Olasılık teorisi ve uygulamalarında iki boyutlu normal dağılım önemli bir rol oynamaktadır. İki boyutlu normal rastgele değişkenin (X,Y) yoğunluğu şu şekildedir:

Burada
- matematiksel beklentiler miktarlar X ve Y;
- ortalama kare sapmalar miktarlar X ve Y; r – X ve Y değerlerinin korelasyon katsayısı.

X ve Y rastgele değişkenlerinin ilişkili olmadığını, yani r=0 olduğunu varsayalım. O zaman elimizde:

(53)

İkili bir sistemin dağıtım yoğunluğunu bulduk. rastgele değişkenler(X,Y), X ve Y bileşenlerinin dağılım yoğunluklarının çarpımına eşittir; bu, X ve Y'nin bağımsız rastgele değişkenler olduğu anlamına gelir.

Böylece aşağıdakiler kanıtlanmıştır teorem: normal dağılmış rastgele değişkenlerin korelasyonsuzluğundan, bunların bağımsız olduğu sonucu çıkar . Herhangi bir rastgele değişkenin bağımsızlığı onların korelasyonsuz olduğunu ima ettiğinden, normal dağılım durumunda "ilişkisiz" ve "bağımsız" değişkenlerin eşdeğer olduğu sonucuna varabiliriz.

Normal dağılan iki boyutlu bir rastgele değişkenin aşağıdaki olasılıklara düşme olasılığı için formüller sunalım: Çeşitli bölgeler yüzeyde.

Bileşenleri bağımsız olan rastgele bir vektörün (X,Y) normal yasaya (53) göre dağıtılmasına izin verin. O halde rastgele bir noktanın (X,Y) dikdörtgenin içine düşme olasılığı R, kenarları koordinat eksenlerine paralel olan eşittir

Nerede
- Laplace fonksiyonu. Bu fonksiyon tablolaştırılmıştır.

Rasgele değişkenler (X,Y) sisteminin normal yasasının dağılım yoğunluğu (52) formunda verilsin. Bu yoğunluğun korunduğu açıktır. sabit değer elipsler üzerinde:

burada C bir sabittir; bu temelde bu tür elipslere denir eşit olasılıklı elipsler. Bir (X,Y) noktasının bir elipsin içine düşme olasılığının olduğu gösterilebilir. eşit olasılık eşittir

(56)

Örnek 10 . Rastgele değişkenler X ve Y bağımsızdır ve normal dağılıma sahiptirler. Rastgele bir noktanın (X,Y) halkaya düşme olasılığını bulunuz.

Çözüm: Rastgele değişkenler X ve Y bağımsız olduğundan aralarında korelasyon yoktur ve dolayısıyla r = 0 olur. (C) yerine koyarsak şunu elde ederiz:

,

yani eşit olasılıklı elips, eşit olasılıklı bir daireye dönüşmüştür. Daha sonra

Cevap: 0,1242.

3.2. N boyutlu normal dağılımın genel durumu

Sistemin normal dağılım yoğunluğu N rastgele değişkenler şu şekildedir:

Nerede - C matrisinin determinantı - kovaryans matrisinin tersi;
- rastgele değişken X i - i'inci bileşenin matematiksel beklentisi N boyutlu normal rastgele vektör.

İtibaren genel ifade normal yasanın tüm biçimleri, herhangi bir sayıda boyut ve rastgele değişkenler arasındaki herhangi bir bağımlılık türü için uygulanır. Özellikle, ne zaman N = 2 kovaryans matrisi şu şekildedir:

(58)

onun belirleyicisi
; kovaryans matrisinin tersi olan C matrisi şu şekildedir:

. (59)

Değiştirme ve C matrisinin elemanları Genel formül(57), düzlemdeki (52) normal dağılım formülünü elde ederiz.

Rastgele değişkenler ise
bağımsızsa sistemin dağıtım yoğunluğu
eşittir

n = 2 için bu formül (53) formunu alır.

Olasılık teorisi ve uygulamalarında iki boyutlu normal dağılım. İki boyutlu normal rastgele değişkenin (X,Y) yoğunluğu şu şekildedir:

İşte X ve Y değerlerinin matematiksel beklentileri; - X ve Y değerlerinin standart sapmaları; r – X ve Y değerlerinin korelasyon katsayısı.

X ve Y rastgele değişkenlerinin ilişkili olmadığını, yani r=0 olduğunu varsayalım. O zaman elimizde:

(53)

İki rastgele değişkenden (X,Y) oluşan bir sistemin dağılım yoğunluğunun, X ve Y bileşenlerinin dağılım yoğunluklarının çarpımına eşit olduğunu bulduk; bu, X ve Y'nin bağımsız rastgele değişkenler olduğu anlamına gelir.

