İki rastgele argümanın fonksiyonu örneği. Rastgele değişken fonksiyonlarının dağılım yasaları

Her rastgele değişken tamamen kendi tarafından belirlenir. dağıtım fonksiyonu.

Eğer x rastgele bir değişken ise, o zaman fonksiyon F(X) = Fx(X) = P(X< X) denir dağıtım fonksiyonu rastgele değişken x. Burada P(X<X) - rastgele değişken x'in bundan daha düşük bir değer alma olasılığı X.

Dağılım fonksiyonunun bir rastgele değişkenin “pasaportu” olduğunu anlamak önemlidir: rastgele değişken hakkındaki tüm bilgileri içerir ve dolayısıyla Rastgele bir değişkenin incelenmesi, onun dağılım fonksiyonunun incelenmesinden oluşur, buna genellikle basitçe denir dağıtım.

Herhangi bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

ikinin işlevi rastgele argümanlar:Eğerher olası değer çifti rastgele değişkenler ve rastgele değişkenin olası bir değeri karşılık geliyorsa buna denir. iki rastgele argümanın işlevi ve ve şunu yaz:

Eğer ve ayrık bağımsız rastgele değişkenler ise, o zaman fonksiyonun dağılımını bulmak için hepsini bulmalıyız. olası değerler, bunun için her olası değeri tüm olası değerlerle eklemek yeterlidir; bulunan değerlerin olasılıkları, değerlerden toplanan olasılıkların çarpımına eşittir Ve.

19. Büyük sayılar kanunu. Büyük sayılar yasasının teoremleri şans ve zorunluluk arasındaki ilişkiyi kurar.

Büyük sayılar yasası, birkaç teorem için genelleştirilmiş bir addır; buradan, test sayısındaki sınırsız artışla ortalama değerlerin belirli sabitlere yöneldiği sonucu çıkar.

Chebyshev eşitsizliği.

Önerme: Eğer bir X rastgele değişkeninin sonlu beklentisi M(X) ve varyansı D(X) varsa, o zaman herhangi bir pozitif e için eşitsizlik doğrudur

Chebyshev teoremi: Keyfi olarak küçük bir e sayısı için, her birinin varyansı aynı B sabit sayısını aşmayan yeterince büyük sayıda bağımsız rastgele değişken X 1, X 2, X 3, ..., X n için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

Teoremden, rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasının, sayıları arttıkça kararlılık özelliği gösterdiği, yani olasılık açısından bu niceliklerin matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalaması olan rastgele olmayan bir değere yöneldiği sonucu çıkar. göre sapma olasılığı mutlak değer Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasından aritmetik ortalaması, e n süresiz olarak arttıkça 1'e doğru yönelir, yani. neredeyse kesin bir olay haline gelir.

Chebyshev teoreminin özel bir durumu: Let n denemede rastgele bir değişkenin n değeri gözlenir X, matematiksel bir beklentiye sahip olmak M(X) ve varyans D(X). Elde edilen değerler rastgele değişkenler olarak kabul edilebilir X 1, X 2, X 3, ..., X n,. Bu şekilde anlaşılmalıdır. Serisi N testler tekrar tekrar yapılır. Dolayısıyla i'inci test sonucunda i=l, 2, 3, ..., P, her test serisinde rastgele değişkenin bir veya başka değeri görünecektir X,önceden bilinmiyor. Buradan, yani i'inci testte elde edilen rastgele değişkenin xi değeri, bir test serisinden diğerine geçerken rastgele değişir. Böylece her x i değeri bir rastgele değişken olarak kabul edilebilir. Xi.

Bernoulli teoremi. Bernoulli teoremi: n bağımsız denemenin her birinde A olayının olasılığı sabit ve p'ye eşitse, o zaman keyfi e için yeterince büyük n için>0 eşitsizlik doğrudur

Sınıra geçerek elimizde Bernoulli teoremi bir olayın meydana gelme olasılığı ile onun gerçekleşmesi arasında bir bağlantı kurar. bağıl frekans görünüm ve kişinin bu frekansın yaklaşık olarak ne olacağını tahmin etmesini sağlar N testler. Teoremden açıkça görülüyor ki oran t/n Test sayısında sınırsız artış ile stabilite özelliğine sahiptir.

