Matematiksel model kavramı ve matematiksel modelleme. Matematiksel modellemenin tanımı ve amacı

S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

SİSTEM MODELLEME

öğretici

Federal kurum eğitim yoluyla

Durum eğitim kurumu daha yüksek mesleki eğitim

Ivanovo Devlet Kimyasal Teknoloji Üniversitesi

Uluslararası Üniversite iş ve yeni teknolojiler (enstitü)

S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

SİSTEM MODELLEME

yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri için.

Bobkov S.P. Sistemlerin modellenmesi: ders kitabı. ödenek / S.P. Bobkov,

İLE. Bytev; Ivan. durum kimyasal teknoloji üniversite – Ivanovo, 2008. – 156 s. -ISBN

Hedef öğretim yardımı– öğrencilere vermek genel fikir teknik ve teknik modellemenin modern yöntemleri hakkında ekonomik sistemler ve nesneler.

Kılavuzda genel konular ve modern metodolojik konular tartışılmaktadır.

modelleme teknolojisi, sürekli ve ayrık deterministik modeller

Nesnelerin ve sistemlerin bölümleri, ayrık ve sürekli zamanlı stokastik modeller. Olasılıksal özelliklere sahip sistemlerin simülasyon modelleme yöntemlerine çok dikkat edilmektedir. Diğer modelleme yaklaşımlarına genel bir bakış verilmektedir. karmaşık sistemler bilgi entropisi gibi, kullanım sinir ağları ve Petri ağları.

Ders kitabı 080801 “Uygulamalı Bilişim” ve 230201 uzmanlık alanlarında okuyan öğrencilere yöneliktir.

« Bilgi sistemleri ve teknoloji." Ayrıca kılavuz diğer uzmanlık ve alanlardaki öğrenciler için de faydalı olabilir.

Tablo 7. Il.92. Kaynakça: 10 başlık

Yazı işleri ve yayın konseyi Ivanov'un kararıyla yayınlandı.

Rusya Devlet Kimyasal Teknoloji Üniversitesi.

İnceleyenler:

Uygulamalı Matematik Bölümü, Ivanovo Devlet Enerji Üniversitesi; Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru V.A. Sokolov, (Yaroslavl Devlet Üniversitesi).

ISBN 5-9616-0268-6 © Yüksek Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Kurumu Ivanovo Devlet Kimya Teknolojisi Üniversitesi”, 2008

1.5. Matematiksel modelleme şeması kavramı. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Genel teknik matematiksel modeller oluşturmak. . . . . . . . . . . 13

1.7. Temel Kavramlar sistematik yaklaşım yaratılışına

matematiksel modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. DETERMİNİSTİK MODELLER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Teknik nesnelerin matematiksel modelleri. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Bileşen fonksiyonel denklemler nesneler. . . . . 20

2.1.2. Faz değişkenleri ve bunların analojileri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Topolojik denklemler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Teknik nesnelerin modellerini oluşturma örnekleri. . . . . . . 25

2.1.5. Teknolojik cihaz modelleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Sonlu durum makineleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Sonlu durum makinesi kavramı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Sonlu durum makinelerinin tanım yöntemleri ve sınıfları. . . . . . . . 32

2.2.3. Diğer sonlu durum makineleri türleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. STOKASTİK MODELLER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Markov rastgele süreçleri teorisinin unsurları. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Rastgele süreç kavramı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Ayrık Markov zincirleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Durağan olasılık dağılımı. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Sürekli Markov zincirleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. Denklemler A.N. Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Etkinlik akışları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Temel teori sıraya girme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Genelleştirilmiş blok şeması SMO. Seçenekler

ve özellikleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. Bekleme ve hasta istekleriyle açık uçlu QS. 58

3.2.3. Açık döngü QS'nin çeşitlerini sınırlayın. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4 Açık döngü QS'nin genel durumu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Kapalı QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Ağları sıraya alma

basit olay akışlarıyla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Olasılıksal otomatlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

GİRİİŞ

Modelleme, çevredeki dünya hakkında bilgi edinmenin ve kullanmanın evrensel bir yöntemidir. Modelleme, bir kişi tarafından her zaman amaçlı faaliyetlerde, özellikle de araştırmada kullanılır. Modern koşullarda, araçların gelişmesiyle birlikte matematiksel modellemenin rolü ve önemi artmaktadır. bilgisayar teknolojisi genellikle bilgisayar olarak adlandırılmaya başlandı.

Matematiksel (bilgisayar) modeller, mantıkları ve katı biçimsel doğaları nedeniyle, incelenen sistemlerin özelliklerini belirleyen ana faktörleri tanımlamayı ve bunların tepkilerini incelemeyi mümkün kılar. dış etkiler ve parametre değişiklikleri. Genellikle matematiksel modeller, doğal (fiziksel) modellere göre daha basit ve kullanımı daha uygundur. Gerçekte uygulanması zor veya imkansız olan hesaplamalı deneylerin yapılmasını mümkün kılarlar.

Temel Prensipleri Öğrenmek matematiksel modelleme teknik faaliyet alanlarındaki uzmanların eğitiminin ayrılmaz bir parçasıdır. Nesnelerin ve sistemlerin modellenmesinin temel yönlerinin incelenmesiyle ilgili disiplinler, federal eğitim standartlarının bileşenleri olarak ilgili müfredata dahil edilmesi zorunludur.

Bu eğitimin amacı modern modelleme yöntemlerinin tutarlı bir sunumudur. Kılavuz esas olarak “Bilgi Sistemleri” ve “Uygulamalı Bilişim (endüstri bazında) uzmanlık alanlarında ve alanlarında eğitim gören öğrencilere yöneliktir. teknik üniversiteler Yazarlar, kendilerini yalnızca bilgi sistemlerini dikkate almakla sınırlamamanın, aynı zamanda metne teknik ve teknik-ekonomik sistemlerin ve nesnelerin de dikkate alınmasının tavsiye edildiğini düşündüler.

Kılavuz materyali aşağıdaki şekilde yapılandırılmıştır. İlk bölümde genel konular ve modern modelleme metodolojisi, matematiksel modeller oluştururken sistem yaklaşımının kullanımı tartışılmaktadır. İkinci bölüm, nesne ve sistemlerin sürekli ve ayrık deterministik modellerinin değerlendirilmesine ayrılmıştır. Çeşitli fiziksel yapıdaki teknik nesnelerin modellerinin sentezinde ve analizinde analoji yönteminin kullanılması önerilmektedir. Üçüncü bölümde ayrık ve değişkenli stokastik modeller inceleniyor sürekli zaman. Dördüncü bölümün içeriğini oluşturan olasılıksal özelliklere sahip sistemlerin simülasyon yöntemlerine kılavuzda büyük önem verilmektedir. Beşinci bölüm, bilgi entropisi, sinir ağlarının ve Petri ağlarının kullanımı gibi karmaşık sistemleri modellemeye yönelik diğer yaklaşımlara genel bir bakış sunmaktadır.

MATEMATİKSEL MODELLEMENİN GENEL KAVRAMLARI

Bilgisayar hayatımıza sıkı bir şekilde girmiştir ve bilgisayarın kullanılmadığı neredeyse hiçbir insan faaliyet alanı yoktur. Bilgisayarlar artık yeni makinelerin, yeni makinelerin yaratılması ve araştırılması sürecinde yaygın olarak kullanılmaktadır. teknolojik süreçler ve en uygun seçeneklerin aranması; karar verirken ekonomik görevler planlama ve üretim yönetimi problemlerini çözerken çeşitli seviyeler. Roket teknolojisinde, uçak imalatında, gemi yapımında ve ayrıca baraj, köprü vb. tasarımlarında büyük nesnelerin oluşturulması, bilgisayar kullanılmadan genellikle imkansızdır.

Çözmek için bilgisayar kullanmak uygulamalı problemler, her şeyden önce uygulanan problemin resmi bir matematik diline “çevrilmesi” gerekir; İçin gerçek nesne Bir süreç ya da sistemin matematiksel modeli oluşturulmalıdır.

"Model" kelimesi Latince modus'tan (kopya, resim, taslak) gelir. Modelleme, bir A nesnesinin başka bir B nesnesiyle değiştirilmesidir. Değiştirilen A nesnesine orijinal veya modelleme nesnesi, değiştirilen B'ye ise model denir. Başka bir deyişle model, orijinal nesnenin bazı özelliklerinin incelenmesini sağlayan, orijinal nesnenin yerine geçen bir nesnedir.

Modellemenin amacı birbirleriyle etkileşime giren nesneler hakkında bilgi elde etmek, işlemek, sunmak ve kullanmaktır. dış çevre; ve buradaki model, bir nesnenin özelliklerini ve davranış kalıplarını anlamanın bir aracı olarak hareket eder.

Matematiksel modelleme, gerçek bir nesneyi, süreci veya sistemi, daha uygun bir matematiksel modelle değiştirerek çalışmanın bir yoludur. deneysel araştırma bilgisayar kullanmak.

Matematiksel modelleme, gerçek süreç ve olayların matematiksel modellerini oluşturma ve inceleme sürecidir. Matematiksel aygıtları kullanan tüm doğa bilimleri ve sosyal bilimler, esasen matematiksel modellemeyle ilgilenir: gerçek bir nesnenin yerine onun modelini koyarlar ve sonra ikincisini incelerler. Her modellemede olduğu gibi matematiksel bir model de çalışılan olguyu tam olarak açıklamaz ve bu şekilde elde edilen sonuçların uygulanabilirliğine ilişkin sorular oldukça anlamlıdır. Matematiksel model, gerçekliğin basitleştirilmiş bir açıklamasıdır. matematiksel kavramlar.

Matematiksel bir model, bir nesnenin veya sürecin temel özelliklerini denklemler ve diğer dillerle ifade eder. matematiksel araçlar. Aslında matematiğin kendisi de varlığını yansıtmaya çalıştığı şeye borçludur. kendi başınıza modelleyin belirli dilçevredeki dünyanın kalıpları.

Şu tarihte: matematiksel modelleme Bir nesnenin incelenmesi, belirli matematiksel yöntemler kullanılarak matematik dilinde formüle edilmiş bir model aracılığıyla gerçekleştirilir.

Çağımızda matematiksel modellemenin yolu, tam ölçekli modellemeye göre çok daha kapsamlıdır. Yöntemin kendisi binlerce yıl önce matematikle eş zamanlı olarak ortaya çıkmasına rağmen, bilgisayarların ortaya çıkışı matematiksel modellemenin gelişimine büyük bir ivme kazandırdı.

Matematiksel modelleme her zaman bilgisayar desteği gerektirmez. Matematiksel modellemeyle profesyonel olarak ilgilenen her uzman, modeli analitik olarak incelemek için mümkün olan her şeyi yapar. Analitik çözümler (yani çalışmanın sonuçlarını orijinal veriler aracılığıyla ifade eden formüllerle sunulan çözümler) genellikle sayısal çözümlerden daha kullanışlı ve daha bilgilendiricidir. Ancak analitik yöntemlerin karmaşık matematik problemlerini çözme yetenekleri çok sınırlıdır ve kural olarak bu yöntemler sayısal yöntemlerden çok daha karmaşıktır.

Matematiksel model, gerçek nesnelerin, süreçlerin veya sistemlerin matematiksel terimlerle ifade edilen ve orijinalin temel özelliklerini koruyan yaklaşık bir temsilidir. Matematiksel modeller niceliksel form Mantıksal ve matematiksel yapıları kullanarak bir nesnenin, sürecin veya sistemin temel özelliklerini, parametrelerini, iç ve dış bağlantılarını tanımlar.

Tüm modeller iki sınıfa ayrılabilir:

1. gerçek,
2. mükemmel.

Buna karşılık, gerçek modeller şu şekilde ayrılabilir:

1. tam ölçekli,
2. fiziksel,
3. matematiksel.

İdeal modeller şu şekilde ayrılabilir:

1. görsel,
2. ikonik,
3. matematiksel.

Gerçek tam ölçekli modeller, üzerinde bilimsel, teknik ve endüstriyel deneylerin yapıldığı gerçek nesneler, süreçler ve sistemlerdir.

Gerçek fiziksel modeller- bunlar modeller, mankenler, üreyenler fiziksel özellikler orijinaller (kinematik, dinamik, hidrolik, termal, elektrik, aydınlatma modelleri).

Gerçek matematiksel modeller analog, yapısal, geometrik, grafiksel, dijital ve sibernetik modellerdir.

İdeal görsel modeller diyagramlar, haritalar, çizimler, grafikler, grafikler, analoglar, yapısal ve geometrik modellerdir.

İdeal işaret modelleri semboller, alfabe, programlama dilleri, sıralı gösterim, topolojik gösterim, ağ gösterimidir.

İdeal matematiksel modeller analitik, fonksiyonel, simülasyon ve birleştirilmiş modellerdir.

Yukarıdaki sınıflandırmada bazı modellerin ikili yorumu vardır (örneğin analog). Tam ölçekli olanlar dışındaki tüm modeller, tek bir zihinsel model sınıfında birleştirilebilir, çünkü bunlar insanın soyut düşüncesinin bir ürünüdür.

Oyun Teorisinin Unsurları

İÇİNDE genel durum Oyunun çözümü oldukça zor görev Sorunun karmaşıklığı ve onu çözmek için gereken hesaplamaların miktarı arttıkça keskin bir şekilde artar. Bununla birlikte, bu zorluklar temel nitelikte değildir ve yalnızca çok büyük hacimli hesaplamalarla ilişkilidir ve bazı durumlarda bunun pratik olarak imkansız olduğu ortaya çıkabilir. Çözüm bulma yönteminin temel yönü her kişi için geçerlidir. aynısı.

Bunu bir oyun örneğiyle açıklayalım. Hadi ona geometrik bir yorum verelim - zaten mekansal bir yorum. Üç stratejimiz düzlemdeki üç noktayla temsil edilecek ; ilki başlangıç ​​noktasında yer alır (Şekil 1). ikinci ve üçüncü - eksenlerde Ah Ve Ah başlangıçtan itibaren 1 mesafede.

Eksen I-I, II-II ve III-III düzleme dik noktalardan çizilir . I-I ekseninde stratejinin getirileri vardır; II-II ve III-III eksenlerinde ise stratejilerin getirileri vardır. Her düşman stratejisi noktasında kesen bir düzlem ile temsil edilecektir. eksenler I-I, II-II ve III-III, kazançlara eşit segmentler

uygun strateji ve strateji ile . Böylece düşmanın tüm stratejilerini oluşturduktan sonra üçgenin üzerinde bir uçak ailesi elde ederiz (Şekil 2).

Bu aile için, aynı durumda yaptığımız gibi, getiri için bir alt sınır da oluşturabilirsiniz ve bu sınır üzerinde düzlem üzerinde maksimum yüksekliğe sahip N noktasını bulabilirsiniz. . Bu yükseklik oyunun bedeli olacak.

Optimal stratejideki stratejilerin frekansları koordinatlarla belirlenecektir. (x, y) N noktaları, yani:

Ancak bu geometrik yapı bu durumda bile uygulanması kolay değildir ve gerektirir yüksek maliyetler zaman ve hayal gücü çabası. Oyunun genel durumunda, şuraya aktarılır: boyutlu uzay ve bazı durumlarda geometrik terminolojinin kullanılması yararlı olabilmesine rağmen tüm netliği kaybeder. Uygulamada oyunları çözerken geometrik analojileri değil hesaplamaları kullanmak daha uygundur. analitik yöntemlerözellikle bu yöntemler sorunu bilgisayarlarda çözmeye uygun olan tek yöntemler olduğundan.

Bu yöntemlerin tümü esasen bir problemi ardışık denemeler yoluyla çözmeye dayanır, ancak denemelerin sırasını sıralamak, çözüme en ekonomik şekilde yol açan bir algoritma oluşturmanıza olanak tanır.

Burada oyunları çözmek için bir hesaplama yöntemine kısaca bakacağız. - doğrusal programlama yöntemi olarak adlandırılan yöntemi kullanır.

Bunu yapmak için önce şunu verelim genel ayar Bir oyuna çözüm bulmayla ilgili sorunlar. Bir oyun verilsin T oyuncu stratejileri A Ve N oyuncu stratejileri İÇİNDE ve ödeme matrisi verilir

Oyuna bir çözüm bulmak gerekiyor, yani A ve B oyuncularının iki optimal karma stratejisi

nerede (bazı sayılar ve sıfıra eşit olabilir).

Optimum stratejimiz S*A Düşmanın herhangi bir davranışı için bize en az şu kadar kazanç sağlamalı ve onun optimal davranışı için de eşit bir kazanç sağlamalıdır (strateji) S*B).Benzer strateji S*B düşmana herhangi bir davranışımız için en fazla ve en uygun davranışımız için eşit bir kayıp sağlamalıdır (strateji) S*A).

Oyun fiyatı bu durumda bizim için bilinmiyor; pozitif bir sayıya eşit olduğunu varsayacağız. Bu şekilde inanarak akıl yürütmenin genelliğini ihlal etmiyoruz; > 0 olması için matrisin tüm elemanlarının negatif olmaması açıkça yeterlidir. Bu her zaman yeterince büyük bir eleman eklenerek başarılabilir. pozitif değer L bu durumda oyunun fiyatı L kadar artacak ama çözüm değişmeyecek.

