, "përkundrazi, pjesëmarrja e Shkëlqesisë suaj në shkaku i përbashkët shumë i vlerësuar nga Madhëria e Tij; por ne besojmë se ngadalësimi aktual i privon trupat e lavdishme ruse dhe kryekomandantët e tyre nga dafinat që ata janë mësuar t'i korrin në beteja, "përfundoi ai frazën e tij të përgatitur në dukje.
Kutuzov u përkul pa ndryshuar buzëqeshjen e tij.
"Dhe jam kaq i bindur dhe, bazuar në letrën e fundit me të cilën më nderoi Lartësia e Tij Arkduke Ferdinand, supozoj se trupat austriake, nën komandën e një asistenti kaq të aftë si gjenerali Mack, tani kanë fituar një fitore vendimtare dhe jo më kanë nevojë për ndihmën tonë”, tha Kutuzov.
Gjenerali u vrenjos. Ndonëse nuk kishte lajme pozitive për disfatën e austriakëve, kishte shumë rrethana që vërtetonin thashethemet e përgjithshme jo të favorshme; dhe për këtë arsye supozimi i Kutuzov për fitoren e austriakëve ishte shumë i ngjashëm me talljen. Por Kutuzov buzëqeshi butësisht, ende me të njëjtën shprehje, e cila tha se ai kishte të drejtë ta merrte këtë. Vërtet, letra e fundit, të cilën ai e mori nga ushtria e Mack, e informoi atë për fitoren dhe më fitimprurëse pozicioni strategjik ushtria.
"Më jep këtë letër këtu," tha Kutuzov, duke iu kthyer Princit Andrei. - Nëse ju lutem shikoni. - Dhe Kutuzov, me një buzëqeshje tallëse në skajet e buzëve, i lexoi në gjermanisht gjeneralit austriak fragmentin e mëposhtëm nga një letër e arkidukës Ferdinand: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirtealitte mit elien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereiten." [Ne kemi forca mjaft të përqendruara, rreth 70.000 vetë, që të mund të sulmojmë dhe ta mposhtim armikun nëse ai kalon Lech. Meqenëse ne tashmë zotërojmë Ulm-in, ne mund të ruajmë përfitimin e komandës së të dy brigjeve të Danubit, prandaj, çdo minutë, nëse armiku nuk kalon Lech, kalon Danubin, nxiton në linjën e tij të komunikimit dhe më poshtë kaloni Danubin përsëri. ndaj armikut, nëse ai vendos të kthejë të gjithë fuqinë e tij mbi aleatët tanë besnikë, parandaloni përmbushjen e qëllimit të tij. Në këtë mënyrë ne do të presim me gëzim kohën kur perandorake ushtria ruse do të përgatitemi plotësisht dhe pastaj së bashku do të gjejmë lehtësisht mundësinë për t'i përgatitur armikut fatin që ai meriton.”]
Kutuzov psherëtiu rëndë, duke i dhënë fund kësaj periudhe, dhe shikoi me vëmendje dhe me dashuri anëtarin e Gofkriegsrat.
- Por ju e dini, Shkëlqesi, rregull i mençur“, që na udhëzon të marrim përsipër më të keqen”, tha gjenerali austriak, me sa duket duke dashur t'i jepte fund batutave dhe të merrej me punë.
Ai pa dashje shikoi mbrapa adjutantit.
"Më falni, gjeneral," e ndërpreu Kutuzov dhe gjithashtu iu drejtua Princit Andrei. - Kaq, i dashur, merr të gjitha raportet nga spiunët tanë nga Kozllovski. Këtu janë dy letra nga konti Nostitz, ja një letër nga Lartësia e Tij Arkduke Ferdinand, këtu është një tjetër, "tha ai, duke i dorëzuar disa letra. - Dhe nga e gjithë kjo, thjesht, në vazhdim frëngjisht, hartoni një memorandum, një shënim, për dukshmërinë e të gjitha lajmeve që kemi për veprimet. ushtria austriake kishte. Pra, prezantojeni atë me Shkëlqesinë e tij.
Princi Andrei uli kokën si një shenjë se ai kuptoi nga fjalët e para jo vetëm atë që u tha, por edhe atë që Kutuzov donte t'i thoshte. Ai mblodhi letrat dhe, duke bërë një hark të përgjithshëm, duke ecur në heshtje përgjatë qilimit, doli në dhomën e pritjes.
Pavarësisht se nuk ka kaluar shumë kohë që kur Princi Andrei u largua nga Rusia, ai ka ndryshuar shumë gjatë kësaj kohe. Në shprehjen e fytyrës, në lëvizjet, në ecjen, thuajse nuk binte në sy pretendimi i dikurshëm, lodhja dhe përtacia; ai kishte pamjen e një njeriu që nuk ka kohë të mendojë për përshtypjen që u bën të tjerëve dhe është i zënë duke bërë diçka të këndshme dhe interesante. Fytyra e tij shprehte më shumë kënaqësi me veten dhe ata që e rrethonin; buzëqeshja dhe vështrimi i tij ishin më gazmor dhe tërheqës.
Kutuzov, të cilin e kapi në Poloni, e priti me shumë dashamirësi, i premtoi të mos e harronte, e dalloi nga adjutantët e tjerë, e mori me vete në Vjenë dhe i dha detyra më serioze. Nga Vjena, Kutuzov i shkroi shokut të tij të vjetër, babait të Princit Andrei:
"Djali juaj," shkroi ai, "shfaq shpresë për t'u bërë oficer, jashtë zakonit në studimet, vendosmërinë dhe zellshmërinë e tij. E konsideroj veten me fat që kam në dorë një vartës të tillë.”
Në selinë e Kutuzov, midis shokëve dhe kolegëve të tij dhe në ushtri në përgjithësi, Princi Andrei, si dhe në shoqërinë e Shën Petersburgut, kishin dy reputacion krejtësisht të kundërt.
Disa, një pakicë, e njohën Princin Andrei si diçka të veçantë nga vetja dhe nga të gjithë njerëzit e tjerë, që prisnin prej tij sukses i madh, e dëgjoi, e admiroi dhe e imitoi; dhe me këta njerëz Princi Andrei ishte i thjeshtë dhe i këndshëm. Të tjerët, shumica, nuk e pëlqenin Princin Andrei, e konsideruan atë pompoz, të ftohtë dhe person i pakëndshëm. Por me këta njerëz, Princi Andrei dinte të pozicionohej në atë mënyrë që ta respektonin dhe madje t'i frikësoheshin.
Duke dalë nga zyra e Kutuzov në zonën e pritjes, Princi Andrei me letra iu afrua shokut të tij, adjutantit në detyrë Kozlovsky, i cili ishte ulur pranë dritares me një libër.
- Epo, çfarë, princ? – pyeti Kozllovski.
"Ne u urdhëruam të shkruanim një shënim që shpjegonte pse nuk duhet të shkojmë përpara."
- Pse?
Princi Andrey ngriti supet.
- Nuk ka lajme nga Mac? – pyeti Kozllovski.
- Jo.
“Nëse do të ishte e vërtetë që ai u mund, atëherë do të vinin lajmet.”
"Ndoshta," tha Princi Andrei dhe u drejtua drejt derës së daljes; por në të njëjtën kohë, në dhomën e pritjes hyri me shpejtësi në dhomën e pritjes, një gjeneral austriak i gjatë, padyshim vizitor, me një fustanellë, me një shall të zi të lidhur rreth kokës dhe me Urdhrin e Maria Terezës në qafë, duke përplasur derën. Princi Andrei u ndal.
- Shefi i përgjithshëm Kutuzov? – tha shpejt gjenerali vizitues me një theks të mprehtë gjermanisht, duke parë përreth nga të dy anët dhe duke ecur pa u ndalur deri te dera e zyrës.
"Gjenerali i përgjithshëm është i zënë," tha Kozlovsky, duke iu afruar me nxitim gjeneralit të panjohur dhe duke bllokuar rrugën e tij nga dera. - Si do të dëshironit të raportoni?
Gjenerali i panjohur vështroi me përbuzje Kozllovskin e shkurtër, si i habitur që mund të mos njihej.
"Gjenerali i përgjithshëm është i zënë," përsëriti Kozlovsky me qetësi.
Fytyra e gjeneralit u vrenjos, buzët e tij u shtrënguan dhe u drodhën. Ai nxori jashtë fletore, vizatoi shpejt diçka me laps, grisi letrën, ia dha, shkoi me shpejtësi drejt dritares, e hodhi trupin e tij në një karrige dhe shikoi përreth ata që ishin në dhomë, sikur pyeti: pse po shikojnë ai? Pastaj gjenerali ngriti kokën, vuri qafën, sikur donte të thoshte diçka, por menjëherë, sikur rastësisht filloi të gumëzhiste me vete, bëri tingull i çuditshëm, e cila u ndal menjëherë. Dera e zyrës u hap dhe Kutuzov u shfaq në prag. Gjenerali me kokën e fashuar, sikur po ikte nga rreziku, u përkul dhe u ngjit në Kutuzov me hapa të mëdhenj e të shpejtë të këmbëve të tij të holla.
"Vous voyez le malheureux Mack, [E shihni Mack fatkeq.]," tha ai me një zë të thyer.
Fytyra e Kutuzov, duke qëndruar në derën e zyrës, mbeti plotësisht e palëvizshme për disa momente. Pastaj, si një valë, një rrudhë i ra në fytyrë, balli i tij u lëmua; Ai uli kokën me respekt, mbylli sytë, në heshtje la Macin të kalonte pranë tij dhe mbylli derën pas vetes.
Thashethemet, tashmë të përhapura më parë, për humbjen e austriakëve dhe dorëzimin e të gjithë ushtrisë në Ulm, doli të ishin të vërteta. Gjysmë ore më vonë, adjutantët u dërguan në drejtime të ndryshme me urdhra që vërtetonin se së shpejti trupat ruse, të cilat deri atëherë kishin qenë joaktive, do të duhej të takonin armikun.
Princi Andrei ishte një nga ata oficerët e rrallë në seli që besonte në interesin e tij kryesor përparimin e përgjithshëmçështjet ushtarake. Pasi pa Mack dhe dëgjoi detajet e vdekjes së tij, ai kuptoi se gjysma e fushatës ishte e humbur, kuptoi vështirësinë e pozicionit të trupave ruse dhe imagjinoi gjallërisht atë që e priste ushtrinë dhe rolin që ai do të duhej të luante në të. .
Padashur, ai përjetoi një ndjenjë emocionuese, të gëzueshme nga mendimi për të turpëruar Austrinë arrogante dhe fakti që brenda një jave mund t'i duhej të shihte dhe të merrte pjesë në një përplasje midis rusëve dhe francezëve, për herë të parë që nga Suvorov.
Por ai kishte frikë nga gjeniu i Bonapartit, i cili mund të ishte më i fortë se gjithë guximi i trupave ruse, dhe në të njëjtën kohë nuk mund të lejonte turpin për heroin e tij.
I emocionuar dhe i irrituar nga këto mendime, Princi Andrei shkoi në dhomën e tij për t'i shkruar babait të tij, të cilit i shkruante çdo ditë. Ai u takua në korridor me shokun e tij të dhomës Nesvitsky dhe shakaxhiun Zherkov; Ata, si gjithmonë, qeshën me diçka.

