Zgjidhje. Le të shënojmë ngjarjet: A - "pjesa e zgjedhur është e dëmtuar", H i - "pjesa e zgjedhur është marrë nga furnizuesi i-të", i = 1, 2, 3 Hipoteza H 1, H 2, H 3 forma grupi i plotë Jo ngjarje të përbashkëta. Sipas kushteve
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H 3) = 0.3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H 3) = 0,02

Sipas formulës probabilitet të plotë(1.11) probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0,3 · 0,02=0,036
Probabiliteti që një pjesë e zgjedhur rastësisht të jetë me defekt është 0.036.

Supozoni se në kushtet e shembullit të mëparshëm, ngjarja A ka ndodhur tashmë: pjesa e zgjedhur doli të jetë e dëmtuar. Sa është probabiliteti që ka ardhur nga furnizuesi i parë? Përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula e Bayes.
Ne filluam analizën e probabiliteteve vetëm me vlera paraprake, a priori të probabiliteteve të ngjarjeve. Më pas u krye një eksperiment (u përzgjodh një pjesë) dhe morëm informacion shtesë për ngjarjen që na intereson. Me këtë informacion të ri, ne mund të përsosim probabilitetet tona të mëparshme. Vlerat e reja të probabiliteteve të të njëjtave ngjarje do të jenë tashmë probabilitete posteriori (post-eksperimentale) të hipotezave (Fig. 1.5).

Skema e rivlerësimit të hipotezës
Le të realizohet ngjarja A vetëm së bashku me një nga hipotezat H 1 , H 2 , …, H n (një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme). Probabilitetet e mëparshme të hipotezave i shënuam si P(H i) dhe probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Nëse eksperimenti tashmë është kryer dhe si rezultat i tij ka ndodhur ngjarja A, atëherë probabilitetet e pasme të hipotezave do të jenë probabilitetet e kushtëzuara P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Në shënimin e shembullit të mëparshëm, P(H 1 |A) është probabiliteti që pjesa e zgjedhur që rezultoi e dëmtuar të jetë marrë nga furnizuesi i parë.
Na intereson probabiliteti i ngjarjes H k |A Le të shqyrtojmë shfaqjen e përbashkët të ngjarjeve H k dhe A, pra ngjarjen AH k. Probabiliteti i tij mund të gjendet në dy mënyra, duke përdorur formulat e shumëzimit (1.5) dhe (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Le të barazojmë anët e djathta të këtyre formulave
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

prandaj probabiliteti i pasëm i hipotezës H k është i barabartë me

Emëruesi përmban probabilitetin total të ngjarjes A. Duke zëvendësuar vlerën e saj në vend të P(A) sipas formulës së probabilitetit total (1.11), marrim:
(1.12)
Formula (1.12) quhet Formula e Bayes dhe përdoret për të rivlerësuar probabilitetet e hipotezave.
Në kushtet e shembullit të mëparshëm, gjejmë probabilitetin që pjesa me defekt të jetë marrë nga furnizuesi i parë. Le të vendosim kushtet e njohura për ne në një tabelë probabilitetet e mëparshme hipotezat P(H i) probabilitetet e kushtëzuara P(A|H i) të llogaritura gjatë procesit të zgjidhjes probabilitete të përbashkëta P(AH i) = P(H i) P(A|H i) dhe probabilitetet e pasme P(H k |A) të llogaritura duke përdorur formulën (1.12), i,k = 1, 2,…, n (Tabela 1.3) .

Tabela 1.3 - Rivlerësimi i hipotezave

Shembulli nr. 3. Ka tre urna identike; urna e parë përmban dy topa të bardhë dhe një të zi; në të dytën - tre të bardha dhe një të zezë; në të tretën ka dy topa të bardhë dhe dy të zinj. Për eksperimentin, një urnë zgjidhet rastësisht dhe nga ajo nxirret një top. Gjeni probabilitetin që ky top të jetë i bardhë.
Zgjidhje. Konsideroni tre hipoteza: H 1 - zgjidhet urna e parë, H 2 - zgjidhet urna e dytë, H 3 - zgjidhet urna e tretë dhe ngjarja A - vizatohet top i bardhë.
Meqenëse hipotezat sipas kushteve të problemit janë po aq të mundshme, atëherë

Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A sipas këtyre hipotezave janë përkatësisht të barabarta:
Sipas formulës së probabilitetit total

Shembulli nr. 4. Në piramidë ka 19 pushkë, 3 prej tyre me pamje optike. Një gjuajtës, duke gjuajtur nga një pushkë me një pamje optike, mund të godasë objektivin me një probabilitet prej 0.81, dhe duke gjuajtur nga një pushkë pa një pamje optike, me një probabilitet prej 0.46. Gjeni probabilitetin që një revole të godasë një objektiv duke përdorur një pushkë të rastësishme.
Zgjidhje. Këtu testi i parë është zgjedhja rastësore e një pushke, e dyta është gjuajtja në një objektiv. Merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme: A - gjuajtësi godet objektivin; H 1 - qitësi do të marrë një pushkë me një pamje optike; H 2 - qitësi do të marrë një pushkë pa një pamje optike. Ne përdorim formulën e probabilitetit total. ne kemi

Shembulli nr. 5. Nga një urnë që përmban 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj, tërhiqen dy topa në mënyrë të rastësishme dhe 1 top i bardhë i shtohet urnës. Gjeni probabilitetin që një top i zgjedhur rastësisht të jetë i bardhë.
Zgjidhje. Shënojmë ngjarjen “tërheqet një top i bardhë” nga A. Ngjarja H 1 - dy topa të bardhë vizatohen në mënyrë të rastësishme; H 2 - dy topa të zinj janë tërhequr rastësisht; H 3 - janë tërhequr një top i bardhë dhe një top i zi. Pastaj probabilitetet e hipotezave të parashtruara

Shembulli nr. 6. Dy të shtëna në shënjestër. Probabiliteti i një goditjeje në goditjen e parë është 0.2, në të dytën - 0.6. Probabiliteti i shkatërrimit të objektivit me një goditje është 0.3, me dy - 0.9. Gjeni mundësinë që objektivi të shkatërrohet.
Zgjidhje. Lëreni ngjarjen A - objektivi është shkatërruar. Për ta bërë këtë, mjafton të godisni me një goditje nga dy ose të godisni objektivin me dy të shtëna rresht pa munguar. Le të parashtrojmë hipoteza: H 1 - të dyja goditjet goditën objektivin. Pastaj P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0; 12. H 2 - herën e parë ose herën e dytë u bë një gabim. Pastaj P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Hipoteza H 3 - të dy goditjet ishin të humbura - nuk merret parasysh, pasi probabiliteti i shkatërrimit të objektivit është zero. Atëherë probabilitetet e kushtëzuara janë përkatësisht të barabarta: probabiliteti i shkatërrimit të objektivit, me kusht që të bëhen të dy goditjet e suksesshme, është P(A|H 1) = 0.9, dhe probabiliteti i shkatërrimit të objektivit, me kusht që vetëm një goditje e suksesshme të jetë P(A|H). 2) = 0,3. Atëherë probabiliteti i shkatërrimit të objektivit sipas formulës së probabilitetit total është i barabartë.

Në praktikë, shpesh është e nevojshme të përcaktohet probabiliteti që një ngjarje me interes të ndodhë me një nga ngjarjet që formojnë një grup të plotë. Teorema e mëposhtme, e cila është pasojë e teoremave të mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit, të çon në përfundimin formulë e rëndësishme për të llogaritur probabilitetin e ngjarjeve të tilla. Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Le H 1 , H 2 , … , H n është ni papajtueshëm në çift Ngjarjet që formojnë një grup të plotë:

1) të gjitha ngjarjet janë të papajtueshme në çift: H i ∩ Hj= ; i, j= 1,2, … , n; ij;

2) kombinimi i tyre formon hapësirë rezultatet elementare W:

Ngjarje të tilla quhen ndonjëherë hipoteza. Le të ndodhë ngjarja A, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet H une ( i = 1, 2, … , n). Atëherë teorema është e vërtetë.

Qëllimi i punës: zhvillojnë aftësi në zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit duke përdorur formulën e probabilitetit total dhe formulën e Bayes.

Formula e probabilitetit total

Probabiliteti i ngjarjes A, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme B x, B 2,..., B p, formimi i një grupi të plotë është i barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej këtyre ngjarjeve me probabilitetin përkatës të kushtëzuar të ngjarjes A:

Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Probabiliteti i hipotezave. Formula e Bayes

Lëreni ngjarjen A mund të ndodhë në varësi të shfaqjes së një prej ngjarjeve të papajtueshme V b 2 ,..., V p, duke formuar një grup të plotë. Meqenëse nuk dihet paraprakisht se cila nga këto ngjarje do të ndodhë, ato quhen hipoteza. Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A përcaktohet nga formula e probabilitetit total:

Le të supozojmë se është kryer një test, si rezultat i të cilit ka ndodhur një ngjarje A. Është e nevojshme të përcaktohet se si ndryshon (për shkak të faktit se ngjarja A tashmë ka mbërritur) probabiliteti i hipotezave. Probabilitetet e kushtëzuara të hipotezave gjenden duke përdorur formulën

Në këtë formulë, indeksi / = 1.2

Kjo formulë quhet formula e Bayes (e quajtur sipas matematikanit anglez që e nxori atë; botuar në 1764). Formula e Bayes na lejon të rivlerësojmë probabilitetet e hipotezave pasi të bëhet rezultat i njohur test që rezultoi në një ngjarje A.

Detyra 1. Fabrika prodhon një lloj të caktuar të pjesës, secila pjesë ka një defekt me probabilitet 0.05. Pjesa kontrollohet nga një inspektor; zbulon një defekt me një probabilitet prej 0.97, dhe nëse nuk zbulohet defekt, ai e kalon pjesën përmes produkte të gatshme. Përveç kësaj, inspektori mund të refuzojë gabimisht një pjesë që nuk ka defekt; probabiliteti për këtë është 0.01. Gjeni probabilitetet e ngjarjeve të mëposhtme: A - pjesa do të refuzohet; B - pjesa do të refuzohet, por gabimisht; C - pjesa do të kalojë në produktin e përfunduar me një defekt.

Zgjidhje

Le të tregojmë hipotezat:

N= (një pjesë standarde do të dërgohet për inspektim);

N=(një pjesë jo standarde do të dërgohet për inspektim).

Ngjarja A =(pjesa do të refuzohet).

Nga kushtet problemore gjejmë probabilitetet

R N (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

Duke përdorur formulën e probabilitetit total marrim

Probabiliteti që një pjesë të refuzohet gabimisht është

Le të gjejmë probabilitetin që një pjesë të përfshihet në produktin e përfunduar me një defekt:

Përgjigje:

Detyra 2. Produkti kontrollohet për standarditet nga një nga tre ekspertët e mallrave. Probabiliteti që produkti të arrijë te tregtari i parë është 0,25, i dyti - 0,26 dhe i treti - 0,49. Probabiliteti që produkti të njihet si standard nga tregtari i parë është 0.95, nga i dyti - 0.98 dhe nga i treti - 0.97. Gjeni probabilitetin që një produkt standard të kontrollohet nga një inspektor i dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

L. =(produkti do të shkojë te tregtari/të për inspektim); / = 1, 2, 3;

B =(produkti do të konsiderohet standard).

Sipas kushteve të problemit, probabilitetet janë të njohura:

Njihen edhe probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që një produkt standard të kontrollohet nga një inspektor i dytë:

Përgjigje:“0.263.

Detyrë 3. Dy makina prodhojnë pjesë që shkojnë në një transportues të përbashkët. Probabiliteti për të marrë një pjesë jo standarde në makinën e parë është 0.06, dhe në të dytën - 0.09. Produktiviteti i makinës së dytë është dyfishi i të parës. Një pjesë jo standarde është marrë nga linja e montimit. Gjeni probabilitetin që kjo pjesë të jetë prodhuar nga makina e dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

A. =(një pjesë e marrë nga transportuesi është prodhuar nga makina /th); / = 1,2;

NË= (pjesa e marrë do të jetë jo standarde).

Njihen edhe probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën e probabilitetit total gjejmë

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pjesa e zgjedhur jo standarde të jetë prodhuar nga makina e dytë:

Përgjigje: 0,75.

Detyra 4. Një pajisje e përbërë nga dy njësi është duke u testuar, besueshmëria e së cilës është përkatësisht 0.8 dhe 0.9. Nyjet dështojnë në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra. Pajisja dështoi. Duke marrë parasysh këtë, gjeni probabilitetin e hipotezave:

• a) vetëm nyja e parë është e gabuar;
• b) vetëm nyja e dytë është e gabuar;
• c) të dy nyjet janë të gabuara.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = (nyja e 7-të nuk do të dështojë); i = 1,2;

D - ngjarjet përkatëse të kundërta;

A= (gjatë testimit do të ketë një dështim të pajisjes).

Nga kushtet e problemës fitojmë: P(D) = 0,8; R(L 2) = 0,9.

Nga vetia e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta

Ngjarja A e barabartë me shumën e produkteve ngjarje të varura

Përdorimi i teoremës së mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme dhe teorema e shumëzimit të probabiliteteve ngjarje të pavarura, marrim

Tani gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Përgjigje:

Detyra 5. Në fabrikë, bulonat prodhohen në tre makina, të cilat prodhojnë përkatësisht 25%, 30% dhe 45% të numrit të përgjithshëm të bulonave. Në produktet e veglave të makinerisë, defektet janë përkatësisht 4%, 3% dhe 2%. Sa është probabiliteti që një bulon i marrë rastësisht nga një produkt në hyrje të jetë me defekt?

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 = (një rrufe i marrë në mënyrë të rastësishme është bërë në makinën e i-të); i = 1, 2, 3;

NË= (një rrufe i marrë rastësisht do të jetë me defekt).

Nga kushtet e problemit, duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Gjithashtu, duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, gjejmë probabilitete të kushtëzuara:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total gjejmë

Përgjigje: 0,028.

Detyra 6. Qarku elektronik i përket njërës nga tre palët me probabilitet 0.25; 0,5 dhe 0,25. Probabiliteti që qarku të funksionojë përtej afatit të shërbimit të garancisë për çdo grup është 0.1; 0.2 dhe 0.4. Gjeni probabilitetin që një qark i zgjedhur rastësisht të funksionojë përtej periudhës së tij të garancisë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 = (diagrami i marrë rastësisht nga partisë); i = 1, 2, 3;

NË= (një qark i zgjedhur rastësisht do të funksionojë përtej periudhës së garancisë).

Sipas kushteve të problemit, probabilitetet e hipotezave janë të njohura:

Probabilitetet e kushtëzuara janë gjithashtu të njohura:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total gjejmë

Përgjigje: 0,225.

Detyra 7. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja ka dështuar. Përcaktoni probabilitetin që të dy njësitë të dështojnë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = ( z-blloku do të dështojë); i = 1,2;

A= (pajisja do të dështojë).

Nga kushtet e problemës, sipas vetive të probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, fitojmë: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Ngjarja A ndodh vetëm kur të paktën një nga ngjarjet D ose A 2. Prandaj kjo ngjarje është e barabartë me shumën e ngjarjeve A= D + A 2 .

Nga teorema e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta marrim

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pajisja të dështojë për shkak të dështimit të të dy njësive.

Përgjigje:

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur Detyra 1. Në magazinën e studios televizive ka 70% të tubave të fotove të prodhuara nga uzina nr. 1; tubat e fotove të mbetura janë prodhuar nga fabrika nr. 2. Probabiliteti që tubi i fotografisë të mos dështojë gjatë jetëgjatësisë së garancisë është 0,8 për tubat e fotove nga fabrika nr. 1 dhe 0,7 për tubat e fotove nga fabrika nr. 2. Tubi i fotografisë i mbijetoi jetës së shërbimit të garancisë. Gjeni probabilitetin që të jetë prodhuar nga fabrika nr. 2.

Detyra 2. Pjesët merren për montim nga tre makina. Dihet që makina e parë jep 0,3% të defekteve, e dyta - 0,2%, e 3-ta - 0,4%. Gjeni probabilitetin e marrjes së një pjese të dëmtuar për montim nëse janë marrë 1000 pjesë nga makina e parë, 2000 nga e dyta, 2500 nga e treta.

Detyra 3. Dy makina prodhojnë pjesë identike. Probabiliteti që një pjesë e prodhuar në makinën e parë të jetë standarde është 0.8, dhe në të dytën - 0.9. Produktiviteti i makinës së dytë është tre herë më i madh se produktiviteti i të parës. Gjeni probabilitetin që një pjesë e marrë në mënyrë të rastësishme nga një transportues që merr pjesë nga të dy makinat të jetë standarde.

Detyra 4. Kreu i kompanisë vendosi të përdorë shërbimet e dy prej tre kompanive të transportit. Probabilitetet e dorëzimit të parakohshëm të ngarkesave për firmat e para, të dyta dhe të treta janë përkatësisht të barabarta me 0.05; 0.1 dhe 0.07. Pasi i krahasoi këto të dhëna me të dhënat për sigurinë e transportit të mallrave, menaxheri arriti në përfundimin se zgjedhja ishte ekuivalente dhe vendosi ta bënte atë me short. Gjeni mundësinë që ngarkesa e dërguar të dorëzohet në kohë.

Detyra 5. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja ka dështuar. Përcaktoni probabilitetin që njësia e dytë të dështojë.

Detyrë 6. Dyqani i montimit merr pjesë nga tre makina. Makina e parë jep 3% të defekteve, e dyta - 1% dhe e treta - 2%. Përcaktoni probabilitetin që një pjesë jo e dëmtuar të hyjë në montim nëse janë marrë përkatësisht 500, 200, 300 pjesë nga secila makinë.

Detyra 7. Magazina pranon produkte nga tre kompani. Për më tepër, prodhimi i kompanisë së parë është 20%, e dyta - 46% dhe e treta - 34%. Dihet gjithashtu se përqindja mesatare e produkteve jo standarde për kompaninë e parë është 5%, për të dytën - 2% dhe për të tretën - 1%. Gjeni probabilitetin që një produkt i zgjedhur rastësisht të prodhohet nga një kompani e dytë nëse rezulton të jetë standard.

Detyra 8. Defekte në produktet e fabrikës për shkak të një defekti Aështë 5%, dhe ndër të refuzuarit në bazë të A produktet janë me defekt në 10% të rasteve r. Dhe në produkte pa defekte A, defekt r ndodh në 1% të rasteve. Gjeni probabilitetin për të hasur në një defekt R në të gjitha produktet.

Detyra 9. Kompania ka 10 makina të reja dhe 5 të vjetra që më parë ishin në riparim. Probabiliteti i funksionimit të duhur për një makinë të re është 0.94, për një të vjetër - 0.91. Gjeni probabilitetin që një makinë e zgjedhur rastësisht të funksionojë siç duhet.

Problemi 10. Dy sensorë dërgojnë sinjale në një kanal të përbashkët komunikimi, ku i pari dërgon dy herë më shumë sinjale se i dyti. Probabiliteti i marrjes së një sinjali të shtrembëruar nga sensori i parë është 0.01, nga i dyti - 0.03. Sa është probabiliteti për të marrë një sinjal të shtrembëruar në kanal i përgjithshëm lidhjet?

Problemi 11. Janë pesë tufa produktesh: tre tufa me 8 copë, nga të cilat 6 janë standarde dhe 2 jo standarde, dhe dy grupe me 10 copë, nga të cilat 7 janë standarde dhe 3 janë jo standarde. Një nga grupet zgjidhet në mënyrë të rastësishme dhe një pjesë merret nga kjo grumbull. Përcaktoni probabilitetin që pjesa e marrë të jetë standarde.

Problemi 12. Montuesi merr mesatarisht 50% të pjesëve nga impianti i parë, 30% nga impianti i dytë dhe 20% nga impianti i tretë. Probabiliteti që një pjesë nga impianti i parë të jetë me cilësi të shkëlqyer është 0,7; për pjesët nga fabrika e dytë dhe e tretë, përkatësisht 0.8 dhe 0.9. Pjesa e marrë në mënyrë të rastësishme doli të ishte e cilësisë së shkëlqyer. Gjeni probabilitetin që pjesa të jetë prodhuar nga fabrika e parë.

Problemi 13. Kontrolli doganor i automjeteve kryhet nga dy inspektorë. Mesatarisht, nga 100 makina, 45 kalojnë nga inspektori i parë. Probabiliteti që gjatë inspektimit të korrespondojë një makinë rregulloret doganore, nuk do të ndalohet, është 0.95 për inspektorin e parë dhe 0.85 për të dytin. Gjeni probabilitetin që një makinë që përputhet me rregullat doganore nuk do të ndalohet.

Problemi 14. Pjesët e nevojshme për montimin e pajisjes vijnë nga dy makina, performanca e të cilave është e njëjtë. Llogaritni probabilitetin e marrjes së një pjese standarde për montim nëse njëra nga makinat jep një shkelje mesatare prej 3% të standardit, dhe e dyta - 2%.

Problemi 15. Trajneri i peshëngritjes llogariti se për të marrë pikë ekipore në një kategori të caktuar peshe, një atlet duhet të shtyjë një shtangë prej 200 kg. Ivanov, Petrov dhe Sidorov janë në garë për një vend në ekip. Gjatë stërvitjes, Ivanov u përpoq të ngrejë një peshë të tillë në 7 raste dhe e ngriti atë në 3 prej tyre. Petrov ngriti në 6 nga 13 raste, dhe Sidorov ka një shans 35% për të ngritur me sukses shtangën. Trajneri zgjedh rastësisht një atlet për ekipin.

• a) Gjeni probabilitetin që atleti i përzgjedhur t'i sjellë pikë skuadrës.
• b) Skuadra nuk ka marrë asnjë pikë. Gjeni probabilitetin që ka kryer Sidorov.

Problemi 16. Ka 12 topa të kuq dhe 6 blu në një kuti të bardhë. Në të zezë ka 15 topa të kuq dhe 10 blu. Hedhja e një zare. Nëse një numër pikësh është shumëfish i 3, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e bardhë. Nëse rrotullohet ndonjë numër tjetër pikësh, një top merret rastësisht nga kutia e zezë. Sa është probabiliteti që të shfaqet një top i kuq?

Problemi 17. Dy kuti përmbajnë tuba radio. Kutia e parë përmban 12 llamba, 1 prej të cilave është jo standarde; në të dytën ka 10 llamba, nga të cilat 1 është jo standarde. Një llambë merret rastësisht nga kutia e parë dhe vendoset në të dytën. Gjeni probabilitetin që një llambë e hequr rastësisht nga kutia e dytë të jetë jo standarde.

Problemi 18. Një top i bardhë hidhet në një urnë që përmban dy topa, pas së cilës një top tërhiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që topi i nxjerrë të jetë i bardhë nëse të gjitha supozimet e mundshme për përbërjen fillestare të topave (bazuar në ngjyrë) janë po aq të mundshme.

Problemi 19. Një pjesë standarde hidhet në një kuti që përmban 3 pjesë identike dhe më pas një pjesë hiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të hiqet nëse të gjitha supozimet e mundshme për numrin e pjesëve standarde fillimisht në kuti janë po aq të mundshme.

Problemi 20. Për të përmirësuar cilësinë e komunikimeve radio, përdoren dy marrës radio. Probabiliteti për të marrë një sinjal nga çdo marrës është 0.8, dhe këto ngjarje (marrja e sinjalit nga marrësi) janë të pavarura. Përcaktoni probabilitetin e marrjes së sinjalit nëse probabiliteti i funksionimit pa dështim gjatë një sesioni radio komunikimi për çdo marrës është 0.9.

Formula e probabilitetit total dhe formulat e Bayes

Aktiv këtë mësim ne do të shqyrtojmë pasojë e rëndësishme teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve dhe mësoni të zgjidhni detyra tipike mbi temën. Lexuesit që kanë lexuar artikullin rreth ngjarje të varura, do të jetë më e thjeshtë, pasi në të kemi filluar tashmë të përdorim formulën e probabilitetit total. Nëse keni ardhur nga një motor kërkimi dhe/ose nuk e kuptoni teoria e probabilitetit (lidhja me mësimin e parë të kursit), atëherë unë rekomandoj që së pari të vizitoni këto faqe.

Në fakt, le të vazhdojmë. Le të shqyrtojmë ngjarje e varur, e cila mund të ndodhë vetëm si rezultat i zbatimit të një prej të papajtueshmeve hipoteza , të cilat formojnë grupi i plotë. Le të dihen probabilitetet e tyre dhe probabilitetet e kushtëzuara përkatëse. Atëherë probabiliteti që ngjarja të ndodhë është:

Kjo formulë quhet formulat e probabilitetit total. Në tekstet shkollore është formuluar si teoremë, vërtetimi i së cilës është elementare: sipas algjebra e ngjarjeve, (ndodhi një ngjarje Dhe ose ka ndodhur një ngjarje Dhe pasi erdhi një ngjarje ose ka ndodhur një ngjarje Dhe pasi erdhi një ngjarje ose …. ose ka ndodhur një ngjarje Dhe pasi erdhi një ngjarje). Që nga hipotezat janë të papajtueshme, dhe ngjarja është e varur, atëherë sipas teorema e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme (hapi i parë) Dhe teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të varura (hapi i dytë):

Shumë njerëz ndoshta parashikojnë përmbajtjen e shembullit të parë =)

Kudo që të pështyni, ka një urnë:

Problemi 1

Ka tre urna identike. Urna e parë përmban 4 topa të bardhë dhe 7 të zinj, e dyta - vetëm e bardhë dhe e treta - vetëm topa të zinj. Një urnë zgjidhet rastësisht dhe nga ajo nxirret një top rastësisht. Sa është probabiliteti që ky top të jetë i zi?

Zgjidhje: merrni parasysh ngjarjen - një top i zi do të nxirret nga një urnë e zgjedhur rastësisht. Kjo ngjarje mund të ndodhë si rezultat i një prej hipotezave të mëposhtme:
- do të zgjidhet urna e parë;
- do të zgjidhet urna e dytë;
- do të zgjidhet urna e tretë.

Meqenëse urna zgjidhet në mënyrë të rastësishme, zgjedhja e cilësdo prej tre urnave po aq e mundur, pra:

Ju lutemi vini re se hipotezat e mësipërme formohen grupi i plotë i ngjarjeve d.m.th., sipas kushtit, një top i zi mund të shfaqet vetëm nga këto urna dhe, për shembull, nuk mund të dalë nga tavolina e bilardos. Le të bëjmë një kontroll të thjeshtë të ndërmjetëm:
, OK, le të vazhdojmë:

Urna e parë përmban 4 topa të bardhë + 7 të zeza = 11 topa, secila përkufizimi klasik:
- probabiliteti për të vizatuar një top të zi duke pasur parasysh se, se do të zgjidhet urna e parë.

Urna e dytë përmban vetëm topa të bardhë, pra nëse zgjidhet bëhet pamja e topit të zi e pamundur: .

Dhe së fundi, urna e tretë përmban vetëm topa të zinj, që do të thotë përkatëse probabiliteti i kushtëzuar nxjerrja e topit të zi do të jetë (ngjarja është e besueshme).

- probabiliteti që një top i zi të nxirret nga një urnë e zgjedhur rastësisht.

Përgjigju:

Shembulli i analizuar përsëri sugjeron se sa e rëndësishme është të thellohesh në GJENDJE. Le të marrim të njëjtat probleme me urnat dhe topat - pavarësisht ngjashmërisë së tyre të jashtme, metodat e zgjidhjes mund të jenë krejtësisht të ndryshme: diku duhet të përdorni vetëm përkufizimi klasik i probabilitetit, diku ngjarje të pavarur, diku i varur, dhe diku po flasim për hipoteza. Në të njëjtën kohë, nuk ka asnjë kriter të qartë zyrtar për zgjedhjen e një zgjidhjeje - pothuajse gjithmonë duhet të mendoni për të. Si të përmirësoni aftësitë tuaja? Ne vendosim, vendosim dhe vendosim përsëri!

Problemi 2

Polonia e qitjes ka 5 pushkë me saktësi të ndryshme. Probabilitetet për të goditur objektivin për një gjuajtës të caktuar janë përkatësisht të barabarta dhe 0.4. Sa është probabiliteti për të goditur objektivin nëse gjuajtësi qëllon një të shtënë nga një pushkë e zgjedhur rastësisht?

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Në shumicën detyra tematike hipotezat, natyrisht, nuk janë po aq të mundshme:

Problemi 3

Në piramidë gjenden 5 pushkë, tre prej të cilave janë të pajisura me një pamje optike. Probabiliteti që një gjuajtës të godasë objektivin kur gjuan një pushkë me një pamje teleskopike është 0,95; për një pushkë pa pamje optike, kjo probabilitet është 0.7. Gjeni probabilitetin që objektivi të goditet nëse gjuajtësi qëllon një të shtënë nga një pushkë e marrë rastësisht.

Zgjidhje: në këtë problem numri i pushkëve është saktësisht i njëjtë me atë të mëparshëm, por ka vetëm dy hipoteza:
- qitësi do të zgjedhë një pushkë me pamje optike;
- qitësi do të zgjedhë një pushkë pa pamje optike.
Nga përkufizimi klasik i probabilitetit: .
Kontrolli:

Merrni parasysh ngjarjen: - një gjuajtës godet një objektiv me një pushkë të marrë rastësisht.
Sipas kushtit: .

Sipas formulës së probabilitetit total:

Përgjigju: 0,85

Në praktikë, një mënyrë e shkurtuar e formatimit të një detyre, me të cilën jeni njohur gjithashtu, është mjaft e pranueshme:

Zgjidhje: Nga përkufizimi klasik: - probabiliteti i zgjedhjes së një pushke me pamje optike dhe pa pamje optike, përkatësisht.

Sipas kushtit, - probabiliteti i goditjes së objektivit nga llojet përkatëse të pushkëve.

Sipas formulës së probabilitetit total:
- probabiliteti që një gjuajtës të godasë një objektiv me një pushkë të zgjedhur rastësisht.

Përgjigju: 0,85

Detyrën e mëposhtme duhet ta zgjidhni vetë:

Problemi 4

Motori funksionon në tre mënyra: normale, të detyruar dhe boshe. Në modalitetin boshe, probabiliteti i dështimit të tij është 0.05, në modalitetin normal të funksionimit - 0.1, dhe në modalitetin e detyruar - 0.7. 70% të rasteve motori funksionon në modalitetin normal, dhe 20% në modalitetin e detyruar. Sa është probabiliteti i dështimit të motorit gjatë funksionimit?

Për çdo rast, më lejoni t'ju kujtoj se për të marrë vlerat e probabilitetit, përqindjet duhet të ndahen me 100. Kujdes! Sipas vëzhgimeve të mia, njerëzit shpesh përpiqen të ngatërrojnë kushtet e problemeve që përfshijnë formulën e probabilitetit total; dhe unë zgjodha në mënyrë specifike këtë shembull. Unë do t'ju them një sekret - pothuajse u hutova vetë =)

Zgjidhja në fund të orës së mësimit (formatuar në një mënyrë të shkurtër)

Probleme duke përdorur formulat e Bayes

Materiali është i lidhur ngushtë me përmbajtjen e paragrafit të mëparshëm. Lëreni që ngjarja të ndodhë si rezultat i zbatimit të njërës prej hipotezave . Si të përcaktohet probabiliteti që të ketë ndodhur një hipotezë e veçantë?

Duke pasur parasysh se atë ngjarje tashmë ka ndodhur, probabilitete hipoteze mbivlerësuar sipas formulave që morën emrin e priftit anglez Thomas Bayes:

- probabiliteti që hipoteza të ketë ndodhur;
- probabiliteti që hipoteza të ketë ndodhur;
…
- probabiliteti që hipoteza të ketë ndodhur.

Në pamje të parë duket krejtësisht absurde - pse të rillogaritni probabilitetet e hipotezave nëse ato tashmë dihen? Por në fakt ka një ndryshim:

Kjo a priori(vlerësuar te teste) probabiliteti.

Kjo a posteriori(vlerësuar pas teste) probabilitetet e të njëjtave hipoteza, të rillogaritura në lidhje me "rrethanat e zbuluara rishtazi" - duke marrë parasysh faktin se ngjarja ka ndodhur patjetër.

Le ta shohim këtë ndryshim me një shembull specifik:

Problemi 5

2 tufa produktesh mbërritën në magazinë: e para - 4000 copë, e dyta - 6000 copë. Përqindja mesatare e produkteve jo standarde në grupin e parë është 20%, dhe në të dytën - 10%. Produkti i marrë nga magazina në mënyrë të rastësishme doli të ishte standard. Gjeni probabilitetin që është: a) nga grupi i parë, b) nga grupi i dytë.

Pjesa e parë zgjidhjet konsiston në përdorimin e formulës së probabilitetit total. Me fjalë të tjera, llogaritjet kryhen nën supozimin se testi ende i pa prodhuar dhe ngjarje "produkti doli të ishte standard" ende jo.

Le të shqyrtojmë dy hipoteza:
- një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme do të jetë nga grupi i parë;
- një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme do të jetë nga grupi i dytë.

Gjithsej: 4000 + 6000 = 10000 artikuj në magazinë. Sipas përkufizimit klasik:
.

Kontrolli:

Le të shqyrtojmë ngjarjen e varur: - një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme nga magazina do të jetë standard.

Në grupin e parë 100% - 20% = 80% produkte standarde, prandaj: duke pasur parasysh se se i përket palës së parë.

Në mënyrë të ngjashme, në grupin e dytë 100% - 10% = 90% të produkteve standarde dhe - probabiliteti që një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme nga një magazinë të jetë standard duke pasur parasysh se se i përket palës së dytë.

Sipas formulës së probabilitetit total:
- probabiliteti që një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme nga një magazinë të jetë standard.

Pjesa e dyte. Lëreni që një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme nga një magazinë të dalë standard. Kjo frazë shprehet drejtpërdrejt në kusht dhe tregon faktin se ngjarja ndodhi.

Sipas formulave të Bayes:

a) - probabiliteti që produkti standard i zgjedhur i përket grupit të parë;

b) - probabiliteti që produkti standard i zgjedhur i përket grupit të dytë.

Pas rivlerësimi hipotezat, natyrisht, ende formohen grupi i plotë:
(provim;-))

Përgjigju:

Ivan Vasilyevich, i cili përsëri ndryshoi profesionin e tij dhe u bë drejtor i uzinës, do të na ndihmojë të kuptojmë kuptimin e rivlerësimit të hipotezave. Ai e di që sot punëtoria e parë dërgoi 4000 produkte në magazinë dhe punëtoria e dytë - 6000 produkte, dhe vjen të sigurohet për këtë. Le të supozojmë se të gjitha produktet janë të të njëjtit lloj dhe janë në të njëjtin enë. Natyrisht, Ivan Vasilyevich llogariti paraprakisht se produkti që ai do të hiqte tani për inspektim ka shumë të ngjarë të prodhohej nga punëtoria e parë dhe ka shumë të ngjarë nga e dyta. Por pasi produkti i zgjedhur rezulton të jetë standard, ai thërret: “Çfarë rrufe në qiell! "Më tepër u lëshua nga punëtoria e dytë." Kështu, probabiliteti i hipotezës së dytë mbivlerësohet nga anën më të mirë, dhe probabiliteti i hipotezës së parë nënvlerësohet: . Dhe ky rivlerësim nuk është i pabazuar - në fund të fundit, punëtoria e dytë jo vetëm që prodhoi më shumë produkte, por funksionon edhe 2 herë më mirë!

Subjektivizëm i pastër, thua? Pjesërisht - po, për më tepër, vetë Bayes interpretoi a posteriori probabilitetet si niveli i besimit. Sidoqoftë, jo gjithçka është kaq e thjeshtë - ekziston gjithashtu një kokërr objektive në qasjen Bayesian. Në fund të fundit, gjasat që produkti do të jetë standard (0.8 dhe 0.9 për punëtoritë e 1-rë dhe të dytë, respektivisht) Kjo paraprake(apriori) dhe mesatare vlerësimet. Por, duke folur në mënyrë filozofike, gjithçka rrjedh, gjithçka ndryshon, përfshirë edhe probabilitetet. Është mjaft e mundur që në momentin e studimit seminari i dytë më i suksesshëm rriti përqindjen e produkteve standarde të prodhuara (dhe/ose seminari i parë i reduktuar), dhe nëse kontrolloni më shumë ose të 10 mijë produktet janë në magazinë, atëherë vlerat e mbivlerësuara do të jenë shumë më afër të vërtetës.

Nga rruga, nëse Ivan Vasilyevich nxjerr një pjesë jo standarde, atëherë përkundrazi - ai do të jetë më "dyshues" për punëtorinë e parë dhe më pak për të dytin. Unë ju sugjeroj ta kontrolloni këtë vetë:

Problemi 6

2 tufa produktesh mbërritën në magazinë: e para - 4000 copë, e dyta - 6000 copë. Përqindja mesatare e produkteve jo standarde në grupin e parë është 20%, në të dytën - 10%. Produkti i marrë nga magazina në mënyrë të rastësishme rezultoi të jetë Jo standarde. Gjeni probabilitetin që është: a) nga grupi i parë, b) nga grupi i dytë.

Kushti dallohet nga dy germa, të cilat i kam theksuar me shkronja të zeza. Problemi mund të zgjidhet me " fletë e pastër", ose përdorni rezultatet e llogaritjeve të mëparshme. Në mostrën që kam kryer zgjidhje e plotë, por në mënyrë që të mos ketë mbivendosje formale me detyrën nr.5, ngjarjen "Një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme nga një magazinë do të jetë jo standard" treguar nga .

Skema Bayesian për rivlerësimin e probabiliteteve gjendet kudo, dhe gjithashtu shfrytëzohet në mënyrë aktive nga lloje të ndryshme mashtruesish. Le të marrim parasysh një shoqëri aksionare me tre shkronja që është bërë emër i njohur, që tërheq depozita nga publiku, gjoja i investon diku, paguan rregullisht dividentë etj. Çfarë po ndodh? Ditë pas dite, muaj pas muaji kalon dhe gjithnjë e më shumë fakte të reja, të përcjella përmes reklamave dhe fjalëve gojore, vetëm sa rrisin nivelin e besimit në piramida financiare (pasteriori rivlerësim Bayesian për shkak të ngjarjeve të së kaluarës!). Kjo do të thotë, në sytë e investitorëve ka një rritje të vazhdueshme të gjasave që "Kjo është një kompani serioze"; ndërsa probabiliteti i hipotezës së kundërt ("këta janë më shumë mashtrues"), natyrisht, zvogëlohet dhe zvogëlohet. Ajo që vijon, mendoj se është e qartë. Vlen të përmendet se reputacioni i fituar u jep organizatorëve kohë për t'u fshehur me sukses nga Ivan Vasilyevich, i cili mbeti jo vetëm pa një grumbull bulonash, por edhe pa pantallona.

Ne do t'i kthehemi shembujve po aq interesantë pak më vonë, por tani për tani hapi tjetër është ndoshta rasti më i zakonshëm me tre hipoteza:

Problemi 7

Llambat elektrike prodhohen në tre fabrika. Fabrika e parë prodhon 30% numri i përgjithshëm llambat, 2 - 55%, dhe 3 - pjesa tjetër. Produktet e uzinës së parë përmbajnë 1% llamba me defekt, e dyta - 1,5%, e treta - 2%. Dyqani merr produkte nga të tre fabrikat. Llamba e blerë doli të jetë me defekt. Sa është probabiliteti që është prodhuar nga impianti 2?

Vini re se në problemet në formulat e Bayes në gjendje Domosdoshmërisht ka një të caktuar çfarë ndodhi ngjarje, në në këtë rast- blerja e një llambë.

Ngjarjet janë shtuar, dhe zgjidhjeËshtë më i përshtatshëm për ta rregulluar atë në një stil "të shpejtë".

Algoritmi është saktësisht i njëjtë: në hapin e parë gjejmë probabilitetin që llamba e blerë të rezultojë e dëmtuar.

Duke përdorur të dhënat fillestare, ne konvertojmë përqindjet në probabilitete:
- probabiliteti që llamba të jetë prodhuar nga fabrikat e 1, 2 dhe 3, respektivisht.
Kontrolli:

Në mënyrë të ngjashme: - probabiliteti i prodhimit të një llambë me defekt për fabrikat përkatëse.

Sipas formulës së probabilitetit total:

- gjasat që llamba e blerë të jetë me defekt.

Hapi dy. Lëreni që llamba e blerë të dalë e dëmtuar (ngjarja ka ndodhur)

Sipas formulës së Bayes:
- probabiliteti që llamba e blerë me defekt është prodhuar nga një fabrikë e dytë

Përgjigju:

Pse u rrit probabiliteti fillestar i hipotezës së dytë pas rivlerësimit? Në fund të fundit, fabrika e dytë prodhon llamba me cilësi mesatare (e para është më e mirë, e treta është më e keqe). Pra, pse u rrit a posteriori A ka mundësi që llamba me defekt të jetë nga impianti i dytë? Kjo nuk shpjegohet më nga "reputacioni", por nga madhësia. Duke qenë se fabrika nr.2 prodhoi më shumë numër i madh llambat (më shumë se gjysma), atëherë natyra të paktën subjektive e mbivlerësimit është logjike ("Me shumë mundësi, kjo llambë me defekt është prej andej").

Është interesante të theksohet se probabilitetet e hipotezave 1 dhe 3 u mbivlerësuan në drejtimet e pritura dhe u bënë të barabarta:

Kontrolli: , e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Nga rruga, për vlerësimet e nënvlerësuara dhe të mbivlerësuara:

Problemi 8

NË grup nxënësish 3 persona kanë nivel të lartë trajnimi, 19 persona - mesatar dhe 3 - i ulët. Probabilitetet përfundim me sukses provimi për këta studentë janë përkatësisht të barabartë me: 0,95; 0.7 dhe 0.4. Dihet se një student e ka kaluar provimin. Sa është probabiliteti që:

a) ishte përgatitur shumë mirë;
b) ishte përgatitur mesatarisht;
c) ishte i përgatitur keq.

Kryeni llogaritjet dhe analizoni rezultatet e rivlerësimit të hipotezave.

Detyra është afër realitetit dhe është veçanërisht e besueshme për një grup studentësh me kohë të pjesshme, ku mësuesi praktikisht nuk ka njohuri për aftësitë e një studenti të caktuar. Në këtë rast, rezultati mund të shkaktojë pasoja mjaft të papritura. (veçanërisht për provimet në semestrin e parë). Nëse një student i përgatitur dobët ka fatin të marrë një biletë, atëherë mësuesi ka të ngjarë ta konsiderojë atë një student të mirë apo edhe student i fortë, e cila do të sjellë dividentë të mirë në të ardhmen (natyrisht, ju duhet të "ngritni shiritin" dhe të ruani imazhin tuaj). Nëse një student studionte, grumbullohej dhe përsëriste për 7 ditë e 7 netë, por ishte thjesht i pafat, atëherë ngjarje të mëtejshme mund të zhvillohet në mënyrën më të keqe të mundshme - me mulliganë të shumtë dhe balancim në prag të eliminimit.

Eshtë e panevojshme të thuhet, reputacioni është kapitali më i rëndësishëm, nuk është rastësi që shumë korporata mbajnë emrat e baballarëve të tyre themelues, të cilët drejtuan biznesin 100-200 vjet më parë dhe u bënë të famshëm për reputacionin e tyre të patëmetë.

Po, qasja Bayesian në në një masë të caktuar subjektive, por... keshtu funksionon jeta!

Le ta konsolidojmë materialin me një shembull përfundimtar industrial, në të cilin do të flas për ndërlikimet teknike të panjohura deri tani të zgjidhjes:

Problemi 9

Tre punishte të uzinës prodhojnë të njëjtin lloj pjesësh, të cilat dërgohen në një kontejner të përbashkët për montim. Dihet që punishtja e parë prodhon 2 herë më shumë detaje se punëtoria e dytë dhe 4 herë më shumë se punëtoria e tretë. Në punëtorinë e parë shkalla e defektit është 12%, në të dytën - 8%, në të tretën - 4%. Për kontroll, një pjesë merret nga ena. Sa është probabiliteti që ai të jetë me defekt? Sa është probabiliteti që pjesa e nxjerrë me defekt të jetë prodhuar nga punishtja e tretë?

Ivan Vasilyevich është përsëri mbi kalë =) Filmi duhet të ketë një fund të lumtur =)

Zgjidhje: ndryshe nga problemat nr. 5-8, këtu shtrohet në mënyrë eksplicite një pyetje, e cila zgjidhet duke përdorur formulën e probabilitetit total. Por nga ana tjetër, gjendja është pak e "kriptuar" dhe aftësia shkollore për të hartuar ekuacione të thjeshta do të na ndihmojë të zgjidhim këtë enigmë. Është e përshtatshme për të marrë vlerën më të vogël si "x":

Le të jetë pjesa e pjesëve të prodhuara nga punishtja e tretë.

Sipas kushtit, punishtja e parë prodhon 4 herë më shumë se punishtja e tretë, pra pjesa e punishtes së parë është .

Përveç kësaj, punishtja e parë prodhon 2 herë më shumë produkte se punishtja e dytë, që do të thotë pjesa e kësaj të fundit: .

Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

Kështu: - probabiliteti që pjesa e hequr nga kontejneri të jetë prodhuar nga punëtoritë e 1, 2 dhe 3, përkatësisht.

Kontrolli:. Përveç kësaj, nuk do të dëmtonte ta shikonim përsëri frazën “Dihet që punishtja e parë prodhon produkte 2 herë më shumë se e dyta punëtori dhe 4 herë më e madhe se punëtoria e tretë" dhe sigurohuni që vlerat e fituara të probabilitetit të përputhen me këtë kusht.

Fillimisht, mund të merret pjesa e 1-së ose pjesa e punëtorisë së dytë si "X" - probabilitetet do të ishin të njëjta. Por, në një mënyrë apo tjetër, pjesa më e vështirë ka kaluar dhe zgjidhja është në rrugën e duhur:

Nga gjendja gjejmë:
- probabiliteti i prodhimit të një pjese me defekt për punishtet përkatëse.

Sipas formulës së probabilitetit total:
- gjasat që një pjesë e hequr rastësisht nga një enë do të rezultojë të jetë jo standarde.

Pyetja e dytë: sa është probabiliteti që pjesa e nxjerrë me defekt të jetë prodhuar nga punishtja e tretë? Kjo pyetje supozon se pjesa tashmë është hequr dhe ka rezultuar me defekt. Ne rivlerësojmë hipotezën duke përdorur formulën e Bayes:
- probabiliteti i dëshiruar. Plotësisht e pritshme - në fund të fundit, punëtoria e tretë jo vetëm që prodhon përqindjen më të vogël të pjesëve, por edhe kryeson në cilësi!

Përpiluar nga mësuesi i departamentit matematikë e lartë Ishchanov T.R. Mësimi nr. 4. Formula e probabilitetit total. Probabiliteti i hipotezave. Formulat e Bayes.

Materiali teorik
Formula e probabilitetit total
Teorema. Probabiliteti i ngjarjes A, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme që formojnë një grup të plotë, është e barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej këtyre ngjarjeve me probabilitetin përkatës të kushtëzuar të ngjarjes A:

.
Kjo formulë quhet "formula e probabilitetit total".

Dëshmi. Sipas kushtit, ngjarja A mund të ndodhë nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme. Me fjalë të tjera, ndodhja e ngjarjes A nënkupton ndodhjen e njërës prej ngjarjeve të papajtueshme, pavarësisht se cilës. Duke përdorur teoremën e mbledhjes për të llogaritur probabilitetin e ngjarjes A, marrim
. (*)
Mbetet për të llogaritur secilin prej termave. Nga teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të varura kemi
.
Duke zëvendësuar anët e djathta të këtyre barazive në relacionin (*), marrim formulën për probabilitetin total

Shembulli 1. Ka dy grupe pjesësh. Probabiliteti që pjesa e grupit të parë të jetë standard është 0.8, dhe e dyta është 0.9. Gjeni probabilitetin që një pjesë e marrë në mënyrë të rastësishme (nga një grup i marrë rastësisht) është standarde.
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen "pjesa e nxjerrë është standarde".
Pjesa mund të merret ose nga grupi i parë (ngjarja) ose nga i dyti (ngjarja).
Probabiliteti që një pjesë të merret nga grupi i parë është .
Probabiliteti që një pjesë të merret nga grupi i dytë është .
Probabiliteti i kushtëzuar që një pjesë standarde do të nxirret nga grupi i parë, .
Probabiliteti i kushtëzuar që një pjesë standarde do të nxirret nga grupi i dytë .
Probabiliteti i kërkuar që një pjesë e nxjerrë në mënyrë të rastësishme të jetë standarde, sipas formulës së probabilitetit total, është e barabartë me

Shembulli 2. Kutia e parë përmban 20 tuba radio, nga të cilat 18 janë standarde; në kutinë e dytë ka 10 llamba, nga të cilat 9 janë standarde. Një llambë merret rastësisht nga kutia e dytë dhe vendoset në të parën. Gjeni probabilitetin që një llambë e nxjerrë në mënyrë të rastësishme nga kutia e parë të jetë standarde.
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen "një llambë standarde hiqet nga kutia e parë".
Nga kutia e dytë, mund të hiqet ose një llambë standarde (ngjarje) ose një llambë (ngjarje) jo standarde.
Probabiliteti që një llambë standarde të hiqet nga kutia e dytë është .
Probabiliteti që një llambë jo standarde të hiqet nga kutia e dytë është
Probabiliteti i kushtëzuar që një llambë standarde të hiqet nga kutia e parë, me kusht që një llambë standarde të jetë transferuar nga kutia e dytë në të parën, është e barabartë me .
Probabiliteti i kushtëzuar që një llambë standarde të hiqet nga kutia e parë, me kusht që një llambë jo standarde të jetë transferuar nga kutia e dytë në të parën, është e barabartë me .
Probabiliteti i kërkuar që një llambë standarde të hiqet nga kutia e parë, sipas formulës së probabilitetit total, është e barabartë me

Probabiliteti i hipotezave. Formulat e Bayes

Supozoni se ngjarja A mund të ndodhë në varësi të shfaqjes së një prej ngjarjeve të papajtueshme që formojnë një grup të plotë. Meqenëse nuk dihet paraprakisht se cila nga këto ngjarje do të ndodhë, ato quhen hipoteza. Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A përcaktohet nga formula e probabilitetit total:

Le të supozojmë se u krye një test, si rezultat i së cilës u shfaq ngjarja A, le të vendosim detyrën tonë për të përcaktuar se si kanë ndryshuar probabilitetet e hipotezave (për shkak të faktit se ngjarja A ka ndodhur tashmë). Me fjalë të tjera, ne do të kërkojmë probabilitete të kushtëzuara

Le të gjejmë fillimisht probabilitetin e kushtëzuar. Nga teorema e shumëzimit kemi

.

Duke zëvendësuar P(A) këtu duke përdorur formulën (*), marrim

Në mënyrë të ngjashme, janë nxjerrë formula që përcaktojnë probabilitetet e kushtëzuara të hipotezave të mbetura, d.m.th. probabiliteti i kushtëzuar i çdo hipoteze mund të llogaritet duke përdorur formulën

Formulat që rezultojnë quhen Formulat e Bayes(emërtuar sipas matematikanit anglez që i nxori ato; botuar në 1764). Formulat e Bayes na lejojnë të rivlerësojmë probabilitetet e hipotezave pasi rezultati i testit që rezultoi në ngjarjen A të bëhet i njohur.

Shembull. Pjesët e prodhuara nga punishtja e fabrikës i dërgohen njërit nga dy inspektorët për të kontrolluar standardin e tyre. Probabiliteti që pjesa t'i shkojë inspektorit të parë është 0.6, dhe tek i dyti - 0.4. Probabiliteti që një pjesë e përshtatshme të njihet si standard nga inspektori i parë është 0.94, dhe nga i dyti - 0.98. Pjesa e vlefshme u zbulua se ishte standarde gjatë inspektimit. Gjeni probabilitetin që inspektori i parë të ketë kontrolluar këtë pjesë.
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen që një pjesë e përshtatshme njihet si standard. Mund të bëhen dy supozime:
1) pjesa është kontrolluar nga inspektori i parë (hipoteza);
2) pjesa është kontrolluar nga inspektori i dytë (hipoteza). Ne gjejmë probabilitetin e dëshiruar që pjesa është kontrolluar nga inspektori i parë duke përdorur formulën Bayes:

Sipas kushteve të problemit kemi:
(probabiliteti që pjesa të arrijë tek inspektori i parë);
(probabiliteti që pjesa të arrijë tek inspektori i dytë);
(probabiliteti që një pjesë e përshtatshme do të njihet si standard nga inspektori i parë);
(probabiliteti që një pjesë e përshtatshme do të njihet si standard nga inspektori i dytë).
Probabiliteti i kërkuar

Siç mund ta shihni, para testit probabiliteti i hipotezës ishte 0.6 pasi rezultati i testit u bë i njohur, probabiliteti i kësaj hipoteze (më saktë, probabiliteti i kushtëzuar) ndryshoi dhe u bë i barabartë me 0.59. Kështu, përdorimi i formulës së Bayes bëri të mundur mbivlerësimin e probabilitetit të hipotezës në shqyrtim.

Material praktik.
1. (4) Montuesi mori 3 kuti me pjesë të prodhuara nga uzina nr. 1 dhe 2 kuti me pjesë të prodhuara nga uzina nr. 2. Probabiliteti që një pjesë nga uzina nr. 1 të jetë standarde është 0,8 dhe ajo nga uzina nr. 2 është 0.9, Assembler rastësisht mori pjesën nga një kuti e zgjedhur rastësisht. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të hiqet.
Rep. 0,84.
2. (5) Kutia e parë përmban 20 pjesë, nga të cilat 15 janë standarde; në të dytën ka 30 pjesë, nga të cilat 24 janë standarde; në të tretën ka 10 pjesë, nga të cilat 6 janë standarde. Gjeni probabilitetin që një pjesë e marrë në mënyrë të rastësishme nga një kuti e marrë në mënyrë të rastësishme është standarde.
Rep. 43/60.
3. (6) Ka 4 kineskopë në studion televizive. Probabilitetet që kineskopi t'i rezistojë jetëgjatësisë së shërbimit të garancisë janë përkatësisht të barabarta me 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Gjeni probabilitetin që një kineskop i marrë në mënyrë të rastësishme t'i rezistojë periudhës së garancisë.
Rep. 0,875.
4. (3) Grupi i sportistëve përbëhet nga 20 skiatorë, 6 çiklistë dhe 4 vrapues. Probabiliteti i përmbushjes së standardit të kualifikimit është si më poshtë: për një skiator - 0.9, për një çiklist - 0.8. dhe për vrapuesin - 0,75. Gjeni probabilitetin që një atlet i zgjedhur rastësisht të përmbushë normën.
Rep. 0,86.
5. (C) Ka 12 topa të kuq dhe 6 blu në një kuti të bardhë. Në të zezë ka 15 topa të kuq dhe 10 blu. Hedhja e një zare. Nëse një numër pikësh është shumëfish i 3, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e bardhë. Nëse rrotullohet ndonjë numër tjetër pikësh, një top merret rastësisht nga kutia e zezë. Sa është probabiliteti që të shfaqet një top i kuq?
Zgjidhje:
Dy hipoteza janë të mundshme:
– gjatë hedhjes së zarit do të shfaqet numri i pikëve që është shumëfish i 3, d.m.th. ose 3 ose 6;
– gjatë hedhjes së zarit do të shfaqet një numër i ndryshëm pikësh, d.m.th. ose 1 ose 2 ose 4 ose 5.
Sipas përkufizimit klasik, probabilitetet e hipotezave janë të barabarta me:

Duke qenë se hipotezat përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh, barazia duhet të plotësohet

Lëreni që ngjarja A të përbëhet nga pamja e një topi të kuq. Probabilitetet e kushtëzuara të kësaj ngjarjeje varen nga cila hipotezë është realizuar dhe në përputhje me rrethanat janë:

Atëherë, sipas formulës së probabilitetit total, probabiliteti i ngjarjes A do të jetë i barabartë me:

6. (7) Dy kuti përmbajnë radio tuba. Kutia e parë përmban 12 llamba, 1 prej të cilave është jo standarde; në të dytën ka 10 llamba, nga të cilat 1 është jo standarde. Një llambë merret rastësisht nga kutia e parë dhe vendoset në të dytën. Gjeni probabilitetin që një llambë e hequr rastësisht nga kutia e dytë të jetë jo standarde.
Rep. 13/132.

7. (89 D) Një top i bardhë hidhet në një urnë që përmban dy topa, pas së cilës një top tërhiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që topi i nxjerrë të jetë i bardhë nëse të gjitha supozimet e mundshme për përbërjen fillestare të topave (bazuar në ngjyrë) janë po aq të mundshme.
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen - vizatohet një top i bardhë. Supozimet (hipotezat) e mëposhtme për përbërjen fillestare të topave janë të mundshme: - nuk ka topa të bardhë, - një top të bardhë, - dy topa të bardhë.
Meqenëse janë gjithsej tre hipoteza, dhe sipas kushtit ato janë njësoj të mundshme, dhe shuma e probabiliteteve të hipotezave është e barabartë me një (pasi ato formojnë një grup të plotë ngjarjesh), atëherë probabiliteti i secilës prej hipotezave është e barabartë me 1/3, d.m.th. .
Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë, duke pasur parasysh që fillimisht nuk kishte topa të bardhë në urnë, .
Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë, duke pasur parasysh që fillimisht kishte një top të bardhë në urnë, .
Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë duke pasur parasysh se fillimisht kishte dy topa të bardhë në urnë.
Ne gjejmë probabilitetin e kërkuar që një top i bardhë të vizatohet duke përdorur formulën e probabilitetit total:

8. (10) Një pjesë standarde hidhet në një kuti që përmban 3 pjesë identike, dhe më pas një pjesë vizatohet në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të hiqet nëse të gjitha supozimet e mundshme për numrin e pjesëve standarde fillimisht në kuti janë po aq të mundshme.
Rep. 0,625.

9. (6.5.2L) Për të përmirësuar cilësinë e komunikimeve radio, përdoren dy radio marrës. Probabiliteti për të marrë një sinjal nga çdo marrës është 0.8, dhe këto ngjarje (marrja e sinjalit nga marrësi) janë të pavarura. Përcaktoni probabilitetin e marrjes së sinjalit nëse probabiliteti i funksionimit pa dështim gjatë një sesioni radio komunikimi për çdo marrës është 0.9.
Zgjidhje.
Lëreni ngjarjen A = (sinjali do të merret). Le të shqyrtojmë katër hipoteza:

=(marrësi i parë po punon, i dyti jo);

=(i dyti funksionon, i pari jo);

=(të dy marrës janë duke punuar);

=(të dy marrësit nuk funksionojnë).

Ngjarja A mund të ndodhë vetëm në një nga këto hipoteza. Le të gjejmë probabilitetin e këtyre hipotezave duke marrë parasysh ngjarjet e mëposhtme:

=(marrësi i parë është duke punuar),

=(marrësi i dytë është duke punuar).

Kontrolli:

.

Probabilitetet e kushtëzuara janë përkatësisht të barabarta me:

;

;

Tani, duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë probabilitetin e dëshiruar

10. (11) Nëse makina devijon nga mënyra normale e funksionimit, alarmi C-1 aktivizohet me një probabilitet prej 0,8 dhe alarmi C-11 aktivizohet me një probabilitet prej 1. Probabilitetet që makina të jetë e pajisur me një C Alarmi -1 ose C-11 janë përkatësisht të barabartë me 0, 6 dhe 0.4. Është marrë një sinjal për prerjen e automatikut. Çfarë ka më shumë gjasa: makina është e pajisur me një pajisje sinjalizimi S-1 ose S-11?
Rep. Probabiliteti që makina të jetë e pajisur me një pajisje sinjalizuese S-1 është 6/11, dhe S-11 është 5/11

11. (12) Për pjesëmarrje në garat sportive kualifikuese të studentëve, nga grupi i parë i lëndës janë ndarë 4 studentë, nga i dyti 6 dhe nga grupi i tretë 5. Probabilitetet që një student i grupit të parë, të dytë dhe të tretë të futet në ekipin e institutit janë përkatësisht të barabarta me 0,9; 0.7 dhe 0.8. Një nxënës i përzgjedhur rastësisht përfundoi në ekipin kombëtar si rezultat i konkursit. Cilit grup i përkiste më shumë gjasa ky student?
Rep. Probabilitetet që të zgjidhet një nxënës i grupit të parë, të dytë, të tretë janë përkatësisht: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K)V kompani tregtare Televizorët mbërritën nga tre furnizues në një raport 1:4:5. Praktika ka treguar se televizorët që vijnë nga furnizuesit e parë, të dytë dhe të tretë nuk do të kërkojnë riparime gjatë periudhës së garancisë në 98, 88 dhe 92% të rasteve, respektivisht.
1) Gjeni probabilitetin që një televizor i marrë nga një kompani tregtare të mos kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë.
2) Televizori i shitur kërkonte riparime gjatë periudhës së garancisë. Nga cili furnizues ka më shumë gjasa të vijë ky TV?
Zgjidhje.
Le të shënojmë ngjarjet: - TV mbërriti në kompaninë tregtare nga furnizuesi i i-të (i=1,2,3);
A – TV nuk do të kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë.
Sipas kushteve

Sipas formulës së probabilitetit total

TV Event do të kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë; .
Sipas kushteve

Sipas formulës së Bayes

;

Kështu, pas ndodhjes së ngjarjes, probabiliteti i hipotezës u rrit me në maksimum, dhe hipoteza u ul nga maksimumi në; nëse më parë (para ndodhjes së ngjarjes A) hipoteza më e mundshme ishte, tani, në dritën e informacione të reja(ndodhja e ngjarjes A), hipoteza më e mundshme është se ky TV do të vijë nga furnizuesi i dytë.

13. (1.35K) Dihet se mesatarisht 95% e produkteve të prodhuara plotësojnë standardin. Një skemë e thjeshtuar kontrolli njeh një produkt si të përshtatshëm me një probabilitet prej 0.98 nëse është standard dhe me një probabilitet prej 0.06 nëse është jo standard. Përcaktoni probabilitetin që:
1) një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme do t'i nënshtrohet kontrollit të thjeshtuar;
2) një produkt standard nëse: a) ka kaluar kontroll të thjeshtuar; b) kaloi dy herë kontrollin e thjeshtuar.
Zgjidhje.
1). Le të shënojmë ngjarjet:
- një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme, standarde ose jo standarde, përkatësisht;
- produkti ka kaluar kontroll të thjeshtuar.

Sipas kushteve

Probabiliteti që një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme të kalojë kontrollin e thjeshtuar, sipas formulës së probabilitetit total:

2, a). Probabiliteti që një produkt që ka kaluar kontrollin e thjeshtuar është standard, sipas formulës Bayes:

2, b). Lëreni ngjarjen - produkti të kalojë dy herë në kontroll të thjeshtuar. Pastaj, nga teorema e shumëzimit të probabilitetit:

Sipas formulës së Bayes

është shumë i vogël, atëherë hipoteza se një produkt që ka kaluar kontrollin e thjeshtuar dy herë është jo standard duhet të hidhet poshtë si një ngjarje praktikisht e pamundur.

14. (1.36 K) Dy gjuajtës qëllojnë në një objektiv të pavarur nga njëri-tjetri, secili duke gjuajtur një të shtënë. Probabiliteti për të goditur objektivin për gjuajtësin e parë është 0.8; për të dytën - 0.4. Pas të shtënave, në objektiv është gjetur një vrimë. Sa është probabiliteti që i përket:
a) gjuajtës i parë;
b) gjuajtës i dytë?
Zgjidhje.
Le të shënojmë ngjarjet:

Të dy gjuajtësit humbën objektivin;

Të dy gjuajtësit goditën objektivin;

Gjuajtësi i parë goditi objektivin, i dyti jo;

Gjuajtësi i parë humbi objektivin, i dyti humbi;

Ka një vrimë në objektiv (një goditje).