En uygun stratejimizi seçelim S*A. O zaman rakibimizin stratejisine göre ortalama kazancımız şuna eşit olacaktır:

Optimum stratejimiz S*A Düşmanın herhangi bir davranışı karşılığında en az şu kadar kazanç sağlama özelliğine sahiptir; dolayısıyla sayıların hiçbiri 'den küçük olamaz. Bir takım koşullar elde ederiz:

(1)

Eşitsizlikleri (1) pozitif bir değere bölelim ve şunu gösterelim:

O zaman koşul (1) şu şekilde yazılacaktır:

(2)

negatif olmayan sayılar nerede. Çünkü miktarlar koşulu karşılar

Garantili kazancımızı mümkün olduğu kadar yüksek tutmak istiyoruz; belli ki aynı zamanda sağ taraf eşitlik (3) minimum değeri alır.

Böylece oyuna çözüm bulma problemi aşağıdaki matematik problemine iniyor: Negatif olmayan miktarları belirleyin , koşulları (2) karşılıyor, böylece toplamları

minimum düzeydeydi.

Genellikle uç değerlerin (maksimum ve minimum) bulunmasıyla ilgili problemleri çözerken, fonksiyonun türevi alınır ve türevler sıfıra eşitlenir. Ancak bu durumda böyle bir teknik işe yaramaz çünkü F fonksiyonu gerek en aza indirir, doğrusaldır ve tüm argümanlara göre türevleri bire eşittir, yani hiçbir yerde kaybolmazlar. Sonuç olarak, fonksiyonun maksimumu, argümanların ve koşulların olumsuz olmaması şartıyla belirlenen argümanlardaki değişiklik aralığının sınırında bir yerde elde edilir (2). Farklılaşmayı kullanarak uç değerleri bulma tekniği, bizim yaptığımız gibi, oyunu çözmek için kazancın alt sınırının maksimumunun (veya üst sınırının minimumunun) belirlendiği durumlarda da uygun değildir. örneğin, oyunları çözerken bunu yaptılar. Aslında alt sınır düz çizgilerin bölümlerinden oluşur ve maksimuma türevin sıfıra eşit olduğu noktada ulaşılmaz (böyle bir nokta yoktur), ancak aralığın sınırında veya düz bölümlerin kesişme noktasında.

Çözmek için benzer görevler Pratikte sıklıkla karşılaşılan, matematikte özel bir aparat geliştirilmiştir. Doğrusal programlama.

Doğrusal programlama problemi aşağıdaki şekilde formüle edilmiştir.

Bir doğrusal denklem sistemi verildiğinde:

(4)

Koşulları (4) karşılayan ve aynı zamanda verilen homojenliği en aza indiren büyüklüklerin negatif olmayan değerlerini bulmak gerekir. doğrusal fonksiyon miktarlar ( doğrusal form):

Yukarıda ortaya konulan oyun teorisi probleminin doğrusal programlama probleminin özel bir durumu olduğunu görmek kolaydır.

İlk bakışta koşullar (2), koşullar (4)'e eşdeğer değil gibi görünebilir, çünkü eşit işaretler yerine eşitsizlik işaretleri içerirler. Ancak, negatif olmayan yeni kukla değişkenler ekleyerek ve koşulları (2) şu şekilde yazarak eşitsizlik işaretlerinden kurtulmak kolaydır:

(5)

Minimize edilmesi gereken Φ formu şuna eşittir:

Doğrusal programlama aparatı, nispeten az sayıda ardışık örnek kullanarak değerlerin seçilmesini mümkün kılar , belirtilen gereksinimleri karşılıyor. Daha fazla netlik sağlamak için, burada bu cihazın kullanımını doğrudan belirli oyunların çözülmesine yönelik materyal üzerinde göstereceğiz.

İyi çalışmanızı bilgi tabanına göndermek kolaydır. Aşağıdaki formu kullanın

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, lisansüstü öğrenciler, genç bilim insanları size çok minnettar olacaklardır.

Yayınlandığı tarih http://www.allbest.ru/

1. Matematiksel modellemenin temel kavramları

Çözüm pratik problemler matematiksel yöntemler tutarlı bir şekilde problemin formüle edilmesi (geliştirilmesi) yoluyla gerçekleştirilir. matematiksel model), elde edilen matematiksel modeli incelemek için bir yöntem seçmek, elde edilen matematiksel sonucu analiz etmek. Problemin matematiksel formülasyonu genellikle geometrik görüntüler, fonksiyonlar, denklem sistemleri vb. şeklinde sunulur. Bir nesnenin (fenomenin) tanımı, sürekli veya ayrık, deterministik veya stokastik ve diğer matematiksel formlar kullanılarak temsil edilebilir.

Matematiksel modelleme teorisi, çevredeki dünyadaki çeşitli olayların oluşum kalıplarının veya sistemlerin ve cihazların işleyişinin, tam ölçekli testler yapılmadan matematiksel açıklamaları ve modellemeleri yoluyla tanımlanmasını sağlar. Bu durumda, simüle edilmiş olguları, sistemleri veya cihazları idealleştirmelerinin bir düzeyinde tanımlayan matematik hükümleri ve yasalarından yararlanılır.

Matematiksel bir model (MM), bir sistemin (veya işlemin) belirli bir düzeyde resmileştirilmiş bir açıklamasıdır. soyut dilörneğin bir dizi matematiksel ilişki veya bir algoritma diyagramı biçiminde, yani. matematiksel açıklama Sistemlerin veya cihazların tam ölçekli testleri sırasında elde edilen gerçek davranışlarına yeterince yakın bir düzeyde sistem veya cihazların çalışmasının simülasyonunu sağlayan. Herhangi bir MM, gerçekliğe bir dereceye kadar yakın olan gerçek bir nesneyi, olguyu veya süreci tanımlar. MM'nin türü hem gerçek nesnenin doğasına hem de çalışmanın hedeflerine bağlıdır.

Sosyal, ekonomik, biyolojik ve matematiksel modelleme fiziksel olaylar, nesneler, sistemler ve çeşitli cihazlardan biridir temel araçlarÇok çeşitli sistem ve cihazların doğası ve tasarımı hakkında bilgi. Bilinen örnekler etkili kullanım nükleer teknolojilerin, havacılık ve uzay sistemlerinin oluşturulmasında, atmosferik ve okyanus olaylarının, hava durumunun vb. tahmin edilmesinde modelleme.

Bununla birlikte, modellemenin bu kadar ciddi alanları genellikle süper bilgisayarları ve modelleme ve hata ayıklama için veri hazırlamak üzere büyük bilim adamlarından oluşan ekiplerin yıllarca çalışmasını gerektirir. Ancak bu durumda karmaşık sistemlerin ve cihazların matematiksel modellenmesi yalnızca araştırma ve testlerden tasarruf sağlamakla kalmaz, aynı zamanda çevre felaketleri- örneğin, nükleer testlerden vazgeçmenize olanak tanır ve termonükleer silahlar Havacılık ve uzay sistemlerinin gerçek uçuşlarından önce matematiksel modellenmesi veya test edilmesi lehine.

Bu arada çözüm düzeyinde matematiksel modelleme daha fazladır. basit görevlerörneğin mekanik, elektrik mühendisliği, elektronik, radyo mühendisliği ve bilim ve teknolojinin diğer birçok alanı artık modern bilgisayarlarda gerçekleştirilebilir hale geldi. Genelleştirilmiş modeller kullanıldığında, telekomünikasyon sistemleri ve ağları, radar veya radyo navigasyon sistemleri gibi oldukça karmaşık sistemleri simüle etmek mümkün hale gelir.

Matematiksel modellemenin amacı, gerçek süreçleri (doğada veya teknolojide) matematiksel yöntemler kullanarak analiz etmektir. Bu da MM sürecinin resmileştirilmesinin araştırılmasını gerektirir. Bir model, davranışı gerçek bir sisteminkine benzer olan değişkenleri içeren matematiksel bir ifade olabilir. Model, olasılıkları hesaba katan rastgelelik unsurlarını içerebilir. olası eylemler iki veya Dahaörneğin oyun teorisinde olduğu gibi "oyuncular"; veya işletim sisteminin birbirine bağlı parçalarının gerçek değişkenlerini temsil edebilir.

Sistemlerin özelliklerini incelemek için matematiksel modelleme analitik, simülasyon ve birleştirilmiş olarak ayrılabilir. Buna karşılık, MM'ler simülasyon ve analitik olarak ikiye ayrılır.

2. Matematiksel model oluşturmanın özellikleri

Uygulamalı problemlerin çözümünde bilgisayar kullanmak için öncelikle uygulanan problemin resmi bir matematik diline “çevirilmesi” gerekir; Gerçek bir nesnenin, sürecin veya sistemin matematiksel modelinin oluşturulması gerekir.

Mantıksal ve matematiksel yapıları kullanan niceliksel formdaki matematiksel modeller, bir nesnenin, sürecin veya sistemin temel özelliklerini, parametrelerini, iç ve dış bağlantılarını tanımlar.

