Elektrik ark kaynağının prensibi, kaynak elektrodu ile metal iş parçası arasında meydana gelen elektrik deşarjının sıcaklığından faydalanılmasına dayanmaktadır.

Bir ark deşarjı oluşur elektrik arızası hava boşluğu. Bu olay meydana geldiğinde gaz molekülleri iyonize olur, sıcaklığı ve elektriksel iletkenliği artar ve plazma durumuna geçer.

Kaynak arkının yanmasına serbest bırakma eşlik eder büyük miktarışık ve özellikle termal enerji, bunun sonucunda sıcaklık keskin bir şekilde yükselir ve iş parçası metalinde lokal erime meydana gelir. Bu kaynak yapmaktır.

Çalışma sırasında ark deşarjını başlatmak için iş parçasına elektrot kısa süreliğine temas eder, yani ark oluşturulur. kısa devre ardından metal teması kesilerek gerekli hava boşluğu oluşturulur. Bu şekilde kaynak arkının optimum uzunluğu seçilir.

Çok kısa bir deşarj ile elektrot iş parçasına yapışabilir, erime çok yoğun gerçekleşir ve bu da sarkma oluşumuna yol açabilir. Uzun bir ark, yanmanın dengesizliği ve kaynak bölgesinde yetersiz yüksek sıcaklık ile karakterize edilir.

Oldukça büyük parçalara sahip endüstriyel kaynak ünitelerinin çalışması sırasında kaynak arkının kararsızlığı ve gözle görülür eğriliği sıklıkla gözlemlenebilir. Bu olaya manyetik üfleme denir.

Özü, kaynak arkı akımının, masif iş parçasından akan akımın yarattığı manyetik alanla etkileşime giren belirli bir manyetik alan yaratmasıdır.

Yani ark sapmasına neden olur manyetik kuvvetler. Ark sanki rüzgarın etkisi altındaymış gibi saptığı için bu işleme üfleme adı verilir.

Bu olguyla mücadele etmenin radikal bir yolu yok. Manyetik patlamanın etkisini azaltmak için kısaltılmış arkla kaynak kullanılır ve elektrot da belirli bir açıya yerleştirilir.

Yanma ortamı

Elektrik arkı deşarjlarını kullanan, özellikleri ve parametreleri farklı olan birkaç farklı kaynak teknolojisi vardır. Elektrikli kaynak arkı aşağıdaki tiplere sahiptir:

açık. Deşarj doğrudan atmosferde meydana gelir;
kapalı. Yanma sonucu oluşan yüksek sıcaklık yanan akıdan bol miktarda gaz salınmasına neden olur. Akı, kaynak elektrotlarının kaplamasında bulunur;
koruyucu bir gaz ortamında. Bu seçenekte, kaynak bölgesine çoğunlukla helyum, argon veya gaz verilir. karbondioksit.

Kaynak bölgesinin korunması, atmosferik oksijenin etkisi altında eriyen metalin aktif oksidasyonunu önlemek için gereklidir.

Oksit tabakası sürekli bir kaynak oluşumunu engeller; bağlantı yerindeki metal gözenekli hale gelir ve bu da bağlantının mukavemetinde ve sıkılığında azalmaya neden olur.

Bir dereceye kadar arkın kendisi, bir alanın oluşması nedeniyle yanma bölgesinde bir mikro iklim yaratma kapasitesine sahiptir. yüksek tansiyon atmosferik havanın akışını engeller.

Akının kullanılması, kaynak bölgesinden havanın daha aktif bir şekilde sıkıştırılmasına olanak sağlar. Basınç altında sağlanan koruyucu gazların kullanılması bu sorunu neredeyse tamamen çözmektedir.

Deşarj süresi

Koruma kriterlerine ek olarak ark deşarjı süreye göre de sınıflandırılır. Ark yanmasının darbeli modda meydana geldiği süreçler vardır.

Bu tür cihazlarda kaynak kısa aralıklarla yapılır. Flaş sırasında sıcaklık, nokta bağlantısının oluştuğu küçük bir bölgenin lokal erimesine yetecek bir değere yükselmeyi başarır.

Kullanılan kaynak teknolojilerinin çoğu nispeten uzun bir ark yanma süresi kullanır. Kaynak işlemi sırasında elektrot, birleştirilen kenarlar boyunca sürekli olarak hareket eder.

Oluşturulan artan sıcaklık alanı elektrottan sonra hareket eder. Kaynak elektrodu ve dolayısıyla ark deşarjı hareket ettirildikten sonra geçilen alanın sıcaklığı düşer, kaynak havuzunda kristalleşme meydana gelir ve güçlü bir kaynak oluşumu meydana gelir.

Ark deşarj yapısı

Ark deşarj alanı geleneksel olarak üç bölüme ayrılmıştır. Kutuplara hemen bitişik olan alanlar (anot ve katot) sırasıyla anot ve katot olarak adlandırılır.

Anot ve katot bölgeleri arasında yer alan ark deşarjının orta kısmına ark kolonu adı verilir. Kaynak arkı bölgesindeki sıcaklık birkaç bin dereceye (7000 °C'ye kadar) ulaşabilir.

Isı metale tam olarak aktarılamasa da erimesi oldukça yeterlidir. Karşılaştırma için çeliğin erime noktası 1300-1500 °C'dir.

Ark deşarjının stabil yanmasını sağlamak için gereklidir. aşağıdaki koşullar: 10 Amper düzeyinde bir akımın varlığı (bu minimum değer Ark voltajını 15 ila 40 Volt arasında korurken maksimum 1000 Amper'e ulaşabilir.

Bu voltaj düşüşü ark deşarjında meydana gelir. Ark bölgeleri arasındaki gerilim dağılımı eşit değildir. Uygulanan voltaj düşüşünün çoğu anodik ve katodik bölgelerde meydana gelir.

Deneysel olarak en büyük voltaj düşüşünün katot bölgesinde gözlendiği tespit edilmiştir. Arkın aynı kısmında en yüksek sıcaklık gradyanı gözlenir.

Bu nedenle, kaynak işleminin polaritesini seçerken katot, en büyük erimeyi elde etmek istediğinde elektrota bağlanır ve sıcaklığı artar. Aksine, iş parçasına daha derin nüfuz etmek için katot ona bağlanır. Bir yay sütununda düşüyor en küçük kısım Gerilim.

Tükenmeyen bir elektrotla kaynak yaparken, katot voltaj düşüşü anodik olandan daha azdır, yani yüksek sıcaklık bölgesi anoda doğru kaydırılır.

Dolayısıyla bu teknolojiyle iş parçası anoda bağlanarak iyi bir ısınma sağlanır ve tüketilmeyen elektrotun aşırı sıcaklıktan korunması sağlanır.

Sıcaklık bölgeleri

Hem tüketilebilir hem de tüketilmeyen elektrotlu her türlü kaynakta, ark kolonunun (merkezi) en yüksek sıcaklığa - yaklaşık 5000-7000 °C ve bazen daha yüksek - sahip olduğu unutulmamalıdır.

En düşük sıcaklık bölgeleri aktif bölgelerden birinde, katotta veya anotta bulunur. Bu bölgelerde ark ısısının %60-70'i açığa çıkabilmektedir.

İş parçasının ve kaynak elektrodunun sıcaklığındaki yoğun artışın yanı sıra deşarj, kızılötesi ve ultraviyole dalgalar yayar. zararlı etki kaynakçının vücudunda. Bu durum koruyucu tedbirlerin kullanılmasını gerektirir.

AC kaynağına gelince, anot ve katodun konumu değiştikçe kutupsallık kavramı burada mevcut değildir. endüstriyel frekans Saniyede 50 titreşim.

Bu süreçteki ark, ark ile karşılaştırıldığında daha az stabiliteye sahiptir. DC, ateşi yükseliyor. Kaynak işlemlerinin avantajlarına alternatif akım, yalnızca daha basit ve daha ucuz ekipmanlara atfedilebilir ve hatta pratik olarak tam yokluk yukarıda bahsedilen manyetik patlama gibi bir olgu.

Akım-gerilim karakteristiği

Grafik, kaynak işleminin akım-gerilim özellikleri olarak adlandırılan, güç kaynağı voltajının kaynak akımına bağımlılığını gösterir.

Kırmızı eğriler, kaynak arkının uyarılması ve stabil yanması aşamalarında elektrot ile iş parçası arasındaki voltajdaki değişimi gösterir. Başlangıç noktaları eğriler güç kaynağının açık devre voltajına karşılık gelir.

Kaynakçının ark deşarjını başlattığı anda, kullanılan elektrotun çapına, güç kaynağının gücüne ve ayarlanan ayara bağlı olarak ark parametreleri stabil hale gelinceye ve kaynak akımı değeri belirlenene kadar voltaj keskin bir şekilde düşer. yay uzunluğu.

Bu dönemin başlamasıyla birlikte ark voltajı ve sıcaklığı dengelenir ve tüm süreç kararlı hale gelir.

İÇİNDE modern endüstri kaynak var büyük değer, tüm endüstrilerde çok geniş bir uygulama alanına sahiptir. Kaynak işlemini gerçekleştirmek için bir kaynak arkına ihtiyaç vardır.

Kaynak arkı nedir, tanımı

Kaynak arkının güç ve süre açısından çok büyük olduğu kabul edilir elektrik deşarjı Bir gaz karışımında voltajın uygulandığı elektrotlar arasında bulunan. Özellikleri, 3000 derecenin üzerinde erime noktasına sahip metalleri eritebilmesi sayesinde yüksek sıcaklık ve akım yoğunluğu ile karakterize edilir. Genel olarak şunu söyleyebiliriz elektrik arkı dönüştüren bir gaz iletkenidir elektrik enerjisi termal. Elektrik yükü Elektrik akımının gazlı bir ortamdan geçişine denir.

Birkaç tür elektrik deşarjı vardır:

Kızdırma deşarjı. Floresan lambalarda ve plazma ekranlarda kullanılan düşük basınçta oluşur;
Kıvılcım deşarjı. Basıncın atmosfer basıncına eşit olması ve aralıklı bir şekle sahip olması durumunda meydana gelir. Kıvılcım deşarjı içten yanmalı motorları ateşlemek için de kullanılan yıldırıma karşılık gelir;
Ark deşarjı. Kaynak ve aydınlatma amaçlı kullanılır. Sürekli bir formla karakterize edilir ve atmosferik basınçta meydana gelir;
Taç. Elektrotun gövdesi pürüzlü ve homojen olmadığında ortaya çıkar, ikinci elektrot eksik olabilir, yani bir jet ortaya çıkabilir. Gazları tozdan arındırmak için kullanılır;

Doğa ve yapı

Kaynak arkının doğası ilk bakışta göründüğü kadar karmaşık değildir. Katottan geçen elektrik akımı daha sonra iyonize gaza nüfuz eder, parlak bir parıltıyla ve çok yüksek sıcaklıkta bir deşarj meydana gelir, böylece elektrik arkının sıcaklığı 7000 - 10000 dereceye ulaşabilir. Bundan sonra akım kaynak yapılan malzemeye akar. Sıcaklık çok yüksek olduğundan ark zararlı yayılımlar yapar. insan vücudu ultraviyole ve kızılötesi radyasyon gözlere zarar verebilir veya ciltte hafif yanıklara neden olabilir, bu nedenle kaynak işlemi sırasında uygun koruma gereklidir.

