Antiderivatif fonksiyonun değerleri arasındaki farkın geometrik anlamı. F`(x)=f(x) veya dF(x)=f(x)dx ise, F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

İntegral kavramının ortaya çıkışı, türevinden bir antiderivatif fonksiyon bulma ihtiyacının yanı sıra, iş miktarını, karmaşık şekillerin alanını, kat edilen mesafeyi, açıklanan eğrilerle özetlenen parametrelerle belirleme ihtiyacından kaynaklanıyordu. doğrusal olmayan formüllerle.

ve bu iş, kuvvet ve mesafenin çarpımına eşittir. Tüm hareketler gerçekleşirse sabit hız veya aynı kuvvetin uygulanmasıyla mesafe aşılırsa, o zaman her şey açıktır, sadece bunları çarpmanız gerekir. Bir sabitin integrali nedir? y=kx+c formundadır.

Ancak güç, çalışma boyunca ve bir tür doğal bağımlılıkla değişebilir. Hızın sabit olmaması durumunda kat edilen mesafenin hesaplanmasında da aynı durum ortaya çıkar.

Dolayısıyla integrale neden ihtiyaç duyulduğu açıktır. Bunu, bir fonksiyonun değerlerinin, bağımsız değişkenin sonsuz küçük bir artışıyla çarpımlarının toplamı olarak tanımlamak, tamamen açıklar. ana anlam bu kavram, üstte fonksiyonun çizgisiyle ve kenarlarda tanımın sınırlarıyla sınırlanan bir şeklin alanıdır.

Jean Gaston Darboux Fransız matematikçi 19. yüzyılın ikinci yarısında integralin ne olduğu çok açık bir şekilde açıklanmıştır. O kadar net ifade etti ki genel olarak bir okul çocuğunun bile bu konuyu anlaması zor olmayacaktı. genç sınıfları lise.

Diyelim ki herhangi bir fonksiyon var karmaşık şekil. Argümanın değerlerinin çizildiği koordinat ekseni küçük aralıklara bölünmüştür, ideal olarak bunlar sonsuz küçüktür, ancak sonsuzluk kavramı oldukça soyut olduğundan, değeri genellikle küçük olan küçük bölümleri hayal etmek yeterlidir. belirtilen Yunan mektubuΔ (delta).

Fonksiyonun küçük tuğlalara "doğranmış" olduğu ortaya çıktı.

Her argüman değeri, ilgili fonksiyon değerlerinin çizildiği ordinat eksenindeki bir noktaya karşılık gelir. Ancak seçilen alanın iki sınırı olduğundan, büyük ve küçük olmak üzere iki fonksiyon değeri de olacaktır.

Δ artışına göre daha büyük değerlerin çarpımlarının toplamına denir büyük miktar Darboux ve S olarak gösterilir. Buna göre sınırlı bir alandaki daha küçük değerlerin Δ ile çarpılması hep birlikte küçük bir Darboux toplamı s oluşturur. Sitenin kendisi benziyor dikdörtgen yamukçünkü fonksiyon çizgisinin eğriliği, artışı sonsuz küçük olduğunda ihmal edilebilir. Alanı bulmanın en kolay yolu şu şekildedir geometrik şekil- daha büyük olanın çarpımlarını toplamak ve daha küçük değerΔ-arttırma ve ikiye bölme ile çalışır, yani aritmetik ortalama olarak belirlenir.

Darboux integrali budur:

s=Σf(x) Δ - küçük miktar;

S= Σf(x+Δ)Δ büyük bir miktardır.

Peki integral nedir? Kare, bir çizgiyle sınırlı işlev ve tanım sınırları şuna eşit olacaktır:

∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c

Yani, büyük ve küçük Darboux toplamlarının aritmetik ortalaması, farklılaşma sırasında sıfırlanan sabit bir değerdir.

Bu kavramın geometrik ifadesine dayanarak şunu söyleyebiliriz: fiziksel anlam integral. Hız fonksiyonuyla özetlenen ve x ekseni boyunca zaman aralığıyla sınırlanan mesafe, kat edilen mesafenin uzunluğu olacaktır.

t1 ila t2 aralığında L = ∫f(x)dx,

f(x) hızın bir fonksiyonudur, yani zamanla değiştiği formüldür;

L - yol uzunluğu;

t1 - yolculuğun başlangıç ​​zamanı;

t2 yolculuğun bitiş zamanıdır.

