Le të shqyrtojmë Shpërndarja Poisson, le të llogarisim pritshmërinë, shpërndarjen dhe mënyrën e tij matematikore. Duke përdorur funksionin MS EXCEL POISSON.DIST(), do të ndërtojmë grafikët e funksionit të shpërndarjes dhe densitetit të probabilitetit. Le të vlerësojmë parametrin e shpërndarjes, të tij pritje matematikore dhe devijimi standard.

Le ta japim të thatë fillimisht përkufizimi formal shpërndarjet, pastaj japim shembuj të situatave kur Shpërndarja Poisson(anglisht) Poissonshpërndarja) është një model adekuat për përshkrimin e një ndryshoreje të rastësishme.

Nëse ngjarjet e rastësishme ndodhin në një periudhë të caktuar kohore (ose në një vëllim të caktuar të lëndës) me një frekuencë mesatare λ( lambda), pastaj numri i ngjarjeve x, ndodhur gjatë kësaj periudhe kohore do të ketë Shpërndarja Poisson.

Zbatimi i shpërndarjes Poisson

Shembuj kur Shpërndarja Poissonështë një model adekuat:

• numri i thirrjeve të marra në central telefonik për një periudhë të caktuar kohe;
• numri i grimcave që kanë pësuar zbërthim radioaktiv gjatë një periudhe të caktuar kohore;
• numri i defekteve në një copë pëlhure me gjatësi të caktuar.

Shpërndarja Poissonështë një model adekuat nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:

• ngjarjet ndodhin të pavarura nga njëra-tjetra, d.m.th. probabiliteti i një ngjarjeje të mëvonshme nuk varet nga ajo e mëparshme;
• norma mesatare e ngjarjes është konstante. Si pasojë, probabiliteti i një ngjarjeje është proporcional me gjatësinë e intervalit të vëzhgimit;
• dy ngjarje nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë;
• numri i ngjarjeve duhet të marrë vlerën 0; 1; 2…

Shënim: Një e dhënë e mirë është se e vëzhgueshme ndryshore e rastësishme ka Shpërndarja e Poissonit,është fakti që është afërsisht i barabartë (shih më poshtë).

Më poshtë janë shembuj të situatave ku Shpërndarja Poisson nuk mundem të aplikohet:

• numri i studentëve që largohen nga universiteti brenda një ore (pasi fluksi mesatar i studentëve nuk është konstant: gjatë orëve të mësimit ka pak studentë, dhe gjatë pushimit midis orëve numri i studentëve rritet ndjeshëm);
• numri i tërmeteve me magnitudë 5 ballë në vit në Kaliforni (pasi një tërmet mund të shkaktojë pasgoditje me amplitudë të ngjashme - ngjarjet nuk janë të pavarura);
• numri i ditëve që pacientët kalojnë në njësinë e kujdesit intensiv (sepse numri i ditëve që pacientët kalojnë në njësinë e kujdesit intensiv është gjithmonë më i madh se 0).

Shënim: Shpërndarja Poissonështë një përafrim më i saktë shpërndarje diskrete: Dhe .

Shënim: Për marrëdhënien Shpërndarja Poisson Dhe Shpërndarja binomiale mund të lexohet në artikull. Rreth marrëdhënies Shpërndarja Poisson Dhe Shpërndarja eksponenciale mund të lexohet në artikullin rreth.

Shpërndarja Poisson në MS EXCEL

Në MS EXCEL, duke filluar nga versioni 2010, për Shpërndarjet Poisson ekziston një funksion POISSON.DIST() , Emri anglisht- POISSON.DIST(), i cili ju lejon të llogaritni jo vetëm probabilitetin e asaj që do të ndodhë gjatë një periudhe të caktuar kohe X ngjarjet (funksioni dendësia e probabilitetit p(x), shih formulën e mësipërme), por gjithashtu (probabiliteti që të paktën gjatë një periudhe të caktuar kohe x ngjarje).

Përpara MS EXCEL 2010, EXCEL kishte funksionin POISSON(), i cili gjithashtu ju lejon të llogaritni funksioni i shpërndarjes Dhe dendësia e probabilitetit p(x). POISSON() është lënë në MS EXCEL 2010 për pajtueshmëri.

Skedari shembull përmban grafikë Shpërndarja e densitetit të probabilitetit Dhe funksioni kumulativ i shpërndarjes.

Shpërndarja Poisson ka një formë të pjerrët ( bisht i gjatë në anën e djathtë të funksionit të probabilitetit), por me rritjen e parametrit, λ bëhet gjithnjë e më simetrik.

Shënim: Mesatare Dhe dispersion(katrore) janë të barabartë me parametrin Shpërndarja Poisson- λ (shih Shembull i skedarit të fletës Shembull).

Detyrë

Aplikim tipik Shpërndarjet Poisson në kontrollin e cilësisë është një model i numrit të defekteve që mund të shfaqen në një instrument ose pajisje.

Për shembull, me një numër mesatar defektesh në një çip λ (lambda) të barabartë me 4, probabiliteti që një çip i zgjedhur rastësisht të ketë 2 ose më pak defekte është: = POISSON.DIST(2,4, E VËRTETË)=0,2381

Parametri i tretë në funksion është vendosur = TRUE, kështu që funksioni do të kthehet funksion integral shpërndarja, pra probabiliteti që numri ngjarje të rastësishme do të jetë në rangun nga 0 deri në 4 përfshirëse.

Llogaritjet në këtë rast bëhen sipas formulës:

Probabiliteti që një mikroqark i zgjedhur rastësisht të ketë saktësisht 2 defekte është: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465

Parametri i tretë në funksion është vendosur = FALSE, kështu që funksioni do të kthejë densitetin e probabilitetit.

Probabiliteti që një mikroqark i zgjedhur rastësisht të ketë më shumë se 2 defekte është i barabartë me: =1-POISSON.DIST(2,4,E VËRTETË) =0,8535

Shënim: Nëse x nuk është një numër i plotë, atëherë kur llogaritni formulën . Formulat =POISSON.DIST( 2 ; 4; gënjeshtra) Dhe =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; gënjeshtra) do të kthejë të njëjtin rezultat.

Gjenerimi i numrave të rastësishëm dhe vlerësimi λ

Për vlerat e λ >15 , Shpërndarja Poisson të përafruar mirë Shpërndarja normale me parametrat e mëposhtëm: μ =λ , σ 2 =λ .

Më shumë detaje rreth marrëdhënies midis këtyre shpërndarjeve mund të gjenden në artikull. Ka edhe shembuj të përafrimit dhe shpjegohen kushtet se kur është e mundur dhe me çfarë saktësie.

KËSHILLA: Mund të lexoni për shpërndarjet e tjera të MS EXCEL në artikull.

Teori e shkurtër

Le të kryhen teste të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes është i barabartë me . Për të përcaktuar probabilitetin që një ngjarje të ndodhë në këto teste, përdoret formula e Bernulit. Nëse është i madh, atëherë përdorni ose. Megjithatë, kjo formulë nuk është e përshtatshme nëse është e vogël. Në këto raste (të mëdha, të vogla) ata përdorin asimptotikë formula e Poisson-it.

Le t'i vendosim vetes detyrën për të gjetur probabilitetin që, për shumë numër i madh teste, në secilën prej të cilave probabiliteti i ngjarjes është shumë i vogël, ngjarja do të ndodhë saktësisht një herë. Le të bëjmë një supozim të rëndësishëm: produkti ruan një vlerë konstante, domethënë . Kjo do të thotë se numri mesatar i ndodhive të një ngjarjeje në seri të ndryshme provash, d.m.th. në kuptime të ndryshme, mbetet i pandryshuar.

Shembull i zgjidhjes së problemit

Problemi 1

Baza mori 10,000 llamba elektrike. Probabiliteti që llamba të prishet gjatë udhëtimit është 0.0003. Gjeni probabilitetin që midis llambave të marra, pesë llambat të prishen.

Zgjidhje

Kushti për zbatueshmërinë e formulës Poisson:

Nëse probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në një provë individuale është mjaftueshëm afër zeros, atëherë edhe për vlera të mëdha të numrit të provave, probabiliteti i llogaritur nga teorema lokale Laplace rezulton të jetë i pamjaftueshëm i saktë. Në raste të tilla, përdorni formulën e nxjerrë nga Poisson.

Le të prishen ngjarja - 5 llamba

Le të përdorim formulën e Poisson:

Në rastin tonë:

Përgjigju

Problemi 2

Ndërmarrja ka 1000 pajisje lloj i caktuar. Probabiliteti që një pjesë e pajisjes të dështojë brenda një ore është 0.001. Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e dështimeve të pajisjeve në orë. Gjeni karakteristikat numerike.

Zgjidhje

Variabli i rastësishëm - numri i dështimeve të pajisjeve, mund të marrë vlera

Le të përdorim ligjin e Poisson:

Le të gjejmë këto probabilitete:

Pritshmëria dhe varianca matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit të Poisson-it është e barabartë me parametrin e kësaj shpërndarjeje:

Mesatare kostoja e zgjidhjes punë testuese 700 - 1200 rubla (por jo më pak se 300 rubla për të gjithë porosinë). Çmimi ndikohet shumë nga urgjenca e vendimit (nga një ditë në disa orë). Kostoja e ndihmës në internet për një provim/test është nga 1000 rubla. për zgjidhjen e biletës.

Ju mund të lini një kërkesë direkt në chat, pasi keni dërguar më parë kushtet e detyrës dhe ju keni informuar për kornizën kohore për zgjidhjen që ju nevojitet. Koha e përgjigjes është disa minuta.

Shumica rast i përgjithshëm lloje te ndryshme shpërndarjet e probabilitetitështë një shpërndarje binomiale. Le të përdorim shkathtësinë e tij për të përcaktuar llojet e veçanta më të zakonshme të shpërndarjeve që hasen në praktikë.

Shpërndarja binomiale

Le të ketë ndonjë ngjarje A. Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A është i barabartë me fq, probabiliteti për të mos ndodhur ngjarje A është 1 fq, ndonjëherë caktohet si q. Le n numri i testeve, m shpeshtësia e shfaqjes së ngjarjes A në këto n testet.

Dihet se probabiliteti total të gjithë kombinime të mundshme rezultati është i barabartë me një, domethënë:

1 = fq n + n · fq n 1 (1 fq) + C n n 2 · fq n 2 (1 fq) 2 + + C n m · fq m· (1 fq) n – m+ + (1 fq) n .

pritje M Shpërndarja binomiale është e barabartë me:

M = n · fq ,

Ku n numri i testeve, fq probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A.

Devijimi standard σ :

σ = sqrt( n · fq· (1 fq)) .

Shembulli 1. Llogaritni probabilitetin që një ngjarje të ketë një probabilitet fq= 0,5, in n= 10 prova do të ndodhin m= 1 herë. Ne kemi: C 10 1 = 10, dhe më tej: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Siç mund ta shohim, probabiliteti që kjo ngjarje të ndodhë është mjaft i ulët. Kjo shpjegohet, së pari, me faktin se nuk është absolutisht e qartë nëse ngjarja do të ndodhë apo jo, pasi probabiliteti është 0.5 dhe shanset këtu janë "50 me 50"; dhe së dyti, kërkohet të llogaritet se ngjarja do të ndodhë saktësisht një herë (as më shumë e as më pak) nga dhjetë.

Shembulli 2. Llogaritni probabilitetin që një ngjarje të ketë një probabilitet fq= 0,5, in n= 10 prova do të ndodhin m= 2 herë. Ne kemi: C 10 2 = 45, dhe më tej: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Gjasat që kjo ngjarje të ndodhë është rritur!

Shembulli 3. Le të rrisim gjasat e ndodhjes së vetë ngjarjes. Le ta bëjmë më të mundshme. Llogaritni probabilitetin që një ngjarje të ketë një probabilitet fq= 0,8, in n= 10 prova do të ndodhin m= 1 herë. Ne kemi: C 10 1 = 10, dhe më tej: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Probabiliteti është bërë më i vogël se në shembullin e parë! Përgjigja, në pamje të parë, duket e çuditshme, por duke qenë se ngjarja ka një probabilitet mjaft të lartë, nuk ka gjasa të ndodhë vetëm një herë. Ka më shumë gjasa që të ndodhë më shumë se një herë. Në të vërtetë, duke numëruar P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (probabiliteti që një ngjarje të ndodhë n= 10 prova do të ndodhin 0, 1, 2, 3, , 10 herë), do të shohim:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(probabiliteti më i lartë!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

sigurisht P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Shpërndarja normale

Nëse përshkruajmë sasitë P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, të cilin e kemi llogaritur në shembullin 3, në grafik, rezulton se shpërndarja e tyre ka një formë të përafërt me ligjin e shpërndarjes normale (shih Fig. 27.1) (shih leksionin 25. Modelimi i variablave të rastësishëm të shpërndarë normalisht).

Ligji i binomit bëhet normal nëse probabilitetet e ndodhjes dhe të mos ndodhjes së ngjarjes A janë afërsisht të njëjta, domethënë mund të shkruajmë me kusht: fq≈ (1 fq) . Për shembull, le të marrim n= 10 dhe fq= 0,5 (d.m.th fq= 1 fq = 0.5 ).

Do të vijmë në një problem të tillë kuptimplotë nëse, për shembull, duam të llogarisim teorikisht sa djem dhe sa vajza do të jenë nga 10 fëmijë të lindur në një maternitet në të njëjtën ditë. Më saktë do të numërojmë jo djem dhe vajza, por probabilitetin që të lindin vetëm djem, të lindin 1 djalë dhe 9 vajza, të lindin 2 djem dhe 8 vajza etj. Le të supozojmë për thjeshtësi se probabiliteti për të pasur një djalë dhe një vajzë është i njëjtë dhe i barabartë me 0,5 (por në fakt, për të qenë i sinqertë, nuk është kështu, shih kursin "Modelimi i sistemeve të inteligjencës artificiale").

Është e qartë se shpërndarja do të jetë simetrike, pasi probabiliteti për të pasur 3 djem dhe 7 vajza është i barabartë me probabilitetin për të pasur 7 djem dhe 3 vajza. Mundësia më e madhe e lindjes do të jetë 5 djem dhe 5 vajza. Ky probabilitet është 0.25, meqë ra fjala, nuk është aq i madh vlerë absolute. Më tej, probabiliteti që 10 ose 9 djem të lindin njëherësh është shumë më i vogël se probabiliteti që 5 ± 1 djalë të lindë nga 10 fëmijë. Shpërndarja binomiale do të na ndihmojë të bëjmë këtë llogaritje. Pra.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

sigurisht P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Le të shfaqim sasitë në grafik P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (shih Fig. 27.2).

Pra, sipas kushteve m ≈ n/2 dhe fq≈ 1 fq ose fq≈ 0.5 në vend të shpërndarjes binomiale, mund të përdorni atë normale. Për vlera të mëdha n grafiku zhvendoset djathtas dhe bëhet gjithnjë e më i sheshtë, pasi pritshmëria dhe varianca matematikore rriten me rritjen n : M = n · fq , D = n · fq· (1 fq) .

Nga rruga, ligji binom priret në normale dhe me rritje n, që është krejt e natyrshme, sipas qendrës teorema e kufirit(shih leksionin 34. Regjistrimi dhe përpunimi i rezultateve statistikore).

Tani merrni parasysh se si ndryshon ligji binomial në rastin kur fq ≠ q, pra fq> 0. Në këtë rast, hipoteza e shpërndarjes normale nuk mund të zbatohet, dhe shpërndarja binomiale bëhet një shpërndarje Poisson.

Shpërndarja Poisson

Shpërndarja Poisson është rast i veçantë shpërndarja binomiale (me n>> 0 dhe në fq>0 (ngjarje të rralla)).

Një formulë është e njohur nga matematika që ju lejon të llogaritni përafërsisht vlerën e çdo anëtari të shpërndarjes binomiale:

Ku a = n · fq Parametri Poisson (pritshmëria matematikore), dhe varianca është e barabartë me pritjen matematikore. Le të paraqesim llogaritjet matematikore që shpjegojnë këtë tranzicion. Ligji i shpërndarjes binomiale

P m = C n m · fq m· (1 fq) n – m

mund të shkruhet nëse vendosni fq = a/n , në formë

Sepse fqështë shumë i vogël, atëherë duhet të merren parasysh vetëm numrat m, i vogël në krahasim me n. Puna

shumë afër unitetit. E njëjta gjë vlen edhe për madhësinë

Madhësia

shumë afër e – a. Nga këtu marrim formulën:

Shembull. Kutia përmban n= 100 pjesë, me cilësi të lartë dhe me defekt. Probabiliteti për të marrë një produkt me defekt është fq= 0.01. Le të themi që nxjerrim një produkt, përcaktojmë nëse është me defekt apo jo dhe e vendosim përsëri. Duke bërë këtë, rezultoi se nga 100 produkte që kaluam, dy rezultuan me defekt. Sa janë gjasat për këtë?

Nga shpërndarja binomiale marrim:

Nga shpërndarja Poisson marrim:

Siç mund ta shihni, vlerat rezultuan të jenë të afërta, kështu që në rastin e ngjarjeve të rralla është mjaft e pranueshme të zbatohet ligji i Poisson-it, veçanërisht pasi ai kërkon më pak përpjekje llogaritëse.

Le të tregojmë grafikisht formën e ligjit të Poisson-it. Le të marrim parametrat si shembull fq = 0.05 , n= 10 . Pastaj:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

sigurisht P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Në n> ∞ shpërndarja Poisson bëhet ligj normal, sipas teoremës së kufirit qendror (shih.

Shpërndarja Poisson.

Le të shqyrtojmë më së shumti situatë tipike, në të cilën shfaqet shpërndarja Poisson. Lëreni ngjarjen A shfaqet një numër i caktuar herë në një zonë fikse të hapësirës (interval, zonë, vëllim) ose një periudhë kohe me intensitet konstant. Për të qenë specifik, merrni parasysh shfaqjen e njëpasnjëshme të ngjarjeve me kalimin e kohës, të quajtur një rrjedhë ngjarjesh. Grafikisht, rrjedha e ngjarjeve mund të ilustrohet nga shumë pika të vendosura në boshtin kohor.

Ky mund të jetë një fluks thirrjesh në sektorin e shërbimeve (riparim i pajisjeve shtëpiake, thirrje ambulance, etj.), fluks thirrjesh në një central telefonik, dështim i disa pjesëve të sistemit, zbërthimi radioaktiv, copa pëlhure ose fletë metalike dhe numri i defekteve në secilën prej tyre, etj. Shpërndarja Poisson është më e dobishme në ato probleme ku është e nevojshme të përcaktohet vetëm numri i rezultateve pozitive (“sukseset”).

Imagjinoni një simite me rrush të thatë, të ndarë në copa të vogla madhësi të barabartë. Për shkak të shpërndarja e rastësishme rrush i thatë nuk mund të pritet që të gjitha copat do t'i përmbajnë ato të njëjtin numër. Kur dihet numri mesatar i rrushit të thatë që përmbahen në këto copa, atëherë shpërndarja Poisson jep probabilitetin që çdo pjesë e caktuar të përmbajë X=k(k= 0,1,2,...,)numri i rrushit të thatë.

Me fjalë të tjera, shpërndarja Poisson përcakton se cila pjesë e një serie të gjatë pjesësh do të përmbajë të barabartë me 0, ose 1, ose 2, ose etj. numri i pikave kryesore.

Le të bëjmë supozimet e mëposhtme.

1. Probabiliteti që një numër i caktuar ngjarjesh të ndodhin në një interval të caktuar kohor varet vetëm nga gjatësia e këtij intervali, dhe jo nga pozicioni i tij në boshtin kohor. Kjo është veti e stacionaritetit.

2. Ndodhja e më shumë se një ngjarjeje në një periudhë mjaft të shkurtër kohore është praktikisht e pamundur, d.m.th. probabiliteti i kushtëzuar ndodhja e një ngjarjeje tjetër në të njëjtin interval tenton në zero në ® 0. Kjo është veti e rëndomësisë.

3. Probabiliteti i ndodhjes numri i dhënë ngjarjet në një periudhë të caktuar kohore nuk varet nga numri i ngjarjeve që shfaqen në periudha të tjera kohore. Kjo është veti e mungesës së efektit të mëtejshëm.

Një rrjedhë ngjarjesh që plotëson propozimet e mësipërme quhet më e thjeshta.

Le të shqyrtojmë një periudhë mjaft të shkurtër kohore. Bazuar në vetinë 2, ngjarja mund të shfaqet një herë në këtë interval ose të mos shfaqet fare. Le të shënojmë probabilitetin që një ngjarje të ndodhë me r, dhe mosparaqitja – përmes q = 1-fq. Probabiliteti rështë konstante (vetia 3) dhe varet vetëm nga vlera (vetia 1). Pritja matematikore e numrit të ndodhive të një ngjarjeje në interval do të jetë e barabartë me 0× q+ 1× fq = fq. Atëherë numri mesatar i ndodhive të ngjarjeve për njësi të kohës quhet intensiteti i rrjedhës dhe shënohet me a, ato. a = .

Le të shqyrtojmë segmentin përfundimtar koha t dhe ndaje me n pjesë = . Dukuritë e ngjarjeve në secilin prej këtyre intervaleve janë të pavarura (vetia 2). Le të përcaktojmë probabilitetin që në një periudhë kohore t me intensitet konstant të rrjedhjes A ngjarja do të shfaqet saktësisht X = k nuk do të shfaqet më n–k. Meqenëse një ngjarje mund në secilën prej n boshllëqet shfaqen jo më shumë se 1 herë, pastaj për pamjen e saj k një herë në një segment të kohëzgjatjes t duhet të shfaqet në ndonjë k intervale nga totali n. Ka gjithsej kombinime të tilla, dhe probabiliteti i secilit është i barabartë. Rrjedhimisht, nga teorema e mbledhjes së probabiliteteve marrim për probabilitetin e dëshiruar formula e njohur Bernoulli

Kjo barazi shkruhet si një e përafërt, pasi premisa fillestare për derivimin e saj ishte vetia 2, e cila plotësohet më saktë sa më e vogël. Për të marrë barazinë e saktë, le të kalojmë në kufirin në ® 0 ose, çfarë është e njëjta, n® . Do ta marrim pas zëvendësimit.

P = a= dhe q = 1 – .

Le të prezantojmë parametër i ri = në, që do të thotë numri mesatar i dukurive të një ngjarjeje në një segment t. Pas transformimeve të thjeshta dhe kalimit në kufirin e faktorëve, marrim.

= 1, = ,

Më në fund arrijmë

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... – bazë logaritmi natyror.

Përkufizimi. Ndryshore e rastësishme X, i cili pranon vetëm numra të plotë, vlerat pozitive 0, 1, 2, ... ka një shpërndarje Poisson me parametër nëse

Për k = 0, 1, 2, ...

Është propozuar shpërndarja Poisson Matematikan francez S.D. Poisson (1781-1840). Përdoret për të zgjidhur problemet e llogaritjes së probabiliteteve relativisht të rralla, reciprokisht të rastësishme ngjarje të pavarura për njësi të kohës, gjatësisë, sipërfaqes dhe vëllimit.

Për rastin kur a) është i madh dhe b) k= , formula Stirling është e vlefshme:

Për të llogaritur vlerat pasuese, përdoret një formulë e përsëritur

P(k + 1) = P(k).

Shembull 1. Sa është probabiliteti që nga 1000 persona në një ditë të caktuar: a) asnjë, b) një, c) dy, d) të kenë lindur tre veta?

Zgjidhje. Sepse fq= 1/365, atëherë q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Pastaj

A) ,

b) ,

V) ,

G) .

Prandaj, nëse ka mostra prej 1000 personash, atëherë numri mesatar i njerëzve që kanë lindur në një ditë të caktuar do të jetë në përputhje me rrethanat 65; 178; 244; 223.

Shembull 2. Përcaktoni vlerën në të cilën me probabilitet R ngjarja u shfaq të paktën një herë.

Zgjidhje. Ngjarja A= (shfaqet të paktën një herë) dhe = (nuk shfaqet as edhe një herë). Prandaj.

Nga këtu Dhe .

Për shembull, për R= 0,5, për R= 0,95 .

Shembull 3. Në tezgjahët e drejtuar nga një endës, ndodhin 90 thyerje fijesh brenda një ore. Gjeni probabilitetin që të paktën një ndërprerje e fillit të ndodhë në 4 minuta.

Zgjidhje. Sipas kushteve t = 4 min. dhe numri mesatar i pushimeve në minutë, nga ku . Probabiliteti i kërkuar është.

Vetitë. Pritshmëria dhe varianca matematikore e një ndryshoreje të rastësishme që ka një shpërndarje Poisson me parametër janë të barabarta me:

M(X) = D(X) = .

Këto shprehje janë marrë nga llogaritjet e drejtpërdrejta:

Këtu është bërë zëvendësimi n = k– 1 dhe fakti që .

Duke kryer transformime të ngjashme me ato të përdorura në dalje M(X), marrim

Shpërndarja Poisson përdoret për të përafruar shpërndarjen binomiale në përgjithësi n

Në shumë aplikacione praktikisht të rëndësishme, shpërndarja Poisson luan një rol të rëndësishëm. Shumë nga numrat sasi diskrete janë zbatime të një procesi Poisson me vetitë e mëposhtme:

• Ne jemi të interesuar se sa herë ndodh një ngjarje e caktuar në një gamë të caktuar të rezultateve të mundshme eksperiment i rastësishëm. Zona e rezultateve të mundshme mund të jetë një interval kohor, një segment, një sipërfaqe, etj.
• Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i njëjtë për të gjitha fushat e rezultateve të mundshme.
• Numri i ngjarjeve që ndodhin në një zonë me rezultate të mundshme është i pavarur nga numri i ngjarjeve që ndodhin në zona të tjera.
• Probabiliteti që në të njëjtën zonë të rezultateve të mundshme këtë ngjarje ndodh më shumë se një herë, priret në zero ndërsa diapazoni i rezultateve të mundshme zvogëlohet.

Për të kuptuar më tej kuptimin e procesit Poisson, supozojmë se ne shqyrtojmë numrin e klientëve që vizitojnë një degë banke të vendosur në një qendër qendrore. qarku i biznesit, gjatë drekës, d.m.th. nga ora 12 deri në 13. Supozoni se dëshironi të përcaktoni numrin e klientëve që vijnë në një minutë. A ka kjo situatë karakteristikat e listuara më sipër? Së pari, ngjarja që na intereson është ardhja e një klienti dhe diapazoni i rezultateve të mundshme është një interval prej një minutë. Sa klientë do të vijnë në bankë në një minutë - asnjë, një, dy ose më shumë? Së dyti, është e arsyeshme të supozohet se probabiliteti që një klient të arrijë brenda një minutë është i njëjtë për të gjitha intervalet një minutëshe. Së treti, ardhja e një klienti gjatë çdo intervali një minutësh është e pavarur nga mbërritja e çdo klienti tjetër gjatë çdo intervali tjetër një minutësh. Dhe së fundi, probabiliteti që më shumë se një klient të vijë në bankë tenton në zero nëse intervali kohor tenton në zero, për shembull, bëhet më pak se 0.1 s. Pra, numri i klientëve që vijnë në bankë gjatë drekës brenda një minute përshkruhet nga shpërndarja Poisson.

Shpërndarja Poisson ka një parametër, të shënuar me λ ( shkronja greke"lambda") është numri mesatar i provave të suksesshme në një zonë të caktuar të rezultateve të mundshme. Varianca e shpërndarjes Poisson është gjithashtu λ, dhe devijimi standard i saj është . Numri i provave të suksesshme X Variabla e rastësishme Poisson varion nga 0 në pafundësi. Shpërndarja Poisson përshkruhet me formulën:

Ku P(X)- probabiliteti X prova të suksesshme, λ - numri i pritur i sukseseve, e- baza e logaritmit natyror e barabartë me 2.71828, X- numri i sukseseve për njësi të kohës.

Le të kthehemi te shembulli ynë. Le të themi se gjatë pushimit të drekës në bankë vijnë mesatarisht tre klientë në minutë. Sa është probabiliteti që dy klientë të vijnë në bankë në një moment të caktuar? Sa është probabiliteti që më shumë se dy klientë të vijnë në bankë?

Le të zbatojmë formulën (1) me parametrin λ = 3. Atëherë probabiliteti që dy klientë të vijnë në bankë brenda një minutë të caktuar është i barabartë me

Probabiliteti që më shumë se dy klientë të vijnë në bankë është i barabartë me P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞). Meqenëse shuma e të gjitha probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me 1, termat e serisë në anën e djathtë të formulës paraqesin probabilitetin e mbledhjes së ngjarjes X ≤ 2. Me fjalë të tjera, shuma e kësaj serie është e barabartë me 1 - P(X ≤ 2). Kështu, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Tani, duke përdorur formulën (1), marrim:

Kështu, probabiliteti që brenda një minutë të vijnë në bankë jo më shumë se dy klientë është 0.423 (ose 42.3%), dhe probabiliteti që më shumë se dy klientë të vijnë në bankë brenda një minutë është 0.577 (ose 57.7 %).

Llogaritjet e tilla mund të duken të lodhshme, veçanërisht nëse parametri λ është mjaft i madh. Për të shmangur llogaritjet komplekse, shumë probabilitete Poisson mund të gjenden në tabela të veçanta (Fig. 1). Për shembull, probabiliteti që dy klientë të vijnë në bankë në një minutë të caktuar, nëse mesatarisht tre klientë vijnë në bankë në minutë, është në kryqëzimin e linjës. X= 2 dhe kolona λ = 3. Kështu, është e barabartë me 0,2240 ose 22,4%.

Oriz. 1. Probabiliteti Poisson në λ = 3

Në ditët e sotme, nuk ka gjasa që dikush të përdorë tabela nëse ka Excel me funksionin e tij =POISSON.DIST() në dorë (Fig. 2). Ky funksion ka tre parametra: numri i provave të suksesshme X, numri mesatar i pritshëm i provave të suksesshme λ, parametri Integrale, duke marrë dy vlera: FALSE - në këtë rast llogaritet probabiliteti i numrit të provave të suksesshme X(Vetëm X), E VËRTETË – në këtë rast probabiliteti i numrit të provave të suksesshme nga 0 në X.

Oriz. 2. Llogaritja në Probabilitetet në Excel Shpërndarja Poisson në λ = 3

Përafrimi i shpërndarjes binomiale duke përdorur shpërndarjen Poisson

Nëse numri nështë i madh dhe numri r- e vogël, shpërndarja binomiale mund të përafrohet duke përdorur shpërndarjen Poisson. Si numër më i madh n Dhe më pak numër r, aq më e lartë është saktësia e përafrimit. Modeli i mëposhtëm Poisson përdoret për të përafruar shpërndarjen binomiale.

Ku P(X)- probabiliteti X sukses me parametrat e dhënë n Dhe r, n- madhësia e mostrës, r- probabiliteti i vërtetë i suksesit, e- baza e logaritmit natyror, X- numri i sukseseve në kampion (X = 0, 1, 2, ..., n).

Teorikisht, një ndryshore e rastësishme me një shpërndarje Poisson merr vlera nga 0 në ∞. Megjithatë, në situatat kur shpërndarja Poisson përdoret për të përafruar shpërndarjen binomiale, ndryshorja e rastësishme Poisson është numri i sukseseve midis n vëzhgimet - nuk mund të tejkalojë numrin n. Nga formula (2) del se me rritjen e numrit n dhe një ulje të numrit r probabiliteti i zbulimit numër i madh shkalla e suksesit zvogëlohet dhe tenton në zero.

Siç u përmend më lart, pritshmëria µ dhe varianca σ 2 e shpërndarjes Poisson janë të barabarta me λ. Prandaj, kur përafrojmë shpërndarjen binomiale duke përdorur shpërndarjen Poisson, formula (3) duhet të përdoret për të përafruar pritshmërinë matematikore.

(3) µ = E(X) = λ =n.p.

Për të përafruar devijimin standard, përdoret formula (4).

Ju lutemi vini re se devijimi standard i llogaritur duke përdorur formulën (4) tenton të devijimi standard në modelin binomial – kur probabiliteti i suksesit fq priret në zero, dhe, në përputhje me rrethanat, probabiliteti i dështimit 1 – fq priret në unitet.

Le të supozojmë se 8% e gomave të prodhuara në një fabrikë të caktuar janë me defekt. Për të ilustruar përdorimin e shpërndarjes Poisson për të përafruar shpërndarjen binomiale, le të llogarisim probabilitetin e gjetjes së një gome me defekt në një kampion prej 20 gomash. Le të zbatojmë formulën (2), marrim

Nëse do të llogarisnim shpërndarjen e vërtetë binomiale në vend të përafrimit të saj, do të merrnim rezultatin e mëposhtëm:

Megjithatë, këto llogaritje janë mjaft të lodhshme. Megjithatë, nëse përdorni Excel për të llogaritur probabilitetet, atëherë përdorimi i përafrimit të shpërndarjes Poisson bëhet i tepërt. Në Fig. Figura 3 tregon se kompleksiteti i llogaritjeve në Excel është i njëjtë. Megjithatë, ky seksion, për mendimin tim, është i dobishëm për të kuptuar se në disa kushte shpërndarja binomiale dhe shpërndarja Poisson japin rezultate të ngjashme.

Oriz. 3. Krahasimi i kompleksitetit të llogaritjeve në Excel: (a) Shpërndarja Poisson; (b) shpërndarje binomiale

Pra, në këtë dhe në dy shënimet e mëparshme tre diskrete shpërndarjet numerike: , dhe Poisson. Për të kuptuar më mirë se si këto shpërndarje lidhen me njëra-tjetrën, ne paraqesim një pemë të vogël pyetjesh (Fig. 4).

Oriz. 4. Klasifikimi i shpërndarjeve diskrete të probabilitetit

Përdoren materiale nga libri Levin et al. – M.: Williams, 2004. – f. 320–328