Böylece aşağıdakiler kanıtlanmıştır teorem: normal dağılmış rastgele değişkenlerin korelasyonsuzluğundan, bunların bağımsız olduğu sonucu çıkar . Herhangi bir rastgele değişkenin bağımsızlığı onların korelasyonsuz olduğunu ima ettiğinden, normal dağılım durumunda "ilişkisiz" ve "bağımsız" değişkenlerin eşdeğer olduğu sonucuna varabiliriz.

Normal dağılım gösteren iki boyutlu bir rastgele değişkenin düzlem üzerinde çeşitli bölgelere düşme olasılığı için formüller sunalım.

Bileşenleri bağımsız olan rastgele bir vektörün (X,Y) normal yasaya (53) göre dağıtılmasına izin verin. O halde rastgele bir noktanın (X,Y) dikdörtgenin içine düşme olasılığı R, kenarları paralel olan koordinat eksenleri, eşittir

y R d c x a b

(54)

Nerede - Laplace fonksiyonu. Bu fonksiyon tablolaştırılmıştır.

Rasgele değişkenler (X,Y) sisteminin normal yasasının dağılım yoğunluğu (52) formunda verilsin. Bu yoğunluğun elipslerde sabit kaldığı açıktır:

burada C bir sabittir; bu temelde bu tür elipslere denir eşit olasılıklı elipsler. Bir (X,Y) noktasının eşit olasılıklı bir elipsin içine düşme olasılığının şuna eşit olduğu gösterilebilir:

(56)

Örnek 10. Rastgele değişkenler X ve Y bağımsızdır ve normal dağılıma sahiptir. Rastgele bir noktanın (X,Y) halkaya düşme olasılığını bulun.

Çözüm: Rastgele değişkenler X ve Y bağımsız olduğundan aralarında korelasyon yoktur ve dolayısıyla r = 0 olur. (C) yerine koyarsak şunu elde ederiz:

yani eşit olasılıklı elips, eşit olasılıklı bir daireye dönüşmüştür. Daha sonra

Cevap: 0,1242.

3.2. N boyutlu normal dağılımın genel durumu

Sistemin normal dağılım yoğunluğu N rastgele değişkenler şu şekildedir:

C matrisinin determinantı nerede - kovaryans matrisinin tersi; - rastgele değişken X i - i'inci bileşenin matematiksel beklentisi N boyutlu normal rastgele vektör.

Herhangi bir sayıda boyut ve rastgele değişkenler arasındaki herhangi bir bağımlılık türü için normal yasanın tüm biçimleri genel ifadeden çıkar. Özellikle, ne zaman N = 2 kovaryans matrisi şu şekildedir:

(58)

onun belirleyicisi ; kovaryans matrisinin tersi olan C matrisi şu şekildedir:

. (59)

C matrisinin elemanlarını genel formül (57)'ye koyarak, düzlemdeki (52) normal dağılım formülünü elde ederiz.

Rastgele değişkenler ise bağımsızsa sistemin dağıtım yoğunluğu eşittir

n = 2 için bu formül (53) formunu alır.

3.2. Normal dağılan rastgele değişkenlerin fonksiyonları. Ki-kare, Öğrenci ve Fisher-Snedecor dağılımları

Genel durumu ele alalım: normal olarak dağıtılan argümanların doğrusal bir fonksiyonu. N boyutlu normal dağılmış rastgele bir vektör verilsin rasgele değişken Y bu miktarların doğrusal bir fonksiyonudur:

(61)

Rastgele değişken Y'nin de parametrelerle normal dağıldığı gösterilebilir.

(62)

(63)

Rastgele değişkenin matematiksel beklentisi nerede - rastgele değişkenin varyansı - ile arasındaki korelasyon katsayısı.

Örnek 11. Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğunu yazın Rastgele değişkenler ve parametrelerle normal dağılıma sahipse, bunların korelasyon katsayısıdır.

Çözüm. Elimizdeki problemin koşullarına göre: n=2; . Formül (62)'yi kullanarak şunu elde ederiz: . Formül (63)'ü kullanarak şunu elde ederiz: .

O halde Y rastgele değişkeninin gerekli dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

İzin vermek - sıfır matematiksel beklenti ve birim varyansla normal dağılıma, yani standart normal dağılıma uyan bağımsız rastgele değişkenler. Bu değerlerin karelerinin toplamı olan bir rastgele değişkenin dağılımı

. (64)

isminde " CI dağılımı - n serbestlik derecesine sahip kare ”.

CI'nin dağılım yoğunluğu – n=2 serbestlik derecesine sahip bir kare şuna eşittir:

(65)

n serbestlik derecesine sahip CI yoğunluğunun kare dağılımı şu şekildedir:

(66)

Nerede - Euler'in gama fonksiyonu. Serbestlik derecesi sayısı arttıkça dağılım normal dağılım yasasına yaklaşır ( N >30 dağılımı pratikte normalden farklı değildir). N serbestlik derecesine sahip bir dağılımın matematiksel beklentisi N ve varyans 2'dir N .