Kaynak arkının yapısı üç ana alandan oluşur: anodik, katodik ve ark kolonu. Ark yanması sırasında katot ve anot üzerinde aktif noktalar oluşur; bunlar sıcaklığın en yüksek değerlere ulaştığı bölgelerdir; elektrik akımı anodik ve katodik bölgeler daha büyük voltaj düşüşleri gösterir. Sütunun kendisi de bu alanlar arasında yer alır, sütundaki voltaj düşüşü çok küçüktür. Bu nedenle, kaynak arkının uzunluğu yukarıdaki alanların toplamıdır, genellikle uzunluk birkaç milimetredir, anodik ve katot alanları sırasıyla 10-4 ve 10-5 cm olduğunda en uygun uzunluk yaklaşık 4-'tür. 6 mm, bu uzunlukla sabit ve uygun bir sıcaklık.

Çeşitler

Kaynak arkı türleri, kaynak akımı besleme devresine ve oluştukları ortama göre farklılık gösterir; en yaygın seçenekler şunlardır:

Doğrudan eylem. Bu yöntemle kaynak makinesi, kaynak yapılan metal yapıya paralel konumlandırılır ve ark, elektrot ve metale göre doksan derecelik bir açıyla oluşur;
Kaynak arkı dolaylı eylem. Kaynak yapılacak parçanın yüzeyine 40-60 derecelik bir açıyla yerleştirilen iki elektrot kullanıldığında, elektrotlar arasında bir ark meydana gelir ve metal kaynak yapılır;

Oluştukları atmosfere göre de bir sınıflandırma vardır:

Açık tip. Bu tür bir ark havada yanar ve çevresinde kaynak yapılan malzemenin buharlarını, elektrotları ve bunların kaplamalarını içeren bir gaz fazı oluşur;
Kapalı tip. Böyle bir arkın yanması, bir akı tabakası altında meydana gelir; metal buharları, elektrot ve akı, ark çevresinde oluşan gaz fazına girer;
Gaz beslemeli ark. Yanan ark - helyum, argon, karbondioksit, hidrojen ve diğer çeşitli gaz karışımlarına sıkıştırılmış gazlar verilir; kaynak yapılan metalin oksitlenmemesi için sağlanır; Arkın etrafındaki gaz fazı, sağlanan gaz, metal ve elektrot buharlarını içerir;

Ayrıca, etki süresi - sabit (uzun süreli kullanım için) ve darbeli (tek seferlik kullanım için), kullanılan elektrotun malzemesi - karbon, tungsten - tüketilmeyen elektrotlar ve metal - sarf malzemesi ile de ayırt edilirler. En yaygın sarf malzemesi elektrot çeliktir. Günümüzde tüketilmeyen bir elektrotla kaynak yapmak en sık kullanılmaktadır. Bu nedenle kaynak arklarının türleri çeşitlilik göstermektedir.

Yanma koşulları

Standart koşullar altında, yani 25 derece sıcaklık ve 1 atmosfer basınçta gazlar elektrik akımını iletemez. Bir arkın oluşması için elektrotlar arasındaki gazların iyonize olması, yani çeşitli yüklü parçacıklar - elektronlar veya iyonlar (katyonlar veya anyonlar) içermeleri gerekir. İyonlaşmış bir gazın oluşma sürecine iyonlaşma adı verilecek ve bir elektronun gazdan çıkarılması için harcanması gereken iş atomik parçacık bir elektron ve bir iyonun oluşumu için - elektron volt cinsinden ölçülen ve iyonizasyon potansiyeli olarak adlandırılan iyonizasyon işi. Bir atomdan bir elektronu çıkarmak için tam olarak hangi enerjinin harcanması gerektiği, gaz fazının doğasına bağlıdır; değerler 3,5 ila 25 eV arasında olabilir. Alkali ve alkalin toprak gruplarının metalleri - potasyum, kalsiyum ve buna göre bunların kimyasal bileşik. Elektrotlar, kaynak arkının kararlı varlığına ve yanmasına katkıda bulunacak şekilde bu tür bileşiklerle kaplanır.

Ayrıca arkın oluşması ve yanması için katodun doğasına, çapına, boyutuna ve sıcaklığına bağlı olarak katotta sabit bir sıcaklık gereklidir. çevre. Bu nedenle elektrik arkının sıcaklığı sabit olmalı ve dalgalanmamalıdır. büyük değerler akım, sıcaklık 7 bin dereceye ulaşabildiğinden, kesinlikle tüm malzemeler kaynakla birleştirilebilir. Sabit sıcaklıkçalışan bir güç kaynağı yardımıyla sağlanır, bu nedenle kaynak makinesi tasarlanırken seçimi çok önemlidir, arkın özelliklerini etkiler.

Ortaya Çıkış

Hızlı bir kısa devre sırasında, yani elektrot kaynak yapılan malzemenin yüzeyiyle temas ettiğinde, devasa sıcaklık nedeniyle malzemenin yüzeyi erir ve elektrot arasında küçük bir erimiş malzeme şeridi oluşur. ve yüzey. Elektrot ve kaynak yapılan malzeme birbirinden uzaklaştığında, anında kırılan ve buharlaşan bir malzeme boynu oluşur. yüksek değerler akım yoğunluğu. Gaz iyonize olur ve bir elektrik arkı oluşur. Dokunarak veya tırmalayarak onu heyecanlandırabilirsiniz.

Özellikler

Diğer elektrik yükleriyle karşılaştırıldığında aşağıdaki özelliklere sahiptir:

başına birkaç bin ampere ulaşan yüksek akım yoğunluğu santimetre kareçok yüksek bir sıcaklığa ulaşıldığı için;
Düzensiz dağıtım elektrik alanı elektrotlar arasındaki boşlukta. Elektrotların yakınında voltaj düşüşü çok yüksektir, kolonda ise durum tam tersidir;
En yüksek sıcaklıklara ulaşan devasa sıcaklıklar büyük değerler nedeniyle sütunda yüksek yoğunluk akım Kolonun uzunluğu arttıkça sıcaklık düşer, daraldığında ise tam tersine artar;
Kaynak arklarını kullanarak, çok çeşitli akım-voltaj özelliklerini elde edebilirsiniz - voltaj düşüşünün sabit uzunluktaki akım yoğunluğuna bağımlılığı, yani sabit yanma. Açık şu andaÜç akım-gerilim özelliği vardır.

Birincisi, güç ve buna bağlı olarak akım yoğunluğu arttıkça voltaj düştüğünde düşüyor. İkincisi zor, akımdaki bir değişimin gerilim değerini hiçbir şekilde etkilememesi, üçüncüsü ise artan, akım arttıkça voltajın da artmasıdır.

Böylece kaynak arkı, metal yapıları sabitlemenin en iyi ve en güvenilir yolu olarak adlandırılabilir. Kaynak işlemi vardır büyük etki Günümüz endüstrisinde, çünkü yalnızca kaynak arkının yüksek sıcaklığı çoğu metali bir arada tutabilmektedir. Kaliteli ve güvenilir dikişler elde etmek için arkın tüm özelliklerini doğru ve doğru bir şekilde hesaba katmak, tüm değerleri izlemek gerekir. prosedür geçecek hızlı ve en verimli şekilde. Arkın özelliklerini de hesaba katmak gerekir: akım yoğunluğu, sıcaklık ve voltaj.

Tanım. Normal olasılık yoğunluğu ile tanımlanan sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımıdır

Normal dağılım kanunu da denir Gauss yasası.

Normal dağılım yasası olasılık teorisinde merkezi bir yere sahiptir. Bunun nedeni, bu yasanın her durumda kendini göstermesidir. rastgele değişkençok sayıda kişinin eyleminin sonucudur çeşitli faktörler. Diğer tüm dağıtım yasaları normal yasaya yaklaşır.

Parametrelerin olduğu kolayca gösterilebilir. Ve Dağılım yoğunluğuna dahil edilenler sırasıyla rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapmasıdır. X.

Dağıtım fonksiyonunu bulalım F(X) .

Yoğunluk grafiği normal dağılım isminde normal eğri veya Gauss eğrisi.

Normal bir eğri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) Fonksiyon sayı doğrusunda tanımlıdır.

2) Herkesin önünde X dağıtım fonksiyonu yalnızca pozitif değerler alır.

3) OX ekseni olasılık yoğunluk grafiğinin yatay asimptotudur, çünkü argümanın mutlak değerinde sınırsız artışla X fonksiyonun değeri sıfıra yaklaşır.

4) Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Çünkü en sen’ > 0 en X < M Ve sen’ < 0 en X > M, o zaman bu noktada x = t fonksiyonun maksimum değeri şuna eşittir:
.

5) Fonksiyon düz bir çizgiye göre simetriktir x = bir, Çünkü fark

(x – a) karesel dağılım yoğunluk fonksiyonuna dahildir.

6) Grafiğin dönüm noktalarını bulmak için yoğunluk fonksiyonunun ikinci türevini bulacağız.

Şu tarihte: X = M+  ve X = M-  ikinci türev sıfıra eşittir ve bu noktalardan geçerken işaret değiştirir, yani. bu noktalarda fonksiyonun bir bükülmesi vardır.

Bu noktalarda fonksiyon değeri eşittir
.

Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiğini çizelim (Şekil 5).

Grafikler bunun için oluşturuldu T=0 ve standart sapmanın üç olası değeri  = 1,  = 2 ve  = 7. Gördüğünüz gibi standart sapmanın değeri arttıkça grafik düzleşiyor ve maksimum değer azalıyor.

Eğer A> 0 ise grafik pozitif yönde kayacaktır. A < 0 – в отрицательном.

Şu tarihte: A= 0 ve  = 1 eğrisine denir normalleştirilmiş. Normalleştirilmiş eğri denklemi:

Laplace işlevi

Normal bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını bulalım.

Haydi belirtelim

Çünkü integral
temel fonksiyonlarla ifade edilmezse, fonksiyon dikkate alınır

buna denir Laplace işlevi veya olasılık integrali.

Bu fonksiyonun çeşitli değerler için değerleri X hesaplanır ve özel tablolarda sunulur.

Şek. Şekil 6 Laplace fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.

Laplace işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplace fonksiyonu aynı zamanda denir hata fonksiyonu ve erf'yi belirtin X.

e hala kullanılıyor normalleştirilmiş Laplace işleviyle şu ilişkiyle ilişkili olan Laplace işlevi:

Şek. Şekil 7 normalleştirilmiş Laplace fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.

