Dördüncü dereceden merkezi moment. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Özel anlam Bir rastgele değişkenin dağılımını karakterize etmek için başlangıç ​​ve merkezi momentler adı verilen sayısal özelliklere sahiptirler.

Başlangıç ​​anı k-inci sıra ak(X) rastgele değişken X k bu miktarın -th kuvveti, yani.

ak(X) = M(X k) (6.8)

Çeşitli matematiksel beklenti tanımı nedeniyle Formül (6.8) rastgele değişkenler ayrık bir rastgele değişken için kendi formuna sahiptir Sınırlı set değerler

sürekli bir rastgele değişken için

, (6.10)

Nerede F(X) - rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu X.

Yanlış integral formül (6.10)'da şuna dönüşür: kesin integral sonlu bir aralıkta, sürekli bir rastgele değişkenin değerleri yalnızca bu aralıkta mevcutsa.

Daha önce tanıtılan sayısal özelliklerden biri - matematiksel beklenti - birinci derecenin başlangıç ​​​​anından veya dedikleri gibi ilk başlangıç ​​​​anından başka bir şey değildir:

M(X) = α 1 (X).

Önceki paragrafta merkezli rastgele değişken kavramı tanıtıldı HM(X). Bu miktar ana miktar olarak kabul edilirse, onun için başlangıç ​​​​anları da bulunabilir. Büyüklüğün kendisi için X bu anlara merkezi denilecek.

Merkezi an k-inci sıra μk(X) rastgele değişken X matematiksel beklenti denir k merkezli rastgele değişkenin -inci kuvveti, yani

μk(X) = M[(HM(X))k] (6.11)

Başka bir deyişle merkez nokta k-inci sıra matematiksel beklentidir k sapma derecesi.

Merkezi an k Sonlu bir değer kümesine sahip ayrık bir rastgele değişkenin inci sırası aşağıdaki formülle bulunur:

, (6.12)

aşağıdaki formülü kullanarak sürekli bir rastgele değişken için:

(6.13)

Gelecekte ne tür bir rastgele değişkenden bahsettiğimiz netleştiğinde, bunu başlangıç ​​ve merkezi momentler için notasyona yazmayacağız. yerine ak(X) Ve μk(X) basitçe yazacağız ak Ve μk .

Birinci dereceden merkezi anın olduğu açıktır. sıfıra eşitçünkü bu, daha önce kanıtlanmış olana göre sıfıra eşit olan sapmanın matematiksel beklentisinden başka bir şey değildir; .

Bir rastgele değişkenin ikinci dereceden merkezi momentinin X aynı rastgele değişkenin varyansıyla çakışır, yani

Ayrıca, aşağıdaki formüller, başlangıç ​​ve merkezi anları birbirine bağlayan:

Dolayısıyla, birinci ve ikinci dereceden momentler (matematiksel beklenti ve dağılım), dağılımın en önemli özelliklerini karakterize eder: konumu ve değerlerin dağılım derecesi. Daha fazlası için Detaylı Açıklama dağılımlar daha yüksek dereceli anlardır. Hadi gösterelim.

Bir rastgele değişkenin dağılımının matematiksel beklentisine göre simetrik olduğunu varsayalım. O halde, eğer varsa, tüm tek sıralı merkezi momentler sıfıra eşittir. Bu, her biri için dağılımın simetrisinden dolayı açıklanmaktadır. pozitif değer miktarları X − M(X) eşit bir modül var olumsuz anlam ve bu değerlerin olasılıkları eşittir. Sonuç olarak, formül (6.12)'deki toplam, büyüklük olarak eşit ancak işaret olarak farklı olan ve toplama üzerine birbirini iptal eden birkaç terim çiftinden oluşur. Böylece tutarın tamamı, yani. herhangi bir tek sıralı ayrık rastgele değişkenin merkezi momenti sıfırdır. Benzer şekilde, sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir tek mertebesinin merkezi momenti, tek bir fonksiyonun simetrik limitlerindeki integral gibi sıfıra eşittir.

Tek sıranın merkezi momentinin sıfırdan farklı olması durumunda dağılımın kendisinin matematiksel beklentisine göre simetrik olmayacağını varsaymak doğaldır. Ayrıca merkezi moment sıfırdan ne kadar farklı olursa dağılımdaki asimetri de o kadar büyük olur. Asimetrinin bir özelliği olarak en küçük tek mertebenin merkezi momentini alalım. Herhangi bir dağılıma sahip rastgele değişkenler için birinci dereceden merkezi moment sıfır olduğundan, bu amaçla üçüncü dereceden merkezi momentin kullanılması daha iyidir. Ancak bu an bir rastgele değişkenin küpü boyutundadır. Bu dezavantajdan kurtulmak ve boyutsuz bir rastgele değişkene geçmek için değeri bölün. merkezi an standart sapmanın küpü başına.

Asimetri katsayısı Gibi ya da sadece asimetriüçüncü dereceden merkezi momentin standart sapmanın küpüne oranı denir, yani

Bazen asimetriye "çarpıklık" adı verilir ve Sk ne geliyor ingilizce kelimeçarpık - "eğik".

