İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri. korelasyon anı. Korelasyon katsayısı

dikkate aldık sayısal özellikler bir rasgele değişken X - farklı sıraların ilk ve merkezi anları. Bu özelliklerden ikisi en önemlisidir: matematiksel beklenti m X ve varyans Dx.

İki rasgele değişkenden oluşan bir sistem için benzer sayısal özellikler - farklı mertebelerdeki ilk ve merkezi momentler - de tanıtılabilir. Sistemin (X, Y) k, s mertebesinin ilk anı, X ürününün beklentisidir. k Y'ye S:

M[X k Y S]

Sistemin (X, Y) k, s mertebesinin merkezi momenti, matematiksel beklentidir kth ürünleri Ve 1. derece karşılık gelen merkezli miktarlar:

Uygulamada, genellikle yalnızca birinci ve ikinci anlar kullanılır.

İlk başlangıç anları, sisteme dahil olan X ve Y miktarlarının matematiksel beklentilerini zaten biliyoruz:

M X ve M y

Matematiksel beklentiler kümesi m X, M y sistemin konumunun bir özelliğidir. Geometrik olarak bunlar, noktanın etrafa dağıldığı düzlemdeki orta noktanın koordinatlarıdır (X.Y).

ilk hariç ilk anlar, uygulamada, sistemin ikinci merkezi momentleri de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ikisi zaten X ve Y'nin bilinen dağılımlarıdır.

Saçılmayı karakterize eden D[X] ve D[Y] rastgele nokta Ox ve Oy eksenleri yönünde.

özel rol sistemin özelliği ikinci karışıkı nasıl oynuyor merkezi an:

μ 1,1 = M,

yani, merkezli miktarların ürününün beklentisi. Bu anın oynadığı gerçeği göz önüne alındığında önemli rol rastgele değişken sistemleri teorisinde, bunun için özel bir tanım getirilmiştir:

Khy \u003d M [X 0 Y 0 ] \u003d M [(X-m X)(Y-m y)].

Karakteristik Kxy, X, Y rasgele değişkenlerinin korelasyon momenti (başka bir deyişle "bağlantı momenti") olarak adlandırılır.

Ayrık rasgele değişkenler için korelasyon anı formül ile ifade edilir

Khu =Σ Σ(x Ben-M X)(e J-M y)P ben

Bu özelliğin anlamını ve amacını bulalım. Korelasyon momenti, X ve Y değerlerinin dağılımına ek olarak, bunlar arasındaki ilişkiyi de tanımlayan rastgele değişkenler sisteminin bir özelliğidir. Bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon momenti sıfır.

Dolayısıyla, iki rastgele değişkenin korelasyon momentinin sıfırdan farklı olması, aralarında bir ilişkinin varlığının bir işaretidir.

Formülden, korelasyon momentinin sadece miktarların bağımlılığını değil, aynı zamanda dağılımlarını da karakterize ettiği görülebilir. Aslında, örneğin, niceliklerden biri (X, Y) değerinden çok az saparsa, matematiksel beklenti(neredeyse rastgele değil), o zaman (X, Y) değerleri ne kadar yakından ilişkili olursa olsun, korelasyon anı küçük olacaktır. Bu nedenle, nicelikler (X, Y) arasındaki ilişkiyi saf haliyle karakterize etmek için andan boyutsuz karakteristiğe geçiyoruz.

rxy=Kxy/σx σy

burada σх, σу ortalamadır Standart sapma X, Y değerleri. Bu özellik denir korelasyon katsayısı x ve y değerleri.

Açıkçası, korelasyon katsayısı, korelasyon momenti ile aynı anda kaybolur; bu nedenle, bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısı sıfırdır.

Korelasyon momentinin (ve dolayısıyla korelasyon katsayısının) sıfıra eşit olduğu rastgele değişkenler, ilişkisiz (bazen "ilişkisiz") olarak adlandırılır.

İlişkisiz rastgele değişkenler kavramı, bağımsızlık kavramına eşdeğerdir. Bilindiği üzere bağımsız rastgele değişkenler her zaman ilişkisizdir. Açıklığa kavuşturulması gerekiyor: Tersi önerme doğru mu, bağımsızlıkları niceliklerin bağıntısızlığından mı geliyor? Görünüşe göre - hayır. İlişkisiz fakat bağımlı olan rastgele değişkenler vardır. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için korelasyon katsayısının sıfıra eşit olması gerekli ancak yeterli bir koşul değildir. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığından, korelasyonsuzlukları gelir; tam tersine, bağımsızlıkları, ilgisiz büyüklüklerinden kaynaklanmaz. Rastgele değişkenlerin bağımsızlık koşulu, korelasyon olmama koşulundan daha katıdır.

Korelasyon katsayısı her bağımlılığı değil, yalnızca sözde doğrusal bağımlılığı karakterize eder. Rastgele değişkenlerin doğrusal olasılıksal bağımlılığı, bir rastgele değişken arttıkça diğerinin de artma (veya azalma) eğiliminde olduğu gerçeğinde yatmaktadır. lineer yasa. yönelik bu eğilim doğrusal bağımlılık az ya da çok belirgin olabilir, az ya da çok bir işlevsele, yani en yakın doğrusal ilişkiye yaklaşabilir. Korelasyon katsayısı, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin sıkılık derecesini karakterize eder. X ve Y rasgele değişkenleri tam bir doğrusal fonksiyonel ilişki ile bağlıysa:

Y=aX + b, o zaman rxy = ±1 olur ve a katsayısının pozitif veya negatif olmasına göre "artı" veya "eksi" işareti alınır. İÇİNDE Genel dava, X ve Y değerleri keyfi bir olasılık bağımlılığı ile bağlandığında, korelasyon katsayısı aşağıdakiler içinde bir değere sahip olabilir:

1 < rху < 1

r > 0 olması durumunda, pozitif korelasyon r durumunda X ve Y değerleri<0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Pozitif ve negatif korelasyonları olan rastgele değişkenlere bazı örnekler verelim.

1. Bir kişinin ağırlığı ve boyu pozitif olarak ilişkilidir.

2. Derslere hazırlanmak için harcanan zaman ve alınan not pozitif olarak ilişkilidir (tabii ki zaman akıllıca harcanırsa). Aksine, hazırlık için harcanan zaman ve alınan iki sayısı arasında negatif bir korelasyon vardır.

3. Hedefe iki el ateş edilir; ilk atışın çarpma noktası kaydedilir ve ilk atışın ters işaretli hatasıyla orantılı bir düzeltme görüşe sokulur. Birinci ve ikinci atışların vuruş noktalarının koordinatları negatif olarak ilişkilendirilecektir.

İki rasgele değişkenli (X, Y) bir sistem üzerinde bir dizi deneyin sonuçları elimizdeyse, o zaman grafiğe göre ilk yaklaşımda aralarında anlamlı bir korelasyonun varlığını veya yokluğunu yargılamak kolaydır. deneyden elde edilen rasgele değişkenlerin tüm değer çiftlerini noktalar şeklinde gösteren . Örneğin, gözlenen büyüklük değerleri çiftleri aşağıdaki gibi düzenlenirse

5. Bölüm'de, bir rasgele değişkenin - çeşitli sıraların başlangıç ve merkez anları - sayısal özelliklerini ele aldık. Bu özelliklerden ikisi en önemlisidir: matematiksel beklenti ve varyans.

İki rasgele değişkenden oluşan bir sistem için benzer sayısal özellikler - farklı mertebelerdeki ilk ve merkezi momentler - de tanıtılabilir.

Siparişin verildiği ilk an, sistem tarafından ürün beklentisi adı verilir:

. (8.6.1)

Sistemin düzeninin merkezi momenti, karşılık gelen merkezli niceliklerin -inci ve -inci derecelerinin çarpımının matematiksel beklentisidir:

, (8.6.2)

Doğrudan momentleri hesaplamaya yarayan formülleri yazalım. Süreksiz rastgele değişkenler için

, (8.6.3)

, (8.6.4)

Nerede - sistemin değerleri alma olasılığı ve toplam, rasgele değişkenlerin tüm olası değerlerine dağıtılır.

Sürekli rastgele değişkenler için:

, (8.6.5)

, (8.6.6)

sistemin dağıtım yoğunluğu nerede.

Bireysel niceliklere göre anın sırasına ek olarak ve karakterize etmenin yanı sıra, ve 'deki üslerin toplamına eşit olan anın toplam sırası da dikkate alınır. Toplam sıraya göre, anlar birinci, ikinci vb. Olarak sınıflandırılır. Pratikte genellikle yalnızca birinci ve ikinci anlar kullanılır.

İlk başlangıç anları, değerlerin matematiksel beklentileri bizim tarafımızdan zaten biliniyor ve sisteme dahil ediliyor:

Matematiksel beklentiler kümesi, sistemin konumunun bir özelliğidir. Geometrik olarak bunlar, noktanın etrafa saçıldığı düzlemdeki orta noktanın koordinatlarıdır.

İlk başlangıç anlarına ek olarak, sistemin ikinci merkezi momentleri uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ikisi, miktarların zaten bilinen dağılımlarıdır ve:

eksenler yönünde rastgele bir noktanın dağılımının karakterize edilmesi ve .

Sistemin bir özelliği olarak özel bir rol, ikinci karışık merkezi an tarafından oynanır:

onlar. merkezli niceliklerin çarpımının matematiksel beklentisi.

Bu momentin teoride önemli bir rol oynadığı gerçeği göz önüne alındığında, bunun için özel bir notasyon sunuyoruz:

. (8.6.7)

Karakteristik, rasgele değişkenlerin korelasyon momenti (başka bir deyişle, “bağlantı momenti”) olarak adlandırılır.

Süreksiz rasgele değişkenler için korelasyon momenti formülle ifade edilir.

, (8.6.8)

ve sürekli için - formüle göre

. (8.6.9)

Bu özelliğin anlamını ve amacını bulalım.

Korelasyon momenti, niceliklerin dağılımına ek olarak aralarındaki ilişkiyi de tanımlayan rastgele değişkenler sisteminin bir özelliğidir. Bunu doğrulamak için, bağımsız rasgele değişkenler için korelasyon momentinin sıfıra eşit olduğunu kanıtlıyoruz.

Sürekli rastgele değişkenler için ispatı yapacağız. , dağılım yoğunluğu ile bağımsız sürekli nicelikler olsun . 8.5'te bağımsız değişkenler için şunu kanıtladık

. (8.6.10)

burada , sırasıyla ve değerlerin dağılım yoğunluklarıdır.

İfadeyi (8.6.10) formül (8.6.9)'a koyarak, integralin (8.6.9) iki integralin çarpımına dönüştüğünü görüyoruz:

ayrılmaz

miktarın ilk merkezi momentinden başka bir şeyi temsil etmez ve bu nedenle sıfıra eşittir; aynı nedenle ikinci çarpan da sıfıra eşittir; dolayısıyla, bağımsız rasgele değişkenler için.

Dolayısıyla, iki rastgele değişkenin korelasyon momentinin sıfırdan farklı olması, aralarında bir ilişkinin varlığının bir işaretidir.

Formül (8.6.7)'den, korelasyon momentinin sadece niceliklerin bağımlılığını değil, aynı zamanda dağılımlarını da karakterize ettiği görülebilir. Aslında, örneğin niceliklerden biri matematiksel beklentisinden çok az saparsa (neredeyse rastgele değil), o zaman nicelikler ne kadar yakından ilişkili olursa olsun korelasyon momenti küçük olacaktır. Bu nedenle, nicelikler arasındaki ilişkiyi saf haliyle karakterize etmek için andan boyutsuz karakteristiğe geçiyoruz.

burada , değerlerin standart sapmalarıdır . Bu özelliğe niceliklerin korelasyon katsayısı denir ve . Açıkçası, korelasyon katsayısı, korelasyon momenti ile aynı anda kaybolur; bu nedenle, bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısı sıfırdır.

Korelasyon momentinin (ve dolayısıyla korelasyon katsayısının) sıfıra eşit olduğu rastgele değişkenler, ilişkisiz (bazen "ilişkisiz") olarak adlandırılır.

İlişkisiz rastgele değişkenler kavramının bağımsızlık kavramına eşdeğer olup olmadığını öğrenelim. Yukarıda, iki bağımsız rasgele değişkenin her zaman ilintisiz olduğunu kanıtladık. Açıklığa kavuşturulması gerekiyor: Tersi önerme doğru mu, bağımsızlıkları niceliklerin bağıntısızlığından mı geliyor? Görünüşe göre - hayır. İlişkisiz fakat bağımlı olan bu tür rasgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Korelasyon katsayısının sıfıra eşit olması gereklidir, ancak gerekli değildir. yeterli koşul rastgele değişkenlerin bağımsızlığı. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığından, korelasyonsuzlukları gelir; aksine, bağımsızlıkları henüz niceliklerin ilişkisizliğinden kaynaklanmaz. Rastgele değişkenlerin bağımsızlık koşulu, korelasyon olmama koşulundan daha katıdır.

Bunu bir örnekle doğrulayalım. Merkezi orijinde olan yarıçaplı bir çemberin içinde düzgün yoğunlukta dağıtılan bir rasgele değişkenler sistemini düşünün (Şekil 8.6.1).

Miktarların dağılım yoğunluğu formülle ifade edilir.

koşuldan bulmak .

Bu örnekte miktarların bağımlı olduğunu görmek kolaydır. Nitekim, değer örneğin 0 değerini almışsa, o zaman değerin ila arasındaki tüm değerleri alabileceği doğrudan açıktır; değer, değerini almışsa, değer yalnızca tek bir değer alabilir, tam olarak sıfıra eşittir; genel olarak olası değerlerin aralığı, hangi değerin alındığına bağlıdır.

Bu niceliklerin birbiriyle ilişkili olup olmadığına bakalım. Korelasyon momentini hesaplayalım. Simetri nedenleriyle şunu elde ettiğimizi akılda tutarak:

. (8.6.12)

İntegrali hesaplamak için, entegrasyon alanını (daire) dört koordinat açısına karşılık gelen dört sektöre böleriz. Sektörlerde ve integral pozitiftir, sektörlerde ve negatiftir; mutlak değerde, bu sektörler üzerindeki integraller eşittir; dolayısıyla integral (8.6.12) sıfırdır ve miktarlar ilişkili değildir.

Böylece, bağımsızlıklarının her zaman rastgele değişkenlerin korelasyonsuzluğundan kaynaklanmadığını görüyoruz.

Korelasyon katsayısı her bağımlılığı değil, yalnızca sözde doğrusal bağımlılığı karakterize eder. Rastgele değişkenlerin doğrusal olasılıksal bağımlılığı, bir rastgele değişken arttıkça diğerinin doğrusal bir yasaya göre artma (veya azalma) eğiliminde olduğu gerçeğinde yatmaktadır. Doğrusal bir ilişkiye yönelik bu eğilim, az ya da çok belirgin olabilir, az ya da çok işlevsel, yani en yakın doğrusal ilişkiye yaklaşabilir. Korelasyon katsayısı, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin sıkılık derecesini karakterize eder. Rastgele değişkenler ve tam bir doğrusal işlevsel bağımlılıkla birbirine bağlıysa:

sonra , ve katsayının pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak "artı" veya "eksi" işareti alınır. Genel durumda, ve değerleri keyfi bir olasılık bağımlılığı ile bağlandığında, korelasyon katsayısı sınırlar içinde bir değere sahip olabilir: yalnızca değişim aralığı değişir ve ortalama değeri değişmez; Doğal olarak, miktarların ilişkisiz olduğu ortaya çıkıyor.

Pirinç. 8.6.2 Şekil.8.6.3

Pozitif ve negatif korelasyonları olan rastgele değişkenlere bazı örnekler verelim.

1. Bir kişinin ağırlığı ve boyu pozitif olarak ilişkilidir.

2. Cihazı çalışmaya hazırlarken ayarlamak için harcanan zaman ve sorunsuz çalışma süresi pozitif olarak ilişkilidir (tabii ki zaman akıllıca harcanırsa). Aksine, hazırlık için harcanan süre ile cihazın çalışması sırasında tespit edilen arıza sayısı arasında negatif bir ilişki vardır.

3. Bir voleybolda ateş ederken, bireysel mermilerin çarpma noktalarının koordinatları pozitif olarak ilişkilidir (çünkü tüm atışlarda ortak olan ve her birini hedeften eşit şekilde saptıran nişan alma hataları vardır).

4. Hedefe iki el ateş edilir; ilk atışın çarpma noktası kaydedilir ve ilk atışın ters işaretli hatasıyla orantılı bir düzeltme görüşe sokulur. Birinci ve ikinci atışların vuruş noktalarının koordinatları negatif olarak ilişkilendirilecektir.

Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem üzerinde bir dizi deneyin sonuçları elimizdeyse, bunlar arasında önemli bir korelasyonun varlığı veya yokluğu, noktalar şeklinde gösterilen grafikle ilk yaklaşımda kolayca değerlendirilebilir. deneyden elde edilen rastgele değişkenlerin tüm değer çiftleri. Örneğin, gözlemlenen değer çiftleri Şekil 1'de gösterildiği gibi yerleştirilmişse. 8.6.2, bu, değerler arasında belirgin bir pozitif korelasyonun varlığını gösterir. Doğrusal bir fonksiyonel bağımlılığa yakın, daha da belirgin bir pozitif korelasyon, Şekil 2'de gözlenmektedir. 8.6.3. Şek. 8.6.4, nispeten zayıf bir negatif korelasyon durumunu gösterir. Son olarak, şek. 8.6.5 pratik olarak ilişkisiz rasgele değişkenlerin durumunu göstermektedir. Uygulamada, rastgele değişkenlerin korelasyonunu incelemeden önce, korelasyon türü hakkında ilk nitel karar için gözlemlenen değer çiftlerini bir grafik üzerinde önceden çizmek her zaman yararlıdır.

Korelasyon momentleri, korelasyon katsayısı, yukarıda tanıtılan bir rastgele değişken kavramıyla veya daha doğrusu bir rastgele değişkenler sistemiyle yakından ilişkili sayısal özelliklerdir. Bu nedenle, anlamlarını ve rollerini tanıtmak ve belirlemek için, rastgele değişkenler sistemi kavramını ve bunlara özgü bazı özellikleri açıklamak gerekir.

Bir fenomeni tanımlayan iki veya daha fazla rasgele değişken, bir sistem veya rasgele değişkenler kompleksi olarak adlandırılır.

X, Y, Z, …, W gibi çeşitli rasgele değişkenlerden oluşan bir sistem genellikle (X, Y, Z, …, W) ile gösterilir.

Örneğin, bir düzlemdeki bir nokta bir koordinatla değil, iki ile ve uzayda - hatta üç ile tanımlanır.

Birkaç rasgele değişkenden oluşan bir sistemin özellikleri, sisteme dahil olan bireysel rasgele değişkenlerin özellikleriyle sınırlı değildir, aynı zamanda rasgele değişkenler arasındaki karşılıklı bağlantıları (bağımlılıkları) da içerir. Bu nedenle, rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemi incelerken, bağımlılığın doğasına ve derecesine dikkat edilmelidir. Bu bağımlılık az ya da çok belirgin, az ya da çok yakın olabilir. Ve diğer durumlarda, rasgele değişkenler pratik olarak bağımsızdır.

Y rasgele değişkeninin dağılım yasası X değişkeninin değerine bağlı değilse, rasgele değişken Y, X rasgele değişkeninden bağımsız olarak adlandırılır.

Rastgele değişkenlerin bağımlılığının ve bağımsızlığının her zaman karşılıklı bir fenomen olduğuna dikkat edilmelidir: Y, X'e bağlı değilse, o zaman X'in değeri Y'ye bağlı değildir. Bunu göz önünde bulundurarak, bağımsızlığın aşağıdaki tanımını verebiliriz. rastgele değişkenler.

Rastgele değişkenler X ve Y, her birinin dağılım yasası diğerinin aldığı değere bağlı değilse, bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde, X ve Y miktarlarına bağımlı denir.

Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bir bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir.

Olasılık teorisinde kullanılan rastgele değişkenlerin "bağımlılığı" kavramı, matematikte kullanılan değişkenlerin olağan "bağımlılığı" kavramından biraz farklıdır. Bu nedenle, bir matematikçi "bağımlılık" derken yalnızca bir tür bağımlılık anlamına gelir - tam, katı, sözde işlevsel bağımlılık. Birinin değerini bilerek diğerinin değerini doğru bir şekilde belirlemek mümkün ise, X ve Y iki niceliğine işlevsel olarak bağımlı denir.

Olasılık teorisinde, biraz farklı bir bağımlılık türü vardır - olasılıksal bağımlılık. Y'nin değeri, olasılıksal bir bağımlılıkla X'in değeriyle ilişkiliyse, o zaman X'in değerini bilerek, Y'nin değerini doğru bir şekilde belirtmek imkansızdır, ancak değerin hangi değere bağlı olduğuna bağlı olarak dağıtım yasasını belirleyebilirsiniz. X almıştır.

Olasılık bağımlılığı aşağı yukarı yakın olabilir; olasılıksal bağımlılığın sıkılığı arttıkça, işlevsel olana gittikçe daha fazla yaklaşır. Bu nedenle, işlevsel bağımlılık, en yakın olasılıksal bağımlılığın aşırı, sınırlayıcı bir durumu olarak düşünülebilir. Başka bir aşırı durum, rastgele değişkenlerin tamamen bağımsız olmasıdır. Bu iki aşırı durum arasında, en güçlüsünden en zayıfına kadar olasılıksal bağımlılığın tüm dereceleri bulunur.

Rastgele değişkenler arasındaki olasılıksal bağımlılığa pratikte sıklıkla rastlanır. X ve Y rasgele değişkenleri olasılıksal bir bağımlılık içindeyse, bu, X'in değerindeki bir değişiklikle Y'nin değerinin oldukça kesin bir şekilde değiştiği anlamına gelmez; bu sadece X'in değerindeki bir değişiklikle Y'nin değerinin de değişeceği anlamına gelir.

ayrıca değişme eğilimindedir (artan X ile artar veya azalır). Bu eğilim yalnızca genel anlamda gözlemlenir ve her bir durumda ondan sapmalar mümkündür.

Olasılık bağımlılığı örnekleri.

Rastgele peritonitli bir hasta seçeceğiz. rastgele değişken T - hastalığın başlangıcından itibaren geçen süre, rastgele değişken O - homeostatik bozuklukların seviyesi. Bu değerler arasında net bir ilişki vardır çünkü T değeri, O değerini belirleyen en önemli sebeplerden biridir.

Aynı zamanda, rasgele değişken T ile rasgele değişken M arasında daha zayıf bir olasılıksal bağımlılık vardır ve bu patolojide mortaliteyi yansıtır, çünkü rasgele değişken O rasgele değişkenini etkilemesine rağmen ana belirleyici faktör değildir.

Ayrıca, T değerini ve B değerini (cerrahın yaşı) dikkate alırsak, bu değerler pratikte bağımsızdır.

Şimdiye kadar, rastgele değişkenli sistemlerin özelliklerini yalnızca sözel bir açıklama vererek tartıştık. Bununla birlikte, hem bireysel rasgele değişkenlerin hem de bir rasgele değişkenler sisteminin özelliklerinin araştırıldığı sayısal özellikler vardır.

Normal dağılıma sahip bir rastgele değişkenin en önemli özelliklerinden biri matematiksel beklentidir.

Olası değerlere sahip X ayrı bir rasgele değişken düşünün X 1 , x2, ... , xn olasılıklarla p1, p2, ... , pn. rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu, bu değerlerin farklı değerlere sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla, genellikle değerlerin sözde "ağırlıklı ortalaması" kullanılır. Xi, ve her değer Xi ortalama alırken, bu değerin olasılığı ile orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Dolayısıyla, "ağırlıklı ortalamayı" M[X] veya mx, alırız

veya buna göre,

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Daha fazla netlik için, tanıtılan kavramın mekanik bir yorumunu ele alalım. Apsis x 1 olan noktalar apsis ekseninde yer alsın, x2, …, xn, kütlelerin sırasıyla yoğunlaştığı p1, p2, … , pn, Dahası. O zaman matematiksel beklenti, verili maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisinden başka bir şey değildir.

Matematiksel beklenti için formül (1), ayrı bir rasgele değişken durumuna karşılık gelir. Sürekli bir X değeri için, matematiksel beklenti, elbette, bir toplam olarak değil, bir integral olarak ifade edilir:

X'in dağılım yoğunluğu nerede.

Formül (2), içindeki bireysel değerleri değiştirirsek formül (1)'den elde edilir. Xi sürekli değişen X parametresi, karşılık gelen olasılıklar pi olasılık elemanı f(x)dx, son toplam - integral.

Mekanik yorumlamada, sürekli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı anlamı korur - apsis ekseni boyunca dağılım kütlesi f(x) yoğunluğu ile sürekli olduğunda ağırlık merkezinin apsisi.

Matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir, ancak bu, bazı bilim adamlarına göre uygulama için önemli bir ilgi alanı değildir.

Matematiksel beklentiye ek olarak, diğer sayısal rasgele değişkenler, momentler de önemlidir.

Moment kavramı, mekanikte kütlelerin dağılımını (istatistiksel momentler, atalet momentleri, vb.) Bir rasgele değişkenin dağılımının temel özelliklerini açıklamak için olasılık teorisinde tamamen aynı yöntemler kullanılır. Çoğu zaman, pratikte iki tür an kullanılır: ilk ve merkezi.

Süreksiz bir rasgele değişken X'in s. mertebesinin ilk momenti, formun toplamıdır

Açıkçası, bu tanım, x ekseni üzerinde x 1, ..., xn konsantre kütle p1, …, pn.

Sürekli bir rasgele değişken X için, s. mertebenin ilk momenti integraldir.

açık ki

onlar. X rasgele değişkeninin s'inci mertebesinin ilk anı, bu rasgele değişkenin s'inci kuvvetinin matematiksel beklentisinden başka bir şey değildir.

Merkezi momentin tanımını vermeden önce, "merkezlenmiş rasgele değişken" kavramını tanıtıyoruz.

Matematiksel beklentisi mx olan rastgele bir X değişkeni olsun. X değerine karşılık gelen merkezli rastgele değişken, X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinden sapmasıdır.

Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır.

Rastgele bir değişkeni ortalamak, orijini apsisi matematiksel beklentiye eşit olan bir noktaya taşımakla eşdeğerdir.

Bir X rasgele değişkeninin s mertebesinin merkezi momenti, karşılık gelen merkezli rasgele değişkenin s'inci gücünün matematiksel beklentisidir:

Süreksiz bir rasgele değişken için, s. merkezi moment, toplamla ifade edilir.

ve sürekli için - integral

En önemlisi, dağılım adı verilen ve D[X] ile gösterilen ikinci merkezi momenttir. Elimizdeki dağılım için

Rastgele bir değişkenin dağılımı, dağılımın bir özelliğidir, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında dağılımıdır. "Dağılma" kelimesinin kendisi "saçılma" anlamına gelir.

Dağılımın mekanik yorumu, ağırlık merkezi etrafındaki belirli bir kütle dağılımının atalet momentinden başka bir şey değildir.

Uygulamada, değer de sıklıkla kullanılır

X rastgele değişkeninin standart sapması (aksi takdirde - "standart") olarak adlandırılır.

Şimdi rastgele değişken sistemlerinin özelliklerinin değerlendirilmesine dönüyoruz.

Sistemin k,s mertebesinin ilk anı (X, Y), X k ve Y s ürününün beklentisidir,

xk,s= M.

Sistemin (X, Y) k,s mertebesinin merkezi momenti, karşılık gelen merkezli niceliklerin k'ıncı ve s'inci kuvvetlerinin çarpımının matematiksel beklentisidir:

Süreksiz rastgele değişkenler için

burada p ij, sistemin (X, Y) değerlerini alma olasılığıdır ( xi, yj) ve toplam, X,Y rasgele değişkenlerinin tüm olası değerleri üzerinden kabul edilir.

Sürekli rasgele değişkenler için

burada f(x,y) sistemin dağılım yoğunluğudur.

Bireysel niceliklere göre anın sırasını karakterize eden k ve s sayılarına ek olarak, X ve Y'deki üslerin toplamına eşit olan k + s anının toplam sırası da dikkate alınır. toplam düzen, anlar birinci, ikinci vb. olarak sınıflandırılır. Uygulamada, genellikle yalnızca birinci ve ikinci anlar kullanılır.

İlk başlangıç anları, sisteme dahil olan X ve Y değerlerinin matematiksel beklentileridir.

y1.0=mx y0.1= benim

Matematiksel beklentiler kümesi m x , Benim sistemin konumunun bir özelliğidir. Geometrik olarak bunlar, noktanın dağıldığı düzlemdeki orta noktanın koordinatlarıdır (X, Y).

Sistemlerin ikinci merkezi anları da pratikte önemli bir rol oynar. Bunlardan ikisi X ve Y'nin dağılımlarıdır.

Ox ve Oy eksenleri yönünde rastgele bir noktanın dağılımını karakterize eder.

İkinci kaydırılan merkezi moment özel bir rol oynar:

X ve Y rasgele değişkenlerinin korelasyon momenti (başka bir deyişle "bağlantı momenti") olarak adlandırılır.

Korelasyon momenti, X ve Y değerlerinin dağılımına ek olarak, bunlar arasındaki ilişkiyi de tanımlayan rastgele değişkenler sisteminin bir özelliğidir. Bunu doğrulamak için, bağımsız rasgele değişkenlerin korelasyon momentinin sıfıra eşit olduğuna dikkat ediyoruz.

Korelasyon momentinin yalnızca niceliklerin bağımlılığını değil, aynı zamanda dağılımlarını da karakterize ettiğini unutmayın. Bu nedenle, nicelikler (X; Y) arasındaki ilişkiyi saf haliyle karakterize etmek için, bunlar K xy anından karakteristiğe geçerler.

Nerede yx, yy- X ve Y değerlerinin standart sapmaları Bu özelliğe X ve Y değerlerinin korelasyon katsayısı denir.

Formül (3)'ten bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısının sıfıra eşit olduğu görülebilir, çünkü bu tür değişkenler için xxy=0.

Rastgele değişkenler rxy=0 ilişkisiz (ilişkisiz) olarak adlandırılır.

Bununla birlikte, rasgele değişkenlerin korelasyon olmamasının, onların bağımsız olduğu anlamına gelmediğine dikkat edin.

Korelasyon katsayısını belirlemenin birkaç yöntemi vardır. Bununla birlikte, Pearson'un karışık moment korelasyon katsayısını kullanarak bir örnek vereceğiz, burada

bir veri tablosu kullanarak (bizim örneğimizde, % olarak T-lenfositlerin bağıl içeriği ve g / l cinsinden IgG seviyesi):

Elde edilen değerleri formül (4) ile değiştirerek elde ederiz

Yani peritonitli çocuklarda T-lenfosit dinamikleri ve immünoglobulin G'nin korelasyon katsayısı 0.9933'tür ve bu göstergeler arasında yüksek bir ilişki olduğunu gösterir.

AZERBAYCAN CUMHURİYETİ DEVLET BİLİM VE TEKNOLOJİ KOMİTESİ

BAKÜ BİLİM VE EĞİTİM MERKEZİ

ÇOCUK CERRAHİSİ BÖLÜMÜ YÜKSEK LİSANS ÖĞRENCİSİ

N. NARIMANOV'un adını taşıyan AMU

MUHTAROVA EMİLY GASAN

İLİŞKİ ANLARI. KORELASYON KATSAYISI

GİRİİŞ

Olasılık teorisi rastgele olaylardaki düzenlilikleri inceleyen bir matematik bilimidir.

Rastgele olaylar ne demek?

Fiziksel ve teknik problemlerin bilimsel çalışmasında, genellikle rasgele olarak adlandırılan özel tipte fenomenlerle sıklıkla karşılaşılır. rastgele fenomen- bu, aynı deneyimin tekrar tekrar üretilmesiyle biraz farklı ilerleyen bir olgudur.

Rastgele bir olguya bir örnek verelim.

Aynı cisim analitik bir terazide birkaç kez tartılır: tekrarlanan tartımların sonuçları birbirinden biraz farklıdır. Bu farklılıklar, ekipmanın rastgele titreşimleri, cihazın okuma hataları vb. gibi tartım işlemine eşlik eden çeşitli ikincil faktörlerin etkisinden kaynaklanmaktadır.

Doğada, şans unsurlarının bir dereceye kadar mevcut olmayacağı tek bir fiziksel fenomen olmadığı açıktır. Deneyin koşulları ne kadar kesin ve ayrıntılı olarak belirlenirse sabitlensin, deney tekrarlandığında sonuçların tam ve tam olarak örtüşmesini sağlamak mümkün değildir.

Rastgelelik, kaçınılmaz olarak herhangi bir doğal fenomene eşlik eder. Bununla birlikte, bir dizi pratik problemde, gerçek bir fenomen yerine basitleştirilmiş şeması dikkate alındığında, bu rastgele unsurlar ihmal edilebilir. modeli ve verili deneysel koşullar altında fenomenin oldukça kesin bir şekilde ilerlediğini varsayarsak. Aynı zamanda, bu fenomeni etkileyen sayısız faktörden en önemli, temel, belirleyici olanlar seçilir. Diğer ikincil faktörlerin etkisi basitçe ihmal edilir. Düzenlilikleri belirli bir teori çerçevesinde incelerken, belirli bir fenomeni etkileyen ana faktörler, söz konusu teorinin birlikte çalıştığı kavramlara veya tanımlara dahil edilir.

Belirli bir fenomen dizisinin genel bir teorisini geliştiren herhangi bir bilim gibi, olasılık teorisi de dayandığı bir dizi temel kavramı içerir. Doğal olarak, tüm temel kavramlar kesin olarak tanımlanamaz, çünkü bir kavramı tanımlamak, onu daha iyi bilinen başka kavramlara indirgemek anlamına gelir. Bu süreç sonlu olmalı ve yalnızca açıklanan birincil kavramlarla sona ermelidir.

Olasılık teorisindeki ilk kavramlardan biri olay kavramıdır.

Altında etkinlik deneyim sonucunda meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek herhangi bir gerçek anlaşılır.

Olaylardan örnekler verelim.

A - bir erkek veya kızın doğumu;

B - bir satranç oyununda şu veya bu açılışın seçimi;

C - bir veya başka bir burç işaretine ait.

Yukarıdaki olayları göz önünde bulundurduğumuzda, her birinin bir dereceye kadar olasılığa sahip olduğunu görüyoruz: biri fazla, diğerleri eksik. Olayları olasılık derecelerine göre niceliksel olarak birbirleriyle karşılaştırmak için, her olayla belirli bir sayıyı ilişkilendirmek açıkça gereklidir, bu sayı ne kadar büyükse, olay o kadar olasıdır. Bu sayıya olayın olasılığı denir. Dolayısıyla, bir olayın olasılığı, bir olayın nesnel olasılık derecesinin sayısal bir özelliğidir.

1'e eşit güvenilir bir olayın olasılığı, bir olasılık birimi olarak alınır ve herhangi bir olayın olasılıklarındaki değişim aralığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır.

Olasılık genellikle R harfi ile gösterilir.

Shakespeare'in Hamlet'indeki asırlık sorunun "olmak ya da olmamak" örneğini ele alalım. Bir olayın olasılığı nasıl belirlenir.

Bir kişinin, bir nesnenin veya başka herhangi bir fenomenin iki ve daha fazla olmayan durumdan birinde olabileceği oldukça açıktır: mevcudiyet ("olmak") ve yokluk ("olmamak"). Yani, iki olası olay vardır, ancak yalnızca biri olabilir. Bu, örneğin olma olasılığının 1/2 olduğu anlamına gelir.

Olay ve olasılık kavramlarına ek olarak, olasılık teorisinin temel kavramlarından biri de rastgele değişken kavramıdır.

Rastgele değişken deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisinin önceden bilinmediği bir nicelik denir.

Yalnızca birbirinden ayrı olan ve önceden numaralandırılabilen değerleri alan rastgele değişkenlere rasgele değişkenler denir. süreksiz veya ayrık rasgele değişkenler.

Örneğin:

1. Hayatta kalan ve ölen hasta sayısı.

2. Bir gecede hastaneye başvuran hastalardan toplam çocuk sayısı.

Olası değerleri sürekli olarak belirli bir aralığı dolduran rastgele değişkenler denir. sürekli rasgele değişkenler.

Örneğin, analitik terazide bir tartım hatası.

Modern olasılık teorisinin, "klasik" olasılık teorisinin esas olarak dayandığı olaylarla değil, esas olarak rastgele değişkenlerle çalıştığını unutmayın.

İLİŞKİ ANLARI. KORELASYON KATSAYISI.

Korelasyon momentleri, korelasyon katsayısı - bunlar, yukarıda tanıtılan bir rastgele değişken kavramıyla veya daha doğrusu bir rastgele değişkenler sistemiyle yakından ilişkili olan sayısal özelliklerdir. Bu nedenle, anlamlarını ve rollerini tanıtmak ve belirlemek için, rastgele değişkenler sistemi kavramını ve bunlara özgü bazı özellikleri açıklamak gerekir.

Bir fenomeni tanımlayan iki veya daha fazla rasgele değişkene denir. rastgele değişkenler sistemi veya kompleksi.

X, Y, Z, …, W gibi çeşitli rasgele değişkenlerden oluşan bir sistem genellikle (X, Y, Z, …, W) ile gösterilir.

Örneğin, bir düzlemdeki bir nokta bir koordinatla değil, iki ile ve uzayda - hatta üç ile tanımlanır.

Rastgele değişken Y denir bağımsız bir X rastgele değişkeni üzerinde, eğer bir rastgele değişken Y'nin dağılım yasası, X değişkeninin aldığı değere bağlı değilse.

Rastgele değişkenler X ve Y, her birinin dağılım yasası diğerinin aldığı değere bağlı değilse, bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde, X ve Y miktarlarına denir. bağımlı.

dağıtım yasası Rastgele değişken, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir.

Olasılık teorisinde, biraz farklı bağımlılık türleri vardır - olasılık bağımlılığı. Y'nin değeri, olasılıksal bir bağımlılıkla X'in değeriyle ilişkiliyse, o zaman X'in değerini bilerek, Y'nin değerini doğru bir şekilde belirtmek imkansızdır, ancak değerin hangi değere bağlı olduğuna bağlı olarak dağıtım yasasını belirleyebilirsiniz. X almıştır.

ayrıca değişme eğilimindedir (artan X ile artar veya azalır). Bu eğilim yalnızca genel anlamda gözlemlenir ve her bir durumda ondan sapmalar mümkündür.

Olasılık bağımlılığı örnekleri.

Ayrıca, T değerini ve B değerini (cerrahın yaşı) dikkate alırsak, bu değerler pratikte bağımsızdır.

İki rasgele değişkenden oluşan bir sistemi tanımlamak için, bileşenlerin matematiksel beklentilerine ve varyanslarına ek olarak, aşağıdakileri içeren diğer özellikler de kullanılır: korelasyon anı Ve korelasyon katsayısı(T.8.p.8.6'nın sonunda kısaca bahsedilmiştir) .

korelasyon anı(veya kovaryans veya bağlantı anı) iki rasgele değişkenin X Ve Y m.o. denir. bu miktarların sapmalarının çarpımı (Bölüm 8.6'daki eşitlik (5)'e bakınız):

Sonuç 1. R.v.'nin korelasyon momenti için. X Ve Y eşitlikler de geçerlidir:

karşılık gelen merkezi r.v. X Ve Y (Bkz. madde 8.6.).

Aynı zamanda: eğer
iki boyutlu bir d.r.v. ise, kovaryans aşağıdaki formülle hesaplanır:

(8)
;

Eğer
- iki boyutlu s.r.v., ardından kovaryans formülle hesaplanır

(9)

Formüller (8) ve (9), formüller (6) p.12.1 temelinde elde edilir. Hesaplama formülü var

(10)

tanım (9)'dan türetilen ve m.s.'nin özelliklerine dayanan, aslında,

Bu nedenle, (36) ve (37) formülleri şu şekilde yeniden yazılabilir:

(11)
;

Korelasyon momenti, nicelikler arasındaki ilişkiyi karakterize etmeye yarar. X Ve Y.

Aşağıda gösterileceği gibi, eğer korelasyon momenti sıfırdır. X Ve Y vardır bağımsız;

Bu nedenle, korelasyon momenti sıfıra eşit değilse, o zamanXVeYbağımlı rastgele değişkenlerdir.

Teorem 12.1.İki bağımsız rastgele değişkenin korelasyon momentiXVeYsıfıra eşittir, yani bağımsız r.v. içinXVeY,

Kanıt.Çünkü X Ve Y bağımsız rastgele değişkenler, sonra sapmaları

T aynı zamanda bağımsız. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak (bağımsız r.v. ürününün matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.
,
, Bu yüzden

Yorum. Bu teoremden şu çıkar ki, eğer
sonra r.v. X Ve Y bağımlıdır ve bu gibi durumlarda r.v. X Ve Y isminde ilişkili. Ancak neyden
r.v.'nin bağımsızlığını takip etmez. X Ve Y.

Bu durumda (
r.v. X Ve Y isminde ilgisiz böylece bağımsızlık takip eder ilgisizlik; genel olarak tersi doğru değildir (aşağıdaki Örnek 2'ye bakın.)

Korelasyon momentinin ana özelliklerini ele alalım.

Ckovaryans özellikleri:

1. Kovaryans simetriktir, yani
.

Doğrudan formül (38)'den gelir.

2. Eşitlikler vardır: yani dağılma kendisi ile kovaryansıdır.

Bu eşitlikler, sırasıyla varyans ve eşitliğin (38) tanımından doğrudan çıkar.

3. Geçerli eşitlikler:

Bu eşitlikler, varyansın tanımından, r.v.'nin kovaryansından türetilmiştir.
Ve , özellikler 2.

Dağılım tanımına göre (r.v.'nin merkezileştirilmesi dikkate alınarak).
) sahibiz

şimdi, (33) ve özellik 2 ve 3'e dayanarak, ilk (artı işaretli) özellik 3'ü elde ederiz.

Benzer şekilde, property3'ün ikinci kısmı eşitlikten türetilir.

4. İzin vermek
sabit sayılar
o zaman eşitlikler doğrudur:

Genellikle bu özelliklere argümanlarda birinci dereceden homojenlik ve periyodiklik özellikleri denir.

m.o'nun özelliklerini kullanırken birinci eşitliği ispatlayalım.
.

Teorem 12.2.Mutlak değeriki keyfi rasgele değişkenin korelasyon momentiXVeYdağılımlarının geometrik ortalamasını aşmaz: yani

Kanıt. Bağımsız r.v. için eşitsizlik geçerlidir (bkz. Teorem 12.1.). Öyleyse, r.v. X Ve Y bağımlı. Standart r.v.'yi düşünün.
Ve
ve r.v.'nin varyansını hesaplayın.
3. özelliği hesaba katarak, elimizde: bir yandan
Diğer tarafta

Bu nedenle, gerçeği göz önünde bulundurarak
Ve normalleştirilmiş (standartlaştırılmış) r.v., ardından m.d. sıfıra eşittir ve varyans 1'e eşittir, dolayısıyla m.d'nin özelliği kullanılır.
alırız

ve bu nedenle, gerçeğine dayanarak,
alırız

Bundan şu sonuç çıkar ki, yani.

İddia kanıtlandı.

Kovaryansın tanımından ve özelliklerinden, hem r.v.'nin bağımlılık derecesini hem de bir nokta etrafında saçılmalarını karakterize ettiği sonucu çıkar.
Kovaryansın boyutu, rastgele değişkenlerin boyutlarının çarpımına eşittir X Ve Y. Başka bir deyişle, korelasyon momentinin büyüklüğü, rastgele değişkenlerin ölçü birimlerine bağlıdır. Bu nedenle, aynı iki nicelik için X Ve Y, korelasyon momentinin değeri, değerlerin ölçüldüğü birimlere bağlı olarak farklı değerlere sahip olacaktır.

Örneğin, X Ve Y santimetre cinsinden ölçüldü ve
; ölçülürse X Ve Y milimetre cinsinden, o zaman
Korelasyon momentinin bu özelliği, bu sayısal özelliğin dezavantajıdır, çünkü çeşitli rasgele değişken sistemlerinin korelasyon momentlerinin karşılaştırılması zorlaşır.

Bu eksikliği gidermek için yeni bir sayısal özellik getirilmiştir - - " korelasyon katsayısı».

Korelasyon katsayısı
rastgele değişkenler
Ve korelasyon momentinin bu niceliklerin standart sapmalarının ürününe oranı olarak adlandırılır:

(13)
.

Boyuttan beri
miktarların boyutlarının ürününe eşittir
Ve ,
miktar boyutuna sahiptir
σ y miktar boyutuna sahiptir , O
sadece bir sayıdır (yani " boyutsuz miktar"). Bu nedenle, korelasyon katsayısının değeri r.v. ölçüm birimlerinin seçimine bağlı değildir, bu avantaj korelasyon momentinden önceki korelasyon katsayısı.

T.8'de. 8.3 konsepti tanıttık normalleştirilmiş r.v.
, formül (18) ve teoremin kanıtlandığı gibi
Ve
(ayrıca bkz. Teorem 8.2.). Burada aşağıdaki iddiayı kanıtlıyoruz.

Teorem 12.3.İçin herhangi iki rastgele değişken
Ve adil eşitlik
.Başka bir deyişle, korelasyon katsayısı
herhangi ikisi.V.XVeYilgili normalize edilmiş korelasyon momentine eşittir r.v.
Ve .

Kanıt. Normalleştirilmiş rasgele değişkenlerin tanımı gereği
Ve

Ve
.

Matematiksel beklentinin özelliğini dikkate alarak: ve eşitlik (40) elde ederiz

İddia kanıtlandı.

Korelasyon katsayısının yaygın olarak karşılaşılan bazı özelliklerini ele alalım.

Korelasyon katsayısı özellikleri:

1. Korelasyon katsayısının mutlak değeri 1'i geçmez, yani.

Bu özellik doğrudan formül (41)'den gelir - korelasyon katsayısının tanımı ve Teorem 13.5. (bkz. eşitlik (40)).

2. Eğer rastgele değişkenler
Ve bağımsızdır, korelasyon katsayısı sıfıra eşittir, yani
.

Bu özellik, eşitliğin (40) ve Teorem 13.4'ün doğrudan bir sonucudur.

Aşağıdaki özelliği ayrı bir teorem olarak formüle ediyoruz.

Teorem 12.4.

eğer r.v.
Ve doğrusal bir fonksiyonel bağımlılık ile birbirine bağlıdır, yani.
O
burada

Ve tam tersi ise
, O r.v.
Ve doğrusal bir fonksiyonel bağımlılık ile birbirine bağlıdır, yani. kalıcı var
Veöyle ki eşitlik

Kanıt.İzin vermek
Daha sonra kovaryansın 4. özelliğine dayanarak, elimizdeki

ve beri, bu nedenle

Buradan,
. Bir yönde eşitlik elde edilir. Daha fazla izin ver
, Daha sonra

iki durum dikkate alınmalıdır: 1)
ve 2)
Öyleyse ilk durumu ele alalım. O zaman tanım gereği
ve dolayısıyla eşitlikten
, Nerede
. bizim durumumuzda
, yani eşitlikten (Teorem 13.5'in ispatına bakın.)

=
,

anladık
, Araç
devamlı. Çünkü
ve o zamandan beri
Gerçekten mi,

Buradan,

Benzer şekilde, için gösterilmiştir
var (kendiniz kontrol edin!)

,
.

Bazı sonuçlar:

1. Eğer
Ve Independent.in., sonra

2. Eğer r.v.
Ve birbiriyle doğrusal olarak ilişkilidir, o zaman
.

3. Diğer durumlarda
:

Bu durumda, r.v.
Ve birbirine bağlı pozitif korelasyon Eğer
durumlarda
Negatif korelasyon. daha yakın
birliğe, inanmak için daha fazla sebep s.v.
Ve doğrusal bir ilişki ile bağlıdır.

R.v.'nin korelasyon momentlerinin ve varyanslarının; genellikle verilir korelasyon matrisi:

Açıkçası, korelasyon matrisinin determinantı şunu karşılar:

Daha önce belirtildiği gibi, eğer iki rasgele değişken bağımlıysa, bunlar ya ilişkili, Ve ilişkisiz Başka bir deyişle, iki bağımlı miktarın korelasyon momenti şu şekilde olabilir: sıfıra eşit değil, ama belki sıfıra eşittir.

örnek 1 Ayrık r.v.'nin dağıtım yasası tablo tarafından verilmiştir.

korelasyon katsayısını bulun

Çözüm. Bileşenlerin dağıtım yasalarını buluyoruz
Ve :

Şimdi m.o.'yu hesaplıyoruz. bileşenler:

Bu değerler, r.v.'nin dağılım tablosu temelinde bulunabilir.

Aynı şekilde,
kendini bul.

Bileşenlerin dağılımlarını hesaplıyoruz ve hesaplama formülünü kullanacağız:

Dağıtım yasasını oluşturun
ve sonra bul
:

Bir dağıtım yasası tablosunu derlerken aşağıdaki adımlar gerçekleştirilmelidir:

1) çeşitli eserlerin yalnızca farklı anlamlarını bırakın
.

2) verilen bir değerin olasılığını belirlemek
, gerek

ana tablonun kesişme noktasında bulunan karşılık gelen tüm olasılıkları toplayın ve belirli bir değerin oluşmasını destekleyin.

Örneğimizde, r.v. sadece üç farklı değer alır
. Burada ilk değer (
) ürüne karşılık gelir
ikinci satırdan ve
ilk sütundan, bu nedenle kesişme noktalarında bir olasılık sayısı vardır.
aynı şekilde

sırasıyla birinci satır ve birinci sütunun kesişme noktalarında bulunan olasılıkların toplamından elde edilen sırasıyla (0.15; 0.40; 0.05) ve bir değer
, ikinci satır ile ikinci sütunun kesişme noktasındadır ve son olarak,
, ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişme noktasındadır.

Tablomuzdan bulduklarımız:

Formül (38)'i kullanarak korelasyon momentini buluyoruz:

Formülü (41) kullanarak korelasyon katsayısını buluyoruz.

Böylece, negatif bir korelasyon.

Egzersiz yapmak. Ayrık bir r.v.'nin dağıtım yasası. tablo tarafından verilen

korelasyon katsayısını bulun

İki tane olduğu bir örneği düşünün bağımlı rastgele değişkenler olabilir ilişkisiz

Örnek 2 2D rasgele değişken
) yoğunluk fonksiyonu tarafından verilir

bunu kanıtlayalım
Ve bağımlı , Ancak ilgisiz rastgele değişkenler.

Çözüm. Bileşenlerin önceden hesaplanmış dağılım yoğunluklarını kullanalım
Ve :

O zamandan beri
Ve bağımlı miktarlar Kanıtlamak ilgisizlik
Ve , doğrulamak için yeterlidir

Korelasyon momentini formüle göre bulalım:

Diferansiyel fonksiyon olduğundan
eksen etrafında simetrik oy, O
aynı şekilde
, simetri nedeniyle
eksen hakkında ÖKÜZ. Bu nedenle, sabit çarpanı çıkarmak

İç integral sıfıra eşittir (integrand tektir, integralin sınırları orijine göre simetriktir), bu nedenle,
, yani bağımlı rastgele değişkenler
Ve birbiriyle ilişkili değildir.

Dolayısıyla, iki rasgele değişkenin korelasyonundan bağımlılıkları çıkar, ancak korelasyonsuzluktan bu değişkenlerin bağımsız olduğu sonucuna varmak hala imkansızdır.

Ancak, normal dağılımlı r.v. böyle bir sonuç istisna, onlar. itibaren ilgisiz normal dağılım r.v. onları takip eder bağımsızlık.

Bir sonraki paragraf bu konuya ayrılmıştır.

Korelasyon momenti ve korelasyon katsayısı örnektir. İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri

İki rastgele değişkenli bir sistemin sayısal özellikleri. korelasyon anı. Korelasyon katsayısı