P üç sigma kuralı

Normal dağılım kanunu dikkate alındığında önemli bir özel durum göze çarpmaktadır. üç sigma kuralı.

Normal dağılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentiden sapmasının daha az olma olasılığını yazalım. verilen değer :

 = 3 alırsak, Laplace fonksiyonunun değer tablolarını kullanarak şunu elde ederiz:

Onlar. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden standart sapmanın üç katından daha fazla sapma olasılığı neredeyse sıfırdır.

Bu kurala denir üç sigma kuralı.

Uygulamada, herhangi bir rastgele değişken için şuna inanılmaktadır: üç kuralı sigma ise bu rastgele değişken normal dağılıma sahiptir.

Dersin sonucu:

Derste sürekli niceliklerin dağılım yasalarını inceledik. Sonraki derse ve pratik derslere hazırlanırken, önerilen literatürü derinlemesine incelerken ve önerilen sorunları çözerken ders notlarınızı bağımsız olarak tamamlamalısınız.

Normal olasılık dağılım yasası

Abartmadan buna felsefi bir yasa denilebilir. Çevremizdeki dünyadaki çeşitli nesneleri ve süreçleri gözlemlediğimizde, çoğu zaman bir şeyin yeterli olmadığı ve bir norm olduğu gerçeğiyle karşılaşırız:

İşte temel bir görünüm yoğunluk fonksiyonları normal olasılık dağılımı ve sizi bu ilginç derse davet ediyorum.

Hangi örnekleri verebilirsiniz? Sadece karanlıkları var. Bu, örneğin insanların boyu, kilosu (ve sadece değil), fiziksel güçleri, zihinsel yetenekler vesaire. Bir "ana kütle" var (şu ya da bu nedenle) ve her iki yönde de sapmalar var.

Bu çeşitli özellikler cansız nesneler (aynı boyut, ağırlık). Bu tesadüfi bir süreç..., aklıma yine üzücü bir örnek geldi ve bu yüzden ampullerin “ömrü” diyeceğim :) Fizikten hava moleküllerini hatırladım: aralarında yavaş olanlar var, var hızlı olanlar, ancak çoğu “standart” hızlarda hareket eder.

Daha sonra merkezden bir standart sapma daha saparız ve yüksekliği hesaplarız:

Çizimdeki noktaları işaretleme (yeşil) ve bunun oldukça yeterli olduğunu görüyoruz.

Son aşamada dikkatlice bir grafik çizin ve özellikle dikkatli bir şekilde onu yansıt dışbükey/içbükey! Muhtemelen uzun zaman önce x ekseninin yatay asimptot ve arkasına “tırmanmak” kesinlikle yasaktır!

Şu tarihte: elektronik kayıtÇözüm grafiğini Excel'de oluşturmak kolaydır ve kendim için beklenmedik bir şekilde bu konuyla ilgili kısa bir video bile kaydettim. Ama önce normal eğrinin şeklinin ve değerlerine bağlı olarak nasıl değiştiğinden bahsedelim.

"a"yı arttırırken veya azaltırken (sabit “sigma” ile) grafik şeklini korur ve sağa/sola hareket eder sırasıyla. Yani, örneğin fonksiyon şu formu aldığında ve grafiğimiz 3 birim sola - tam olarak koordinatların kökenine doğru "hareket eder":

Sıfır matematiksel beklentisi olan normal olarak dağıtılmış bir miktar tamamen doğal bir isim aldı - merkezli; yoğunluk fonksiyonu – eşit ve grafik ordinat etrafında simetriktir.

"Sigma"nın değişmesi durumunda (sabit “a” ile) grafik "aynı kalır" ancak şekli değişir. Büyütüldüğünde, dokunaçlarını uzatan bir ahtapot gibi alçalır ve uzar. Ve tam tersi, grafiği azaltırken daralıyor ve daha uzun oluyor- "şaşırmış bir ahtapot" olduğu ortaya çıktı. Evet, ne zaman azaltmakİki kez “sigma”: önceki grafik iki kez daralır ve uzar:

Herşey tam uyumlu grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Birim sigma değerine sahip normal dağılıma denir normalleştirilmiş ve eğer aynı zamanda merkezli(bizim durumumuzda), o zaman böyle bir dağıtım denir standart. Daha da fazlası var basit fonksiyon Daha önce karşılaştığımız yoğunluk Laplace'ın yerel teoremi: . Standart dağıtım pratikte geniş bir uygulama alanı buldu ve çok yakında amacını nihayet anlayacağız.

Şimdi filmi izleyelim:

Evet, kesinlikle doğru - bir şekilde haksız yere gölgede kaldı olasılık dağılım fonksiyonu. Onu hatırlayalım tanım:
– rastgele bir değişkenin, tüm gerçek değerleri “artı” sonsuza kadar “geçiren” değişkenden DAHA AZ değer alma olasılığı.

İntegralin içinde, notasyonla "örtüşme" olmaması için genellikle farklı bir harf kullanılır, çünkü burada her değer bir ile ilişkilendirilir. uygunsuz integral bazılarına eşit olan sayı aralıktan.

Hemen hemen tüm anlamlar uygun değildir doğru hesaplama, ancak az önce gördüğümüz gibi, modern bilgi işlem gücüyle bunda hiçbir zorluk yok. Yani fonksiyon için standart dağıtımda karşılık gelen Excel işlevi genellikle bir bağımsız değişken içerir:

=NORMDAĞ(z)

Bir, iki - ve bitirdiniz:

Çizim tüm bunların uygulanmasını açıkça göstermektedir. dağıtım fonksiyonu özellikleri ve buradaki teknik nüanslara dikkat etmelisiniz yatay asimptotlar ve dönüm noktası.

Şimdi konunun en önemli görevlerinden birini hatırlayalım, yani normal bir rastgele değişkenin olasılığını nasıl bulacağımızı bulalım. aralıktaki değeri alacak. Geometrik olarak bu olasılık şuna eşittir: alan karşılık gelen bölümde normal eğri ile x ekseni arasında:

ama her seferinde yaklaşık bir değer elde etmeye çalışıyorum mantıksızdır ve bu nedenle kullanmak daha mantıklıdır "hafif" formül:
.

! Ayrıca hatırlıyor , Ne

Burada Excel'i tekrar kullanabilirsiniz, ancak birkaç önemli "ama" vardır: birincisi, her zaman elinizin altında değildir ve ikincisi, "hazır" değerler büyük olasılıkla öğretmenin sorularını gündeme getirecektir. Neden?

Bundan daha önce birçok kez bahsetmiştim: Bir zamanlar (ve çok uzun zaman önce değil) normal bir hesap makinesi lükstü ve eğitim literatürü Söz konusu sorunu çözmenin “manuel” yöntemi hala korunmaktadır. Onun özü şudur: standartlaştırmak“alfa” ve “beta” değerleri, yani çözümü standart dağılıma düşürür:

Not : fonksiyonun genel durumdan elde edilmesi kolaydırdoğrusal kullanarak değiştirmeler. Sonra da:

ve gerçekleştirilen değiştirmeden itibaren formül aşağıdaki gibidir: değerlerden geçiş rastgele dağılım– standart dağılımın karşılık gelen değerlerine.

Bu neden gerekli? Gerçek şu ki değerler atalarımız tarafından titizlikle hesaplanmış ve terwer ile ilgili birçok kitapta yer alan özel bir tabloda derlenmiştir. Ancak daha da sıklıkla, daha önce ele aldığımız bir değerler tablosu vardır. Laplace'ın integral teoremi:

Elimizde Laplace fonksiyonunun değerler tablosu varsa , sonra onun aracılığıyla çözeriz:

Kesirli değerler Geleneksel olarak, standart tabloda yapıldığı gibi 4 ondalık basamağa yuvarlarız. Ve kontrol için var 5. nokta düzen.

sana şunu hatırlatıyorum ve karışıklığı önlemek için her zaman kontrol et, gözlerinizin önünde NE işlevi olduğuna dair bir tablo var.

Cevap Yüzde olarak verilmesi gerektiğinden hesaplanan olasılık 100 ile çarpılarak sonuca anlamlı bir yorum verilmelidir:

– 5 ila 70 m arasındaki uçuşlarda mermilerin yaklaşık %15,87'si düşecek

Kendi başımıza antrenman yapıyoruz:

Örnek 3

Fabrika yapımı rulmanların çapı, 1,5 cm'lik bir matematiksel beklenti ve 0,04 cm'lik bir standart sapma ile normal olarak dağıtılan rastgele bir değişkendir. Rastgele seçilen bir rulmanın boyutunun 1,4 ile 1,6 cm arasında değişme olasılığını bulun.

Örnek çözümde ve aşağıda en yaygın seçenek olarak Laplace fonksiyonunu kullanacağım. Bu arada, ifadeye göre aralığın sonlarının da burada dikkate alınabileceğini unutmayın. Ancak bu kritik değildir.

Ve zaten bu örnekte tanıştık özel durum– aralık matematiksel beklentiye göre simetrik olduğunda. Böyle bir durumda, şu şekilde yazılabilir ve Laplace fonksiyonunun tuhaflığını kullanarak çalışma formülünü basitleştirebilirsiniz:

Delta parametresi denir sapma matematiksel beklentiden ve çifte eşitsizlik kullanılarak "paketlenebilir" modül:

– Rastgele bir değişkenin değerinin matematiksel beklentiden .

Çözümün tek satıra sığması iyi :)
Rastgele alınan bir yatağın çapının 1,5 cm'den 0,1 cm'den fazla farklılık göstermeme olasılığı.

Bu görevin sonucunun birliğe yakın olduğu ortaya çıktı, ancak daha da fazla güvenilirlik istiyorum - yani çapın bulunduğu sınırları bulmak neredeyse herkes rulmanlar. Bunun herhangi bir kriteri var mı? Var! Sorulan soruya sözde cevap veriliyor

üç sigma kuralı

Onun özü şudur pratik olarak güvenilir normal dağılmış bir rastgele değişkenin aralıktan bir değer alacağı gerçeğidir .

Gerçekte, beklenen değerden sapma olasılığı aşağıdakilerden daha azdır:
veya %99,73

Yataklar açısından bunlar, çapı 1,38 ila 1,62 cm arasında olan 9973 parça ve yalnızca 27 "standart altı" kopyadır.