Asimetri katsayısı negatifse, değeri negatif terimlerden (sapmalardan) güçlü bir şekilde etkilenir ve dağılım şöyle olur: sol asimetri ve dağılım grafiği (eğri) matematiksel beklentinin solunda daha düzdür. Katsayı pozitif ise, o zaman asimetri hakkı ve eğri matematiksel beklentinin sağında daha düzdür (Şekil 6.1).

Gösterildiği gibi, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılmasını karakterize etmek için ikinci merkezi moment kullanılır, yani. dağılım. Eğer bu an çok önemliyse Sayısal değer o zaman bu rastgele değişkenin büyük bir değer dağılımı vardır ve karşılık gelen dağılım eğrisi, ikinci merkezi momentin olduğu eğriden daha düz bir şekle sahiptir. düşük değer. Bu nedenle, ikinci merkezi moment bir dereceye kadar "düz tepeli" veya "keskin tepeli" dağılım eğrisini karakterize eder. Ancak bu özellik pek kullanışlı değildir. İkinci dereceden merkezi moment şu boyuta sahiptir: kareye eşit Rastgele bir değişkenin boyutları. Moment değerini standart sapmanın karesine bölerek boyutsuz bir miktar elde etmeye çalışırsak, herhangi bir rastgele değişken için şunu elde ederiz: . Dolayısıyla bu katsayı bir rastgele değişkenin dağılımının herhangi bir özelliği olamaz. Tüm dağıtımlarda durum aynıdır. Bu durumda merkezi anı kullanabilirsiniz. dördüncü sıra.

Aşırı Ek formülle belirlenen miktardır

(6.15)

Basıklık esas olarak sürekli rastgele değişkenler için kullanılır ve dağıtım eğrisinin sözde "dikliğini" karakterize etmeye veya daha önce de belirtildiği gibi "düz tepeli" veya "keskin tepeli" dağılım eğrisini karakterize etmeye hizmet eder. Referans dağılım eğrisi eğri olarak kabul edilir normal dağılım(Bu bir sonraki bölümde ayrıntılı olarak ele alınacaktır). Dağıtılmış bir rastgele değişken için normal hukuk, eşitlik geçerlidir. Bu nedenle fazlalık formül tarafından verilen(6.15), karşılaştırma amaçlıdır verilen dağıtım basıklığı sıfıra eşit olan normal ile.

Bazı rastgele değişkenler için pozitif basıklık elde edilirse bu değerin dağılım eğrisi normal dağılım eğrisinden daha tepelidir. Basıklık negatifse, eğri normal dağılım eğrisine kıyasla daha düz tepelidir (Şekil 6.2).

Şimdi devam edelim belirli türler kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yasaları.

Seçeneklerin aritmetik ortalamadan sapmasının başlangıç ​​​​değeri olarak alındığı hesaplanırken merkezi momentlere dağıtım momentleri denir. Bu diziler.

1. Birinci dereceden merkezi momenti aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayın:

2. İkinci dereceden merkezi momenti aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayın:

aralıkların ortasının değeri nerede;

Bu ağırlıklı bir ortalamadır;

Fi değerlerin sayısıdır.

3. Aşağıdaki formülü kullanarak üçüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:

aralıkların ortasının değeri nerede; - bu ağırlıklı ortalamadır; - fi-sayılı değerler.

4. Aşağıdaki formülü kullanarak dördüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:

aralıkların ortasının değeri nerede; - bu ağırlıklı ortalamadır; - fi-sayılı değerler.

Tablo 3.2 için hesaplama

Tablo 3.4 için hesaplama

1. Formül (7.1)'i kullanarak birinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:

2. Formül (7.2)'yi kullanarak ikinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:

3. Formül (7.3)'ü kullanarak üçüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:

4. Formül (7.4)'ü kullanarak dördüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:

Tablo 3.6 için hesaplama

1. Formül (7.1)'i kullanarak birinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:

2. Formül (7.2)'yi kullanarak ikinci dereceden merkezi momenti hesaplayın:

3. Formül (7.3)'ü kullanarak üçüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:

4. Formül (7.4)'ü kullanarak dördüncü dereceden merkezi momenti hesaplayın:

Üç problem için 1, 2, 3, 4. derecelerin momentleri hesaplandı. Asimetriyi hesaplamak için üçüncü dereceden momentin gerekli olduğu ve basıklığı hesaplamak için dördüncü dereceden momentin gerekli olduğu yer.

DAĞITIM ASİMETRİSİNİN HESAPLANMASI

İstatistik uygulamalarında çeşitli dağılımlarla karşılaşılmaktadır. Aşağıdaki dağıtım eğrileri türleri vardır:

· tek köşeli eğriler: simetrik, orta derecede asimetrik ve son derece asimetrik;

· çoklu köşe eğrileri.

Homojen popülasyonlar, kural olarak, tek tepe dağılımlarıyla karakterize edilir. Multivertex, incelenen popülasyonun heterojenliğini gösterir. İki veya daha fazla köşenin ortaya çıkması, daha homojen grupların tanımlanması için verilerin yeniden gruplandırılmasını gerekli kılar.

Farkına varmak genel dağılım, homojenliğinin değerlendirilmesini ve ayrıca asimetri ve basıklık göstergelerinin hesaplanmasını içerir. Simetrik dağılımlarda dağıtım merkezinin her iki yanında eşit olarak yer alan herhangi iki seçeneğin frekansları birbirine eşittir. Bu tür dağılımlar için hesaplanan ortalama, mod ve medyan da eşittir.

Farklı ölçüm birimlerine sahip çeşitli dağılımların asimetrisinin karşılaştırmalı bir çalışmasında, şu şekilde hesaplanır: bağıl gösterge asimetri():

ağırlıklı ortalama nerede; Mo-moda; - kök ortalama kare ağırlıklı dağılım; Me-medyan.

Değeri pozitif ya da negatif olabilir. İlk durumda Hakkında konuşuyoruz sağ taraftaki asimetri hakkında ve ikincisinde - sol taraftaki asimetri hakkında.

Sağ taraflı asimetri ile Mo>Me >x. En yaygın olarak kullanılan (asimetri göstergesi olarak), üçüncü dereceden merkezi momentin belirli bir serinin küp standart sapmasına oranıdır:

üçüncü dereceden merkezi moment nerede; -ortalama standart sapma küp şeklinde.

Başvuru bu gösterge asimetrinin büyüklüğünü belirlemenin yanı sıra varlığını da kontrol etmeyi mümkün kılar. nüfus. Genel olarak 0,5'ten büyük çarpıklığın (işaretten bağımsız olarak) anlamlı olduğu kabul edilir; 0,25'ten küçükse önemsizdir.

Önemlilik değerlendirmesi ortalamaya dayanmaktadır. kare hatası, asimetri katsayısı (), gözlem sayısına (n) bağlıdır ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

burada n gözlem sayısıdır.

Bu durumda asimetri anlamlıdır ve özelliğin popülasyondaki dağılımı asimetriktir. Aksi takdirde asimetri önemsizdir ve varlığı rastgele durumlardan kaynaklanabilir.

Tablo 3.2 için hesaplama Nüfusun aylık ortalamaya göre gruplandırılması ücretler, ov.

Sol tarafta belirgin asimetri.

Tablo 3.4 için hesaplama Mağazaların perakende ciroya göre gruplandırılması, milyon ruble.

1. Formül (7.5)'u kullanarak asimetrileri belirleyelim:

Sağ tarafta belirgin asimetri.

Tablo 3.6 için hesaplama Taşımacılık organizasyonlarının nakliye navlun cirosuna göre gruplandırılması Genel kullanım(milyon t.km)

1. Formül (7.5)'u kullanarak asimetrileri belirleyelim:

Sağ tarafta hafif asimetri.

DAĞITIM KURTESİNİN HESAPLANMASI

Simetrik dağılımlar için basıklık indeksi () hesaplanabilir:

dördüncü dereceden merkezi moment nerede; - dördüncü kuvvete standart sapma.

Tablo 3.2 için hesaplama Nüfusun ortalama aylık maaşa göre gruplandırılması, ovmak.

Tablo 3.4 için hesaplama Mağazaların perakende ciroya göre gruplandırılması, milyon ruble.

Basıklık göstergesini formül (7.7) kullanarak hesaplayalım.

Tepe dağılımı.

Tablo 3.6 için hesaplama Toplu taşımacılığın navlun cirosuna göre ulaştırma organizasyonlarının gruplandırılması (milyon t.km)

Basıklık göstergesini formül (7.7) kullanarak hesaplayalım.

Düz üst dağıtım.

NÜFUSUN HOMOJENLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

Tablo 3.2 için homojenlik değerlendirmesi Nüfusun ortalama aylık maaşa göre gruplandırılması, ovmak.

Asimetri ve basıklık göstergeleri, incelenen popülasyon içindeki özelliğin yalnızca dağılım biçimini doğrudan karakterize etse de, bunların tanımının yalnızca tanımlayıcı bir öneme sahip olmadığı unutulmamalıdır. Çoğu zaman asimetri ve basıklık, sosyal açıdan daha ileri araştırmalar için belirli göstergeler sağlar. ekonomik olaylar. Elde edilen sonuç, büyüklük olarak anlamlı ve negatif nitelikte bir asimetrinin varlığına işaret etmektedir; asimetrinin sol taraflı olduğuna dikkat edilmelidir. Ayrıca popülasyon düz bir dağılıma sahiptir.

Tablo 3.4 için homojenlik değerlendirmesi Mağazaların perakende ciroya göre gruplandırılması, milyon ruble.

Elde edilen sonuç, büyüklük olarak anlamlı ve pozitif nitelikte bir asimetrinin varlığını göstermektedir; asimetrinin sağ taraflı olduğuna dikkat edilmelidir. Ayrıca popülasyon keskin bir tepe dağılımına sahiptir.

Tablo 3.6 için homojenlik değerlendirmesi Toplu taşımacılığın navlun cirosuna göre ulaştırma organizasyonlarının gruplandırılması (milyon t.km)

Elde edilen sonuç, büyüklük olarak önemsiz ve pozitif nitelikte bir asimetrinin varlığına işaret etmektedir; asimetrinin sağ taraflı olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca popülasyon düz tepeli bir dağılıma sahiptir.

