Modelleme en önemli araçlardan biridir. modern yaşam geleceği öngörmek istediklerinde. Ve bu şaşırtıcı değil çünkü bu yöntemin doğruluğu çok yüksek. Gelin bu yazı çerçevesinde ne olduğuna bakalım. deterministik model.
Genel bilgi
Deterministik sistem modelleri, yeterince basit olmaları durumunda analitik olarak incelenebilme özelliğine sahiptir. Tersi durumda ise önemli sayıda denklem ve değişken kullanıldığında elektronik bilgisayarlar bu amaçla kullanılabilir. Dahası, bilgisayar yardımı, kural olarak, yalnızca bunları çözmeye ve cevap bulmaya indirgenir. Bu nedenle denklem sistemlerinin değiştirilmesi ve farklı bir ayrıklaştırma kullanılması gerekmektedir. Bu da hesaplamalarda hata riskinin artmasına neden olur. Her türlü deterministik model, belirli bir çalışılan aralıktaki parametrelerin bilgisinin, bilinen göstergelerin sınır ötesindeki gelişim dinamiklerini tam olarak belirlememize olanak sağlamasıyla karakterize edilir.
Özellikler
Faktör modelleme
Buna yapılan atıflar makale boyunca görülebilir, ancak bunun ne olduğunu henüz tartışmadık. Faktör modelleme, niceliksel karşılaştırmanın gerekli olduğu ana hükümlerin belirlendiğini ima eder. Belirtilen hedeflere ulaşmak için araştırma formu dönüştürür.
Kesin olarak deterministik bir model ikiden fazla faktöre sahipse buna çok faktörlü denir. Analizi kullanılarak yapılabilir. çeşitli teknikler. Örnek olarak verelim. Bu durumda, verilen görevleri önceden belirlenmiş ve önceden çalışılmış modeller açısından ele alıyor. Aralarında seçim içeriklerine göre yapılır.
Yüksek kaliteli bir model oluşturmak için teorik ve deneysel çalışmalaröz teknolojik süreç ve neden-sonuç ilişkileri. Bu tam olarak ele aldığımız konuların ana avantajıdır. Deterministik modeller hayatımızın birçok alanında doğru tahminlerde bulunmaya olanak sağlar. Kalite parametreleri ve çok yönlülükleri sayesinde çok yaygınlaştılar.
Sibernetik deterministik modeller
Agresif özelliklerdeki en önemsiz değişikliklerde bile meydana gelen analize dayalı geçici süreçler nedeniyle bizi ilgilendiriyorlar. dış çevre. Hesaplamaların basitliği ve hızı için mevcut durum durumlarda basitleştirilmiş bir model ile değiştirilmiştir. Tüm temel ihtiyaçları karşılaması önemlidir.
Otomatik kontrol sisteminin performansı ve verdiği kararların etkinliği, gerekli tüm parametrelerin birliğine bağlıdır. Bu durumda şu sorunu çözmek gerekir: Ne kadar çok bilgi toplanırsa hata olasılığı o kadar yüksek ve işlem süresi o kadar uzun olur. Ancak veri toplama işleminizi sınırlarsanız daha az güvenilir bir sonuç bekleyebilirsiniz. Bu nedenle bulmak gerekli altın ortalama Yeterli doğrulukta bilgi elde etmenize olanak sağlayacak ve aynı zamanda gereksiz unsurlarla gereksiz yere karmaşık olmayacaktır.
Çarpımsal deterministik model
Faktörlerin birçok parçaya bölünmesiyle oluşturulur. Örnek olarak, üretilen ürünlerin (PP) hacmini oluşturma sürecini düşünebiliriz. Yani bunun için emeğe (PC), malzemeye (M) ve enerjiye (E) ihtiyacınız var. Bu durumda PP faktörü bir kümeye (RS;M;E) bölünebilir. Bu seçenek, faktör sisteminin çarpımsal biçimini ve bölünme olasılığını yansıtır. Bu durumda aşağıdaki dönüştürme yöntemlerini kullanabilirsiniz: genişletme, biçimsel ayrıştırma ve uzatma. İlk seçenek analizde geniş uygulama alanı buldu. Bir çalışanın performansını vb. hesaplamak için kullanılabilir.
Uzatma sırasında bir değerin yerini başka faktörler alır. Ama sonuçta aynı sayı olmalı. Yukarıda bir uzama örneği tartışılmıştı. Geriye kalan tek şey biçimsel ayrıştırmadır. Bir veya daha fazla parametrenin değiştirilmesi nedeniyle orijinal faktör modelinin paydasının uzatılmasının kullanılmasını içerir. Şu örneği ele alalım: Üretimin karlılığını hesaplıyoruz. Bunu yapmak için, kar miktarı maliyet miktarına bölünür. Çarpma sırasında tek bir değer yerine malzeme, personel, vergi vb. giderlerin toplamına bölüyoruz.
Olasılıklar
Ah, keşke her şey planlandığı gibi gitseydi! Ancak bu nadiren olur. Bu nedenle pratikte deterministik ve ikincisi hakkında ne söylenebilir? sıklıkla birlikte kullanılmaktadır. Onların özelliği, çeşitli olasılıkları da hesaba katmalarıdır. Örneğin aşağıdakini ele alalım. İki devlet var. Aralarındaki ilişki çok kötü. Üçüncü bir taraf, ülkelerden birindeki işletmelere yatırım yapılıp yapılmayacağına karar verir. Sonuçta, eğer bir savaş çıkarsa kârlar büyük zarar görecek. Ya da yüksek bir bölgede tesis kurma örneğini verebilirsiniz. sismik aktivite. Burada çalışıyorlar doğal faktörler Doğru bir şekilde dikkate alınamayan bu ancak yaklaşık olarak yapılabilir.
Çözüm
Modellerin neler olduğuna baktık deterministik analiz. Ne yazık ki bunları tam olarak anlamak ve pratikte uygulayabilmek için çok iyi çalışmanız gerekiyor. Teorik temeller zaten orada. Ayrıca makale çerçevesinde ayrı basit örnekler. Daha sonra, çalışma malzemesini kademeli olarak karmaşıklaştırma yolunu takip etmek daha iyidir. Görevinizi biraz basitleştirebilir ve çalışmaya başlayabilirsiniz. yazılım Uygun simülasyonları gerçekleştirebilen. Ancak seçim ne olursa olsun, temelleri anlamak ve ne, nasıl ve neden sorularına cevap verebilmek hala gereklidir. İlk önce doğru giriş verilerini seçmeyi öğrenmeli ve gerekli eylemler. Daha sonra programlar görevlerini başarıyla tamamlayabilecektir.
Şu ana kadar bahsettiğimiz sistem modelleri deterministik (kesin) yani; Giriş etkisini belirlemek, sistemin çıkışını benzersiz bir şekilde belirler. Ancak pratikte bu nadiren olur: açıklama gerçek sistemler belirsizlik genellikle doğuştan gelir. Örneğin statik bir model için (2.1) ilişkisi yazılarak belirsizlik dikkate alınabilir.
sistem çıkışına normalleştirilen hata nerede.
Belirsizliğin nedenleri çeşitlidir:
– sistem girdi ve çıktılarının ölçümündeki hatalar ve girişimler (doğal hatalar);
– modele yapay olarak bir hatanın dahil edilmesini zorlayan sistem modelinin kendisinin yanlışlığı;
– sistem parametreleri vb. hakkında eksik bilgi.
Arasında çeşitli şekillerde belirsizliğin açıklığa kavuşturulması ve resmileştirilmesi en büyük dağıtım belirsiz miktarların rastgele kabul edildiği kaotik (olasılıksal) bir yaklaşım aldı. Olasılık teorisinin kavramsal ve hesaplamalı aygıtını geliştirdi ve matematiksel istatistik sistemin yapısını seçme ve parametrelerini değerlendirme konusunda özel öneriler vermenizi sağlar. Stokastik sistem modellerinin ve bunların çalışmalarına yönelik yöntemlerin sınıflandırılması Tablo'da sunulmaktadır. 1.4. Sonuçlar ve öneriler ortalama etkiye dayanmaktadır: rastgele sapmalar Belirli bir miktarın beklenen değerinden ölçüm sonuçları toplandığında birbirini iptal eder ve aritmetik ortalama büyük sayıölçümler beklenen değere yakın çıkmıştır. Matematiksel formülasyonlar bu etki kanunla verilmiştir büyük sayılar ve merkezi limit teoremi. Büyük sayılar kanunu şunu belirtir: Eğer matematiksel beklenti (ortalama değer) ve varyansa sahip rastgele değişkenler varsa, o zaman
yeterince büyük N. Bu, ölçümlere dayanarak keyfi olarak doğru bir değerlendirme yapmanın temel olasılığını gösterir. (2.32)’yi açıklığa kavuşturan merkezi limit teoremi şunu belirtir:
standart normal dağılımlı rastgele değişken nerede
Miktarın dağılımı iyi bilindiğinden ve tablolaştırıldığından (örneğin, (2.33) ilişkisinin tahmin hatasını hesaplamaya izin verdiği bilinmektedir. Örneğin, tahminde hatanın kaç ölçümde olduğunu bulmak istiyorsunuz) 0,95 olasılıklı matematiksel beklentileri 0,01'den küçük olacaktır, eğer her ölçümün varyansı 0,25 ise (2,33)'ten aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olması gerektiğini elde ederiz: N> 10000.
Elbette (2.32), (2.33) formüllerine daha fazla yer verilebilir. katı bakış ve bu olasılıksal yakınsama kavramları kullanılarak kolayca yapılabilir. Bu katı açıklamaların koşullarını test etmeye çalışırken zorluklar ortaya çıkıyor. Örneğin büyük sayılar kanununda ve merkezi limit teoremi bireysel ölçümlerin (uygulamaların) bağımsızlığı gereklidir rastgele değişken ve varyansının sonluluğu. Bu koşullar ihlal edilirse, sonuçlar da ihlal edilebilir. Örneğin, eğer tüm ölçümler çakışırsa: o zaman diğer tüm koşullar karşılansa da ortalama alma sorunu söz konusu olamaz. Başka bir örnek: Rastgele değişkenler Cauchy yasasına göre (sonlu olmayan bir dağılım yoğunluğuyla) dağıtılıyorsa büyük sayılar yasası geçerli değildir. matematiksel beklenti ve dağılım. Ama hayatta böyle bir yasa var! Örneğin, Cauchy'ye göre, doğrusal bir kıyıdaki noktaların bütünleşik aydınlatması, denizde (bir gemide) bulunan ve eşit şekilde dönen bir projektör tarafından dağıtılır ve açılır. rastgele anlar zaman.
Ama yine de büyük zorluklar“rastgele” teriminin kullanımının geçerliliğinin kontrol edilmesini talep etmektedir. Rastgele değişken nedir? rastgele olay vesaire. Genellikle bir olayın olduğu söylenir. A tesadüfen, eğer deney sonucunda ortaya çıkabilirse (olasılıkla) P) meydana gelmemesi veya gerçekleşmemesi (olasılıkla 1- P). Ancak her şey o kadar basit değil. Olasılık kavramının kendisi, deneylerin sonuçlarıyla yalnızca belirli sayıda (seri) deneyde ortaya çıkma sıklığı yoluyla ilişkilendirilebilir: burada Yok- olayın meydana geldiği deneylerin sayısı, N- toplam sayı; deneyler. Sayılar yeterince büyükse N bazılarına yaklaşıyor sabit sayı A:
o olay A rastgele olarak adlandırılabilir ve sayı R- olasılığı. Bu durumda farklı deney serilerinde gözlemlenen frekansların birbirine yakın olması gerekir (bu özelliğe denir). istatistiksel kararlılık veya homojenlik). Yukarıdakiler aynı zamanda rastgele değişken kavramı için de geçerlidir; çünkü olaylar rastgeleyse (ve<£<Ь} для любых чисел A,B. Uzun deney serilerinde bu tür olayların meydana gelme sıklıkları belirli sabit değerler etrafında gruplanmalıdır.
Dolayısıyla stokastik yaklaşımın uygulanabilmesi için aşağıdaki gereksinimlerin karşılanması gerekir:
1) yürütülen deneylerin devasa ölçeği, yani. oldukça büyük bir sayı;
2) farklı deneylerin sonuçlarının karşılaştırılmasını gerekçelendiren deney koşullarının tekrarlanabilirliği;
3) istatistiksel kararlılık.
Stokastik yaklaşımın tekil deneylere uygulanamayacağı açıktır: “Yarın yağmur yağma olasılığı”, “0,8 olasılıkla Zenit kupayı kazanır” vb. ifadeler anlamsızdır. Ancak deneyler yaygın ve tekrarlanabilir olsa bile istatistiksel istikrar olmayabilir ve bunu kontrol etmek kolay bir iş değildir. Frekansın olasılıktan izin verilen sapmasına ilişkin bilinen tahminler, merkezi limit teoremine veya Chebyshev eşitsizliğine dayanır ve ölçümlerin bağımsızlığı veya zayıf bağımlılığı hakkında ek hipotezler gerektirir. Bağımsızlık koşulunun deneysel olarak doğrulanması, ek deneyler gerektirdiğinden daha da zordur.
Olasılık teorisini uygulamaya yönelik metodoloji ve pratik tarifler, V.N.'nin öğretici kitabında daha ayrıntılı olarak sunulmaktadır. Aşağıdaki alıntılarla bir fikir verilen Tutubalin:
“Olasılık teorisine yeterince aşina olmayan mühendisler ve doğa bilimcileri arasında bazen ortaya çıkan, herhangi bir deneyin sonucunun rastgele bir değişken olarak değerlendirilebileceği yanılgısını ortadan kaldırmak son derece önemlidir. Özellikle ciddi durumlarda buna normal dağılım yasasına olan inanç eşlik eder ve rastgele değişkenlerin kendisi normal değilse logaritmalarının normal olduğuna inanırlar."
“Modern kavramlara göre olasılık-teorik yöntemlerin uygulama kapsamı, istatistiksel kararlılıkla karakterize edilen olgularla sınırlıdır. Ancak istatistiksel istikrarın test edilmesi zordur ve her zaman eksiktir ve sıklıkla olumsuz sonuç verir. Sonuç olarak, tüm bilgi alanlarında, örneğin jeolojide, istatistiksel istikrarın hiç kontrol edilmediği ve kaçınılmaz olarak ciddi hatalara yol açan bir yaklaşım norm haline geldi. Buna ek olarak, önde gelen bilim adamlarımızın sibernetik propagandası (bazı durumlarda!) beklenmedik bir sonuç verdi: artık yalnızca bir makinenin (bir kişinin değil) nesnel bilimsel sonuçlar elde edebileceğine inanılıyor.
Bu gibi durumlarda, Peter'ın Rus tüccarlara aşılamaya çalıştığı (başarısız bir şekilde) o eski gerçeği tekrar tekrar yaymak her öğretmenin görevidir: hile olmadan dürüst ticaret yapılmalıdır, çünkü sonunda bu daha karlı olur. kendini."
Sorunda belirsizlik varsa ancak stokastik yaklaşım uygulanamıyorsa bir sistemin modeli nasıl oluşturulur? Aşağıda bulanık küme teorisine dayanan alternatif yaklaşımlardan birini kısaca özetlemekteyiz.
Bir ilişkinin (ve arasındaki ilişkinin) bir kümenin alt kümesi olduğunu size hatırlatırız. onlar. bazı çiftler kümesi R=(( X, en)), Nerede,. Örneğin, işlevsel bir bağlantı (bağımlılık), çiftler de dahil olmak üzere kümeler arasındaki bir ilişki olarak temsil edilebilir ( X, en), bunun için.
Olabilecek en basit durumda, eğer bir R bir özdeşlik ilişkisidir.
Örnekler 12-15 tabloda. 1.1, 1988 yılında okulun 86. sınıf öğrencisi 292 M. Koroteev tarafından icat edildi.
Buradaki matematikçi, elbette, (1.4)'teki minimuma, kesin konuşmak gerekirse, ulaşılamayabileceğini ve (1.4)'ün formülasyonunda rnin'in inf ile değiştirilmesi gerektiğini fark edecektir ("infimum", tam infimumdur) ayarlamak). Ancak bu durumu değiştirmeyecektir: bu durumda resmileştirme, görevin özünü yansıtmaz, yani. yanlış gerçekleştirildi. Gelecekte mühendisi “korkutmamak” için min, max notasyonunu kullanacağız; gerekirse bunların daha genel inf, sup ile değiştirilmesi gerektiğini unutmayın.
Burada “yapı” terimi alt bölümde olduğu gibi biraz daha dar anlamda kullanılmaktadır. 1.1, sistemdeki alt sistemlerin bileşimi ve bağlantı türleri anlamına gelir aralarında.
Bir grafik bir çifttir ( G, R), burada G=(g 1 ... g n) sonlu bir köşe kümesidir, - ikili ilişki G. Eğer, o zaman ve ancak, o zaman grafiğe yönsüz, aksi takdirde yönlendirilmiş denir. Çiftlere yaylar (kenarlar) adı verilir ve kümenin elemanları G- grafiğin köşeleri.
Yani cebirsel veya transandantal.
Kesin olarak söylemek gerekirse, sayılabilir bir küme, teknik sistemlerin sonlu boyutu ve insan algısının sınırları nedeniyle pratik olarak gerçekleştirilemeyen belirli bir idealleştirmedir. Bu tür idealleştirilmiş modeller (örneğin, doğal sayılar kümesi) N=(1, 2,...)) sonlu olan ancak başlangıçta sınırsız (veya bilinmeyen) sayıda öğeye sahip olan kümeler için tanıtılması mantıklıdır.
Biçimsel olarak bir işlem kavramı, kümelerin elemanları arasındaki ilişki kavramının özel bir durumudur. Örneğin, iki sayıyı toplama işlemi 3 basamaklı (üçlü) bir ilişkiyi belirtir R: sayıların üçü (x, y, z) z) ilişkiye ait R((x,y,z) yazarız), eğer z =x+y.
Karmaşık sayı, polinomların argümanı A(), İÇİNDE().
Bu varsayım pratikte sıklıkla karşılanır.
Miktar bilinmiyorsa, o zaman (2.33)'teki tahminle değiştirilmelidir: Bu durumda miktar artık normal olarak dağıtılmayacak, ancak pratik olarak normalden ayırt edilemeyen Öğrenci yasasına göre dağıtılacaktır.
Olayı ele aldığımızda (2.34)'ün (2.32)'nin özel bir durumu olduğunu görmek kolaydır. A içeri girdi J- deneyeceğim, aksi takdirde. Aynı zamanda
Ve bugün “... ve bilgisayar bilimi” (yazarın notu) ekleyebilirsiniz.
Herhangi bir gerçek süreç karakteristik Herhangi bir faktörün zaman içindeki fiziksel değişkenliğinden kaynaklanan rastgele dalgalanmalar. Ayrıca sistem üzerinde rastgele dış etkiler de söz konusu olabilir. Bu nedenle, giriş parametrelerinin eşit ortalama değeri ile 
farklı zamanlarda çıkış parametreleri farklı olacaktır. Bu nedenle, eğer incelenen sistem üzerindeki rastgele etkiler önemliyse, olasılıksal (stokastik) sistem parametrelerinin dağılımının istatistiksel yasalarını dikkate alarak ve uygun matematiksel aparatı seçerek nesnenin modeli.
İnşa ederken deterministik modeller yalnızca çözülen problemin belirli koşulları, nesnenin özellikleri ve iç bağlantıları dikkate alınarak rastgele faktörler ihmal edilir (klasik fiziğin hemen hemen tüm dalları bu prensibe dayanmaktadır)
Deterministik yöntemler fikri- sistemin gelişimi sırasında modelin kendi dinamiklerinin kullanılması.
Kursumuzda bu yöntemler sunulmaktadır: moleküler dinamik yöntemi avantajları şunlardır: sayısal algoritmanın doğruluğu ve kesinliği; Dezavantajı ise parçacıklar arasındaki etkileşim kuvvetlerinin hesaplanması nedeniyle emek yoğun olmasıdır (N parçacıklı bir sistem için, her adımda gerçekleştirmeniz gerekir) 
bu kuvvetleri sayma işlemleri).
Şu tarihte: deterministik yaklaşım Hareket denklemleri zamanla belirlenir ve entegre edilir. Çok parçacıklı sistemleri ele alacağız. Parçacıkların konumları sistemin toplam enerjisine potansiyel enerjiye katkıda bulunur ve hızları kinetik enerjinin katkısını belirler. Sistem, faz uzayında sabit enerjiye sahip bir yörünge boyunca hareket eder (daha detaylı açıklamalar aşağıda yer alacaktır). Deterministik yöntemler için, enerjisi hareketin integrali olan mikrokanonik bir topluluk doğaldır. Ek olarak hareketin integralinin sıcaklık ve/veya basınç olduğu sistemleri incelemek de mümkündür. Bu durumda sistem kapalı değildir ve bir termal rezervuar (kanonik topluluk) ile temas halinde temsil edilebilir. Bunu modellemek için sistemin bir dizi serbestlik derecesini sınırladığımız bir yaklaşım kullanabiliriz (örneğin, koşulu belirleriz) 
).
Daha önce de belirttiğimiz gibi, bir sistemdeki süreçlerin öngörülemez bir şekilde gerçekleşmesi durumunda, bu tür olaylara ve bunlarla ilişkili niceliklere denir. rastgele ve sistemdeki süreçleri modellemeye yönelik algoritmalar - olasılıksal (stokastik). Yunan stoohastikos- kelimenin tam anlamıyla "tahmin edebilen kişi" anlamına gelir.
Stokastik yöntemler deterministik yöntemlerden biraz farklı bir yaklaşım kullanır: yalnızca problemin konfigürasyon kısmını hesaplamaları gerekir. Bir sistemin momentum denklemleri her zaman entegre edilebilir. O zaman ortaya çıkan sorun, deterministik yaklaşımda momentum tarafından belirlenen bir konfigürasyondan diğerine geçişlerin nasıl gerçekleştirileceğidir. Stokastik yöntemlerdeki bu tür geçişler olasılıksal evrimle gerçekleştirilir. Markov süreci. Markov süreci, modelin kendi dinamiklerinin olasılıksal bir benzeridir.
Bu yaklaşımın avantajı, herhangi bir içsel dinamiği olmayan sistemlerin modellenmesine olanak sağlamasıdır.
Deterministik yöntemlerin aksine, stokastik yöntemlerin PC'de uygulanması daha basit ve daha hızlıdır, ancak gerçek değerlere yakın değerler elde etmek için iyi istatistikler gereklidir ve bu da büyük bir parçacık topluluğunun modellenmesini gerektirir.
Tamamen stokastik bir yöntemin bir örneği Monte Carlo yöntemi. Stokastik yöntemler, önemli bir Markov süreci (Markov zinciri) kavramını kullanır. Markov süreci klasik mekanikteki sürecin olasılıksal bir benzeridir. Markov zinciri hafızanın yokluğu ile karakterize edilir, yani. yakın geleceğin istatistiksel özellikleri, geçmiş dikkate alınmaksızın yalnızca şimdiki zaman tarafından belirlenir.
Meşgul olmaktan daha pratik 2.
Rastgele yürüyüş modeli
Örnek(resmi)
Parçacıkların iki boyutlu bir kafesin düğüm noktalarında rastgele konumlara yerleştirildiğini varsayalım. Her zaman adımında parçacık boş konumlardan birine “atlar”. Bu, parçacığın en yakın dört yerden herhangi birine sıçrama yönünü seçme yeteneğine sahip olduğu anlamına gelir. Bir sıçramadan sonra parçacık nereden atladığını “hatırlamıyor”. Bu durum rastgele yürüyüşe karşılık gelir ve bir Markov zinciridir. Her adımın sonucu parçacık sisteminin yeni bir durumudur. Bir durumdan diğerine geçiş yalnızca önceki duruma bağlıdır, yani sistemin i durumunda olma olasılığı yalnızca i-1 durumuna bağlıdır.
Katı bir cisimdeki hangi fiziksel süreçler bize tanımlanmış rastgele yürüyüş modelini hatırlatıyor (benzer)?
Tabii ki difüzyon, yani ısı ve kütle aktarımı sırasında mekanizmalarını düşündüğümüz süreçlerin kendisi (3. kurs). Örnek olarak, atomların görünür özelliklerini değiştirmeden periyodik olarak geçici ikamet yerlerini değiştirdikleri ve sözde "boşluk" mekanizmasını kullanarak kafes etrafında dolaştıkları bir kristaldeki olağan klasik kendi kendine difüzyonu hatırlayalım. Aynı zamanda alaşımlardaki en önemli difüzyon mekanizmalarından biridir. Katılardaki atomların göçü olgusu, metalurji, metal işleme, yarı iletkenlerin ve süper iletkenlerin oluşturulması, koruyucu kaplamalar ve ince filmler gibi birçok geleneksel ve geleneksel olmayan teknolojide belirleyici bir rol oynar.
1896 yılında Robert Austen tarafından altın ve kurşunun yayılmasını gözlemleyerek keşfedilmiştir. Difüzyon- kaotik (termal) göç yoluyla uzaydaki atomik konsantrasyonların yeniden dağıtılması süreci. Sebepler Termodinamik açısından iki tane olabilir: entropi (her zaman) ve enerji (bazen). Entropik sebep, oyulmuş çeşitteki atomları karıştırırken kaosun artmasıdır. Enerji - Yakınlarda farklı türde atomların bulunmasının daha avantajlı olduğu durumlarda alaşım oluşumunu teşvik eder ve aynı türden atomların bir araya getirilmesiyle enerji kazancı sağlandığında difüzyon ayrışmasını teşvik eder.
En yaygın difüzyon mekanizmaları şunlardır:
boşluk
düğüm arası
yer değiştirme mekanizması
Boşluk mekanizmasının uygulanabilmesi için en az bir boş kadro gereklidir. Boş yerlerin göçü, komşu atomlardan birinin boş bir bölgesine taşınarak gerçekleştirilir. Bir atom, yanında bir boşluk varsa difüzyon sıçraması yapabilir. T = 1330 K sıcaklıkta (6 K'da) bir kafes bölgesindeki bir atomun termal titreşim periyoduyla boşluk cm< точки плавления), число скачков, которое совершает вакансия в 1с, путь за одну секунду-см=3 м (=10 км/ч). По прямой же путь, проходимый вакансиейсм, т. е. в 300 раз короче пути по ломаной.
Doğanın buna ihtiyacı vardı. böylece boşluk 1 saniye içinde ikamet yerini değiştirir, 3 m'lik kesikli bir çizgiden geçer ve düz bir çizgi boyunca yalnızca 10 mikron hareket eder. Atomlar boşluklara göre daha sakin davranırlar. Ancak saniyede bir milyon kez yer değiştirirler ve yaklaşık 1 m/saat hızla hareket ederler.
Bu yüzden. birkaç bin atom başına bir boşluğun, atomları erimeye yakın bir sıcaklıkta mikro düzeyde hareket ettirmek için yeterli olduğu.
Şimdi bir kristaldeki difüzyon olayı için rastgele yürüyüş modeli oluşturalım. Bir atomun dolaşım süreci kaotik ve öngörülemezdir. Bununla birlikte, başıboş dolaşan atomlardan oluşan bir topluluk için istatistiksel düzenliliklerin ortaya çıkması gerekir. İlişkisiz sıçramaları dikkate alacağız.
Bu şu anlama gelir: 
Ve 
i ve j sıçramaları sırasında atomların hareketi, ardından dolaşan atomlar topluluğunun ortalaması alındıktan sonra:
(ortalama çarpım = ortalamaların çarpımı. Yürüyüş tamamen rastgele ise tüm yönler eşittir ve 
=0.)
Topluluğun her bir parçacığının N temel sıçrama yapmasına izin verin. O zaman toplam yer değiştirmesi:
;
ve ortalama yer değiştirme karesi
Korelasyon olmadığından ikinci terim =0 olur.
Her atlamanın aynı uzunlukta h ve rastgele yöne sahip olmasına izin verin ve birim zaman başına ortalama atlama sayısı v olsun. Daha sonra
Açıkça görülüyor ki 
Miktarı arayalım 
- dolaşan atomların difüzyon katsayısı. Daha sonra 
;
Üç boyutlu durum için - 
.
Elimizde parabolik difüzyon kanunu- yer değiştirmenin ortalama karesi gezinme süresiyle orantılıdır.
Bir sonraki laboratuvar çalışmasında çözmemiz gereken problem tam olarak budur: tek boyutlu rastgele yürüyüşlerin modellenmesi.
Sayısal model.
Her biri birbirinden bağımsız olarak sağa veya sola aynı olasılıkla N adım atan M parçacıktan oluşan bir topluluk tanımlıyoruz. Adım uzunluğu = h.
Her parçacık için yer değiştirmenin karesini hesaplıyoruz 
N adımda. Daha sonra topluluğun ortalamasını alırız - 
. Büyüklük 
, Eğer 
, yani yer değiştirmenin ortalama karesi rastgele yürüyüş süresiyle orantılıdır 
- ortalama bir adım süresi) - parabolik difüzyon yasası.
Ekonomi ve programlamada matematiksel modeller
1. İktisatta deterministik ve olasılıksal matematiksel modeller. Avantajları ve Dezavantajları
Ekonomik süreçleri inceleme yöntemleri, incelenen süreci, sistemi veya faaliyet türünü temsil eden matematiksel - deterministik ve olasılıksal - modellerin kullanımına dayanır. Bu tür modeller sorunun niceliksel bir tanımını sağlar ve en uygun seçeneği ararken yönetim kararlarının alınmasına temel oluşturur. Bu kararlar ne kadar haklı, mümkün olan en iyisi mi, optimal çözümü belirleyen tüm faktörler dikkate alınıyor ve tartılıyor mu, bu çözümün gerçekten en iyi olduğunu belirleyen kriter nedir - bunlar çok çeşitli sorulardır. Üretim yöneticileri için büyük önem taşıyan ve cevabı yöneylem araştırması yöntemleri kullanılarak bulunabilen [Chesnokov S.V. - M.: Nauka, 1982, 45].
Bir kontrol sistemi oluşturmanın ilkelerinden biri sibernetik (matematiksel) modellerin yöntemidir. Matematiksel modelleme, deney ve teori arasında bir ara konumdadır: sistemin gerçek bir fiziksel modelini oluşturmaya gerek yoktur; bunun yerini matematiksel bir model alacaktır. Bir kontrol sisteminin oluşumunun özelliği, kontrol süreçlerine olasılıksal, istatistiksel yaklaşımda yatmaktadır. Sibernetikte herhangi bir kontrol sürecinin rastgele, rahatsız edici etkilere maruz kaldığı kabul edilmektedir. Bu nedenle üretim süreci, deterministik bir şekilde dikkate alınamayan çok sayıda faktörden etkilenir. Bu nedenle üretim sürecinin rastgele sinyallerden etkilendiği düşünülmektedir. Bu nedenle kurumsal planlama yalnızca olasılıksal olabilir.
Bu nedenlerden dolayı, ekonomik süreçlerin matematiksel modellenmesinden bahsederken çoğunlukla olasılıksal modelleri kastediyoruz.
Her matematiksel model türünü tanımlayalım.
Deterministik matematiksel modeller, bazı faktörlerin etkili bir göstergeyle ilişkisini işlevsel bir bağımlılık olarak tanımlamasıyla karakterize edilir; deterministik modellerde, modelin etkili göstergesi bir çarpım, bir bölüm, bir cebir şeklinde sunulur. faktörlerin toplamı veya başka herhangi bir fonksiyon biçiminde. Bu tür matematiksel modeller en yaygın olanıdır, çünkü kullanımı oldukça basittir (olasılıklı modellerle karşılaştırıldığında), ekonomik sürecin gelişimindeki ana faktörlerin eyleminin mantığını anlamaya, etkilerini ölçmeye, Üretim verimliliğini artırmak için hangi faktörlerin ve hangi oranlarda değişiklik yapılmasının mümkün ve tavsiye edilebilir olduğunu anlayın.
Olasılıksal matematiksel modeller, deterministik modellerden temel olarak farklıdır, çünkü olasılıksal modellerde faktörler ile sonuçta ortaya çıkan nitelik arasındaki ilişki olasılıksaldır (stokastik): işlevsel bir bağımlılıkla (deterministik modeller), faktörlerin aynı durumu, ortaya çıkan sonucun tek bir durumuna karşılık gelir. özellik, oysa olasılıksal modellerde faktörlerin bir ve aynı durumu, ortaya çıkan özelliğin bir dizi durumuna karşılık gelir [Tolstova N. Ekonomik süreçlerin matematiksel analizinin mantığı. - M.: Nauka, 2001, s. 32-33].
Deterministik modellerin avantajı kullanım kolaylığıdır. Ana dezavantaj, yukarıda belirtildiği gibi çoğu ekonomik sürecin doğası gereği olasılıksal olması nedeniyle gerçekliğin düşük yeterliliğidir.
Olasılıksal modellerin avantajı, kural olarak, deterministik modellere göre gerçeklikle daha tutarlı (daha yeterli) olmalarıdır. Ancak olasılıksal modellerin dezavantajı, uygulanmalarının karmaşıklığı ve zahmetli olmasıdır, bu nedenle çoğu durumda kendimizi deterministik modellerle sınırlamak yeterlidir.
2. Yiyecek tayın problemi örneğini kullanarak doğrusal programlama probleminin ifadesi
İlk defa, optimal bir ulaşım planının hazırlanmasına yönelik bir öneri şeklinde bir doğrusal programlama probleminin formüle edilmesi; Toplam mesafenin en aza indirilmesine izin veren Sovyet ekonomisti A. N. Tolstoy'un 1930'daki çalışmasında verilmiştir.
Doğrusal programlama problemlerinin sistematik çalışmaları ve bunları çözmek için genel yöntemlerin geliştirilmesi, Rus matematikçiler L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov ve diğer matematikçiler ve ekonomistlerin çalışmalarında daha da geliştirildi. Ayrıca yabancı ve hepsinden önemlisi Amerikalı bilim adamlarının birçok çalışması doğrusal programlama yöntemlerine ayrılmıştır.
Doğrusal programlama problemi, doğrusal bir fonksiyonu maksimuma çıkarmak (minimum) etmektir.
kısıtlamalar altında
ve hepsi
Yorum. Eşitsizliklerin zıt anlamları da olabilir. Karşılık gelen eşitsizlikler (-1) ile çarpılarak her zaman (*) formunda bir sistem elde edilebilir.
Problemin matematiksel modelinde kısıt sistemi ve amaç fonksiyonunun değişken sayısı 2 ise grafiksel olarak çözülebilir.
Bu nedenle, fonksiyonu tatmin edici bir kısıtlama sistemine göre maksimize etmemiz gerekiyor.
Kısıtlamalar sisteminin eşitsizliklerinden birine dönelim.
Geometrik açıdan bakıldığında, bu eşitsizliği sağlayan tüm noktalar ya doğrunun üzerinde yer almalı ya da bu doğrunun düzleminin bölündüğü yarım düzlemlerden birine ait olmalıdır. Öğrenmek için hangisinin nokta () içerdiğini kontrol etmeniz gerekir.
Açıklama 2. Eğer ise (0;0) noktasını almak daha kolaydır.
Negatif olmama koşulları ayrıca sınır çizgileriyle sırasıyla yarım düzlemleri de tanımlar. Eşitsizlik sisteminin tutarlı olduğunu varsayalım, o zaman kesişen yarım düzlemler ortak bir parça oluşturur, bu bir dışbükey kümedir ve koordinatları bu sistemin çözümü olan bir dizi noktayı temsil eder - bu kabul edilebilir kümedir çözümler. Bu noktaların (çözümlerin) kümesine çözüm çokgeni denir. Bu bir nokta, bir ışın, bir çokgen veya sınırsız bir çokgen alan olabilir. Dolayısıyla doğrusal programlamanın görevi karar poligonunda amaç fonksiyonunun maksimum (minimum) değeri aldığı bir noktayı bulmaktır. Bu nokta, çözüm poligonu boş olmadığında ve üzerindeki amaç fonksiyonu yukarıdan (aşağıdan) sınırlandığında ortaya çıkar. Belirtilen koşullar altında çözüm poligonunun köşelerinden birinde amaç fonksiyonu maksimum değeri alır. Bu tepe noktasını belirlemek için düz bir çizgi çizeriz (burada h bir sabittir). Çoğu zaman düz bir çizgi alınır. Bu çizginin hareket yönünü bulmaya devam ediyor. Bu yön, amaç fonksiyonunun gradyanı (antigradyan) tarafından belirlenir.
Her noktadaki vektör çizgiye dik olduğundan, çizgi degrade yönünde hareket ettikçe f'nin değeri artacaktır (antigradyan yönünde azalacaktır). Bunu yapmak için, degrade yönünde kayan (anti-gradyan) düz çizgiye paralel düz çizgiler çizin.
Doğru, çözüm poligonunun son köşesinden geçene kadar bu yapılara devam edeceğiz. Bu nokta optimal değeri belirler.
Dolayısıyla, geometrik yöntemi kullanarak doğrusal programlama problemine çözüm bulmak aşağıdaki adımları içerir:
Kısıtlamalardaki eşitsizlik işaretlerinin tam eşitlik işaretleriyle değiştirilmesiyle denklemleri elde edilen çizgiler oluşturulur.
Problemin her bir kısıtı tarafından tanımlanan yarım düzlemleri bulun.
Bir çözüm çokgeni bulun.
Bir vektör oluşturun.
Düz bir çizgi inşa ediyorlar.
Gradyan veya antigradyan yönünde paralel düz çizgiler çizerler ve bunun sonucunda fonksiyonun maksimum veya minimum değeri aldığı noktayı bulurlar veya fonksiyonun yukarıdan (aşağıdan) sınırsız olduğunu belirlerler. kabul edilebilir set
Fonksiyonun maksimum (minimum) noktasının koordinatları belirlenerek amaç fonksiyonunun bu noktadaki değeri hesaplanır.
Akılcı beslenme sorunu (gıda payı sorunu)
Sorunun beyanı
Çiftlikte ticari amaçlarla hayvan besleniyor. Basitlik açısından yalnızca dört tür ürün olduğunu varsayalım: P1, P2, P3, P4; Her ürünün birim maliyeti sırasıyla C1, C2, C3, C4'e eşittir. Bu ürünlerden aşağıdakileri içermesi gereken bir diyet oluşturmanız gerekir: proteinler - en az b1 birim; karbonhidratlar - en az b2 birim; yağ - en az b3 birim. P1, P2, P3, P4 ürünleri için proteinlerin, karbonhidratların ve yağların içeriği (ürün birimi başına birim olarak) bilinmekte ve tabloda belirtilmektedir; burada aij (i=1,2,3,4; j=1) ,2,3) - bazı özel sayılar; ilk endeks ürün numarasını, ikincisi ise element sayısını (proteinler, karbonhidratlar, yağlar) gösterir.
Enerji yükü grafiklerinin olasılıksal-deterministik matematiksel tahmin modelleri, istatistiksel ve deterministik modellerin bir kombinasyonudur. En iyi tahmin doğruluğunu ve değişen güç tüketimi sürecine uyarlanabilirliği sağlamayı mümkün kılan bu modellerdir.
Onlar dayanmaktadır standartlaştırılmış modelleme kavramları yükler, yani gerçek yükün standartlaştırılmış bir grafiğe toplamsal olarak ayrıştırılması (temel bileşen, deterministik eğilim) 
ve kalan bileşen 
:
Nerede T– gün içindeki zaman; D– örneğin bir yıldaki gün sayısı.
Standart bileşende 
modelleme sırasında ayrıca aşağıdakileri dikkate alarak bireysel bileşenlerin ilave seçimini de gerçekleştirirler: ortalama mevsimsel yükteki değişiklikler 
; haftalık güç tüketimi değişiklikleri döngüsü 
; mevsimden mevsime gün doğumu ve gün batımı zamanlarındaki değişikliklerle ilişkili ek etkileri modelleyen bir trend bileşeni 
; Güç tüketiminin meteorolojik faktörlere bağımlılığını dikkate alan bileşen 
özellikle sıcaklıklar vb.
Yukarıda bahsedilen deterministik ve istatistiksel modellere dayanarak bireysel bileşenlerin modellenmesine yönelik yaklaşımları daha ayrıntılı olarak ele alalım.
Modelleme ortalama mevsimsel yük 
genellikle basit hareketli ortalama kullanılarak yapılır:
burada N, geçmiş n haftadaki olağan düzenli (iş günü) sayısıdır. 
, “özel”, “düzensiz günler”, tatiller vb. haftaların dışında tutulduğu için. Günlük güncellemeler, son n haftadaki verilerin ortalaması alınarak gerçekleştirilir.
Haftalık döngülerin simülasyonu 
ayrıca formun hareketli ortalaması alınarak gerçekleştirilir
son n haftadaki verilerin ortalaması alınarak veya üstel ağırlıklı hareketli ortalama kullanılarak haftalık olarak güncellenir:
ampirik olarak belirlenmiş bir yumuşatma parametresi nerede ( 
).
Modelleme için çalışıyorum 
Ve 
yedi bileşen kullanılıyor 
, 
haftanın her günü için ve her biri için 
üstel düzeltme modeli kullanılarak ayrı ayrı belirlenir.
Modelleme için çalışmanın yazarları 
Holt-Winters tipinde çift üstel yumuşatma kullanılır. Modelleme için çalışıyorum 
formun harmonik bir temsilini kullanın
ampirik verilerden tahmin edilen parametrelerle (“52” değeri bir yıldaki hafta sayısını belirler). Ancak bu çalışmada bu parametrelerin uyarlanabilir operasyonel tahmini sorunu tamamen çözülmemiştir.
Modelleme 
, 
bazı durumlarda kullanılarak gerçekleştirilir sonlu Fourier serisi: Haftalık periyotlu, günlük periyotlu veya çalışma günlerinin ve hafta sonlarının sırasıyla beş ve iki günlük periyotlarla ayrı modellenmesiyle:
Trend bileşenini modellemek için 
2. - 4. dereceden polinomları veya örneğin aşağıdaki formdaki çeşitli doğrusal olmayan ampirik fonksiyonları kullanın:
nispeten yavaş düzgünleştirilmiş yük değişikliklerini tanımlayan dördüncü derece bir polinom nerede 
mevsimlere göre gündüzleri; , , – mevsimlere göre gün doğumu ve gün batımı zamanlarındaki değişikliklerle ilişkili modelleme efektlerini çalıştırır.
Güç tüketiminin meteorolojik faktörlere bağımlılığını hesaba katmak için bazı durumlarda ek bir bileşen eklenir 
. Çalışma teorik olarak dahil edilmeyi doğruluyor 
modele dahil edilmiş, ancak sıcaklık etkisinin modellenmesi olanakları yalnızca sınırlı bir ölçüde dikkate alınmıştır. Böylece sıcaklık bileşenini temsil etmek için 
Mısır koşulları için bir polinom modeli kullanılır
t'inci saatte hava sıcaklığı nerede?
Tek boyutlu otoregresif entegre hareketli ortalama (ARISS) modeliyle temsil edilen normalleştirilmiş verilerle, sıcaklığı hesaba katarak sürecin tepe ve dip noktalarını "normalleştirmek" için bir regresyon yöntemi kullanılır.
Modelleme için de kullanılır 
sıcaklığı dikkate alarak, dış faktörleri içeren özyinelemeli bir Kalman filtresi - sıcaklık tahmini. Veya kısa vadeli aralıkta saatlik yüklerin polinom kübik enterpolasyonunu kullanırlar ve modelde sıcaklığın etkisini hesaba katarlar.
Analiz edilen sürecin uygulanması için ortalama günlük sıcaklık tahminlerini, çeşitli hava koşullarını hesaba katmak ve aynı zamanda modelin stabilitesini arttırmak için hareketli ortalama modelinde özel bir modifikasyonun kullanılması önerilmektedir.
,
olasılıklarla ilişkili çeşitli hava koşulları için bir dizi m yük grafiğinin oluşturulduğu yer 
ve tahmin, koşullu matematiksel beklenti olarak tanımlanır. Olasılıklar, gün içinde yeni gerçek yük değerleri ve faktörler ortaya çıktıkça Bayes yöntemi kullanılarak güncellenir.
Modelleme artık bileşen 
meteorolojik ve diğer dış faktörler dikkate alınarak hem tek boyutlu modeller hem de çok boyutlu modeller kullanılarak gerçekleştirilir. Bu nedenle, k düzeyindeki otoregresif bir AR(k) modeli genellikle tek boyutlu (tek faktörlü) bir model olarak kullanılır.
,
kalan beyaz gürültü nerede? Saatlik (yarım saatlik) okumaları tahmin etmek için AR(1), AR(2) ve hatta AR(24) modelleri kullanılır. Genelleştirilmiş ARISS modeli kullanılsa bile 
her neyse, uygulaması hem beş dakikalık hem de saatlik yük ölçümleri için AR(1), AR(2) modellerine dayanmaktadır.
Bileşeni modellemek için başka bir tek faktörlü model 
model tek mi çift mi üstel yumuşatma. Bu model, artık yük değiştikçe kısa vadeli eğilimleri etkili bir şekilde belirlemenize olanak tanır. Basitlik, ekonomi, özyineleme ve hesaplama verimliliği, üstel düzeltme yönteminin geniş uygulama alanına sahip olmasını sağlar. Basit üstel düzeltmeyi kullanma 
farklı sabitlerde ve iki üstel ortalamayı belirleyin 
Ve 
. Artık bileşenin tahmini 
formül tarafından proaktif olarak belirlenir
