10. sınıfta cebir dersi ve sunumu: "Monotonluk için bir fonksiyonun araştırılması. Araştırma algoritması"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Azalan ve artan fonksiyonlar.
2. Bir fonksiyonun türevi ile monotonluğu arasındaki ilişki.
3. Monotonlukla ilgili iki önemli teorem.
4. Örnekler.

Arkadaşlar, daha önce birçok şeye baktık. çeşitli işlevler ve grafiklerini oluşturdular. Şimdi dikkate aldığımız ve dikkate almaya devam edeceğimiz tüm işlevler için işe yarayan yeni kuralları tanıtalım.

Azalan ve artan fonksiyonlar

Bir fonksiyon, her x değerinin tek bir y değeriyle ilişkilendirildiği bir y= f(x) uyumudur.

Bazı fonksiyonların grafiğine bakalım:

Grafiğimiz şunu gösteriyor: x ne kadar büyük olursa, y o kadar küçük olur. O halde azalan bir fonksiyon tanımlayalım. Bir fonksiyona azalan denirse daha yüksek değer argüman eşleşmeleri daha düşük değer işlevler.

Eğer x2 > x1 ise f(x2) Şimdi bu fonksiyonun grafiğine bakalım:
Bu grafik, x ne kadar büyükse y'nin de o kadar büyük olduğunu gösterir. O halde artan bir fonksiyon tanımlayalım. Argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyona artan denir.
Eğer x2 > x1 ise f(x2 > f(x1) veya: x ne kadar büyükse, y de o kadar büyüktür.

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa buna denir. bu aralıkta monotondur.

Bir fonksiyonun türevi ile monotonluğu arasındaki ilişki

Teğetlerimize bakarsanız veya görsel olarak başka bir teğet çizerseniz, teğet ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açının dar olacağını fark edeceksiniz. Bu, tanjantın pozitif olduğu anlamına gelir eğim. Teğet eğim değere eşit teğet noktasının apsisinde türev. Dolayısıyla grafiğimizdeki tüm noktalarda türevin değeri pozitiftir. Artan bir fonksiyonun gerçekleşmesi için aşağıdaki eşitsizlik: f"(x) ≥ 0, herhangi bir x noktası için.

Arkadaşlar, şimdi bazı azalan fonksiyonların grafiğine bakalım ve fonksiyonun grafiğine teğetler oluşturalım.

Teğetlere bakalım ve görsel olarak başka bir teğet çizelim. Teğet ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açının geniş olduğunu fark edeceğiz, bu da teğetin negatif bir eğime sahip olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla grafiğimizdeki tüm noktalarda türevin değeri negatiftir. Azalan bir fonksiyon için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: f"(x) ≤ 0, herhangi bir x noktası için.

Dolayısıyla bir fonksiyonun monotonluğu türevin işaretine bağlıdır:

Bir fonksiyon bir aralıkta artıyorsa ve bu aralıkta türevi varsa bu türev negatif olmayacaktır.

Bir fonksiyon bir aralıkta azalıyorsa ve bu aralıkta türevi varsa bu türev pozitif olmayacaktır.

Önemli böylece fonksiyonu değerlendirdiğimiz aralıklar açık olur!

Monotonlukla ilgili iki önemli teorem

Teorem 1. Açık X aralığının tüm noktalarında f'(x) ≥ 0 eşitsizliği geçerliyse (ve türevin sıfıra eşitliği ya tutmaz ya da tutar, ancak yalnızca sonlu küme puan), o zaman y= f(x) fonksiyonu X aralığında artar.

Teorem 2. Eğer f'(x) ≤ 0 eşitsizliği açık bir X aralığının tüm noktalarında geçerliyse (ve türevin sıfıra eşitliği ya geçerli değil ya da geçerli, ancak yalnızca sonlu bir nokta kümesinde), o zaman y= f(x) fonksiyonu X aralığında azalır.