Dhe shumëzimi. Operacioni i shumëzimit do të diskutohet në këtë artikull.

Shumëzimi i numrave

Shumëzimi i numrave përvetësohet nga fëmijët në klasën e dytë dhe nuk ka asgjë të komplikuar në të. Tani do të shohim shumëzimin me shembuj.

Shembulli 2*5. Kjo do të thotë ose 2+2+2+2+2 ose 5+5. Merrni 5 dy herë ose 2 pesë herë. Përgjigja, në përputhje me rrethanat, është 10.

Shembulli 4*3. Po kështu, 4+4+4 ose 3+3+3+3. Tre herë 4 ose katër herë 3. Përgjigja 12.

Shembulli 5*3. Ne bëjmë të njëjtën gjë si në shembujt e mëparshëm. 5+5+5 ose 3+3+3+3+3. Përgjigja 15.

Formulat e shumëzimit

Shumëzimi është shuma e numrave identikë, për shembull, 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ose 2 * 5 = 5 + 5. Formula e shumëzimit:

Ku, a është çdo numër, n është numri i termave të a. Le të themi a=2, pastaj 2+2+2=6, pastaj n=3 duke shumëzuar 3 me 2, marrim 6. Konsideroni rend i kundërt. Për shembull, jepet: 3 * 3, domethënë. 3 shumëzuar me 3 do të thotë se tre duhet të merren 3 herë: 3 + 3 + 3 = 9. 3 * 3=9.

Shumëzimi i shkurtuar

Shumëzimi i shkurtuar është një shkurtim i operacionit të shumëzimit në raste të caktuara dhe formulat e shkurtuara të shumëzimit janë nxjerrë posaçërisht për këtë qëllim. Cili do të ndihmojë që llogaritjet të bëhen më racionale dhe më të shpejta:

Formulat e shkurtuara të shumëzimit

Le të a, b i përkasin R, atëherë:

Katrori i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me katrori i shprehjes së parë plus dyfishi i produktit të shprehjes së parë dhe i dyti plus katrori i shprehjes së dytë. Formula: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Katrori i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë. Formula: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Dallimi i katrorëve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre shprehjeve dhe shumën e tyre. Formula: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Kub i shumës dy shprehje e barabartë me kub shprehja e parë plus trefishon prodhimin e katrorit të shprehjes së parë dhe e dyta plus trefishon prodhimin e shprehjes së parë dhe katrorin e së dytës plus kubin e shprehjes së dytë. Formula: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

Kubi i diferencës dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehjes së dytë. Formula: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

Shuma e kubeve a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Dallimi i kubeve dy shprehje është e barabartë me prodhimin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë dhe katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve. Formula: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Regjistrohuni në kursin "Përshpejtoni aritmetikën mendore, JO aritmetikën mendore" për të mësuar se si të mblidhni, zbrisni, shumëzoni, pjesëtoni, katrorë numrat dhe madje të nxirrni rrënjët shpejt dhe saktë. Në 30 ditë, do të mësoni se si të përdorni truket e thjeshta për të thjeshtuar veprimet aritmetike. Çdo mësim përmban teknika të reja, shembuj të qartë dhe detyra të dobishme.

Shumëzimi i thyesave

Duke marrë parasysh mbledhjen dhe zbritjen e thyesave, u shpreh rregulli për sjelljen e thyesave në emërues i përbashkët për të kryer llogaritjen. Kur shumëzoni këtë bëni Nuk ka nevojë! Kur shumëzohen dy thyesa, emëruesi shumëzohet me emëruesin, dhe numëruesi me numëruesin.

Për shembull, (2/5) * (3 * 4). Le të shumëzojmë dy të tretat me një të katërtën. Ne e shumëzojmë emëruesin me emëruesin, dhe numëruesin me numëruesin: (2 * 3)/(5 * 4), pastaj 6/20, bëjmë një reduktim, marrim 3/10.

Shumëzimi i klasës së dytë

Klasa e dytë është vetëm fillimi i mësimit të shumëzimit, kështu që nxënësit e klasës së dytë zgjidhin probleme të thjeshta për të zëvendësuar mbledhjen me shumëzimin, shumëzojnë numrat dhe të mësojmë tabelat e shumëzimit në nivelin e klasës së dytë.

Oleg jeton në një ndërtesë pesëkatëshe, në katin e fundit. Lartësia e një kati është 2 metra. Sa është lartësia e shtëpisë?

Kutia përmban 10 pako me biskota. Janë 7 të tilla në çdo paketë. Sa biskota ka në kuti?

Misha rregulloi makinat e tij lodrash me radhë. Ka 7 të tilla në çdo rresht, por ka vetëm 8 rreshta Sa makina ka Misha?

Ka 6 tavolina në dhomën e ngrënies dhe 5 karrige janë të shtyra pas çdo tavoline. Sa karrige ka në dhomën e ngrënies?

Mami solli 3 thasë me portokall nga dyqani. Çanta përmban 22 portokall. Sa portokalle solli mami?

Në kopsht ka 9 shkurre luleshtrydhe dhe secila kaçubë ka 11 manaferra. Sa manaferra rriten në të gjitha shkurret?

Roma vendosi 8 pjesë tubash njëra pas tjetrës, të njëjtën madhësi 2 metra secila. Sa është gjatësia e tubit të plotë?

Prindërit i sollën fëmijët e tyre në shkollë më 1 shtator. Erdhën 12 makina, secila me 2 fëmijë. Sa fëmijë kanë sjellë prindërit e tyre me këto makina?

Shumëzimi klasa e 3-të

Në klasën e tretë jepen detyra më serioze. Përveç shumëzimit, do të mbulohet edhe Ndarja.

Detyrat e shumëzimit do të përfshijnë: shumëzimin e numrave dyshifrorë, shumëzimin me kolona, ​​zëvendësimin e mbledhjes me shumëzim dhe anasjelltas.

Shumëzimi i kolonës:

Shumëzimi i kolonave është mënyra më e lehtë për të shumëzuar numra të mëdhenj. Le ta shqyrtojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e dy numrave 427 * 36.

1 hap. Le t'i shkruajmë numrat njëri poshtë tjetrit, në mënyrë që 427 të jetë në krye dhe 36 në fund, domethënë 6 nën 7, 3 nën 2.

Hapi 2. Ne fillojmë shumëzimin me shifrën më të djathtë të numrit të poshtëm. Kjo do të thotë, rendi i shumëzimit është: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, pastaj e njëjta gjë me tre: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4.

Pra, së pari shumëzojmë 6 me 7, përgjigjuni: 42. E shkruajmë në këtë mënyrë: meqenëse doli 42, atëherë 4 janë dhjetëshe dhe 2 janë njësi, regjistrimi është i ngjashëm me mbledhjen, që do të thotë se shkruajmë 2 nën gjashtë, dhe 4 i shtojmë të dyve numrin 427.

Hapi 3. Pastaj bëjmë të njëjtën gjë me 6 * 2. Përgjigje: 12. Dhjetëja e parë, e cila shtohet në katër të numrit 427, dhe e dyta - ato. I shtojmë dy që rezultojnë me katër nga shumëzimi i mëparshëm.

Hapi 4. Shumëzoni 6 me 4. Përgjigja është 24 dhe shtoni 1 nga shumëzimi i mëparshëm. Ne marrim 25.

Pra, duke shumëzuar 427 me 6, përgjigja është 2562

KUJTOJE! Rezultati i shumëzimit të dytë duhet të fillojë të shkruhet E DYTË numri i rezultatit të parë!

Hapi 5. Ne kryejmë veprime të ngjashme me numrin 3. Marrim përgjigjen e shumëzimit 427 * 3 = 1281

Hapi 6. Pastaj mbledhim përgjigjet e marra gjatë shumëzimit dhe marrim përgjigjen përfundimtare të shumëzimit 427 * 36. Përgjigje: 15372.

Shumëzimi klasa e 4-të

Klasa e katërt është tashmë vetëm shumimi i numrave të mëdhenj. Llogaritja kryhet duke përdorur metodën e shumëzimit të kolonave. Metoda është përshkruar më sipër në një gjuhë të arritshme.

