Ekuacioni i lëvizjes së një oshilatori harmonik. Oscilator harmonik ideal

Trupat që kur lëvizin kryejnë lëkundje harmonike quhen oshilatorë harmonikë. Le të shohim një numër shembujsh të oshilatorëve harmonikë.

Shembulli 1. Lavjerrësi pranveror është një trup me masëm, i aftë të lëkundet nën veprimin e një force elastike pa peshë (m burimet  m trupi ) susta (Fig. 4.2).

T

Fig.4.3. Lavjerrësi fizik.

Shembulli 2. Lavjerrësi fizik është një trup i ngurtë që lëkundet nën ndikimin e gravitetit rreth një boshti horizontal lëvizës që nuk përkon me qendrën e tij të gravitetit C (Fig. 4. 3). Boshti kalon nëpër pikën O. Nëse lavjerrësi devijohet nga pozicioni i ekuilibrit me një kënd të vogël  dhe lirohet, ai do të lëkundet, duke ndjekur ekuacionin bazë për dinamikën e lëvizjes rrotulluese të një trupi të ngurtë.
, Ku J- momenti i inercisë lavjerrësi në lidhje me boshtin, M është momenti i forcës që e kthen lavjerrësin fizik në pozicionin e ekuilibrit. Është krijuar nga graviteti, momenti i tij është i barabartë me
(l=OS). Si rezultat marrim
. Ky është ekuacioni i dridhjeve diferenciale për kënde arbitrare devijimet. Në kënde të vogla, kur
,
ose, duke marrë
, marrim ekuacionin diferencial të lëkundjes së një lavjerrësi fizik
.
Zgjidhjet e tij kanë formën
ose
dhe periudha
.

. Kështu, për devijime të vogla nga pozicioni i ekuilibrit, lavjerrësi fizik kryen lëkundje harmonike me një frekuencë ciklike. Shembulli 3.mLavjerrësi matematikor është një pikë materiale me masëm(një top i rëndë me përmasa të vogla), i varur në një pa peshë (krahasuar mel. top), fije elastike, e pazgjatshme e gjatë momenti i inercisë së një pike materiale J = ml 2, atëherë nga formulat për një lavjerrës fizik marrim shprehje për frekuencën ciklike dhe periudhën e lëkundjes së një lavjerrësi matematikor

,
.

4. 4. Lëkundjet e amortizuara. @

Në shembujt e konsideruar të lëkundjeve harmonike, e vetmja forcë që vepron pika materiale(trupi), ishte forcë kuazi-elastike F dhe nuk mori parasysh forcat e rezistencës që janë të pranishme në çdo sistem real. Prandaj, lëkundjet e konsideruara mund të quhen luhatje harmonike ideale të pamposhtura.

Prania e një force rezistence nga mjedisi në një sistem real oscilues çon në një ulje të energjisë së sistemit. Nëse humbja e energjisë nuk plotësohet përmes punës së forcave të jashtme, lëkundjet do të shuhen. Lëkundjet e amortizuara janë ato, amplituda e të cilave zvogëlohet me kalimin e kohës.

Le të shqyrtojmë lëkundjet e lira të amortizuara. Në shpejtësi të ulëta, forca e tërheqjes F C është proporcionale me shpejtësinë v dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me të në drejtim
, ku r - koeficienti i tërheqjes mjedisi. Duke përdorur Ligji i dytë i Njutonit, marrim ekuacionin diferencial lëkundjet e amortizuara
,
,
. Le të shënojmë
,
. Atëherë ekuacioni diferencial merr formën:

Fig.4.4. Varësia e zhvendosjes dhe amplitudës së lëkundjeve të amortizuara nga koha.

Ky është një ekuacion diferencial i lëkundjeve të amortizuara. Këtu  0 është frekuenca natyrore e lëkundjeve të sistemit, d.m.th. frekuenca e lëkundjeve të lira në r=0,  - koeficienti i amortizimit përcakton shpejtësinë e uljes së amplitudës. Zgjidhjet e këtij ekuacioni në kushtin  0 janë

ose
.

Grafiku i funksionit të fundit është paraqitur në figurën 4.4. Vija e sipërme me pika jep grafikun e funksionit
, A 0 - amplitudë në momenti i fillimit koha. Amplituda zvogëlohet me kalimin e kohës sipas një ligji eksponencial,  - koeficienti i dobësimit është i kundërt në madhësi koha e relaksimit , d.m.th. kohë gjatë së cilës amplituda zvogëlohet për e herë, pasi

,
, = 1, . Frekuenca dhe periudha e lëkundjeve të amortizuara
,
; në rezistencë shumë të ulët të mediumit ( 2  0 2), periudha e lëkundjes është pothuajse e barabartë me
.

Me rritjen e  rritet periudha e lëkundjes dhe në > 0, zgjidhja e ekuacionit diferencial tregon se lëkundjet nuk ndodhin, por ndodh lëvizja monotone e sistemit drejt pozicionit të ekuilibrit. Kjo lloj lëvizje quhet aperiodike. Për të karakterizuar shkallën e dobësimit të lëkundjeve, përdoren dy parametra të tjerë: zvogëlimi i amortizimit D dhe . zvogëlimi logaritmik

Zvogëlimi i amortizimit tregon sa herë zvogëlohet amplituda e lëkundjeve gjatë një periudhe T.

N

Sepse , Kjo
, ku N është numri i lëkundjeve në kohë.

Lëkundjet e një oshilatori harmonik Oscilator harmonik thirrur objekt fizik, evolucioni i të cilit me kalimin e kohës përshkruhet nga ekuacioni diferencial

Ku q- koordinata e përgjithësuar e oshilatorit harmonik, t- koha,? – frekuenca karakteristike e një oshilatori harmonik. Dy pika mbi variablin tregojnë derivatin e dytë në lidhje me kohën. Madhësia q kryerja e lëkundjeve harmonike.
Problemi i luajtjes së një oshilatori harmonik rol qendror si në klasike ashtu edhe fizika kuantike.
Sasi e madhe sistemet fizike sillen si oshilatorë harmonikë me devijime të vogla nga ekuilibri. Këto përfshijnë matematikore dhe lavjerrëse fizike, dridhjet e atomeve në molekula dhe të ngurta, qarqet osciluese elektrike dhe shumë të tjera.
Lëkundjet e vogla të një lavjerrës janë harmonike

Funksioni i Energjisë, Lagranzhit dhe Hamiltonit
Energjia kinetike oshilator harmonik jepet nga shprehja

Energjia potenciale e një oshilatori harmonik jepet nga shprehja

Prandaj, duke marrë parasysh vlerën q koordinata e përgjithësuar, shkruhet funksioni Lagranzh i oshilatorit harmonik

.

Impuls i përgjithësuar

Funksioni i Hamiltonit

.

Dridhjet e detyruara
Nën ndikimin e një force të jashtme periodike me një frekuencë që nuk përkon domosdoshmërisht me frekuencën natyrore të oshilatorit harmonik, oshilatori kryen lëkundje harmonike, amplituda e të cilave përcaktohet nga vlera forca e jashtme dhe raporti i frekuencës së jashtme dhe frekuencës natyrore të oshilatorit.
Lëkundjet e detyruara të një oshilatori harmonik me frekuencë? 0 nën ndikimin e një force me një frekuencë të përshkruar nga ekuacioni

Ku f 0 - amplituda e forcës së jashtme.
Një zgjidhje e veçantë e këtij ekuacioni që përshkruan lëkundjet e detyruara ka formën

.

Një oshilator harmonik nën ndikimin e një force të jashtme kryen lëkundje harmonike me një amplitudë . Kur amplituda lëkundjet e detyruara priret në pafundësi. Ky fenomen quhet rezonancë.
Oscilator harmonik me zbutje
Kur merren parasysh forcat e fërkimit ose rezistencës së një lloji tjetër, që çon në shpërndarjen e energjisë së oshilatorit dhe shndërrimin e tij në nxehtësi, ndryshon ekuacioni i oshilatorit harmonik. Në veçanti, një rast shumë i zakonshëm është kur forcat e rezistencës janë proporcionale me shkallën e ndryshimit të sasisë q. Atëherë ekuacioni i oshilatorit harmonik merr formën

Lëkundje të tilla prishen me kalimin e kohës sipas ligjit

Lëkundjet e detyruara të një oshilatori harmonik me amortizimin
Nën veprimin e një force të jashtme periodike, edhe me zbutje, krijohen lëkundje harmonike për oshilatorin me një amplitudë që varet nga forca e aplikuar, raporti i frekuencës dhe gjithashtu nga sasia e zbutjes.
Amplituda e lëkundjeve të detyruara, duke marrë parasysh amortizimin, përcaktohet nga formula

.

Kjo është një vlerë e kufizuar në të gjitha frekuencat e forcës së jashtme.
Një lavjerrës matematik me një devijim të vogël fillestar nga vertikali kryen lëkundje harmonike me një frekuencë

Qarku oscilues oshilator harmonik, me frekuencë

Ku L është induktiviteti, C është kapaciteti.
Shikoni Oscilatorin kuantik për më shumë detaje.
Spektri eigenvlerat dhe funksionet e veta
Funksionet valore gjashtë gjendjet e para me numra kuantikë nga n= 0 deri në 5. Koordinata e përgjithësuar paraqitet në boshtin e ordinatave Hamiltoniani i oshilatorit harmonik fitohet duke zëvendësuar momentin në funksionin Hamiltonian. fq në

.

Spektri i oshilatorit harmonik është me ekuacioni i palëvizshëm Schrödinger dhe jepet me formulë

.

Këtu n– numri kuantik, varion nga zero në pafundësi. Nivelet e energjisë së oshilatorit harmonik janë të barabarta. Tipar karakteristik oshilator harmonik është se edhe në gjendjen bazë oshilatori harmonik ka energji jo zero

Kjo energji e ulët quhet energji me pikë zero.
Funksionet e veta oshilator harmonik që i përgjigjet numrit kuantik n jepen me formula

,

Ku, A Hn(x)– Polinome hermite.
Kur edhe n eigjenfunksionet e oshilatorit harmonik janë çift, ndërsa për Nepranu janë tek. Hamiltoniani i oshilatorit harmonik lëviz me operatorin zëvendësues x në - x(operatori i barazisë), dhe për këtë arsye ka eigenfunksione të përbashkëta me këtë operator.
Operatorët e lindjes dhe shkatërrimit
Nëse përcaktojmë operatorin e lindjes

Dhe operatori i shkatërrimit

,

.

Operatorët e krijimit dhe të shkatërrimit plotësojnë relacionin e komutimit:

Eigenfunksionet e oshilatorit harmonik atëherë kanë formën

Ose, duke përdorur shënimin e vektorit ket dhe sytjena:

Veprimi total i operatorit të lindjes në operatorin harmonik është në gjendjen | n> çon në një kalim në gjendjen | n +1>:

Veprimi i operatorit të shkatërrimit ndaj shtetit | n> çon në një kalim në gjendjen | n-1>:

Operatori

Quhet operatori i numrit të grimcave sepse lidhja vlen për të.

Rregullat e përzgjedhjes
Kur një foton emetohet ose absorbohet, kalimet e lejuara për një oshilator harmonik janë ato në të cilat numri kuantik n ndryshon me një. Duke marrë parasysh natyrën e barabartë të largësisë së niveleve, ky rregull përzgjedhjeje çon në faktin se, pavarësisht numër i pafund nivelet, në spektër absorbimi optik apo ka vetëm një linjë rrezatimi nga një oshilator harmonik me një frekuencë?
Në spektrat reale vibruese të molekulave, devijimet nga ky rregull janë të mundshme për shkak të anharmonisë së potencialit real të ndërveprimit ndëratomik, tranzicioneve katërpolëshe, etj.

Oscilator harmonik

Oscilator harmonik(në mekanikën klasike) - një sistem që, kur zhvendoset nga një pozicion ekuilibri, përjeton një forcë rivendosëse F, proporcionale me zhvendosjen x(sipas ligjit të Hooke):

Ku k- koeficienti i ngurtësisë së sistemit.

Nëse Fështë e vetmja forcë që vepron në sistem, atëherë sistemi quhet thjeshtë ose oshilator konservativ harmonik. Dridhjet e lira të një sistemi të tillë janë lëvizje periodike pranë pozicionit të ekuilibrit (dridhjet harmonike). Frekuenca dhe amplituda janë konstante dhe frekuenca nuk varet nga amplituda.

Shembuj mekanikë të një oshilatori harmonik janë një lavjerrës matematik (me kënde të vogla devijimi), një lavjerrës rrotullues dhe sisteme akustike. Ndër analogët e tjerë të një oshilatori harmonik, vlen të theksohet oshilatori harmonik elektrik (shih qarkun LC).

Dridhje të lira

Oscilator harmonik konservator

Si model i një oshilatori harmonik konservator, marrim një ngarkesë në masë m, të siguruara në një burim nga ngurtësia k .

Le x- zhvendosja e ngarkesës në raport me pozicionin e ekuilibrit. Pastaj, sipas ligjit të Hooke, një forcë rivendosëse do të veprojë mbi të:

Pastaj energji totale ka një vlerë konstante

Lëvizje e thjeshtë harmonike- kjo është lëvizja e një të thjeshtë oshilator harmonik, lëvizje periodike që nuk është as e detyruar dhe as e amortizuar. Një trup në lëvizje të thjeshtë harmonike i ekspozohet një force të vetme të ndryshueshme, e cila në vlerë absolute është drejtpërdrejt proporcionale me zhvendosjen x nga pozicioni i ekuilibrit dhe drejtohet në drejtim të kundërt.

Kjo lëvizje është periodike: trupi lëkundet rreth pozicionit të ekuilibrit sipas një ligji sinusoidal. Çdo lëkundje e mëvonshme është e njëjtë me atë të mëparshme, dhe periudha, frekuenca dhe amplituda e lëkundjeve mbeten konstante. Nëse supozojmë se pozicioni i ekuilibrit është në një pikë me koordinatë, e barabartë me zero, pastaj kompensimi x trupi nga pozicioni i ekuilibrit në çdo kohë jepet me formulën:

Ku A- amplituda e lëkundjeve, f- frekuenca, φ - faza fillestare.

Frekuenca e lëvizjes përcaktohet vetitë karakteristike sistemi (për shembull, masa e një trupi në lëvizje), ndërsa amplituda dhe faza fillestare përcaktohen nga kushtet fillestare - zhvendosja dhe shpejtësia e trupit në momentin që fillojnë lëkundjet. Nga këto veti dhe kushte varen edhe energjitë kinetike dhe potenciale të sistemit.

Lëvizja e thjeshtë harmonike mund të jetë modele matematikore lloje të ndryshme lëvizje të tilla si lëkundjet e një sustë. Raste të tjera që mund të konsiderohen përafërsisht si lëvizje e thjeshtë harmonike janë lëvizja e një lavjerrës dhe dridhjet e molekulave.

Lëvizja e thjeshtë harmonike është baza e disa mënyrave për të analizuar llojet më komplekse të lëvizjes. Një nga këto metoda është metoda e bazuar në transformimin Furier, thelbi i së cilës zbret në zgjerimin e më shumë lloj kompleks lëvizjet në një sërë lëvizjesh të thjeshta harmonike.

Çdo sistem në të cilin ndodh lëvizje e thjeshtë harmonike ka dy veti kryesore:

1. Kur një sistem hidhet jashtë ekuilibrit, duhet të ketë një forcë rivendosëse që tenton ta kthejë sistemin në ekuilibër.
2. Forca rivendosëse duhet të jetë saktësisht ose afërsisht proporcionale me zhvendosjen.

Sistemi ngarkesë-sustë i plotëson të dyja këto kushte.

Pasi një ngarkesë e zhvendosur i nënshtrohet një force rivendosëse, ajo përshpejtohet dhe tenton të kthehet në pozicionin e saj origjinal. pikënisje, pra në pozicionin e ekuilibrit. Ndërsa ngarkesa i afrohet pozicionit të ekuilibrit, forca e rivendosjes zvogëlohet dhe tenton në zero. Megjithatë, në situatën x = 0 ngarkesa ka një sasi të caktuar lëvizjeje (impulsi), e fituar për shkak të veprimit të forcës rivendosëse. Prandaj, ngarkesa tejkalon pozicionin e ekuilibrit, duke filluar të deformojë përsëri sustën (por tashmë në drejtim të kundërt). Forca e rivendosjes do të tentojë ta ngadalësojë atë derisa shpejtësia të bëhet zero; dhe forca përsëri do të përpiqet ta kthejë ngarkesën në pozicionin e saj të ekuilibrit.

Për sa kohë që nuk ka humbje energjie në sistem, ngarkesa do të lëkundet siç përshkruhet më sipër; një lëvizje e tillë quhet periodike.

Analiza e mëtejshme do të tregojë se në rastin e një sistemi ngarkesë-sustë, lëvizja është e thjeshtë harmonike.

Dinamika e thjeshtë lëvizje harmonike

Për dridhjet në hapësirën njëdimensionale, duke marrë parasysh Ligjin e Dytë të Njutonit ( F= m  d² x/d t² ) dhe ligji i Hukut ( F = −kx, siç përshkruhet më sipër), kemi një ekuacion diferencial linear të rendit të dytë:

Zgjidhja e këtij ekuacioni diferencial është sinusoidale; një zgjidhje është:

Ku A, ω dhe φ - konstante, dhe pozicioni i ekuilibrit merret si ai fillestar. Secila nga këto konstante përfaqëson një të rëndësishme pronë fizike lëvizjet: Aështë amplituda, ω = 2π f- frekuenca rrethore, dhe φ - faza fillestare.

Lëvizja rrethore universale

Lëvizja e thjeshtë harmonike në disa raste mund të konsiderohet si një projeksion njëdimensional i lëvizjes rrethore universale. Nëse një objekt lëviz me një shpejtësi këndore konstante ω përgjatë një rrethi me rreze r, qendra e së cilës është origjina e aeroplanit x−y, atëherë një lëvizje e tillë përgjatë secilit prej boshtet koordinativeështë harmonik i thjeshtë me amplitudë r dhe frekuencë rrethore ω.

Një peshë si një lavjerrës i thjeshtë

Në përafrimin e këndeve të vogla, lëvizja e një lavjerrësi të thjeshtë është afër harmonisë së thjeshtë. Periudha e lëkundjes së një lavjerrës të tillë të ngjitur në një shufër me gjatësi ℓ me nxitim rënia e lirë g jepet nga formula

Kjo tregon se periudha e lëkundjes nuk varet nga amplituda dhe masa e lavjerrësit, por varet nga nxitimi i gravitetit. g Prandaj, me të njëjtën gjatësi të lavjerrësit, në Hënë ai do të lëkundet më ngadalë, pasi graviteti është më i dobët atje dhe më pak vlerë nxitimi i rënies së lirë.

Ky përafrim është i saktë vetëm për kënde të vogla devijimi, pasi shprehja për nxitimin këndor është proporcionale me sinusin e koordinatës:

çfarë bën nxitimi këndor drejtpërdrejt proporcionale me këndin θ, dhe kjo plotëson përkufizimin e lëvizjes së thjeshtë harmonike.

Oscilator harmonik i amortizuar

Duke marrë si bazë të njëjtin model, do t'i shtojmë forcën e fërkimit viskoz. Forca e fërkimit viskoz drejtohet kundër shpejtësisë së lëvizjes së ngarkesës në raport me mediumin dhe është proporcionale me këtë shpejtësi. Pastaj fuqi të plotë, duke vepruar në ngarkesë, shkruhet si më poshtë:

Duke kryer veprime të ngjashme, marrim një ekuacion diferencial duke përshkruar oshilator i amortizuar:

Këtu futet emërtimi: . Koeficienti quhet konstanta e zbutjes. Ka edhe dimensionin e frekuencës.

Zgjidhja ndahet në tre raste.

Amortizimi kritik është i jashtëzakonshëm në atë që është në amortizimin kritik që oshilatori tenton më shpejt në pozicionin e ekuilibrit. Nëse fërkimi është më pak se kritik, ai do të arrijë pozicionin e ekuilibrit më shpejt, por do ta "tejkalojë" atë për shkak të inercisë dhe do të lëkundet. Nëse fërkimi është më i madh se kritik, atëherë oshilatori do të priret në mënyrë eksponenciale në pozicionin e ekuilibrit, por sa më ngadalë, aq më i madh është fërkimi.

Prandaj, në treguesit e numrit (për shembull, në ampermetra), ata zakonisht përpiqen të paraqesin zbutje kritike në mënyrë që leximet e tij të lexohen sa më shpejt që të jetë e mundur.

Zbutja e një oshilatori shpesh karakterizohet gjithashtu nga një parametër pa dimension i quajtur faktori i cilësisë. Faktori i cilësisë zakonisht shënohet me shkronjën . Sipas përkufizimit, faktori i cilësisë është i barabartë me:

Sa më i lartë të jetë faktori i cilësisë, aq më i ngadalshëm zbehet lëkundjet e oshilatorit.

Një oshilator me amortizimin kritik ka një faktor cilësie prej 0.5. Prandaj, faktori i cilësisë tregon sjelljen e oshilatorit. Nëse faktori i cilësisë është më i madh se 0,5, atëherë lëvizja e lirë e oshilatorit paraqet lëkundje; Me kalimin e kohës, ai do të kalojë pozicionin e ekuilibrit një numër të pakufizuar herë. Një faktor cilësie më i vogël ose i barabartë me 0,5 korrespondon me lëvizjen jo-oshiluese të oshilatorit; V lëvizjen e lirë ai do të kalojë pozicionin e ekuilibrit më së shumti një herë.

Faktori i cilësisë quhet ndonjëherë faktori i fitimit të oshilatorit, pasi me disa metoda të ngacmimit, kur frekuenca e ngacmimit përkon me atë rezonante, amplituda e lëkundjeve rezulton të jetë afërsisht herë më e madhe se kur ngacmohet në një frekuencë të ulët.

Gjithashtu, faktori i cilësisë është afërsisht i barabartë me numrin e cikleve osciluese gjatë të cilave amplituda e lëkundjes zvogëlohet me një faktor, shumëzuar me .

Në rast lëvizje osciluese dobësimi karakterizohet gjithashtu nga parametra të tillë si:

• Koha e jetës dridhjet (aka koha e kalbjes, është e njëjta gjë koha e relaksimit) τ - koha gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve do të ulet në e një herë.

Dridhjet e detyruara

Lëkundjet e oshilatorit quhen të detyruara kur mbi të aplikohet ndonjë ndikim i jashtëm shtesë. Ky efekt mund të prodhohet me mjete të ndryshme dhe nga ligje të ndryshme. Për shembull, ngacmimi i forcës është efekti në një ngarkesë të një force që varet vetëm nga koha sipas një ligji të caktuar. Ngacmimi kinematik është efekti në oshilator nga lëvizja e pikës së lidhjes së sustës përgjatë ligji i dhënë. Është gjithashtu e mundur të ndikohet nga fërkimi, kur, për shembull, mjeti me të cilin ngarkesa përjeton fërkim lëviz sipas një ligji të caktuar.

Zbulime në fushën kuantike dhe fusha të tjera. Në të njëjtën kohë, janë duke u shpikur pajisje dhe pajisje të reja përmes të cilave është e mundur të kryhet studime të ndryshme dhe të shpjegojë dukuritë e mikrobotës. Një nga mekanizmat e tillë është një oshilator harmonik, parimi i funksionimit të të cilit ishte i njohur për përfaqësuesit e qytetërimeve antike.

Pajisja dhe llojet e saj

Një oshilator harmonik është sistemi mekanik, në lëvizje, e cila përshkruhet nga një diferencial me koeficientë vlerë konstante. Shumica shembuj të thjeshtë pajisje të tilla - një ngarkesë në një pranverë, një lavjerrës, sisteme akustike, lëvizje grimcat molekulare etj.

Në mënyrë konvencionale, mund të dallohen llojet e mëposhtme të kësaj pajisjeje:

Aplikimi i pajisjes

Kjo pajisje përdoret në fusha të ndryshme, kryesisht për studimin e natyrës sistemet osciluese. Një oshilator kuantik harmonik përdoret për të studiuar sjelljen e elementeve të fotonit. Rezultatet e eksperimenteve mund të përdoren në fusha të ndryshme. Kështu, fizikanët nga një institut amerikan zbuluan se atomet e beriliumit të vendosur në distanca mjaft të mëdha nga njëri-tjetri mund të ndërveprojnë në nivelin kuantik. Për më tepër, sjellja e këtyre grimcave është e ngjashme me trupat (topat metalikë) në makrokozmos, duke lëvizur në një mënyrë reciproke përpara, të ngjashme me një oshilator harmonik. Jonet e beriliumit, pavarësisht se janë fizikisht distanca të gjata, shkëmbyen njësitë më të vogla të energjisë (kuantat). Ky zbulim bën të mundur avancimin e ndjeshëm të teknologjive të TI-së, si dhe ofron një zgjidhje të re në prodhimin e pajisjeve kompjuterike dhe elektronike.

Në vlerësim përdoret oshilatori harmonik vepra muzikore. Kjo metodë quhet ekzaminim spektroskopik. U zbulua se sistemi më i qëndrueshëm është një përbërje e katër muzikantëve (kuartet). A vepra moderne Shumica e tyre janë anharmonike.

Një oshilator harmonik është një grimcë që i nënshtrohet lëvizjes njëdimensionale nën veprimin e një force pothuajse elastike. Energjia potenciale e një grimce të tillë ka formën

Duke shprehur k në formulën (27.1) në terma të

Prandaj, në rastin njëdimensional, ekuacioni i Shrodingerit (shih (21.5)) për oshilatorin duket si ky:

Energjia totale, oshilator). Në teori ekuacionet diferenciale vërtetohet se ekuacioni (27.2) ka zgjidhje të fundme, të paqarta dhe të vazhdueshme për vlerat e parametrit E të barabartë me

Në Fig. 27.1 tregon diagramin nivelet e energjisë oshilator harmonik. Për qartësi, nivelet janë të gdhendura në kurbë energji potenciale. Megjithatë, duhet mbajtur mend se në mekanika kuantike energjia totale nuk mund të paraqitet si shuma e energjive të përcaktuara saktësisht T dhe U (shih paragrafin e fundit të paragrafit të mëparshëm).

Nivelet e energjisë së një oshilatori harmonik janë të barabarta, d.m.th., të vendosura në të njëjtën distancë nga njëri-tjetri. Më së paku kuptimi i mundshëm energjia është e barabartë me . Kjo vlerë quhet energji me pikë zero.

Ekzistenca e energjisë me pikë zero konfirmohet nga eksperimentet që studiojnë shpërndarjen e dritës nga kristalet në temperaturat e ulëta. Rezulton se intensiteti i dritës së shpërndarë nuk priret në zero me uljen e temperaturës, por në një farë vlerën përfundimtare, duke treguar se kur zero absolute dridhjet e atomeve në rrjetë kristali mos u ndal.

Mekanika kuantike na lejon të llogarisim probabilitetet tranzicione të ndryshme sistemi kuantik nga një shtet në tjetrin. Llogaritjet e tilla tregojnë se për një oshilator harmonik janë të mundshme vetëm kalimet midis niveleve ngjitur. Gjatë kalimeve të tilla, numri kuantik ndryshon me një:

Kushtet e vendosura për ndryshime numrat kuantikë gjatë kalimeve të sistemit nga një gjendje në tjetrën, quhen rregullat e përzgjedhjes.

Kështu, për një oshilator harmonik ekziston një rregull përzgjedhjeje i shprehur me formulën (27.4).

Nga rregulli (27.4) rrjedh se energjia e një oshilatori harmonik mund të ndryshojë vetëm në pjesë /rto. Ky rezultat, i cili merret natyrshëm në mekanikën kuantike, përkon me atë që është shumë i huaj për fizikës klasike një supozim që Planck duhej të bënte për të llogaritur emetimin e një trupi plotësisht të zi (shih § 7). Vini re se Planck supozoi se energjia e një oshilatori harmonik mund të jetë vetëm një shumëfish integral i Ha. Në realitet, ka gjithashtu energji zero, ekzistenca e së cilës u vërtetua vetëm pas krijimit të mekanikës kuantike.