Pratik araştırmalarda üç sigma kuralı genellikle ters yönde uygulanır: istatistiksel olarak Hemen hemen tüm değerlerin olduğu tespit edildi. incelenmekte olan rastgele değişken 6 standart sapma aralığı içinde kalıyorsa, bu değerin aşağıdakilere dağıtıldığına inanmak için ikna edici nedenler vardır: normal hukuk. Doğrulama teori kullanılarak gerçekleştirilir istatistiksel hipotezler er ya da geç ulaşmayı umuyorum :)

Bu arada, zorlu Sovyet sorunlarını çözmeye devam ediyoruz:

Örnek 4

Tartım hatasının rastgele değeri, sıfır matematiksel beklenti ile normal yasaya göre dağıtılır ve standart sapma 3 gram. Bir sonraki tartımın mutlak değeri 5 gramı geçmeyecek bir hatayla yapılma olasılığını bulun.

Çözümçok basit. Koşula göre, bir sonraki tartımda hemen şunu not ederiz: (bir şey veya birisi) 9 gram doğrulukla neredeyse %100 sonuç alacağız. Ancak sorun daha dar bir sapmayı içeriyor ve formüle göre :

- bir sonraki tartımın 5 gramı aşmayan bir hatayla gerçekleştirilme olasılığı.

Cevap:

Çözülmüş sorun, görünüşte benzer olandan temel olarak farklıdır. Örnek 3 hakkında ders düzgün dağılım. Bir hata oluştu yuvarlamaölçüm sonuçları, burada ölçümlerin rastgele hatasından bahsediyoruz. Bu tür hatalar nedeniyle ortaya çıkar teknik özellikler cihazın kendisi (kabul edilebilir hataların aralığı genellikle pasaportunda belirtilir) ve ayrıca deneycinin hatası nedeniyle - örneğin "gözle" aynı terazinin iğnesinden okumalar aldığımızda.

Diğerlerinin yanı sıra sözde olanlar da var sistematikölçüm hataları. Zaten rastgele olmayan cihazın yanlış kurulumu veya çalıştırılması nedeniyle oluşan hatalar. Örneğin, düzenlenmemiş yer kantarları istikrarlı bir şekilde kilogram "ekleyebilir" ve satıcı sistematik olarak müşterilerin ağırlığını azaltır. Veya sistematik olmayan bir şekilde hesaplanabilir. Ancak her durumda böyle bir hata rastgele olmayacak ve beklentisi sıfırdan farklı olacaktır.

…Acil olarak bir satış eğitimi kursu geliştiriyorum =)

Kendi başımıza karar veriyoruz ters problem:

Örnek 5

Silindirin çapı rastgele normal dağılmış bir rastgele değişkendir, standart sapması mm'ye eşittir. Silindir çapının uzunluğunun düşme ihtimalinin bulunduğu, matematiksel beklentiye göre simetrik olan aralığın uzunluğunu bulun.

5. nokta* tasarım düzeni yardım etmek. Lütfen burada bilinmediğini unutmayın. matematiksel beklenti ama bu en azından sorunu çözmemize engel değil.

VE sınav görevi Malzemeyi pekiştirmek için şiddetle tavsiye ettiğim:

Örnek 6

Normal dağılmış bir rastgele değişken, parametreleri (matematiksel beklenti) ve (standart sapma) ile belirtilir. Gerekli:

a) olasılık yoğunluğunu yazın ve grafiğini şematik olarak gösterin;
b) aralıktan değer alma olasılığını bulun ;
c) mutlak değerin en fazla sapma gösterme olasılığını bulun;
d) “üç sigma” kuralını kullanarak rastgele değişkenin değerlerini bulun.

Bu tür problemler her yerde karşımıza çıkıyor ve yıllar süren pratikte bunların yüzlercesini çözdüm. Elle çizim yapmayı ve kağıt tabloları kullanmayı unutmayın;)

Peki sana bir örnek vereceğim artan karmaşıklık:

Örnek 7

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir: . Bul, matematiksel beklenti, varyans, dağılım fonksiyonu, yapı yoğunluk grafikleri ve dağılım fonksiyonları, bulma.

Çözüm: Öncelikle koşulun rastgele değişkenin doğası hakkında hiçbir şey söylemediğini belirtelim. Bir üssün varlığı kendi başına hiçbir şey ifade etmez: örneğin ortaya çıkabilir: gösterge niteliğinde hatta keyfi sürekli dağıtım. Ve bu nedenle dağılımın “normalliğinin” hala gerekçelendirilmesi gerekiyor:

Fonksiyondan beri şu tarihte belirlendi: herhangi gerçek değer ve forma indirgenebilir , daha sonra rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılır.

İşte başlıyoruz. Bunun için tam bir kare seç ve organize etmek üç katlı kesir:

Göstergeyi orijinal formuna döndürerek bir kontrol yaptığınızdan emin olun:

görmek istediğimiz de buydu.

Böylece:
- İle yetkilerle operasyon kuralı"sıkıştırmak" Ve burada bariz olanı hemen yazabiliriz sayısal özellikler:

Şimdi parametrenin değerini bulalım. Normal dağılım çarpanı ve formuna sahip olduğundan:
, işlevimizi ifade ettiğimiz ve yerine koyduğumuz yerden:
, bundan sonra bir kez daha gözlerimizle kayıt üzerinden geçeceğiz ve ortaya çıkan fonksiyonun şu şekle sahip olduğundan emin olacağız: .

Bir yoğunluk grafiği oluşturalım:

ve dağıtım fonksiyonu grafiği :

Elinizde Excel veya normal bir hesap makinesi yoksa, son grafik kolayca manuel olarak oluşturulabilir! Dağıtım fonksiyonunun değeri aldığı noktada ve işte burada

Olasılığa dayalı akıl yürütmenin ardındaki fikir nedir?

Olasılıksal akıl yürütmenin ilk ve en doğal adımı şudur: Eğer değerleri rastgele alan bir değişkeniniz varsa, o zaman bu değişkenin belirli değerleri hangi olasılıklarla aldığını bilmek istersiniz. Bu olasılıkların toplamı olasılık dağılımını belirler. Örneğin, bir zar verildiğinde şunları yapabilirsiniz: a priori şunu varsayalım: eşit olasılıklar 1/6 herhangi bir kenara düşecek. Ve bu, kemiğin simetrik olması şartıyla gerçekleşir. Kemik asimetrikse, o zaman belirleyebilirsiniz yüksek olasılıklar Deneysel verilere göre daha sık düşen yüzler için ve daha az düşen yüzler için daha düşük olasılıklar. Eğer herhangi bir yüz hiç görünmüyorsa, o zaman ona 0 olasılığı atanabilir. Bu, bir zarın atılmasının sonuçlarını tanımlamak için kullanılabilecek en basit olasılık yasasıdır. Elbette bu son derece basit bir örnek, ancak örneğin aktüeryal hesaplamalarda, bir sigorta poliçesi düzenlenirken gerçek riskin gerçek verilere dayanılarak hesaplanmasında da benzer sorunlar ortaya çıkıyor.

Bu bölümde pratikte en sık ortaya çıkan olasılık yasalarına bakacağız.

Bu dağılımların grafikleri STATISTICA'da kolaylıkla çizilebilir.

Normal dağılım

Normal olasılık dağılımı özellikle istatistikte sıklıkla kullanılır. Normal dağılım iyi bir model sağlar. gerçek fenomen, burada:

1) verilerin bir merkez etrafında kümelenmesine yönelik güçlü bir eğilim vardır;

2) merkezden olumlu ve olumsuz sapmalar eşit derecede olasıdır;

3) merkezden sapmalar büyüdüğünde sapmaların sıklığı hızla düşer.

Merkezi limit teoremi olarak adlandırılan, normal dağılımın altında yatan mekanizma mecazi olarak aşağıdaki şekilde açıklanabilir. Bir bardak suya rastgele düşürdüğünüz polen parçacıklarının olduğunu hayal edin. Düşünülüyor ayrı parçacık mikroskop altında göreceksiniz inanılmaz fenomen- parçacık hareket ediyor. Elbette bunun nedeni, su moleküllerinin hareket etmesi ve hareketlerini asılı polen parçacıklarına iletmesidir.

Peki hareket tam olarak nasıl oluşuyor? İşte daha fazlası ilginç soru. Ve bu hareket çok tuhaf!

Mevcut sonsuz sayı Parçacığı çok garip bir yörünge boyunca hareket etmeye zorlayan, su moleküllerinin etkileri şeklinde bireysel bir polen parçacığı üzerinde bağımsız etkiler. Mikroskop altında bu hareket, tekrar tekrar ve düzensiz bir şekilde kırılan bir çizgiye benzer. Bu kıvrımlar tahmin edilemez; moleküllerin bir parçacık üzerindeki kaotik etkilerine tam olarak karşılık gelen bir düzen yoktur. Bir su molekülünün etkisini deneyimleyen asılı bir parçacık rastgele an zamanla hareketinin yönünü değiştirir, sonra bir süre ataletle hareket eder, sonra tekrar bir sonraki molekülün etkisi altına girer vb. Bir bardak suda muhteşem bilardo ortaya çıkıyor!

Moleküllerin hareketi rastgele bir yön ve hıza sahip olduğundan, yörüngedeki bükülmelerin büyüklüğü ve yönü de tamamen rastgele ve tahmin edilemez. Bu şaşırtıcı fenomenin adı Brown hareketi 19. yüzyılda keşfedilen bu bilim insanı birçok şeyi düşündürüyor.

Uygun bir sistem kurarsak ve parçacığın koordinatlarını zamanın belirli anlarında işaretlersek normal yasayı elde ederiz. Daha doğrusu polen parçacığının moleküler etkilerden kaynaklanan yer değiştirmeleri normal yasaya uyacaktır.

Brownian adı verilen böyle bir parçacığın hareket yasası ilk kez A. Einstein tarafından fiziksel düzeyde kesin olarak tanımlandı. Lenzhevan daha sonra daha basit ve daha sezgisel bir yaklaşım geliştirdi.

20. yüzyılda matematikçiler en güzel sayfalarını bu teoriye adadılar ve ilk adım 300 yıl önce keşfedildiğinde atıldı. en basit seçenek merkezi limit teoremi.

Olasılık teorisinde merkezi limit teoremiİlk olarak 17. yüzyılda Moivre ve Laplace'ın formülasyonunda ünlü yasanın geliştirilmiş hali olarak biliniyordu. büyük sayılar J. Bernoulli (1654-1705) (bkz. J. Bernoulli (1713), Ars Conjectandi), artık son derece gelişmiş ve zirvelerine ulaşmıştır. V modern prensip Rusların yaratılmasında önemli bir rol oynadığı değişmezlik matematik okulu. Bir Brown parçacığının hareketinin katı matematiksel açıklaması bu prensipte bulunur.

Buradaki fikir, büyük bir sayıyı toplarken bağımsız miktarlar(moleküllerin polen parçacıkları üzerindeki etkileri) belirli makul koşullar altında tamamen normaldir dağıtılmış miktarlar. Ve bu bağımsız olarak, yani başlangıç değerlerinin dağılımından değişmez bir şekilde gerçekleşir. Başka bir deyişle, belirli bir değişken birçok faktörden etkileniyorsa, bu etkiler bağımsızsa, nispeten küçükse ve birbirine ekleniyorsa, ortaya çıkan değer normal bir dağılıma sahiptir.