Për shembull, gjeni prodhimin e çifteve të numrave të mëposhtëm:

1. 988 * 98 =
2. 99 * 114 =
3. 17 * 174 =
4. 164 * 19 =

Prezantimi mbi shumëzimin

Shkarkoni një prezantim mbi shumëzimin me detyra të thjeshta për nxënësit e klasës së dytë. Prezantimi do t'i ndihmojë fëmijët të lundrojnë më mirë në këtë operacion, sepse është shkruar me ngjyra dhe në një stil lozonjar - në opsioni më i mirë për të mësuar një fëmijë!

Tabela e shumëzimit

Çdo nxënës në klasën e dytë mëson tabelën e shumëzimit. Të gjithë duhet ta dinë!

Regjistrohuni në kursin "Përshpejtoni aritmetikën mendore, JO aritmetikën mendore" për të mësuar se si të mblidhni, zbrisni, shumëzoni, pjesëtoni, katrorë numrat dhe madje të nxirrni rrënjët shpejt dhe saktë. Në 30 ditë, do të mësoni se si të përdorni truket e thjeshta për të thjeshtuar veprimet aritmetike. Çdo mësim përmban teknika të reja, shembuj të qartë dhe detyra të dobishme.

Shembuj për shumëzim

Duke shumëzuar me një shifër

1. 9 * 5 =
2. 9 * 8 =
3. 8 * 4 =
4. 3 * 9 =
5. 7 * 4 =
6. 9 * 5 =
7. 8 * 8 =
8. 6 * 9 =
9. 6 * 7 =
10. 9 * 2 =
11. 8 * 5 =
12. 3 * 6 =

Duke shumëzuar me dy shifra

1. 4 * 16 =
2. 11 * 6 =
3. 24 * 3 =
4. 9 * 19 =
5. 16 * 8 =
6. 27 * 5 =
7. 4 * 31 =
8. 17 * 5 =
9. 28 * 2 =
10. 12 * 9 =

Shumëzimi dyshifror me dyshifror

1. 24 * 16 =
2. 14 * 17 =
3. 19 * 31 =
4. 18 * 18 =
5. 10 * 15 =
6. 15 * 40 =
7. 31 * 27 =
8. 23 * 25 =
9. 17 * 13 =

Shumëzimi i numrave treshifrorë

1. 630 * 50 =
2. 123 * 8 =
3. 201 * 18 =
4. 282 * 72 =
5. 96 * 660 =
6. 910 * 7 =
7. 428 * 37 =
8. 920 * 14 =

Lojëra për zhvillimin e aritmetikës mendore

Lojëra speciale edukative të zhvilluara me pjesëmarrjen e shkencëtarëve rusë nga Skolkovo do të ndihmojnë në përmirësimin e aftësive numërimi me gojë në një mënyrë interesante lozonjare.

Lojë "Numërimi i shpejtë"

Loja "numërimi i shpejtë" do t'ju ndihmojë të përmirësoni tuajën duke menduar. Thelbi i lojës është se në foton e paraqitur, do t'ju duhet të zgjidhni përgjigjen "po" ose "jo" në pyetjen "a ka 5 fruta identike?" Ndiqni qëllimin tuaj dhe kjo lojë do t'ju ndihmojë me këtë.

Lojë "Matricat matematikore"

"Matricat matematikore" është e mrekullueshme ushtrime të trurit për fëmijë e cila do t'ju ndihmojë të zhvilloni punën e tij mendore, llogaritjen mendore, kërkim i shpejtë komponentët e nevojshëm, kujdesi. Thelbi i lojës është që lojtari duhet të gjejë një çift nga 16 numrat e propozuar që do të mblidhen në një numër të caktuar, për shembull në foton më poshtë numri i dhënë është "29", dhe çifti i dëshiruar është "5" dhe "24".

Lojë "Number Span"

Loja me hapësirën e numrave do të sfidojë kujtesën tuaj gjatë praktikimit të këtij ushtrimi.

Thelbi i lojës është të mbani mend numrin, i cili kërkon rreth tre sekonda për të kujtuar. Atëherë duhet ta riprodhoni. Ndërsa përparoni nëpër fazat e lojës, numri i numrave rritet, duke filluar nga dy e më tej.

Lojë "Guesh operacionin"

Loja "Guess the Operation" zhvillon të menduarit dhe kujtesën. Pika kryesore lojërat duhet të zgjidhen shenjë matematikore në mënyrë që barazia të jetë e vërtetë. Në ekran jepen shembuj, shikoni me kujdes dhe vendosni shenjën e kërkuar "+" ose "-" në mënyrë që barazia të jetë e vërtetë. Shenjat "+" dhe "-" janë të vendosura në fund të figurës, zgjidhni shenjën e dëshiruar dhe klikoni në butonin e dëshiruar. Nëse jeni përgjigjur saktë, fitoni pikë dhe vazhdoni të luani.

Lojë "Thjeshtimi"

Loja "Thjeshtimi" zhvillon të menduarit dhe kujtesën. Thelbi kryesor i lojës është të kryeni shpejt një operacion matematikor. Një nxënës vizatohet në ekran në dërrasën e zezë dhe jepet një veprim matematikor që studenti duhet të llogarisë këtë shembull dhe të shkruajë përgjigjen. Më poshtë janë tre përgjigje, numëroni dhe klikoni numrin që ju nevojitet duke përdorur miun. Nëse jeni përgjigjur saktë, fitoni pikë dhe vazhdoni të luani.

Lojë "Shtesë e shpejtë"

lojë " Shtim i shpejtë» zhvillon të menduarit dhe kujtesën. Thelbi kryesor i lojës është të zgjidhni numra, shuma e të cilëve është e barabartë me një numër të caktuar. Në këtë lojë, jepet një matricë nga një deri në gjashtëmbëdhjetë. Mbi matricë shkruhet numri i dhënë, duhet të zgjidhni numrat në matricë në mënyrë që shuma e këtyre numrave të jetë e barabartë me numrin e dhënë. Nëse jeni përgjigjur saktë, fitoni pikë dhe vazhdoni të luani.

Lojë me gjeometri vizuale

lojë " Gjeometria vizuale» zhvillon të menduarit dhe kujtesën. Thelbi kryesor i lojës është të numëroni shpejt numrin e objekteve me hije dhe ta zgjidhni atë nga lista e përgjigjeve. Në këtë lojë, katrorët blu shfaqen në ekran për disa sekonda, duhet t'i numëroni shpejt, pastaj mbyllen. Poshtë tabelës janë shkruar katër numra, ju duhet të zgjidhni një numri i saktë dhe klikoni mbi të me miun. Nëse jeni përgjigjur saktë, fitoni pikë dhe vazhdoni të luani.

Lojë "Krahasimet matematikore"

lojë " Krahasimet matematikore» zhvillon të menduarit dhe kujtesën. Thelbi kryesor i lojës është të krahasoni numrat dhe operacionet matematikore. Në këtë lojë ju duhet të krahasoni dy numra. Në krye ka një pyetje të shkruar, lexojeni dhe përgjigjuni saktë pyetjes. Ju mund të përgjigjeni duke përdorur butonat më poshtë. Ka tre butona "majtas", "barabartë" dhe "djathtas". Nëse jeni përgjigjur saktë, fitoni pikë dhe vazhdoni të luani.

Zhvillimi i aritmetikës fenomenale mendore

Ne kemi parë vetëm majën e ajsbergut, për të kuptuar më mirë matematikën - regjistrohuni në kursin tonë: Përshpejtimi i aritmetikës mendore.

Nga kursi jo vetëm që do të mësoni dhjetëra teknika për të thjeshtuar dhe shumëzim i shpejtë, mbledhje, shumëzim, pjesëtim, llogaritje e përqindjeve, por do t'i praktikoni edhe në detyra të veçanta dhe lojëra edukative! Aritmetika mendore gjithashtu kërkon shumë vëmendje dhe përqendrim, të cilat stërviten në mënyrë aktive kur zgjidhin probleme interesante.

Leximi i shpejtë në 30 ditë

Rritni shpejtësinë e leximit me 2-3 herë në 30 ditë. Nga 150-200 në 300-600 fjalë në minutë ose nga 400 në 800-1200 fjalë në minutë. Kursi përdor ushtrime tradicionale për zhvillimin e leximit të shpejtë, teknika që përshpejtojnë funksionin e trurit, metoda për rritjen progresive të shpejtësisë së leximit, psikologjinë e leximit të shpejtë dhe pyetje nga pjesëmarrësit e kursit. I përshtatshëm për fëmijë dhe të rritur që lexojnë deri në 5000 fjalë në minutë.

Zhvillimi i kujtesës dhe vëmendjes tek një fëmijë 5-10 vjeç

Kursi përfshin 30 mësime me këshilla dhe ushtrime të dobishme për zhvillimin e fëmijëve. Në çdo mësim këshilla të dobishme, disa ushtrime interesante, një detyrë për mësimin dhe një bonus shtesë në fund: një mini-lojë edukative nga partneri ynë. Kohëzgjatja e kursit: 30 ditë. Kursi është i dobishëm jo vetëm për fëmijët, por edhe për prindërit e tyre.

Super kujtim në 30 ditë

Mbani mend informacionin e nevojshëm shpejt dhe për një kohë të gjatë. Pyesni veten se si të hapni një derë apo të lani flokët? Jam i sigurt që jo, sepse kjo është pjesë e jetës sonë. Dritë dhe ushtrime të thjeshta Për të trajnuar kujtesën tuaj, mund ta bëni atë pjesë të jetës tuaj dhe ta bëni atë pak gjatë ditës. Nëse hani sasinë ditore të ushqimit përnjëherë, ose mund të hani në pjesë gjatë gjithë ditës.