Beklenen değer. Matematiksel beklenti Ayrık rassal değişken X, ev sahibi son sayı değerler XBen olasılıklarla RBen, miktar şu şekilde adlandırılır:

Matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X değerlerinin çarpımının integrali denir X olasılık dağılım yoğunluğu hakkında F(X):

(6B)

Yanlış integral (6 B) kesinlikle yakınsak olduğu varsayılır (aksi takdirde matematiksel beklentinin olduğunu söylerler) M(X) bulunmuyor). Matematiksel beklenti karakterize eder ortalama değer rastgele değişken X. Boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşür.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

Dağılım. Varyans rastgele değişken X numara denir:

Varyans saçılma özelliği rastgele değişken değerleri X ortalama değerine göre M(X). Varyansın boyutu rastgele değişkenin boyutunun karesine eşittir. Ayrık bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) tanımlarına dayanarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:

(9)

Burada M = M(X).

Dispersiyon özellikleri:

Standart sapma:

(11)

Ortalamanın boyutundan beri kare sapma Rastgele değişkenle aynı olduğundan, varyanstan çok dağılım ölçüsü olarak kullanılır.

Dağıtım anları. Matematiksel beklenti ve dağılım kavramları daha fazlasının özel durumlarıdır. Genel kavram rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri için – dağıtım anları. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılmaktadır. Yani, sipariş anı k noktaya göre X 0'a matematiksel beklenti denir M(X–X 0 )k. Kökeni hakkında anlar X= 0 denir ilk anlar ve belirlenmişlerdir:

(12)

Birinci dereceden başlangıç ​​momenti, söz konusu rastgele değişkenin dağılımının merkezidir:

(13)

Dağıtım merkezi ile ilgili anlar X= M arandı merkezi noktalar ve belirlenmişlerdir:

(14)

(7)'den birinci dereceden merkezi momentin her zaman sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar:

Merkezi momentler, kaydırıldığından beri rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir. sabit değer İLE dağıtım merkezi aynı değerde değişiyor İLE ve merkezden sapma değişmez: X – M = (X – İLE) – (M – İLE).
Şimdi açıkça görülüyor ki dağılım- Bu ikinci dereceden merkezi moment:

Asimetri. Üçüncü dereceden merkezi moment:

(17)

değerlendirmeye hizmet eder dağıtım asimetrileri. Dağılım noktaya göre simetrik ise X= M o zaman üçüncü dereceden merkezi moment sıfıra eşit olacaktır (tek dereceli tüm merkezi momentler gibi). Bu nedenle üçüncü dereceden merkezi moment sıfırdan farklıysa dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü boyutsuz bir ölçüm kullanılarak değerlendirilir. asimetri katsayısı:

(18)

Asimetri katsayısının (18) işareti sağ veya sol taraftaki asimetriyi gösterir (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dağıtım asimetrisi türleri.

Aşırı. Dördüncü dereceden merkezi moment:

(19)

sözde değerlendirmeye hizmet eder aşırı normal dağılım eğrisine göre dağılımın merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (zirve) derecesini belirler. Normal bir dağılım için basıklık olarak alınan değer:

(20)

İncirde. Şekil 3'te dağılım eğrilerinin örnekleri gösterilmektedir Farklı anlamlar aşırı. Normal dağılım için e= 0. Normalden daha sivri olan eğrilerin pozitif basıklığı vardır, tepesi daha düz olanların ise negatif basıklığı vardır.

Pirinç. 3. Değişken derecelerde dikliğe (basıklık) sahip dağılım eğrileri.

Mühendislik uygulamalarında yüksek dereceli momentler matematiksel istatistik genellikle kullanılmaz.

Moda ayrık Rastgele bir değişken onun en olası değeridir. Moda sürekli rastgele bir değişken, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa dağılım denir. tek modlu. Bir dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa bu dağılıma dağılım denir. çok modlu. Bazen eğrileri maksimumdan ziyade minimuma sahip olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir anti-modal. İÇİNDE Genel dava rastgele bir değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, modal, yani bir modu olan, simetrik bir dağılıma sahip olan ve matematiksel bir beklentinin olması koşuluyla, dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşen bir dağılımdır.

Medyan rastgele değişken X- anlamı bu Meh, eşitliğin geçerli olduğu: yani rastgele değişkenin eşit derecede muhtemel olması X daha az veya daha fazla olacak Meh. Geometrik olarak medyan dağılım eğrisinin altındaki alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 2). Simetrik modal dağılım durumunda medyan, mod ve matematiksel beklenti aynıdır.

3.4. Rastgele bir değişkenin momentleri.

Yukarıda SV'nin kapsamlı özellikleriyle tanıştık: ayrık bir SV için dağıtım fonksiyonu ve dağılım serisi, sürekli bir SV için dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu. Bilgi içeriği açısından bu ikili eşdeğer özellikler şunlardır: işlevler ve SV'yi olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlayın. Bununla birlikte, birçok pratik durumda, bir rastgele değişkeni kapsamlı bir şekilde karakterize etmek ya imkansız ya da gereksizdir. Genellikle bir veya daha fazlasını belirtmek yeterlidir sayısal bir dereceye kadar dağılımın ana özelliklerini tanımlayan parametrelerdir ve bazen ayrıntılı özellikleri bulmak, her ne kadar istenirse de, matematiksel olarak çok zordur ve sayısal parametrelerle çalışırken, yaklaşık değerlerle sınırlıyız, ancak daha fazlası basit açıklama. Belirtilen sayısal parametrelere denir sayısal özellikler Rastgele değişkenler ve olasılık teorisinin bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarına uygulanmasında önemli rol oynayarak problemlerin çözümünü kolaylaştırmakta ve çözüm sonuçlarının basit ve görsel bir biçimde sunulmasına olanak sağlamaktadır.

En sık kullanılan sayısal özellikler iki türe ayrılabilir: Momentler ve konum özellikleri. Birkaç tür an vardır ve bunlardan en yaygın kullanılan ikisi şunlardır: birincil ve merkezi. Diğer an türleri, ör. mutlak momentler, faktöriyel momentler, dikkate almıyoruz. İntegralin genelleştirilmesinin (Stieljes integrali olarak adlandırılan) kullanılmasından kaçınmak için, sürekli ve ayrık SV'ler için momentlerin tanımlarını ayrı ayrı vereceğiz.

Tanımlar. 1. Başlangıç ​​anık-th sipariş ayrık SV miktar denir

Nerede F(X) belirli bir SV'nin olasılık yoğunluğudur.

3. Merkezi ank-th sipariş ayrık SV miktar denir

Aynı anda birden fazla SV'nin değerlendirildiği durumlarda, yanlış anlaşılmaları önlemek amacıyla o anın kimliğinin belirtilmesi uygundur; bunu karşılık gelen SV'nin adını parantez içinde belirterek yapacağız, örneğin, , vb. Bu atama, fonksiyon gösterimi ile karıştırılmamalı ve parantez içindeki harf, fonksiyon argümanı ile karıştırılmamalıdır. Eşitliklerin (3.4.1 - 3.4.4) sağ tarafındaki toplamlar ve integraller, değere bağlı olarak yakınsak veya ıraksak olabilir k ve özel dağıtım. İlk durumda o anın olduğunu söylüyorlar mevcut değil veya farklılaşıyor, ikincisinde - ne an vardır veya yakınsar. Ayrık bir SV'nin sonlu sayıda sonlu değeri varsa ( N elbette), o zaman tüm anları sonlu düzendedir k var olmak. Sonsuza kadar N bazılarından başlayarak k ve daha yüksek dereceler için, ayrı bir SV'nin (hem başlangıç ​​hem de merkezi) momentleri mevcut olmayabilir. Tanımlardan görülebileceği gibi sürekli bir SV'nin momentleri, belirli bir noktadan başlayarak uzaklaşabilen uygun olmayan integrallerle ifade edilir. k ve daha yüksek düzeyler için (aynı anda başlangıç ​​ve merkezi). Sıfırıncı dereceden anlar her zaman birleşir.

Önce başlangıç, sonra merkezi anları daha ayrıntılı olarak ele alalım. Matematiksel açıdan bakıldığında başlangıç ​​anı k-inci sıra “ağırlıklı ortalama”dır k-inci derece SV değerleri; ayrık bir SV durumunda ağırlıklar değerlerin olasılıklarıdır; sürekli bir SV durumunda ağırlık fonksiyonu olasılık yoğunluğudur. Bu tür işlemler mekanikte kütlelerin dağılımını (statik momentler, eylemsizlik momentleri vb.) tanımlamak için yaygın olarak kullanılır; Bu bağlamda ortaya çıkan analojiler aşağıda tartışılmaktadır.

İlk anların daha iyi anlaşılması için bunları ayrı ayrı ele alıyoruz. k. Olasılık teorisinde, düşük mertebelerdeki momentler en önemlisidir; k bu nedenle artan değerlere göre değerlendirme yapılmalıdır. k. Sıfır derecenin başlangıç ​​anı eşittir

1, ayrık SV için;

=1, sürekli SV için,

onlar. herhangi bir SV için aynı değere (bir) eşittir ve bu nedenle SV'nin istatistiksel özellikleri hakkında herhangi bir bilgi taşımaz.

Birinci dereceden başlangıç ​​momenti (veya ilk başlangıç ​​momenti) şuna eşittir:

Ayrık SV için;

, sürekli SV için.