Örneğin pratik olarak sonsuz sayı Bir kişinin ağırlığını belirleyen faktörler (binlerce gen, yatkınlık, hastalıklar vb.) Bu nedenle, tüm bireylerden oluşan bir popülasyonda normal bir ağırlık dağılımı beklenebilir.

Eğer bir finansçıysanız ve borsada oynuyorsanız, o zaman elbette hisse senedi fiyatlarının Brown parçacıkları gibi davrandığı ve birçok faktörden kaynaklanan kaotik etkilerin yaşandığı durumları biliyorsunuzdur.

Normal dağılım yoğunluğu resmi olarak şu şekilde yazılır:

burada a ve õ 2, belirli bir rastgele değişkenin sırasıyla ortalaması ve varyansı olarak yorumlanan yasanın parametreleridir (normal dağılımın özel rolü nedeniyle, yoğunluk fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu belirtmek için özel semboller kullanacağız). Görsel olarak normal yoğunluk grafiği ünlü çan şeklindeki eğridir.

Normal bir rastgele değişkenin (a,õ 2) karşılık gelen dağılım fonksiyonu, Ф(x; a,õ 2) ile gösterilir ve aşağıdaki ilişkiyle verilir:

a = 0 ve õ 2 = 1 parametrelerine sahip normal yasaya standart denir.

Z değerine uygulanan standart normal dağılımın ters fonksiyonu, 0

x'ten z'yi (veya tersini) hesaplamak için STATISTICA'nın olasılık hesaplayıcısını kullanın.

Normal hukukun temel özellikleri:

Ortalama, mod, medyan: E=x mod =x med =a;

Dağılım: D=õ 2;

Asimetri:

Aşırı:

Formüllerden normal dağılımın iki parametreyle tanımlandığı açıktır:

a - ortalama - ortalama;

õ - standart sapma - standart sapma, okuyun: “sigma”.

Bazen ile standart sapmaya standart sapma denir, ancak bu zaten modası geçmiş bir terminolojidir.

Normal dağılımla ilgili bazı yararlı gerçekleri burada bulabilirsiniz.

Ortalama değer yoğunluk konumu ölçüsünü belirler. Normal bir dağılımın yoğunluğu ortalamaya göre simetriktir. Normal bir dağılımın ortalaması, medyan ve mod ile örtüşür (grafiklere bakın).

Varyans 1 ve ortalama 1 ile normal dağılımın yoğunluğu

Ortalama 0 ve varyans 0,01 olan normal dağılım yoğunluğu

Ortalama 0 ve varyans 4 olan normal dağılımın yoğunluğu

Dağılım arttıkça, normal dağılımın yoğunluğu OX ekseni boyunca yayılır veya yayılır; dağılım azaldığında ise tam tersine büzülür ve tek bir nokta etrafında yoğunlaşır - ortalama değerle çakışan maksimum değer noktası. . Sıfır varyansın sınırlayıcı durumunda, rastgele değişken dejenere olur ve ortalamaya eşit tek bir değer alır.

Normal dağılımla ilgili olan ve çeşitli uygulamalarda kullanılan 2- ve 3-sigma veya 2- ve 3-standart sapma kurallarını bilmek faydalıdır. Bu kuralların anlamı çok basittir.

Normal bir dağılımın ortalama noktasından veya aynı şey olan maksimum yoğunluk noktasından sağa ve sola sırasıyla iki ve üç standart sapma (2- ve 3-sigma) koyarsak, o zaman bu aralıktan hesaplanan normal yoğunluk grafiğinin altındaki alan, grafiğin altındaki tüm alanın sırasıyla %95,45'ine ve %99,73'üne eşit olacaktır (bunu STATISTICA olasılık hesaplayıcısından kontrol edin!).

Başka bir deyişle şu şekilde ifade edilebilir: Normal bir popülasyondaki parça büyüklüğü veya hisse senedi fiyatı gibi tüm bağımsız gözlemlerin %95,45'i ve %99,73'ü ortalamanın 2 ila 3 standart sapması içerisinde yer alır.

Düzgün dağılım

Düzgün dağılım, her bir değerin eşit olasılığa sahip olduğu, diğer bir deyişle değişkenin değerlerinin bazı bölgelere eşit olarak dağıldığı değişkenleri tanımlarken kullanışlıdır.

Aşağıda [a, b] aralığında değerler alan tekdüze bir rastgele değişkenin yoğunluk ve dağılım fonksiyonu için formüller bulunmaktadır.

Bu formüllerden, tekdüze bir rastgele değişkenin kümeden değer alma olasılığının anlaşılması kolaydır. [c, d] [a, b], (d - c)/(b - a)'ya eşittir.

Hadi koyalım a=0,b=1. Aşağıda segmente odaklanan tekdüze olasılık yoğunluğunun bir grafiği bulunmaktadır.

Tek tip yasanın sayısal özellikleri:

Üstel dağılım

Günlük dilde nadir olarak adlandırılabilecek olaylar meydana gelir. T, ortalama olarak X şiddetinde meydana gelen nadir olayların meydana gelişleri arasındaki süre ise, o zaman değer
T parametresi (lambda) ile üstel bir dağılıma sahiptir. Üstel dağılım genellikle, popüler olmayan bir web sitesine yapılan ziyaretler arasındaki aralıklar gibi ardışık rastgele olaylar arasındaki aralıkları tanımlamak için kullanılır, çünkü bu ziyaretler nadir olaylardır.

Bu dağılım, ünlü Rus matematikçi A. A. Markov'un onuruna, aşağıdaki gibi açıklanabilecek, sonradan etkinin olmaması veya aynı zamanda dedikleri gibi Markov özelliği gibi çok ilginç bir özelliğe sahiptir. Belirli olayların meydana geldiği anlar arasındaki dağılım gösterge niteliğinde ise, dağılım herhangi bir andan itibaren sayılır. t sonraki olaya kadar üstel bir dağılıma sahiptir (aynı parametreyle).

Başka bir deyişle, nadir olaylar akışında, bir sonraki ziyaretçinin bekleme süresi, onu ne kadar beklemiş olduğunuza bakılmaksızın her zaman üstel olarak dağıtılır.

Üstel dağılım Poisson dağılımı ile ilgilidir: Bir birim zaman aralığında, aralıkları bağımsız ve üstel olarak dağıtılan olayların sayısı bir Poisson dağılımına sahiptir. Saha ziyaretleri arasındaki aralıklar üstel bir dağılıma sahipse, örneğin bir saat içindeki ziyaretlerin sayısı Poisson yasasına göre dağıtılır.

Üstel dağılım Weibull dağılımının özel bir durumudur.

Zaman sürekli değil de ayrıksa, üstel dağılımın bir benzeri geometrik dağılımdır.

Üstel dağılım yoğunluğu aşağıdaki formülle tanımlanır:

Bu dağılımın özelliklerini belirleyen tek bir parametre vardır.

Üstel dağılım yoğunluk grafiği şuna benzer:

Üstel dağılımın temel sayısal özellikleri:

Erlang dağılımı

Bu sürekli dağılım (0,1) merkezlidir ve yoğunluğa sahiptir:

Beklenti ve varyans sırasıyla eşittir

Erlang dağılımı, adını kuyruk ve telefon teorisindeki problemlerde ilk kez kullanan A. Erlang'dan almıştır.

µ ve n parametreleriyle Erlang dağılımı, her biri nμ parametresiyle üstel bir dağılıma sahip olan n bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerin toplamının dağılımıdır.

Şu tarihte: n = 1 Erlang dağılımı üstel veya üstel dağılımla aynıdır.

Laplace dağılımı

Laplace yoğunluk fonksiyonu veya diğer adıyla çift üstel, örneğin regresyon modellerindeki hata dağılımını tanımlamak için kullanılır. Bu dağılımın grafiğine baktığınızda OY eksenine göre simetrik iki üstel dağılımdan oluştuğunu göreceksiniz.

Konum parametresi 0 ise Laplace dağılım yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

Konum parametresinin sıfır olduğu varsayılarak bu dağılım yasasının temel sayısal özellikleri aşağıdaki gibidir:

Genel olarak Laplace dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

a dağılımın ortalamasıdır; b - ölçek parametresi; e - Euler numarası (2,71...).

Gama dağılımı

Üstel dağılımın yoğunluğunun 0 noktasında bir modu vardır ve bu bazen pratik uygulamalar için uygun değildir. Pek çok örnekte, söz konusu rastgele değişkenin modunun 0'a eşit olmadığı önceden bilinmektedir; örneğin, müşterilerin bir e-ticaret mağazasına gelişleri veya bir web sitesini ziyaretleri arasındaki aralıkların belirgin bir modu vardır. Bu tür olayları modellemek için gama dağılımı kullanılır.

Gama dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

burada Г Euler'in Г-fonksiyonudur, a > 0 “şekil” parametresidir ve b > 0 ölçek parametresidir.

Özel bir durumda, Erlang dağılımına ve üstel dağılıma sahibiz.

Gama dağılımının ana özellikleri:

Aşağıda ölçek parametresi 1 ve şekil parametreleri 3 ve 5 olan iki gama yoğunluğu grafiği bulunmaktadır.

Gama dağılımının faydalı özelliği: herhangi bir sayıda bağımsız gama dağılımlı rastgele değişkenin toplamı (aynı ölçek parametresi b ile)

(a l ,b) + (a 2 ,b) + --- +(a n ,b) de gama dağılımına uyar, ancak a 1 + a 2 + + a n ve b parametreleriyle.

Lognormal dağılım

Bir h rastgele değişkeni, doğal logaritması (lnh) normal dağılım yasasına tabi ise, logaritmik olarak normal veya lognormal olarak adlandırılır.

Lognormal dağılım örneğin gelir, yeni evlilerin yaşı veya standarttan kabul edilebilir sapma gibi değişkenleri modellerken kullanılır. zararlı maddeler gıda ürünlerinde.

Yani eğer değer x normal dağılıma sahipse değer y = e x Lognormal dağılıma sahiptir.

Bir üssün kuvvetine normal bir değer koyarsanız, lognormal bir değerin, tıpkı normal bir rastgele değişkenin tekrarlanan toplamanın sonucu olması gibi, bağımsız değişkenlerin tekrarlanan çarpımlarının sonucu olduğunu kolayca anlayabilirsiniz.

Lognormal dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

Lognormal dağılımın ana özellikleri:

Ki-kare dağılımı

Kareler toplamı m bağımsız normal değerler ortalaması 0 ve varyansı 1 olan denklem m serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımına sahiptir. Bu dağılım en çok veri analizinde kullanılır.

Biçimsel olarak, m serbestlik derecesine sahip karesel dağılımın yoğunluğu şu şekildedir:

Negatif için x yoğunluğu 0 olur.