Sekretet e fitnesit të trurit, trajnimit të kujtesës, vëmendjes, të menduarit, numërimit

Truri, ashtu si trupi, ka nevojë për palestër. Ushtrimi forconi trupin, zhvilloni mendërisht trurin. 30 ditë ushtrime të dobishme dhe lojërat edukative për të zhvilluar kujtesën, përqendrimin, inteligjencën dhe leximin e shpejtë do të forcojnë trurin, duke e kthyer atë në një arrë të fortë për t'u goditur.

Paraja dhe mendësia e milionerit

Pse ka probleme me paratë? Në këtë kurs ne do t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje në detaje, do të shqyrtojmë thellë problemin dhe do të shqyrtojmë marrëdhënien tonë me paratë nga pikëpamja psikologjike, ekonomike dhe emocionale. Nga kursi do të mësoni se çfarë duhet të bëni për të zgjidhur të gjitha problemet tuaja financiare, të filloni të kurseni para dhe t'i investoni ato në të ardhmen.

Njohja e psikologjisë së parasë dhe mënyra e punës me të e bën një person milioner. 80% e njerëzve marrin më shumë kredi ndërsa të ardhurat e tyre rriten, duke u varfëruar edhe më shumë. Nga ana tjetër, milionerët e vetë-bërë do të fitojnë përsëri miliona në 3-5 vjet nëse fillojnë nga e para. Ky kurs ju mëson se si të shpërndani siç duhet të ardhurat dhe të reduktoni shpenzimet, ju motivon për të studiuar dhe arritur qëllimet, ju mëson se si të investoni para dhe të njihni një mashtrim.

Në thelb, e gjithë vështirësia qëndron në mënyrën e vendosjes së saktë rezultate të ndërmjetme shumëzimet (produktet e pjesshme. Në përpjekje për t'i bërë llogaritjet më të lehta, njerëzit kanë dalë me shumë mënyra për të shumëzuar numrat. Gjatë historisë shekullore të matematikës, ka pasur disa dhjetëra të tilla.

Trashëgimia e hinduve është metoda e grilës.

Hindusët, të cilët kanë njohur që nga kohërat e lashta sistemi dhjetor shënimi, i preferuar numërimi mendor shkruar. Ata shpikën disa mënyra për të bërë shumëzim të shpejtë. Më vonë ato u huazuan nga arabët dhe prej tyre këto metoda u kaluan te evropianët. Ata, megjithatë, nuk u kufizuan në to dhe zhvilluan të reja, veçanërisht atë që studiohet në shkollë - shumëzim me kolonë. Kjo metodë ka qenë e njohur që nga fillimi i shekullit të 15-të, në shekullin e ardhshëm hyri në përdorim në mënyrë të vendosur në mesin e matematikanëve, dhe sot ajo përdoret kudo. Por a është shumëzimi i kolonave mënyra më e mirë për të bërë këtë veprim aritmetik? Në fakt, ka metoda të tjera, tashmë të harruara, të shumëzimit që nuk janë më keq, për shembull, metoda e rrjetës.

Kjo metodë u përdor në kohët e lashta, në mesjetë u përhap në Lindje, dhe në Rilindje - në Evropë. Metoda e rrjetit quhej gjithashtu indiane, myslimane ose "shumëzimi qelizor". Dhe në Itali quhej "Gelosia", ose "shumëzimi i grilave" (Gelosia përkthyer nga italishtja do të thotë "blinda", "kapakë grilë". Në të vërtetë, shifrat që rezultonin nga numrat ishin të ngjashme me grilat - blindat që mbulonin dritaret nga dielli veneciane. shtëpitë.

Ne do të shpjegojmë thelbin e kësaj metode të thjeshtë të shumëzimit me një shembull: do të llogarisim prodhimin 296 x 73. Le të fillojmë duke vizatuar një tabelë me qeliza katrore, në të cilën do të ketë tre kolona dhe dy rreshta, sipas numrit të shifra në faktorët. Ndani qelizat në gjysmë diagonalisht. Mbi tabelën shkruajmë numrin 296, dhe me anën e djathtë vertikalisht - numri 73. Shumëzoni çdo shifër të numrit të parë me secilën shifër të të dytit dhe shkruani prodhimet në qelizat përkatëse, duke vendosur dhjetëshet mbi diagonale dhe ato nën të. Shifrat e produktit të dëshiruar i marrim duke i shtuar shifrat në vijat e zhdrejtë. Në këtë rast, ne do të lëvizim në drejtim të akrepave të orës, duke filluar nga qeliza e poshtme djathtas: 8, 2 1 7, etj. Rezultatet do t'i shkruajmë nën tabelë, si dhe në të majtë të saj. Në rast se mbledhja rezulton në një shumë dyshifrore, ne tregojmë vetëm ato dhe i shtojmë dhjetëshet shumës së shifrave nga shiriti tjetër. Përgjigje: 21.608 Pra, 296 x 73 = 21.608.

Metoda e grilës nuk është në asnjë mënyrë inferiore ndaj shumëzimit të kolonës. Është edhe më i thjeshtë dhe më i besueshëm, pavarësisht se numri i veprimeve të kryera në të dyja rastet është i njëjtë. Së pari, ju duhet të punoni vetëm me numra njëshifror dhe dyshifror, dhe ato janë të lehta për t'u përdorur në kokën tuaj. Së dyti, nuk ka nevojë të mbani mend rezultatet e ndërmjetme dhe të mbani gjurmët e rendit në të cilin ato janë shkruar. Kujtesa shkarkohet dhe vëmendja mbahet, kështu që gjasat e gabimit zvogëlohen. Për më tepër, metoda e grilës ju lejon të merrni rezultate më shpejt. Pasi ta zotëroni, mund ta shihni vetë.

Pse metoda e rrjetës çon në përgjigjen e saktë? Cili është “Mekanizmi” i tij? Le ta kuptojmë këtë duke përdorur një tabelë të ndërtuar në mënyrë të ngjashme me të parën, vetëm në këtë rast faktorët paraqiten si shuma 200 90 6 dhe 70 3.

Siç mund ta shihni, në shiritin e parë të zhdrejtë ka njësi, në të dytin - dhjetëshe, në të tretën - qindra etj. kur shtohen, japin përgjigjen, përkatësisht numrin e njësive, dhjetëshe, qindëshe etj. pjesa tjetër është e qartë:

10 10 1500. 100. 8 _ 21608.

Me fjalë të tjera, në përputhje me ligjet e aritmetikës, prodhimi i numrave 296 dhe 73 llogaritet si më poshtë:

296 x 73 = (200 90 6) x (70 3) = 14,000 6300 420 600 270 18 = 10,000 (4000 6000) (300 400 600 200) (70 8 20 ).

Shkopinj Nepera.

Shumëzimi duke përdorur metodën e grilës është baza e një pajisjeje të thjeshtë dhe origjinale llogaritëse - shkopinj neper.

Shpikësi i saj, John Napier, një baron skocez dhe një dashnor i matematikës, punoi me profesionistë për të përmirësuar mjetet dhe metodat e llogaritjes. Në historinë e shkencës, ai njihet kryesisht si një nga krijuesit e logaritmeve.

Pajisja përbëhet nga dhjetë vizore mbi të cilat vendoset tabela e shumëzimit. Në secilën qelizë, të ndarë me një diagonale, shkruhet prodhimi i dy numrave njëshifrorë nga 1 në 9: numri i dhjetërave tregohet në pjesën e sipërme, numri i njësive tregohet në pjesën e poshtme. Një sundimtar (i majti) është i palëvizshëm, pjesa tjetër mund të riorganizohet nga vendi në vend, duke paraqitur kombinimin e dëshiruar të numrave. Duke përdorur shkopinj neper, është e lehtë të shumëzoni numra shumëshifrorë, duke e reduktuar këtë veprim në mbledhje.

Për shembull, për të llogaritur produktin e numrave 296 dhe 73, duhet të shumëzoni 296 me 3 dhe 70 (së pari me 7, pastaj me 10) dhe të shtoni numrat që rezultojnë. Le t'i bashkojmë tre të tjera vizores fikse - me numrat 2, 9 dhe 6 në krye (ata duhet të formojnë numrin 296. Tani le të shohim rreshtin e tretë (numrat e rreshtave tregohen në vizoren e jashtme. Numrat në të formoni një grup që është tashmë i njohur për ne.

Duke i mbledhur ato, si në metodën e rrjetës, marrim 296 x 3 = 888. Po kështu, ra? 6

Në shkollë ata studiojnë tabelën e shumëzimit dhe më pas i mësojnë fëmijët të shumëzojnë numrat në një kolonë. Natyrisht, kjo nuk është mënyra e vetme për t'u shumuar. Në fakt, kishte disa dhjetëra mënyra për të shumëzuar dhe pjesëtuar numra shumëshifrorë. Unë do të jap këtu, ndoshta, një "metodë grilë" edhe më të thjeshtë (shih librin nga I.Ya. Depman, N.Ya. Vilenkin "Përtej faqeve të një teksti"). Le ta shohim këtë metodë me një shembull.

Le të themi se duhet të shumëzojmë 347 me 29. Le të vizatojmë një tabelë, si në figurën a), shkruajmë sipër saj numrin 347 nga e majta në të djathtë, dhe në të djathtë të saj - numrin 29 nga lart poshtë. Në çdo qelizë shkruajmë prodhimin e numrave mbi këtë qelizë dhe në të djathtë të saj. Në këtë rast, ne do të shkruajmë shifrën e dhjetësheve të produktit mbi vijën e pjerrët, dhe shifrën e njësive poshtë saj. Tani do të shtojmë numrat në çdo shirit të zhdrejtë të paraqitur në figurë, duke e kryer këtë veprim nga e djathta në të majtë. Nëse shuma është më pak se 10, atëherë shkruhet nën numrin e poshtëm të shiritit. Nëse rezulton të jetë më shumë se 10, atëherë shkruhet vetëm shifra e njësive e shumës, dhe shifra e dhjetësheve i shtohet shumës tjetër. Si rezultat, marrim produktin e dëshiruar, i cili është i barabartë me 10063.