Teorem 3. Açık aralık X'in tüm noktalarında eşitlik varsa
f’(x)= 0 ise y= f(x) fonksiyonu bu aralıkta sabittir.

Bir fonksiyonun monotonluk açısından incelenmesine örnekler

1) y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 fonksiyonunun tüm sayı doğrusunda arttığını kanıtlayın.

Çözüm: Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. X'in derecesi çift olduğuna göre, o zaman güç fonksiyonu yalnızca kabul eder pozitif değerler. O zaman herhangi bir x için y" > 0 olur, yani Teorem 1'e göre fonksiyonumuz tüm sayı doğrusunda artar.

2) Fonksiyonun azalan olduğunu kanıtlayın: y= sin(2x) - 3x.

Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= 2cos(2x) - 3.
Eşitsizliği çözelim:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Çünkü -1 ≤ cos(x) ≤ 1, yani eşitsizliğimiz herhangi bir x için sağlanırsa, Teorem 2'ye göre y= sin(2x) - 3x fonksiyonu azalır.

3) Fonksiyonun monotonluğunu inceleyin: y= x 2 + 3x - 1.

Çözüm: Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= 2x + 3.
Eşitsizliği çözelim:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
O zaman fonksiyonumuz x ≥ -3/2 için artar, x ≤ -3/2 için azalır.
Cevap: x ≥ -3/2 için fonksiyon artar, x ≤ -3/2 için fonksiyon azalır.

4) Fonksiyonun monotonluğunu inceleyin: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Çözüm: Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Eşitsizliği çözelim: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Eşitsizliğimiz sıfırdan büyük veya sıfıra eşit:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Eşitsizliği çözelim:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ama bu imkansız çünkü karekök sadece pozitif ifadeler için tanımlanmıştır, yani fonksiyonumuzun azalan aralıkları yoktur.
Cevap: x ≥ 1/3 için fonksiyon artar.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Monoton fonksiyon bir fonksiyondur artış işareti değiştirmez, yani ya her zaman negatif değildir ya da her zaman pozitif değildir. Ayrıca artış sıfır değilse fonksiyon çağrılır. kesinlikle monoton. Monoton fonksiyon aynı yönde değişen fonksiyondur.

Daha büyük bir argüman değeri daha büyük bir fonksiyon değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon artırılır. Bir argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, fonksiyon azalır.

O halde fonksiyon verilsin.

(Kesinlikle) artan veya azalan bir fonksiyona (kesinlikle) monotonik denir.

ekstremum'un tanımı

Bir y = f(x) fonksiyonunun, x1 için belirli bir aralıkta arttığı (azaldığı) söylenir.< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Türevlenebilir fonksiyon y = f(x) bir aralıkta artarsa ​​(azalırsa), bu aralıktaki türevi f "(x) > 0

(f"(x)< 0).

Eğer xо noktasının f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо) eşitsizliğine sahip olduğu bir komşuluğu varsa, xо noktasına bir f(x) fonksiyonunun yerel maksimum (minimum) noktası denir. )) tüm noktalar için doğrudur.

Maksimum ve minimum noktalara ekstrem noktalar denir ve fonksiyonun bu noktalardaki değerlerine ekstremum denir.

Ekstrem noktalar

Bir ekstremum için gerekli koşullar. Xо noktası f(x) fonksiyonunun uç noktası ise, o zaman ya f "(xо) = 0 ya da f (xо) mevcut değildir. Bu tür noktalara kritik denir ve fonksiyonun kendisi de kritik nokta azimli. Bir fonksiyonun ekstremum değerleri kritik noktaları arasında aranmalıdır.

İlk yeterli koşul. Kritik nokta xo olsun. Eğer f "(x), xo noktasından geçerken işareti artıdan eksiye değiştirirse, o zaman xo noktasında fonksiyonun bir maksimumu vardır, aksi takdirde bir minimumu vardır. Kritik noktadan geçerken türev işareti değiştirmezse, o zaman xo noktasında hiçbir ekstremum yoktur.