Bazen (karar verirken pratik problemler) n denemede bir olayın meydana gelmesine ilişkin m sayısının beklenen sonuçtan sapmasının (pr) aşılmama olasılığının tahmin edilmesi gerekir belli bir sayı e. Bu tahmin için eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılır:

20.Merkezi limit teoremleri (C.L.T.)- olasılık teorisinde toplamın yeterli olduğunu belirten bir teorem sınıfı büyük miktar Yaklaşık olarak aynı ölçeğe sahip (hiçbir terim baskın değildir veya toplama belirleyici bir katkıda bulunmaz) zayıf bağımlı rastgele değişkenler normale yakın bir dağılıma sahiptir.

Uygulamalardaki birçok rastgele değişken, zayıf bağımlı birkaç rastgele faktörün etkisi altında oluştuğundan dağılımları normal kabul edilir. Bu durumda faktörlerden hiçbirinin baskın olmaması koşulunun sağlanması gerekir. Merkezi limit teoremleri bu durumlarda normal dağılımın kullanılması haklıdır.

Evrişim formülü. Normal dağılımın kararlılığı.

o X ve Y rastgele değişkenlerinin olası değer çiftlerinin her biri, Z rastgele değişkeninin olası bir değerine karşılık geliyorsa, Z denir. iki rastgele bağımsız değişken X ve Y'nin işlevi:

Diğer örnekler, bilinen terim dağılımlarından bir fonksiyonun dağılımının nasıl bulunacağını gösterecektir. Bu sorun pratikte sıklıkla ortaya çıkar. Örneğin, eğer X bir ölçüm cihazının okumalarındaki hata ise (düzgün dağılmış), o zaman görev, hataların toplamının dağılım yasasını bulma görevi ortaya çıkar.

Durum 1. X ve Y- olsun ayrık bağımsız rastgele değişkenler. Z=X+Y fonksiyonuna ait dağılım yasasını çizebilmek için Z'nin olası tüm değerlerini ve bunların olasılıklarını bulmak gerekir. Başka bir deyişle, Z rastgele değişkeninin bir dağılım serisi derlenir.

Örnek 1. Dağılımlarla belirtilen ayrık bağımsız rastgele değişkenler X ve Y

Z=X+Y rastgele değişkeninin bir dağılımını oluşturun.

Z'nin olası değerleri, X'in olası her değerinin X'in tüm olası değerleri ile toplamıdır.

Bu olası değerlerin olasılığını bulalım. Z=4 olması için X değerinin x 1 =1 değerini ve Y değerinin y 1 =3 değerini alması yeterlidir. Bu dağılım yasalarından da anlaşılacağı üzere bu olası değerlerin olasılıkları sırasıyla 0,4 ve 0,2'ye eşittir.

Rastgele değişkenler X ve Y bağımsız olduğundan, X=1 ve Y=3 olayları bağımsızdır ve bu nedenle çarpıma göre bunların ortak gerçekleşme olasılığı (yani Z=1+3=4 olayının olasılığı) teoremi 0,4 0'a eşittir, 2=0,08.

Benzer şekilde bulabiliriz

Önce olasılıkları toplayarak gerekli dağılımı yazalım. uyumsuz olaylar Z=z 2 ve Z=z 3. (0,32+0,12=0,44)

Kontrol: 0,08+0,44+0,48=1.

düşünelim genel durum:

X ve Y, değer alan bağımsız rastgele değişkenler olsun. , ile belirtelim.

Z=X+H. ile belirtelim

Böylece, - evrişim formülü.

Durum 2. X ve Y sürekli rastgele değişkenler olsun.

Teorem. X ve Y bağımsız sürekli rastgele değişkenlerse, bu durumda rastgele değişken Z=X+Y de süreklidir ve rastgele değişken Z'nin dağılım yoğunluğu evrişim formülüdür.

O Toplam dağıtım yoğunluğu bağımsız rastgele değişkenler denir kompozisyon.

Yorum. X ve Y'nin olası değerleri negatif değilse, o zaman evrişim formülü .

O Olasılık dağılımı yasası denir sürdürülebilir , eğer bu tür yasaların bileşimi aynı dağıtım yasası ise (genel anlamda parametrelerde farklılık gösterir). Normal yasanın kararlılık özellikleri vardır, yani. normal yasaların bileşimi de normal dağılım ve bu bileşimin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla terimlerin matematiksel beklentileri ve varyanslarının toplamına eşittir:

Özellikle X~N(0,1) ve Y~N(0,1) ise Z=X+Y~N(0,2).

Örnek 2. Rastgele değişkenler X 1,...,X k bağımsız olsun ve üstel dağılımλ>0 parametresi ile, yani. .

Dağıtım yoğunluğunu bulun.

Eğer x≤0 ise o zaman.

Benzer akıl yürütmeyi yürütürsek şunu elde ederiz:

Sistemin sayısal özellikleri

İki rastgele değişken.

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemi tanımlamak için matematiksel beklentiler ve varyanslara ek olarak diğer özellikler de kullanılır. Bunlar kovaryans ve düzeltme faktörünü içerir.

O Kovaryans Rastgele değişkenler arasında X ve Y'ye bir sayı denir, burada.

Sürekli rastgele değişkenler X ve Y için formülü kullanın.

X ve Y rastgele değişkenlerinin bağımsız olduğunu gösterelim. X ve Y sürekli rastgele değişkenler olsun

O Korelasyon katsayısı X ve Y rastgele değişkenleri arasındaki sayıya bir sayı denir.

Korelasyon özellikleri.

Mülk 1. Korelasyon katsayısının mutlak değeri birliği aşmaz, yani. .

Mülk 2. X ve Y rastgele değişkenlerinin doğrusal bir ilişkiyle ilişkilendirilmesinin gerekli ve yeterli olması için. Onlar. 1 olasılıkla.

Mülk 3. Rastgele değişkenler bağımsızsa korelasyonsuzdurlar, yani. r=0.

X ve Y bağımsız olsun, o zaman matematiksel beklentinin özelliğine göre

o İki rastgele değişken X ve Y olarak adlandırılır. ilişkili Korelasyon katsayıları sıfırdan farklı ise.

O Rastgele değişkenler X ve Y, ilişkisiz olarak adlandırılır Korelasyon katsayısı 0 ise.

Yorum.İki rastgele değişkenin korelasyonu onların bağımlılığını ima eder, ancak bağımlılık henüz korelasyonu ima etmez. İki rastgele değişkenin bağımsızlığından, bunların korelasyonsuz olduğu sonucu çıkar, ancak korelasyonsuzluktan bu değişkenlerin bağımsız olduğu sonucuna varmak hala imkansızdır.

Korelasyon katsayısı rastgele değişkenlerin eğilimini karakterize eder. doğrusal bağımlılık. Korelasyon katsayısının mutlak değeri ne kadar büyük olursa, doğrusal bağımlılığa olan eğilim de o kadar büyük olur.

Rastgele değişkenlerin olası değerlerinin her bir çifti ise X Ve e rastgele bir değişkenin olası bir değerine karşılık gelir Z, O Z isminde iki rastgele argümanın fonksiyonu X Ve Y:

z= J ( X, Y).

Diğer örnekler fonksiyonun dağılımının nasıl bulunacağını gösterecektir. Z = X + Y Bilinen terim dağılımlarına göre. Bu sorun pratikte sıklıkla ortaya çıkar. Örneğin, eğer X- ölçüm cihazının okuma hatası (normal dağılım), e- okumaları en yakın ölçek bölümüne yuvarlama hatası (tekdüze olarak dağıtılmış), o zaman görev ortaya çıkar - hataların toplamının dağılım yasasını bulmak Z=X+Y.

1. İzin ver X Ve e-ayrık bağımsız rastgele değişkenler. Fonksiyonun dağılım yasasını çizmek için Z = X + Y, olası tüm değerleri bulmamız gerekiyor Z ve bunların olasılıkları.

Örnek 1. Ayrık bağımsız rastgele değişkenler dağılımlarla belirtilir:

Rastgele bir değişkenin dağılımını oluşturun Z = X+Y.

Çözüm. Olası değerler Z her olası değerin toplamları vardır X mümkün olan tüm değerlerle Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

Bu olası değerlerin olasılıklarını bulalım. İçin Z= 4, değerin olması yeterlidir X anlamı üstlendi X 1 =1 ve değer e- Anlam sen 1 = 3. Bu dağılım yasalarından da anlaşılacağı üzere bu olası değerlerin olasılıkları sırasıyla 0,4 ve 0,2'ye eşittir.

Argümanlar X Ve e bağımsızdır, dolayısıyla olaylar X= 1i e= 3 bağımsızdır ve dolayısıyla bunların ortaklaşa meydana gelme olasılığı (yani olayın olasılığı) Z= 1+3 = 4) çarpma teoremine göre 0,4*0,2 = 0,08'e eşittir.

Benzer şekilde şunu da bulabiliriz:

P(z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

R(z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

R(z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

Önce olasılıkları toplayarak gerekli dağılımı yazalım. uyumsuz olaylar z = z 2 , z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

Kontrol: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. İzin ver X Ve e- sürekli rastgele değişkenler. Kanıtlanmış: eğer X Ve e bağımsızsa dağıtım yoğunluğu G(z) miktarlar Z = X + Y(argümanlardan en az birinin yoğunluğunun () aralığında bir formülle belirtilmesi koşuluyla) eşitlik kullanılarak bulunabilir

(*)

veya eşdeğer eşitliği kullanarak

(**)

Nerede F 1 , F 2 - argümanların dağılım yoğunlukları.

Bağımsız değişkenlerin olası değerleri negatif değilse, o zaman G(z) formülü kullanılarak bulunur

(***)

veya eşdeğer bir formülle

(****)

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yoğunluğuna denir kompozisyon.

Olasılık dağılımı yasası denir sürdürülebilir, bu tür yasaların bileşimi aynı yasa ise (genel anlamda parametreler açısından farklılık gösterir). Normal yasanın kararlılık özelliği vardır: normal yasaların bileşimi de normal bir dağılıma sahiptir (bu bileşimin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla terimlerin matematiksel beklentileri ve varyanslarının toplamına eşittir). Örneğin, eğer X Ve e- matematiksel beklentiler ve varyanslar sırasıyla eşit olacak şekilde normal dağılım gösteren bağımsız rastgele değişkenler A 1 = Z, a 2 = 4, D 1 =1, D 2 = 0, 5, o zaman bu miktarların bileşimi (yani Z = toplamının olasılık yoğunluğu) X+ e) da normal olarak dağıtılır ve bileşimin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla eşittir A = 3 + 4 = 7; D=1 +0,5=1,5.

Örnek 2. Bağımsız rastgele değişkenler X Ve e dağıtım yoğunlukları ile verilir:

F(X)= ;

F(sen)= .

Bu yasaların bileşimini, yani rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu bulun. Z = X+Y.

Çözüm. Bağımsız değişkenlerin olası değerleri negatif değildir. Bu nedenle (***) formülünü kullanacağız.

Burada şunu unutmayın z 0 çünkü Z=X+Y ve koşula göre olası değerler X Ve e negatif olmayan.

Ki kare dağılımı

İzin vermek X ben(ben = 1, 2, ..., P) normal bağımsız rastgele değişkenlerdir ve her birinin matematiksel beklentisi sıfıra, standart sapması ise bire eşittir. Daha sonra bu büyüklüklerin karelerinin toplamı

ki kare kanununa göre dağıtılır k = n serbestlik dereceleri; bu miktarlar tek bir doğrusal ilişkiyle ilişkiliyse, örneğin , o zaman serbestlik derecesi sayısı k=n- 1.

Bu dağılımın yoğunluğu

Nerede - gama işlevi; özellikle,

(n+ 1)=n!.

Bu, ki-kare dağılımının tek bir parametreyle (serbestlik derecesi sayısı) belirlendiğini gösterir. k.

Serbestlik derecesi sayısı arttıkça dağılım yavaş yavaş normale yaklaşır.

Öğrenci dağılımı

İzin vermek Z normal bir rastgele değişkendir ve M(Z) = 0, S( Z)= 1, A V-bağımsız Z kanuna göre dağıtılan bir miktar k serbestlik dereceleri. Daha sonra değer

adında bir dağılım var T- dağıtım veya Öğrenci dağıtımı (İngiliz istatistikçi W. Gosset'in takma adı), k serbestlik dereceleri.

Yani, normalleştirilmiş oran normal boyutİle karekök ki-kare yasasına göre dağıtılan bağımsız bir rastgele değişkenden k serbestlik derecesi bölü k,Öğrenci kanununa göre dağıtılır k serbestlik dereceleri.

Serbestlik derecesi sayısı arttıkça Öğrenci dağılımı hızla normale yaklaşır. Daha fazla bilgi bu dağılım aşağıda verilmiştir (bkz. Bölüm XVI, § 16).

§ 15. Dağıtım F Fischer - Snedecor

Eğer sen Ve V- serbestlik derecesine sahip yasaya göre dağıtılan bağımsız rastgele değişkenler k 1 ve k 2 , o zaman değer

dağıtım adı verilen bir dağıtım vardır F Serbestlik dereceli Fischer-Snedecor k 1 ve k 2 (bazen şu şekilde gösterilir: V 2).

Bu dağılımın yoğunluğu

dağıtıldığını görüyoruz. F iki parametreyle belirlenir - serbestlik derecesi sayısı. Bu dağıtıma ilişkin ek bilgiler aşağıda verilmiştir (bkz. Bölüm XIX, § 8).

Görevler

1. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X, dağıtım yoğunluğunu bilerek:

A) diğer değerler için X;

B) F(X)= 1/ 2ben en A- l x a+l, F(X)= diğer değerler için 0 X.

Temsilci A)M(X)= 0, D(X) = l/2; B) M(X)= a, D(X)= ben 2 / 3.

2. Rastgele değişken X normal olarak dağılmıştır. Bu değerin matematiksel beklenti ve standart sapmasının sırasıyla 6 ve 2'ye eşit olma olasılığını bulun. X(4,8) aralığındaki değeri alacaktır.

Temsilci 0,6826.

3. Rastgele değişken normal dağılıma sahiptir. Bu değerin standart sapması 0,4'tür. Bir rastgele değişkenin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının 0,3'ten az olma olasılığını bulun.

Temsilci 0,5468.

4. Rastgele ölçüm hataları tabidir normal hukuk ortalama ile kare sapma s=1 mm ve matematiksel beklenti A= 0. İki bağımsız gözlemden en az birinin hatasının mutlak değer olarak 1,28 mm'yi aşmama olasılığını bulun.

Temsilci 0,96.

5. Otomatik makine tarafından üretilen silindirler, silindir çapının tasarım boyutundan sapması 2 mm'yi geçmiyorsa standart kabul edilir. Rastgele sapmalar silindir çapları, standart sapma s = 1,6 mm ve matematiksel beklentiyle normal yasaya uygundur bir = 0. Makine standart silindirlerin yüzde kaçını üretiyor?

Temsilci Yaklaşık %79.

6. Ayrık rastgele değişken X Dağıtım kanunu tarafından verilen: