Aksiyomatik yöntemin özü
Öklid
P. Dirac
Bir teorem kanıtlanamazsa aksiyom haline gelir.
Matematik kavramlara dayanır. Kavramlar tanımlanmış veya tanımsız olabilir. Altında tanım Belirli bir kavramın tam formülasyonunu anlayın. Matematiksel bir kavramı tanımlamak, onun karakteristik özelliklerini veya bu kavramı diğerlerinden ayıran özellikleri belirtmek anlamına gelir. Belirlemenin olağan yolu matematiksel kavramşunları belirtmekten oluşur: 1) yakın cins, yani tanımlanan kavramın ait olduğu daha genel bir kavram; 2) tür farklılıkları, yani karakteristik özellikler veya bu özel konseptin doğasında olan özellikler.
Örnek 1. Tanım: “Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir.” En yakın cins, yani daha genel bir kavram dikdörtgen kavramıdır ve spesifik fark, karenin tüm kenarlarının eşit olduğunun göstergesi olacaktır. Buna karşılık, dikdörtgen için daha genel kavram paralelkenar kavramıdır, paralelkenar için dörtgen kavramı, dörtgen için çokgen kavramı vb. Ancak bu zincir sonsuz değildir.
Başkalarıyla tanımlanamayan kavramlar var, daha fazlası Genel konseptler. Matematikte bunlara denir tanımlanamayan temel kavramlar . Temel kavramlara örnek olarak nokta, doğru, düzlem, uzaklık, küme vb. gösterilebilir.
Temel kavramlar arasındaki bağlantılar ve ilişkiler aksiyomlar kullanılarak formüle edilir.
Aksiyom Belirli bir teoride kanıt olmadan kabul edilen matematiksel bir önermedir.
Birinin veya diğerinin üzerine inşa edildiği aksiyomlar sistemine matematiksel teori tutarlılık, bağımsızlık ve bütünlük gereksinimleri vardır.
Aksiyomlar sistemine denir tutarlı , eğer aynı anda birbirini dışlayan iki cümleyi ondan türetmek imkansızsa: A, hayırA.
Aksiyomlar sistemine denir bağımsız , eğer bu sistemin aksiyomlarından hiçbiri bu sistemin diğer aksiyomlarının bir sonucu değilse.
Aksiyomlar sistemine denir tam dolu , eğer iki şeyden biri mutlaka kanıtlanabilirse: ya ifade A, veya hayırA.
Aksiyomlar listesinde yer almayan bir önermenin kanıtlanması gerekir. Böyle bir teklife denir teorem .
Teorem doğruluğu kanıt adı verilen bir akıl yürütme süreciyle belirlenen matematiksel bir önermedir.
Aksiyom: “Doğru ne olursa olsun, bu doğruya ait olan noktalar ve ona ait olmayan noktalar vardır.”
Teorem: "Bir dörtgenin köşegenleri kesişiyorsa ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünüyorsa, bu dörtgen bir paralelkenardır."
Ana yöntemlerden biri modern matematik dır-dir aksiyomatik yöntem . Özü aşağıdaki gibidir:
1) yapım aşamasında olan teorinin temel tanımlanmamış kavramları ve ilişkileri listelenmiştir (ilişki örnekleri: takip et..., arasında uzan...);
2) bu teoride temel kavramlar ve ilişkileri arasındaki bağlantıyı ifade eden aksiyomlar formüle edilir, kanıt olmadan kabul edilir;
3) Temel kavramlar arasında yer almayan cümleler ve temel ilişkiler tanımlanmalı;
4) Aksiyom listesinde yer almayan önermeler, bu aksiyomlara ve daha önce kanıtlanmış önermelere dayanarak kanıtlanmalıdır.
1.2 Öklid geometrisi - ilk doğal bilimsel teori
Tarihsel inceleme Geometrinin gerekçesi. Olmadan önce geometri aksiyomatik teori ampirik gelişimde uzun bir yol kat etti.
Geometri ile ilgili ilk bilgiler uygarlıklar tarafından elde edilmiştir. Antik Doğu(Mısır, Çin, Hindistan) tarımın gelişmesi, sınırlı verimli topraklar vb. İle bağlantılı olarak. Bu ülkelerde geometri ampirik nitelikteydi ve çözmek için bir dizi ayrı "tarifler-kurallar" idi. özel görevler. Zaten MÖ 2. binyılda. Mısırlılar bir üçgenin alanını, kesik bir piramidin hacmini, bir dairenin alanını doğru bir şekilde nasıl hesaplayacaklarını biliyorlardı ve Babilliler Pisagor teoremini biliyorlardı. Kanıt olmadığını, bunun yerine hesaplama kurallarının olduğunu unutmayın.
Yunan dönemi Geometrinin gelişimi 7.-6. yüzyıllarda başladı. M.Ö. Mısırlıların etkisi altındadır. Yunan matematiğinin babası olarak kabul edilir ünlü filozof Thales (MÖ 640-548). Thales, daha doğrusu o matematik okuluözelliklerin kanıtlarına aittir ikizkenar üçgen, dikey açılar. Daha sonra bir geometri Antik Yunan modern içeriklerin hemen hemen tamamını kapsayan sonuçlar elde edilmiştir. okul kursu geometri.