İş miktarını belirlemek için tam olarak aynı prensip kullanılır; sadece apsis boyunca mesafe çizilir ve her belirli noktaya uygulanan kuvvet miktarı ordinat boyunca çizilir.

Her matematiksel eylemin ters bir eylemi vardır. Farklılaşma eylemi (fonksiyonların türevlerini bulma) için aynı zamanda ters bir eylem de vardır - entegrasyon. İntegral yoluyla, verilen türevinden veya diferansiyelinden bir fonksiyon bulunur (yeniden oluşturulur). Bulunan fonksiyon çağrılır antiderivatif.

Tanım. Türevlenebilir fonksiyon F(x) fonksiyonun antiderivatifi denir f(x) belirli bir aralıkta, eğer herkes içinse X bu aralıktan aşağıdaki eşitlik sağlanır: F'(x)=f(x).

Örnekler. Fonksiyonların ters türevlerini bulun: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) (x²)′=2x olduğundan, tanım gereği, F(x)=x² fonksiyonu, f(x)=2x fonksiyonunun ters türevi olacaktır.

2) (sin3x)'=3cos3x. Eğer f (x)=3cos3x ve F (x)=sin3x'i belirtirsek, ters türevin tanımı gereği elimizde: F′(x)=f (x) bulunur ve dolayısıyla F (x)=sin3x şöyle olur: f ( x)=3cos3x için bir terstürev.

Şunu unutmayın (sin3x +5 )′= 3cos3x, ve (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... genel olarak şunu yazabiliriz: (sin3x +C)′= 3cos3x, Nerede İLE- bazı devamlı. Bu örnekler, herhangi bir türevlenebilir fonksiyonun tek bir türevi olduğunda, türev alma eyleminin aksine, entegrasyon eyleminin belirsizliğini gösterir.

Tanım. Eğer fonksiyon F(x) fonksiyonun ters türevidir f(x) belirli bir aralıkta bu fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin kümesi şu şekilde olur:

F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.

f(x) fonksiyonunun söz konusu aralıktaki tüm F(x)+C ters türevlerinin kümesine denir belirsiz integral ve sembolüyle gösterilir ∫ (integral işareti). Yazın: ∫f (x) dx=F (x)+C.

İfade ∫f(x)dxşunu okuyun: "x'ten de x'e integral ef."

f(x)dx- integral ifadesi,

f(x)- integral işlevi,

X — entegrasyon değişkeni.

F(x)- bir fonksiyonun antiderivatifi f(x),

İLE- bazı sabit değerler.

Şimdi ele alınan örnekler şu şekilde yazılabilir:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

D işareti ne anlama geliyor?

D- diferansiyel işaret - ikili bir amacı vardır: ilk olarak, bu işaret integrali integral değişkeninden ayırır; ikincisi, bu işaretten sonra gelen her şey varsayılan olarak farklılaştırılır ve integrandla çarpılır.

Örnekler. İntegralleri bulun: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Diferansiyel simgesinden sonra D maliyetler XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Örnekle karşılaştırın 1).

Bir kontrol yapalım. F'(x)=(px²+C)'=p·(x²)′+C'=p·2x=2px=f (x).

4) Diferansiyel simgesinden sonra D maliyetler R. Bu, entegrasyon değişkeninin R ve çarpan X sabit bir değer olarak kabul edilmelidir.

∫ 2хрдр=р²х+С. Örneklerle karşılaştırın 1) Ve 3).

Bir kontrol yapalım. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Bir noktanın düz bir çizgi boyunca hareketini düşünelim. Zaman almasına izin ver T hareketin başlangıcından itibaren nokta belli bir mesafe kat etmiştir s(t). Daha sonra anlık hız v(t) fonksiyonun türevine eşit s(t), yani v(t) = s"(t).

Pratikte ortaya çıkıyor ters problem: belirli bir nokta hareketi hızında v(t) gittiği yolu bul s(t) yani böyle bir işlev bulun s(t), türevi şuna eşit olan v(t). İşlev s(t),Öyle ki s"(t) = v(t), fonksiyonun ters türevi olarak adlandırılır v(t).

Örneğin, eğer v(t) = аt, Nerede A– verilen numara, ardından fonksiyon
s(t) = (аt2) / 2v(t),Çünkü
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

İşlev F(x) fonksiyonun ters türevi denir f(x) bir süreliğine, eğer hepsi içinse X bu boşluktan F"(x) = f(x).

Örneğin, fonksiyon F(x) = günah x fonksiyonun ters türevidir f(x) = çünkü x,Çünkü (sin x)" = çünkü x; işlev F(x) = x 4/4 fonksiyonun ters türevidir f(x) = x 3, Çünkü (x 4/4)" = x 3.

Sorunu ele alalım.

Görev.

x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 – 4 fonksiyonlarının aynı f(x) = x 2 fonksiyonunun ters türevleri olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

1) F 1 (x) = x 3/3 olsun, o zaman F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x) olsun.

2) F 2 (x) = x 3/3 + 1, F" 2 (x) = (x 3/3 + 1)" = (x 3/3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Genel olarak, C'nin bir sabit olduğu herhangi bir x 3/3 + C fonksiyonu, x 2 fonksiyonunun bir ters türevidir. Bu, sabitin türevinin sıfır olmasından kaynaklanmaktadır. Bu örnek şunu gösteriyor: verilen fonksiyon antiderivatifi belirsiz bir şekilde belirlenir.

F 1 (x) ve F 2 (x) aynı f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun.

O halde F 1 "(x) = f(x) ve F" 2 (x) = f(x).

Farklarının türevi g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) sıfıra eşittir, çünkü g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f(x) = 0.

Belirli bir aralıkta g"(x) = 0 ise y = g(x) fonksiyonunun grafiğine bu aralığın her noktasındaki teğeti Ox eksenine paraleldir. Dolayısıyla y = fonksiyonunun grafiği g(x) Ox eksenine paralel düz bir çizgidir, yani g(x) = C, burada C bir miktar sabittir g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) bundan F 1 (x) = F 2 (x) + S sonucu çıkar.

Dolayısıyla, eğer F(x) fonksiyonu f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki ters türevi ise, o zaman tüm ters türev fonksiyonları f(x) F(x) + C biçiminde yazılır; burada C isteğe bağlı bir sabittir. .

Belirli bir f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatiflerinin grafiklerini ele alalım. Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri ise, o zaman bu fonksiyonun herhangi bir ters türevi, F(x)'e bir sabitin eklenmesiyle elde edilir: F(x) + C. y = F( fonksiyonlarının grafikleri x) + C, Oy ekseni boyunca kaydırılarak y = F(x) grafiğinden elde edilir. C'yi seçerek antiderivatifin grafiğinin belirli bir noktadan geçmesini sağlayabilirsiniz.

Antiderivatif bulma kurallarına dikkat edelim.

Belirli bir fonksiyonun türevini bulma işlemine ne ad verildiğini hatırlayın. farklılaşma. Ters işlem Verilen bir fonksiyonun terstürevini bulmaya denir entegrasyon(itibaren Latince kelime "eski haline getirmek").

Antitürev tablosu bazı işlevler için bir türev tablosu kullanılarak derlenebilir. Mesela bunu bilmek (çünkü x)" = -sin x, aldık (-cos x)" = sin x, buradan tüm antiderivatif fonksiyonların olduğu sonucu çıkar günah xşeklinde yazılır -çünkü x + C, Nerede İLE- devamlı.

Antiderivatiflerin bazı anlamlarına bakalım.

1) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.

2) İşlev: 1/x, x > 0. Terstürev: x + C'de.

3) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.

4) İşlev: eski. Terstürev: e x + C.

5) İşlev: günah x. Terstürev: -çünkü x + C.

6) İşlev: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Terstürev: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) İşlev: 1/(kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) İşlev: e kx + b, k ≠ 0. Terstürev: (1/k) e kx + b + C.

9) İşlev: günah (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (-1/k) çünkü (kx + b).

10) İşlev: cos (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) sin (kx + b).

Entegrasyon kuralları kullanılarak elde edilebilir farklılaşma kuralları. Bazı kurallara bakalım.

İzin vermek F(x) Ve G(x)– sırasıyla fonksiyonların antiderivatifleri f(x) Ve g(x) belli bir aralıkta. Daha sonra:

1) işlev F(x) ± G(x) fonksiyonun ters türevidir f(x) ± g(x);

2) işlev AF(x) fonksiyonun ters türevidir af(x).

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bazı aralık X. Eğer İçin herhangi bir xХ F"(x) = f(x), o zaman işlev F ismindeantiderivatifİçinişlevler X aralığında f. Terstürevİçinişlevler bulmayı deneyebilirsin...