Matematiksel bir model oluşturmak için ihtiyacınız olan:

Gerçek bir nesneyi veya süreci dikkatlice analiz edin;

En önemli özelliklerini ve özelliklerini vurgulayın;

Değişkenleri tanımlayın, ör. değerleri nesnenin ana özelliklerini ve özelliklerini etkileyen parametreler;

Bir nesnenin, sürecin veya sistemin temel özelliklerinin, mantıksal-matematiksel ilişkileri (denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal-matematiksel yapılar) kullanarak değişkenlerin değerlerine bağımlılığını açıklamak;

Seçme iç iletişim kısıtlamaları, denklemleri, eşitlikleri, eşitsizlikleri, mantıksal ve matematiksel yapıları kullanan nesne, süreç veya sistem;

Dış bağlantıları belirleyin ve bunları kısıtlamalar, denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar kullanarak tanımlayın.

Matematiksel modelleme, bir nesneyi, süreci veya sistemi incelemenin ve onun matematiksel tanımını hazırlamanın yanı sıra şunları da içerir:

Bir nesnenin, sürecin veya sistemin davranışını modelleyen bir algoritmanın oluşturulması;

Hesaplamalı ve tam ölçekli deneylere dayalı olarak modelin ve nesnenin, sürecin veya sistemin yeterliliğinin kontrol edilmesi;

Model ayarı;

Modeli kullanma.

İncelenen süreç ve sistemlerin matematiksel açıklaması aşağıdakilere bağlıdır:

Gerçek bir sürecin veya sistemin doğası, fizik, kimya, mekanik, termodinamik, hidrodinamik, elektrik mühendisliği, plastisite teorisi, esneklik teorisi vb. kanunlara dayanarak derlenir.

Gerçek süreç ve sistemlerin incelenmesi ve araştırılmasının gerekli güvenilirliği ve doğruluğu.

Matematiksel bir model seçme aşamasında aşağıdakiler belirlenir: bir nesnenin, sürecin veya sistemin doğrusallığı ve doğrusal olmaması, dinamizm veya statiklik, durağanlık veya durağan olmama, ayrıca incelenen nesnenin veya sürecin determinizm derecesi. Matematiksel modelleme sırasında, kişi bilinçli olarak belirli bir konudan dikkati dağıtır. fiziksel doğa nesneler, süreçler veya sistemler ve esas olarak bu süreçleri tanımlayan nicelikler arasındaki niceliksel bağımlılıkların incelenmesine odaklanır.

Bir matematiksel model asla söz konusu nesne, süreç veya sistemle tamamen aynı değildir. Sadeleştirme ve idealleştirmeye dayalı olarak nesnenin yaklaşık bir açıklamasıdır. Bu nedenle modelin analizinden elde edilen sonuçlar yaklaşıktır. Doğrulukları, model ile nesne arasındaki yeterlilik (uyum) derecesine göre belirlenir.

Matematiksel bir modelin oluşturulması genellikle söz konusu nesnenin, sürecin veya sistemin en basit, en kaba matematiksel modelinin oluşturulması ve analizi ile başlar. Gelecekte gerekirse model geliştirilir ve nesneye uygunluğu daha eksiksiz hale getirilir. Basit bir örnek alalım. Masanın yüzey alanının belirlenmesi gerekmektedir. Tipik olarak bu, uzunluğunun ve genişliğinin ölçülmesi ve ardından elde edilen sayıların çarpılmasıyla yapılır. Bu temel prosedür aslında şu anlama gelir: gerçek bir nesnenin (masa yüzeyinin) yerini soyut bir matematiksel model (bir dikdörtgen) alır. Masa yüzeyinin uzunluğu ve genişliği ölçülerek elde edilen boyutlar dikdörtgene atanır ve böyle bir dikdörtgenin alanı yaklaşık olarak masanın gerekli alanı olarak alınır.

Ancak dikdörtgen masa modeli en basit, en kaba modeldir. Soruna daha ciddi bir yaklaşımla yaklaşırsanız, tablonun alanını belirlemek için dikdörtgen modelini kullanmadan önce bu modelin kontrol edilmesi gerekir. Kontroller şu şekilde yapılabilir: uzunlukları ölçün zıt taraflar Tablonun yanı sıra köşegen uzunluklarını da karşılaştırın ve bunları birbirleriyle karşılaştırın. Karşılıklı kenarların uzunlukları ve köşegenlerin uzunlukları gerekli doğruluk derecesi ile çiftler halinde eşitse, o zaman masanın yüzeyi gerçekten bir dikdörtgen olarak düşünülebilir. Aksi takdirde dikdörtgen modelinin reddedilmesi ve genel bir dörtgen modeli ile değiştirilmesi gerekecektir. Daha fazlası ile yüksek talepler Doğruluğu artırmak için, örneğin tablonun köşelerinin yuvarlatılmasını hesaba katarak modeli daha da geliştirmek gerekebilir.

Bununla basit örnek matematiksel modelin incelenen nesne, süreç veya sistem tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmediği gösterilmiştir. Aynı tablo için dikdörtgen veya daha fazlasını benimseyebiliriz karmaşık model genel bir dörtgen veya köşeleri yuvarlatılmış bir dörtgen. Bir modelin veya diğerinin seçimi doğruluk gereksinimine göre belirlenir. Doğruluk arttıkça modelin, incelenen nesnenin, sürecin veya sistemin yeni ve yeni özelliklerini hesaba katarak karmaşıklaşması gerekir.

Başka bir örneği ele alalım: bir krank mekanizmasının hareketinin incelenmesi (Şekil 4).

Bu mekanizmanın kinematik analizi için öncelikle kinematik modelinin oluşturulması gerekmektedir. Bunu yapmak için: Mekanizmayı, tüm bağlantıların rijit bağlantılarla değiştirildiği kinematik diyagramıyla değiştiririz. Bu diyagramı kullanarak, mekanizmanın hareket denklemini türeterek, hız ve ivme denklemlerini elde ederiz. 1. ve 2. dereceden diferansiyel denklemler.

Bu denklemleri yazalım:

burada C 0, C kaydırıcısının en sağdaki konumudur:

R- yarıçap AB krank;

ben - uzunluk biyel BC;

Krank açısı;

Ortaya çıkan aşkın denklemler, aşağıdaki basitleştirici varsayımlara dayalı olarak düz eksenel krank mekanizmasının hareketinin matematiksel bir modelini temsil eder: yapısal formlar gövdelerin mekanizmasına dahil olan kütlelerin ve mekanizmanın tüm gövdelerinin yerini düz parçalarla değiştirdik. Aslında mekanizmanın tüm bağlantılarının kütlesi var ve oldukça karmaşık şekil. Örneğin, bir biyel kolu, şekli ve boyutları elbette mekanizmanın hareketini etkileyecek karmaşık bir prefabrik bağlantıdır; söz konusu mekanizmanın hareketinin matematiksel bir modelini oluştururken biz de dikkate almadık; Mekanizmanın içerdiği gövdelerin esnekliğini hesaba katın; tüm bağlantılar soyut, kesinlikle katı cisimler olarak kabul edildi. Gerçekte mekanizmaya dahil olan tüm cisimler elastik cisimler. Mekanizma hareket ettiğinde bir şekilde deforme olacaklar, hatta gelişebilirler. elastik titreşimler. Bütün bunlar elbette mekanizmanın hareketini de etkileyecektir; bağlantıların üretim hatasını, A, B, C kinematik çiftlerindeki boşlukları vb. hesaba katmadık.

Bu nedenle, bir problem çözme sonuçlarının doğruluğuna yönelik gereksinimler ne kadar yüksek olursa, matematiksel bir model oluştururken incelenen nesnenin, sürecin veya sistemin özelliklerinin dikkate alınması ihtiyacının da o kadar yüksek olduğunu bir kez daha vurgulamak önemlidir. Ancak burada zamanında durmak önemlidir çünkü karmaşık bir matematiksel model, çözülmesi zor bir probleme dönüşebilir.

Bir model, bir nesnenin, sürecin veya sistemin davranışını ve özelliklerini belirleyen yasalar iyi bilindiğinde ve geniş bir etki alanı bulunduğunda en kolay şekilde oluşturulabilir. pratik deneyimİncelenen nesne, süreç veya sistem hakkındaki bilgimiz yetersiz olduğunda daha karmaşık bir durum ortaya çıkar. Bu durumda matematiksel bir model oluşturulurken hipotez niteliğindeki ek varsayımların yapılması gerekir; böyle bir modele varsayımsal denir. Böyle bir varsayımsal modelin incelenmesi sonucunda elde edilen sonuçlar koşulludur. Sonuçları doğrulamak için, modeli bilgisayarda çalışmanın sonuçlarını tam ölçekli bir deneyin sonuçlarıyla karşılaştırmak gerekir. Dolayısıyla, belirli bir matematiksel modelin söz konusu nesnenin, sürecin veya sistemin çalışmasına uygulanabilirliği sorunu matematiksel bir soru değildir ve matematiksel yöntemlerle çözülemez.

Gerçeğin ana kriteri deneydir, başlı başına pratiktir. geniş anlamda bu kelime.