Ki-kare dağılımının temel sayısal özellikleri:

Yoğunluk grafiği aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:

Binom dağılımı

Binom dağılımı en önemlisidir ayrık dağıtım sadece birkaç noktada yoğunlaşmıştır. Bu noktalar binom dağılımı pozitif olasılıklar atar. Yani binom dağılımı farklıdır sürekli dağılımlar(normal, ki-kare vb.), ayrı ayrı seçilen noktalara sıfır olasılık atayan ve sürekli olarak adlandırılan.

Aşağıdaki oyunu inceleyerek binom dağılımını daha iyi anlayabilirsiniz.

Bir bozuk para attığınızı hayal edin. Armanın düşme olasılığı olsun p ve kafaların iniş olasılığı q = 1 - p (en çok dikkate alıyoruz) genel durum, madeni para asimetrik olduğunda, örneğin bir ofsete sahiptir ağırlık merkezi içeride madeni parada bir delik var).

Armayı indirmek başarı olarak kabul edilirken, kuyruğu indirmek başarısızlık olarak kabul edilir. O zaman çekilen tura (veya yazı) sayısı binom dağılımına sahiptir.

Asimetrik madeni paraların veya düzensiz zarların dikkate alınmasının pratik açıdan ilgi çekici olduğunu unutmayın. J. Neumann'ın zarif kitabında belirttiği gibi “ Giriş kursu olasılık teorisi ve matematiksel istatistik", insanlar uzun zamandır puanların düştüğü sıklığı tahmin ediyor zar bu kemiğin özelliklerine bağlıdır ve yapay olarak değiştirilebilir. Arkeologlar firavunun mezarında iki çift zar keşfettiler: "dürüst" olanlar - tüm tarafların eşit düşme olasılığına sahip olanlar ve sahte olanlar - ağırlık merkezinde kasıtlı bir kayma olan ve bu da altıların düşme olasılığını artıran.

Binom dağılımının parametreleri başarı olasılığıdır p (q = 1 - p) ve test sayısı n.

Binom dağılımı, rastgele seçilen şirketlerdeki kadın ve erkek sayısı gibi binom olaylarının dağılımını tanımlamak için kullanışlıdır. Oyun problemlerinde binom dağılımının kullanılması özellikle önemlidir.

Başarı olasılığının kesin formülü n deneme şu şekilde yazılır:

p-başarı olasılığı

q eşittir 1-p, q>=0, p+q==1

n- test sayısı, m =0,1...m

Binom dağılımının ana özellikleri:

Bu dağılımın grafiği çeşitli sayılar n testleri ve başarı olasılıkları p şu şekildedir:

Binom dağılımı normal ve Poisson dağılımlarıyla ilişkilidir (aşağıya bakınız); belirli parametre değerlerinde büyük sayı testlerde bu dağılımlara dönüşür. Bunu STATISTICA kullanarak göstermek kolaydır.

Örneğin, parametrelerle birlikte bir binom dağılımının grafiğini göz önünde bulundurarak p = 0,7, n = 100 (şekle bakın), STATISTICA BASIC'i kullandık - grafiğin normal dağılımın yoğunluğuna çok benzer olduğunu görebilirsiniz (gerçekten öyle!).

Parametrelerle birlikte binom dağılım grafiği p=0,05, n=100 Poisson dağılımına çok benzemektedir.

Daha önce de belirtildiği gibi, binom dağılımı tek hücrelilerin gözlemlerinden ortaya çıktı. kumar- adil bir yazı tura atmak. Birçok durumda bu model hizmet vermektedir ilk önce iyi daha fazlası için yaklaşıyor zorlu oyunlar Ve rastgele süreçler borsada oynarken ortaya çıkar. Pek çok kişinin temel özelliklerinin olması dikkat çekicidir. karmaşık süreçler basit bir binom modelinden anlaşılabilir.

Örneğin aşağıdaki durumu düşünün.

Arma kaybını 1, kuyruk kaybını eksi 1 olarak işaretleyelim ve kazançları ve kayıpları zaman içinde birbirini takip eden noktalarda toplayacağız. Grafikler böyle bir oyunun 1.000 atış, 5.000 atış ve 10.000 atış için tipik yörüngelerini göstermektedir. Yörüngenin uzun süreler boyunca nasıl sıfırın üstünde veya altında olduğuna dikkat edin; başka bir deyişle, tamamen adil bir oyunda oyunculardan birinin kazandığı süre çok uzundur ve kazanmadan kaybetmeye geçişler nispeten nadirdir ve "Kesinlikle adil oyun" ifadesinin kulağa sihirli bir büyü gibi geldiği hazırlıksız bir zihinde bunu uzlaştırmak zordur. Yani oyun koşulları itibariyle adil olsa da tipik bir yörüngenin davranışı hiç de adil değil ve dengeyi göstermiyor!

Tabii ki, ampirik olarak bu gerçek tüm oyuncular tarafından bilinmektedir; oyuncunun kazançlarla ayrılmasına izin verilmediği, ancak daha fazla oynamaya zorlandığı bir strateji bununla ilişkilendirilir.

Bir oyuncunun kazandığı (0'ın üzerinde yörünge) ve ikinci oyuncunun kaybettiği (0'ın altında yörünge) atış sayısını ele alalım. İlk bakışta bu tür atışların sayısının yaklaşık olarak aynı olduğu görülüyor. Ancak (heyecan verici kitaba bakınız: Feller V. “Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları.” Moskova: Mir, 1984, s. 106) 10.000 ideal para atışıyla (yani, Bernoulli testleri için) p = q = 0,5, n=10.000) taraflardan birinin 9.930'dan fazla denemede ve ikincinin - 70'ten az - önde olma olasılığı 0,1'i aşıyor.

Şaşırtıcı bir şekilde, 10.000 adil yazı-tura atılmasından oluşan bir oyunda liderliğin en fazla 8 kez değişme olasılığı 0,14'ten büyüktür ve 78'den fazla liderlik değişikliği olasılığı yaklaşık 0,12'dir.

Dolayısıyla paradoksal bir durumla karşı karşıyayız: simetrik bir Bernoulli yürüyüşünde, grafikteki ardışık sıfıra dönüşler arasındaki "dalgalar" (grafiklere bakın) şaşırtıcı derecede uzun olabilir. Bununla bağlantılı başka bir durum da var: T n /n (grafiğin x ekseninin üzerinde olduğu zaman kesri) en az muhtemel olan 1/2'ye yakın değerlerdir.

Matematikçiler arksinüs yasasını keşfettiler; buna göre her 0 için< а <1 вероятность неравенства , где Т n - число шагов, в течение которых первый игрок находится в выигрыше, стремится к

Arksinüs dağılımı

Bu sürekli dağılım (0, 1) aralığının merkezindedir ve bir yoğunluğa sahiptir:

Ark sinüs dağılımı rastgele bir yürüyüşle ilişkilidir. Bu, simetrik bir parayı, yani eşit olasılıklara sahip bir parayı havaya atarken ilk oyuncunun kazandığı zaman diliminin dağılımıdır. S, armanın ve kuyrukların üzerine düşer. Başka bir deyişle böyle bir oyun, sıfırdan başlayarak eşit olasılıklarla sağa veya sola tek atlayışlar yapan bir parçacığın rastgele yürüyüşü olarak düşünülebilir. Parçacık sıçramaları - düşen yazılar veya yazılar - eşit derecede olası olduğundan, böyle bir yürüyüşe genellikle simetrik denir. Olasılıklar farklı olsaydı asimetrik bir yürüyüşe sahip olurduk.

Ark sinüs dağılım yoğunluğu grafiği aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:

En ilginç şey, adil bir oyunda galibiyet ve mağlubiyet serisi hakkında şaşırtıcı sonuçlar çıkarabileceğiniz grafiğin niteliksel yorumudur. Grafiğe baktığınızda minimum yoğunluğun şu noktada olduğunu görebilirsiniz: 1/2. "Ne olmuş yani?" - sen sor. Ancak bu gözlemi düşünürseniz, sürpriziniz sınır tanımayacaktır! Oyunun adil olarak tanımlansa da aslında ilk bakışta sanıldığı kadar adil olmadığı ortaya çıktı.

Parçacığın hem pozitif hem de negatif yarı eksende, yani sıfırın sağında veya solunda eşit zaman harcadığı simetrik rastgele yörüngeler kesinlikle en az olası olanlardır. Oyuncuların diline dönersek, simetrik bir para atıldığında, oyuncuların kazanma ve kaybetme olasılıklarının eşit olduğu oyunların en az olduğunu söyleyebiliriz.

Aksine, bir oyuncunun kazanma ve diğerinin kaybetme olasılığının önemli ölçüde yüksek olduğu oyunlar en olası olanlardır. İnanılmaz paradoks!

İlk oyuncunun kazandığı t süresi kesrinin şu aralıklar arasında kalma olasılığını hesaplamak: t1 ila t2, dağıtım fonksiyonu değerinden gerekli F(t2), F(t1) dağılım fonksiyonunun değerini çıkarın.

Resmi olarak şunu elde ederiz:

P(t1

Bu gerçeğe dayanarak STATISTICA kullanılarak 10.000 adımda parçacığın 9930 defadan fazla pozitif tarafta kaldığı, 0,1 olasılıkla, yani kabaca söylemek gerekirse, en az bir durumda böyle bir konumun gözlemleneceği hesaplanabilir. on üzerinden (ilk bakışta saçma görünse de; bkz. Yu. V. Prokhorov'un “Olasılık ve Matematiksel İstatistik” ansiklopedisindeki dikkat çekici notu “Bernoulli'nin Rambler'ı”, s. 42-43, M.: Büyük Rus Ansiklopedisi, 1999 ).

Negatif binom dağılımı

Bu, tam sayı noktalarına atanan ayrık bir dağılımdır k = 0,1,2,... olasılıklar:

p k =P(X=k)=C k r+k-1 p r (l-p) k ", burada 0<р<1,r>0.

Negatif binom dağılımı birçok uygulamada bulunur.

Etraflı r > 0, negatif binom dağılımı, Bernoulli test şemasında r'inci “başarı” için bekleme süresinin “başarı” olasılığı ile dağılımı olarak yorumlanır. p, örneğin ikinci amblem çekilmeden önce yapılması gereken atış sayısı; bu durumda buna bazen Pascal dağılımı denir ve gama dağılımının ayrık bir analoğudur.

Şu tarihte: r=1 negatif binom dağılımı geometrik dağılıma denk gelmektedir.

Y, rastgele parametreli Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkense, bu da yoğunlukla bir gama dağılımına sahiptir.