Pisagor felsefe okulu (M.Ö. 570-471), bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremi keşfetti, Pisagor teoremini kanıtladı ve beş tür düzenli çokyüzlü ve ölçülemez parçaların varlığını ortaya koydu. Demokritos (MÖ 470-370) piramit ve koninin hacimleriyle ilgili teoremleri keşfetti. Eudoxus (MÖ 410-356) yaratıldı geometrik teori oranlar (yani orantılı sayılar teorisi).
Menaechmus ve Apollonius konik kesitler üzerinde çalıştı. Arşimet (M.Ö. 289-212), topun ve diğer şekillerin yüzey alanı ve hacminin hesaplanmasına ilişkin kuralları keşfetti. Ayrıca π sayısının yaklaşık değerini de buldu.
Özel Liyakat Antik Yunan bilim adamlarının özelliği, geometrik bilginin katı bir şekilde oluşturulması sorununu ortaya koyan ve bunu ilk yaklaşıklığa göre çözen ilk kişiler olmalarıdır. Sorun Platon (M.Ö. 428-348) tarafından ortaya atılmıştır. Aristoteles (MÖ 384-322) - en büyük filozof, kurucu biçimsel mantık- yalnızca mantık kurallarına dayanarak birbirini takip eden bir önermeler zinciri biçiminde geometri oluşturma fikrinin açık formülasyonuna aittir. Birçok Yunan bilim adamı (Hipokrat, Phaedius) bu sorunu çözmeye çalıştı.
Öklid (MÖ 330-275) - Antik çağın en büyük geometrisi, Platon okulunun mezunu, Mısır'da (İskenderiye'de) yaşıyordu. Onun tarafından derlenen “İlkeler”, bu tür üzerinde uygulanan geometri ilkelerinin sistematik bir sunumunu sağlar. bilimsel seviye yüzyıllar boyunca geometri öğretiminin onun çalışmasına göre yürütüldüğünü. “İlkeler” 13 kitaptan (bölümlerden) oluşur:
I-VI – planimetri;
VII-IX – geometrik gösterimde aritmetik;
X – kıyaslanamaz bölümler;
ХI-ХII – stereometri.
Geometride bilinen bilgilerin tümü Elementler'e dahil edilmemiştir. Örneğin bu kitaplar şunları içermiyordu: teori konik bölümler, daha yüksek mertebeden eğriler.
Her kitap, içinde yer alan kavramların tanımıyla başlar. Örneğin Kitap I'de 23 tanım var. İlk dört kavramın tanımları şöyle:
1 Nokta, hiçbir parçası olmayan bir şeydir.
2 Bir çizgi genişliği olmayan uzunluktur.
3 Bir doğrunun sınırları noktalardır.
Öklid, kanıt olmadan kabul edilen önermeleri varsayımlara ve aksiyomlara bölerek verir. Beş önermesi ve yedi aksiyomu vardır. Bunlardan bazıları:
IV Ve böylece tüm dik açılar eşit olur.
V Ve öyle ki, bir düz çizgi, diğer iki düz çizgiyle kesiştiğinde, onlarla toplamı iki düz çizgiden küçük olan tek taraflı iç açılar oluşturduğunda, bu düz çizgiler, bu toplamın daha az olduğu tarafta kesişir. iki düz çizgiden daha fazlası.
Aksiyomlar
Bireysel olarak eşit olan üçüncüsü birbirine eşittir.
II Ve eğer eşitleri eşitlere eklersek, eşitleri elde ederiz.
VII Ve birleşenler eşittir.
Öklid, önermeler ve aksiyomlar arasındaki farkı belirtmedi. Hala hayır son karar bu soru.
Öklid, Yunan bilim adamlarının, özellikle de Aristoteles'in gerektirdiği geometri teorisini ortaya koyuyor; Teoremler, sonraki her teorem yalnızca öncekilere dayanarak kanıtlanacak şekilde düzenlenmiştir. Başka bir deyişle Öklid geometrik bir teori geliştirir. kesinlikle mantıksal olarak. Bu Öklid'in bilime tarihsel değeridir.
Öklid'in "Elementleri" matematik tarihinde ve tüm insan kültüründe büyük rol oynadı. Bu kitaplar dünyanın tüm önemli dillerine çevrilmiş; 1482'den sonra 500'e yakın baskı yapılmıştır.
Öklid sisteminin dezavantajları. Modern matematik açısından bakıldığında Elementlerin sunumunun kusurlu olduğu düşünülmelidir. Bu sistemin ana dezavantajlarını adlandıralım:
1) birçok kavram sırasıyla tanımlanması gerekenleri içerir (örneğin, Bölüm 1'in 1-4 tanımlarında genişlik, uzunluk, kenarlık kavramları kullanılır ve bunların da tanımlanması gerekir);
2) Aksiyomlar ve varsayımlar listesi, geometriyi tam anlamıyla mantıksal bir şekilde oluşturmak için yetersizdir. Örneğin bu liste, geometrideki birçok teoremin kanıtlanamayacağı sıra aksiyomlarını içermez; Gauss'un bu duruma dikkat çektiğini belirtelim. Bu liste aynı zamanda hareket kavramının (kombinasyon) ve hareketin özelliklerinin tanımlarından da yoksundur; Hareket aksiyomları. Listede ayrıca Arşimet aksiyomu (iki süreklilik aksiyomundan biri) eksiktir. önemli rol parçaların uzunluklarının, şekillerin alanlarının ve cisimlerin nesnelerinin ölçülmesi teorisinde. Bunun Öklid'in çağdaşı Arşimet tarafından fark edildiğine dikkat edin;
3) Postülat IV açıkça gereksizdir; bir teorem olarak kanıtlanabilir. Özellikle beşinci önermeye dikkat edelim. Elementlerin I. Kitabında ilk 28 önerme, beşinci önermeye atıfta bulunulmadan kanıtlanmıştır. Aksiyom ve postülaların listesini en aza indirmeye, özellikle de V'yi bir teorem olarak kanıtlamaya yönelik bir girişim, Öklid'in zamanından bu yana yürütülmektedir. Proclus (MS 5. yüzyıl), Omar Hayyam (1048-1123), Wallis (17. yüzyıl), Saccheri ve Lambert (18. yüzyıl), Legendre (1752-1833) da V önermesini bir teorem olarak kanıtlamaya çalıştılar. Kanıtları kusurluydu, ancak bu durum pozitif sonuçlar– iki geometrinin daha doğuşuna (Riemann ve Lobaçevski).
Öklidyen olmayan geometrik sistemler. N. Lobachevsky (1792-1856), keşfeden yeni geometri– Lobaçevski’nin geometrisi de V önermesini kanıtlama girişimiyle başladı.
Nikolai İvanoviç, bir çelişki elde etme umuduyla sistemini “İlkeler” cildine kadar geliştirdi. Bunu anlamadı ama 1826'da doğru sonuca vardı: Öklid geometrisinden farklı bir geometri var.
İlk bakışta, bu sonuç yeterince kanıtlanmamış gibi görünüyor: belki de onu daha da geliştirerek bir çelişkiye varılabilir. Ancak aynı soru Öklid geometrisi için de geçerlidir. Başka bir deyişle, mantıksal tutarlılık sorunuyla karşı karşıya kaldığımızda her iki geometri de eşittir. Daha ileri araştırmalar, bir geometrinin tutarlılığının diğer geometrinin tutarlılığını ima ettiğini gösterdi; mantıksal sistemlerin eşitliği vardır.
Lobaçevski başka bir geometrinin var olduğu sonucuna varan ilk kişiydi ama tek kişi değildi. Gauss (1777-1855) bu fikrini 1816 gibi erken bir tarihte özel mektuplarda dile getirmiş, ancak resmi yayınlarda bir açıklama yapmamıştı.
Lobaçevski'nin sonuçlarının yayınlanmasından üç yıl sonra (1829'da), yani. 1832'de, 1823'te farklı bir geometrinin varlığı sonucuna varan, ancak bunu daha sonra ve Lobaçevski'ninkinden daha az gelişmiş bir biçimde yayınlayan Macar J. Bolyai'nin (1802-1860) çalışması yayınlandı. Bu nedenle bu geometrinin Lobaçevski adını taşıması doğrudur.
Lobaçevski'nin geometrisinin genel kabulü, Lobaçevski'den sonraki geometri adamlarının çalışmaları sayesinde büyük ölçüde kolaylaştırıldı. 1868'de İtalyan matematikçi E. Beltrami (1825-1900), Lobaçevski geometrisinin sabit negatif eğriliğe sahip bir yüzeyde (sözde küre olarak adlandırılan) geçerli olduğunu kanıtladı. Lobaçevski'nin geometrisinin tutarlılığının Beltrami'nin yorumuna dayanan kanıtının zayıf noktası, D. Hilbert'in (1862-1943) gösterdiği gibi, hiçbir şeyin olmamasıydı. tam yüzeyözellikleri olmayan sabit negatif eğrilik. Bu nedenle, sabit negatif eğriliğe sahip bir yüzeyde, düz Lobaçevski geometrisinin yalnızca bir kısmı yorumlanabilir. Bu eksiklik A. Poincare (1854-1912) ve F. Klein (1849-1925) tarafından giderildi.
Lobaçevski'nin geometrisinin tutarlılığının kanıtı aynı zamanda beşinci postülanın diğerlerinden bağımsızlığının da kanıtıydı. Aslında bağımlılık durumunda Lobaçevski'nin geometrisi çelişkili olacaktır çünkü birbirini dışlayan iki ifadeyi içerecektir.
Öklid geometrisi üzerine yapılan ileri çalışmalar, Öklid'in aksiyom ve önermeler sisteminin eksikliğini gösterdi. Öklid'in aksiyomatik çalışması 1899'da Hilbert tarafından tamamlandı.
Hilbert'in aksiyomatiği beş gruptan oluşur:
Bağlantı aksiyomları (ait olma);
Düzen aksiyomları;
Uyum aksiyomları (eşitlik, tesadüf);
Süreklilik aksiyomları;
Paralellik aksiyomu.
Bu aksiyomlar (toplamda 20 tane vardır) üç tür nesneye atıfta bulunur: noktalar, çizgiler, düzlemler ve ayrıca bunlar arasındaki üç ilişki: "ait", "arasında yatıyor", "uyumlu". Özel anlam noktalar, çizgiler, düzlemler ve ilişkiler belirtilmemiştir. Aksiyomlar yoluyla dolaylı olarak tanımlanırlar. Bu sayede Hilbert'in aksiyomları temel alınarak oluşturulan geometri, çeşitli özel uygulamalara olanak sağlar.
Listelenen aksiyomlara dayanan geometrik bir sisteme denir. Öklid geometrisi,çünkü Öklid'in Elementler'de açıkladığı geometriyle örtüşüyor.
Öklidyen dışındaki geometrik sistemlere denir Öklid dışı geometriler. Buna göre genel teori görelilik, uzayda ne biri ne de diğeri kesinlikle doğrudur, ancak küçük ölçeklerde (dünyevi ölçekler de oldukça "küçüktür") uzayı tanımlamak için oldukça uygundurlar. Öklid formüllerinin pratikte kullanılmasının nedeni basit olmalarıdır.
Hilbert aksiyom sistemini kapsamlı bir şekilde inceledi ve aritmetiğin tutarsız olmaması durumunda bunun tutarlı olduğunu gösterdi (yani aslında asli veya sözde dış tutarlılık kanıtlanmışsa). Geometriyi kanıtlamak için yüzyıllarca süren geometri araştırmalarını tamamladı. Bu çalışma büyük beğeni topladı ve 1903'te Lobaçevski Ödülü'ne layık görüldü.
Öklid geometrisinin modern aksiyomatik sunumunda Hilbert'in aksiyomları her zaman kullanılmaz: geometri ders kitapları bu aksiyom sisteminin çeşitli modifikasyonları üzerine inşa edilmiştir.
20. yüzyılda Lobaçevski geometrisinin sadece önemli Soyut matematik için olası geometrilerden biri olmakla birlikte, aynı zamanda doğrudan matematiğin uygulamalarıyla da ilgilidir. A. Einstein ve diğer bilim adamlarının keşfettiği uzay ve zaman arasındaki ilişkinin ortaya çıktığı ortaya çıktı. özel teori görelilik, Lobaçevski geometrisiyle doğrudan ilgilidir.
“Sterometrinin temelleri” - Bir düzlemdeki mekansal figürlerin görüntüsü. Oktahedron. Uzaydaki düz çizgiler arasındaki açı. Eş zamanlı mühendislik. Piramit. Paralel projeksiyonlar düz rakamlar. Dodecahedron. Topun hacmi. Paralel düzlemlerin işaretleri. Uzaydaki düz çizgiler ve düzlemler arasındaki açılar. Pisagor. Stereometrinin temel rakamları.
“Uzaydaki uçaklar” - Katsayılar B=C=D=0. Uzayda düz bir çizginin denklemleri. 1. Genel denklem dümdüz. 2. Düzlemin genel denklemi. Katsayılar A,B,C denklemde normal vektörün koordinatları belirlenir: Verilen: bir nokta ve bir normal vektör Düzlemin denklemi: Koordinat düzlemleri. 3. Paralel doğruların durumu. 4. Doğruların diklik durumu.
“Düzlemdeki uzamsal figürler” - Projeksiyon yöntemi. Merkezi projeksiyon. Paralel ve kesişen doğruların ortak noktaları yoktur. Görevler. Gölge oyunu. İki düzlem iki paralel çizgiyle kesişiyor. Gerard Desargues. Paralel projeksiyon. Aksonometrik projeksiyon. Birbirleriyle açı oluşturan doğruların ve düzlemlerin özelliği.
"Sterometriye Giriş" - Stereometri -. Rakamlar. Dergi "Kvant". Bedenler. 6 maç alalım. Okul geometrisi. Kızılderililerin mobil konutlarına Tipis adı veriliyor. Geometrik bilgi başvuruldu. Bulmaca. Aritmetik. Uçak. Hadi bunu karelerin diline çevirelim. Planimetri. Dersi özetlemek. Geometrik bilgi yardımcı oldu.
“Geometri Aksiyomları” - Belirli bir uzunlukta ve yalnızca bir parçanın grafiğini çizebilirsiniz. Noktalar. Farklı uçaklar var ortak nokta. Pratik iş. Testin cevapları. Her segmentin belirli bir uzunluğu vardır. İki farklı uçaklar ortak bir noktamız var. Bir düzlem üzerinde en fazla bir düz çizgi çizebilirsiniz. Herhangi bir yarım çizgide başlangıç noktası köşeyi bir kenara bırakabilirsiniz.
“Sterometrinin konusu” - Pentagram. Evren. Stereometrinin temel kavramları. Tarihten. Öklid. Stereometri. Pisagor teoremini hatırlıyor musun? Talimatlar. Pisagor teoremi. Görsel temsiller. Stereometri aksiyomları. Tanımlanamayan kavramlar. Düzenli çokyüzlüler. Geometri. Stereometri bilimi kavramı. Görünmez taraf.
Toplamda 15 sunum var
Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. yararlı kaynakİçin
1. Planimetrinin temel kavramları
Neden her şey resimlerde ve kelimeler olmadan? Kelimelere ihtiyaç var mı? Bana öyle geliyor ki ilk başta pek gerekli değiller. Aslında matematikçiler elbette her şeyi kelimelerle anlatmayı biliyorlar ve bu tür açıklamaları teorinin ilerleyen aşamalarında bulabilirsiniz ama şimdi resimlerle devam edelim.
Başka ne? Ah evet, parçaları ve açıları nasıl ölçeceğimizi öğrenmemiz gerekiyor.
Her bölümün bir uzunluğu vardır; bu bölüme (bazı nedenlerden dolayı...) atanan bir sayı. Uzunluk genellikle bir cetvelle ölçülür, elbette santimetre, milimetre, metre ve hatta kilometre cinsinden.
Şimdi de açıları ölçüyorum. Bazı nedenlerden dolayı açılar genellikle derece cinsinden ölçülür. Neden? Bunun için bir şey var tarihsel nedenler ama şu anda tarihle uğraşmıyoruz. Bu nedenle, aşağıdaki anlaşmayı olduğu gibi kabul etmemiz gerekecek.
Gelişmiş bir derece açısında.
Kısa olması için şunu yazıyorlar: . Bu durumda, elbette, açılmamış açının hangi kısmının eşit olduğunu bulursanız, diğer tüm açıların büyüklüğü de bulunabilir. verilen açı. Açıları ölçmek için kullanılan araca iletki denir. Sanırım onu hayatında birden fazla kez gördün.
2. Açılarla İlgili İki Temel Gerçek
I. Komşu açılar toplanır.
Bu tamamen doğal, değil mi? Sonuçta, bitişik açılar birlikte bir ters açı oluşturur!
II. Dikey açılar eşittir.
Neden? Ve bak:
Şimdi ne olacak? Tabii ki, bunu takip ediyor. (Örneğin ikinciyi birinci eşitlikten çıkarmak yeterlidir. Ama aslında sadece resme bakabilirsiniz).
Dik açının boyutu nedir?
Tabii ki! Nihayet.
4. Dar ve geniş açı.
Temel olarak başlamak için bilmeniz gereken tek şey bu. Aksiyomlar hakkında neden tek kelime etmedik?
Aksiyomlar, planimetrinin temel nesnelerine ilişkin eylem kurallarıdır; noktalar ve çizgilerle ilgili ilk ifadelerdir. Bu ifadeler esas alınmıştır, kanıtlanmış değildir.
Neden hâlâ bunları formüle edip tartışmıyoruz? Görüyorsunuz, planimetrinin aksiyomları bir bakıma oldukça uzun bir zaman diliminde sezgisel olarak açık ilişkileri basitçe açıklıyor. matematik dili. Aksiyomatiklerin net bir şekilde anlaşılması, biraz sonra alıştığınızda gereklidir. geometrik kavramlar sağduyu düzeyinde. O zaman - hoş geldiniz - orada aksiyomlarla ilgili oldukça ayrıntılı bir tartışma var. Bu arada, Öklid zamanından önceki çok eski Yunanlılar gibi davranmaya çalışın; sadece sorunları kullanarak çözün. sağduyu. Sizi temin ederim, birçok görev sizin için mümkün olacak!
ORTALAMA SEVİYE
Kendinizi birdenbire başka bir gezegende ya da bir bilgisayar oyununun içinde bulduğunuzu hayal edin.
Önünüzde bilinmeyen ürünlerden oluşan bir set var ve göreviniz bu setten mümkün olduğunca çok sayıda lezzetli yemek hazırlamak. Neye ihtiyacın olacak? Elbette kurallar, talimatlar - belirli ürünlerle neler yapılabilir. Peki ya aniden sadece çiğ olarak yenen bir şeyi pişirirseniz ya da tam tersine, mutlaka haşlanması ya da kızartılması gereken bir şeyi salataya koyarsanız? Yani talimat olmadan - hiçbir yerde!
Tamam ama neden böyle bir giriş? Geometrinin bununla ne alakası var? Görüyorsunuz, geometrideki her türlü figürle ilgili pek çok ifade, pişirmeyi öğrenmemiz gereken birçok “yemek”tir. Ama neyden? Geometrinin temel nesnelerinden! Ancak bunların “kullanımına” ilişkin talimatlara denir akıllı sözlerle "aksiyomlar sistemi".
Öyleyse dikkat edin!
Planimetrinin temel nesneleri ve aksiyomları.
Nokta ve çizgi
Bunlar planimetrinin en önemli kavramlarıdır. Matematikçiler bunların “tanımlanamaz kavramlar” olduğunu söylüyor. Nasıl yani? Ancak bu durumda bir yerden başlamak gerekiyor.
Şimdi noktaları ve çizgileri işlemenin ilk kuralları. Bu matematik kurallarına denir "aksiyomlar"- Temel olarak alınan ve bundan sonra temel olan her şeyin çıkarılacağı ifadeler (geometriyi "pişirmek" gibi büyük bir mutfak misyonumuz olduğunu hatırlıyor musunuz?). Yani ilk aksiyom dizisine denir
I. Aidiyet aksiyomları.
Lütfen bu aksiyomun şu şekilde çizim yapmanıza izin verdiğini unutmayın:
Şöyle: iki nokta vardı:
Ve sonra düz bir çizgi bulundu:
Ama diğeri öyle değil!
Bütün bunlar size çok açık görünüyorsa, başka bir gezegende olduğunuzu ve nesnelerle ne yapacağınızı hâlâ bilmediğinizi unutmayın. "nokta" Ve "dümdüz".
Işın, segment, açı.
Artık çizgilere noktalar koymayı ve noktalardan çizgiler çizmeyi öğrendik, böylece ilk basit "yemekleri" hazırlayabiliriz -, çizgi segmenti,köşe.
1) KİRİŞ
İşte burada,
2) KESME
Şimdi işleri düzene koyalım. Bir sonraki aksiyom dizisinin adı:
II. Düzen aksiyomları.
Şimdi - bir sonraki seviye. Şununla ilgili talimatlara ihtiyacımız var: ölçüm segmentler ve açılar. Bu aksiyomlara denir
III. Parçalar ve açılar için ölçü aksiyomları.
Ve şimdi tamamen tuhaf.
IV. Belirli bir üçgenin varlığına ilişkin aksiyomlar.
Bu aksiyomun iki sonucu daha açıktır:
Sonuncusu efsane paralel aksiyom!
Ama önce tanım:
V. Paralellik aksiyomu.
Neyse bitti planimetri aksiyomları! Çok fazla var mı? Ama düşünün, hepsine ihtiyaç var. Her biri için kurnazca, kurnazca bir akıl yürütme var; bu aksiyom kaldırılırsa geometrinin tüm yapısının parçalanacağını gösteriyor! Peki, yoksa alıştığımızdan tamamen farklı bir şey kalacak.
Şimdi açılarla ilgili iki temel gerçek!
Bitişik ve dikey açılar.
Bir açıyı oluşturan ışınlara açının kenarları denir ve bunların genel başlangıç- tepe
Bu tamamen basit teorem, Gerçek?
Nihayet ortak taraf bitişik köşeler basitçe düz bir açıyı iki açıya böler ve bu nedenle (DİKKAT: Aksiyom 3.2 çalışır!) yani bitişik açıların toplamı açılmış olanın boyutuna eşittir.
Çizmek tarif etmekten daha kolaydır; resme bakın.
Bu aynı zamanda kolay bir teoremdir. Emin olmak:
Dar ve geniş açı.
KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER
Aidiyet aksiyomları:
- Aksiyom 1. Doğru ne olursa olsun, bu doğruya ait olan noktalar ve ona ait olmayan noktalar vardır.
- Aksiyom 2. Herhangi iki noktadan düz bir çizgi çizebilirsiniz, hem de yalnızca bir tane.
Düzen aksiyomları:
- Aksiyom 3. Bir doğru üzerindeki üç noktadan biri ve yalnızca biri diğer ikisinin arasında yer alır.
- Aksiyom 4. Bir düzlemde uzanan düz bir çizgi, bu düzlemi iki yarım düzleme böler. Bir doğru parçasının uçları aynı yarım düzlemdeyse o parça doğruyu kesmez. Bir doğru parçasının uçları farklı yarım düzlemlere aitse bu parça bir doğruyla kesişir.
Segmentler ve açılar için ölçü aksiyomları:
- Aksiyom 5. Her parçanın sıfırdan büyük belirli bir uzunluğu vardır. Bir parçanın uzunluğu, herhangi bir noktasına bölündüğü parçaların uzunluklarının toplamına eşittir.
- Aksiyom 6. Her açının belirli bir derece ölçüsü vardır, sıfırdan büyük. Doğru açı eşittir. Bir açının derece ölçüsü toplamına eşittir derece ölçüleri kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açılar.
Belirli bir üçgenin varlığına ilişkin aksiyomlar:
Paralel Aksiyom:
- Aksiyom 8. Bir düzlemde, belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel en fazla bir düz çizgi çizebilirsiniz.
Açılarla ilgili temel gerçekler:
- Teorem.
Komşu açıların toplamı eşittir.
Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.
Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...
Ne için? Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek
, bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ, ömür boyu üniversiteye kabul için.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim... Alınan insanlar iyi bir eğitim
, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.
Ancak asıl mesele bu değil. Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık
ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...
Ama kendin düşün...
Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?
BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.
Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak. İhtiyacın olacak.
zamana karşı sorunları çözmek
Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir. Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz
ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
- Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR
Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.
“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
Aksiyomatiğin bir örneği olarak bir düzlemin geometrisini ele alalım. Basitlik adına, yalnızca konumsal geometri aksiyomlarını (Hilbert'in "Geometrinin Temelleri"nde bağlantı aksiyomları ve düzen aksiyomları adı altında verilmiştir) ve paralellik aksiyomlarını ele alacağız. Aynı zamanda, amaçlarımız açısından Hilbert'in aksiyom sisteminden bir miktar sapmak uygun olacaktır: noktalardan ve çizgilerden, iki nesne oluşturan nesneler olarak başlamayacağız. çeşitli sistemler ama birey olarak sadece puan alalım. "Noktalar ve y bir düz çizgiyi belirler" ilişkisi yerine, üçlü bir ilişki elde edeceğiz: noktalar aynı düz çizgide yer alır", bunun için notasyonu kullanacağız. Bu ilişki ile birlikte ikinci temel ilişki olarak Next ile aralarında ele alacağımız düzen ilişkisini ele alacağız, aksiyomlarımızda mantığa ilişkin bir kavram olarak eşitlik ilişkisiyle karşılaşacağız. ilişkide olağan eşittir işaretini kullanacağız:
Aksiyomların sembolik kaydı için aynı zamanda mantıksal işaretlere ve her şeyden önce evrenselliği ve varoluşları ifade edecek işaretlere ihtiyacımız olacak; eğer bir x ile ilgili bir yüklem varsa, o zaman bu "tüm x'lerin özelliği vardır" ve - "özelliği olan bir x vardır" anlamına gelecektir. İşarete “evrenselliğin niceleyicisi” ve “varoluşun niceleyicisi” denir. Evrensel niceleyiciler ve
varoluş eşit olarak hem x değişkenine hem de diğer bazı değişkenlere atıfta bulunabilir. Böyle bir niceleyiciye ait bir değişken, tıpkı bu niceleyici tarafından "bağlanır". entegrasyon değişkeni bir integral işaretiyle bağlanır, böylece bir bütün olarak ifadenin tamamı artık bu değişkenin herhangi bir değerine bağlı değildir.
Bir sonraki mantıksal işaretler olarak, olumsuzluk için bir işaret ve ifadeleri birleştirmek için işaretler ekleyeceğiz. Bir ifadeyi reddetmek için bu ifadenin önündeki işareti kullanacağız. Kısalık olması açısından 1 (x = y) yerine & (“ve”) işaretini yazacağız, iki ifadenin arasında yer alan bu ifadelerin her ikisinin de doğru olduğu (bağlaç) anlamına gelecektir. İki ifade arasında yer alan “vel” anlamındaki “veya” işareti, bu ifadelerden en az birinin doğru olduğu anlamına gelecektir (ayrılma).
İki ifade arasında duran işaret, birincisinin doğruluğunun ikincisinin doğruluğunu gerektirdiğini, ya da başka bir deyişle, bu ifadelerden birincisinin, ikincisi de doğru olmadan (ima) doğru olamayacağı anlamına gelecektir. Söylenenlere göre, 21 ve 95 numaralı iki ifadenin iması ancak 21 doğru ve yanlışsa yanlıştır; diğer durumlarda bu doğrudur.
Anlam işareti evrensel niceleyiciyle birlikte genel olarak olumlu varsayımsal önermeleri tasvir eder. Yani, örneğin, formül
x ve y arasındaki bazı ilişkiler nerede ve nelerdir, şu cümleyi temsil eder: “her birey çifti için öyle ki şu da doğrudur:
Onlardan formüller oluştururken bileşenler Her zamanki parantez yerleştirme yöntemini kullanacağız. Bunları kurtarmak için işaretin işaretlerden daha kuvvetli bölündüğü, işaretlerin ve V'nin evrensellik ve varoluş niceleyicilerinden daha kuvvetli bölündüğü konusunda hemfikir olacağız. Yanlış anlaşılmalara yol açmayacak durumlarda parantezlerin kullanılmaması konusunda da anlaşacağız. Yani, örneğin ifade yerine
x ve y arasındaki herhangi bir ilişkiyi ifade ettiği yerde, bu ifade yalnızca tek bir şekilde okunabileceği için basitçe yazacağız: “her x için ilişkinin doğru olduğu bir y vardır
Artık, formülleri kullanarak, söz konusu aksiyom sistemini zaten yazabiliyoruz. Okuma kolaylığı için öncelikle aksiyomlara doğal dil kullanılarak yazılmış varyantlarıyla eşlik edeceğiz.
Aşağıda verilen aksiyomların gruplara ayrılması, Hilbert'in "Geometrinin Temelleri" adlı eserinde benimsenen bölünmeyle tam olarak örtüşmemektedir. Bu nedenle, her aksiyom grubuna burada formüller kullanılarak ifade edilen aksiyomların Hilbert tarafından verilen aksiyomlarla ilişkisine ilişkin bir yorum sunacağız.
I. Bağlantı aksiyomları (aksesuarlar):
(her zaman aynı düz çizgide uzanın).
(eğer x, y, z noktaları aynı doğru üzerinde yer alıyorsa, o zaman y, x, z noktaları ve noktalar da aynı doğru üzerindedir).
(eğer x ve y farklı noktalarsa ve x, y, z noktaları ve x, y noktaları aynı doğru üzerinde yer alıyorsa, o zaman x, z ve ayrıca aynı doğru üzerinde yer alıyorsa).
(aynı doğru üzerinde olmayan x, y, z noktaları vardır).
Aksiyomlar 1) ve 2), düz çizgi kavramının ortadan kaldırılması dikkate alınarak aksiyom I 1'in yerini alır); aksiyom 3), aksiyom I 3)'ün ikinci kısmının aksiyomuna karşılık gelir.
II. Düzen aksiyomları
(eğer noktalar farklıysa, o zaman y ile z arasında her zaman bir nokta vardır).
Aksiyomlar 1) ve 2) birlikte ele alındığında Hilbert aksiyomunun II 1); 3) Hilbert aksiyomu II 1)'in son kısmının aksiyom II 3) ile birleşimidir; 4) II 4) düzeyindeki bir aksiyomdur.
III. Paralelliklerle ilgili aksiyom. Uyumluluk aksiyomları aksiyomlar listemizde görünmediğinden, paralel aksiyomu burada aşağıdaki genişletilmiş formülasyonda sunmamız gerekecek: herhangi bir doğru ve onun dışında kalan bir nokta için, bu noktadan geçen tek bir doğru vardır ve orijinal olanla doğrudan kesişmiyor.
Bu aksiyomun sembolik formülasyonunu basitleştirmek için şu kısaltmayı kullanıyoruz: sembol
Arkasında ne var gizemli bir kelime"aksiyom" nereden geldi ve ne anlama geliyor? 7.-8. sınıftaki bir öğrenci bu soruyu kolayca cevaplayabilir, çünkü yakın zamanda ustalaşmaya başladı. temel kurs planimetride şu görevle zaten karşılaşmıştı: "Hangi ifadelere aksiyom denir, örnekler verin." Bir yetişkinin benzer bir sorusu büyük olasılıkla zorluğa yol açacaktır. Çalışmanın üzerinden ne kadar zaman geçerse bilimin temellerini hatırlamak o kadar zor olur. Aynı zamanda “aksiyom” kelimesi günlük yaşamda sıklıkla kullanılmaktadır.
Terimin tanımı
Peki hangi ifadelere aksiyom denir? Aksiyom örnekleri çok çeşitlidir ve herhangi bir bilim alanıyla sınırlı değildir. Bahsedilen terim nereden geliyor? antik Yunan dili ve birebir çeviri"kabul edilen konum" anlamına gelir.
Bu terimin kesin tanımı, aksiyomun kanıt gerektirmeyen bir teorinin ana tezi olduğunu belirtir. Bu kavram matematikte (ve özellikle geometride), mantıkta ve felsefede yaygındır.
Daha Antik Yunan Aristoteles şunu belirtti bariz gerçekler kanıta gerek yok. Mesela kimsenin bundan şüphesi yok Güneş ışığı yalnızca gündüzleri görülebilir. Bu teori başka bir matematikçi olan Öklid tarafından geliştirildi. Hiçbir zaman kesişmeyen aksiyomlara bir örnek ona aittir.
Zamanla terimin tanımı değişti. Artık aksiyom yalnızca bilimin başlangıcı olarak değil, aynı zamanda daha sonraki teori için bir başlangıç noktası görevi gören elde edilmiş bir şey olarak algılanıyor.
Okul kursundan açıklamalar
Okul çocukları matematik derslerinde onay gerektirmeyen varsayımlarla tanıştırılır. Bu nedenle lise mezunlarına "Aksiyom örnekleri verin" görevi verildiğinde çoğunlukla geometri ve cebir derslerini hatırlarlar. Yaygın cevaplara örnekler:
- bir çizgi için onunla ilgili olan (yani çizginin üzerinde bulunan) ve onunla ilişkili olmayan (çizginin üzerinde olmayan) noktalar vardır;
- herhangi iki noktadan geçen düz bir çizgi çizilebilir;
- Bir düzlemi iki yarım düzleme bölmek için düz bir çizgi çizmeniz gerekir.
Cebir ve aritmetik bu tür ifadeleri açıkça ortaya koymaz, ancak bu bilimlerde bir aksiyom örneği bulunabilir:
- herhangi bir sayı kendisine eşittir;
- bir tüm doğal sayılardan önce gelir;
- eğer k=l ise l=k olur.
Böylece basit tezler aracılığıyla daha fazla karmaşık kavramlar, sonuçlar çıkarılır ve teoremler türetilir.
Aksiyomlara dayalı bilimsel bir teori oluşturmak
İnşa etmek bilimsel teori(hangi araştırma alanından bahsediyor olursak olalım), bir temele ihtiyacımız var - inşa edileceği tuğlalar. İşin özü, bir terimler sözlüğünün oluşturulması, geri kalan varsayımların türetildiği bir aksiyom örneğinin formüle edilmesidir.
Bilimsel bir sözlük şunları içermelidir: temel kavramlar yani başkaları aracılığıyla belirlenemeyenler:
- Her terimi tutarlı bir şekilde açıklayarak ve anlamlarını ortaya koyarak her bilimin temellerine ulaşılır.
- Bir sonraki adım, teorinin geri kalan ifadelerini kanıtlamak için yeterli olması gereken temel bir dizi ifadeyi tanımlamaktır. Temel varsayımların kendileri gerekçelendirilmeden kabul edilir.
- Son adım teoremlerin oluşturulması ve mantıksal olarak türetilmesidir.
Çeşitli bilimlerden varsayımlar
Kanıtsız ifadeler sadece kesin bilimler, ama aynı zamanda genellikle insani olarak sınıflandırılanlarda da. Çarpıcı bir örnek- Bir aksiyomu pratik bilgi olmadan bilinebilecek bir ifade olarak tanımlayan bir felsefe.
Aksiyomun bir örneği var hukuk bilimleri: “Kendi eylemlerinizi yargılayamazsınız.” Bu ifadeye dayanarak normlar türetilir. sivil yasa- Adli işlemlerin tarafsızlığı, yani hakimin doğrudan veya dolaylı olarak ilgilendiği bir davayı ele alması mümkün değildir.
Her şey olduğu gibi kabul edilmez
Doğru aksiyomlar arasındaki farkı anlamak ve basit ifadeler Doğru olduğu bildirilenlere karşı tutumu analiz etmek gerekir. Mesela her şeyin iman üzerinden ele alındığı dinden bahsediyorsak, orada prensip yaygındır. tam inanç bir şeyin doğru olduğu, çünkü kanıtlanamadığı anlamına gelir. Ve bilim camiasında herhangi bir pozisyonu doğrulamanın imkansızlığından bahsediyorlar; bu bir aksiyom olacak. Şüphe etme ve tekrar kontrol etme isteği, gerçek bir bilim insanını farklı kılan şeydir.