Uygulamalı problemlerde matematiksel bir modelin oluşturulması işin en karmaşık ve önemli aşamalarından biridir. Deneyimler çoğu durumda doğru modeli seçmenin sorunu yarıdan fazla çözmek anlamına geldiğini göstermektedir. Bu aşamanın zorluğu matematiksel ve özel bilgilerin bir kombinasyonunu gerektirmesidir. Bu nedenle uygulamalı problemleri çözerken matematikçilerin nesneye ilişkin özel bilgiye sahip olmaları, ortaklarının yani uzmanların belli bir matematik kültürüne, kendi alanlarında araştırma deneyimine, bilgisayar ve programlama bilgisine sahip olmaları çok önemlidir.

3. Genelleştirilmiş matematiksel model

Matematiksel model, başlangıç ​​verileri ile istenen miktarlar arasındaki ilişkiyi açıklar. Genelleştirilmiş matematiksel modelin unsurları şunlardır (Şekil 1):

· giriş verileri kümesi (değişkenler) X,Y; X bir dizi değişken değişkendir; Y - bağımsız değişkenler (sabitler);

· bu veriler üzerindeki işlemleri tanımlayan matematiksel operatör L; bununla girdi ve çıktı verileri (değişkenler) kümeleri arasındaki sayısal veya mantıksal ilişkileri tanımlayan eksiksiz bir matematiksel işlemler sistemini kastediyoruz;

· çıktı verileri kümesi (değişkenler) G(X,Y); (gerekirse) bir amaç fonksiyonu da dahil olmak üzere bir dizi kriter fonksiyonudur.

Matematiksel model, tasarlanan nesnenin matematiksel bir benzeridir. Nesneye uygunluk derecesi, tasarım problemine yönelik çözümlerin formülasyonu ve doğruluğu ile belirlenir.

Çeşitli parametreler (değişkenler) X kümesi, çeşitli parametrelerin sayısına eşit n boyutuna sahip bir metrik olan, çeşitli parametrelerden (Rx) (arama alanı) oluşan bir uzay oluşturur.

Bağımsız değişkenler Y kümesi, R y girdi verilerinin metrik uzayını oluşturur. R y uzayının her bileşeninin aralıkla belirtilmesi durumunda olası değerler bağımsız değişkenler kümesi R y uzayının bazı sınırlı altuzaylarına eşlenir.

Bağımsız değişkenler Y kümesi, nesnenin çalışma ortamını belirler; Tasarlanan nesnenin çalışacağı dış koşullar Bunlar şunlar olabilir:

Nesnenin tasarım sürecinde değişikliğe tabi olmayan teknik parametreleri;

Tasarım nesnesinin etkileşimde bulunduğu ortamın fiziksel bozuklukları;

Tasarım nesnesinin ulaşması gereken taktik parametreler.

Söz konusu genelleştirilmiş modelin çıktı verileri, R G kriter göstergelerinin bir metrik alanını oluşturur.

Bilgisayar destekli bir tasarım sisteminde matematiksel bir modelin kullanımına ilişkin diyagram, Şekil 2'de gösterilmektedir.

4. Gereksinimler İle matematiksel modeller

matematiksel model problem sonucu

MO için temel gereksinimler yeterlilik, doğruluk ve verimlilik gereksinimleridir.

1. Yeterlilik – gösterme yeteneği belirtilen özellikler belirtilenden daha yüksek olmayan bir hataya sahip nesne.

2. Doğruluk - gerçek bir nesnenin parametrelerinin değerleri ile matematiksel modellerde hesaplananlar arasındaki uyum derecesine göre değerlendirilir.

3. Evrensellik - gerçek bir nesnenin özelliklerinin modeldeki temsilinin eksiksizliğini karakterize eder.

4. Maliyet etkinliği - genellikle gerekli bilgisayar belleği ve zaman harcamasıyla karakterize edilir. Bazen modele tek bir erişim sırasında gereken işlem sayısına göre tahmin edilir. Model denklemlerini çözmek için sayısal yöntemler seçilirken doğruluk ve verimlilik açısından benzer gereksinimler ortaya çıkar.

Bir yanda evrensellik, doğruluk, yeterlilik, diğer yanda verimlilik gereksinimleri çelişkilidir. Bu, belirli özelliklerde farklılık gösteren bir dizi modelin çalışmasını belirler.

5. Matematiksel bir model elde etme yöntemleri

1. Modele yansıtılacak nesne özelliklerinin seçimi. Analize dayalı seçim olası uygulamalar modeli ve MM'nin evrensellik derecesini belirler.

2. Nesnenin seçilen özelliklerine ilişkin ilk bilgilerin toplanması. Bilgi kaynakları şunlar olabilir: modeli geliştiren mühendisin deneyimi ve bilgisi; bilimsel ve teknik literatür, özellikle referans literatürü; prototiplerin açıklamaları - özellikleri bakımından incelenen nesneye benzer öğeler için mevcut MM'ler; parametrelerin deneysel ölçümünün sonuçları vb.

3. MM yapısının sentezi. MM yapısı - modelin matematiksel ilişkilerine spesifikasyon olmadan genel bir bakış sayısal değerler içlerinde görünen parametreler. Modelin yapısı şu şekilde de sunulabilir: grafik formuörneğin eşdeğer bir devre veya grafik biçiminde. Yapı sentezi, resmileştirilmesi en önemli ve en zor işlemdir.

4. MM parametrelerinin sayısal değerlerinin hesaplanması. Bu problem, belirli bir yapının modelinin hatasını en aza indirme problemi olarak ortaya konmuştur.

5. MM'nin doğruluğunun ve yeterliliğinin değerlendirilmesi. Doğruluğu değerlendirmek için problemin çözümünde kullanılmayan değerlerin kullanılması gerekir.

6. İşlevsel MM'nin bilgisayarda uygulanması bir seçim anlamına gelir sayısal yöntem Seçilen yöntemin özelliklerine uygun olarak denklemlerin çözülmesi ve denklemlerin dönüştürülmesi. Nihai Hedef dönüşümler - bir dizi temel eylem (aritmetik ve mantıksal işlemler), bilgisayar komutları tarafından uygulanır. Orijinal MM'nin bir dizi temel eyleme belirtilen dönüşümleri bilgisayar tarafından otomatik olarak gerçekleştirilir. özel programlar bir CAD mühendisi tarafından yaratılmıştır. CAD kullanıcı mühendisinin yalnızca mevcut programlardan hangisini kullanmak istediğini belirtmesi yeterlidir. Çeşitli hiyerarşik düzeylere ilişkin MM dönüşümlerinin süreci Şekil 3'te gösterilmektedir.

Şekil 3 PDE'nin matematiksel modellerinin dönüşüm süreci - kısmi diferansiyel denklemler; ODE -- sıradan diferansiyel denklemler; Avustralya -- cebirsel denklemler; LEA - doğrusal cebirsel denklemler; 1...12 -- MM'deki değişkenleri ayrıklaştırmanın karşılıklı yönlendirilmiş yolları

7. Kullanıcı mühendis, analiz edilen nesneye ve gerçekleştirilecek tasarım prosedürlerine ilişkin ön bilgileri, yazılım paketinin kendisine uygun, problem odaklı bir dilinde belirler. Şekil 5.1'deki Dal 1, çoğunlukla PDE biçiminde, sınır problemi olarak mikro düzeyle ilgili bir problemin formülasyonuna karşılık gelir. PDE'leri çözmek için kullanılan sayısal yöntemler, değişkenlerin ayrıklaştırılmasına ve problemin cebirleştirilmesine dayanır.

Ayrıklaştırma, sürekli değişkenlerin değiştirilmesini içerir sonlu kümeçalışma için belirlenen mekansal ve zaman aralıklarındaki değerleri; cebirleştirme - türevlerin cebirsel ilişkilerle değiştirilmesinde.

6. Matematiksel modellerin kullanımı

Modern bilgisayarların bilgi işlem gücü, tüm sistem kaynaklarının kullanıcıya sağlanması, bir sorunu çözerken ve sonuçları analiz ederken etkileşimli mod olasılığı ile birleştiğinde, sorunu çözmek için gereken süreyi en aza indirmemize olanak tanır.

Matematiksel bir model derlerken araştırmacının şunları yapması gerekir:

· incelenen nesnenin özelliklerini incelemek;

· bir nesnenin ana özelliklerini ikincil olanlardan ayırma yeteneği;

· Yapılan varsayımları değerlendirin.

Model, başlangıç ​​verileri ile istenen miktarlar arasındaki ilişkiyi açıklar. Başlangıç ​​verisinden istenen değerlere geçmek için yapılması gereken işlemler dizisine algoritma denir.

Sorunu çözmek için kullanılan algoritma, sayısal bir yöntemin seçimiyle ilişkilidir. Matematiksel modelin temsil biçimine bağlı olarak (cebirsel veya diferansiyel form) çeşitli sayısal yöntemler kullanılmaktadır.

Allbest.ru'da yayınlandı

Benzer belgeler

Matematiksel modellemenin temel kavramları, üretim planlama problemleri ve ulaştırma problemlerinin model oluşturma aşamalarının özellikleri; Çözümlerine analitik ve program yaklaşımları. Doğrusal programlama problemlerinin çözümü için Simpleks yöntemi.

kurs çalışması, eklendi 12/11/2011


MathCAD sisteminin teknik nitelikteki uygulamalı problemlerin çözümünde uygulanması. Matematiksel modellemenin temel araçları. Çözüm diferansiyel denklemler. Elektrik devrelerinin matematiksel modellerini uygulamak için MathCad sistemini kullanma.

kurs çalışması, eklendi: 11/17/2016


"Diferansiyel denklem" kavramının özü. Matematiksel modellemenin ana aşamaları. Diferansiyel denklemlerin çözümüne yol açan problemler. Arama sorunlarını çözme. Sarkaçlı saatlerin hassasiyeti. Topun hareket yasasını belirleme problemini çözme.

kurs çalışması, eklendi 12/06/2013


Biyolojide matematiksel modellemenin güncel probleminin incelenmesi. Av için yırtıcı rekabetinin değiştirilmiş Lotka-Volterra modelinin incelenmesi. Orijinal sistemin doğrusallaştırılmasının gerçekleştirilmesi. Doğrusal olmayan diferansiyel denklem sisteminin çözümü.

test, 20.04.2016 eklendi


Matematiksel modelleme teorisinin temel hükümleri. Matematiksel modelin yapısı. Doğrusal ve doğrusal olmayan deformasyon süreçleri katılar. Sonlu elemanlar yöntemini kullanarak karmaşık konfigürasyon yığınının matematiksel modelini incelemek için metodoloji.

kurs çalışması, eklendi 01/21/2014


Matematiksel doğrusal ve doğrusal olmayan programlama problemlerinin kavramı ve türleri. Dinamik programlama, Excel elektronik tablosunu kullanarak problem çözme. Yatırımların optimal dağılımının seçilmesine ilişkin dinamik programlama problemleri.

kurs çalışması, eklendi 21.05.2010


Genel özellikler matematikte seçmeli dersler, temel formlar ve uygulama yöntemleri. Takvim ve tematik plan hazırlamak seçmeli ders

İçindekiler Matematiksel modellemenin konusu. Modellemenin temelleri. Bir model kavramı. Modelleme ilkesi. Bilimsel bilgi yöntemi olarak modelleme. Modelleme aşamaları. Aşama 1 – 2'nin özellikleri. Modelleme aşamaları. 3 – 4 aşamanın özellikleri. Modellerin sınıflandırılması. Genel bakış. Ekonomik ve matematiksel modellerin sınıflandırılması. Ekonomik ve matematiksel modellemenin aşamaları. Matematiksel model. Doğrusal programlama. Doğrusal programlama probleminin ifadesi. Geometrik yorumlama ve grafik çözümü Doğrusal programlama problemleri. Simpleks yöntemi. İlk referans planının oluşturulması. Simpleks tablolar. Referans planının optimalliğinin işareti. İkilik kavramı. İkili problemlerin yapısı ve özellikleri. Taşıma sorunu. İlk referans planının oluşturulması. Taşıma sorunu. Potansiyeller yöntemi.

İçerikler Graf teorisinin temel kavramları ve tanımları. Bir digrafın elemanlarının sıralanması. Fulkerson'un algoritması. Bir grafikte en kısa yolları bulma problemlerini çözme. Maksimum akış problemi ve uygulamaları. Bir ağ formülasyonunda taşıma problemi. Elemanlar ağ planlaması. Dinamik programlamanın ilkeleri, yöntemin hesaplama prosedürü. Monte Carlo yöntemi. Yöntemin özü. Monte Carlo yöntemini kullanarak problem çözme. Matris oyunları teorisinin unsurları. Eşleştirilmiş sıfır toplamlı matris oyunları. Matris oyunlarını çözme yöntemleri. Doğa ile oyunlar. Karar verme kriterleri. Maple 7 paketine genel bakış. Yetenekleri. Program arayüzü, komutlarla çalışma. Değişkenleri kullanma. Tablolarla çalışma.

Matematiksel modellemenin konusu. Modellemenin temelleri Matematiksel modelleme, olguların, süreçlerin, sistemlerin veya nesnelerin modellerini oluşturup inceleyerek ve bu modellerden özelliklerini ve özelliklerini belirlemek veya açıklığa kavuşturmak için kullanılması yoluyla incelenmesidir. rasyonel yollar yeni tasarlanmış teknolojik süreçlerin, sistemlerin ve nesnelerin inşası. Matematiksel model bir soyutlamadır gerçek dünya arasında araştırmacının çıkar ilişkilerinin yer aldığı gerçek unsurlar yerini matematiksel kategoriler arasındaki uygun ilişkilere bırakmıştır. Bu ilişkiler genellikle simüle edilmiş gerçek sistemin işleyişini karakterize eden denklemler ve (veya) eşitsizlikler biçiminde sunulur. Matematiksel modeller oluşturma sanatı, matematiksel açıklamasında mümkün olduğu kadar kısa olmayı, analiz edilen gerçekliğin tam olarak araştırmacının ilgisini çeken yönlerinin model yeniden üretiminin yeterli doğruluğu ile birleştirmektir. Simülasyon menüsü - yaratıcı süreç Büyük miktarda bilginin ciddi şekilde hazırlanmasını ve işlenmesini gerektiren, emek yoğunluğu ve buluşsal ilkeleri birleştiren ve doğası gereği olasılıksal olan.

Bir model kavramı. Bilimsel bilgi yöntemi olarak modelleme Model, gerçek bir nesnenin, olgunun veya sürecin basitleştirilmiş benzerliğidir. Model, çalışmanın amacı doğrultusunda orijinal nesnenin yerini alan, orijinalin bu çalışma için önemli olan bazı tipik özelliklerini ve özelliklerini koruyan, maddi veya zihinsel olarak hayal edilebilir bir nesnedir. İyi yapılandırılmış bir model, kural olarak, araştırma için gerçek bir nesneden (örneğin, bir ülkenin ekonomisi, Güneş sistemi vb.) Daha erişilebilirdir. Modelin daha az önemli olmayan bir diğer amacı da onun yardımıyla bir nesnenin belirli özelliklerini oluşturan en önemli faktörlerin belirlenmesidir. Model aynı zamanda bir nesneyi nasıl kontrol edeceğinizi öğrenmenize de olanak tanır; bu, bir nesneyle deneme yapmanın sakıncalı, zor veya imkansız olduğu durumlarda (örneğin, denemenin zor olduğu durumlarda) önemlidir. daha uzun süre veya nesnenin istenmeyen veya geri döndürülemez bir duruma düşürülme riski olduğunda). Böylece, bir modelin şu amaçlarla gerekli olduğu sonucuna varabiliriz: belirli bir nesnenin nasıl yapılandırıldığını anlamak - yapısı, temel özellikleri, gelişim yasaları ve dış dünyayla etkileşimi nelerdir; Bir nesneyi veya süreci yönetmeyi ve belirlemeyi öğrenin en iyi yollar belirli hedefler ve kriterlerle yönetim (optimizasyon); Menü, uygulamanın doğrudan ve dolaylı sonuçlarını öngörüyor verilen yöntemler ve nesne, süreç üzerindeki etki biçimleri.

Modelleme aşamaları Aşama 1'in özellikleri Aşama I. Sorunun açıklaması Görevin kendisi altında genel anlamdaçözülmesi gereken bir sorun var. Önemli olan modelleme nesnesini tanımlamak ve sonucun ne olması gerektiğini anlamaktır. Formülasyonun doğasına bağlı olarak tüm problemler iki ana gruba ayrılabilir. İlk grup, bir nesnenin özelliklerinin onun üzerinde bir miktar etki altında nasıl değiştiğini incelemenin gerekli olduğu görevleri içerir. Sorunun bu formülasyonuna genellikle "eğer olursa ne olur..." denir. İkinci problem grubu aşağıdaki genel formülasyona sahiptir: parametrelerinin belirli bir değeri karşılaması için nesne üzerinde ne gibi bir etki yapılması gerekir? verilen koşul? Sorunun bu formülasyonuna genellikle "bunu nasıl yapmalı..." denir. Simülasyonun hedefleri modelin tasarım parametreleri tarafından belirlenir. Çoğu zaman bu, sorunun formülasyonunda ortaya çıkan soruya bir cevap arayışıdır. Daha sonra nesnenin veya sürecin tanımına geçerler. Bu aşamada modelin davranışının bağlı olduğu faktörler belirlenir. Modelleme yaparken elektronik tablolar ah, yalnızca sahip olduğunuz parametreleri dikkate alabilirsiniz. niceliksel özellikler. Bazen problem zaten basitleştirilmiş bir biçimde formüle edilebilir ve hedefleri açıkça belirler ve dikkate alınması gereken model parametrelerini tanımlar. Bir nesneyi analiz ederken şu soruyu yanıtlamak gerekir: İncelenen nesne veya süreç tek bir bütün olarak düşünülebilir mi, yoksa daha basit nesnelerden oluşan bir sistem mi? Bu tek bir bütünse, bir bilgi modeli oluşturmaya devam edebilirsiniz. Eğer bu bir sistemse, onu oluşturan nesneleri analiz ederek aralarındaki bağlantıları belirlemeniz gerekir. Menü

Modelleme aşamaları Aşama 2'nin özellikleri Aşama II. Model geliştirme Nesnenin analizinin sonuçlarına dayanarak, bilgi modeli. Bir nesnenin tüm özelliklerini, parametrelerini, eylemlerini ve ilişkilerini ayrıntılı olarak açıklar. Daha sonra bilgi modelinin sembolik formlardan biriyle ifade edilmesi gerekir. Elektronik tablo ortamında çalışacağımızı düşünürsek bilgi modelinin matematiksel modele dönüştürülmesi gerekmektedir. Bilgi ve matematiksel modellere dayanarak, üç veri alanının ayırt edildiği tablolar şeklinde bir bilgisayar modeli derlenir: ilk veriler, ara hesaplamalar, sonuçlar. Kaynak verileri manuel olarak girilir. Hem ara hem de nihai hesaplamalar, elektronik tablo kurallarına göre yazılan formüller kullanılarak gerçekleştirilir. Menü

Modelleme aşamaları Aşama 3'ün özellikleri Aşama III. Bilgisayar deneyi Yeni tasarım gelişmelerine hayat vermek, yeni ürünler tanıtmak teknik çözümlerÜretime geçmek veya yeni fikirleri test etmek için bir deneye ihtiyaç vardır. Yakın geçmişte böyle bir deney şu şekilde gerçekleştirilebilirdi: laboratuvar koşulları kendisi için özel olarak oluşturulmuş tesislerde veya yerinde, yani ürünün gerçek bir örneği üzerinde, her türlü teste tabi tutularak. Bu çok şey gerektirir malzeme maliyetleri ve zaman. Modellerin bilgisayar çalışmaları kurtarmaya geldi. Bir bilgisayar deneyi yaparken modellerin doğruluğu kontrol edilir. Modelin davranışı çeşitli nesne parametreleri altında incelenmiştir. Her deneye sonuçların anlaşılması eşlik eder. Bir bilgisayar deneyinin sonuçları çözülen problemin anlamıyla çelişiyorsa, hatanın yanlış seçilmiş modelde veya algoritmada ve onu çözme yönteminde aranması gerekir. Hatalar belirlenip ortadan kaldırıldıktan sonra bilgisayar deneyi tekrarlanır. Menü

Modelleme aşamaları Aşama 4'ün özellikleri Aşama IV. Modelleme sonuçlarının analizi Modellemenin son aşaması model analizidir. Elde edilen hesaplama verilerine dayanarak hesaplamaların anlama ve modelleme hedeflerimize ne kadar uygun olduğunu kontrol ederiz. Bu aşamada benimsenen modelin ve mümkünse amaç veya sürecin iyileştirilmesine yönelik öneriler belirlenir. Menü

Modellerin sınıflandırılması Kullanım alanına göre sınıflandırılması Eğitimsel: görsel yardımcılar, çeşitli simülatörler, eğitim programları. Deneyimli: daha fazla çalışma için incelenen nesnenin küçültülmüş veya büyütülmüş kopyaları (gemi, araba, uçak, hidroelektrik istasyonu modelleri). Süreçleri ve olayları incelemek için bilimsel ve teknik modeller oluşturulur (televizyonları test etmek için bir stand; bir senkrotron - elektron hızlandırıcı vb.). Oyun: askeri, ekonomik, spor, iş oyunları. Taklit: Gerçeği değişen doğruluk dereceleriyle yansıtır (yeni bir şeyin test edilmesi) ilaç fareler üzerinde yapılan bir dizi deneyde; yeni teknolojinin üretime dahil edilmesine yönelik deneyler). Zaman faktörünü dikkate alan sınıflandırma Statik model - bir nesnenin modeli şu anda zaman. Dinamik model zaman içinde bir nesnede meydana gelen değişiklikleri görmenizi sağlar. Menü

Modellerin sınıflandırılması Temsil yöntemine göre sınıflandırma Maddi model, bir nesnenin fiziksel benzerliğidir. Orijinalin geometrik ve fiziksel özelliklerini yeniden üretirler (doldurulmuş kuşlar, hayvan modelleri, iç organlar insan vücudu, coğrafi ve tarihi haritalar, şema güneş sistemi). Bilgi modeli, bir nesnenin, sürecin, olgunun özelliklerini ve durumlarını ve ayrıca bunlarla olan ilişkiyi karakterize eden bir bilgi kümesidir. dış dünya. Herhangi bir bilgi modeli, yaratılma amacı dikkate alınarak, bir nesne hakkında yalnızca temel bilgileri içerir. Aynı nesnenin farklı amaçlara yönelik bilgi modelleri tamamen farklı olabilir. Sözel model - zihinsel veya bilgi modeli konuşma dili formu. İşaret modeli, özel işaretlerle, yani herhangi bir resmi dil aracılığıyla ifade edilen bir bilgi modelidir. İkonik modeller çizimler, metinler, grafikler, diyagramlar, tablolar vb.'dir. Bilgisayar modeli- Bir yazılım ortamı aracılığıyla uygulanan bir model. Bir nesnenin (olgu, süreç) modelini oluşturmadan önce, onu oluşturan unsurları ve aralarındaki bağlantıları tanımlamak gerekir (çizim sistem analizi) ve ortaya çıkan yapıyı önceden belirlenmiş bir biçime "çevirin" - bilgiyi resmileştirin. Menü Biçimlendirmesi bir seçim ve çeviri sürecidir iç yapı Belirli bir noktada nesne, olgu veya süreç bilgi yapısı- biçim.

Ekonomik ve matematiksel modellerin sınıflandırılması Ekonomik ve matematiksel modeller, ekonomik gerçekliği dönüştürmek için kullanılan kontrollü ve düzenlenmiş ekonomik süreçlerin modelleridir. Modellerin nesneleri modellemeye yeterliliği, araştırma sonuçlarının gözlemlenen gerçeklerle örtüşmesiyle belirlenir. Bu durumda pratik, gerçeklik anlamına gelir. Ekonomik ve matematiksel modeller, kullanım amaçlarına göre Teorik ve Analitik Uygulamalı olarak ikiye ayrılır. Ekonomik ve matematiksel modeller, tüm ulusal ekonomiyi ve onun alt sistemlerini (sektörler, bölgeler vb.) kapsayan modellere ayrılır. Modeller işlevsel ve yapısaldır. Modeller tanımlayıcı veya normatif olabilir. Tanımlayıcı modeller şu soruyu yanıtlıyor: Bu nasıl oluyor ve nasıl daha da gelişebilir? Normatif modeller şu soruyu yanıtlıyor: Bu nasıl olmalı? Yani, amaçlı faaliyetler içerirler. Rasgeleliği ve belirsizliği hesaba katan kesinlikle deterministik modeller ve modeller vardır. Modeller statik veya dinamik olabilir. Söz konusu dönemin süresine bağlı olarak, kısa vadeli (1-5 yıl) ve uzun vadeli (10-15 yıl veya daha fazla) tahmin ve planlama modelleri ayırt edilir. Bu tür modellerde zamanın kendisi sürekli veya ayrı ayrı değişebilir. Menü Modelleri doğrusal veya doğrusal olmayabilir.

Ekonomik ve matematiksel modellemenin aşamaları. Evreleme ekonomik sorun ve analizi. Önemli olan sorunun özünü, yapılan varsayımları ve cevaplanması gereken soruları belirlemektir. Aşama, bir nesnenin en önemli özelliklerinin ve özelliklerinin vurgulanmasını, ikincil olanlardan soyutlanmasını içerir. Gerekirse nesnenin davranışını ve gelişimini açıklayan hipotezlerin oluşturulması. Matematiksel bir modelin oluşturulması. Ekonomik bir sorunun resmileşme aşaması. Bir modelin ne kadar çok olguyu hesaba katarsa ​​o kadar iyi olacağına inanmak yanlıştır. Modelin karmaşıklığını ve hantallığını değiştirmek araştırma sürecini zorlaştırır. Dikkate almak gerekiyor gerçek fırsatlar bilgi ve matematiksel destek. Modellemenin maliyetini ortaya çıkan etkiyle karşılaştırmak gerekir. Matematiksel modelin en önemli özelliklerinden biri, çeşitli problemlerin çözümünde kullanılma potansiyelidir. Menü

Ekonomik ve matematiksel modellemenin aşamaları. Matematiksel analiz modeller. Bu aşamanın amacı bunu öğrenmektir. genel özellikler modeller. Önemli nokta– bir çözümün varlığının kanıtı. İlk bilgilerin hazırlanması Toplanmanın ne kadar süreceği dikkate alınmalıdır. gerekli bilgiler, bilgi hazırlama maliyetlerini dikkate alın. Hazırlık sürecinde olasılık teorisi yöntemleri, teorik ve matematiksel istatistik. Sayısal çözüm. Problemin sayısal çözümü için algoritmaların geliştirilmesi, bilgisayar programlarının derlenmesi ve doğrudan hesaplamalar. Bu aşamadaki zorluk, ekonomik sorunların boyutu ve önemli miktarda bilginin işlenmesi ihtiyacından kaynaklanmaktadır. Menü Sayısal sonuçların analizi ve uygulanması. Bu aşamada modelleme sonuçlarının doğruluğu, eksiksizliği ve bunların pratik uygulanabilirlik derecesi ile ilgili soru ortaya çıkar.