N serbestlik derecesine sahip öğrenci dağılımı St(n) rastgele bir değişkenin dağılımı olarak tanımlanır

burada Z standarttır normal değer dağıtımdan bağımsızdır.

N serbestlik derecesine sahip Öğrenci dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

(68)

Matematiksel beklenti 0'a eşit, varyans At'a eşit, Öğrenci dağılımı normale yaklaşıyor (zaten N >30 neredeyse normal dağılıma denk gelmektedir).

Fisher-Snedecor dağıtımı (veya F dağıtımı) ve serbestlik derecesine sahip bir rastgele değişkenin dağılımı denir

(69)

burada ve sırasıyla dağılıma ve serbestlik derecesine sahip rastgele değişkenlerdir.

4. Yazılı D.T. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik üzerine ders notları. – M.: Iris-press, 2004.

1. Rasgele değişken sistemleri ve bunları belirleme yöntemleri hakkında temel bilgiler. . 3

1.1. Rasgele değişkenler sistemi kavramı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. İki boyutlu bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu ve onun

özellikler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Ayrık iki boyutlu rastgele değişkenin olasılık dağılımı yasası. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Sürekli iki boyutlu bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu ve özellikleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. N rastgele değişkenden oluşan sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Rastgele değişkenlerin bağımlılığı ve bağımsızlığı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Bağımsız rastgele değişkenler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Koşullu dağıtım yasaları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Bağımlılığın sayısal özellikleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Rasgele değişkenlerden oluşan bir sistemin normal dağılımı. . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. İki değişkenli normal dağılım. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. N boyutlu normal dağılımın genel durumu. . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Normal dağılan rastgele değişkenlerin fonksiyonları. Dağılımlar: CI - kare, Öğrenci, Fisher - Snedecor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Kaynakça. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Vera Alexandrovna Bobkova'nın derlediği

Rastgele değişken sistemleri

Yönergelerİçin bağımsız işöğrenciler

Editör G.V.

03/02/2010 tarihinde yayınlanmak üzere imzalanmıştır. 60x84'ü biçimlendirin. Yazı kağıdı. Pişirme koşulları l.1.63.

Uch.-ed.1.1.81. Dolaşım 50 kopya.

Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu Ivanovo Devlet Kimya Teknolojisi Üniversitesi

Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "IGHTU" Ekonomi ve Maliye Bölümü'nün baskı ekipmanı üzerine basılmıştır.

153000, Ivanovo, F. Engels Bulvarı, 7

İki rastgele sürekli değişkenden oluşan bir sistem düşünelim. Bu sistemin dağıtım kanunu normal hukuk Bu sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde ise dağılım

. (1.18.35)

Burada rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin, standart sapmalarının ve değişkenlerin korelasyon katsayılarının olduğu gösterilebilir. (1.18.31) ve (1.18.35) formüllerini kullanan hesaplamalar şunu verir:

. (1.18.36)

Normal yasaya göre dağıtılan rastgele değişkenlerin korelasyonu yoksa aynı zamanda bağımsız olduklarını görmek kolaydır.

.

Dolayısıyla normal dağılım yasası için korelasyonsuzluk ve bağımsızlık eşdeğer kavramlardır.

Eğer öyleyse, rastgele değişkenler bağımlıdır. Koşullu dağıtım yasaları formüller kullanılarak hesaplanır (1.18.20)

. (1.18.37)

Her iki yasa da (1.18.37) normal dağılımları temsil eder. Aslında, örneğin ilişkilerin ikincisini (1.18.37) forma dönüştürelim.

.

Bu gerçekten normal bir dağılım yasasıdır ve koşullu matematiksel beklenti eşittir

, (1.18.38)

A koşullu standart sapma formülle ifade edilir

. (1.18.39)

Bir miktarın sabit bir değerdeki koşullu dağılımı yasasında, yalnızca koşullu matematiksel beklentinin bu değere bağlı olduğunu, ancak bu değere bağlı olmadığını unutmayın. koşullu varyans – .

Açık koordinat uçağı bağımlılık (1.18.38) düz bir çizgidir

, (1.18.40)

buna denir regresyon hattı Açık .

Tamamen benzer bir şekilde, bir miktarın sabit bir değerde koşullu dağılımının olduğu tespit edilmiştir.

, (1.18.41)

koşullu matematiksel beklentiyle normal bir dağılım var

, (1.18.42)

koşullu standart sapma

. (1.18.43)

Bu durumda regresyon çizgisi şuna benzer:

. (1.18.44)

Regresyon çizgileri (1.18.40) ve (1.18.44) yalnızca ve miktarları arasındaki ilişki doğrusal olduğunda çakışır. Eğer ve miktarları bağımsızsa, regresyon çizgileri koordinat eksenlerine paraleldir.

İş bitimi -

Bu konu şu bölüme aittir:

Matematik olasılık teorisi matematiksel istatistik ders notları

Departman yüksek Matematik ve bilgisayar bilimi.. ders notları.. matematikte..

Eğer ihtiyacın varsa ek malzeme Bu konuyla ilgili veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:

Bu bölümdeki tüm konular:

Olasılık teorisi
Olasılık teorisi, rastgele kütle olaylarının modellerinin incelendiği bir matematik dalıdır.

Rastgele olan bir olaya denir
Olasılığın istatistiksel tanımı

Bir olay, deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabilen veya görünmeyebilen rastgele bir olgudur (belirsiz olgu). Olayları büyük Latin harflerle belirtin
Temel olayların alanı

Bazı deneyimlerle ilişkili birçok olay olsun ve: 1) deneyimin sonucunda tek ve tek bir şey ortaya çıksın
Etkinliklerle ilgili eylemler

İki olayın toplamı ve
Yeniden düzenlemeler

Elementlerin farklı permütasyonlarının sayısı şu şekilde gösterilir:
Yerleşimler

Elemanları uygun şekilde yerleştirerek
Kombinasyonlar

Elementlerin birleşimi
Uyumsuz olaylara olasılık ekleme formülü Teorem. İki toplamının olasılığı uyumsuz olaylar

bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.
(1

Rastgele olaylara olasılık ekleme formülü
Teorem. İki olayın toplamının olasılığı, bu olayların çarpım olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir.

Olasılık çarpma formülü
İki olay olsun ve verilsin. Olayı düşünün

Toplam Olasılık Formülü
Birbiriyle bağdaşmayan olayların tam bir grubu olsun; bunlara hipotez denir. Bir olayı düşünün Hipotez Olasılık Formülü (Bayes) Tekrar bakalım -

tam grup
uyumsuz hipotezler ve olaylar

Asimptotik Poisson formülü
Test sayısının fazla olduğu ve bir olayın gerçekleşme olasılığının fazla olduğu durumlarda Rastgele ayrık miktarlar Rastgele bir miktar, bir deney tekrarlandığında eşit olmayan değerler alabilen bir miktardır.

sayısal değerler
. Rastgele değişkene ayrık denir, Rastgele sürekli değişkenler ise buna sürekli denir. Kanun

Rastgele sürekli bir değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
İzin vermek. Bir noktayı düşünelim ve ona artışlar verelim

Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Rastgele ayrık veya sürekli değişkenler, eğer dağıtım yasaları biliniyorsa, tamamen belirlenmiş kabul edilir. Aslında dağıtım yasalarını bilerek her zaman isabet olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Rastgele değişkenlerin nicelikleri
Rastgele sürekli bir değişkenin mertebesinden nicelik

Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi onun ortalama değerini karakterize eder. Rastgele değişkenin tüm değerleri bu değer etrafında gruplanır. İlk önce rastgele ayrık değişkeni ele alalım

Rastgele değişkenlerin standart sapması ve dağılımı
İlk önce rastgele bir ayrık değişkeni ele alalım. Sayısal özellikler modu, medyan, nicelikler ve matematiksel beklenti

Rastgele değişkenlerin momentleri
Matematiksel beklenti ve dağılıma ek olarak olasılık teorisi, rastgele değişkenlerin momentleri olarak adlandırılan daha yüksek dereceli sayısal özellikleri kullanır.

Rastgele değişkenlerin sayısal özelliklerine ilişkin teoremler
Teorem 1. Rastgele olmayan bir değerin matematiksel beklentisi bu değerin kendisine eşittir.

Kanıt: Let

Binom dağılım yasası
Poisson dağıtım yasası

Rastgele ayrık bir değişkenin değerleri almasına izin verin
Tek tip dağıtım kanunu

Rastgele sürekli bir değişkenin tekdüze dağılım yasası, olasılık yoğunluk fonksiyonunun yasasıdır;
Normal dağılım kanunu

Rastgele sürekli bir değişkenin normal dağılım yasası yoğunluk fonksiyonu yasasıdır
Üstel dağılım yasası Rastgele bir değişkenin üstel veya üstel dağılımı, olasılık teorisinin teori gibi uygulamalarında kullanılır. sıraya girme

, güvenilirlik teorisi
Rastgele değişken sistemleri

Pratikte, olasılık teorisi uygulamalarında, bir deneyin sonuçlarının tek bir rastgele değişkenle değil aynı anda birkaç rastgele değişkenle tanımlandığı problemlerle sıklıkla karşılaşılır.
İki rastgele ayrık değişkenden oluşan sistem

