Ekuacioni i lëvizjes së një oshilatori harmonik ka formën. §15

Modeli më i thjeshtë i lëvizjes vibruese të atomeve në një molekulë diatomike mund të jetë një sistem me dy masa T/ dhe w?, të lidhur me një pranverë elastike. Dridhja e dy atomeve në lidhje me qendrën e masës mund të zëvendësohet nga dridhja e një ekuivalenti

masë në raport me fillestarin pikë zero R= 0, ku

R- distanca midis masave, R e- pozicioni i pikës së ekuilibrit.

Në konsideratën klasike, supozohet se susta është ideale - forca elastike F është drejtpërdrejt proporcionale me deformimin - devijimi nga ekuilibri x = R-R e, sipas ligjit të Hukut:

Ku te- konstante elasticiteti. Kështu, forca drejtohet drejt kthimit në pozicionin e ekuilibrit.

Përdorimi i ligjeve të Hukut dhe Njutonit së bashku (F-ta), mund të shkruhet:

(duke treguar). Zgjidhja e një ekuacioni të tillë dihet të jetë

shërbejnë funksione harmonike

Ku xo- amplituda, dhe

Duke përdorur masën e reduktuar /l marrim:

Një masë e energjisë potenciale të një sistemi V i shërben punës

NË Mekanika kuantike analiza e lëvizjes osciluese për një model të thjeshtë të një oshilatori harmonik është mjaft komplekse. Ai bazohet në zgjidhjen e ekuacionit të Shrodingerit

(y/- funksioni i valës vibruese, E - energji totale grimca) dhe është përtej qëllimit të prezantimit tonë.

Për një oshilator kuantik është e mundur vetëm seri diskrete vlerat e energjisë E dhe frekuencat në përputhje me formulën E=hv. Për më tepër, vlera minimale e energjisë së oshilatorit nuk është zero. Kjo sasi quhet energji zero, korrespondon me nivelin më të ulët të energjisë të oshilatorit dhe është i barabartë me , ekzistenca e tij mund të shpjegohet bazuar në relacionin e pasigurisë së Heisenberg.

Kështu, në përputhje me Mekanika kuantike energjia e oshilatorit harmonik kuantizohet:

Ku v- oshiluese numër kuantik, e cila mund të marrë vlerën y=0, 1, 2, 3,....

Kur një oshilator ndërvepron me kuantet rrezatimi elektromagnetik duhet të merren parasysh tre faktorë: 1) popullsia e niveleve (probabiliteti për të gjetur një molekulë në një të caktuar niveli i energjisë); 2) rregulli i frekuencës (Bohr), sipas të cilit energjia e një kuantike duhet të korrespondojë me ndryshimin në energjinë e çdo dy niveli;

3) rregulli i përzgjedhjes për tranzicionet kuantike: probabiliteti i tranzicionit, d.m.th. intensiteti i vijave në spektrin e absorbimit përcaktohet nga sasia Momenti i dipolit të tranzicionit (shih hyrje teorike). Në rastin e oshilatorit harmonik më të thjeshtë, rregulli i përzgjedhjes merret nga shqyrtimi i funksioneve valore. Ai thotë se kalimet mund të ndodhin vetëm midis niveleve ngjitur ("një hap"): numri kuantik vibrues ndryshon me një Av= 1. Meqenëse distancat midis niveleve ngjitur janë të njëjta, spektri i absorbimit të një oshilatori harmonik duhet të përmbajë vetëm një linjë me një frekuencë

Meqenëse, në përputhje me shpërndarjen Boltzmann në temperaturën e dhomës dhe më shumë temperaturat e ulëta niveli më i ulët vibrues është i populluar, atëherë tranzicioni më intensiv është nga shumë nivel i ulët(d=0), dhe frekuenca e kësaj linje përkon me frekuencën e kalimeve më të dobëta nga nivelet më të larta në nivelin fqinj, më të lartë.

Grafikët e funksioneve të valëve oshilator harmonike për kuptime të ndryshme energjitë janë paraqitur në figurën 2.3. Ato paraqesin zgjidhje të ekuacionit të Shrodingerit për një oshilator harmonik

Ku N, - faktori normalizues, H 0- polinomet hermite, x = R-R e- devijimi nga pozicioni i ekuilibrit.

Momenti i dipolit të tranzicionit për tranzicionet vibruese, R0(ose M“) e barabartë me:

Ku ju - moment dipol molekula; hezitim

funksionet valore të ngurta të gjendjeve fillestare dhe përfundimtare, përkatësisht. Nga formula është e qartë se kalimi lejohet,

nëse në pikën e ekuilibrit - momenti dipol i molekulës

ndryshon pranë pozicionit të pikës së ekuilibrit, (kurba ju=f(R) nuk kalon maksimumin në këtë pikë). Integrali (faktori i dytë në formulë) gjithashtu nuk duhet të jetë i barabartë me zero. Mund të tregohet se ky kusht plotësohet nëse kalimi ndodh midis niveleve ngjitur, pra rregull shtesë përzgjedhje Ai = 1.

Në rastin e molekulave diatomike, spektri vibrues mund të vërehet vetëm për molekulat heteronukleare nuk ka moment dipoli dhe nuk ndryshon gjatë dridhjeve. Spektrat vibrues të CO2 shfaqin dridhje (shtrirje dhe përkulje antisimetrike), në të cilat ndryshon momenti i dipolit, por dridhjet simetrike, në të cilat ai mbetet i pandryshuar, nuk shfaqen.

Oscilator harmonik

Oscilator harmonik(në mekanikën klasike) - një sistem që, kur zhvendoset nga një pozicion ekuilibri, përjeton një forcë rivendosëse F, proporcionale me zhvendosjen x(sipas ligjit të Hooke):

Ku k- koeficienti i ngurtësisë së sistemit.

Nëse Fështë e vetmja forcë që vepron në sistem, atëherë sistemi quhet thjeshtë ose oshilator konservativ harmonik. Lëkundjet e lira të një sistemi të tillë paraqesin lëvizje periodike rreth pozicionit të ekuilibrit (lëkundjet harmonike). Frekuenca dhe amplituda janë konstante dhe frekuenca nuk varet nga amplituda.

Shembuj mekanikë të një oshilatori harmonik janë një lavjerrës matematik (me kënde të vogla devijimi), një lavjerrës rrotullues dhe sisteme akustike. Ndër analogët e tjerë të oshilatorit harmonik, vlen të theksohet elektriciteti oshilator harmonik(shih qarkun LC).

Dridhje të lira

Oscilator harmonik konservator

Si model i një oshilatori harmonik konservator, marrim një ngarkesë në masë m, fiksuar në burim nga ngurtësia k .

Le x- zhvendosja e ngarkesës në raport me pozicionin e ekuilibrit. Pastaj, sipas ligjit të Hooke, një forcë rivendosëse do të veprojë mbi të:

Pastaj energji totale ka një vlerë konstante

E thjeshtë lëvizje harmonike - kjo është lëvizja e një të thjeshtë oshilator harmonik, lëvizje periodike që nuk është as e detyruar dhe as e amortizuar. Një trup në lëvizje të thjeshtë harmonike i ekspozohet një force të vetme të ndryshueshme, e cila është drejtpërdrejt proporcionale me zhvendosjen në madhësi x nga pozicioni i ekuilibrit dhe drejtohet në drejtim të kundërt.

Kjo lëvizje është periodike: trupi lëkundet rreth pozicionit të ekuilibrit sipas një ligji sinusoidal. Çdo lëkundje e mëvonshme është e njëjtë me atë të mëparshme, dhe periudha, frekuenca dhe amplituda e lëkundjeve mbeten konstante. Nëse supozojmë se pozicioni i ekuilibrit është në një pikë me koordinatë, e barabartë me zero, pastaj kompensimi x trupi nga pozicioni i ekuilibrit në çdo kohë jepet me formulën:

Ku A- amplituda e lëkundjeve, f- frekuenca, φ - faza fillestare.