Kjo metodë e shumëzimit ishte më parë e zakonshme në Lindje dhe Itali. Për të kuptuar kuptimin e saj, le të shohim figurën b). Shohim se në shiritin e parë ka njësi, në të dytin - dhjetëra, në të tretën - qindëshe, etj. Me fjalë të tjera, produkti 347\cdot29 llogaritet si më poshtë:

Ka disa rregulla të tjera për të ndihmuar numërim i shpejtë. Pra, për të katrorë një numër dyshifror që mbaron me 5, duhet të shtoni 1 në shifrën e parë dhe të shumëzoni numrin që rezulton me këtë shifër dhe më pas të shtoni 25 në rezultat. Për shembull, le të vendosim në katror 35. Shifra e parë e këtij numri është 3, shtoni 1: 3+1=4. Le të shumëzojmë 3 me 4, marrim 12, pastaj thjesht shtojmë 25. Pra përgjigja është: 1225.

Ky rregull rrjedh menjëherë nga fakti se

Sigurisht, kjo mund të përdoret gjithashtu për të vendosur në katror numra treshifrorë që mbarojnë me 5 dhe numra që kanë edhe më shumë shifra. Sidoqoftë, në këto raste, do të duhet të llogarisni produktin a\cdot(a+1), ku numri a tashmë ka disa shifra dhjetore, dhe kjo gjithashtu duhet të bëhet, të themi, në një kolonë, domethënë kjo është më e ndërlikuar!

Dhe tani video tregon një metodë shumëzimi, e parë dhe diskutuar gjerësisht në internet, e cila quhet metoda kineze. Qesharake dhe interesante. Nga rruga, disa përgjithësime të kësaj metode janë postuar tashmë, sepse vizatimi i 9 vijave të drejta kur shumëzohet me 9 është disi i gjatë dhe jo interesant, dhe më pas numërimi i pikave të kryqëzimit ... Në përgjithësi, ju ende duhet të dini tabelën e shumëzimit! Unë mendoj se ju mund të shpjegoni pse metoda funksionon. Kujdes, pyetja: pse?

Çfarë është shumëzimi?

Shumëzimiështë një veprim aritmetik në të cilin numri i parë përsëritet si term aq herë sa tregon numri i dytë.

Një numër që përsëritet si term quhet të shumëfishueshme(shumohet), thirret numri që tregon sa herë duhet përsëritur termi shumëzues. Numri që rezulton nga shumëzimi quhet puna.

Për shembull, shumëzimi i numrit natyror 2 me numrin natyror 5 do të thotë të gjesh shumën e pesë termave, secili prej të cilëve është i barabartë me 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Në këtë shembull, ne gjejmë shumën me mbledhje të zakonshme. Por kur numri i termave të barabartë është i madh, gjetja e shumës duke shtuar të gjithë termat bëhet shumë e lodhshme.

Shumëzimi tregohet me shenjën × (pjesë) ose shenjën · (pika) dhe lexohet: shumëzo me. Shenja e shumëzimit vendoset midis shumëzuesit dhe shumëzuesit. Shumëzuesi shkruhet në të majtë të shenjës së shumëzimit, dhe shumëzuesi shkruhet në të djathtë:

Kjo hyrje lexohet kështu: prodhimi i 2 dhe 5 është i barabartë me 10 ose 2 herë 5 është i barabartë me 10.

Pra, ne shohim se shumëzimi është thjesht formë e shkurtër regjistrimet e shtimit të termave identikë.

Kontrolli i shumëzimit

Për të kontrolluar shumëzimin, mund ta ndani produktin me faktorin. Nëse rezultati i pjesëtimit është një numër i barabartë me shumëzuesin, atëherë shumëzimi bëhet saktë:

Tani le të kontrollojmë shumëzimin:

Shumëzimi mund të kontrollohet edhe duke e pjesëtuar produktin me shumëzuesin. Nëse rezultati i pjesëtimit është një numër i barabartë me shumëzuesin, atëherë shumëzimi bëhet saktë:

Le të kontrollojmë:

Duke shumëzuar një dhe me një

a barazitë e mëposhtme janë të vërteta:

1 · a = a
a· 1 = a

• Nëse shumëzuesi është numri 1, atëherë prodhimi është i barabartë me shumëzuesin. Për shembull, 1 · 3 = 3 sepse shuma e 1 + 1 + 1 është tre.
• Nëse faktori është një, atëherë produkti do të jetë i barabartë me shumëzuesin. Për shembull, 5 · 1 = 5. Nëse marrim numrin 5 një herë, marrim 5.

Numri 0 në shumëzim

Për çdo numër natyror a barazitë e mëposhtme janë të vërteta:

a· 0 = 0
0 · a = 0

Këto barazi nënkuptojnë sa vijon:

• Nëse faktori është zero, atëherë produkti është zero. Për shembull, 5 · 0 = 0 (nëse nuk marrim 5 qoftë edhe një herë, atëherë natyrisht nuk do të marrim asgjë).
• Nëse shumëzuesi është zero, atëherë prodhimi është zero. Për shembull, 0 · 3 = 0 sepse shuma e 0 + 0 + 0 është zero.

Pronë që përputhet shumëzimi tregon barazinë e dy prodhimeve a·(b·c) dhe (a·b)·c, ku a, b Dhe c– çdo numër natyror. Kështu, rezultati i shumëzimit të tre numrave a, b Dhe c nuk varet nga mënyra e vendosjes së kllapave. Për shkak të kësaj, në produktet a·(b·c) dhe (a·b)·c, kllapat shpesh nuk vendosen dhe produktet shkruhen në formën a·b·c. Shprehje a·b·c quhet prodhim i tre numrave a, b Dhe c, numrat a, b Dhe c të gjithë quhen edhe shumëzues.

Në mënyrë të ngjashme, vetia kombinuese e shumëzimit na lejon të deklarojmë se prodhimet (a·b)·(c·d) , (a·(b·c))·d, ((a·b)·c)·d, a·(b ·(c·d)) dhe a·((b·c)·d) janë të barabarta. Kjo do të thotë, rezultati i shumëzimit të katër numrave gjithashtu nuk varet nga shpërndarja e kllapave. Prodhimi i katër numrave a, b, c Dhe d shkruajeni si a b c d.

Në përgjithësi, rezultati i shumëzimit të numrave të dy, tre, katër e kështu me radhë nuk varet nga mënyra e vendosjes së kllapave, dhe gjatë shkrimit të produkteve të tilla, kllapat zakonisht anashkalohen.

Tani le të kuptojmë se si të llogarisim produktin e disa numrave, shënimi i të cilëve nuk përmban kllapa. Në këtë rast shumëzimi i tre ose më shumë numrave reduktohet në zëvendësimin sekuencial të dy faktorëve ngjitur me produktin e tyre derisa të marrim rezultatin e kërkuar. Me fjalë të tjera, gjatë shkrimit të produktit, ne i vendosim vetë kllapat në çdo mënyrë të pranueshme, pas së cilës i shumëzojmë në mënyrë sekuenciale dy numrat.

Shqyrtoni një shembull të llogaritjes së prodhimit të pesë numrave natyrorë 2 , 1 , 3 , 1 Dhe 8 . Le të shkruajmë punën: 2 1 3 1 8. Do të tregojmë dy metoda zgjidhjeje (ka më shumë se dy metoda zgjidhjeje).

Mënyra e parë. Ne do t'i zëvendësojmë radhazi dy faktorët në të majtë me produktin e tyre. Që nga rezultati i shumëzimit të numrave 2 Dhe 1 është numri 2 , Kjo 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Sepse 2·3=6, Kjo 2·3·1·8=6·1·8. Më tej, sepse 6·1=6, Kjo 6·1·8=6·8. Së fundi, 6·8=48. Pra, prodhimi i pesë numrave 2 , 1 , 3 , 1 Dhe 8 barazohet 48 . Kjo zgjidhje korrespondon me metodën e mëposhtme të rregullimit të kllapave: ((2 1) 3) 1) 8.

Mënyra e dytë. Le t'i rregullojmë kllapat në produkt kështu: ((2 1) 3) (1 8) . Sepse 2 1=2 Dhe 1·8=8, atëherë ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . Dy herë tre është gjashtë, atëherë (2·3)·8=6·8. Së fundi, 6·8=48. Pra, 2·1·3·1·8=48.

Vini re se rezultati i shumëzimit të tre ose më shumë numrave nuk ndikohet nga rendi i faktorëve. Me fjalë të tjera, faktorët në produkt mund të shkruhen në çdo mënyrë, dhe gjithashtu mund të ndërrohen. Ky pohim rrjedh nga vetitë e shumëzimit të numrave natyrorë.

Le të shohim një shembull.

Shumëzoni katër numra 3 , 9 , 2 Dhe 1 . Le të shkruajmë produktin e tyre: 3·9·2·1. Nëse i zëvendësojmë faktorët 3 Dhe 9 produktin ose faktorët e tyre 9 Dhe 2 produktin e tyre, atëherë në fazën tjetër do të duhet të shumëzojmë me numra dyshifrorë 27 ose 18 (të cilën nuk dimë ta bëjmë ende). Ju mund të bëni pa këtë duke i ndërruar kushtet dhe duke i rregulluar kllapat në një mënyrë të caktuar. ne kemi 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

Kështu, duke shkëmbyer faktorët, ne mund të llogarisim produktet në mënyrën më të përshtatshme.

Për të plotësuar figurën, merrni parasysh një problem, zgjidhja e të cilit zbret në shumëzimin e disa numrave.

Çdo kuti përmban 3 subjekt. Çdo kuti përmban 2 kuti. Sa artikuj përmbahen në 4 kuti?