Bu nokta, herhangi bir SV'nin en önemli sayısal özelliğidir ve bunun birbiriyle ilişkili birçok nedeni vardır. İlk olarak, Chebyshev teoremine göre (bkz. bölüm 7.4), SV üzerinde sınırsız sayıda test yapıldığında, gözlemlenen değerlerin aritmetik ortalaması (bir anlamda) şuna yönelir, dolayısıyla herhangi bir SV için bu karakteristik bir sayıdır değerlerinin deneyime göre gruplandırıldığı yer. İkincisi, sürekli bir CV için sayısal olarak eşittir X Eğrinin oluşturduğu eğrisel yamuğun ağırlık merkezinin koordinatı F(X) (benzer bir özellik ayrı bir SV için de ortaya çıkar), bu nedenle bu ana "dağılımın ağırlık merkezi" adı verilebilir. Üçüncüsü, bu anın dikkat çekici matematiksel özellikleri vardır ve bu özellikle ders sırasında netleşecektir, bu nedenle değeri merkezi momentlere ilişkin ifadelere dahil edilmiştir (bkz. (3.4.3) ve (3.4.4)).

Bu anın olasılık teorisinin teorik ve pratik problemleri için önemi ve dikkat çekici matematiksel özellikleri, literatürde "ilk başlangıç ​​momenti" adlandırma ve ismine ek olarak az çok başka adlandırma ve adların da kullanılmasına yol açmıştır. kullanışlı ve bahsi geçen özellikleri yansıtıyor. En yaygın isimler şunlardır: beklenen değer, ortalama değer ve notasyonlar: M, M[X], . Çoğunlukla “matematiksel beklenti” terimini ve gösterimi kullanacağız. M; birden fazla SV varsa matematiksel beklentinin kimliğini belirten bir alt simge kullanacağız; örneğin, M X , M sen vesaire.

İkinci dereceden başlangıç ​​momenti (veya ikinci başlangıç ​​momenti) şuna eşittir:

Ayrık SV için;

, sürekli SV için;

bazen buna denir rastgele değişkenin ortalama karesi ve belirlenmiş M.

Üçüncü dereceden başlangıç ​​momenti (veya üçüncü başlangıç ​​momenti) şuna eşittir:

Ayrık SV için;

, sürekli SV için

bazen buna denir rastgele bir değişkenin ortalama küpü ve belirlenmiş M[X 3 ].

Başlangıç ​​noktalarını listelemeye devam etmenin bir anlamı yok. Düzen anlarının önemli yorumu üzerinde duralım k>1. SV ile birlikte olsun X bir de SV var e, Ve Y=X k (k=2, 3, ...). Bu eşitlik, rastgele değişkenlerin X Ve e SV'nin olması anlamında deterministik olarak bağlantılıdır X değerini alır X, kuzeydoğu e değerini alır y=x k(gelecekte SV'nin bu bağlantısı daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır). Daha sonra (3.4.1) ve (3.4.2)'ye göre

=M sen , k=2, 3, ...,

yani k SV'nin başlangıç ​​anı matematiksel beklentiye eşittir kBu rastgele değişkenin -inci kuvveti. Örneğin rastgele bir küpün kenar uzunluğunun üçüncü başlangıç ​​momenti, küpün hacminin matematiksel beklentisine eşittir. Anları kesin olarak anlama yeteneği matematiksel beklentiler- Matematiksel beklenti kavramının öneminin bir başka yönü.

Merkezi noktaları dikkate almaya devam edelim. Aşağıda açıklığa kavuşturulacağı gibi, merkezi anlar açıkça başlangıç ​​anları aracılığıyla ifade edildiğinden ve bunun tersi de geçerli olduğundan, merkezi anlara neden ihtiyaç duyulduğu ve ilk anların neden yeterli olmadığı sorusu ortaya çıkıyor. SV'yi ele alalım X(sürekli veya ayrık) ve birincisiyle ilgili başka bir SV Y Y=X+a, Nerede A 0 - rastgele değil gerçek Numara. Her değer X rastgele değişken X değere karşılık gelir y=x+a rastgele değişken e, dolayısıyla SV'nin dağılımı e SV dağılımıyla aynı şekle sahip olacaktır (ayrık durumda dağıtım poligonu veya sürekli durumda olasılık yoğunluğu ile ifade edilir) X, ancak x ekseni boyunca miktar kadar kaydırıldı A. Sonuç olarak, SV'nin ilk anları e SV'nin karşılık gelen anlarından farklı olacaktır X. Örneğin, görmek kolaydır M sen =m X +bir(birkaç dakika daha yüksek sipariş daha karmaşık ilişkilerle birbirine bağlıdır). Yani bunu belirledik Başlangıç ​​momentleri bir bütün olarak dağılımın kaymasına göre değişmez değildir. Dağılımı değil de x ekseninin başlangıcını yatay olarak bir miktar kaydırırsanız aynı sonuç elde edilecektir - A, yani Eşdeğer sonuç da geçerlidir: başlangıç ​​momentleri x ekseninin başlangıcındaki yatay kaymaya göre değişmez değildir.