Frekuenca e lëvizjes përcaktohet vetitë karakteristike sistemi (për shembull, masa e një trupi në lëvizje), ndërsa amplituda dhe faza fillestare përcaktohen nga kushtet fillestare - zhvendosja dhe shpejtësia e trupit në momentin që fillojnë lëkundjet. Nga këto veti dhe kushte varen edhe energjitë kinetike dhe potenciale të sistemit.

Lëvizja e thjeshtë harmonike mund të jetë modele matematikore lloje të ndryshme lëvizje të tilla si lëkundjet e një sustë. Raste të tjera që mund të konsiderohen përafërsisht si lëvizje e thjeshtë harmonike janë lëvizja e një lavjerrës dhe dridhja e molekulave.

Lëvizja e thjeshtë harmonike është baza e disa mënyrave për të analizuar llojet më komplekse të lëvizjes. Një nga këto metoda është metoda e bazuar në transformimin Furier, thelbi i së cilës zbret në zgjerimin e më shumë lloj kompleks lëvizjet në një sërë lëvizjesh të thjeshta harmonike.

Çdo sistem në të cilin ndodh lëvizje e thjeshtë harmonike ka dy veti kryesore:

1. Kur një sistem hidhet jashtë ekuilibrit, duhet të ketë një forcë rivendosëse që tenton ta kthejë sistemin në ekuilibër.
2. Forca rivendosëse duhet të jetë saktësisht ose afërsisht proporcionale me zhvendosjen.

Sistemi ngarkesë-sustë i plotëson të dyja këto kushte.

Pasi një ngarkesë e zhvendosur i nënshtrohet një force rivendosëse, ajo përshpejtohet dhe tenton të kthehet në pozicionin e saj origjinal. pikënisje, pra në pozicionin e ekuilibrit. Ndërsa ngarkesa i afrohet pozicionit të ekuilibrit, forca e rivendosjes zvogëlohet dhe tenton në zero. Megjithatë, në situatën x = 0 ngarkesa ka një sasi të caktuar lëvizjeje (impulsi), e fituar për shkak të veprimit të forcës rivendosëse. Prandaj, ngarkesa tejkalon pozicionin e ekuilibrit, duke filluar të deformojë përsëri sustën (por tashmë në drejtim i kundërt). Forca e rivendosjes do të tentojë ta ngadalësojë atë derisa shpejtësia të bëhet zero; dhe forca përsëri do të përpiqet të kthejë ngarkesën në pozicionin e saj të ekuilibrit.

Për sa kohë që nuk ka humbje energjie në sistem, ngarkesa do të lëkundet siç përshkruhet më sipër; një lëvizje e tillë quhet periodike.

Analiza e mëtejshme do të tregojë se në rastin e një sistemi ngarkesë-sustë, lëvizja është e thjeshtë harmonike.

Dinamika e lëvizjes së thjeshtë harmonike

Për dridhjet në hapësirën njëdimensionale, duke marrë parasysh Ligjin e Dytë të Njutonit ( F= m  d² x/d t² ) dhe ligji i Hukut ( F = −kx, siç përshkruhet më sipër), kemi një ekuacion diferencial linear të rendit të dytë:

Zgjidhja e këtij ekuacioni diferencial është sinusoidale; një zgjidhje është:

Ku A, ω dhe φ janë madhësi konstante, dhe pozicioni i ekuilibrit merret si ai fillestar. Secila nga këto konstante përfaqëson një të rëndësishme pronë fizike lëvizjet: Aështë amplituda, ω = 2π f- frekuenca rrethore, dhe φ - faza fillestare.

Lëvizja rrethore universale

Lëvizja e thjeshtë harmonike në disa raste mund të konsiderohet si një projeksion njëdimensional i lëvizjes rrethore universale. Nëse një objekt lëviz me një shpejtësi këndore konstante ω përgjatë një rrethi me rreze r, qendra e së cilës është origjina e aeroplanit x−y, atëherë një lëvizje e tillë përgjatë secilit prej boshtet koordinativeështë harmonik i thjeshtë me amplitudë r dhe frekuencë rrethore ω.

Një peshë si një lavjerrës i thjeshtë

Në kënde të vogla lëvizja lavjerrës i thjeshtëështë afër harmonisë së thjeshtë. Periudha e lëkundjes së një lavjerrës të tillë të bashkangjitur në një shufër me gjatësi ℓ me nxitim renie e lire g jepet nga formula

Kjo tregon se periudha e lëkundjes nuk varet nga amplituda dhe masa e lavjerrësit, por varet nga nxitimi i gravitetit. g Prandaj, me të njëjtën gjatësi të lavjerrësit, në Hënë ai do të lëkundet më ngadalë, pasi graviteti është më i dobët atje dhe më pak vlerë nxitimi i rënies së lirë.

Ky përafrim është i saktë vetëm për kënde të vogla devijimi, pasi shprehja për nxitimin këndor është proporcionale me sinusin e koordinatës:

çfarë po bën ai nxitimi këndor drejtpërdrejt proporcionale me këndin θ, dhe kjo plotëson përkufizimin e lëvizjes së thjeshtë harmonike.

Oscilator harmonik i amortizuar

Duke marrë si bazë të njëjtin model, do t'i shtojmë forcën e fërkimit viskoz. Forca e fërkimit viskoz drejtohet kundër shpejtësisë së lëvizjes së ngarkesës në raport me mediumin dhe është proporcionale me këtë shpejtësi. Pastaj fuqi të plotë, duke vepruar në ngarkesë, shkruhet si më poshtë:

Kryerja e veprimeve të ngjashme, ne marrim ekuacioni diferencial, duke përshkruar një oshilator të amortizuar:

Këtu futet emërtimi: . Koeficienti quhet konstanta e zbutjes. Ka edhe dimensionin e frekuencës.

Zgjidhja ndahet në tre raste.

Amortizimi kritik është i jashtëzakonshëm në atë që është në amortizimin kritik që oshilatori tenton më shpejt në pozicionin e ekuilibrit. Nëse fërkimi është më pak se kritik, ai do të arrijë pozicionin e ekuilibrit më shpejt, por do ta "tejkalojë" atë për shkak të inercisë dhe do të lëkundet. Nëse fërkimi është më i madh se kritik, atëherë oshilatori do të priret në mënyrë eksponenciale në pozicionin e ekuilibrit, por sa më ngadalë, aq më i madh është fërkimi.

Prandaj, në treguesit e numrit (për shembull, në ampermetra), ata zakonisht përpiqen të paraqesin zbutje kritike në mënyrë që leximet e tij të lexohen sa më shpejt që të jetë e mundur.

Zbutja e një oshilatori shpesh karakterizohet gjithashtu nga një parametër pa dimension i quajtur faktori i cilësisë. Faktori i cilësisë zakonisht shënohet me shkronjën . Sipas përkufizimit, faktori i cilësisë është i barabartë me:

Sa më i lartë të jetë faktori i cilësisë, aq më ngadalë zbehet lëkundjet e oshilatorit.

Një oshilator me amortizimin kritik ka një faktor cilësie prej 0.5. Prandaj, faktori i cilësisë tregon sjelljen e oshilatorit. Nëse faktori i cilësisë është më i madh se 0,5, atëherë lëvizja e lirë e oshilatorit paraqet lëkundje; Me kalimin e kohës, ai do të kalojë pozicionin e ekuilibrit një numër të pakufizuar herë. Një faktor cilësie më i vogël ose i barabartë me 0,5 korrespondon me lëvizjen jo-oshiluese të oshilatorit; V lëvizjen e lirë ai do të kalojë pozicionin e ekuilibrit më së shumti një herë.

Faktori i cilësisë quhet ndonjëherë faktori i fitimit të oshilatorit, pasi me disa metoda të ngacmimit, kur frekuenca e ngacmimit përkon me atë rezonante, amplituda e lëkundjes rezulton të jetë afërsisht herë më e madhe se kur ngacmohet në një frekuencë të ulët.

Gjithashtu, faktori i cilësisë është afërsisht i barabartë me numrin e cikleve osciluese gjatë të cilave amplituda e lëkundjes zvogëlohet me një faktor, shumëzuar me .

Në rastin e lëvizjes osciluese, amortizimi karakterizohet gjithashtu nga parametra të tillë si:

• Jetëgjatësia dridhjet (aka koha e kalbjes, është e njëjta koha e relaksimit) τ - koha gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve do të ulet në e një herë.

Dridhjet e detyruara

Lëkundjet e oshilatorit quhen të detyruara kur mbi të aplikohet ndonjë ndikim i jashtëm shtesë. Ky efekt mund të prodhohet me mjete të ndryshme dhe nga ligje të ndryshme. Për shembull, ngacmimi i forcës është efekti në një ngarkesë të një force që varet vetëm nga koha sipas një ligji të caktuar. Ngacmimi kinematik është efekti në oshilator nga lëvizja e pikës së lidhjes së sustës përgjatë ligji i dhënë. Është gjithashtu e mundur të ndikohet nga fërkimi, kur, për shembull, mjeti me të cilin ngarkesa përjeton fërkim lëviz sipas një ligji të caktuar.

Leksioni 1

LËSHTIMET. VALËT. OPTIKA

Shkencëtarët e parë që studiuan lëkundjet ishin Galileo Galilei dhe Christiaan Huygens. Galileo vendosi pavarësinë e periudhës së lëkundjes nga amplituda. Huygens shpiku orën me lavjerrës.

Çdo sistem që, kur shqetësohet pak nga pozicioni i tij ekuilibër, shfaq lëkundje të qëndrueshme quhet oshilator harmonik. NË fizikës klasike sisteme të tilla janë një lavjerrës matematikor brenda këndeve të vogla të devijimit, një ngarkesë brenda amplitudave të vogla të lëkundjes, qark elektrik, përbërë nga elementet lineare kapaciteti dhe induktiviteti.

(1.1.1)

Ku X A

Shpejtësia e një pike materiale lëkundëse

A

.

Nëse një proces që përsëritet periodikisht përshkruhet nga ekuacione që nuk përkojnë me (1.1.1), ai quhet anharmonik. Një sistem që kryen lëkundje anharmonike quhet oshilator anharmonik.

1.1.2 . Dridhjet e lira të sistemeve me një shkallë lirie. Forma komplekse përfaqësimi dridhjet harmonike

Në natyrë, lëkundjet e vogla që një sistem bën pranë pozicionit të tij ekuilibër janë shumë të zakonshme. Nëse një sistem i hequr nga një pozicion ekuilibri lihet në vetvete, d.m.th., asnjë forcë e jashtme nuk vepron mbi të, atëherë një sistem i tillë do të funksionojë i lirë. lëkundjet e pamposhtura. Le të shqyrtojmë një sistem me një shkallë lirie.

q

,

Ku

, (1.1.4)

Shprehja (1.1.5) përkon me ekuacionin (1.1.3) të lëkundjeve të lira harmonike, me kusht që

,

, Ku A=Xe-iα

1.1.3 . Shembuj lëvizjet osciluese të ndryshme natyra fizike

Oscilator harmonik. Pranvera, lavjerrëse fizike dhe matematikore

Oscilator harmonik quhet një sistem që lëkundet, i përshkruar nga një ekuacion i formës (140.6);

Lëkundjet e një oshilatori harmonik janë shembull i rëndësishëm lëvizje periodike dhe shërbejnë si model i saktë ose i përafërt në shumë problema të klasike dhe fizika kuantike. Shembuj të një oshilatori harmonik janë lavjerrëset e pranverës, fizike dhe matematikore, qark oscilues(për rrymat dhe tensionet aq të vogla sa elementët e qarkut mund të konsiderohen linearë).

1. Lavjerrësi pranveror- është një ngarkesë në masë T, pezulluar në një burim absolutisht elastik dhe duke kryer lëkundje harmonike nën veprim forcë elastike F = - kx, Ku k- ngurtësi e pranverës. Ekuacioni i lëvizjes së lavjerrësit

Nga shprehjet (142.1) dhe (140.1) rezulton se lavjerrësi i sustës kryen lëkundje harmonike sipas ligjit. x=A me s (w 0 t + j) me frekuencë ciklike

Formula (142.3) është e vlefshme për dridhjet elastike brenda kufijve brenda të cilëve plotësohet ligji i Hukut (shih (21.3)), d.m.th., kur masa e sustës është e vogël në krahasim me masën e trupit. Energji potenciale lavjerrës pranveror, sipas (141.5) dhe (142.2), është e barabartë me

2. Lavjerrësi fizik- një trup i ngurtë që, nën ndikimin e gravitetit, lëkundet rreth një të palëvizshme boshti horizontal, duke kaluar nëpër pikë RRETH, që nuk përkon me qendrën e masës ME trupat (Fig. 201).

Nëse lavjerrësi anohet nga pozicioni i tij ekuilibër me një kënd të caktuar a, atëherë, në përputhje me ekuacionin e dinamikës së lëvizjes rrotulluese të një trupi të ngurtë (18.3), momenti M fuqia rivendosëse mund të shkruhet si

Ku J- momenti i inercisë së lavjerrësit në lidhje me boshtin që kalon nëpër pikën e pezullimit Oh, unë - distanca midis tij dhe qendrës së masës së lavjerrësit, F t = – mg sin a » – shumë. - rikthimi i forcës (shenja minus është për faktin se drejtimet Ft Dhe a gjithmonë përballë; mëkat a » a i përgjigjet lëkundjeve të vogla të lavjerrësit, d.m.th. devijime të vogla të lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit). Ekuacioni (142.4) mund të shkruhet si

identike me (142.1), zgjidhja e së cilës (140.1) dihet:

Nga shprehja (142.6) rezulton se për lëkundje të vogla lavjerrësi fizik kryen lëkundje harmonike me një frekuencë ciklike w 0 (shih (142.5)) dhe period

Ku L=J/(ml) - gjatësia e reduktuar lavjerrës fizik.

Pika RRETH' në vazhdim të vijës së drejtë OS, larg nga pika RRETH pezullimi i lavjerrësit në një distancë të gjatësisë së dhënë L, thirrur qendër lëkundjeje lavjerrësi fizik (Fig. 201). Duke zbatuar teoremën e Shtajnerit (16.1), marrim

dmth. OO' gjithmonë më shumë OS. Pika e pezullimit RRETH lavjerrësi dhe qendra e lëkundjes RRETH' kanë vetia e këmbyeshmërisë: nëse pika e pezullimit zhvendoset në qendër të lëkundjes, atëherë pika e mëparshme RRETH pezullimi

do të bëhet qendra e re e lëkundjes dhe periudha e lëkundjes së lavjerrësit fizik nuk do të ndryshojë.

3. Lavjerrësi matematik- Kjo idealizuar sistem i përbërë nga një pikë materiale me masë T, i varur në një fije pa peshë të pazgjatur dhe që lëkundet nën ndikimin e gravitetit. Përafrim i mirë lavjerrës matematikështë një top i vogël i rëndë i varur në një fije të gjatë të hollë. Momenti i inercisë së lavjerrësit matematik

Ku l- gjatësia e lavjerrësit.

Meqenëse një lavjerrës matematik mund të paraqitet si rast i veçantë lavjerrës fizik, duke supozuar se e gjithë masa e saj është e përqendruar në një pikë - qendra e masës, atëherë, duke zëvendësuar shprehjen (142.8) në formulën (1417), marrim një shprehje për periudhën e lëkundjeve të vogla të një lavjerrës matematikor

Duke krahasuar formulat (142.7) dhe (142.9), shohim se nëse gjatësia e reduktuar L lavjerrësi fizik është i barabartë me gjatësinë l lavjerrës matematik, atëherë periudhat e lëkundjes së këtyre lavjerrësve janë të njëjta. Prandaj, gjatësia e reduktuar e një lavjerrësi fizik- kjo është gjatësia e një lavjerrësi të tillë matematikor, periudha e lëkundjeve të së cilës përkon me periudhën e lëkundjeve të një lavjerrësi të caktuar fizik.

Oscilator harmonik ideal. Ekuacioni ideal i oshilatorit dhe zgjidhja e tij. Amplituda, frekuenca dhe faza e lëkundjeve

LËSHTIMET

VIBRACIONET HARMONIKE

Oscilator harmonik ideal. Ekuacioni ideal i oshilatorit dhe zgjidhja e tij. Amplituda, frekuenca dhe faza e lëkundjeve

Lëkundjet janë një nga proceset më të zakonshme në natyrë dhe teknologji. Lëkundjet janë procese që përsëriten me kalimin e kohës. Hezitoni ndërtesa të larta dhe telat e tensionit të lartë nën ndikimin e erës, lavjerrësi i orës së plagosur dhe një makine në burime gjatë vozitjes, niveli i lumit gjatë gjithë vitit dhe temperatura Trupi i njeriut në rast sëmundjeje. Tingulli është luhatje në presionin e ajrit, valët e radios janë ndryshime periodike tensioni elektrik dhe fushë magnetike, drita është gjithashtu dridhjet elektromagnetike. Tërmetet - dridhjet e tokës, zbaticat dhe rrjedhat - ndryshimet në nivelet e deteve dhe oqeaneve të shkaktuara nga tërheqja e hënës, etj.

Lëkundjet mund të jenë mekanike, elektromagnetike, kimike, termodinamike etj. Pavarësisht nga një diversitet i tillë, të gjitha lëkundjet përshkruhen nga të njëjtat ekuacione diferenciale.

Një oshilator harmonik mund të konsiderohet linear nëse zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit është drejtpërdrejt proporcionale me forcën shqetësuese. Frekuenca e lëkundjes së një oshilatori harmonik nuk varet nga amplituda. Për një oshilator, parimi i mbivendosjes është i plotësuar - nëse veprojnë disa forca shqetësuese, atëherë efekti i veprimit të tyre total mund të merret si rezultat i shtimit të efekteve nga forcat aktive veçmas.

Lëkundjet harmonike përshkruhen nga ekuacioni (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Ku X- zhvendosja e një sasie lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit, A- amplituda e lëkundjeve, e barabartë me vlerën zhvendosja maksimale, - faza e lëkundjeve, e cila përcakton zhvendosjen në momentin e kohës, - faza fillestare, e cila përcakton madhësinë e zhvendosjes në momentin fillestar të kohës, - frekuencën ciklike të lëkundjeve.

Koha e një lëkundjeje të plotë quhet periudha, , ku është numri i lëkundjeve të përfunduara gjatë kohës.

Frekuenca e lëkundjeve përcakton numrin e lëkundjeve të kryera për njësi të kohës është e lidhur me frekuencën ciklike nga relacioni , pastaj perioda.

Kështu, shpejtësia dhe nxitimi i oshilatorit harmonik gjithashtu ndryshon sipas ligji harmonik me amplituda dhe përkatësisht. Në këtë rast, shpejtësia është përpara zhvendosjes në fazë me , dhe nxitimit me (Fig. 1.1.2).

Nga krahasimi i ekuacioneve të lëvizjes së një oshilatori harmonik (1.1.1) dhe (1.1.2) rezulton se, ose

Ky ekuacion diferencial i rendit të dytë quhet ekuacioni i oshilatorit harmonik. Zgjidhja e tij përmban dy konstante A dhe , të cilat përcaktohen nga detyra kushtet fillestare

.

Balancë e qëndrueshme korrespondon me një pozicion të sistemit në të cilin ai energji potenciale ka një minimum ( q– koordinata e përgjithësuar e sistemit). Devijimi i sistemit nga pozicioni i ekuilibrit çon në shfaqjen e një force që tenton ta kthejë sistemin prapa. Vlera e koordinatës së përgjithësuar që korrespondon me pozicionin e ekuilibrit shënohet me , pastaj devijimi nga pozicioni i ekuilibrit

Ne do të numërojmë energjinë potenciale nga vlerë minimale. Le të pranojmë funksionin që rezulton, ta zgjerojmë atë në një seri Maclaurin dhe të lëmë termin e parë të zgjerimit, kemi: o

,

Ku . Pastaj, duke marrë parasysh shënimet e paraqitura:

, (1.1.4)

Duke marrë parasysh shprehjen (1.1.4) për forcën që vepron në sistem, marrim:

Sipas ligjit të dytë të Njutonit, ekuacioni i lëvizjes së sistemit ka formën:

dhe ka dy zgjidhje të pavarura: dhe kështu vendim të përbashkët:

,

Nga formula (1.1.6) rezulton se frekuenca përcaktohet vetëm pronat e veta sistemi mekanik dhe nuk varet nga amplituda dhe kushtet fillestare të lëvizjes.

Varësia e koordinatave të një sistemi oscilues nga koha mund të përcaktohet në formën e pjesës reale shprehje komplekse , Ku A=Xe-iα– amplituda komplekse, moduli i tij përkon me amplituda e zakonshme, dhe argumenti i tij përkon me fazën fillestare.

Manuali i kimistit 21

Kimia dhe teknologjia kimike

Ligji harmonik i lëvizjes

Mekanike, në të cilën lëvizja rrotulluese shndërrohet në lëvizje lëkundëse (kryesisht mekanizmat ekscentrikë dhe me kamerë). Ligji i lëvizjes së lidhjes së shtyrë mund të jetë afër harmonisë. Këta ngacmues përdoren në disa lloje ekranesh, centrifuga vibruese dhe miksera krimbash.

NË mekanika klasike për të gjetur ligjin e lëvizjes së një sistemi pikash (koordinatat qi si funksione të kohës), është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve të Njutonit. Me një sistem koordinativ të zgjedhur në mënyrë arbitrare, zgjidhja e përgjithshme e këtyre ekuacioneve me potencial (VII, 7) nuk çon në formën harmonike të q (t). Megjithatë, është e lehtë të tregohet se me ndihmën e kombinimeve lineare të koordinatave q, - është e mundur të ndërtohen koordinata të reja, secila prej të cilave ndryshon sipas një ligji harmonik me një frekuencë të caktuar (c. Koordinata të tilla

Në të vërtetë, dridhjet e dy atomeve të lidhur me një lidhje janë të ngjashme me dridhjet e një çifti sferash të mbajtura së bashku nga një burim. Për ndërrime të vogla, forca rivendosëse është proporcionale me zhvendosjen dhe nëse një sistem i tillë vihet në lëvizje, lëkundjet do të përshkruhen me ligjin e lëvizjes së thjeshtë harmonike.

Kushtet më të mira të funksionimit të rigjeneratorit do të krijoheshin nëse pistoni nuk do të bënte një lëvizje harmonike, por do të ndalonte në fund të çdo goditjeje. Megjithatë, një efikasitet mjaft i lartë mund të arrihet duke përdorur, për shkak të thjeshtësisë së tij, ligjin harmonik të lëvizjes së pistonit.

Kur heziton Ambienti i punës në një tubacion ose në ndonjë kanal tjetër presioni, shpërndarja e shpejtësive të rrjedhës mbi seksionin kryq të rrjedhës ndryshon nga ligji që përshkruan këtë shpërndarje në rastin e lëvizjes së qëndrueshme të mediumit. Kështu, kur rrjedha laminare e lëngut lëkundet në një tub cilindrik të rrumbullakët, shpërndarja parabolike e shpejtësive prishet, e cila, siç dihet nga hidraulika, është karakteristikë e lëvizjes laminare të qëndrueshme të lëngut në një tub. Në ndryshim harmonik gradient presioni përgjatë tubit, shpërndarja e shpejtësisë mund të gjendet duke përdorur formulën (9.42). Për ta bërë këtë, në vend të (s), duhet të zëvendësoni imazhin Laplace të ligjit harmonik të ndryshimit të gradientit të presionit në formulë dhe më pas të kryeni konvertimi i anasjelltë. Në vepër jepet funksioni (t, r) i përftuar në këtë mënyrë.

Është e qartë se nuk ka nevojë të zbatohet një cikël me lëvizje të ndërprerë të pistonëve në modelet e makinerive industriale. Për çdo ligj të lëvizjes së pistonit, veçanërisht për atë harmonik (për një makinë me maniak), efikasiteti termodinamik i një makine ideale Stirling është i barabartë me unitetin.

Në këto instalime, u miratua një ligj i thjeshtuar, afër harmonik, i lëvizjes së shufrave - lidhja e artikuluar me katër shufra e makinës së pompimit u zëvendësua nga mekanizmat e fiksimit. Ky supozim është përgjithësisht i pranuar dhe, siç kanë treguar eksperimentet, është plotësisht i justifikuar për kushtet e eksperimenteve.

Gjendja e brendshme molekulë diatomike definohet nëse gjendja e tij është e specifikuar shtresë elektronike, si dhe karakteristikat e lëvizjes rrotulluese të molekulës në tërësi dhe lëvizjes vibruese të bërthamave. Rrotullimi dhe dridhjet konsiderohen në një përafrim të parë të pavarur nga gjendja elektronike e molekulës. Modeli më i thjeshtë për përshkrimin e lëvizjeve rrotulluese dhe vibruese të një molekule diatomike është modeli rotator i ngurtë - oshilator harmonik, sipas të cilit rrotullimi i molekulës si rrotullues i ngurtë dhe dridhjet e bërthamave sipas ligjit harmonik konsiderohen në mënyrë të pavarur. Përshkrimi klasik për këtë model, shihni kapitullin. IV., 5. Le të shkruajmë me të njëjtën përafrim shprehjen për energjinë e një molekule diatomike, duke përdorur formulat mekanike kuantike (VII.19), (VII.20) dhe (UP.22)

Një ndryshim në amplituda e dridhjeve, si dhe një kalim nga mënyra harmonike në atë të goditjes së dridhjes, arrihet duke instaluar ekscentrikë të zëvendësueshëm, profili i të cilave përcaktohet nga ligji i lëvizjes së shtytësit me tryezën e punës dhe një bllok prej cilindra koaksial të montuar mbi të.

Në seksionin e u vu re se nëse energjia e molekulave shprehet me shumën e një numri të caktuar termash që janë kuadratikë ose në lidhje me koordinatat hapësinore () ose në lidhje me momentin (/z), atëherë forma e shpërndarjes Ligji nuk varet saktësisht nga sa terma përfshihen në shprehjen për kinetikë dhe sa - në shprehjen për energjinë potenciale. Megjithatë, nxjerrja e ligjit thjeshtohet nëse kemi parasysh të njëjtin numër terma që shprehin energjinë e mundshme kinetike. Fizikisht, kjo korrespondon me supozimin se lëvizja totale e molekulave përfaqësohet nga numri i 5 oshilatorëve harmonikë të pavarur. Energjia e molekulës në këtë rast mund të shkruhet si më poshtë:

Në spektrometrat me nxitim konstant shpejtësi relative Lëvizja e burimit dhe absorbuesit ndryshon periodikisht sipas një ligji linear ose harmonik, i cili bën të mundur regjistrimin e spektrit në studim në një interval të caktuar shpejtësie. Në mënyrë tipike, në spektrometra të tillë, informacioni regjistrohet në kujtesën e një analizuesi shumëkanalësh që funksionon në një modalitet kohe, kur kanalet e kujtesës hapen në mënyrë sinkrone me ciklin e shpejtësisë.

Një nga shprehjet ligjet kuantikeështë diskretesia e niveleve të energjisë së trupit që kryen lëvizjet periodike. Konsideroni, si shembull, lëkundjen harmonike të një oshilatori. Energjia e një oshilatori klasik harmonik mund të ndryshojë vazhdimisht. Kjo energji është e barabartë me yA 2 ( vlerën më të lartë energjia potenciale në x = A). Konstante elastike

Dridhjet e detyruara. Le të shqyrtojmë dridhjet gjatësore sistem elastik linear me një shkallë lirie nën veprimin e një force lëvizëse P nëse), që ndryshon sipas një ligji harmonik. Fillimisht, ne pranojmë supozimin se nuk ka forca joelastike të rezistencës. Ekuacioni i lëvizjes në këtë rast (Fig. 3.7, a) ka formën tx = -Py + P (/), e cila pas zëvendësimeve P = cx, dm = sociale dhe P (/) = Po sin (oi) jep

Nëse do të kishim të bënim me sistemi klasik, atëherë, në disa kushte fillestare, në parim, do të ishte e mundur të ngacmohej një lëvizje në të cilën do të ndryshonte vetëm një nga koordinatat normale, atëherë kur kjo koordinatë normale ndryshon, ndryshon në të gjitha gjatësitë e lidhjeve, këndet e lidhjes, etj. do të vërehej proporcionale me këtë koordinatë me koeficientët Nëse koordinatat normale do të ndryshonin sipas një ligji harmonik, atëherë gjithçka parametrat gjeometrikë molekulat do të ndryshonin gjithashtu sipas një ligji harmonik dhe të gjithë parametrat gjeometrikë do të kalonin nëpër vlerat e tyre të ekuilibrit në të njëjtën fazë. Një shembull i dridhjeve normale për një molekulë të tipit uji është paraqitur në Fig.

Nëse elektronet e një lënde zhvendosen pak nga pozicionet e tyre të ekuilibrit, atëherë ato i nënshtrohen veprimit të një veprimi restaurues, madhësia e të cilit supozohet të jetë proporcionale me zhvendosjen. Në këtë rast, lëvizja e elektroneve rezulton të jetë një lëkundje e thjeshtë harmonike. Kalimi i dritës përmes një sistemi që përmban një numër të tillë oshilatorësh elektrikë është i barabartë me shfaqjen e një shtesë forcë elektrike, e cila, sipas teorisë së Maxwell-it, rezulton të jetë një nga komponentët e lëkundjeve elektromagnetike të dritës. Kur drita kalon, fusha elektrike ndryshon me një frekuencë përkatëse dhe ndikon në lëvizjen e elektronit oscilues sipas ligjit të ruajtjes së energjisë. Shpejtësia (dhe për këtë arsye energjia kinetike) përhapja e dritës në materie është më e vogël se në vakum, prandaj, energjia kinetike e elektroneve që ndërveprojnë me dritën rritet. Kështu, drita tenton të ndryshojë lëvizjen e elektroneve në molekulë dhe vepron në drejtim të kundërt me forcën që tenton të mbajë elektronin në pozicionin e tij origjinal.

Ky opsion matje mund të zbatohet edhe gjatë dridhjeve përdredhëse të një kampioni tubular, nëse cilindri i jashtëm është i instaluar i palëvizshëm, cilindri i brendshëm është montuar në një shirit rrotullimi dhe çift rrotullimi që vepron në të vendoset sipas ligjit harmonik. Nëse tani matim diferencën e fazës midis çift rrotullimit dhe këndit të rrotullimit të cilindrit, si dhe amplituda e këndit të rrotullimit, atëherë skema e llogaritjes për përcaktimin e O do të reduktohet në formulat e sipërpërmendura (VI. 15) dhe (VI. 16). Sidoqoftë, nëse matim raportin e çift rrotullues me shpejtësinë këndore të cilindrit, atëherë kjo korrespondon problem rreth, b përcaktimi i impedancës së sistemit.

Si përfundim, vërejmë se nga pikëpamja e plotë dhe fizikisht e arsyeshme përshkrim sasior dinamika e lëngjeve, të gjitha modelet e konsideruara janë vetëm një përafrim i parë për përshkrimin e difuzionit dhe lëkundjeve në ujë, pasi në ndërtimin e tyre janë përdorur një sërë thjeshtimesh. Vetëm në kufirin e kohëve të gjata të jetës sedentare (kjo mund të ndodhë në temperatura të ulëta) ose me elektrostrikcion të fortë të molekulave të ujit në shtresën hidratimi të joneve është përafrimi harmonik dhe model i thjeshtë hopping difuzion [tabela e ekuacionit (4-5). 4] janë të ligjshme. Në temperaturat e larta dhe në solucionet në të cilat lidhjet midis molekulave të ujit dobësohen nga jonet, dridhjet bëhen ashpër anharmonike, ngadalësohen nga lëvizjet e relaksimit dhe difuzionit. Në këtë rast, sjellja e lëngut është më në përputhje me sjelljen e sistemit grimcat e lira[Ekuacioni (37)]. Supozimi se nuk ka korrelacion midis difuzionit dhe lëvizjeve osciluese është gjithashtu çështje e diskutueshme. Kohët e fundit, Raman et al.

Në pjesën tjetër. Rreshti 11.3 do të çmontohet shembuj të thjeshtë, duke lejuar që dikush të vlerësojë kontributet në kapacitetin termik të shkallëve individuale të lirisë të dekompozuara. Në këtë rast, më shumë vëmendje do t'i kushtohet një sistemi të përbërë nga grimca me dy të mundshme gjendjet energjetike, dhe një oshilator harmonik, pasi duke përdorur shembullin e tyre është e mundur të analizohet relativisht thjesht dhe në të njëjtën kohë mjaft plotësisht marrëdhënia midis lëvizjes molekulare dhe kapacitetit të nxehtësisë së sistemit. Për më shumë sisteme komplekse shpesh është e lehtë të vlerësohet kapaciteti i nxehtësisë në temperatura mesatare bazuar në ligji klasik shpërndarje uniforme sipas shkallëve të lirisë.

Ligjet e lëvizjes së mikrogrimcave në mekanikën kuantike ndryshojnë dukshëm nga ato klasike. Nga njëra anë, ato sillen (për shembull, gjatë përplasjeve) si grimca me ngarkesa dhe masë të pandashme, nga ana tjetër, si valë me një frekuencë (gjatësi vale) të caktuar dhe të karakterizuara nga funksioni i valësа1з - pronë, otral Shih faqet ku përmendet termi Ligji Harmonik i Lëvizjes Noterët në Novoalekseevka Reklamat falas në seksionin Noterët në Novoalekseevka. Nuk ka ende njoftime, jini të parët!

LËSHTIMET. VALËT. OPTIKA

LËSHTIMET

Leksioni 1

VIBRACIONET HARMONIKE

Oscilator harmonik ideal. Ekuacioni ideal i oshilatorit dhe zgjidhja e tij. Amplituda, frekuenca dhe faza e lëkundjeve

Lëkundjet janë një nga proceset më të zakonshme në natyrë dhe teknologji. Lëkundjet janë procese që përsëriten me kalimin e kohës. Ndërtesat e larta dhe telat e tensionit të lartë lëkunden nën ndikimin e erës, lavjerrësit të orës së plagosur dhe makinës mbi burimet gjatë vozitjes, nivelit të lumit gjatë gjithë vitit dhe temperaturës së trupit të njeriut gjatë sëmundjes. Tingulli është luhatje në presionin e ajrit, valët e radios janë ndryshime periodike në fuqinë e fushave elektrike dhe magnetike, drita është gjithashtu luhatje elektromagnetike. Tërmetet - dridhjet e tokës, zbaticat dhe rrjedhat - ndryshimet në nivelet e deteve dhe oqeaneve të shkaktuara nga tërheqja e hënës, etj.

Lëkundjet mund të jenë mekanike, elektromagnetike, kimike, termodinamike etj. Pavarësisht nga një diversitet i tillë, të gjitha lëkundjet përshkruhen nga të njëjtat ekuacione diferenciale.

Shkencëtarët e parë që studiuan lëkundjet ishin Galileo Galilei dhe Christiaan Huygens. Galileo vendosi pavarësinë e periudhës së lëkundjes nga amplituda. Huygens shpiku orën me lavjerrës.

Çdo sistem që, kur shqetësohet pak nga pozicioni i tij ekuilibër, shfaq lëkundje të qëndrueshme quhet oshilator harmonik. Në fizikën klasike, sisteme të tilla janë një lavjerrës matematikor brenda këndeve të vogla të devijimit, një ngarkesë brenda amplitudave të vogla të lëkundjes, një qark elektrik i përbërë nga elementë linearë të kapacitetit dhe induktivitetit.

Një oshilator harmonik mund të konsiderohet linear nëse zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit është drejtpërdrejt proporcionale me forcën shqetësuese. Frekuenca e lëkundjes së një oshilatori harmonik nuk varet nga amplituda. Për një oshilator, parimi i mbivendosjes është i kënaqur - nëse veprojnë disa forca shqetësuese, atëherë efekti i veprimit të tyre total mund të merret si rezultat i shtimit të efekteve të forcave individuale që veprojnë.

Lëkundjet harmonike përshkruhen nga ekuacioni (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Ku X- zhvendosja e një sasie lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit, A– amplituda e lëkundjeve, e barabartë me vlerën e zhvendosjes maksimale, - faza e lëkundjeve, e cila përcakton zhvendosjen në momentin e kohës, - faza fillestare, e cila përcakton vlerën e zhvendosjes në momentin fillestar të kohës, - frekuenca ciklike e lëkundjeve.

Koha e një lëkundjeje të plotë quhet periudha, , ku është numri i lëkundjeve të përfunduara gjatë kohës.

Frekuenca e lëkundjeve përcakton numrin e lëkundjeve të kryera për njësi të kohës është e lidhur me frekuencën ciklike nga relacioni , pastaj perioda.

Shpejtësia e një pike materiale lëkundëse

nxitimi

Kështu, shpejtësia dhe nxitimi i oshilatorit harmonik gjithashtu ndryshojnë sipas ligjit harmonik me amplituda dhe përkatësisht. Në këtë rast, shpejtësia është përpara zhvendosjes në fazë me , dhe nxitimit me (Fig. 1.1.2).

Nga krahasimi i ekuacioneve të lëvizjes së një oshilatori harmonik (1.1.1) dhe (1.1.2) rezulton se, ose

Ky ekuacion diferencial i rendit të dytë quhet ekuacioni i oshilatorit harmonik. Zgjidhja e tij përmban dy konstante A dhe , të cilat përcaktohen duke vendosur kushtet fillestare

.

Nëse një proces që përsëritet periodikisht përshkruhet nga ekuacione që nuk përkojnë me (1.1.1), ai quhet anharmonik. Një sistem që kryen lëkundje anharmonike quhet oshilator anharmonik.

1.1.2 . Dridhjet e lira të sistemeve me një shkallë lirie. Forma komplekse e paraqitjes së vibrimeve harmonike

Në natyrë, lëkundjet e vogla që një sistem bën pranë pozicionit të tij ekuilibër janë shumë të zakonshme. Nëse një sistem i hequr nga një pozicion ekuilibri lihet në vetvete, d.m.th., asnjë forcë e jashtme nuk vepron mbi të, atëherë një sistem i tillë do të kryejë lëkundje të lira dhe të pamposhtura. Le të shqyrtojmë një sistem me një shkallë lirie.

Ekuilibri i qëndrueshëm korrespondon me një pozicion të sistemit në të cilin energjia e tij potenciale ka një minimum ( q– koordinata e përgjithësuar e sistemit). Devijimi i sistemit nga pozicioni i ekuilibrit çon në shfaqjen e një force që tenton ta kthejë sistemin prapa. Vlera e koordinatës së përgjithësuar që korrespondon me pozicionin e ekuilibrit shënohet me , pastaj devijimi nga pozicioni i ekuilibrit

Ne do të numërojmë energjinë potenciale nga vlera minimale. Le të pranojmë funksionin që rezulton, ta zgjerojmë atë në një seri Maclaurin dhe të lëmë termin e parë të zgjerimit, kemi: o

,

Ku . Pastaj, duke marrë parasysh shënimet e paraqitura:

, (1.1.4)

Duke marrë parasysh shprehjen (1.1.4) për forcën që vepron në sistem, marrim:

Sipas ligjit të dytë të Njutonit, ekuacioni i lëvizjes së sistemit ka formën:

Shprehja (1.1.5) përkon me ekuacionin (1.1.3) të lëkundjeve të lira harmonike, me kusht që

dhe ka dy zgjidhje të pavarura: dhe , kështu që zgjidhja e përgjithshme është:

,

Nga formula (1.1.6) rezulton se frekuenca përcaktohet vetëm nga vetitë e brendshme të sistemit mekanik dhe nuk varet nga amplituda dhe nga kushtet fillestare të lëvizjes.

Varësia e koordinatave të një sistemi oscilues nga koha mund të përcaktohet në formën e pjesës reale të shprehjes komplekse , Ku A=Xe-iα– amplituda komplekse, moduli i tij përkon me amplituda e zakonshme, dhe argumenti i tij përkon me fazën fillestare.

1.1.3 . Shembuj të lëvizjeve osciluese të natyrave të ndryshme fizike

Lëkundjet e një ngarkese në një sustë

Le të shqyrtojmë lëkundjet e një ngarkese në një sustë, me kusht që susta të mos deformohet përtej kufijve të elasticitetit të saj. Le të tregojmë se një ngarkesë e tillë do të kryejë lëkundje harmonike në lidhje me pozicionin e ekuilibrit (Fig. 1.1.3). Në të vërtetë, sipas ligjit të Hooke, një susta e ngjeshur ose e shtrirë krijon një forcë harmonike:

Ku - koeficienti i ngurtësisë së sustave, - koordinata e pozicionit të ekuilibrit, X– koordinata e ngarkesës (pika materiale) në momentin kohor, – zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit.

Le të vendosim origjinën e koordinatës në pozicionin e ekuilibrit të sistemit. Në këtë rast .

Nëse susta shtrihet me një sasi X, pastaj lëshojeni në momentin e kohës t=0, atëherë ekuacioni i lëvizjes së ngarkesës sipas ligjit të dytë të Njutonit do të marrë formën -kx=ma, ose , Dhe

(1.1.6)

Ky ekuacion përkon në formë me ekuacionin e lëvizjes (1.1.3) të një sistemi që kryen lëkundje harmonike, ne do të kërkojmë zgjidhjen e tij në formën:

. (1.1.7)

Duke zëvendësuar (1.17) në (1.1.6), kemi: domethënë, shprehja (1.1.7) është zgjidhje e ekuacionit (1.1.6) me kusht që

Nëse në momentin fillestar pozicioni i ngarkesës ishte arbitrar, atëherë ekuacioni i lëvizjes do të marrë formën:

.

Le të shqyrtojmë se si energjia e një ngarkese që i nënshtrohet lëkundjeve harmonike ndryshon në mungesë forcat e jashtme(Fig. 1.14). Nëse për momentin t=0 tregoni ngarkesës zhvendosjen x=A, atëherë energjia totale e saj do të bëhet e barabartë me energjinë potenciale të sustës së deformuar, energjia kinetike është zero (pika 1).

Një forcë vepron në ngarkesë F= -kx, duke tentuar ta kthejë atë në pozicionin e ekuilibrit, kështu që ngarkesa lëviz me nxitim dhe rrit shpejtësinë e saj, dhe rrjedhimisht energjinë kinetike. Kjo forcë zvogëlon zhvendosjen e ngarkesës X, energjia potenciale e ngarkesës zvogëlohet, duke u kthyer në energji kinetike. Sistemi ngarkesë-burim është i mbyllur, kështu që energjia totale e tij ruhet, domethënë:

. (1.1.8)

Në momentin e kohës, ngarkesa është në pozicionin e ekuilibrit (pika 2), energjia e saj potenciale është zero dhe energjia e saj kinetike është maksimale. Shpejtesi maksimale gjejmë ngarkesën nga ligji i ruajtjes së energjisë (1.1.8):

Për shkak të rezervës së energjisë kinetike, ngarkesa funksionon kundër forcës elastike – dhe pozicioni i ekuilibrit kalon. Energjia kinetike gradualisht shndërrohet në energji potenciale. Kur ngarkesa ka një zhvendosje maksimale negative - A, energjia kinetike Vk=0, ngarkesa ndalon dhe fillon të lëvizë në pozicionin e ekuilibrit nën veprimin e një force elastike F= -kx. Lëvizja e mëtejshme ndodh në të njëjtën mënyrë.

Lavjerrëse

Me lavjerrës nënkuptojmë të ngurta, e cila lëkundet rreth e rrotull nën ndikimin e gravitetit pikë fikse ose boshtet. Ka lavjerrëse fizike dhe matematikore.

Një lavjerrës matematikor është një sistem i idealizuar i përbërë nga një fije e pazgjatur pa peshë, mbi të cilën është pezulluar një masë, e përqendruar në një pikë materiale.

Një lavjerrës matematikor, për shembull, është një top në një fije të gjatë të hollë.

Devijimi i lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit karakterizohet nga këndi φ , e cila formon një fije me një vertikale (Fig. 1.15). Kur lavjerrësi devijon nga pozicioni i ekuilibrit, ndodh një moment i forcave të jashtme (graviteti): , Ku m- pesha, – gjatësia e lavjerrësit

Ky moment tenton ta kthejë lavjerrësin në pozicionin e ekuilibrit (i ngjashëm me forcën kuazi-elastike) dhe është i drejtuar në të kundërt me zhvendosjen φ , pra ka një shenjë minus në formulë.

Ekuacioni për dinamikën e lëvizjes rrotulluese për një lavjerrës ka formën: Iε=,

.

Prandaj, do të shqyrtojmë rastin e lëkundjeve të vogla sin φ ≈φ, tregoni ,

ne kemi: , ose , dhe në fund

Ky është ekuacioni i dridhjeve harmonike, zgjidhja e tij:

.

Frekuenca e lëkundjes së një lavjerrësi matematik përcaktohet vetëm nga gjatësia e tij dhe nxitimi i gravitetit dhe nuk varet nga masa e lavjerrësit. Periudha është:

Nëse një trup lëkundës nuk mund të imagjinohet si pikë materiale, atëherë lavjerrësi quhet fizik (Fig. 1.1.6). Ekuacionin e lëvizjes së tij e shkruajmë në formën:

.

Në rast të luhatjeve të vogla , ose =0, ku . Ky është ekuacioni i lëvizjes së një trupi që kryen lëkundje harmonike. Frekuenca e lëkundjes së një lavjerrësi fizik varet nga masa e tij, gjatësia dhe momenti i inercisë në lidhje me boshtin që kalon nëpër pikën e pezullimit.

Le të shënojmë. Madhësia quhet gjatësia e reduktuar e lavjerrësit fizik. Kjo është gjatësia e një lavjerrësi matematik, periudha e lëkundjes së të cilit përkon me periudhën e një lavjerrësi të caktuar fizik. Një pikë në një vijë të drejtë që lidh pikën e pezullimit me qendrën e masës, e shtrirë në një distancë prej një gjatësi të reduktuar nga boshti i rrotullimit, quhet qendra e lëkundjes së një lavjerrës fizik ( RRETH'). Nëse lavjerrësi është i pezulluar në qendër të lëkundjes, atëherë gjatësia dhe periudha e reduktuar e lëkundjes do të jenë të njëjta si në pikën RRETH. Kështu, pika e pezullimit dhe qendra e lëkundjes kanë vetitë e reciprocitetit: kur pika e pezullimit transferohet në qendrën e lëkundjes, pika e mëparshme e pezullimit bëhet qendra e re e lëkundjes.

Një lavjerrës matematikor që lëkundet me të njëjtën periudhë si ai fizik në shqyrtim quhet izokron ndaj këtij lavjerrësi fizik.

1.1.4. Mbledhja e lëkundjeve (rrahje, figura Lissajous). Përshkrimi vektorial i shtimit të lëkundjeve

Shtimi i lëkundjeve të drejtuara në mënyrë identike mund të bëhet duke përdorur metodën diagramet vektoriale. Çdo lëkundje harmonike mund të përfaqësohet si një vektor si më poshtë. Le të zgjedhim një bosht X me pikën e fillimit në pikë RRETH(Fig.1.1.7)

Nga pika RRETH le të ndërtojmë një vektor që bën një kënd me bosht X. Lëreni këtë vektor të rrotullohet me shpejtësia këndore. Projeksioni i një vektori mbi një bosht Xështë e barabartë me:

pra kryen lëkundje harmonike me amplitudë A.

Konsideroni dy lëkundje harmonike të të njëjtit drejtim dhe të njëjtat ciklike të vogla, dhënë nga vektorët Dhe . Kompensimet e boshtit X janë të barabarta:

vektori që rezulton ka një projeksion dhe paraqet lëkundjen që rezulton (Fig. 1.1.8), sipas teoremës së kosinusit. Kështu, mbledhja e lëkundjeve harmonike kryhet me mbledhjen e vektorëve.

Le të kryejmë mbledhjen e lëkundjeve reciproke pingule. Lëreni një pikë materiale të bëjë dy gjëra reciproke dridhjet pingule frekuenca:

.

Vetë pika materiale do të lëvizë përgjatë një trajektoreje të caktuar lakuar.

Nga ekuacioni i lëvizjes rezulton: ,

. (1.1.9)

Nga ekuacioni (1.1.9) mund të marrim ekuacionin e elipsës (Fig. 1.1.9):

Le të shqyrtojmë raste të veçanta të këtij ekuacioni:

1. Diferenca e fazës së lëkundjes α= 0. Në të njëjtën kohë ato. ose Ky është ekuacioni i një vije të drejtë dhe lëkundja që rezulton ndodh përgjatë kësaj drejtëze me amplitudë (Fig. 1.1.10).a.

nxitimi i tij është i barabartë me derivatin e dytë të zhvendosjes në lidhje me kohën atëherë forca që vepron në pikën lëkundëse, sipas ligjit të dytë të Njutonit, është e barabartë me

Kjo do të thotë, forca është proporcionale me zhvendosjen X dhe drejtohet kundër zhvendosjes në pozicionin e ekuilibrit. Kjo forcë quhet forcë rivendosëse. Në rastin e një ngarkese në një sustë, forca rivendosëse është forca elastike në rastin e një lavjerrës matematikor, ajo është një përbërës i forcës së gravitetit.

Forca rivendosëse në natyrë i bindet ligjit të Hukut F= -kx, Ku

– koeficienti i forcës rivendosëse. Atëherë energjia potenciale e pikës lëkundëse është:

(konstanta e integrimit është zgjedhur e barabartë me zero, kështu që kur X).

OSCILATOR ANHARMONIK

Le të shqyrtojmë një të thjeshtë sistemi fizik– një pikë materiale e aftë të lëkundet në një sipërfaqe horizontale pa fërkime nën ndikimin e forcës Hooke (shih Fig. 2).

Nëse zhvendosja e ngarkesës është e vogël (shumë më e vogël se gjatësia e sustës së padeformuar), dhe ngurtësia e sustës është e barabartë me k, atëherë forca e vetme që vepron në ngarkesë është forca Hooke. Pastaj ekuacioni

lëvizja e ngarkesës (Ligji i dytë i Njutonit) ka formën

Duke lëvizur termat në anën e majtë të barazisë dhe duke pjesëtuar me masën e pikës materiale (ne neglizhojmë masën e sustës në krahasim me m), marrim ekuacionin e lëvizjes.

(*) ,

,

,

periudha e lëkundjeve.

Pastaj, duke marrë funksionin

dhe duke e diferencuar në lidhje me kohën, ne jemi të bindur, së pari, se shpejtësia e lëvizjes së ngarkesës është e barabartë me

dhe së dyti, pas diferencimit të përsëritur,

,

domethënë, X(t) është në të vërtetë një zgjidhje për ekuacionin e një ngarkese në një susta.

Një sistem i tillë, në përgjithësi, çdo sistem, mekanik, elektrik apo tjetër, që ka një ekuacion të lëvizjes (*), quhet oshilator harmonik. Një funksion i tipit X(t) quhet ligji i lëvizjes së një oshilatori harmonik, sasia
quhen amplituda,ciklike ose frekuencë natyrore,faza fillestare. Frekuenca natyrore përcaktohet nga parametrat e oshilatorit, amplituda dhe faza fillestare përcaktohen nga kushtet fillestare.

Ligji i lëvizjes X(t) paraqet lëkundjet e lira. Lëkundje të tilla kryhen nga lavjerrës të pamposhtur (matematikore ose fizike), rrymë dhe tension në një qark ideal oscilues dhe disa sisteme të tjera.

Lëkundjet harmonike mund të mblidhen si në një ashtu edhe në drejtime të ndryshme. Rezultati i shtimit është gjithashtu një lëkundje harmonike, për shembull,

.

Ky është parimi i mbivendosjes (superpozicionit) të dridhjeve.

Matematikanët kanë zhvilluar një teori të serive të këtij lloji, të cilat quhen seri Furier. Ekzistojnë gjithashtu një sërë përgjithësimesh të tilla si integralet e Furierit (frekuencat mund të ndryshojnë vazhdimisht) dhe madje edhe integrale Laplace që punojnë me frekuenca komplekse.

§15. Oscilator i lagur. Dridhjet e detyruara.

Reale sistemet mekanike keni gjithmonë të paktën një fërkim të vogël. Rasti më i thjeshtë është fërkimi i lëngshëm ose viskoz. Ky është fërkim, madhësia e të cilit është proporcionale me shpejtësinë e lëvizjes së sistemit (dhe drejtohet, natyrisht, kundër drejtimit të lëvizjes). Nëse lëvizja ndodh përgjatë boshtit X, atëherë ekuacioni i lëvizjes mund të shkruhet (për shembull, për një peshë në një susta) në formën

,

Ku – koeficienti i fërkimit viskoz.

Ky ekuacion i lëvizjes mund të shndërrohet në formë

.

Këtu
- koeficienti i zbutjes, – është ende frekuenca natyrore e oshilatorit (që nuk mund të quhet më harmonik; është një oshilator i amortizuar me fërkim viskoz).

Matematikanët mund të zgjidhin ekuacione të tilla diferenciale. U tregua se zgjidhja është funksioni

Formula e fundit përdor shënimin e mëposhtëm: – amplituda fillestare, frekuenca e lëkundjeve të amortizuara dobët
,
. Përveç kësaj, shpesh përdoren parametra të tjerë që karakterizojnë zbutjen: zvogëlimi logaritmik i dobësimit
, koha e relaksimit të sistemit
, faktori i cilësisë së sistemit
, ku numëruesi është energjia e ruajtur nga sistemi, dhe emëruesi është humbja e energjisë gjatë periudhës T.

Në rast të dobësimit të fortë
tretësira ka një formë periodike.

Shpesh ka raste kur, përveç forcave të fërkimit, në oshilator vepron edhe një forcë e jashtme. Pastaj ekuacioni i lëvizjes reduktohet në formë

,

shprehja në të djathtë shpesh quhet forca e reduktuar, vetë shprehja
quajtur forcë sforcuese. Për një forcë shtytëse arbitrare, nuk është e mundur të gjendet një zgjidhje për ekuacionin. Zakonisht merret parasysh një forcë lëvizëse harmonike e tipit
. Atëherë zgjidhja përfaqëson një pjesë të lagur të tipit (**), e cila tenton në zero për kohë të mëdha, dhe lëkundje të qëndrueshme (të detyruara).

Amplituda e lëkundjeve të detyruara

,

dhe faza e lëkundjeve të detyruara

.

Vini re se ndërsa frekuenca natyrore i afrohet frekuencës së forcës lëvizëse, amplituda e lëkundjeve të detyruara rritet. Ky fenomen njihet si rezonancë. Nëse amortizimi është i madh, atëherë rritja rezonante nuk është e madhe. Kjo rezonancë quhet "e shurdhër". Në zbutje të ulëta, amplituda e rezonancës "të mprehtë" mund të rritet mjaft ndjeshëm. Nëse sistemi është ideal dhe nuk ka fërkim në të, atëherë amplituda e lëkundjeve të detyruara rritet pa kufi.

Vini re gjithashtu se në frekuencën e forcës lëvizëse

Vlera maksimale e amplitudës së forcës lëvizëse arrihet, e barabartë me

.