Meqenëse në një kuti ka 2 kuti, secila prej të cilave 3 artikull, atëherë në një kuti ka 3·2=6 artikujt. Pastaj në katër sirtarë ka 6·4=24 subjekt.

Dikush mund të argumentojë ndryshe. Meqenëse në një kuti ka 2 kuti, pastaj në katër kuti ka 2·4=8 kutitë Meqenëse çdo kuti përmban 3 subjekt, pastaj në 8 kutitë janë 3·8=24 subjekt.

Zgjidhjet e shpallura mund të shkruhen shkurtimisht si (3·2)·4=6·4=24 ose 3·(2·4)=3·8=24.

Kështu, numri i kërkuar i objekteve është i barabartë me prodhimin e numrave 3 , 2 Dhe 4 , domethënë, 3·2·4=24.

Le të përmbledhim informacionin në këtë paragraf.

Shumëzimi i tre ose më shumë numrave natyrorë është një shumëzim sekuencial i dy numrave. Përveç kësaj, për shkak të vetive komutative dhe kombinuese të shumëzimit, faktorët mund të ndërrohen dhe çdo dy nga numrat që shumëzohen mund të zëvendësohen me produktin e tyre.

Shumëzimi i një shume me një numër natyror dhe një numri natyror me një shumë.

Mbledhja dhe shumëzimi i numrave janë të lidhur pronë distributive shumëzimi. Kjo veti ju lejon të studioni mbledhjen dhe shumëzimin së bashku, gjë që hap shumë më tepër mundësi sesa studimi i këtyre veprimeve veç e veç.

Ne formuluam vetinë e shpërndarjes së shumëzimit në lidhje me mbledhjen për dy terma: (a+b) c=a c+b c , a, b, c– numra natyrorë arbitrarë. Duke u nisur nga kjo barazi, mund të vërtetojmë vlefshmërinë e barazive (a+b+c) d=a d+b d+c d , (a+b+c+d) h=a h+b h+c h+d h etj., a, b, c, d, h– disa numra natyrorë.

Kështu, prodhimi i shumës së disa numrave dhe një numri të caktuar është i barabartë me shumën e prodhimeve të secilit prej termave dhe numrit të dhënë. Ky rregull mund të përdoret kur shumëzoni një shumë me një numër të caktuar.

Për shembull, le të shumëzojmë shumën e pesë numrave 7 , 2 , 3 , 8 , 8 për numër 3 . Le të përdorim rregullin që rezulton: (7+2+3+8+8) 3=7 3+2 3+3 3+8 3+8 3. Sepse 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, Kjo 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24. Mbetet për të llogaritur shumën e pesë numrave 21+6+9+24+24=84 .

Natyrisht, fillimisht ishte e mundur të llogaritet shuma e pesë numrave të dhënë dhe më pas të kryhet shumëzimi. Por në këtë rast do të na duhej të shumëzonim një numër dyshifror 7+2+3+8+8=28 për numër 3 , të cilën ne nuk dimë ende si ta bëjmë (do të flasim për shumëzimin e numrave të tillë më vonë në seksion).

Vetia komutative e shumëzimit na lejon të riformulojmë rregullin për shumëzimin e shumës së numrave me një numër të caktuar si më poshtë: prodhimi i një numri të caktuar dhe shuma e disa numrave është i barabartë me shumën e prodhimeve të një numri të caktuar dhe secili të kushteve. Ky është rregulli për shumëzimin e një numri të dhënë me një shumë.

Këtu është një shembull i përdorimit të rregullit për shumëzimin e një numri me një shumë: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20.

Le të shohim një problem, zgjidhja e të cilit zbret në shumëzimin e shumës së numrave me një numër të caktuar.

Çdo kuti përmban 3 e kuqe, 7 jeshile dhe 2 artikuj blu. Sa artikuj janë në katër kutitë?

Një kuti përmban 3+7+2 artikujt. Pastaj ka (3+7+2)·4 artikuj në katër kuti. Le të llogarisim produktin e shumës dhe numrit duke përdorur rregullin që rezulton: (3+7+2) 4=3 4+7 4+2 4=12+28+8=48.

48 artikujt.

Shumëzimi i një numri natyror me 10 , 100 , 1 000 e kështu me radhë.

Së pari, le të marrim rregullin për shumëzimin e një numri natyror arbitrar me 10 .

Numrat natyrorë 20 , 30 , …, 90 në thelb korrespondojnë 2 dhjetra, 3 dhjetra... 9 dhjetra, pra, 20=10+10 , 30=10+10+10 , ... Meqenëse shumëzimit të dy numrave natyrorë i dhamë kuptimin e shumës së termave identikë, kemi
2·10=20, 3·10=30, ..., 9·10=90.

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, arrijmë në barazitë e mëposhtme:
2·100=200, 3·100=300, ..., 9·100=900;
2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, ..., 9·1 000=9 000;
2·10000=20000, 3·10000=30000, ..., 9·10,000=90,000; ...

Meqenëse dhjetë dhjetëra janë njëqind, atëherë 10·10=100;
meqenëse dhjetëqind janë një mijë, atëherë 100·10=1000;
meqenëse dhjetë mijë janë dhjetë mijë, atëherë 1000·10=10000.
Duke vazhduar këto argumente, ne kemi 10000·10=100000, 100,000·10=1,000,000, …

Le të shohim tani një shembull që do të na lejojë të formulojmë një rregull për shumëzimin e një numri natyror arbitrar me dhjetë.

Shumëzoni një numër natyror 7 032 në 10 .

Për këtë numër 7 032 le ta paraqesim si një shumë terma bit, pas së cilës do të përdorim rregullin për shumëzimin e shumës me numrin që kemi marrë në paragrafin e mëparshëm të këtij neni: 7,032·10=(7,000+30+2)·10= 7,000·10+30·10+2· 10.

Sepse 7 000=7 1 000 Dhe 30=3·10, pastaj shuma që rezulton 7 000 10+30 10+2 10 e barabartë me shumën (7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10, dhe vetia shoqëruese e shumëzimit na lejon të shkruajmë barazinë e mëposhtme:
(7 1 000) 10+(3 10) 10+2 10= 7·(1000·10)+3·(10·10)+2·10.

Në bazë të rezultateve të shkruara para këtij shembulli, ne kemi 7·(1000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10,000+3·100+2·10= 70,000+300+20.

Shuma e marrë 70 000+300+20 paraqet zgjerimin në shifra të një numri 70 320 .

7032·10=70320.

Duke kryer veprime të ngjashme, çdo numër natyror mund të shumëzojmë me dhjetë. Në të njëjtën kohë, nuk është e vështirë të vërehet se si rezultat do të marrim numra, shkrimi i të cilëve do të ndryshojë nga shkrimi i numrit të shumëzuar vetëm në shifra. 0 , ndodhet ne te djathte.

Të gjitha konsideratat e mësipërme na lejojnë të shprehim rregulli për shumëzimin e një numri natyror arbitrar me dhjetë: nëse në shënimin e një numri natyror të dhënë, shtoni një shifër djathtas 0 , atëherë hyrja që rezulton do të korrespondojë me numrin që është rezultat i shumëzimit të këtij numri natyror me 10 .

Për shembull, 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79020·10=790200 etj.

Dhe tani, bazuar në rregullin e shumëzimit të një numri natyror me 10 , mund të marrim rregullat për shumëzimin e një numri natyror arbitrar me 100 , në 1 000 etj.

Sepse 100=10·10, pastaj shumëzojmë çdo numër natyror me 100 zbret në shumëzimin e këtij numri me 10 10 . Për shembull,
17·100=17·10·10=170·10=1700;
504·100=504·10·10=5040·10=50400;
100 497 100=100 497 10 10= 1 004 970 10=10 049 700.

Kjo do të thotë, nëse shtoni dy shifra në të djathtë të numrit që shumëzohet 0 , atëherë marrim rezultatin e shumëzimit të këtij numri me 100 . Kjo është ajo Rregulla për shumëzimin e një numri natyror me 100 .

Sepse 1 000=100·10, atëherë shumëzimi i çdo numri natyror me një mijë reduktohet në shumëzimin e këtij numri me 100 dhe më pas shumëzojmë rezultatin me 10 . Nga këto arsyetime rrjedh Rregulli për shumëzimin e një numri natyror arbitrar me 1 000 : nëse shtoni tre shifra në të djathtë të hyrjes së një numri 0 , atëherë marrim rezultatin e shumëzimit të këtij numri me një mijë.

Në mënyrë të ngjashme, kur shumëzohet një numër natyror me 10 000 , 100 000 dhe kështu me radhë, ju duhet të shtoni katër numra në të djathtë, përkatësisht 0 , pesë shifra 0 e kështu me radhë.

Për shembull,
58·1 000=58 000;
6,032 · 1,000,000=6,032,000,000;
777·10 000=7 770 000.

Shumëzimi i numrave natyrorë me shumë dhe njëvlerë.

Tani kemi të gjitha aftësitë e nevojshme për të kryer shumëzimin shumëshifror dhe njëshifror të numrave natyrorë.

Çfarë duhet bërë për këtë?

Le ta kuptojmë menjëherë me një shembull.

Shumëzoni një numër treshifror 763 në një numër njëshifror 5 , pra ne llogarisim produktin 763·5.

Së pari ju duhet të përfaqësoni një numër shumëshifror si një shumë e termave shifrorë. Në shembullin tonë 763=700+60+3 , atëherë kemi 763·5=(700+60+3)·5.

Tani aplikojmë: (700+60+3) 5=700 5+60 5+3 5.

Sepse 700=7·100 Dhe 60=6·10(për këtë folëm në paragrafin e mëparshëm), pastaj shumën 700·5+60·5+3·5 mund të shkruhet si (7 100) 5+(6 10) 5+3 5.