O zaman U, parametrelerle birlikte negatif bir binom dağılımına sahip olacaktır;

Poisson dağılımı

Poisson dağılımı bazen nadir olay dağılımı olarak da adlandırılır. Poisson yasasına göre dağıtılan değişkenlerin örnekleri şunlardır: kaza sayısı, üretim sürecindeki kusurların sayısı vb. Poisson dağılımı aşağıdaki formülle tanımlanır:

Poisson rastgele değişkeninin temel özellikleri:

Poisson dağılımı üstel dağılım ve Bernoulli dağılımı ile ilgilidir.

Olayların sayısı Poisson dağılımına sahipse, olaylar arasındaki aralıklar üstel veya üstel bir dağılıma sahip olur.

Poisson dağılım grafiği:

Poisson dağılımının grafiğini parametre 5 ile p=q=0.5,n=100'deki Bernoulli dağılımının grafiğiyle karşılaştırın.

Grafiklerin birbirine çok benzediğini göreceksiniz. Genel durumda, aşağıdaki model vardır (örneğin, mükemmel kitaba bakın: Shiryaev A.N. “Olasılık.” Moskova: Nauka, s. 76): Bernoulli testlerinde n büyük değerler alırsa ve başarı olasılığı / ? nispeten küçüktür, böylece ortalama başarı sayısı (çarpım ve nar) ne küçük ne de büyüktür, bu durumda n, p parametreli Bernoulli dağılımı, = np parametreli Poisson dağılımı ile değiştirilebilir.

Poisson dağılımı pratikte, örneğin kalite kontrol çizelgelerinde nadir olayların bir dağılımı olarak yaygın olarak kullanılmaktadır.

Başka bir örnek olarak, telefon hatlarıyla ilgili ve pratikten alınan aşağıdaki sorunu düşünün (bkz: Feller V. Olasılık teorisine giriş ve uygulamaları. Moskova: Mir, 1984, s. 205, ayrıca Molina E. S. (1935) Mühendislikte olasılık, Elektrik mühendisliği, 54, s. 423-427; Bell Telefon Sistemi Teknik Yayınları Monograf B-854). Bu görev, modern bir dile, örneğin mobil iletişim diline kolayca çevrilebilir; ilgilenen okuyucuların bunu yapmaya davet edildiği şey budur.

Sorun şu şekilde formüle edilmiştir. İki telefon santralı olsun - A ve B.

A telefon santralı, 2.000 abone ile B santrali arasındaki iletişimi sağlamalıdır. İletişimin kalitesi, 100 çağrıdan yalnızca 1'inin hattın serbest kalmasını bekleyecek şekilde olmalıdır.

Soru şu: Gerekli iletişim kalitesini sağlamak için kaç telefon hattı kurmanız gerekiyor? Açıkçası, çoğu uzun süre ücretsiz olacağı için 2.000 satır oluşturmak aptalca. Sezgisel değerlendirmelerden, görünüşe göre, optimal sayıda N satırının olduğu açıktır. Bu sayı nasıl hesaplanır?

Bir abonenin ağa erişim yoğunluğunu tanımlayan gerçekçi bir modelle başlayalım, modelin doğruluğunun elbette standart istatistiksel kriterler kullanılarak kontrol edilebileceğini belirtelim.

Yani her abonenin saatte ortalama 2 dakika hattı kullandığını ve abonelerin bağlantılarının bağımsız olduğunu varsayalım (ancak Feller'in haklı olarak işaret ettiği gibi, bu durum tüm aboneleri etkileyen bir olay, örneğin bir savaş ya da olay meydana gelmediği sürece gerçekleşir). bir kasırga).

Daha sonra 2000 Bernoulli denememiz (yazı-tura) veya başarı olasılığı p=2/60=1/30 olan ağ bağlantılarımız var.

N'den fazla kullanıcının aynı anda ağa bağlanma olasılığı 0,01'i geçmeyecek şekilde bir N bulmamız gerekiyor. Bu hesaplamalar STATISTICA sisteminde kolaylıkla çözülebilmektedir.

STATISTICA'yı kullanarak sorunu çözme.

Adım 1. Modülü aç Temel İstatistikler. 110 gözlem içeren bir binoml.sta dosyası oluşturun. İlk değişkeni adlandırın BİNOM, ikinci değişken - ZEHİR.

Adım 2. BİNOM, pencereyi aç Değişken 1(resme bakın). Formülü şekilde gösterildiği gibi pencereye girin. Düğmeye tıklayın TAMAM.

Adım 3. Başlığa çift tıklayarak ZEHİR, pencereyi aç Değişken 2(resme bakın)

Formülü şekilde gösterildiği gibi pencereye girin. Poisson dağılım parametresini aşağıdaki formülü kullanarak hesapladığımızı unutmayın. =n×p. TAMAM.

Bu nedenle = 2000 × 1/30. Düğmeye tıklayın

STATISTICA olasılıkları hesaplayacak ve bunları oluşturulan dosyaya yazacaktır. Adım 4.

Gözlem numarası 86'ya ilerleyin. Binom dağılımı kullanılırsa, saatte 2.000 ağ kullanıcısından 86 veya daha fazlasının eşzamanlı kullanıcı olasılığının 0,01347 olduğunu göreceksiniz.

Binom dağılımı için Poisson yaklaşımı kullanıldığında, 2.000 ağ kullanıcısından 86 veya daha fazlasının bir saatte aynı anda çalışma olasılığı 0,01293'tür.

0,01'den fazla olmayan bir olasılığa ihtiyacımız olduğundan, gerekli iletişim kalitesini sağlamak için 87 hat yeterli olacaktır.

Binom dağılımı için normal yaklaşım kullanılarak da benzer sonuçlar elde edilebilir (şuna bakın!).

V. Feller'in elinde STATISTICA sisteminin bulunmadığını ve binom ve normal dağılımlar için tablolar kullandığını unutmayın.

Kullanıcılar gruplara ayrıldığında aynı kalite seviyesine ulaşmak için ilave 10 satıra daha ihtiyaç duyulacağı ortaya çıktı.

Ayrıca gün içerisinde ağ bağlantı yoğunluğundaki değişiklikleri de hesaba katabilirsiniz.

Geometrik dağılım

Bağımsız Bernoulli testleri yapılırsa ve bir sonraki “başarıya” kadar olan deneme sayısı sayılırsa bu sayının geometrik bir dağılımı vardır. Bu nedenle, eğer bir parayı atarsanız, bir sonraki armanın ortaya çıkmasından önce yapmanız gereken atış sayısı geometrik bir yasaya uyar.

Geometrik dağılım aşağıdaki formülle belirlenir:

F(x) = p(1-p) x-1

p - başarı olasılığı, x = 1, 2,3...

Dağılımın adı geometrik ilerlemeyle ilgilidir.

Yani geometrik dağılım, başarının belirli bir adımda gerçekleşme olasılığını belirtir.

Geometrik dağılım, üstel dağılımın ayrık bir benzeridir. Eğer zaman kuantalara göre değişiyorsa, o zaman zamanın her anındaki başarı olasılığı geometrik bir yasayla tanımlanır. Zaman sürekli ise olasılık üstel veya üstel bir yasayla tanımlanır.

Hipergeometrik dağılım

Bu, m = 0, 1,2,...,n tamsayı değerlerini olasılıklarla alan X rastgele değişkeninin ayrık olasılık dağılımıdır:

burada N, M ve n negatif olmayan tam sayılardır ve M< N, n < N.

Hipergeometrik dağılım genellikle değiştirmesiz seçimle ilişkilidir ve örneğin M siyah ve N - M beyaz dahil N top içeren bir popülasyondan n boyutlu rastgele bir örnekte tam olarak m siyah top bulma olasılığını belirler (bkz. örneğin, “Olasılık” ansiklopedisi ve matematiksel istatistikler”, M.: Büyük Rus Ansiklopedisi, s. 144).

Hipergeometrik dağılımın matematiksel beklentisi N'ye bağlı değildir ve karşılık gelen binom dağılımının µ=np matematiksel beklentisiyle örtüşür.

Hipergeometrik dağılımın varyansı binom dağılımının varyansını aşmaz npq. Hipergeometrik dağılımın herhangi bir sırasının anlarında, binom dağılımının momentlerinin karşılık gelen değerlerine eğilim gösterir.

Bu dağılım kalite kontrol uygulamalarında son derece sık görülür.

Polinom dağılımı

Polinom veya çok terimli dağılım doğal olarak dağılımı genelleştirir. Bir para atıldığında iki sonuç (tura veya tepe) olduğunda binom dağılımı meydana gelirken, bir zar atıldığında ve ikiden fazla olası sonuç olduğunda polinom dağılımı meydana gelir. Resmi olarak, bu, negatif olmayan tamsayı değerleri n 1,...,n k alarak, n 1 + ... + n k = koşulunu karşılayan X 1,...,X k rastgele değişkenlerinin ortak olasılık dağılımıdır. n, olasılıklarla birlikte:

“Çok terimli dağılım” adı, polinom (p 1 + ... + p k) n genişletilirken çok terimli olasılıkların ortaya çıkmasıyla açıklanmaktadır.

Beta dağıtımı

Beta dağılımı şu şekilde bir yoğunluğa sahiptir:

Standart beta dağılımı 0 ila 1 aralığını merkeze alır. Doğrusal dönüşümler kullanılarak beta değeri herhangi bir aralıkta değer alacak şekilde dönüştürülebilir.

Beta dağılımına sahip bir miktarın temel sayısal özellikleri:

Ekstrem değerlerin dağılımı

Aşırı değerlerin dağılımı (tip I) şu şekilde bir yoğunluğa sahiptir:

Bu dağılıma bazen uç değer dağılımı da denir.

Aşırı değerlerin dağılımı, örneğin sel seviyeleri, girdap hızları, belirli bir yıl için maksimum borsa endeksleri vb. gibi aşırı olayların modellenmesinde kullanılır.

Bu dağılım, güvenilirlik teorisinde, örneğin elektrik devrelerinin arıza süresini tanımlamak için ve ayrıca aktüeryal hesaplamalarda kullanılır.

Rayleigh dağılımları

Rayleigh dağılımı şu şekilde bir yoğunluğa sahiptir:

burada b ölçek parametresidir.

Rayleigh dağılımı 0'dan sonsuza kadar olan aralıkta yoğunlaşmıştır. STATISTICA, 0 değeri yerine eşik parametresi için Rayleigh dağılımına uymadan önce orijinal verilerden çıkarılacak farklı bir değer girmenize olanak tanır. Bu nedenle eşik parametresinin değerinin gözlenen tüm değerlerden küçük olması gerekir.

Eğer 1 ve 2 numaralı iki değişken birbirinden bağımsızsa ve aynı varyansla normal dağılıyorsa, bu durumda değişken Rayleigh dağılımına sahip olacaktır.

Rayleigh dağılımı örneğin atış teorisinde kullanılır.

Weibull dağılımı

Weibull dağılımı, adını bu dağılımı güvenilirlik teorisindeki çeşitli türlerdeki başarısızlık sürelerini tanımlamak için kullanan İsveçli araştırmacı Waloddi Weibull'dan almıştır.

Resmi olarak Weibull dağılım yoğunluğu şu şekilde yazılır:

Bazen Weibull dağılım yoğunluğu şu şekilde de yazılır:

B - ölçek parametresi;

C - şekil parametresi;

E, Euler sabitidir (2,718...).

Konum parametresi. Tipik olarak Weibull dağılımı yarı eksende 0'dan sonsuza kadar merkezlenir. Eğer 0 sınırı yerine pratikte sıklıkla gerekli olan a parametresini eklersek, üç parametreli Weibull dağılımı olarak adlandırılan dağılım ortaya çıkar.

Weibull dağılımı güvenilirlik teorisi ve sigortada yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yukarıda açıklandığı gibi, üstel dağılım sıklıkla bir nesnenin arıza olasılığının sabit olduğu varsayımı altında arızaya kadar geçen süreyi tahmin etmek için bir model olarak kullanılır. Başarısızlık olasılığı zamanla değişiyorsa Weibull dağılımı uygulanır.

Şu tarihte: =1 ile veya başka bir parametrelendirmede formüllerden de rahatlıkla görülebileceği gibi Weibull dağılımı ile üstel dağılıma, - ile ise Rayleigh dağılımına dönüşür.

Weibull dağılımının parametrelerini tahmin etmek için özel yöntemler geliştirilmiştir (örneğin bkz. kitap: Lawless (1982) Statistical models and methods for life data, Belmont, CA: Lifetime Learning, tahmin yöntemlerini ve problemleri açıklar) üç parametreli bir Weibull dağılımı için konum parametresini tahmin ederken ortaya çıkar).

Genellikle güvenilirlik analizini gerçekleştirirken, belirli bir noktadan sonra kısa bir zaman aralığı içindeki arıza olasılığının dikkate alınması gerekir. şu ana kadar bunu sağlamadım t Arıza meydana gelmedi.

Bu fonksiyona risk fonksiyonu veya başarısızlık oranı fonksiyonu denir ve resmi olarak aşağıdaki gibi tanımlanır:

H(t) - t zamanındaki başarısızlık oranı fonksiyonu veya risk fonksiyonu;

f(t) - arıza sürelerinin dağılım yoğunluğu;

F(t) - arıza sürelerinin dağılım fonksiyonu (aralık boyunca yoğunluğun integrali).

Genel olarak başarısızlık oranı fonksiyonu şu şekilde yazılır:

Risk fonksiyonu, cihazın normal çalışmasına karşılık gelen bir sabite eşit olduğunda (formüllere bakın).

Cihazın çalıştırılmasına karşılık gelen risk fonksiyonu azaldığında.

Risk fonksiyonu azaldığında, bu da cihazın eskimesine karşılık gelir. Tipik risk fonksiyonları grafikte gösterilmektedir.

Çeşitli parametrelere sahip Weibull yoğunluk grafikleri aşağıda gösterilmektedir. A parametresinin üç değer aralığına dikkat etmek gerekir:

Birinci bölgede risk fonksiyonu azalır (düzeltme süresi), ikinci bölgede risk fonksiyonu sabite eşitlenir, üçüncü bölgede ise risk fonksiyonu artar.

Yeni bir araba satın alma örneğini kullanarak söylenenleri kolayca anlayabilirsiniz: önce arabanın alışma süresi vardır, ardından uzun bir normal çalışma süresi vardır, ardından arabanın parçaları aşınır ve arızalanma riski vardır. keskin bir şekilde artar.

Tüm çalışma dönemlerinin aynı dağıtım ailesi tarafından tanımlanabilmesi önemlidir. Weibull dağılımının arkasındaki fikir budur.

Weibull dağılımının temel sayısal özelliklerini sunalım.

Pareto dağılımı

Uygulamalı istatistiğin çeşitli problemlerinde kesik dağılımlar oldukça yaygındır.

Örneğin, faizin belirli bir c 0 değerini aşan gelirlerde olması durumunda bu dağıtım sigortada veya vergilendirmede kullanılır.

Pareto dağılımının temel sayısal özellikleri:

Lojistik dağıtım

Lojistik dağılımın bir yoğunluk fonksiyonu vardır:

A - konum parametresi;

B - ölçek parametresi;

E - Euler numarası (2,71...).

Hotelling T 2 dağıtımı

(0, Г) aralığına odaklanan bu sürekli dağılım yoğunluğa sahiptir:

parametreler nerede n ve k, n >_k >_1'e serbestlik derecesi denir.

Şu tarihte: k = 1 Otelcilik, P-dağılımı Öğrencinin dağılımına indirgenir ve herhangi bir k >1, Öğrenci dağılımının çok değişkenli duruma genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.

Hotelling dağılımı normal dağılıma dayanmaktadır.

K boyutlu bir rastgele Y vektörünün sıfır ortalama vektörü ve bir kovaryans matrisi ile normal dağılıma sahip olduğunu varsayalım.

Miktarı dikkate alalım

burada rastgele vektörler Z i birbirinden ve Y'den bağımsızdır ve Y ile aynı şekilde dağıtılır.

Bu durumda, T 2 =Y T S -1 Y rastgele değişkeni, n serbestlik derecesine sahip bir T 2 -Hotelling dağılımına sahiptir (Y bir sütun vektörüdür, T, aktarma operatörüdür).

rastgele değişken nerede t n, n serbestlik derecesine sahip bir Öğrenci dağılımına sahiptir (bkz. “Olasılık ve Matematiksel İstatistik,” Ansiklopedi, s. 792).

Eğer Y sıfırdan farklı ortalamaya sahip normal bir dağılıma sahipse, buna karşılık gelen dağılıma denir. merkezi olmayan Hotelling T 2 -n serbestlik derecesi ve merkezi olmama parametresi ile dağılım v.

Hotelling T 2 -dağılımı matematiksel istatistiklerde Öğrenci ^-dağılımı ile aynı durumda kullanılır, ancak yalnızca çok değişkenli durumda. X 1,..., Xn gözlemlerinin sonuçları bağımsız, µ ortalama vektörüne ve tekil olmayan kovaryans matrisine sahip normal dağılmış rastgele vektörler ise, o zaman istatistikler

Hotelling T 2 dağılımına sahiptir n - 1 serbestlik derecesi. Bu gerçek Hotelling kriterinin temelini oluşturmaktadır.

STATISTICA'da Hotelling testi örneğin Temel İstatistikler ve Tablolar modülünde mevcuttur (aşağıdaki iletişim kutusuna bakın).

Maxwell dağılımı

Maxwell dağılımı fizikte ideal bir gazın moleküllerinin hızlarının dağılımını tanımlarken ortaya çıktı.

Bu sürekli dağılım (0, ) merkezlidir ve yoğunluğa sahiptir:

Dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:

burada Ф(x) standart normal dağılım fonksiyonudur. Maxwell dağılımı pozitif bir çarpıklık katsayısına ve bir noktada tek bir moda sahiptir (yani dağılım tek modludur).

Maxwell dağılımının herhangi bir mertebeden bitiş anları vardır; matematiksel beklenti ve varyans sırasıyla eşittir ve

Maxwell dağılımı doğal olarak normal dağılımla ilişkilidir.

X 1, X 2, X 3, 0 ve õ 2 parametreleriyle normal dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenlerse, o zaman rastgele değişken Maxwell dağılımına sahiptir. Dolayısıyla Maxwell dağılımı, üç boyutlu uzayda Kartezyen koordinat sistemindeki koordinatları bağımsız olan ve ortalama 0 ve varyans õ 2 ile normal dağılıma sahip olan rastgele bir vektörün uzunluğunun dağılımı olarak düşünülebilir.

Cauchy dağılımı

Bu şaşırtıcı dağılımın bazen ortalama değeri yoktur, çünkü x'in mutlak değeri arttıkça yoğunluğu çok yavaş bir şekilde sıfıra doğru yönelir. Bu tür dağılımlara ağır kuyruklu dağılımlar denir. Ortalaması olmayan bir dağılım bulmanız gerekiyorsa, hemen buna Cauchy dağılımı adını verin.

Cauchy dağılımı, hem medyan hem de yoğunluk fonksiyonuna sahip olan moda göre tek modlu ve simetriktir:

Nerede c > 0 - ölçek parametresi ve a, modun ve medyanın değerlerini aynı anda belirleyen merkez parametredir.

Yoğunluğun integrali, yani dağılım fonksiyonu şu ilişkiyle verilir:

Öğrenci dağılımı

Kariyerine İngiliz birasının kalitesine ilişkin istatistiksel bir çalışmayla başlayan ve “Student” takma adıyla tanınan İngiliz istatistikçi W. Gosset, 1908 yılında aşağıdaki sonucu elde etti. İzin vermek x 0 , x 1 ,.., x m - bağımsız, (0, s 2) - normal dağılımlı rastgele değişkenler:

Artık Öğrenci dağılımı olarak bilinen bu dağılım (kısacası: m'nin serbestlik derecesi sayısı olduğu t(m) dağılımı, iki popülasyonun ortalamalarını karşılaştırmak için tasarlanan ünlü t-testinin temelini oluşturur.

Yoğunluk fonksiyonu f t(x) rastgele değişkenlerin õ 2 varyansına bağlı değildir ve ayrıca x = 0 noktasına göre tek modlu ve simetriktir.

Öğrenci dağılımının temel sayısal özellikleri:

Ortalama tahminlerinin dikkate alındığı ve örneklem varyansının bilinmediği durumlarda t dağılımı önemlidir. Bu durumda örneklem varyansı ve t-dağılımı kullanılır.

Büyük serbestlik dereceleri için (30'dan büyük), t-dağılımı pratik olarak standart normal dağılımla örtüşür.

T-dağılımı yoğunluk fonksiyonunun grafiği, serbestlik derecesi sayısı arttıkça şu şekilde deforme olur: tepe noktası artar, kuyruklar 0'a daha dik gider ve t-dağılımı yoğunluk fonksiyonunun grafiği yanal olarak sıkıştırılmış gibi görünür.

F dağılımı

düşünelim m 1 + m 2 bağımsız ve (0, s 2) normal dağılımlı büyüklükler

ve koy

Açıkçası, aynı rastgele değişken iki bağımsız ve uygun şekilde normalize edilmiş ki-kare dağılımlı değişkenin oranı olarak da tanımlanabilir ve yani

Ünlü İngiliz istatistikçi R. Fisher, 1924'te rastgele bir değişken olan F(m 1, m 2)'nin olasılık yoğunluğunun aşağıdaki fonksiyonla verildiğini gösterdi:

burada Г(у) Euler'in gama fonksiyonunun değeridir. nokta y ve yasanın kendisi, pay ve paydanın serbestlik derecesi sayıları sırasıyla m,1l m7'ye eşit olan F dağılımı olarak adlandırılır.

F dağılımının temel sayısal özellikleri: