Operatör matrisinin determinantının geometrik anlamı. Determinantların temel özellikleri ve geometrik anlamları

Özellik 2.12. Gram matrisinin doğrusal olarak determinantı bağımlı sistem vektörler 0'dır.

Kanıt. Vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı olsun. Daha sonra, sistem şunları içerir: sıfır vektör ve bu durumda ifade açıktır veya sistemin önceki vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilebilecek bir vektör vardır. Gram matrisinde
-den çıkarmak Ben-inci satır, katsayılı önceki satırlar
. Gram matrisinin determinantı değişmeyecek, ancak BenÜçüncü satır sıfır olacaktır. Sıfır satırlı bir matrisin determinantı sıfıra eşit ve bu nedenle Gram matrisinin determinantı sıfıra eşittir.

R Hadi bir bakalım geometrik anlamı Doğrusal bağımsız bir vektör sisteminden gram matrisler
. Eğer k=1 ise
- vektör uzunluğunun karesi. Eğer k>1 ise bunu vektörler sistemine uygularız
Dikleştirme süreci ve yapısı ortogonal sistem vektörler
. ile belirtelim P sistemden geçiş matrisi
sisteme
. Bu matrisin üçgen görünüm ve ana köşegeninde 1 vardır ve determinantı 1'e eşittir. Ayrıca Gram matrislerinin determinantları da eşittir. Vektör sisteminden bu yana
dik ise, bu vektörler sisteminin Gram matrisi köşegendir ve determinantı ürüne eşit bu sistemin vektörlerinin uzunluklarının karesi. Böylece eşitlik sağlanır. Davayı düşünün k=2. Daha sonra
yana indirilen paralelkenarın yüksekliğinin uzunluğuna eşittir (bkz. Hata: Referans kaynağı bulunamadı). Bu nedenle ürün
vektörler tarafından yayılan bir paralelkenarın alanına eşit
ve Gram matrisinin determinantı
kareye eşit bu paralelkenarın alanı. Eğer k=3 ise vektör vektörlerin kapsadığı düzleme
. Sonuç olarak, üç vektörün Gram matrisinin determinantı, vektörlerin gerdiği paralelyüzün hacminin karesine eşittir.
. Tüm akıl yürütmeler keyfi bir boyuta genelleştirildiğinden, özellik bu şekilde tesis edilir.

Özellik 2.13 Bir vektörler sisteminin Gram matrisinin determinantı, sistem doğrusal olarak bağımlıysa 0'a ve hacmin karesine eşittir. k vektörler tarafından yayılan boyutlu paralel yüzlü
aksi takdirde.

Şimdi Hadamard eşitsizliğini gösterelim.

Teorem 2.4.

Kanıt. Vektörler sistemi ise
doğrusal bağımlı ise eşitsizlik açıktır. Bu vektör sistemi doğrusal olarak bağımsız olsun. Dikleştirme işlemini buna uygulayalım ve dik bir vektör sistemi oluşturalım.
. Vektör vektörün ortogonal bileşenidir Açık doğrusal kabuk vektörler
, ve bu nedenle,
Bessel eşitsizliği ile (Teorem 2.2). Üstelik kanıtlanması gereken de buydu.

Hadamard eşitsizliği ancak orijinal vektör sistemi dik ise eşitliğe dönüşür. Diğer durumlarda eşitsizlik katıdır.

Sonuç 2.5 Eşitsizlikler geçerlidir
Ve
.

Kanıt.İÇİNDE N-boyutlu aritmetik uzay hadi tanımlayalım skaler çarpım formüle göre
. Matrisin sütunlarının oluşturduğu vektör sistemini düşünün A. Bu vektör sisteminin Gram matrisi şuna eşittir:
ve Hadamard eşitsizliği ile
. Çünkü
, o zaman eşitsizlik
Kurulmuş. Ortaya çıkan eşitsizliği aktarılan matrise uygulayarak şunu elde ederiz:
.

Sonuç 2.6 Let
. Daha sonra
.

Kanıt açıkça.

Hadi koyalım
ve ayrıca tümevarım yoluyla
. Matris sipariş var determinantı eşittir
ve tüm unsurları eşittir
. Bu matriste eşitsizliğin (Sonuç 2.6) eşitliğe dönüştüğünü doğrulamak kolaydır.

1. Rasgele vektörleri düşünün. Öncelikle bu vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayalım. Bu durumda bu vektörlerden herhangi biri için derlenen Gram determinantı sıfırdan farklı olacaktır. O zaman (22)'ye göre varsayılırsa

(23)

ve bu eşitsizliklerin ve eşitsizliklerin terim terim çarpılması

, (24)

.

Böylece doğrusal olarak Gram determinantı bağımsız vektörler pozitif, doğrusal bağımlı olanlar için sıfırdır. Gram determinantı asla negatif değildir.

Kısaltma için belirtelim . Daha sonra (23) ve (24)'ten

üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı nerede ve . Daha öte,

,

vektörler üzerine kurulu bir paralelyüzün hacmi nerede. Daha da devam edersek şunları buluyoruz:

,

ve sonunda

. (25)

Buna, kenarlar gibi vektörler üzerine inşa edilmiş boyutlu bir paralelyüzün hacmi demek doğaldır.

Vektörün koordinatlarını ortonormal bazda ile gösterelim ve

Daha sonra (14)'e dayanarak

ve bu nedenle [bkz. formül (25)]

. (26)

Bu eşitlik aşağıdaki geometrik anlama sahiptir:

Paralel borunun kare hacmi toplamına eşit tüm koordinat boyutlu alt uzaylara projeksiyonlarının kare hacimleri. Özellikle (26)'dan şu sonuç çıkar:

. (26)

Formüller (20), (21), (22), (26), (26") kullanılarak, boyutlu üniter ve Öklid analitik geometrisinin bir dizi temel metrik problemi çözülür.

2. Genişlemeye (15) dönelim. Bundan doğrudan şu sonuç çıkıyor:

bu, (22) ile kombinasyon halinde eşitsizliği verir (keyfi vektörler için) )

bu durumda eşittir işareti yalnızca vektörün vektörlere dik olması durumunda geçerli olur.

Buradan Hadamard eşitsizliğini elde etmek kolaydır

burada eşittir işareti ancak ve ancak vektörler ikili dikse geçerlidir. Eşitsizlik (29), aşağıdaki geometrik olarak açık gerçeği ifade eder:

Bir paralel borunun hacmi, kenarlarının uzunluklarının çarpımını aşmaz ve yalnızca paralel boru dikdörtgen olduğunda bu ürüne eşittir.

Hadamard eşitsizliği buna verilebilir normal görünüm(28)'i koyarak ve bazı ortonormal bazdaki vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı dikkate alarak:

.

Daha sonra (26") ve (28)'den şu sonuç çıkar:

. (28)

3. Şimdi hem eşitsizliği (27) hem de eşitsizliği (28) kapsayan genelleştirilmiş bir Hadamard eşitsizliği oluşturalım:

ve eşittir işareti ancak ve ancak vektörlerin her birinin vektörlerden herhangi birine veya determinantlardan birine dik olması durumunda geçerlidir, sıfıra eşittir.

Eşitsizlik (28") aşağıdaki geometrik anlama sahiptir:

Bir paralel yüzün hacmi, iki ek yüzün hacimlerinin çarpımını aşmaz ve bu çarpıma ancak ve ancak bu yüzler karşılıklı olarak dikse veya bunlardan en az biri sıfır hacme sahipse eşittir.

Eşitsizliğin (29) geçerliliğini vektör sayısına göre tümevarımsal olarak kuracağız. Bu sayı 1 olduğunda eşitsizlik doğrudur [bkz. formül (27)].

Sırasıyla ve tabanları olan iki alt uzayı tanıtalım. Açıkça, . Dik açılımları ele alalım

.

Paralel borunun hacminin karesinin, taban hacminin karesi ve yüksekliğin karesi ile değiştirilmesi [bkz. formül (22)], şunu buluruz:

Bu durumda vektör ayrıştırmasından şu sonuç çıkar:

, (31)

ve burada işaret yalnızca ne zaman gerçekleşir?

Şimdi (30), (30"), (31) ilişkilerini ve tümevarım varsayımını kullanarak şunu elde ederiz:

Eşitsizliği elde ettik (29). Bu eşitsizlikte işaretin ne zaman ortaya çıktığını açıklamaya devam edersek, şunu varsayıyoruz: Ve . O halde (30")'e göre de Ve . (32) bağıntılarında eşit işareti her yerde geçerli olduğundan, buna ek olarak, tümevarım varsayımına göre, vektörlerin her biri, vektörlerin her birine diktir. Açıktır ki vektör de bu özelliğe sahiptir.

Böylece genelleştirilmiş Hadamard eşitsizliği tamamen kurulmuştur.

4. Genelleştirilmiş Hadamard eşitsizliğine (29) analitik bir form da verilebilir.

Keyfi bir pozitif tanımlı Hermitsel form olsun. Boyutlu uzaydaki bir vektörün koordinatlarını bir tabanla düşünürsek, temel metrik form olarak formu alırız (bkz. sayfa 224). Daha sonra üniter bir alan haline gelecektir. Genelleştirilmiş Hadamard eşitsizliğini temel vektörlere uygulayalım: - pozitif tanımlı katsayıların gerçek matrisi ikinci dereceden form vektörler arasında ve bunu ilişkiden belirledikten sonra

.

Bunyakovsky'nin eşitsizliğinden gerçek bir değere sahip olduğu sonucu çıkıyor.

Yaklaşık 20 yıl önce bir üniversitede yüksek matematik okuma fırsatı buldum ve matrislerle başladık (belki o zamanın tüm öğrencileri gibi). Bazı nedenlerden dolayı matrislerin en çok olduğuna inanılıyor kolay konu Biliyorum yüksek Matematik. Belki de - matrislerle yapılan tüm işlemler, determinantı hesaplama yöntemleri ve yine determinant üzerine oluşturulan çeşitli formüller bilgisine indiğinden. Görünüşe göre her şey basit. Ama... Temel bir soruyu yanıtlamaya çalışın: Belirleyici nedir, nedir? araç hesapladığınızda elde ettiğiniz sayı? (ipucu: “Belirleyici, şu şekilde bulunan bir sayıdır” gibi bir değişken) belirli kurallar" doğru cevap değil, çünkü belirleyicinin özünden değil, elde etme yönteminden bahsediyor). Vazgeçiyor musun? - o zaman okumaya devam et...

Hemen şunu söylemek istiyorum ki, ne eğitim ne de konum itibariyle bir matematikçi değilim. Bunun dışında, şeylerin özüyle ilgileniyorum ve bazen onların “temel noktasına inmeye” çalışıyorum. Belirleyici için de durum aynıydı: çoklu regresyonla uğraşmak gerekiyordu ve ekonometrinin bu bölümünde neredeyse her şey matrisler aracılığıyla yapılıyor... lanet olsun onlara. Başlangıçta “determinant nedir?” gibi gelen soruya tanıdığım hiçbir matematikçinin net bir cevap vermemesi nedeniyle benim de biraz araştırma yapmam gerekti. Herkes determinantın özel bir şekilde hesaplanan bir sayı olduğunu ve sıfıra eşitse o zaman... Genel olarak, herhangi bir doğrusal cebir ders kitabında olduğu gibi. Teşekkür ederiz, geçtik.

Bir kişi bir fikir ortaya attıysa, o zaman başka bir kişinin onu anlayabilmesi gerekir (ancak bazen bunu yapmak için kendinizi ek bilgiyle donatmanız gerekir). "Büyük ve güçlü" arama motoruna yapılan bir çağrı, "paralelkenarın alanının, paralelkenarın kenarları olan vektörler tarafından oluşturulan matrisin determinantının modülüne eşit olduğunu" gösterdi. Konuşuyorum basit bir dille, eğer bir matris bir denklem sistemi yazmanın bir yoluysa, o zaman her denklem ayrı ayrı bir vektörü tanımlar. Matriste belirtilen vektörleri başlangıç ​​noktasından oluşturarak uzayda belirli bir şekli tanımlarız. Uzayımız tek boyutluysa şekil bir parçadır; eğer iki boyutluysa, o zaman şekil bir paralelkenardır vb.

Tek boyutlu bir uzay için belirleyicinin bir parçanın uzunluğu, bir düzlem için - bir şeklin alanı, üç boyutlu bir şekil için - hacmi olduğu ortaya çıktı... devam ediyorlar n boyutlu uzaylar hayal bile edemeyeceğimiz bir şey. Bir şeklin hacmi (yani 3*3'lük bir matrisin determinantı) sıfıra eşitse, bu, şeklin kendisinin üç boyutlu olmadığı anlamına gelir (iki boyutlu, tek boyutlu veya hatta olabilir). Bir nokta). Bir matrisin rütbesi, determinantının sıfıra eşit olmadığı uzayın gerçek (maksimum) boyutudur.

Dolayısıyla, determinantla ilgili hemen hemen her şey açıktır: denklem sistemi tarafından tanımlanan vektörlerin oluşturduğu şeklin "hacmini" belirler (her ne kadar değerinin neden orijinal matrisle ilgilenip ilgilenmediğimize bağlı olmadığı açık olmasa da) veya aktarılmış olanı - belki aktarma bir türdür afin dönüşüm?). Artık matrislerdeki işlemleri anlamamız gerekiyor...

Matris bir denklem sistemi ise (aksi halde neden gerçeklikle hiçbir ilgisi olmayan bazı sayıların bulunduğu bir tabloya ihtiyacımız olsun ki?), o zaman onunla farklı şeyler yapabiliriz. Örneğin, aynı matrisin iki satırını toplayabiliriz veya bir satırı bir sayıyla çarpabiliriz (yani satırın her katsayısını aynı sayıyla çarpabiliriz). Aynı boyutlara sahip iki matrisimiz varsa, onları ekleyebiliriz (asıl mesele, bir gergedanla bir bulldog eklemememizdir - ancak matematikçiler matris teorisini geliştirirken bu senaryoyu düşündüler mi?). Bu sezgisel olarak açıktır, özellikle doğrusal cebirde bu tür işlemler denklem sistemleriyle gösterildiğinden.

Ancak matris çarpımının amacı nedir? Bir denklem sistemini diğeriyle nasıl çarpabilirim? Bu durumda elde ettiğim şeyin anlamı nedir? Değişme kuralı neden matrislerin çarpımı için uygulanamıyor (yani, B * A matrislerinin çarpımı yalnızca A * B çarpımına eşit olmamakla kalmıyor, aynı zamanda her zaman mümkün de olmuyor)? Neden bir matrisi bir sütun vektörüyle çarparsak bir sütun vektörü elde ederiz ve bir satır vektörünü bir matrisle çarparsak bir satır vektörü elde ederiz?

Aslında Vikipedi gibi değil, hatta modern ders kitapları Doğrusal cebirde net bir açıklama yapma gücü yoktur. Bir şeyi “önce inan, sonra anla” prensibiyle çalışmak bana göre olmadığından yüzyılların derinliklerine iniyorum (daha doğrusu 20. yüzyılın ilk yarısının ders kitaplarını okuyorum) ve buluyorum. ilginç ifade…

Sıradan vektörlerden oluşan bir koleksiyon, yani. amaçlanan geometrik bölümler, üç boyutlu bir uzay ise, bu uzayın belirli bir düzleme paralel vektörlerden oluşan kısmı iki boyutlu uzaydır ve belirli bir çizgiye paralel tüm vektörler tek boyutlu bir vektör uzayı oluşturur.

Herhangi bir makale, yazarın yazmaktan yorulduğu anda sona erer. A T. Kendime sınırsızlığı benimseme hedefi koymadığım ve yalnızca matrisler üzerinde açıklanan işlemlerin özünü ve matrislerin çözdüğüm denklem sistemleriyle tam olarak nasıl ilişkili olduğunu anlamak istediğim için daha fazla derinliğe dalmadım. lineer Cebir ancak ekonometriye geri döndüm ve çoklu regresyon ama bunu daha bilinçli yaptım. Neyi, neden yaptığımı ve neden başka türlü değil, yalnızca bu şekilde yaptığımı anlamak. Bu materyalde aldığım şey, "doğrusal cebirin temel işlemlerinin özüne ilişkin, bazı nedenlerden dolayı ders kitaplarında basmayı unuttukları bir bölüm" olarak başlıklandırılabilir. Ama ders kitaplarını okumuyoruz değil mi? Dürüst olmak gerekirse üniversitedeyken gerçekten çok özlemiştim anlayış Burada dile getirilen sorunlar nedeniyle bu zor materyali mümkün olduğu kadar sunarak basit kelimelerle, bir iyilik yapıyorum ve birisinin meselenin özüne inmesine yardım ediyorum Matris cebiri, matrislerdeki işlemlerin “tefli kamlanie” bölümünden “bölümüne aktarılması” pratik araçlar bilinçli olarak uygulandı."

Özellik 2.7. Doğrusal olarak bağımlı bir vektör sisteminin Gram matrisinin determinantı 0'a eşittir.

Kanıt. Vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı olsun. O halde ya sistem bir sıfır vektörü içerir ve bu durumda ifade açıktır ya da sistemin önceki vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilebilecek bir vektör vardır. Gram matrisinde, şunu çıkarın: Ben inci satır, katsayılı önceki satırlar. Gram matrisinin determinantı değişmeyecek, ancak BenÜçüncü satır sıfır olacaktır. Sıfır satırı olan bir matrisin determinantı sıfıra eşittir ve bu nedenle Gram matrisinin determinantı sıfıra eşittir.

Doğrusal bağımsız bir vektör sisteminin Gram matrisinin geometrik anlamını ele alalım. Eğer k=1 ise vektör uzunluğunun karesidir. Eğer k>1 ise, dikleştirme işlemini vektörler sistemine uygularız ve dik bir vektörler sistemi oluştururuz. ile belirtelim P sistemden sisteme geçiş matrisi. Bu matris üçgen bir şekle sahiptir ve ana köşegeninde 1'ler vardır ve determinantı 1'dir. Üstelik Gram matrislerinin determinantları da eşittir. Vektörler sistemi dik olduğundan, bu vektörler sisteminin Gram matrisi köşegendir ve determinantı, bu sistemin vektörlerinin uzunluklarının karelerinin çarpımına eşittir. Böylece eşitlik sağlanır. Davayı düşünün k=2. Daha sonra yana indirilen paralelkenarın yüksekliğinin uzunluğuna eşittir (bkz. Şekil 1). Bu nedenle ürün, vektörlerin kapsadığı paralelkenarın alanına eşittir ve Gram matrisinin determinantı bu paralelkenarın alanının karesine eşittir. Eğer k=3 ise vektör, vektörün, vektörlerin gerdiği düzleme dik bir bileşenidir. Sonuç olarak, üç vektörün Gram matrisinin determinantı, vektörlerin gerdiği paralelyüzün hacminin karesine eşittir. Tüm akıl yürütmeler keyfi bir boyuta genelleştirildiğinden, özellik bu şekilde kurulur.

Özellik 2.8 Bir vektörler sisteminin Gram matrisinin determinantı, sistem doğrusal olarak bağımlıysa 0'a ve hacmin karesine eşittir. k vektörler tarafından farklı şekilde yayılan boyutlu paralel yüzlü.

Şimdi Hadamard eşitsizliğini gösterelim.

Teorem 2.4.

Kanıt. Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıysa eşitsizlik açıktır. Bu vektör sistemi doğrusal olarak bağımsız olsun. Dikleştirme işlemini buna uygulayalım ve dik bir vektör sistemi oluşturalım. Vektör, vektörlerin doğrusal gövdesi üzerindeki vektörün ortogonal bileşenidir ve dolayısıyla Bessel eşitsizliğine bağlıdır (Teorem 2.2). Üstelik kanıtlanması gereken de bu.

Hadamard eşitsizliği ancak orijinal vektör sistemi dik ise eşitliğe dönüşür. Diğer durumlarda eşitsizlik katıdır.

Sonuç 2.5 Eşitsizlikler geçerlidir Ve .

Kanıt.İÇİNDE N-boyutlu aritmetik uzayda skaler çarpımı formülle tanımlarız . Matrisin sütunlarının oluşturduğu vektör sistemini düşünün A. Bu vektör sisteminin Gram matrisi eşittir ve Hadamard eşitsizliğine göre . Çünkü , o zaman eşitsizlik Kurulmuş. Ortaya çıkan eşitsizliği aktarılan matrise uygulayarak şunu elde ederiz: .