Bir bütün olarak kaymalarına bağlı olmayan dağılımların özelliklerini tanımlamayı amaçlayan merkezi momentler bu dezavantajdan muaftır. Aslında (3.4.3) ve (3.4.4)'ten görülebileceği gibi, dağılım bir bütün olarak bir miktar değiştiğinde A veya aynısı, x ekseninin başlangıcını şu kadar kaydırmak - A, tüm değerler X Aynı olasılıklara sahip (ayrık durumda) veya aynı olasılık yoğunluğuna sahip (sürekli durumda), miktar kadar değişecektir A, ancak değer aynı miktarda değişecek M yani eşitliğin sağ tarafındaki parantezlerin değerleri değişmeyecektir. Böylece, merkezi momentler bir bütün olarak dağılımın kaymasına göre değişmez, ya da aynı şey, x ekseninin başlangıcındaki yatay kaymaya göre değişmez.İlk başlangıç ​​anının “merkez” olarak adlandırıldığı o günlerde bu anlara “merkez” adı da verildi. SV'nin merkezi anının olduğunu belirtmekte fayda var. X SV'nin karşılık gelen başlangıç ​​​​momenti olarak anlaşılabilir X 0 eşit

kuzeydoğu X 0 denir merkezli(SV'ye göre X) ve buna yol açan işleme, yani matematiksel beklentisinin bir rastgele değişkenden çıkarılmasına denir. merkezleme. Daha sonra göreceğimiz gibi bu kavram ve bu işlem ders boyunca faydalı olacaktır. Düzenin merkezi anına dikkat edin k>1 matematiksel beklenti (ortalama) olarak kabul edilebilir k merkezli SV'nin derecesi: .

Alt düzeylerdeki merkezi anları ayrı ayrı ele alalım. Sıfırıncı dereceden merkezi moment eşittir

, ayrık SV'ler için;

, sürekli SV için;

yani herhangi bir SV için olup bu SV'nin istatistiksel özellikleri hakkında herhangi bir bilgi taşımaz.

Birinci dereceden merkezi moment (veya birinci merkezi moment) şuna eşittir:

ayrık SV için;

sürekli CB için; yani herhangi bir SV için olup bu SV'nin istatistiksel özellikleri hakkında herhangi bir bilgi taşımaz.

İkinci dereceden merkezi moment (veya ikinci merkezi moment) şuna eşittir:

ayrık SV için;

, sürekli SV için.

Aşağıda açıklığa kavuşturulacağı gibi, bu nokta olasılık teorisindeki en önemli noktalardan biridir, çünkü SV değerlerinin dağılımının (veya dağılımının) ölçüsünün bir özelliği olarak kullanılır, bu nedenle sıklıkla buna denir. dağılım ve belirlenmiş D X. Bunun ortalanmış SV'nin ortalama karesi olarak anlaşılabileceğini unutmayın.

Üçüncü dereceden merkezi moment (üçüncü merkezi moment) şuna eşittir:

Matematiksel beklentiyi bulalım X 2 :

M(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

Bunu görüyoruz M(X 2) çok daha fazlası M(X). Bunun nedeni kareyi aldıktan sonra olası anlam miktarları X 2 değere karşılık gelir X=100 büyüklük X, 10.000'e eşit oldu, yani önemli ölçüde arttı; bu değerin olasılığı düşüktür (0,01).

Böylece, geçiş M(X)İle M(X 2) büyük ve düşük olasılığa sahip olası değerin matematiksel beklenti üzerindeki etkisini daha iyi hesaba katmayı mümkün kıldı. Tabii eğer değer X birkaç büyük ve olası olmayan değere sahipti, ardından değere geçiş X 2 ve hatta daha fazlası miktarlara göre X 3 , XŞekil 4, vb., bu büyük ancak olası olmayan değerlerin "rolünü daha da güçlendirmemize" olanak tanıyacaktır. Bu nedenle bütünün matematiksel beklentisini dikkate almanın tavsiye edilebilir olduğu ortaya çıkıyor. pozitif derece rastgele değişken (yalnızca ayrık değil aynı zamanda sürekli).

k sırasının ilk anı rastgele değişken X miktarın matematiksel beklentisi denir X:

v k = M(X).

Özellikle,

v 1 = M(X),v 2 = M(X 2).

Bu noktaları kullanarak varyansı hesaplama formülü D(X)= M(X 2)- [M(X)] 2 şu şekilde yazılabilir:

D(X)= v 2 – . (*)

Rastgele değişkenin momentlerine ek olarak X sapma anlarının dikkate alınması tavsiye edilir X-M(X).

Bir X rastgele değişkeninin k mertebesindeki merkezi moment, miktarın matematiksel beklentisidir.(HM(X)):

Özellikle,

Başlangıç ​​ve merkezi anları birbirine bağlayan ilişkiler kolayca türetilir. Örneğin, (*) ve (***)'yi karşılaştırırsak şunu elde ederiz:

m2=v 2 – .

Merkezi momentin tanımına dayanarak ve matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak aşağıdaki formülleri elde etmek zor değildir:

m3=v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,

m4= v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .

Daha yüksek dereceli momentler nadiren kullanılır.

Yorum. Burada tartışılan noktalara denir teorik. Teorik momentlerin aksine, gözlemsel verilerden hesaplanan momentlere denir. ampirik. Ampirik momentlerin tanımları aşağıda verilmiştir (bkz. Bölüm XVII, § 2).

Görevler

1. İki bağımsız rastgele değişkenin varyansları bilinmektedir: D(X) = 4, D(e)=3. Bu büyüklüklerin toplamının varyansını bulun.

Temsilci 7.

2. Rastgele bir değişkenin varyansı X 5'e eşittir. Aşağıdaki büyüklüklerin varyansını bulun: a) X-1; b) -2 X; V) ZH + 6.

Temsilci a) 5; b) 20; 45.

3. Rastgele değer X yalnızca iki değer alır: +C ve -C, her birinin olasılığı 0,5'tir. Bu miktarın varyansını bulun.

Temsilci İLE 2 .

4. dağıtım yasasını bilerek

Temsilci 67,6404.

5. Rastgele değer X iki olası değer alabilir: X 1 olasılıkla 0,3 ve X 0,7 olasılıkla 2 ve X 2 >x 1 . Bulmak X 1 ve X 2, bunu bilerek M(X) = 2, 7i D(X) =0,21.

Temsilci X 1 = 2, X 2 = 3.

6. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X-olayların gerçekleşme sayısı A ikiye bağımsız testler, Eğer M(X) = 0, 8.

Not. Yazmak binom kanunu Bir olayın meydana gelme sayısının olasılık dağılımı A iki bağımsız denemede.

Temsilci 0, 48.

7. Bağımsız olarak çalışan dört cihazdan oluşan bir cihaz test ediliyor. Cihaz arızası olasılıkları aşağıdaki gibidir: R 1 = 0,3; R 2 = 0,4; P 3 = 0,5; R 4 = 0,6. Arızalı cihaz sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Temsilci 1,8; 0,94.

8. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X- Olayın 100 bağımsız denemede meydana gelme sayısı; her birinde olayın meydana gelme olasılığı 0,7'dir.

Temsilci 21.

9. Rastgele bir değişkenin varyansı D(X) = 6,25. Standart sapmayı bulun ( X).

Temsilci 2, 5.

10. Rastgele değişken dağıtım yasasıyla belirlenir

Bu değerin standart sapmasını bulun.

Temsilci 2, 2.

11. Aynı şekilde dağıtılan, karşılıklı bağımsız 9 rastgele değişkenin her birinin varyansı 36'ya eşittir. Bu değişkenlerin aritmetik ortalamasının varyansını bulun.

Temsilci 4.

12. Birbiriyle aynı şekilde dağıtılan, karşılıklı bağımsız 16 rastgele değişkenin her birinin standart sapması 10'dur. Bu değişkenlerin aritmetik ortalamasının standart sapmasını bulun.

Temsilci 2,5.

Dokuzuncu Bölüm

BÜYÜK SAYILAR YASASI

Ön açıklamalar

Zaten bilindiği gibi, test sonucunda bir rastgele değişkenin olası değerlerden hangisini alacağını önceden güvenle tahmin etmek imkansızdır; dikkate alınamayan birçok rastgele nedene bağlıdır. Öyle görünüyor ki, bu anlamda her bir rastgele değişken hakkında çok az bilgiye sahip olduğumuz için, davranış kalıplarını ve toplamları yeterince belirlemek pek mümkün değil. çok sayıda rastgele değişkenler. Aslında, bu doğru değil. Belli nispeten geniş koşullar altında, yeterince fazla sayıda rastgele değişkenin genel davranışının neredeyse rastgele karakterini kaybettiği ve doğal hale geldiği ortaya çıktı.

Uygulama açısından, birçok rastgele nedenin birleşik eyleminin, neredeyse şanstan bağımsız bir sonuca yol açtığı koşulları bilmek çok önemlidir, çünkü bu, kişinin olayların gidişatını öngörmesine izin verir. Bu koşullar aşağıdaki teoremlerde belirtilmiştir: yaygın isim kanun büyük sayılar. Bunlara Chebyshev ve Bernoulli'nin teoremleri de dahildir (burada tartışılmayan başka teoremler de vardır). Chebyshev'in teoremi en çok Genel hukuk büyük sayılarda Bernoulli teoremi en basit olanıdır. Bu teoremleri kanıtlamak için Chebyshev eşitsizliğini kullanacağız.

Chebyshev eşitsizliği

Chebyshev eşitsizliği kesikli ve sürekli rastgele değişkenler için geçerlidir. Basitlik açısından kendimizi bu eşitsizliği kesikli nicelikler için kanıtlamakla sınırlıyoruz.

Ayrık bir rastgele değişken düşünün X, dağıtım tablosu tarafından belirtilir:

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının aşmama olasılığını tahmin etme görevini kendimize koyalım. mutlak değer pozitif sayı e. Eğer e yeterince küçükse, o zaman olasılığını tahmin edeceğiz X matematiksel beklentisine oldukça yakın değerler alacaktır. P. L. Chebyshev, ilgilendiğimiz tahmini vermemize olanak tanıyan bir eşitsizliği kanıtladı.

Chebyshev eşitsizliği. Bir X rastgele değişkeninin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının pozitif bir e sayısından daha az olma olasılığı aşağıdakilerden daha az değildir: 1-D(X)/e 2 :

R(|X-M(X)|< e ) 1-D(X)/e 2 .

Kanıt. Eşitsizliklerin uygulanmasından oluşan olaylardan bu yana |X-M(X)| Ve |X-M(X)| e, zıt ise olasılıklarının toplamı bire eşittir, yani.