İki rastgele ayrık değişkenin bir sistem oluşturmasına izin verin. Rastgele değer
İki rastgele sürekli değişkenden oluşan sistem Şimdi sistem rastgele iki kişiden oluşsun sürekli miktarlar

. Bu sistemin dağıtım yasasına muhtemelen denir
Koşullu dağıtım yasaları

Bağımlı rastgele sürekli nicelikler olsun
Başlangıç ​​anı rastgele değişkenler sisteminin sırası

Birkaç rastgele değişkenden oluşan sistem
İki rastgele büyüklükteki bir sistem için elde edilen sonuçlar, aşağıdakilerden oluşan sistemler durumuna genelleştirilebilir: herhangi bir numara rastgele değişkenler. Sistemin bir kümeden oluşmasına izin verin

Olasılık teorisinin limit teoremleri
Disiplin olasılık teorisinin temel amacı, rastgele kütle olaylarının kalıplarını incelemektir. Uygulama, homojen bir kütlenin gözlemlendiğini göstermektedir. rastgele olaylar

keşfetmek
Chebyshev eşitsizliği

Matematiksel beklentisi olan bir rastgele değişken düşünün
Chebyshev'in teoremi

Rastgele değişkenler ikili olarak bağımsızsa ve sonlu, kolektif olarak sınırlanmış varyanslara sahipse
Bernoulli teoremi

Deney sayısındaki sınırsız artışla, bir olayın meydana gelme sıklığı, olasılık açısından olayın olasılığına yakınsar
Merkezi Limit Teoremi

Rastgele değişkenleri herhangi bir dağıtım yasasıyla, ancak ortak olarak sınırlı varyanslarla eklerken, dağıtım yasası
Matematiksel istatistiğin temel sorunları Yukarıda tartışılan olasılık teorisinin yasaları şunlardır: matematiksel ifade

çeşitli rastgele kütle olaylarında gerçekte var olan gerçek modeller.
Ders çalışıyor

Basit bir istatistiksel popülasyon. İstatistiksel dağılım fonksiyonu
Dağıtım yasası bilinmeyen bazı rastgele değişkenleri ele alalım. Deneyime dayalı olarak gerekli İstatistik serisi. grafik çubuğuŞu tarihte: çok sayıda gözlemler (yaklaşık yüzlerce)

nüfus
istatistiksel materyalin kaydedilmesi elverişsiz ve hantal hale gelir. Açıklık ve anlaşılırlık açısından istatistiksel materyal İstatistiksel dağılımın sayısal özellikleri Olasılık teorisinde rastgele değişkenlerin çeşitli sayısal özellikleri dikkate alınmıştır: matematiksel beklenti, dağılım, başlangıç ​​ve

merkezi noktalar
farklı siparişler. Benzer sayılar

Momentler yöntemini kullanarak teorik dağılımın seçimi
Herhangi bir istatistiksel dağılım kaçınılmaz olarak sınırlı sayıda gözlemle ilişkili rastgelelik unsurları içerir. Çok sayıda gözlemle bu rastgelelik unsurları düzeltilir, Dağıtım yasasının biçimine ilişkin hipotezin inandırıcılığının kontrol edilmesi Verilene izin ver

istatistiksel dağılım
bazı teorik eğrilerle yaklaşık olarak hesaplanır veya

Onay kriterleri
s. 2.1. – 2.7 birinci ve ikinci temel problemlerin nasıl çözüleceğini detaylı olarak inceledik matematiksel istatistik. Bunlar deneysel verilere dayanarak rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını belirleme problemleridir.

Beklenti ve varyans tahminleri
Bilinmeyen matematiksel beklentiye sahip rastgele bir değişkeni ele alalım

Güven aralığı. Güven olasılığı
Uygulamada, bir rastgele değişken üzerinde yapılan az sayıda deneyle, yaklaşık değişim bilinmeyen parametre

Rastgele olayları incelemek için iki rastgele değişken kullanmanın gerekli olduğu durumda X Ve e birlikte bir sistem olduğunu söylüyoruz ( X, Y) iki rastgele değişken. Olası sistem değerleri ( X, Y) temsil etmek rastgele noktalar (X, sen) bölgede olası değerler sistemler.

Kesikli ve sürekli sistemler, içerdikleri rastgele değişkenlerin türüne bağlı olarak ayırt edilir.

Ayrık bir sistemin dağıtım yasası, bir tablo veya dağıtım fonksiyonu biçiminde belirtilir.

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Sistem dağıtım tablosu{X, Y) bir dizi miktar içerir xi, yj Ve P(xi,yj), Nerede P(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj), n, m– rastgele bir değişkenin olası değerlerinin sayısı X,Y, sırasıyla.

Sistem dağıtım işlevi{X, Y) şu şekilde verilir:

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Sürekli bir sistemin dağıtım yasası ( X, Y) temsil edilebilir dağıtım fonksiyonu F(x, y)veya dağıtım yoğunluğu φ(x, y):

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Özel sistem dağıtımları{X, Y) rastgele değişkenlerin her birinin dağılım yasalarıdır X Ve e.

Eğer X Ve e ayrık rastgele değişkenler, o zaman olasılıklar P(xi) Ve P(yj), dağıtım yasalarını bulmak için gerekli olan, aşağıdaki formülleri kullanarak dağıtım tablosundan bulunur:

İçin sürekli sistemler {X, Y) kısmi dağılım yoğunlukları şu şekildedir:

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Koşullu dağılımlar belirlenir:

koşullu olasılıklar P(xi/yj), P(yj/xi) ayrık sistemler için ( X, Y) ve koşullu dağıtım yoğunlukları ( x/y), (y/x) sürekli sistemler için ( X, Y}:

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

X ve Y rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı için koşullar:

– ayrık sistemler için (8)

– sürekli sistemler için (9)

Bu ilişkiler yerine getirildiğinde şöyle olur:

(10) (11)

Sürekli bir sistemin olası değerlerine ulaşma olasılığı{X, Y) alanına ( D) aşağıdaki formülle belirlenir:

(12)

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Örnek 3.1

Sistemin dağıtım yasası (X, Y) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gerekli:

a) X ve Y'nin kısmi dağılımlarını bulun;

b) X= -1'de Y'nin koşullu dağılım yasası;

c) X ve Y niceliklerinin bağımlı olup olmadığını belirleyin?

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Çözüm:

a) X ve Y'nin kısmi dağılımlarını bulun

b) X= -1'de Y'nin koşullu dağılım yasası. X= -1 olduğunda, Y rastgele değişkeni sonraki yasa dağılımlar:

c) X ve Y niceliklerinin bağımlı olup olmadığını belirleyiniz?

Koşulsuz ve koşullu yasalarda P(yj) ve P(yj / X = -1) olasılık dağılımları farklı olduğundan, X ve Y rastgele değişkenleri bağımlıdır.

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Örnek 3.2

|x|+|y| karesinde düzgün dağılmış bir (X, Y) sistemi verildiğinde1 (bkz. Şekil 22).

Aşağıdakileri belirleyin: a) X ve Y'nin belirli dağılım yasalarını; b) bu ​​rastgele değişkenler bağımlı mıdır?

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Çözüm:

Dağıtım yasası (X, Y) şu şekildedir:

|x|≤1 için yoğunluk aşağıdaki formülle belirlenir:

Ders 6. İki rastgele değişkenli bir sistem için dağılım yasaları

Sonra (bkz. Şekil 23):

Benzer şekilde (y) için şunu elde ederiz:

Bağımsızlık koşulu sağlanmadığı için:

bu durumda X ve Y rastgele değişkenleri bağımlıdır.

Sistemin sayısal özelliklerine ( X, Y) ilgili olmak:

• X ve Y rastgele değişkenlerinin sayısal özellikleri:

mx, Benim, Dx, Dy, σx, σy;

• koşullu dağılımların sayısal özellikleri:

mx/y, benim/x, Dx/y, Dy/x, σx/y, σy/x;

• rastgele değişkenlerin bağlantısının sayısal özellikleri:

Kxy Ve rxy

Ders 7. İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri

Birinci grubun sayısal özellikleri daha önce verilen formüller kullanılarak belirlenir.

Sürekli bir sisteme göre ikinci grubun sayısal özellikleri ( X, Y) aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Ayrık sistemler için ( X, Y) bu formüller açıktır.

Ders 7. İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri

Miktarları Kxy Ve rxy doğrusal özelliklerdir korelasyon bağımlılığı arasında X Ve e; bağımlılıklarla tanımlanırlar:

Nerede Kxy– korelasyon anı veya bağlantı anı X Ve e;

– arasındaki korelasyon katsayısı X Ve e, -1  rx  1. (16)

Korelasyon katsayısı arasındaki doğrusal korelasyonun derecesini karakterize eder. X Ve e.

Ders 7. İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri

Altında korelasyon bağımlılığı böyle bir bağımlılık, örneğin bir rastgele değişkende bir değişiklik olduğunda anlaşılır. X, diğeri - e matematiksel beklentisi değişir ( benim/x).

Ne zaman | rxy|=1 arasında doğrusal bir fonksiyonel ilişki vardır. X Ve e, en rxy=0 rastgele değişkenler X Ve e ilişkisiz.

Eğer X Ve e bağımsızsa korelasyonsuzdurlar. Eğer rxy=0, ardından rastgele değişkenler X Ve e bağımlı olabilir.

Ders 7. İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri

Örnek 3.3

Örnek 3.1'deki koşullar altında. belirle: mx, benim, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Çözüm:

Ders 7. İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri

Örnek 3.4

Örnek 3.2'deki koşullar altında. sistemin sayısal özelliklerini belirler (X, Y).

Çözüm:

Ders 7. İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri

aralıktaki düzgün dağılımın yoğunluğudur

(-(1-|x|), (1-|x|))

Benzer şekilde mx/y, Dx/y için de ifadeler yazabilirsiniz.

Genel durumda, sisteme dahil edilen rastgele değişkenler ( X, Y), bağımlıdır, normal dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

(17)

Kısmi dağılımlar aşağıdaki formüllerle belirlenir:

(18)

(19)

Ders 8. İki rastgele değişkenli bir sistem için normal dağılım yasası

Koşullu yoğunluklar ( x/y) ve ( y/x) normal dağılımlar biçimindedir:

(20) (21)

Nerede

(22) (23)

(24) (25)

Ders 8. İki rastgele değişkenli bir sistem için normal dağılım yasası

Rastgele değişkenler ise X Ve e bağımsızsa yoğunluk şu şekli alır:

Normal dağılmış bir sistemin isabet olasılığı (X,Y)(bağımsız rastgele değişkenler durumunda X Ve e) kenarları koordinat eksenlerine paralel olan bir dikdörtgene dönüştürmek, aşağıdaki formüle göre Laplace fonksiyonu kullanılarak belirlenir:

(27)

Ders 8. İki rastgele değişkenli bir sistem için normal dağılım yasası

Örnek 3.5

Merminin merkez koordinatları olan dikdörtgen şeklindeki bir hedefi vurma olasılığını belirleyin: xts = 10 m, yts = 5 m Dikdörtgenin kenarları koordinat eksenlerine paralel ve eşittir: öküz ekseni boyunca: 2 = 20 m, oy ekseni boyunca: 2k = 40 m Nişan alma noktasının koordinatları: mx=5m, my =5 m Mermilerin ox ve oy eksenleri boyunca dağılım özellikleri sırasıyla: σx= 20 m, σy =10 m.

Çözüm: Dikdörtgenin alanını D ile gösterelim.

Daha sonra:

Konu 4. Rastgele değişkenlerin fonksiyonları

Ders 9. Bir rastgele argümanın fonksiyonunun dağılım yasası

Bir fonksiyonun dağılım yasasını bulma sırası Y=y(X), Nerede X– örnek 4.1'de sunulan ayrık rastgele değişken.

Rastgele değişkenlerin mümkünse değerleri X Ve e fonksiyonel bağımlılıkla bağlantılı y=y(X), Nerede sen(X) sürekli ve türevlenebilirdir ve rastgele değişkenin dağılım yasası bilinmektedir. X-, daha sonra rastgele değişkenin dağılım yasası Y-şu durumda sen(X) formül (1) ile ifade edilen olası değerleri aralığında monoton olarak artar veya azalır:

Formül (1)'de X(sen) ters bir fonksiyon var.

Fonksiyonun olduğu durumda sen(X) var N azalan ve artan bölümleri varsa bu formül (2) şeklinde yazılır.

Ders 9. Bir rastgele argümanın fonksiyonunun dağılım yasası

Örnek 4.1

Rastgele değişken X'in bir dağıtım yasası vardır:

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını bulun

Çözüm: Fonksiyonun olası değerlerini bulun

=0, 1, 2, 3'te.

Bunlar sırasıyla 1, 2, 1, 0'a eşittir. Bu nedenle olası değerler: 0, 1, 2'dir.

Ders 9. Bir rastgele argümanın fonksiyonunun dağılım yasası

Bu olası değerlerin olasılıklarını buluyoruz:

Y dağıtım yasası:

Ders 9. Bir rastgele argümanın fonksiyonunun dağılım yasası

Örnek 4.2

Bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu bulun ve X rastgele değişkeni aralık boyunca düzgün bir şekilde dağıtılıyorsa bunun grafiğini çizin

Çözüm: Bir fonksiyonun grafiği

Şekil 2'de gösterilmiştir. 24.

Ders 9. Bir rastgele argümanın fonksiyonunun dağılım yasası

Rastgele değişken X aşağıdaki dağılım yoğunluğuna sahiptir:

Ters x fonksiyonunu bulma(sen)ve türevi:

Ders 9. Bir rastgele argümanın fonksiyonunun dağılım yasası

Sonunda yoğunluk için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz

Bu yoğunluğun grafiği

Şekil 2'de gösterilmiştir. 25.

Ders 10. Rastgele değişkenli bir fonksiyonun sayısal özellikleri

Temel formüller:

Ders 10. Rastgele değişkenli bir fonksiyonun sayısal özellikleri

Ders 10. Rastgele değişkenli bir fonksiyonun sayısal özellikleri

Nerede Xi– bağımsız rastgele değişkenler,

Ders 10. Rastgele değişkenli bir fonksiyonun sayısal özellikleri

Ders 10. Rastgele değişkenli bir fonksiyonun sayısal özellikleri

İçin N rastgele değişkenler, sayısal özellikler popülasyon ve korelasyon matrisi tarafından belirlenir:

Üçgen matris biçimindeki gösterim geçerlidir çünkü

Ders 10. Rastgele değişkenli bir fonksiyonun sayısal özellikleri

Korelasyon matrisi normalleştirilmiş bir biçimde sunulabilir; korelasyon katsayıları matrisi:

Ders 10. Rastgele değişkenli bir fonksiyonun sayısal özellikleri

Örnek 4.3

Rastgele bir değişkenin sayısal özelliklerini belirleme

eğer

Çözüm:

Rastgele değişken U, X, Y ve Z rastgele argümanlarının doğrusal bir fonksiyonudur. Bu nedenle, bu bölümdeki (11) ve (17) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemin sayısal özellikleri

Dağıtım yasası, rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemi tam olarak karakterize eder, ancak karmaşıklığı nedeniyle pratikte kullanılması her zaman uygun değildir. Sistemi oluşturan rastgele değişkenlerin sayısal özelliklerini bilmek genellikle yeterlidir; bunlar arasında matematiksel beklentiler M[X], M[Y], varyanslar D[X], D[Y] ve standart sapmalar bulunur. Aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanırlar.

Bileşenlerin varyansları kısaltılmış formüller kullanılarak da hesaplanabilir.

İki boyutlu rastgele değişkenler teorisinde önemli bir rol, korelasyon momenti (kovaryans) tarafından oynanır. doğrusal bağlantı sistem bileşenleri arasında

Korelasyon momenti aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır.

İçin ayrık sistemler rastgele değişkenler

Rasgele değişkenlerin sürekli sistemleri için

İle birlikte korelasyon anı boyutsuz karakteristik kullanılır korelasyon bağlantısı- korelasyon katsayısı

Herhangi bir rastgele değişken sistemi için

X ve Y rastgele değişkenleri aşağıdaki durumlarda ilişkisiz olarak adlandırılır:

Bağımsız nicelikler her zaman korelasyonsuzdur.

Sisteme dahil edilen bir rastgele değişkenin koşullu dağılım yasası, başka bir rastgele değişkenin belirli bir değer alması koşuluyla hesaplanan dağılım yasasıdır. Sürekli rastgele değişkenli sistemler için koşullu yasalar bileşenlerin koşullu dağılım yoğunlukları ile ifade edilir

Ayrıca, (6.9)

burada

Rastgele değişkenli sistemlerin tek tip ve normal dağılım yasaları

Tek tip yasa. Sistemde yer alan rastgele değişkenlerin tüm değerleri D bölgesi içerisinde yer alıyorsa ve sistemin olasılık yoğunluğu aşağıdaki forma sahipse

o zaman (X,Y) ikinci sıradadır tek tip yasa dağıtımlar.

Normal hukuk. Sistemin dağılım yoğunluğu (X,Y) şu şekilde ise

matematiksel beklentiler nerede; - Standart sapma, a korelasyon katsayısıdır, bu durumda sistem normal dağılım yasasına tabidir.

İlişkisiz rastgele değişkenler için normal yoğunluk dağıtım

Örnek 6.2. 3 işletmenin faaliyete geçmesi planlanıyor başka yıl. Sistem (X,Y)

şirket numarası nerede

Yatırım miktarı (bin geleneksel para birimi cinsinden),

Bir tabloyla tanımlanmış

X bileşeninin dağıtım kanunu, yatırımların hacmi ne olursa olsun, birinci işletmenin 0,3 olasılıkla, ikinci işletmenin 0,2 ve üçüncü işletmenin ise 0,5 olasılıkla yatırım yapacağı anlamına gelmektedir. Y bileşeni dağıtım yasasına karşılık gelir

bu da işletme sayısı ne olursa olsun yatırım hacminin 3 bin konvansiyonel birime ulaşabileceği anlamına geliyor. den. birimler 0,5 veya 4 bin geleneksel para birimi olasılıkla. 0,5 olasılıkla.

Bileşenlerin sayısal özelliklerini belirlemek için, X ve Y'nin bulunan dağılım yasalarını ve ayrık sistemlerin sayısal özelliklerini belirlemeye yönelik formülleri kullanacağız.

Ortalama yatırım hacmi;

Ortalama yatırım hacminden sapma

İşletme sayısı ile yatırım hacmi arasındaki ilişki

Örnek 6.3. Belirli bir süre boyunca üretimde iki tür hammadde kullanıldı. Rastgele değişkenler X ve Y sırasıyla geleneksel birimlerle ifade edilen hammadde hacimleridir. Sistemin olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir: