Bir denklem sistemi verilen bir fonksiyonun kısmi türevleri. Bir denklem sistemi tarafından verilen örtülü fonksiyonların türevlerinin hesaplanması

Fonksiyonun denklem kullanılarak örtülü olarak belirtilmesine izin verin
(1) .
Ve bu denklemin bir değeri olsun tek çözüm.
.
Fonksiyon noktada türevlenebilir bir fonksiyon olsun ve
(2) .

Daha sonra bu değerde aşağıdaki formülle belirlenen bir türev vardır:

Kanıt
.
Bunu kanıtlamak için fonksiyonu değişkenin karmaşık bir fonksiyonu olarak düşünün: Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygulayalım ve soldan değişkene göre türevi bulalım ve doğru parçalar
(3) :
.
denklemler
(4) ;
.

Bir sabitin türevi sıfır ve olduğundan, o zaman

Formül kanıtlanmıştır.

Yüksek dereceli türevler
(4) .
Denklemi (4) farklı gösterimler kullanarak yeniden yazalım:
;
.
Aynı zamanda ve değişkeninin karmaşık fonksiyonlarıdır:
(1) .

Bağımlılık denklem (1) ile belirlenir:
Denklemin (4) sol ve sağ taraflarından bir değişkene göre türevi buluyoruz.
;
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:

.
Ürün türev formülüne göre:


.

Türev toplamı formülünü kullanarak:
(5) .
Denklemin (4) sağ tarafının türevi sıfıra eşit olduğundan, o zaman

Türevi burada değiştirerek ikinci dereceden türevin değerini örtülü biçimde elde ederiz.
.
Denklemin (5) benzer şekilde türevini alarak üçüncü dereceden türevi içeren bir denklem elde ederiz:

Burada birinci ve ikinci dereceden türevlerin bulunan değerlerini değiştirerek üçüncü dereceden türevin değerini buluyoruz.

Farklılaşmaya devam ederek herhangi bir mertebeden türev bulunabilir.

Örnekler

Örnek 1
Denklemin örtülü olarak verdiği fonksiyonun birinci dereceden türevini bulun: .

(P1)

Formül 2'ye göre çözüm
(2) .

Türevi formül (2)'yi kullanarak buluyoruz: Tüm değişkenleri şuraya taşıyalım: sol taraf
.
böylece denklem şu şekli alır.

Buradan.
;
;
;
.

Sabit olduğunu düşünerek, 'ye göre türevi buluyoruz.
;
;
;
.

Sabit değişkeni dikkate alarak değişkene göre türevi buluyoruz.
.

Formül (2)'yi kullanarak şunu buluruz:
.
Orijinal denklem (A.1)'e göre, .
.

yerine koyalım:

Pay ve paydayı şu şekilde çarpın:

İkinci yol çözümü
.
Türev kesir formülünü uyguluyoruz:
;
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz:
.
Haydi farklılaşalım orijinal denklem(P1).
Denklemin örtülü olarak verdiği fonksiyonun birinci dereceden türevini bulun: ;
;
.
Terimleri çarpıyoruz ve gruplandırıyoruz.
;
.

(Denklem (A1)'den) yerine koyalım:
.
Şununla çarpın:
.

Cevap

Örnek 2

Aşağıdaki denklemi kullanarak örtülü olarak verilen fonksiyonun ikinci dereceden türevini bulun:
(A2.1) .

Çözüm

Orijinal denklemin aşağıdakilerin bir fonksiyonu olduğunu göz önünde bulundurarak değişkene göre farklılaştırıyoruz:
;
.
Türev formülünü uygula karmaşık fonksiyon.
.

Orijinal denklemin (A2.1) türevini alalım:
;
.
Orijinal denklemden (A2.1) şu çıkar.
.
yerine koyalım:
;
Parantezleri açın ve üyeleri gruplayın: .
(A2.2)
Birinci dereceden türevi buluyoruz: .

(A2.3)
;
;
;
.
İkinci dereceden türevi bulmak için denklemin (A2.2) türevini alırız.
.
Şununla çarpın:

;
.
Birinci dereceden türev (A2.3) yerine ifadeyi koyalım:

Cevap

Buradan ikinci dereceden türevi buluyoruz.

Örnek 3
Aşağıdaki denklemi kullanarak örtülü olarak verilen fonksiyonun üçüncü dereceden türevini bulun: .

Çözüm

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Orijinal denklemin değişkene göre türevini alıyoruz, bunun bir fonksiyonu olduğunu varsayarak. ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Denklemin (A3.2) değişkenine göre türevini alalım. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Denklemin (A3.3) türevini alalım. .

(A3.4)
;
;
.

(A3.2), (A3.3) ve (A3.4) denklemlerinden türevlerin değerlerini buluyoruz.

Bir denklem sistemi verildiğindeveya kısaca(F, X)=0 (1)

senX= Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(FF) Açık D R

,

N F ) Açık : veya kısaca(F , Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(F)) = 0.

Eğer

Teorem (bir denklem sistemi tarafından örtülü olarak tanımlanan bir haritalamanın varlığı ve benzersizliği). İzin vermekSonra bir mahallede (F 0 senX = Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(F) bu mahallede tanımlanmış benzersiz bir işlev (harita) var

 F Sonra bir mahallede (F 0 ) : veya kısaca(F, Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(F), öyle kiX 0 = Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(F 0 ).

))=0 veF 0 .

Bu fonksiyon noktanın bazı komşuluklarında sürekli olarak türevlenebilir

5. Bir denklem sistemi tarafından belirtilen örtülü fonksiyonların türevlerinin hesaplanması

(1)

Sistem göz önüne alındığında Varlık ve teklik teoreminin koşullarının sağlandığını varsayacağız.örtülü işlev X= Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(F) . , bu denklem sistemi tarafından verilir. Bu fonksiyonu gösterelim F 0 Sonra noktanın bir mahallesinde

kimlikler geçerlidir (2)

(F(x, f(x))=0) F Bu kimlikleri farklılaştıran J

=0 (3)

aldık Bu eşitlikler şu şekilde yazılabilir:

, (3)

matris formu

.

veya genişletilmiş biçimde veya kısaca(F, Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(F))=0 Eşitlikten geçişe dikkat edin
, İle F durum için farklılaşma kurallarına karşılık gelir X Ve tek boyutlu uzayın noktalarıdır. Matris
koşula göre dejenere değildir, bu nedenle matris denklemi
bir çözümü var . Bu şekilde örtülü fonksiyonların birinci dereceden kısmi türevlerini bulabilirsiniz.

. Diferansiyelleri bulmak için belirttiğimiz = ,ölmek = dx (2) J

=0 ,

, eşitliklerin farklılaştırılması

. (4)

veya matris formunda

.

Genişletilmiş (4) tek boyutlu uzaylarda olduğu gibi aynı forma sahibiz R=1, P=1. Bunun çözümü matris denklemişeklinde yazılacaktır
. İkinci dereceden kısmi türevleri bulmak için kimliklerin türevini almak gerekecektir. (3) (ikinci dereceden diferansiyelleri hesaplamak için kimlikleri ayırt etmeniz gerekir (4) ). Böylece elde ederiz

,

nereden geçiyor A gerekli olanları içermeyen terimler belirtilir
.

Türevlerin belirlenmesi için bu sistemin katsayı matrisi
Jacobian matrisi görevi görür .

Benzer bir formül diferansiyeller için de elde edilebilir. Bu durumların her birinde aynı katsayı matrisine sahip bir matris denklemi elde edilecektir. İstenilen türevleri veya diferansiyelleri belirlemek için bir denklem sisteminde. Bundan sonraki farklılaşmalarda da aynı şey olacaktır.

Örnek 1. Bul ,,bu noktada sen=1, v=1.

Çözüm. Verilen eşitliklerin türevini alın

(5)

Sorunun formülasyonuna göre bağımsız değişkenleri dikkate almamız gerektiğini unutmayın. F, X. Daha sonra işlevler şöyle olacaktır: z, sen, v. Böylece sistem (5) bilinmeyenlerle ilgili çözülmeli du, dv, dz . Matris formunda şöyle görünür

.

Bu sistemi Cramer kuralını kullanarak çözelim. Katsayı matrisinin determinantı

, Üçüncü "ikame edilmiş" belirleyici dz eşit olacaktır (son sütunu genişleterek hesaplıyoruz)

, Daha sonra

dz =
, Ve
,
.

Haydi farklılaşalım (5) Bir kez daha ( F, X – bağımsız değişkenler)

Sistemin katsayı matrisi aynı, üçüncü determinant

Bu sistemi çözerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: D 2 z İstediğiniz türevi burada bulabilirsiniz.

Örtük olarak, yani değişkenleri birbirine bağlayan belirli denklemlerle belirtilen fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz. F Ve X. Örtülü olarak belirtilen işlevlere örnekler:

,

,

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevleri veya örtülü fonksiyonların türevleri oldukça basit bir şekilde bulunur. Şimdi ilgili kurala ve örneğe bakalım ve ardından genel olarak bunun neden gerekli olduğunu öğrenelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmak için denklemin her iki tarafının x'e göre türevini almanız gerekir. Yalnızca X'in mevcut olduğu terimler, fonksiyonun X'ten olağan türevine dönüşecektir. Ve oyun X'in bir fonksiyonu olduğundan, oyunun terimleri karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı kullanılarak türevlendirilmelidir. Oldukça basit bir şekilde ifade etmek gerekirse, terimin x ile elde edilen türevi şu sonucu vermelidir: fonksiyonun y'den türevi ile çarpı y'den türev. Örneğin bir terimin türevi olarak, bir terimin türevi olarak yazılacaktır. Daha sonra, tüm bunlardan bu "oyun vuruşunu" ifade etmeniz gerekiyor ve örtülü olarak belirtilen fonksiyonun istenen türevi elde edilecektir. Buna bir örnekle bakalım.

Örnek 1.

Çözüm. i'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu varsayarak denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz:

Buradan görevde gerekli olan türevi elde ederiz:

Şimdi örtülü olarak belirtilen fonksiyonların belirsiz özellikleri ve bunların farklılaşması için neden özel kurallara ihtiyaç duyulduğu hakkında bir şeyler konuşalım. Bazı durumlarda, değişikliğin şu şekilde olduğunu doğrulayabilirsiniz: verilen denklem(yukarıdaki örneklere bakın) y yerine x üzerinden ifadesi bu denklemin bir özdeşliğe dönüşmesine yol açar. Bu yüzden. Yukarıdaki denklem dolaylı olarak aşağıdaki işlevleri tanımlar:

Kareli oyunun ifadesini x'e kadar orijinal denklemde değiştirdikten sonra özdeşliği elde ederiz:

.

Yerine koyduğumuz ifadeler oyunun denklemi çözülerek elde edildi.

Karşılık gelen açık fonksiyonun türevini alırsak

o zaman örtülü olarak belirtilen bir fonksiyondan örnek 1'deki gibi cevabı alırız:

Ancak örtülü olarak belirtilen her işlev formda temsil edilemez. X = Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(F) . Yani, örneğin örtülü olarak belirtilen işlevler

yoluyla ifade edilmez temel işlevler yani bu denklemler oyuncuya göre çözülemez. Bu nedenle, örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini almak için daha önce incelediğimiz ve diğer örneklerde tutarlı bir şekilde uygulamaya devam edeceğimiz bir kural vardır.

Örnek 2.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

.

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonun asal değerini ve - çıktıda - türevini ifade ederiz:

Örnek 3.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

.

Çözüm. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alırız:

.

Örnek 4.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

.

Çözüm. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alırız:

.

Türevi ifade edip elde ediyoruz:

.

Örnek 5.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa taşıyıp sağda sıfır bırakıyoruz. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz.

Daha yüksek dereceli türevler, formül (1)'in ardışık farklılaşmasıyla bulunur.

Örnek. Bul ve if (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Çözüm. Bu denklemin sol tarafını ifade ederek Tanım. Sistem (1) örtülü olarak belirtilen bir işlevi tanımlar(x,y) kısmi türevleri bulun

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Buradan formül (1)'i uygulayarak şunu elde ederiz:

.

İkinci türevi bulmak için türevine göre türev alırız X bulunan ilk türev dikkate alındığında en bir x fonksiyonu var:

.

2°. Birkaç bağımsız değişkenin durumu. Benzer şekilde, eğer denklem F(x, y, z)=0, Nerede F(x, y, z) - değişkenlerin türevlenebilir fonksiyonu x, y durum için farklılaşma kurallarına karşılık gelir z, belirler z bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonu olarak X Ve en durum için farklılaşma kurallarına karşılık gelir Fz(x, y, z)≠ 0 ise bunun kısmi türevleri örtülü olarak verilen fonksiyon genel olarak konuşursak, formüller kullanılarak bulunabilir

z fonksiyonunun türevlerini bulmanın başka bir yolu aşağıdaki gibidir: denklemin türevini alarak F(x, y, z) = 0, şunu elde ederiz:

.

Buradan belirleyebiliriz dz, ve bu nedenle.

Örnek. Bul ve eğer x ² - 2y²+3z² -yz +y =0.

1. yöntem. Bu denklemin sol tarafını ifade ederek F(x, y, z) kısmi türevleri bulalım F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Formül (2)'yi uygulayarak şunu elde ederiz:

2. yöntem. Bu denklemin farklılığını alırsak şunu elde ederiz:

2xdx-4senö +6zdz-sendz-zöl +d=0

Buradan belirliyoruz dz, yani örtülü fonksiyonun toplam diferansiyeli:

.

Formülle karşılaştırma , bunu görüyoruz

.

3°. Örtülü İşlev Sistemi. İki denklemli bir sistem ise

tanımlar sen Ve v x ve y değişkenlerinin ve Jacobian'ın fonksiyonları olarak

,

daha sonra bu fonksiyonların diferansiyelleri (ve dolayısıyla kısmi türevleri) denklem sisteminden bulunabilir.

Örnek: Denklemler u+v=x+y, xu+yv=1 belirlemek sen Ve v işlevler olarak X Ve en; bulmak .

Çözüm. 1. yöntem. Her iki denklemin x'e göre türevini aldığımızda şunu elde ederiz:

.

Benzer şekilde şunları buluyoruz:

.

2. yöntem. Farklılaşma yoluyla, dört değişkenin tamamının diferansiyellerini birbirine bağlayan iki denklem buluruz: sen +dv =dx +ölmek,Xsen +sendx +sendv+vd=0.

Bu sistemi diferansiyeller için çözme du Ve dv, şunu elde ederiz:

4°. Parametrik spesifikasyon işlevler. Eğer r değişkenlerinin fonksiyonu X Ve en denklemlerle parametrik olarak verilir x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Ve

,

o zaman bu fonksiyonun diferansiyeli denklem sisteminden bulunabilir.

Diferansiyel bilmek dz=p dx+q dy, kısmi türevleri buluyoruz ve .

Örnek. İşlev z argümanlar X Ve en denklemlerle verilir x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Bul ve .

Çözüm. 1. yöntem. Farklılaşma yoluyla, beş değişkenin tamamının diferansiyellerini bağlayan üç denklem buluruz:

İlk iki denklemden belirlediğimiz du Ve dv:

.

Bulunan değerleri üçüncü denklemde yerine koyalım du Ve dv:

.

2. yöntem. Verilen üçüncü denklemden şunu bulabiliriz:

Öncelikle ilk iki denklemin türevini alalım. X, sonra en:

Bulduğumuz ilk sistemden: .

İkinci sistemden şunları buluyoruz: .

İfadeleri formül (5)'e yerleştirerek şunu elde ederiz:

Değişkenleri değiştirme

Diferansiyel ifadelerdeki değişkenleri değiştirirken, bunların içerdiği türevler, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kurallarına göre diğer türevler cinsinden ifade edilmelidir.

1°. Sıradan türevler içeren ifadelerdeki değişkenlerin değiştirilmesi.

,

inanmak.

enİle X türevleri aracılığıyla enİle T. Sahibiz:

,

.

Türevler için bulunan ifadeleri bu denklemde yerine koymak ve değiştirmek X aracılığıyla şunu elde ederiz:

Örnek. Denklemi Dönüştür

,

bunu bir argüman olarak kabul ediyorum en ve x fonksiyonu için.

Çözüm. Türevlerini ifade edelim enİle X türevleri aracılığıyla Xİle sen.

.

Bu türev ifadelerini bu denklemde yerine koyarsak:

,

veya nihayet,

.

Örnek. Denklemi Dönüştür

devam etmek kutupsal koordinatlar

Çözüm. Düşünülüyor R bir fonksiyon olarak φ formül (1)'den şunu elde ederiz:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Bilindiği gibi, bir değişkenin örtülü olarak verilen bir fonksiyonu şu şekilde tanımlanır: bağımsız değişken x'in y fonksiyonu, y'ye göre çözülmeyen bir denklemle veriliyorsa örtülü olarak adlandırılır:

Örnek 1.11.

Denklem

örtülü olarak iki işlevi belirtir:

Ve denklem

herhangi bir işlev belirtmez.

Teorem 1.2 (örtük bir fonksiyonun varlığı).

Z =f(x,y) fonksiyonu ve onun kısmi türevleri f"x ve f"y M0(x0y0) noktasının bazı UM0 komşuluklarında tanımlı ve sürekli olsun. Ek olarak, f(x0,y0)=0 ve f"(x0,y0)≠0, bu durumda denklem (1.33), UM0'ın komşuluğunda, belirli bir D aralığında sürekli ve türevlenebilir bir örtülü y= y(x) fonksiyonunu tanımlar. merkezi x0 noktasında ve y(x0)=y0.

Kanıt yok.

Teorem 1.2'den bu D aralığında şu sonucu çıkar:

yani içinde bir kimlik var

(1.31)'e göre “toplam” türev bulunur

Yani (1.35), bir x değişkeninin örtülü olarak verilen bir fonksiyonunun türevini bulmak için bir formül verir.

İki veya daha fazla değişkenin örtülü bir fonksiyonu benzer şekilde tanımlanır.

Örneğin, eğer Oxyz uzayının bir V bölgesinde denklem geçerliyse:

daha sonra F fonksiyonundaki belirli koşullar altında, fonksiyonu örtülü olarak tanımlar

Ayrıca (1.35)'e benzetilerek kısmi türevleri şu şekilde bulunur:

Örnek 1.12. Denklemin olduğunu varsayarak

örtülü olarak bir işlevi tanımlar

z"x, z"y'yi bulun.

dolayısıyla (1.37)'ye göre cevabı elde ederiz.

11.Kısmi türevlerin geometride kullanımı.

12.İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları.

İki değişkenli bir fonksiyonun maksimum, minimum ve ekstremum kavramları, tek bağımsız değişkenli bir fonksiyonun karşılık gelen kavramlarına benzer (bkz. bölüm 25.4).

z = ƒ(x;y) fonksiyonunun bir D tanım kümesinde, N(x0;y0) О D noktasında tanımlı olmasına izin verin.

Eğer (x0;y0) noktasının her (x;y) noktası için farklı olacak şekilde bir d-komşusu varsa, bir (x0;y0) noktasına z=ƒ(x;y) fonksiyonunun maksimum noktası denir. (xo;yo), bu komşuluktan itibaren ƒ(x;y) eşitsizliği geçerlidir<ƒ(хо;уо).

A Fonksiyonun minimum noktası da benzer şekilde belirlenir: (x0; y0) dışındaki tüm (x; y) noktaları için, (xo; yo) noktasının d-komşuluğundan itibaren aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: ƒ(x) ; y)>ƒ(x0; y0).

Şekil 210'da: z=ƒ(x;y) fonksiyonunun maksimum noktası N1, minimum noktası ise N2'dir.

Fonksiyonun maksimum (minimum) noktasındaki değerine fonksiyonun maksimumu (minimum) denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine ekstremum değerleri denir.

Tanım gereği, fonksiyonun uç noktasının, fonksiyonun tanım alanı içinde yer aldığını unutmayın; Maksimum ve minimum yerel (yerel) bir karaktere sahiptir: fonksiyonun (x0; y0) noktasındaki değeri, (x0; y0) noktasına yeterince yakın noktalardaki değerleriyle karşılaştırılır. D bölgesinde, bir fonksiyonun birden fazla ekstreması olabilir veya hiç olmayabilir.

46.2. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar

Bir fonksiyonun ekstremumunun varoluş koşullarını ele alalım.

Teorem 46.1 (bir ekstremum için gerekli koşullar). N(x0;y0) noktasında diferansiyellenebilir z=ƒ(x;y) fonksiyonunun bir ekstremumu varsa, bu noktadaki kısmi türevleri sıfıra eşittir: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Değişkenlerden birini düzeltelim. Örneğin y=y0'ı koyalım. Daha sonra, x = x0'da bir ekstremuma sahip olan, tek değişkenli bir ƒ(x;y0)=φ(x) fonksiyonunu elde ederiz. Bu nedenle, tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşula göre (bkz. bölüm 25.4), φ"(x0) = 0, yani ƒ"x(x0;y0)=0.

Benzer şekilde ƒ"y(x0;y0) = 0 olduğu da gösterilebilir.

Geometrik olarak, ƒ"x(x0;y0)=0 ve ƒ"y(x0;y0)=0 eşitlikleri, z=ƒ(x;y) fonksiyonunun uç noktasında, yüzeyi temsil eden yüzeye teğet düzlemin olduğu anlamına gelir. Teğet düzleminin denklemi z=z0 olduğundan (bkz. formül (45.2)) fonksiyonu ƒ(x;y) ), Oksi düzlemine paraleldir.

Z Not. Bir fonksiyon, kısmi türevlerinden en az birinin mevcut olmadığı noktalarda bir ekstrema sahip olabilir. Örneğin, fonksiyon O(0;0) noktasında bir maksimuma sahiptir (bkz. Şekil 211), ancak bu noktada kısmi türevleri yoktur.

z ≈ ƒ(x; y) fonksiyonunun birinci dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu noktaya, yani f"x=0, f"y=0, z fonksiyonunun durağan noktası olarak adlandırılır.

Durağan noktalar ve en az bir kısmi türevinin bulunmadığı noktalara kritik noktalar denir.

Kritik noktalarda fonksiyonun bir ekstremumu olabilir veya olmayabilir. Kısmi türevlerin sıfıra eşitliği gereklidir ancak gerekli değildir. yeterli koşul bir ekstremumun varlığı. Örneğin z = xy fonksiyonunu düşünün. Onun için O(0; 0) noktası kritiktir (burada z"x=y ve z"y - x yok olur). Bununla birlikte, z=xy fonksiyonunun içinde bir ekstremum yoktur, çünkü O(0; 0) noktasının yeterince küçük bir komşuluğunda z>0 (birinci ve üçüncü çeyreğin noktaları) ve z olan noktalar vardır.< 0 (точки II и IV четвертей).

Bu nedenle, bir fonksiyonun belirli bir alandaki ekstremumlarını bulmak için fonksiyonun her kritik noktasını ek araştırmalara tabi tutmak gerekir.

Teorem 46.2 (bir ekstremum için yeterli koşul). içeri gir sabit nokta(xo;y0) ve bazı komşuluklarına göre, ƒ(x;y) fonksiyonunun ikinci mertebeye kadar sürekli kısmi türevleri vardır. (x0;y0) noktasında A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) değerlerini hesaplayalım. . Haydi belirtelim

1. eğer Δ > 0 ise, (x0;y0) noktasındaki ƒ(x;y) fonksiyonunun bir ekstremumu vardır: A ise maksimum< 0; минимум, если А > 0;

2. eğer Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Δ = 0 durumunda (x0;y0) noktasında bir ekstremum olabilir veya olmayabilir. Daha fazla araştırmaya ihtiyaç var.

GÖREVLER

1.

Örnek. Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını bulun. Çözüm.İlk adım bir fonksiyonun tanımının tanım kümesini bulma. Örneğimizde paydadaki ifadenin sıfıra gitmemesi gerekir, dolayısıyla . Türev fonksiyonuna geçelim: Yeterli bir kritere dayanarak bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için tanım alanındaki eşitsizlikleri çözeriz. Aralık yönteminin bir genellemesini kullanalım. Payın tek gerçek kökü x = 2 ve payda sıfıra gider x = 0. Bu noktalar tanım alanını, fonksiyonun türevinin işaretini koruduğu aralıklara böler. Bu noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. Türevin pozitif veya negatif olduğu aralıkları geleneksel olarak artılar ve eksilerle belirtiriz. Aşağıdaki oklar şematik olarak fonksiyonun karşılık gelen aralıktaki artışını veya azalmasını göstermektedir. Böylece, Ve . bu noktada x = 2 fonksiyon tanımlı ve sürekli olduğundan hem artan hem de azalan aralıklara eklenmelidir. bu noktada x = 0 fonksiyon tanımlı olmadığından bu noktayı gerekli aralıklara dahil etmiyoruz. Elde edilen sonuçları karşılaştırmak için fonksiyonun bir grafiğini sunuyoruz. Cevap: fonksiyon artar , aralıkta azalır (0; 2] .

2.

Örnekler.

Bir eğrinin dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını ayarlama X = 2 – F 2 .

bulacağız X"" ve ikinci türevin nerede pozitif, nerede negatif olduğunu belirleyin. X" = –2F, X"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

X = e F. X"" = eÇünkü F herhangi biri için x > 0

X = F 3 . X"" = 6F, bu durumda eğri her yerde içbükeydir. X"" < 0 при F < 0 и X, O F"" > 0 F < 0 кривая выпукла, а при F> 0. Bu nedenle ne zaman

3.

4. z=x^2-y^2+5x+4y fonksiyonu, l=3i-4j vektörü ve A(3,2) noktası verildiğinde. dz/dl'yi bulun (anladığım kadarıyla fonksiyonun vektör yönünde türevi), gradz(A), |gradz(A)|. Kısmi türevleri bulalım: z(x'e göre)=2x+5 z(y'ye göre)=-2y+4 A(3,2) noktasındaki türevlerin değerlerini bulalım: z(ile x'e göre)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y'ye göre)(3,2)=-2*2+4=0 Buradan, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 z fonksiyonunun l vektörü yönünde türevi: dz/dl=z(x'te)*cosa+z(y'de)*cosb , a, vektörün b açıları l koordinat eksenleri ile. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.