Për shkak të vetive komutative dhe kombinuese të shumëzimit, barazia e mëposhtme është e vërtetë: (7 100) 5+(6 10) 5+3 5= (5 7) 100+(5 6) 10+3 5 .

Sepse 5·7=35, 5·6=30 Dhe 3·5=15, pastaj (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15.

Gjithçka që mbetet është të shumëzohet me 100 dhe me radhë 10 , pastaj shtoni tre termat:
35 100+30 10+15= 3 500+300+15=3 815

Puna 763 Dhe 5 barazohet 3 815 .

Është e qartë se shumëzimi i një numri njëshifror me numër shumëshifror kryhet në mënyrë të ngjashme.

Për të konsoliduar materialin do t'i japim zgjidhjen një shembulli tjetër, por këtë herë do të bëjmë pa shpjegime.

3 Dhe 104 558 .

3 104 558= 3·(100,000+4,000+500+50+8)=
=3·100000+3·4000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100000+3·(4·1000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100000+(3·4)·1000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100000+12·1000+ 15 100+15 10+3 8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

Rezultati i shumëzimit të numrave 3 Dhe 104 558 është numri 313 674 .

Shumëzimi i dy numrave natyrorë shumëshifrorë.

Tani kemi ardhur në kulmin - shumëzimin e dy numrave natyrorë shumëshifrorë. Para së gjithash, duhet të zgjeroni një nga faktorët në shifra (zakonisht zgjerohet numri, rekordi i të cilit përbëhet nga një numër më i madh karakteresh), më pas përdorni rregullin për shumëzimin e një numri me një shumë (ose një shumë me një numër) . Llogaritjet e mëtejshme nuk do të shkaktojnë vështirësi nëse i keni zotëruar plotësisht informacionet në seksionet e mëparshme të këtij artikulli.

Le të shohim të gjitha fazat e shumëzimit të dy numrave natyrorë shumëshifrorë duke përdorur një shembull.

Llogaritni prodhimin e numrave 41 Dhe 3 806 .

Zgjerimi i numrit natyror 3 806 me shifra ka formën 3 000+800+6 , pra, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .

Le të zbatojmë rregullin e shumëzimit të një numri me një shumë: 41·(3,000+800+6)= 41·3,000+41·800+41·6.

Sepse 3000=3·1000 Dhe 800=8·100, atëherë barazia 41·3 000+41·800+41·6= është e vërtetë 41 · (3 · 1 000) + 41 · (8 · 100) + 41 · 6.

Vetia kombinuese e shumëzimit na lejon të rishkruajmë shumën e fundit në formën e mëposhtme (41·3)·1000+(41·8)·100+41·6.

Shumëzimi i një numri të plotë me një tjetër nënkupton përsëritjen e një numri aq herë sa tjetri përmban njësi. Të përsërisësh një numër do të thotë ta marrësh atë si shtesë disa herë dhe të përcaktosh shumën.

Përkufizimi i shumëzimit

Shumëzimi i numrave të plotë është një operacion në të cilin ju duhet të merrni një numër si shtesa aq herë sa një numër tjetër përmban njësi dhe të gjeni shumën e këtyre shtesave.

Të shumëzosh 7 me 3 do të thotë të marrësh numrin 7 si shtesë tre herë dhe të gjesh shumën. Shuma e kërkuar është 21.

Shumëzimi është mbledhja e kushteve të barabarta.

Të dhënat në shumëzim quhen shumëzues dhe shumëzues, dhe e nevojshme - puna.

Në shembullin e propozuar, të dhënat do të jenë shumëzuesi 7, shumëzuesi 3 dhe produkti i dëshiruar 21.

Shumëfishues. Një shumëzues është një numër që shumëzohet ose përsëritet me një shtesë. Një shumëfish shpreh madhësinë e termave të barabartë.

Faktori. Shumëzuesi tregon sa herë shumëzuesi përsëritet nga shtesa. Shumëzuesi tregon numrin e termave të barabartë.

Puna. Produkt është një numër që fitohet nga shumëzimi. Është shuma e kushteve të barabarta.

Shumëzuesi dhe shumëzuesi së bashku quhen prodhuesit.

Gjatë shumëzimit të numrave të plotë, një numër rritet me aq herë sa numri tjetër përmban njësi.

Shenja e shumëzimit. Veprimi i shumëzimit shënohet me shenjën × (kryq i tërthortë) ose. (pikë). Shenja e shumëzimit vendoset midis shumëzuesit dhe shumëzuesit.

Përsëritja e numrit 7 tri herë si përmbledhje dhe gjetja e shumës do të thotë 7 shumëzuar me 3. Në vend që të shkruani

Shkruani shkurt duke përdorur shenjën e shumëzimit:

7 × 3 ose 7 3

Shumëzimi është një mbledhje e shkurtuar e termave të barabartë.

Shenja ( × ) u prezantua nga Oughtred (1631), dhe shenja. Kristian Ujku (1752).

Marrëdhënia midis të dhënave dhe numrit të dëshiruar shprehet në shumëzim

me shkrim:

7 × 3 = 21 ose 7 3 = 21

verbalisht:

shtatë shumëzuar me tre është 21.

Për të bërë një produkt prej 21, duhet të përsërisni 7 tri herë

Për të bërë një faktor 3, duhet të përsërisni njësinë tre herë

Nga këtu kemi një përkufizim tjetër i shumëzimit: Shumëzimi është një veprim në të cilin një produkt përbëhet nga shumëzuesi në të njëjtën mënyrë si një faktor përbëhet nga një njësi.

Prona kryesore e veprës

Produkti nuk ndryshon për shkak të ndryshimit të rendit të prodhuesve.

Dëshmi. Të shumëzosh 7 me 3 do të thotë të përsërisësh 7 tri herë. Duke zëvendësuar 7 me shumën e 7 njësive dhe duke i futur ato në rend vertikal, kemi:

Kështu, kur shumëzojmë dy numra, mund të konsiderojmë njërin nga dy prodhuesit si shumëzues. Mbi këtë bazë quhen prodhuesit faktorët ose thjesht shumëzuesit.

Metoda më e zakonshme e shumëzimit është shtimi i termave të barabartë; por nëse prodhuesit janë të mëdhenj, kjo teknikë çon në llogaritje të gjata, kështu që vetë llogaritja rregullohet ndryshe.

Shumëzimi i numrave njëshifrorë. Tabela e Pitagorës

Për të shumëzuar dy numra njëshifrorë, duhet të përsërisni një numër si shtesë aq herë sa tjetri përmban njësi dhe të gjeni shumën e tyre. Meqenëse shumëzimi i numrave të plotë çon në shumëzimin e numrave njëshifrorë, ata krijojnë një tabelë prodhimesh të të gjithë numrave njëshifrorë në çifte. Një tabelë e tillë e të gjitha prodhimeve të numrave njëshifrorë në çift quhet tabela e shumëzimit.

Shpikja e saj i atribuohet filozofit grek Pitagorës, pas të cilit quhet Tabela e Pitagorës. (Pitagora lindi rreth vitit 569 p.e.s.).

Për të krijuar këtë tabelë, duhet të shkruani 9 numrat e parë në një rresht horizontal:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pastaj nën këtë rresht ju duhet të nënshkruani një seri numrash që shprehin prodhimin e këtyre numrave me 2. Kjo seri numrash do të fitohet kur në rreshtin e parë të shtojmë secilin numër në vetvete. Nga rreshti i dytë i numrave kalojmë në mënyrë sekuenciale në 3, 4, etj. Çdo rresht i mëpasshëm fitohet nga ai i mëparshmi duke i shtuar numrat e rreshtit të parë.

Duke vazhduar ta bëjmë këtë deri në rreshtin 9, marrim tabelën e Pitagorës në formën e mëposhtme

Për të përdorur këtë tabelë për të gjetur prodhimin e dy numrave njëshifrorë, duhet të gjeni një prodhues në rreshtin e parë horizontal dhe tjetrin në kolonën e parë vertikale; atëherë produkti i kërkuar do të jetë në kryqëzimin e kolonës dhe rreshtit përkatës. Kështu, produkti 6 × 7 = 42 është në kryqëzimin e rreshtit të 6-të dhe kolonës së 7-të. Prodhimi i zeros dhe një numri dhe një numri dhe zero prodhon gjithmonë zero.

Meqenëse shumëzimi i një numri me 1 jep vetë numrin dhe ndryshimi i renditjes së faktorëve nuk e ndryshon prodhimin, të gjitha prodhimet e ndryshme të dy numrave njëshifrorë të cilëve duhet t'u kushtoni vëmendje gjenden në tabelën e mëposhtme:

Produktet e numrave njëshifrorë që nuk përfshihen në këtë tabelë merren nga të dhënat nëse ndryshohet vetëm rendi i faktorit në to; pra 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Shumëzimi i një numri shumëshifror me një numër njëshifror

Shumëzimi i numrit 8094 me 3 tregohet duke nënshkruar shumëzuesin nën shumëzuesin, duke vendosur një shenjë shumëzimi në të majtë dhe duke tërhequr një vijë për të ndarë produktin.

Shumëzimi i numrit shumëshifror 8094 me 3 nënkupton gjetjen e shumës së tre anëtarëve të barabartë

prandaj, për të shumëzuar, duhet të përsërisni të gjitha rendet e një numri shumëshifror tri herë, domethënë të shumëzoni me 3 njësi, dhjetëra, qindra, etj. Mbledhja fillon me një, prandaj, shumëzimi duhet të fillojë me një dhe më pas të lëvizë. nga e djathta në të majtë në njësi të rendit më të lartë.