Doğrusal programlama. Bu, tüm bağımlılıkları doğrusal olan matematiksel modellemenin bir dalıdır. Herhangi bir doğrusal programlama probleminin matematiksel modeli şu şekildedir: Z= max(min) Menü Negatif olmama koşulları Xj ≥ 0

Örnek: u 1 ve u 2 ürünlerinin imalatında, bir birim u 1, 300 ve 200 adet ürünün üretimi için teknolojik standartlara göre torna tezgahları ve freze makinelerinin yanı sıra çelik ve demir dışı metaller kullanılır; sırasıyla tornalama ve frezeleme ekipmanı (saat olarak) ve 10 ve 20 adet çelik ve demir dışı metal (kg olarak) gereklidir. u ürünü üretmek için aynı kaynaktan sırasıyla 2, 400, 100, 70, 50 adet gereklidir. Atölyede 12400 ve 6800 saat, 640 ve 840 kg bulunmaktadır. malzeme. Birim ürün başına satışlardan elde edilen kar u 1=6000 den. birimler , u 2=16000 den. birimler Gerekli: Kaynak verileri, model oluşturmaya uygun bir tablo halinde özetleyin. Sorunun matematiksel bir modelini oluşturun. Ürünlerin üretim planını belirleyerek, freze makinelerinin çalışma süresinin tam olarak kullanılması şartıyla maksimum kârı sağlayın.

Çözüm: x1 ürün sayısı u 1, x2 ürün sayısı u 2, z toplam kâr olsun.

Doğrusal programlama. Bu, yaygın veya türetilmiş bir notasyon biçimidir. Kısıtlama sistemini ve negatif olmama koşulunu sağlayan Xj değişkenlerine kabul edilebilir denir. Amaç fonksiyonunu maksimum veya minimuma dönüştüren geçerli değişkenlere optimal denir. Bu tür sorunları çözme yöntemleri evrensel ve özel olarak ayrılmıştır. Herhangi bir PLP'yi çözmek için evrensel yöntem kullanılır. Özel yöntemler Modelin özelliklerini dikkate alın. ZLP'nin özel bir özelliği, maksimum (min) amaç fonksiyonunun bölgenin sınırına ulaşmasıdır. kabul edilebilir çözümler. PLP'ler şunları içerir: en uygun teknolojileri seçme sorunu; karışım problemi; malzemeyi kesme sorunu; ulaşım sorunu; Menü sorunu kaynakların en iyi şekilde kullanılmasıyla ilgilidir; sipariş yerleştirme sorunu;

Doğrusal programlama probleminin ifadesi Herhangi bir ZLP matematiksel bir model kullanılarak yazılır. 3 kayıt şekli vardır PAP Menüsü Genel (ücretsiz)

Doğrusal programlama probleminin ifadesi Bütün bu formlar eşdeğerdir. Maksimumdan minimuma (veya tam tersi) geçmek için notasyondaki her terimin işaretini değiştirmeniz gerekir. amaç fonksiyonu. Formdaki bir eşitsizliği form eşitsizliğine dönüştürmek (veya tam tersi) için eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpmanız gerekir. Menü Kanonik (ana) Eşitsizliği eşitliğe dönüştürmek (ve tersi) için, sol tarafa negatif olmayan ek bir değişken eklemeniz veya çıkarmanız gerekir, buna denge değişkeni denir. Amaç fonksiyonunu yazarken katsayısı =0'dır.

Matematiksel yöntemleri kullanarak pratik problemlerin çözülmesi, problemin formüle edilmesi (matematiksel bir modelin geliştirilmesi), ortaya çıkan matematiksel modelin incelenmesi için bir yöntemin seçilmesi ve elde edilen matematiksel sonucun analiz edilmesi yoluyla tutarlı bir şekilde gerçekleştirilir. Problemin matematiksel formülasyonu genellikle geometrik görüntüler, fonksiyonlar, denklem sistemleri vb. şeklinde sunulur. Bir nesnenin (fenomenin) tanımı, sürekli veya ayrık, deterministik veya stokastik ve diğer matematiksel formlar kullanılarak temsil edilebilir.

Matematiksel modelleme teorisi, çevredeki dünyadaki çeşitli olayların oluşum kalıplarının veya sistemlerin ve cihazların işleyişinin, tam ölçekli testler yapılmadan matematiksel açıklamaları ve modellemeleri yoluyla tanımlanmasını sağlar. Bu durumda, simüle edilmiş olguları, sistemleri veya cihazları idealleştirmelerinin bir düzeyinde tanımlayan matematik hükümleri ve yasalarından yararlanılır.

Matematiksel bir model (MM), bir sistemin (veya işlemin) bazı soyut dillerde, örneğin bir dizi matematiksel ilişki veya algoritma diyagramı biçiminde resmileştirilmiş bir açıklamasıdır; yani, sistemin çalışmasının simülasyonunu sağlayan matematiksel bir açıklamadır. sistemlerin veya cihazların tam ölçekli testleri sırasında elde edilen gerçek davranışlarına yeterince yakın bir seviyede. Herhangi bir MM, gerçekliğe bir dereceye kadar yakın olan gerçek bir nesneyi, olguyu veya süreci tanımlar. MM'nin türü hem gerçek nesnenin doğasına hem de çalışmanın hedeflerine bağlıdır.

Sosyal, ekonomik, biyolojik ve fiziksel olayların, nesnelerin, sistemlerin ve çeşitli cihazların matematiksel modellenmesi, doğayı anlamanın ve çok çeşitli sistem ve cihazları tasarlamanın en önemli araçlarından biridir. Nükleer teknolojilerin, havacılık ve uzay sistemlerinin oluşturulmasında, atmosferik ve okyanus olaylarının, hava durumunun vb. tahmin edilmesinde modellemenin etkili kullanımına ilişkin bilinen örnekler vardır.

Bununla birlikte, modellemenin bu kadar ciddi alanları genellikle süper bilgisayarları ve modelleme ve hata ayıklama için veri hazırlamak üzere büyük bilim adamlarından oluşan ekiplerin yıllarca çalışmasını gerektirir. Bununla birlikte, bu durumda, karmaşık sistemlerin ve cihazların matematiksel modellemesi yalnızca araştırma ve testlerden tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda çevresel felaketleri de ortadan kaldırabilir - örneğin, nükleer ve termonükleer silahların testlerini matematiksel modellemeleri lehine bırakmanıza olanak tanır. veya havacılık sistemlerinin gerçek uçuşlarından önce test edilmesi.

Bu arada, örneğin mekanik, elektrik mühendisliği, elektronik, radyo mühendisliği ve bilim ve teknolojinin diğer birçok alanından daha basit problemleri çözme düzeyindeki matematiksel modelleme artık modern bilgisayarlarda gerçekleştirilebilir hale geldi. Genelleştirilmiş modeller kullanıldığında, telekomünikasyon sistemleri ve ağları, radar veya radyo navigasyon sistemleri gibi oldukça karmaşık sistemleri simüle etmek mümkün hale gelir.

Matematiksel modellemenin amacı, gerçek süreçleri (doğada veya teknolojide) matematiksel yöntemler kullanarak analiz etmektir. Bu da MM sürecinin resmileştirilmesinin araştırılmasını gerektirir. Bir model, davranışı gerçek bir sisteminkine benzer olan değişkenleri içeren matematiksel bir ifade olabilir. Model, örneğin oyun teorisinde olduğu gibi, iki veya daha fazla "oyuncunun" olası eylemlerinin olasılıklarını hesaba katan rastgelelik unsurlarını içerebilir; veya işletim sisteminin birbirine bağlı parçalarının gerçek değişkenlerini temsil edebilir.

Sistemlerin özelliklerini incelemek için matematiksel modelleme analitik, simülasyon ve birleştirilmiş olarak ayrılabilir. Buna karşılık, MM'ler simülasyon ve analitik olarak ikiye ayrılır.