İkinci yeterli koşul. f(x) fonksiyonunun xо noktası civarında bir f " (x) türevi ve bizzat xо noktasında ikinci bir türevi olsun. Eğer f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Bir parça üzerinde y = f(x) fonksiyonu minimum veya maksimum değerine kritik noktalarda veya parçanın uçlarında ulaşabilir.

7. Dışbükeylik aralıkları, içbükeylik fonksiyonları .Bükülme noktaları.

Fonksiyonun grafiğinin olduğunu göstermeliyiz.

bu teğetin altında yatıyor, yani aynı değerde eğrinin ordinatı.

tanjantın ordinatından küçük olacaktır. Bir fonksiyonun dönüm noktası Bu terimin başka anlamları da var, bkz.

Bükülme noktası

Bir fonksiyonun iç noktasının dönüm noktası tanım alanı Bu noktada sürekli olan, bu noktada sonlu veya belirli bir işaretli sonsuz türev bulunan, aynı anda yukarı doğru katı dışbükeylik aralığının sonu ve aşağıya doğru katı dışbükeylik aralığının başlangıcıdır veya tam tersi olur. Resmi olmayan Bu durumda mesele şu ki

dönüm noktası

Bir fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum aralıklarının bulunması şu şekildedir: bağımsız bir görev ve özellikle diğer görevlerin en önemli kısmı, tam fonksiyon çalışması. İlk bilgiler Fonksiyonun artış, azalış ve ekstremum değerleri aşağıda verilmiştir. türev üzerine teorik bölümÖn çalışma için şiddetle tavsiye ettiğim (veya tekrarlama)– ayrıca aşağıdaki materyalin aynı temele dayanması nedeniyle esasen türev, bu makalenin uyumlu bir devamı niteliğindedir. Ancak zaman kısaysa, bugünkü dersten alınan örneklerin tamamen resmi bir şekilde uygulanması da mümkündür.

Ve bugün havada nadir görülen bir birlik ruhu var ve orada bulunan herkesin arzuyla yandığını doğrudan hissedebiliyorum. Türevini kullanarak bir fonksiyonu keşfetmeyi öğrenin. Bu nedenle makul, iyi, ebedi terminoloji hemen monitör ekranlarınızda belirir.

Ne için? Sebeplerden biri en pratik olanıdır: böylece belirli bir görevde genel olarak sizden ne istendiğinin netleşmesi için!

Fonksiyonun monotonluğu. Bir fonksiyonun ekstremum noktaları ve ekstremumları

Biraz fonksiyon düşünelim. Basitçe söylemek gerekirse, onun olduğunu varsayıyoruz. sürekli tüm sayı doğrusunda:

Her ihtimale karşı, özellikle yeni tanışan okuyucular için olası yanılsamalardan bir an önce kurtulalım. fonksiyonun sabit işaret aralıkları. Şimdi biz İLGİLİ DEĞİL, fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl yerleştirildiği (eksenin kesiştiği yerde yukarıda, aşağıda). İkna edici olmak için eksenleri zihinsel olarak silin ve bir grafik bırakın. Çünkü ilginin yattığı yer burası.

İşlev artar bir aralıkta, eğer bu aralığın herhangi iki noktası için, ilişkiyle bağlantılı eşitsizlik doğrudur. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "aşağıdan yukarıya" doğru gider. Gösterim işlevi aralık boyunca büyür.

Aynı şekilde, fonksiyon azalır Belirli bir aralığın herhangi iki noktası için eşitsizlik doğru olacak şekilde bir aralıkta. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "yukarıdan aşağıya" doğru gider. Fonksiyonumuz aralıklarla azalır .

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa buna denir. kesinlikle monoton bu aralıkta. Monotonluk nedir? Kelimenin tam anlamıyla alın – monotonluk.

Ayrıca tanımlayabilirsiniz azalmayan işlev (ilk tanımda rahat durum) ve artmayan fonksiyon (2. tanımda yumuşatılmış durum). Bir aralıkta azalmayan veya artmayan bir fonksiyona, belirli bir aralıkta monoton fonksiyon denir (katı monotonluk - özel durum“sadece” monotonluk).