Në këtë rast, ecuria e llogaritjeve shprehet verbalisht:

Fillojmë shumëzimin me njësi: 3 × 4 është e barabartë me 12, ne shënojmë 2 nën njësitë dhe aplikojmë njësinë (1 dhjetë) në produktin e rendit të ardhshëm sipas faktorit (ose e mbajmë mend atë në mendjen tonë).

Shumëzimi i dhjetësheve: 3 × 9 është 27, por 1 në kokën tuaj është 28; Ne nënshkruajmë në kokë dhjetëshen 8 dhe 2.

Duke shumëzuar qindra: Zero e shumëzuar me 3 jep zero, por 2 në kokën tuaj është 2, ne shënojmë 2 nën qindëshet.

Duke shumëzuar mijëra: 3 × 8 = 24, ne nënshkruajmë plotësisht 24, sepse nuk kemi porositë e mëposhtme.

Ky veprim do të shprehet me shkrim:

Nga shembulli i mëparshëm nxjerrim përfundimin rregulli tjetër. Për të shumëzuar një numër shumëshifror me një numër njëshifror, ju duhet:

Nënshkruani shumëzuesin nën njësitë e shumëzuesit, vendosni një shenjë shumëzimi në të majtë dhe vizatoni një vijë.

Filloni shumëzimin me njësi të thjeshta, më pas, duke lëvizur nga e djathta në të majtë, shumëzoni radhazi dhjetëra, qindra, mijëra, etj.

Nëse, gjatë shumëzimit, prodhimi shprehet si një numër njëshifror, atëherë ai shënohet nën shifrën e shumëzuar të shumëzuesit.

Nëse prodhimi shprehet si një numër dyshifror, atëherë shifra e njësive nënshkruhet në të njëjtën kolonë dhe shifra e dhjetësheve i shtohet produktit të rendit pasardhës me faktor.

Shumëzimi vazhdon derisa të merret produkti i plotë.

Duke shumëzuar numrat me 10, 100, 1000...

Shumëzimi i numrave me 10 nënkupton shndërrimin e njësive të thjeshta në dhjetëshe, dhjetëshet në qindëshe etj., domethënë rritjen e renditjes së të gjithë numrave me një. Kjo arrihet duke shtuar një zero në të djathtë. Të shumëzosh me 100 do të thotë të rritësh të gjitha rendet e madhësisë së asaj që shumëzohet me dy njësi, domethënë të kthesh njësitë në qindra, dhjetëra në mijëra, etj.

Kjo arrihet duke shtuar dy zero në numër.

Nga këtu konkludojmë:

Për të shumëzuar një numër të plotë me 10, 100, 1000 dhe në përgjithësi me 1 me zero, duhet të shtoni aq zero djathtas sa ka në faktor.

Shumëzimi i numrit 6035 me 1000 mund të shprehet me shkrim:

Kur shumëzuesi është një numër që mbaron me zero, vetëm shifrat domethënëse nënshkruhen nën shumëzuesin dhe zerot e shumëzuesit shtohen djathtas.

Për të shumëzuar 2039 me 300, duhet të merrni numrin 2029 duke e shtuar 300 herë. Të marrësh 300 terma është njësoj si të marrësh tre herë 100 terma ose 100 herë tre terma. Për ta bërë këtë, shumëzojeni numrin me 3, dhe më pas me 100, ose shumëzojeni fillimisht me 3, dhe më pas shtoni dy zero në të djathtë.

Ecuria e llogaritjes do të shprehet me shkrim:

Rregulli. Për të shumëzuar një numër me një tjetër, të përfaqësuar me një shifër me zero, fillimisht duhet të shumëzoni shumëzuesin me numrin e shprehur me shifrën domethënëse dhe më pas të shtoni aq zero sa ka në shumëzues.

Shumëzimi i një numri shumëshifror me një numër shumëshifror

Për të shumëzuar një numër shumëshifror 3029 me një shumëshifror 429, ose për të gjetur produktin 3029 * 429, duhet të përsërisni shtesën 3029 429 herë dhe të gjeni shumën. Përsëritja e 3029 me termat 429 herë do të thotë ta përsërisësh me termat fillimisht 9, pastaj 20 dhe në fund 400 herë. Prandaj, për të shumëzuar 3029 me 429, duhet të shumëzoni 3029 fillimisht me 9, pastaj me 20 dhe në fund me 400 dhe të gjeni shumën e këtyre tre produkteve.

Tre vepra

quhen punët private.

Produkti i përgjithshëm 3029 × 429 është i barabartë me shumën e tre koeficientëve:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Le të gjejmë vlerat e këtyre tre produkteve të pjesshme.

Duke shumëzuar 3029 me 9, gjejmë:

3029 × 9 27261 vepër e parë private

Duke shumëzuar 3029 me 20, gjejmë:

3029 × 20 60580 punë e dytë e veçantë

Duke shumëzuar 3026 me 400, gjejmë:

3029 × 400 1211600 punim i tretë i pjesshëm

Duke shtuar këto produkte të pjesshme, marrim produktin 3029 × 429:

Nuk është e vështirë të vërehet se të gjitha këto produkte të pjesshme janë produkte të numrit 3029 by numrat njëshifrorë 9, 2, 4 dhe një zero i shtohet produktit të dytë, që rezulton nga shumëzimi me dhjetëra, dhe dy zero në të tretën.

Zerat e caktuara për prodhimet e pjesshme hiqen gjatë shumëzimit dhe ecuria e llogaritjes shprehet me shkrim:

Në këtë rast, kur shumëzoni me 2 (shifra e dhjetësheve të shumëzuesit), shënoni 8 nën dhjetëshe ose lëvizni majtas me një shifër; kur shumëzoni me qindëshet, shifra 4, shënoni 6 në kolonën e tretë ose lëvizni majtas me 2 shifra. Në përgjithësi, çdo vepër e veçantë fillon të nënshkruhet nga e djathta në të majtë, sipas renditjes së cilës i përket shifra e shumëzuesit.

Duke kërkuar për produktin e 3247 me 209, ne kemi:

Këtu fillojmë të nënshkruajmë produktin e dytë koeficient nën kolonën e tretë, pasi ai shpreh prodhimin e 3247 me 2, shifra e tretë e shumëzuesit.

Këtu kemi hequr vetëm dy zero, të cilat duhet të shfaqen në prodhimin e dytë të pjesshëm, pasi ai shpreh prodhimin e një numri me 2 qindra ose me 200.

Nga gjithë sa u tha, ne nxjerrim një rregull. Për të shumëzuar një numër shumëshifror me një numër shumëshifror,

ju duhet të nënshkruani shumëzuesin nën shumëzuesin në mënyrë që numrat e të njëjtave urdhra të jenë në të njëjtën kolonë vertikale, vendosni një shenjë shumëzimi në të majtë dhe vizatoni një vijë.

Shumëzimi fillon me njësi të thjeshta, pastaj lëviz nga e djathta në të majtë, duke shumëzuar shumëzuesin sekuencial me shifrën e dhjetësheve, qindësheve etj. dhe duke krijuar aq prodhime të pjesshme sa ka shifra domethënëse në shumëzues.

Njësitë e çdo prodhimi të pjesshëm nënshkruhen nën kolonën së cilës i përket shifra e shumëzuesit.

Të gjitha produktet e pjesshme të gjetura në këtë mënyrë mblidhen së bashku dhe fitohet produkti total.

Për të shumëzuar një numër shumëshifror me një faktor që mbaron me zero, duhet të hidhni zero në faktor, të shumëzoni me numrin e mbetur dhe më pas t'i shtoni produktit aq zero sa ka faktori.

Shembull. Gjeni produktin e 342 me 2700.

Nëse shumëzuesi dhe shumëzuesi përfundojnë të dy me zero, gjatë shumëzimit ato hidhen dhe pastaj produktit i shtohen aq zero sa përmbahen në të dy prodhuesit.

Shembull. Duke llogaritur prodhimin e 2700 me 35000, ne shumëzojmë 27 me 35

Duke shtuar pesë zero në 945, marrim produktin e dëshiruar:

2700 × 35000 = 94500000.

Numri i shifrave të produktit. Numri i shifrave të produktit 3728 × 496 mund të përcaktohet si më poshtë. Ky produkt është më shumë se 3728 × 100 dhe më pak se 3728 × 1000. Numri i shifrave të prodhimit të parë 6 është i barabartë me numrin e shifrave në shumëzuesin 3728 dhe në shumëzuesin 496 pa një. Numri i shifrave të prodhimit të dytë 7 është i barabartë me numrin e shifrave në shumëzues dhe në shumëzues. Një produkt i caktuar prej 3728 × 496 nuk mund të ketë shifra më të vogla se 6 (numri i shifrave të produktit është 3728 × 100 dhe më shumë se 7 (numri i shifrave të produktit është 3728 × 1000).

Ku konkludojmë: numri i shifrave të çdo produkti është ose i barabartë me numrin e shifrave në shumëzues dhe në faktor, ose i barabartë me këtë numër pa njësi.

Produkti ynë mund të përmbajë 7 ose 6 shifra.

Diplomat

Ndër veprat e ndryshme, vëmendje të veçantë meritojnë ato në të cilat prodhuesit janë të barabartë. Kështu, për shembull:

2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.

Sheshe. Prodhimi i dy faktorëve të barabartë quhet katrori i një numri.

Në shembujt tanë, 4 është katrori 2, 9 është katrori 3.

kube. Prodhimi i tre faktorëve të barabartë quhet kubi i një numri.

Pra, në shembujt 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, numri 8 është kubi i 2, 27 është kubi i 3.

fare quhet prodhimi i disa faktorëve të barabartëfuqia e numrit . Fuqitë i marrin emrat e tyre nga numri i faktorëve të barabartë.

Produktet e dy faktorëve të barabartë ose katrore quhen shkallët e dyta.

Produktet e tre faktorëve të barabartë ose kube quhen shkallët e treta, etj.