Katërkëndëshat e brendashkruar dhe të rrethuar dhe vetitë e tyre - materiale për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë. Një kriter që një katërkëndësh i prerë me një vijë të drejtë nga një trekëndësh është i gdhendur në një rreth të caktuar

Një rreth quhet i brendashkruar në një katërkëndësh nëse të gjitha anët e katërkëndëshit janë tangjente me rrethin.

Qendra e këtij rrethi është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të këndeve të katërkëndëshit. Në këtë rast, rrezet e tërhequra në pikat tangjente janë pingul me anët e katërkëndëshit

Një rreth quhet i rrethuar rreth një katërkëndëshi nëse ai kalon nëpër të gjitha kulmet e tij.

Qendra e këtij rrethi është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve pingul me anët e katërkëndëshit

Jo çdo katërkëndësh mund të brendashkohet me rreth, dhe jo çdo katërkëndësh mund të brendashkohet me rreth.

VETITË E Katërkëndëshave të GRISHTUR DHE RRETHORË

TEOREMA Në një katërkëndësh të brendashkruar konveks, shumat e këndeve të kundërta janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me 180°.

TEOREMA Anasjelltas: nëse në një katërkëndësh shumat e këndeve të kundërta janë të barabarta, atëherë rreth katërkëndëshit mund të përshkruhet një rreth. Qendra e saj është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë me anët.

TEOREMA Nëse një rreth është i brendashkruar në një katërkëndësh, atëherë shumat e brinjëve të kundërta të tij janë të barabarta.

TEOREMA Anasjelltas: nëse në një katërkëndësh shumat e brinjëve të kundërta janë të barabarta, atëherë në të mund të futet një rreth. Qendra e saj është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve.

Pasojat: nga të gjithë paralelogramet, vetëm rreth një drejtkëndëshi (në veçanti, rreth një katrori) mund të përshkruhet një rreth.

Nga të gjithë paralelogramet, vetëm një romb (veçanërisht një katror) mund të gdhend një rreth (qendra është pika e kryqëzimit të diagonaleve, rrezja është e barabartë me gjysmën lartësia).

Nëse një rreth mund të përshkruhet rreth një trapezi, atëherë ai është izosceles. Një rreth mund të përshkruhet rreth çdo trapezi izosceles.

Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez, atëherë rrezja e tij është e barabartë me gjysmën e lartësisë.

Detyrat me zgjidhje

1. Gjeni diagonalen e një drejtkëndëshi të brendashkruar në një rreth, rrezja e të cilit është 5.

Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Prandaj, diagonalja ACështë e barabartë me 2 R. Kjo është AC=10
Përgjigje: 10.

2. Rreth një trapezi është përshkruar një rreth, bazat e të cilit janë 6 cm dhe 8 cm, dhe lartësia është 7 cm. Gjeni sipërfaqen e këtij rrethi.

Le DC=6, AB=8. Meqenëse një rreth është i rrethuar rreth një trapezi, ai është dykëndor.

Le të vizatojmë dy lartësi DM dhe CN.Meqenëse trapezi është dykëndor, atëherë AM=NB=

Pastaj AN=6+1=7

Nga një trekëndësh ANS duke përdorur teoremën e Pitagorës gjejmë AC.

Nga një trekëndësh CVN duke përdorur teoremën e Pitagorës gjejmë dielli.

Rrethi i rrethuar i një trapezi është gjithashtu rrethi i rrethuar i një trekëndëshi. DIA

Le të gjejmë zonën këtë trekëndësh në dy mënyra duke përdorur formulat

Ku h- lartësia dhe - baza e trekëndëshit

Ku R është rrezja e rrethit të rrethuar.

Nga këto shprehje marrim ekuacionin. Ku

Sipërfaqja e rrethit do të jetë e barabartë me

3. Këndet dhe katërkëndëshat lidhen si . Gjeni këndin nëse një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi të caktuar. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë

Nga kushti del se .Meqenëse një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi, atëherë

Ne marrim ekuacionin . Pastaj . Shuma e të gjithë këndeve të një katërkëndëshi është 360º. Pastaj

. ku e marrim atë

4. Brinjët e një trapezi të rrethuar rreth një rrethi janë 3 dhe 5. Gjeni vijën e mesit të trapezit.

Pastaj vija e mesme e barabartë me

5. Perimetri trapez drejtkëndor e rrethuar rreth rrethit është 22, brinja kryesore e tij është 7. Gjeni rrezen e rrethit.

Në një trapez, rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me gjysmën e lartësisë. Le të vizatojmë lartësinë e SC.

Pastaj .

Meqenëse një rreth është i gdhendur në një trapez, shumat e gjatësive anët e kundërta janë të barabartë. Pastaj

Pastaj perimetri

Ne marrim ekuacionin

6. Bazat e një trapezi dykëndor janë 8 dhe 6. Rrezja e rrethit të rrethuar është 5. Gjeni lartësinë e trapezit.

Le të jetë O qendra e rrethit të rrethuar rreth trapezit. Pastaj .

Le të vizatojmë lartësinë KH përmes pikës O

Pastaj , ku KO dhe OH janë lartësi dhe në të njëjtën kohë mediana trekëndëshat dykëndësh DOC dhe AOB. Pastaj

Sipas teoremës së Pitagorës.

I gdhendur katërkëndësh - një katërkëndësh, kulmet e të cilit shtrihen të gjitha në të njëjtin rreth.
Natyrisht, ky rreth do të quhet përshkruar rreth katërkëndëshit.

Të përshkruara një katërkëndësh është i tillë që të gjitha anët e tij prekin një rreth. Në këtë rast rrethi të mbishkruara në një katërkëndësh.

Figura tregon katërkëndëshat e brendashkruar dhe të rrethuar dhe vetitë e tyre.

Le të shohim se si përdoren këto prona në zgjidhjen e problemeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

1. Dy kënde të katërkëndëshit të brendashkruar në rreth janë 82° dhe 58°. Gjeni këndin më të madh të mbetur. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.

Shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar është 180°. Le të jetë këndi A 82°. Pastaj ka një kënd prej 98 gradë përballë tij. Nëse këndi B është 58°, atëherë këndi D është 180° - 58° = 122°.

Përgjigje: 122.

2. Tre brinjët e një katërkëndëshi të rrethuar rreth një rrethi janë në raport (në rend vijues) si 1:2:3. Gjeni anën më të gjatë të këtij katërkëndëshi nëse dihet se perimetri i tij është 32.

Le të jetë ana AB x, AD të jetë 2x dhe DC të jetë 3x. Sipas vetive të katërkëndëshit të përshkruar, shumat e anëve të kundërta janë të barabarta, dhe për këtë arsye
x + 3x = BC + 2x.
Rezulton se BC është e barabartë me 2x. Atëherë perimetri i katërkëndëshit është 8x. Ne marrim se x = 4, dhe anën e madheështë e barabartë me 12.

3. Rreth një rrethi përshkruhet një trapez, perimetri i të cilit është 40. Gjeni vijën e mesit të tij.

Kujtojmë se vija e mesme e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave. Le të jenë bazat e trapezit të barabarta me a dhe c, dhe anët- b dhe d. Sipas vetive të katërkëndëshit të përshkruar,
a + c = b + d, që do të thotë se perimetri është 2(a + c).
Marrim se a + c = 20, dhe vija e mesme është 10.

Le të përsërisim edhe një herë vetitë e një katërkëndëshi të brendashkruar dhe të rrethuar.

Një katërkëndësh mund të futet në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është e barabartë me 180°.

Një katërkëndësh mund të rrethohet rreth një rrethi nëse dhe vetëm nëse shumat e gjatësive të anëve të kundërta të tij janë të barabarta.

"Rrethi" Ne kemi parë se një rreth mund të rrethohet rreth çdo trekëndëshi. Kjo do të thotë, për çdo trekëndësh ekziston një rreth i tillë që të tre kulmet e trekëndëshit "ulen" mbi të. Si kjo:

Pyetje: a mund të thuhet e njëjta gjë për një katërkëndësh? A është e vërtetë që do të ketë gjithmonë një rreth në të cilin do të "ulen" të katër kulmet e katërkëndëshit?

Rezulton se kjo NUK është e vërtetë! Një katërkëndësh NUK mund të futet GJITHMONË në një rreth. Ekziston një kusht shumë i rëndësishëm:

Në foton tonë:

Shikoni, këndet dhe shtrihen përballë njëri-tjetrit, që do të thotë se janë të kundërta. Po atëherë për këndet dhe? Duket se janë edhe të kundërta? A është e mundur të merren kënde dhe në vend të këndeve dhe?

Sigurisht që mundesh! Gjëja kryesore është që katërkëndëshi ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilave do të jetë. Dy këndet e mbetura do të mblidhen gjithashtu vetë. Nuk më besoni? Le të sigurohemi. Shikoni:

Le të jetë. A ju kujtohet shuma e të katër këndeve të çdo katërkëndëshi? Sigurisht,. Kjo është - gjithmonë! . Por, → .

Magjia aty!

Pra, mbani mend këtë me vendosmëri:

Nëse një katërkëndësh është i gdhendur në një rreth, atëherë shuma e çdo dy këndesh të kundërta të tij është e barabartë me

dhe anasjelltas:

Nëse një katërkëndësh ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilëve është e barabartë, atëherë katërkëndëshi është ciklik.

Ne nuk do t'i vërtetojmë të gjitha këto këtu (nëse jeni të interesuar, shikoni në nivelet e ardhshme të teorisë). Por le të shohim se ku të çon kjo fakt i mrekullueshëm që shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar është e barabartë.

Për shembull, pyetja vjen në mendje: a është e mundur të përshkruhet një rreth rreth një paralelogrami? Le të provojmë fillimisht "metodën poke".

Disi nuk funksionon.

Tani le të zbatojmë njohuritë:

Le të supozojmë se kemi arritur disi të vendosim një rreth në një paralelogram. Atëherë me siguri duhet të ketë: , domethënë.

Tani le të kujtojmë vetitë e një paralelogrami:

Çdo paralelogram ka kënde të kundërta të barabarta.

Doli që

Po këndet dhe? Epo, e njëjta gjë sigurisht.

Nënshkruar → →

Paralelogrami→ →

E mahnitshme, apo jo?

Rezulton se nëse një paralelogram është i gdhendur në një rreth, atëherë të gjitha këndet e tij janë të barabarta, domethënë është një drejtkëndësh!

Dhe në të njëjtën kohë - qendra e rrethit përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve të këtij drejtkëndëshi. Kjo është përfshirë si një bonus, si të thuash.

Epo, kjo do të thotë se ne zbuluam se një paralelogram i gdhendur në një rreth është drejtkëndësh.

Tani le të flasim për trapezoidin. Çfarë ndodh nëse një trapez është i gdhendur në një rreth? Por rezulton se do të ketë trapezoid isosceles . Pse?

Lëreni trapezin të jetë i gdhendur në një rreth. Pastaj përsëri, por për shkak të paralelizmit të vijave dhe.

Kjo do të thotë se kemi: → → trapezoid dykëndor.

Edhe më e lehtë se sa me një drejtkëndësh, apo jo? Por duhet të mbani mend fort - do t'ju ndihmojë:

Le të rendisim më deklaratat kryesore tangjente me një katërkëndësh të gdhendur në një rreth:

Një katërkëndësh është i gdhendur në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e dy këndeve të tij të kundërta është e barabartë me
Një paralelogram i gdhendur në një rreth - sigurisht drejtkëndësh dhe qendra e rrethit përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve
Një trapez i gdhendur në një rreth është barabrinjës.

Katërkëndëshi i brendashkruar. Niveli mesatar

Dihet se për çdo trekëndësh ka një rreth të rrethuar (këtë e vërtetuam në temën "Rrethi i rrethuar"). Çfarë mund të thuhet për katërkëndëshin? Rezulton se JO CDO katërkëndësh mund të futet në një rreth, dhe ekziston një teoremë e tillë:

Një katërkëndësh brendashkruhet në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është e barabartë me.

Në vizatimin tonë -

Le të përpiqemi të kuptojmë pse është kështu? Me fjalë të tjera, tani do ta vërtetojmë këtë teoremë. Por, para se ta provoni, duhet të kuptoni se si funksionon vetë deklarata. A i keni vënë re fjalët "atëherë dhe vetëm atëherë" në deklaratë? Fjalë të tilla nënkuptojnë se matematikanët e dëmshëm kanë grumbulluar dy pohime në një.

Le të deshifrojmë:

"Pastaj" do të thotë: Nëse një katërkëndësh është i gdhendur në një rreth, atëherë shuma e çdo dy këndesh të kundërta të tij është e barabartë.
"Vetëm atëherë" do të thotë: Nëse një katërkëndësh ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilëve është e barabartë, atëherë një katërkëndësh i tillë mund të futet në një rreth.

Ashtu si Alice: "Unë mendoj atë që them" dhe "Unë them atë që mendoj".

Tani le të kuptojmë pse të dyja 1 dhe 2 janë të vërteta?

E para 1.

Le të gdhendet një katërkëndësh në një rreth. Le të shënojmë qendrën e tij dhe të vizatojmë rrezet dhe. Çfarë do të ndodhë? A ju kujtohet se një kënd i brendashkruar është sa gjysma e madhësisë së këndit qendror përkatës? Nëse ju kujtohet, ne do ta përdorim atë tani, dhe nëse jo, hidhini një sy temës "Rrethoni. Këndi i brendashkruar".

I gdhendur

Por shikoni:.

Ne marrim se nëse - është e mbishkruar, atëherë

Epo, është e qartë se ai gjithashtu shtohet. (duhet të kemi parasysh gjithashtu).

Tani "anasjelltas", domethënë 2.

Le të rezultojë se në një katërkëndësh shuma e dy këndeve të kundërta është e barabartë. Le të themi le

Nuk e dimë ende nëse mund të përshkruajmë një rreth rreth tij. Por ne e dimë me siguri se jemi të garantuar të jemi në gjendje të përshkruajmë një rreth rreth një trekëndëshi. Pra, le ta bëjmë atë.

Nëse një pikë nuk "ulet" në rreth, atëherë në mënyrë të pashmangshme përfundon ose jashtë ose brenda.

Le të shqyrtojmë të dyja rastet.

Lëreni pikën së pari jashtë. Pastaj segmenti kryqëzon rrethin në një pikë. Le të lidhemi dhe. Rezultati është një katërkëndësh i mbishkruar (!).

Ne tashmë e dimë për të se shuma e këndeve të kundërta të saj është e barabartë, domethënë dhe sipas gjendjes sonë.

Rezulton se duhet të jetë kështu.

Por kjo nuk mund të jetë sepse - këndi i jashtëm për dhe do të thotë .

Po brenda? Le të bëjmë gjëra të ngjashme. Lëreni pikën të jetë brenda.

Pastaj vazhdimi i segmentit pret rrethin në një pikë. Përsëri - një katërkëndësh i brendashkruar, dhe sipas kushtit duhet të plotësohet, por - një kënd i jashtëm për dhe do të thotë, pra, përsëri nuk mund të jetë ai.

Kjo do të thotë, një pikë nuk mund të jetë as jashtë, as brenda rrethit - kjo do të thotë se është në rreth!

E gjithë teorema është vërtetuar!

Tani le të shohim se çfarë pasojash të mira jep kjo teoremë.

Përfundimi 1

Një paralelogram i gdhendur në një rreth mund të jetë vetëm një drejtkëndësh.

Le të kuptojmë pse është kështu. Le të jetë i gdhendur një paralelogram në një rreth. Atëherë duhet bërë.

Por nga vetitë e një paralelogrami ne e dimë se.

Dhe e njëjta gjë, natyrisht, në lidhje me këndet dhe.

Pra, rezulton të jetë një drejtkëndësh - të gjitha qoshet janë së bashku.

Por, përveç kësaj, ekziston një fakt shtesë i këndshëm: qendra e rrethit të rrethuar rreth drejtkëndëshit përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve.

Le të kuptojmë pse. Shpresoj ta mbani mend shumë mirë se këndi i nënshtruar nga diametri është një vijë e drejtë.

Diametri,

Diametri

që do të thotë se është qendra. Kjo është ajo.

Përfundimi 2

Një trapez i gdhendur në një rreth është izosceles.

Lëreni që trapezi të jetë i gdhendur në një rreth. Pastaj.

Dhe e njëjta gjë.

A kemi diskutuar gjithçka? Jo me të vërtetë. Në fakt, ekziston një mënyrë tjetër "e fshehtë" për të njohur një katërkëndësh të gdhendur. Ne do ta formulojmë këtë metodë jo shumë strikte (por në mënyrë të kuptueshme), dhe do ta vërtetojmë vetëm në niveli i fundit teoritë.

Nëse në një katërkëndësh mund të vërehet një pamje e tillë si këtu në figurë (këtu këndet që "shikojnë" në anën e pikave dhe janë të barabarta), atëherë brendashkruhet një katërkëndësh i tillë.

Ky është një vizatim shumë i rëndësishëm - në probleme shpesh është më e lehtë për t'u gjetur kënde të barabarta, se shuma e këndeve dhe.

Pavarësisht mungesës së plotë të ashpërsisë në formulimin tonë, ai është i saktë dhe për më tepër pranohet gjithmonë nga testuesit e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Ju duhet të shkruani diçka si kjo:

"- mbishkruar" - dhe gjithçka do të jetë mirë!

Mos harroni këtë shenjë e rëndësishme- mbani mend foton dhe ndoshta do t'ju bie në sy me kohë kur zgjidhni problemin.

Katërkëndëshi i brendashkruar. Përshkrimi i shkurtër dhe formulat bazë

Nëse një katërkëndësh është i gdhendur në një rreth, atëherë shuma e çdo dy këndesh të kundërta të tij është e barabartë me

dhe anasjelltas:

Nëse një katërkëndësh ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilëve është e barabartë, atëherë katërkëndëshi është ciklik.

Një katërkëndësh brendashkruhet në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e dy këndeve të kundërta të tij është e barabartë.

Paralelogrami i gdhendur në një rreth- sigurisht një drejtkëndësh, dhe qendra e rrethit përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve.

Një trapez i gdhendur në një rreth është izosceles.

SHUMËKËNDËSHT E GJENDUR DHE RRETHOR,

§ 106. VETITË E KUADRIAGONTËVE TË GJIDHUR DHE TË PËRSHKRUARA.

Teorema 1. Shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi ciklik është 180°.

Le të brendashkrohet një katërkëndësh ABCD në një rreth me qendër O (Fig. 412). Kërkohet të vërtetohet se / A+ / C = 180° dhe / B + / D = 180°.

/ A, siç është gdhendur në rrethin O, mat 1/2 BCD.
/ C, siç është gdhendur në të njëjtin rreth, mat 1/2 BAD.

Rrjedhimisht, shuma e këndeve A dhe C matet me gjysmën e shumës së harqeve BCD dhe BAD në shumë, këto harqe përbëjnë një rreth, pra kanë 360°;
Nga këtu / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se / B + / D = 180°. Megjithatë, kjo mund të konkludohet në një mënyrë tjetër. Ne e dimë se shuma e këndeve të brendshme katërkëndësh konveks e barabartë me 360°. Shuma e këndeve A dhe C është e barabartë me 180°, që do të thotë se edhe shuma e dy këndeve të tjera të katërkëndëshit mbetet 180°.

Teorema 2(e kundërt). Nëse në një katërkëndësh shuma e dy këndeve të kundërta është e barabartë 180° , atëherë rreth një katërkëndëshi të tillë mund të përshkruhet një rreth.

Le të jetë shuma e këndeve të kundërta të katërkëndëshit ABCD e barabartë me 180°, domethënë
/ A+ / C = 180° dhe / B + / D = 180° (vizatimi 412).

Le të vërtetojmë se një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi të tillë.

Dëshmi. Nëpër çdo 3 kulme të këtij katërkëndëshi mund të vizatoni një rreth, për shembull përmes pikave A, B dhe C. Ku do të vendoset pika D?

Pika D mund të zërë vetëm një nga tre të ardhshme pozicionet: të jesh brenda rrethit, të jesh jashtë rrethit, të jesh në perimetrin e rrethit.

Le të supozojmë se kulmi është brenda rrethit dhe merr pozicionin D" (Fig. 413). Pastaj në katërkëndëshin ABCD" do të kemi:

/ B + / D" = 2 d.

Duke vazhduar anën AD" deri në kryqëzimin me rrethin në pikën E dhe pikat lidhëse E dhe C, marrim katërkëndëshin ciklik ABCE, në të cilin, me teoremën e drejtpërdrejtë

/ B+ / E = 2 d.

Nga këto dy barazi rrjedhin:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

por kjo nuk mund të jetë, sepse / D", si i jashtëm në lidhje me trekëndëshin CD"E, duhet të jetë më shumë kënd E. Prandaj, pika D nuk mund të jetë brenda rrethit.

Është vërtetuar gjithashtu se kulmi D nuk mund të marrë pozicionin D" jashtë rrethit (Fig. 414).

Mbetet të pranohet se kulmi D duhet të shtrihet në perimetrin e rrethit, d.m.th., të përputhet me pikën E, që do të thotë se një rreth mund të përshkruhet rreth katërkëndëshit ABCD.

Pasojat. 1. Një rreth mund të përshkruhet rreth çdo drejtkëndëshi.

2. Një rreth mund të përshkruhet rreth një trapezi izosceles.

Në të dyja rastet, shuma e këndeve të kundërta është 180°.

Teorema 3. Në një katërkëndësh të rrethuar, shumat e brinjëve të kundërta janë të barabarta. Le të përshkruhet katërkëndëshi ABCD rreth një rrethi (Fig. 415), domethënë, anët e tij AB, BC, CD dhe DA janë tangjente me këtë rreth.

Kërkohet të vërtetohet se AB + CD = AD + BC. Le t'i shënojmë pikat e tangjences me shkronjat M, N, K, P. Bazuar në vetitë e tangjentave të tërhequra në një rreth nga një pikë (§ 75), kemi:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Le t'i shtojmë këto barazi term pas termi. Ne marrim:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

dmth AB + CD = AD + BC, që është ajo që duhej vërtetuar.

Ushtrime.

1. Në një katërkëndësh të brendashkruar, dy kënde të kundërta janë në raport 3:5,
dhe dy të tjerat janë në raport 4:5 Përcaktoni madhësinë e këtyre këndeve.

2. Në katërkëndëshin e përshkruar, shuma e dy brinjëve të kundërta është 45 cm. Dy brinjët e mbetura janë në raport 0,2: 0,3. Gjeni gjatësinë e këtyre anëve.

Detyra 6: në një trapezoid isosceles bazat janë 21 dhe 9 centimetra, lartësia është 8 centimetra. Gjeni rrezen e rrethit.

1. Le të kryejmë përgjysmues pingul te bazat H dhe K, atëherë qendra e rrethit O shtrihet në vijën e drejtë NK.

2. AO=OB=R. Pika O e ndan segmentin NK në dy pjesë: le të jetë HO = x, pastaj OK = 8 - x.

3. AO 2 = AK 2 + KO 2; OB 2 = VN 2 + JO 2;

meqenëse OA 2 = OB 2, marrim:

AK 2 + KO 2 = VN 2 + JO 2

90 + 64 - 16x = 0

OB 2 = HV 2 + JO 2

Përgjigje: OB = 10.625

Probleme me një rreth të gdhendur në një katërkëndësh

Detyra 7: Një rreth me rreze R është gdhendur në një romb Gjeni zonën e rombit nëse është diagonale e madhe 4 herë më i madh se rrezja rrethi i brendashkruar.

Jepet: romb, rrezja e rrethit të brendashkruar - R, BD r 4 herë

1. Le të OE = R, BD = 4OE = 4R

Problemi 8: Gjeni sipërfaqen e një trapezi izoscelular të rrethuar rreth një rrethi me rreze 4 nëse dihet që ana anësore e trapezit është 10.

Jepet: ABCD - trapezoid izoscelular, r = 4, AB = 10

1. AB = CD = 10 sipas kushtit

2. AB + CD = AD + BC nga vetia incircle

3. pas Krishtit + para Krishtit = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 4 = 8

Problemi 9: brenda trekëndëshi i rregullt me anën a janë tre rrathë të barabartë, secila prej të cilave prek dy anët e trekëndëshit dhe dy rrathë të tjerë. Gjeni sipërfaqen e pjesës së trekëndëshit që ndodhet jashtë këtyre rrathëve.

1. Le të jetë AB = BC = AC = a.

2. Le të shënojmë O 1 E = O 1 K = ED = r, pastaj AD = AE + ED = AE + r = .

3. AO 1 është përgjysmues i këndit A, pra, ? O 1 AE = 30? kurse në drejtkëndëshin?AO 1 E kemi AO 1 = 2O 1 E = 2r dhe AE ===. Atëherë AE + r = == , prej nga.

Problemi 10: i gjithë harku i një rrethi me rreze R ndahet në 4 pjesë të mëdha dhe 4 të vogla, të cilat alternohen njëra pas tjetrës. Shumica dy herë më i gjatë se i vogli. Përcaktoni sipërfaqen e një tetëkëndëshi, kulmet e të cilit janë pikat ndarëse të harkut rrethor.

1. Le të?AOB = 2x, ?BOC = x, pastaj sipas kushtit 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°

Problemi 11: Brinjët e trekëndëshit janë 12 m, 16 m dhe 20 m Gjeni lartësinë e tërhequr nga kulmi i këndit më të madh.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 është e saktë, prandaj? ABC - drejtkëndëshe (sipas teoremës, anasjellta e teoremës Pitagora)

Përgjigje: VN = 9.6

Problemi 12: V trekëndësh kënddrejtë me të është gdhendur një katror kënd i përbashkët. Gjeni sipërfaqen e katrorit nëse brinjët e trekëndëshit janë 10 m dhe 15 m.

E dhënë: ? ABC - drejtkëndëshe, AC = 15, CB = 10

1. ? ADE ~ ? ACB (? A - e zakonshme, ? ADE = ? ACB = 90°)

2. Le të jetë DE = DC = X, pastaj AD = 15 - X