Teori aynı zamanda yarım aralıklar, bölümler de dahil olmak üzere bir fonksiyonun artışını/azalışını belirlemeye yönelik diğer yaklaşımları da dikkate alır, ancak başınıza yağ-yağ-yağ dökmemek için kategorik tanımlarla açık aralıklarla çalışmayı kabul edeceğiz. - bu daha açık ve birçok çözümü çözmek için pratik problemler oldukça yeterli.

Böylece, makalelerimde "bir fonksiyonun monotonluğu" ifadesi neredeyse her zaman gizlenecek aralıklar katı monotonluk(kesinlikle artan veya kesinlikle azalan fonksiyon).

Bir noktanın mahallesi. Ardından öğrencilerin bulabildikleri her yere kaçtıkları ve köşelerde dehşet içinde saklandıkları sözler. ...her ne kadar gönderiden sonra Cauchy sınırları Muhtemelen artık saklanmıyorlar, sadece hafifçe titriyorlar =) Merak etmeyin, artık teoremlerin kanıtı olmayacak matematiksel analiz– Tanımları daha kesin bir şekilde formüle etmek için çevreye ihtiyacım vardı ekstrem noktalar. Hatırlayalım:

Bir noktanın mahallesi içeren aralığa denir bu nokta kolaylık sağlamak için aralığın genellikle simetrik olduğu varsayılır. Örneğin bir nokta ve onun standart komşuluğu:

Aslında tanımlar:

Nokta denir kesin maksimum nokta, Eğer var onun mahallesi, herkes için değerleri noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. bizim spesifik örnek mesele bu.

Nokta denir kesin minimum nokta, Eğer var onun mahallesi, herkes için değerleri noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. Çizimde “a” noktası var.

Not : Komşuluk simetrisi gerekliliği hiç de gerekli değildir. Ayrıca önemli varoluşun gerçeğiçevre (minik, hatta mikroskobik bile), tatmin edici belirtilen koşullar

noktalar denir kesinlikle ekstremum noktalar ya da sadece ekstrem noktalar işlevler. Yani maksimum puanlar ve minimum puanlar için genelleştirilmiş bir terimdir.

“Aşırı” kelimesini nasıl anlıyoruz? Evet, monotonluk kadar doğrudan. Hız trenlerinin uç noktaları.

Monotonluk durumunda olduğu gibi, gevşek varsayımlar mevcuttur ve teoride daha da yaygındır. (tabii ki, dikkate alınan katı davalar da bu kapsamdadır!):

Nokta denir maksimum nokta, Eğer varçevresi öyle herkes için
Nokta denir minimum puan, Eğer varçevresi öyle herkes için Bu mahallenin değerleri, eşitsizliği barındırıyor.

Son iki tanıma göre, sabit bir fonksiyonun (veya bir fonksiyonun "düz bölümünün") herhangi bir noktasının hem maksimum hem de minimum nokta olarak kabul edildiğini unutmayın! Bu arada fonksiyon hem artmayan hem de azalmayan, yani monotondur. Bununla birlikte, bu düşünceleri teorisyenlere bırakacağız, çünkü pratikte neredeyse her zaman geleneksel "tepeler" ve "oyuklar" (çizime bakınız) benzersiz bir "tepenin kralı" veya "bataklığın prensesi" ile düşünürüz. Bir çeşitlilik olarak ortaya çıkar uç, yukarı veya aşağı yönlendirilmiş, örneğin noktadaki fonksiyonun minimumu.

Ah, kraliyetten bahsetmişken:
– anlamı denir maksimum işlevler;
– anlamı denir minimum işlevler.

Ortak ad – aşırılıklar işlevler.

Lütfen sözlerinize dikkat edin!

Ekstrem noktalar– bunlar “X” değerleridir.
Aşırılıklar– “oyun” anlamları.

! Not : Bazen listelenen terimler doğrudan fonksiyonun KENDİSİNİN GRAFİĞİ üzerinde yer alan “X-Y” noktalarına atıfta bulunur.

Bir fonksiyon kaç ekstrema sahip olabilir?

Yok, 1, 2, 3,... vb. sonsuza dek. Örneğin sinüsün sonsuz sayıda minimum ve maksimum değeri vardır.

ÖNEMLİ!"Maksimum fonksiyon" terimi aynı değil dönem " maksimum değer işlevler." Değerin yalnızca yerel mahallede maksimum olduğunu ve sol üstte "daha havalı yoldaşların" bulunduğunu fark etmek kolaydır. Aynı şekilde “minimum işlev” ile “minimum işlev” aynı şey değildir. minimum değer fonksiyonlar” ve çizimde değerin yalnızca belirli bir alanda minimum olduğunu görüyoruz. Bu bakımdan ekstrem noktalara da denir. yerel ekstremum noktaları ve ekstremum – yerel aşırılıklar . Yakınlarda yürürler ve dolaşırlar ve küresel kardeşler. Yani herhangi bir parabolün tepe noktasında küresel minimum veya küresel maksimum. Ayrıca, aşırı uç türleri arasında ayrım yapmayacağım ve açıklama daha çok genel eğitim amaçlı olarak dile getirildi - "yerel"/"küresel" ek sıfatları sizi şaşırtmamalı.

Teoriye yaptığımız kısa geziyi bir deneme çekimiyle özetleyelim: "Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulma" görevi ne anlama geliyor?

İfade sizi şunu bulmaya teşvik ediyor:

– artan/azalan fonksiyon aralıkları (azalmayan, artmayan çok daha az sıklıkla görülür);

– maksimum ve/veya minimum puanlar (varsa). Başarısızlığı önlemek için minimumları/maksimumları kendiniz bulmak daha iyidir ;-)

Bütün bunlar nasıl belirlenir? Türev fonksiyonunu kullanma!

Artan, azalan aralıklar nasıl bulunur?
Fonksiyonun ekstrem noktaları ve ekstremumları?

Aslında pek çok kural zaten biliniyor ve anlaşılıyor. türevin anlamı hakkında ders.

Teğet türev boyunca fonksiyonun arttığına dair sevindirici bir haber getiriyor tanım alanı.

Kotanjant ve türevi ile durum tam tersidir.

Ark sinüs aralık boyunca artar - buradaki türev pozitiftir: .
Fonksiyon tanımlı fakat türevlenebilir olmadığında. Ancak kritik noktada sağdan türev ve sağdan teğet vardır ve diğer kenarda da bunların sol yönlü karşılıkları vardır.

Ark kosinüs ve türevi için de benzer akıl yürütmenin sizin için çok zor olmayacağını düşünüyorum.

Yukarıdaki durumların tümü, bunların çoğu tablosal türevler, hatırlatırım, doğrudan şuradan takip edin türev tanımları.

Neden bir fonksiyonu türevini kullanarak araştıralım?

Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediğini daha iyi anlamak için: "aşağıdan yukarıya" gittiği yer, "yukarıdan aşağıya" gittiği yer, minimum ve maksimumlara ulaştığı yer (eğer ulaşıyorsa). Tüm fonksiyonlar o kadar basit değildir; çoğu durumda belirli bir fonksiyonun grafiği hakkında hiçbir fikrimiz yoktur.

Daha anlamlı örneklere geçip bunları düşünmenin zamanı geldi. Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulmak için algoritma:

Örnek 1

Fonksiyonun artış/azalış aralıklarını ve ekstremumlarını bulun

Çözüm:

1) İlk adım bulmaktır bir fonksiyonun alanı ve ayrıca kesme noktalarını (varsa) not edin. İÇİNDE bu durumda fonksiyon tüm sayı doğrusunda süreklidir ve bu eylem V belli bir dereceye kadar resmen. Ancak bazı durumlarda burada ciddi tutkular alevlenir, bu yüzden paragrafı küçümsemeden ele alalım.

2) Algoritmanın ikinci noktası şundan kaynaklanmaktadır:

bir ekstremum için gerekli koşul:

Bir noktada bir ekstremum varsa o zaman değer de mevcut değildir.

Sonu kafanız mı karıştı? “Modül x” fonksiyonunun ekstremumu .

Şart gerekli ama yeterli değil ve bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla eşitlikten fonksiyonun noktasında maksimum veya minimuma ulaştığı sonucu henüz çıkmaz. Klasik örnek Yukarıda zaten vurgulanmıştır - bu kübik bir parabol ve onun kritik noktasıdır.

Ama öyle de olsa, gerekli koşul ekstremum şüpheli noktaları bulma ihtiyacını belirler. Bunu yapmak için türevi bulun ve denklemi çözün:

İlk makalenin başında fonksiyon grafikleri hakkında Bir örnek kullanarak hızlı bir şekilde parabolün nasıl oluşturulacağını anlattım. : “...birinci türevi alıp sıfıra eşitliyoruz: ...Yani denklemimizin çözümü: - parabolün tepe noktası tam da bu noktada...”. Sanırım artık herkes parabolün tepe noktasının neden tam olarak bu noktada bulunduğunu anladı =) Genel olarak burada da benzer bir örnekle başlamalıyız ama bu çok basit (bir çaydanlık için bile). Ayrıca dersin en sonunda bir analog var. bir fonksiyonun türevi. Bu nedenle dereceyi artıralım:

Örnek 2

Fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Eksiksiz çözüm ve dersin sonunda görevin yaklaşık son örneği.

Kesirli-rasyonel fonksiyonlarla uzun zamandır beklenen buluşma anı geldi:

Örnek 3

Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu keşfedin

Bir ve aynı görevin ne kadar değişken biçimde yeniden formüle edilebileceğine dikkat edin.

Çözüm:

1) Fonksiyon noktalarda sonsuz süreksizliklere maruz kalır.

2) Kritik noktaları tespit ediyoruz. Birinci türevi bulup sıfıra eşitleyelim:

Denklemi çözelim. Bir kesrin payı sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşit:

Böylece üç kritik nokta elde ediyoruz:

3) Tespit edilen TÜM noktaları sayı doğrusu üzerinde çizeriz ve aralık yöntemi TÜREVİN işaretlerini tanımlarız:

Aralıkta bir nokta alıp türevin değerini hesaplamanız gerektiğini size hatırlatırım. ve işaretini belirleyin. Saymak bile değil, sözlü olarak "tahmin etmek" daha karlı. Örneğin aralığa ait bir noktayı alalım ve yerine koyma işlemini gerçekleştirelim: .

Dolayısıyla iki "artı" ve bir "eksi" bir "eksi" verir, bu da türevin tüm aralık boyunca negatif olduğu anlamına gelir.

Anladığınız gibi eylemin altı aralığın her biri için gerçekleştirilmesi gerekiyor. Bu arada, pay faktörünün ve paydanın herhangi bir aralıktaki herhangi bir nokta için kesinlikle pozitif olduğunu ve bunun görevi büyük ölçüde basitleştirdiğini unutmayın.

Yani türev bize FONKSİYONUN KENDİSİNİN şu kadar arttığını söyledi: ve kadar azalır. Aynı türdeki aralıkları birleştirme simgesiyle bağlamak uygundur.

Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada:
Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada:

İkinci değeri neden yeniden hesaplamak zorunda olmadığınızı düşünün ;-)

Bir noktadan geçerken türev işaret değiştirmez, dolayısıyla fonksiyonun orada EKSTREMİ YOKTUR - hem azaldı hem de azalan kaldı.

! tekrarlayalım önemli nokta : noktalar kritik olarak kabul edilmez - bir işlev içerirler tanımlanmamış. Buna göre burada Prensipte hiçbir aşırılık olamaz(türev işaret değiştirse bile).

Cevap: fonksiyon şu kadar artar: ve azalır Fonksiyonun maksimum değerine ulaşıldığı noktada: , ve bu noktada – minimum: .

Monotonluk aralıkları ve ekstremum bilgisi, yerleşik bilgilerle birlikte asimptotlar zaten çok şey veriyor iyi gösteri O dış görünüş fonksiyon grafikleri. Ortalama eğitim seviyesine sahip bir kişi, bir fonksiyonun grafiğinin iki dikey asimptotu olduğunu sözlü olarak belirleyebilir ve eğik asimptot. İşte kahramanımız:

Çalışmanın sonuçlarını bu fonksiyonun grafiğiyle ilişkilendirmeyi bir kez daha deneyin.
Kritik noktada ekstremum yoktur ancak grafik bükülmesi(kural olarak benzer durumlarda olur).

Örnek 4

Fonksiyonun ekstremumunu bulun

Örnek 5

Fonksiyonun monotonluk aralıklarını, maksimumlarını ve minimumlarını bulun

…bugün neredeyse bir nevi “küpün içindeki X” tatiline benziyor....
Soooo, galeride kim bunun için içki içmeyi teklif etti? =)

Her görevin kendine özgü nüansları ve teknik incelikleri vardır ve bunlar dersin sonunda yorumlanır.

Sayısal küme X sayar simetrik varsa sıfıra göre negatif, yaniЄ X Anlam - X aynı zamanda sete ait X.

İşlev sen = fonksiyonun ikinci türevi(XX, sayar eşit X negatif, yaniЄ X, fonksiyonun ikinci türevi(X) = fonksiyonun ikinci türevi(-X).

sen eşit işlev grafik Oy eksenine göre simetriktir.

İşlev sen = fonksiyonun ikinci türevi(X), sette tanımlanan X, sayar garip yerine getirilirse aşağıdaki koşullar: a) birçok X sıfıra yakın simetrik; b) herkes için negatif, yaniЄ X, fonksiyonun ikinci türevi(X) = -fonksiyonun ikinci türevi(-X).

sen tek fonksiyon grafik orijine göre simetriktir.

İşlev en = fonksiyonun ikinci türevi(negatif, yani), negatif, yaniЄ X, isminde periyodik Açık X bir sayı varsa T (T ≠ 0) (dönem işlevleri) aşağıdaki koşulların karşılandığını kontrol edin:

• X - T Ve X + Tçoğundan X herkes için XЄ X;
• herkes için XЄ X, fonksiyonun ikinci türevi(X + T) = fonksiyonun ikinci türevi(X - T) = fonksiyonun ikinci türevi(X).

Durumunda T fonksiyonun periyodu, ardından formun herhangi bir sayısı mT, Nerede MЄ Z, M≠ 0, bu aynı zamanda bu fonksiyonun periyodudur. En küçüğü olumlu dönemler Belirli bir fonksiyonun (varsa) ana periyodu denir.

Durumunda T fonksiyonun ana periyoduysa, grafiğini oluşturmak için grafiğin bir kısmını uzunluğu belirleme alanının herhangi bir aralığına çizebilirsiniz. T ve sonra yap paralel aktarım grafiğin bu bölümü O ekseni boyunca X± T, ±2 T, ....

İşlev sen = fonksiyonun ikinci türevi(X), aşağıda sınırlı bir sette X A bu herkes için XЄ X, A ≤ fonksiyonun ikinci türevi(X). Küme üzerinde aşağıda sınırlı olan bir fonksiyonun grafiği X, tamamen düz çizginin üzerinde yer alır en = A(bu yatay bir çizgidir).

İşlev en = fonksiyonun ikinci türevi(negatif, yani), yukarıdan sınırlanmış bir sette X(bu sette tanımlanmalıdır), eğer bir sayı varsa İÇİNDE bu herkes için XЄ X, fonksiyonun ikinci türevi(X) ≤ İÇİNDE. X kümesinde üstten sınırlı bir fonksiyonun grafiği tamamen çizginin altında yer alır en = İÇİNDE(bu yatay bir çizgidir).

Dikkate alınan işlev sınırlı bir sette X(bu küme üzerinde tanımlanmalıdır) eğer bu küme üzerinde yukarıdan ve aşağıdan sınırlıysa yani şöyle sayılar varsa A Ve İÇİNDE bu herkes için XЄ X eşitsizlikler giderildi A ≤ fonksiyonun ikinci türevi(negatif, yani) ≤ B. Bir kümeye sınırlı olan bir fonksiyonun grafiği X, tamamen düz çizgiler arasında yer alır en = A Ve en = İÇİNDE(bunlar yatay çizgilerdir).

İşlev en = fonksiyonun ikinci türevi (X), kümede sınırlı kabul edilir X(bu sette tanımlanmalıdır), eğer bir sayı varsa İLE> 0, hangisi herhangi biri için negatif, yaniЄ X, │fonksiyonun ikinci türevi(X)│≤ İLE.

İşlev en = fonksiyonun ikinci türevi(X), XЄ X, isminde artan (azalmayan) bir alt kümede MİLE X herkes için ne zaman X 1 ve X 2 tanesi MÖyle ki X 1 < X 2, adil fonksiyonun ikinci türevi(X 1) < fonksiyonun ikinci türevi(X 2) (fonksiyonun ikinci türevi(X 1) ≤ fonksiyonun ikinci türevi(X 2)). Veya y işlevi çağrılır artan bir sette İLE, eğer bu kümedeki argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa.

İşlev en = fonksiyonun ikinci türevi(X), XЄX, çağrıldı azalan (artmayan) bir alt kümede MİLE X herkes için ne zaman X 1 ve X 2 tanesi MÖyle ki X 1 < X 2, adil fonksiyonun ikinci türevi(X 1) > fonksiyonun ikinci türevi(X 2) (fonksiyonun ikinci türevi(X 1) ≥ fonksiyonun ikinci türevi(X 2)). Veya işlev en kümede azalan denir İLE, eğer bu kümedeki argümanın daha büyük değeri fonksiyonun daha küçük değerine karşılık geliyorsa.

İşlev en = fonksiyonun ikinci türevi(negatif, yani), XЄ X, isminde monoton bir alt kümede MİLE X, eğer azalıyorsa (artmıyorsa) veya artıyorsa (azalmıyorsa) M.

Eğer fonksiyon en = fonksiyonun ikinci türevi(X), XЄ X, bir alt kümede azalıyor veya artıyor MİLE X, o zaman böyle bir işlev çağrılır kesinlikle monoton bir sette M.

Sayı M isminde fonksiyonun en büyük değeri settesin İLE, eğer bu sayı fonksiyonun belirli bir x değerindeki değeri ise 0 kümeden argümanİLEve K kümesindeki argümanın diğer değerleri için, y fonksiyonunun değeri sayıdan büyük değildirM.

Sayı M isminde en düşük değer setteki işlevler İLE, eğer bu sayı fonksiyonun belirli bir değerdeki değeri ise X kümeden 0 bağımsız değişken İLE ve kümedeki x argümanının diğer değerleri için İLE fonksiyon değerleri daha az sayı M.

Bir fonksiyonun temel özellikleri Çalışma ve araştırmaya başlamanın daha iyi olduğu yer, tanımı ve önemi budur. Grafiklerin nasıl gösterildiğini hatırlamalısınız temel işlevler. Ancak o zaman daha karmaşık grafikler oluşturmaya geçebilirsiniz. "Fonksiyonlar" konusunun ekonomi ve diğer bilgi alanlarında geniş uygulamaları vardır. Fonksiyonlar matematik dersinin tamamı boyunca incelenir ve incelenmeye devam edilir. yüksek öğretim kurumları . Burada fonksiyonlar birinci ve ikinci türevler kullanılarak incelenir.