Çapraz çarpımın vektörünün yönü. Vektörlerin vektör çarpımı

Tanım Sıralı koleksiyon (x 1 , x 2 , ... , x n) n gerçek sayılar isminde n boyutlu vektör, ve sayılar x i (i = ) - bileşenler, veya koordinatlar,

Örnek. Örneğin, belirli bir otomobil fabrikasının 50 otomobil, 100 kamyon, 10 otobüs, otomobiller için 50 takım yedek parça ve otomobiller için 150 takım yedek parça üretmesi gerekiyorsa, kamyonlar ve otobüsler olduğuna göre bu tesisin üretim programı beş bileşenli bir vektör (50, 100, 10, 50, 150) şeklinde yazılabilir.

Gösterim. Vektörler kalın küçük harflerle veya üstte bir çubuk veya ok bulunan harflerle gösterilir; A veya. İki vektör denir eşit Sahip oldukları takdirde aynı numara bileşen ve bunlara karşılık gelen bileşenler eşittir.

Vektör bileşenleri değiştirilemez, örneğin (3, 2, 5, 0, 1) ve (2, 3, 5, 0, 1) farklı vektörler.
Vektörler üzerinde işlemler.İş X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) gerçek sayıya göreλ vektör denirλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

MiktarX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ve sen= (y 1 , y 2 , ... ,y n)'ye vektör denir x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektör Uzayı. N -boyutlu vektör uzayı R n, çarpma işlemlerinin gerçekleştirildiği tüm n boyutlu vektörlerin kümesi olarak tanımlanır. gerçek sayılar ve ekleme.

Ekonomik illüstrasyon. N boyutlu ekonomik illüstrasyon Vektör Uzayı: mal alanı (mal). Altında mal satışa çıkan bazı mal veya hizmetleri anlayacağız kesin zaman belli bir yerde. Var olduğunu varsayalım son sayı mevcut mallar n; Tüketici tarafından satın alınan her birinin miktarı bir dizi malla karakterize edilir

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

burada x i, tüketici tarafından satın alınan i'inci malın miktarını belirtir. Tüm malların keyfi bölünebilme özelliğine sahip olduğunu, böylece her birinden negatif olmayan herhangi bir miktarın satın alınabileceğini varsayacağız. O halde tüm olası mal kümeleri C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ben ≥ 0, ben = ).

Doğrusal bağımsızlık. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n boyutlu vektörlere denir doğrusal bağımlı eğer böyle sayılar varsaλ 1 , λ 2 , ... , λ m en az biri sıfır olmayan bir eşitlik olacak şekildeλ1 e 1 + λ2 e 2 +... + λm e m = 0; aksi takdirde bu sistem vektörlere denir Doğrusal bağımsız yani belirtilen eşitlik ancak tümünün olması durumunda mümkündür. . Geometrik anlam doğrusal bağımlılık vektörler RŞekil 3'te yönlendirilmiş bölümler olarak yorumlanarak aşağıdaki teoremleri açıklayınız.

Teorem 1. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektörün sıfır olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2. İki vektörün doğrusal bağımlı olabilmesi için eşdoğrusal (paralel) olmaları gerekli ve yeterlidir.

Teorem 3 . Üç vektörün doğrusal olarak bağımlı olabilmesi için eş düzlemli olmaları (aynı düzlemde yer almaları) gerekli ve yeterlidir.

Vektörlerin sol ve sağ üçlüleri. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü a, b, c isminde Sağ eğer onlardan bir gözlemci varsa ortak başlangıç vektörlerin uçlarını geçme a, b, c V belirtilen sırayla saat yönünde gerçekleşiyor gibi görünüyor. Aksi takdirde a, b, c -üç sola. Vektörlerin tüm sağ (veya sol) üçlülerine denir aynısı odaklı.

Temel ve koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 eş düzlemli olmayan vektör R 3 denir temel ve vektörlerin kendileri e 1, e 2 , e 3 - temel. Herhangi bir vektör A temel vektörlere benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani formda temsil edilebilir

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

(1.1) açılımındaki x 1 , x 2 , x 3 sayılarına denir koordinatlarA temelde e 1, e 2 , e 3 ve belirlenmiş A(x1,x2,x3).

Ortonormal temel. Eğer vektörler e 1, e 2 , e 3 çift birbirine diktir ve her birinin uzunluğu bire eşittir, bu durumda taban denir ortonormal ve koordinatlar x 1 , x 2 , x 3 - dikdörtgen. Bir ortonormal bazın temel vektörleri şu şekilde gösterilecektir: ben, j, k.

Uzayda olduğunu varsayacağız R 3 sağdaki Kartezyen sistem seçilir Dikdörtgen koordinatlar {0, ben, j, k}.

Vektör çizimi. Vektör çizimleri A vektöre B vektör denir C aşağıdaki üç koşulla belirlenir:

1. Vektör uzunluğu C vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir A Ve B, yani.
C= |a||b| günah( A^B).

2. Vektör C vektörlerin her birine dik A Ve B.

3. Vektörler A, B Ve C belirtilen sırayla alındığında sağ üçlü oluşturur.

İçin vektör çarpımı C atama tanıtıldı c =[ab] veya
c = bir × B.

Eğer vektörler A Ve B eşdoğrusal ise günah( a^b) = 0 ve [ ab] = 0, özellikle, [ aa] = 0. Birim vektörlerin vektör çarpımları: [ ben]=k, [jk] = Ben, [ki]=J.

Eğer vektörler A Ve B esasında belirtilen ben, j, k koordinatlar A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), o zaman

Karma çalışma. İki vektörün vektör çarpımı ise A Ve Büçüncü vektörle skaler olarak çarpılır C, o zaman üç vektörün böyle bir çarpımına denir karma çalışma ve sembolüyle gösterilir A M.Ö.

Eğer vektörler a, b Ve C temelde ben, j, k koordinatları tarafından verilir
A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), o zaman

.

Karışık ürünün basit bir geometrik yorumu vardır - bu, verilen üç vektör üzerine inşa edilmiş bir paralelyüzün hacmine mutlak değerde eşit bir skalerdir.

Vektörler bir dik üçlü oluşturuyorsa, bunların karışık çarpımı belirtilen hacme eşit pozitif bir sayıdır; eğer üç ise a, b, c - sola, sonra a b c<0 и V = - a b c, dolayısıyla V =|a b c|.

Birinci bölümdeki problemlerde karşılaşılan vektörlerin koordinatlarının dik ortonormal tabana göre verildiği varsayılmaktadır. Birim vektör vektörle eş yönlü A, sembolüyle gösterilir AÖ. Sembol R=OM M noktasının yarıçap vektörü, a, AB veya sembolleriyle gösterilir.|bir|, | AB|vektörlerin modülleri gösterilir A Ve AB.

Örnek 1.2. Vektörler arasındaki açıyı bulun A= 2M+4N Ve B= m-n, Nerede M Ve N- birim vektörler ve aralarındaki açı M Ve N 120 o'ya eşit.

Çözüm. Elimizde: çünkü φ = ab/ab ab =(2M+4N) (m-n) = 2M 2 - 4N 2 +2milyon=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; bir = ; A 2 = (2M+4N) (2M+4N) =
= 4M 2 +16milyon+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, bu da a = anlamına gelir. b = ; B 2 =
= (m-n)(m-n) = M 2 -2milyon+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, yani b = . Sonunda elimizde: çünküφ = = -1/2, φ = 120o.

Örnek 1.3.Vektörleri bilmek AB(-3,-2.6) ve M.Ö.(-2,4,4), ABC üçgeninin AD yüksekliğinin uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm. ABC üçgeninin alanını S ile göstererek şunu elde ederiz:
S = MÖ 1/2 MS. Daha sonra AD=2S/MÖ, M.Ö= = = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, yani vektör AC. koordinatları var
. .

Örnek 1.4 . İki vektör verilmiştir A(11,10,2) ve B(4,0,3). Bulmak birim vektör C, vektörlere dik A Ve B ve vektörlerin sıralı üçlüsü olacak şekilde yönlendirildi a, b, c haklıydı.

Çözüm.Vektörün koordinatlarını gösterelim C x, y, z cinsinden belirli bir dik ortonormal tabana göre.

Çünkü C ⊥ AC ⊥B, O CA= 0,cb= 0. Problemin koşullarına göre c = 1 olması gerekmektedir ve a b c >0.

için bir denklem sistemimiz var. x,y,z'yi bulma: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden z = -4/3 x, y = -5/6 x elde ediyoruz. Üçüncü denklemde y ve z'yi yerine koyarsak: x 2 = 36/125 elde ederiz, dolayısıyla
x =± . Durumu kullanma a b c > 0, eşitsizliği elde ederiz

Z ve y ifadelerini dikkate alarak ortaya çıkan eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz: 625/6 x > 0, bu da x>0 anlamına gelir. Yani x = , y = - , z =- .

Tanım. a vektörünün (çarpılan) ve doğrusal olmayan bir vektörün (çarpan) vektör çarpımı üçüncü vektör c'dir (çarpım) ve aşağıdaki şekilde oluşturulur:

1) modülü sayısaldır alana eşitŞekil 2'deki paralelkenar 155), vektörler üzerine inşa edilmiştir, yani yön eşittir bahsedilen paralelkenarın düzlemine dik;

3) bu durumda, c vektörünün yönü (mümkün olan iki arasından) c vektörleri olacak şekilde seçilir. doğru sistem(§ 110).

Tanım: veya

Tanıma ek. Vektörler eşdoğrusal ise, şeklin (şartlı olarak) bir paralelkenar olduğu düşünüldüğünde, sıfır alan atamak doğaldır. Bu nedenle eşdoğrusal vektörlerin vektör çarpımının boş vektöre eşit olduğu kabul edilir.

Boş vektöre herhangi bir yön atanabileceği için bu anlaşma tanımın 2. ve 3. paragraflarıyla çelişmez.

Açıklama 1. "Vektör çarpımı" terimindeki ilk kelime, eylem sonucunun bir vektör olduğunu belirtir (skaler çarpımın aksine; bkz. § 104, açıklama 1).

Örnek 1. Doğru koordinat sisteminin ana vektörlerinin olduğu vektör çarpımını bulun (Şekil 156).

1. Ana vektörlerin uzunlukları bir ölçek birimine eşit olduğundan paralelkenarın (kare) alanı sayısal olarak bire eşittir. Bu, vektör çarpımının modülünün olduğu anlamına gelir bire eşit.

2. Düzleme dik olan eksen bir eksen olduğundan, istenen vektör çarpımı k vektörüne eşdoğrusal bir vektördür; ve her ikisinin de modülü 1 olduğundan, istenen vektör çarpımı ya k'ya ya da -k'ye eşittir.

3. Bu iki olası vektörden ilki seçilmelidir, çünkü k vektörleri sağ yönlü bir sistem oluşturur (ve vektörler sol yönlü bir sistem oluşturur).

Örnek 2. Çapraz çarpımı bulun

Çözüm. Örnek 1'de olduğu gibi, vektörün k ya da -k'ye eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Ancak şimdi -k'yi seçmemiz gerekiyor çünkü vektörler sağ yönlü bir sistem oluşturuyor (ve vektörler sol yönlü bir sistem oluşturuyor). Bu yüzden,

Örnek 3. Vektörlerin uzunlukları sırasıyla 80 ve 50 cm'dir ve 30°'lik bir açı oluştururlar. Uzunluk birimi olarak metreyi alarak vektör çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı eşittir İstenilen vektör ürününün uzunluğu eşittir

Örnek 4. Aynı vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu uzunluk birimi olarak santimetre alarak bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı eşit olduğundan vektör çarpımının uzunluğu 2000 cm'ye eşittir, yani.

Örnek 3 ve 4'ün karşılaştırılmasından, vektörün uzunluğunun sadece faktörlerin uzunluklarına değil aynı zamanda uzunluk birimi seçimine de bağlı olduğu açıktır.

Bir vektör çarpımının fiziksel anlamı. Birçoğunun fiziksel özellikler Vektör çarpımı ile temsil edilen, yalnızca kuvvet momentini dikkate alıyoruz.

A, kuvvetin uygulama noktası olsun. O noktasına göre kuvvet momentine vektör çarpımı denir. Bu vektör çarpımının modülü sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit olduğundan (Şekil 157), o zaman Momentin modülü taban ve yüksekliğin çarpımına, yani kuvvetin O noktasından kuvvetin etkidiği düz çizgiye olan mesafeyle çarpımına eşittir.

Mekanikte denge için kanıtlanmıştır sağlam Cisme uygulanan kuvvetleri temsil eden vektörlerin toplamının yanı sıra kuvvetlerin momentlerinin toplamının da sıfıra eşit olması gerekir. Tüm kuvvetlerin bir düzleme paralel olması durumunda, momentleri temsil eden vektörlerin toplamı, bunların büyüklüklerinin toplanması ve çıkarılmasıyla değiştirilebilir. Ancak kuvvetlerin keyfi yönleriyle böyle bir yer değiştirme imkansızdır. Buna göre vektör çarpımı bir sayı olarak değil, tam olarak bir vektör olarak tanımlanır.

Sonunda bu geniş ve uzun zamandır beklenen konuyu ele aldım. analitik geometri . İlk önce biraz hakkında bu bölüm yüksek Matematik…. Artık sayısız teorem, bunların kanıtları, çizimleri vb. içeren bir okul geometri dersini hatırlıyorsunuzdur. Öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğunlukla anlaşılması güç bir konu olan ne saklanmalı? Garip bir şekilde analitik geometri daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. “Analitik” sıfatı ne anlama geliyor? Aklıma hemen iki klişe matematik tabiri geliyor: “grafiksel çözüm yöntemi” ve “ analitik metodçözümler". Grafik yöntemi elbette grafiklerin ve çizimlerin yapımıyla ilişkilidir. Analitik Aynı yöntem sorunları çözmeyi içerir daha çok başından sonuna kadar cebirsel işlemler. Bu bağlamda, analitik geometrinin hemen hemen tüm problemlerini çözmeye yönelik algoritma basit ve şeffaftır; genellikle dikkatli bir şekilde uygulanması yeterlidir; gerekli formüller- ve cevap hazır! Hayır elbette çizim olmadan bunu yapamayacağız, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için gereksiz yere alıntı yapmaya çalışacağım.

Yeni açılan geometri dersleri teorik olarak tamamlanmış gibi görünmüyor; pratik problemlerin çözümüne odaklanıyor. Derslerime yalnızca benim bakış açıma göre pratik açıdan önemli olan şeyleri dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölüm hakkında daha kapsamlı yardıma ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü öneririm:

1) Şaka değil, birkaç neslin aşina olduğu bir şey: Geometri üzerine okul ders kitabı, yazarlar - L.S. Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı zaten 20 (!) yeniden basımdan geçti ve bu elbette sınır değil.

2) 2 ciltte geometri. Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu edebiyat için lise, ihtiyacın olacak ilk cilt. Nadiren karşılaşılan görevler gözümün önünden kaybolabilir ve öğretici paha biçilmez yardım sağlayacaktır.

Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca arşivimi de kullanabilirsiniz. hazır çözümler sayfasında bulabilirsiniz. Yüksek matematikteki örnekleri indirin.

Araçlar arasında yine kendi gelişimimi öneriyorum - yazılım paketi Analitik geometride hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak.

Okuyucunun temel bilgilere aşina olduğu varsayılmaktadır. geometrik kavramlar ve şekiller: nokta, çizgi, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini hatırlamanız tavsiye edilir, tekrarlayıcılara merhaba)

Şimdi sırasıyla ele alacağız: vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. Devamını okumanızı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı, ve ayrıca Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı. Yerel bir görev - bu bağlamda bir segmentin bölünmesi - de gereksiz olmayacaktır. Yukarıdaki bilgilere dayanarak ustalaşabilirsiniz. düzlemdeki bir doğrunun denklemiİle en basit çözüm örnekleri, izin verecek geometri problemlerini çözmeyi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de faydalıdır: Uzayda bir düzlemin denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.

Vektör kavramı. Ücretsiz vektör

Öncelikle bir vektörün okuldaki tanımını tekrarlayalım. Vektör isminde yönlendirilmiş başlangıcı ve bitişinin belirtildiği bir bölüm:

İÇİNDE bu durumda parçanın başlangıcı nokta, parçanın sonu ise noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemli, eğer oku parçanın diğer ucuna hareket ettirirseniz bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Vektör kavramı uygun bir şekilde hareketle tanımlanır. fiziksel beden: Katılıyorum, enstitü kapısından girmek ya da enstitü kapısından çıkmak bambaşka şeyler.

Bir düzlemin veya uzayın bireysel noktalarını sözde olarak düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektör için son ve başlangıç ​​çakışır.

!!! Not: Burada ve ayrıca vektörlerin aynı düzlemde bulunduğunu veya uzayda yer aldıklarını varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.

Tanımlar: Birçoğu, adında ok bulunmayan çubuğu hemen fark etti ve üstte de bir ok olduğunu söyledi! Doğru, bunu bir okla yazabilirsiniz: , ancak bu da mümkündür gelecekte kullanacağım giriş. Neden? Görünüşe göre bu alışkanlık pratik nedenlerden dolayı gelişti; okuldaki ve üniversitedeki atıcılarımın çok farklı boyutlarda ve tüylü olduğu ortaya çıktı. İÇİNDE eğitim literatürü bazen çivi yazısı yazmakla hiç uğraşmazlar, ancak harfleri kalın harflerle vurgularlar: , böylece bunun bir vektör olduğunu ima ederler.

Bu stilistikti ve şimdi vektör yazmanın yolları hakkında:

1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir:
ve benzeri. Bu durumda ilk harf mutlaka vektörün başlangıç ​​noktasını, ikinci harf ise vektörün bitiş noktasını belirtir.

2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, kısaltmak için vektörümüz küçük olarak yeniden tasarlanabilir. Latince harf.

Uzunluk veya modül Olumsuz sıfır vektör doğru parçasının uzunluğu denir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Mantıklı.

Vektörün uzunluğu modül işaretiyle gösterilir: ,

Biraz sonra bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz (ya da kime bağlı olarak tekrarlayacağız).

Onlar temel bilgiler vektör hakkında, tüm okul çocuklarına aşinadır. Analitik geometride, sözde Ücretsiz vektör.

Basitçe söylemek gerekirse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:

Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırmaya alışkınız (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel nokta görünüm AYNI VEKTÖR veya Ücretsiz vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problemleri çözerken, şunu veya bu vektörü ihtiyacınız olan düzlemin veya uzayın HERHANGİ bir noktasına "bağlayabilirsiniz". Bu çok harika bir özellik! İsteğe bağlı uzunlukta ve yönde bir vektör düşünün; “klonlanabilir” sonsuz sayı her zaman ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE vardır. Şöyle bir öğrenci söylüyor: Her hoca vektöre önem verir. Sonuçta, bu sadece esprili bir kafiye değil, her şey matematiksel olarak doğru - vektör de oraya eklenebilir. Ama sevinmek için acele etmeyin, çoğu zaman acı çekenler öğrencilerin kendisidir =)

Bu yüzden, Ücretsiz vektör- Bu bir demet aynı yönlendirilmiş bölümler. Okul tanımı Paragrafın başında verilen vektör: “Yönlendirilmiş bir parçaya vektör denir...” anlamına gelir özel belirli bir kümeden alınan ve düzlemde veya uzayda belirli bir noktaya bağlanan yönlendirilmiş bir bölüm.

Fizik açısından bakıldığında, serbest vektör kavramının Genel dava yanlıştır ve vektörün uygulama noktası önemlidir. Aslında, benim aptal örneğimi geliştirmeye yetecek kadar aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan darbesi farklı sonuçlara yol açar. Fakat, özgür olmayan vektörler ayrıca vyshmat sürecinde de bulunur (oraya gitmeyin :)).

Vektörlerle yapılan eylemler. Vektörlerin doğrusallığı

İÇİNDE okul kursu geometri, vektörlerle birlikte bir dizi eylem ve kural dikkate alınır: Üçgen kuralına göre toplama, Paralelkenar kuralına göre toplama, Vektör farkı kuralı, Bir vektörün bir sayı ile çarpılması, skaler çarpım vektörler vb. Başlangıç ​​noktası olarak analitik geometri problemlerinin çözümüyle özellikle ilgili olan iki kuralı tekrarlayalım.

Üçgen kuralını kullanarak vektörleri ekleme kuralı

Sıfır olmayan iki rastgele vektörü düşünün ve:

Bu vektörlerin toplamını bulmanız gerekiyor. Tüm vektörlerin serbest kabul edilmesi nedeniyle, vektörü bir kenara koyacağız. son vektör:

Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralın daha iyi anlaşılması için aşağıdakilerin eklenmesi tavsiye edilir: fiziksel anlam: Bir cismin önce bir vektör boyunca, sonra da bir vektör boyunca hareket etmesine izin verin. O halde vektörlerin toplamı, başlangıcı kalkış noktasında ve sonu varış noktasında olmak üzere ortaya çıkan yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut, toplamın ortaya çıkan vektörü boyunca bir zikzak boyunca veya belki de otopilotta çok eğilerek yoluna gidebilir.

Bu arada, eğer vektör ertelenirse başladı vektör, o zaman eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.

İlk olarak vektörlerin eşdoğrusallığı hakkında. İki vektör denir doğrusal, eğer aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa. Kabaca söylemek gerekirse paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak bunlara atıfta bulunulurken her zaman "eşdoğrusal" sıfatı kullanılır.

İki eşdoğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yöne yönlendirilirse, bu tür vektörlere denir. ortak yönetmen. Oklar yönü gösteriyorsa farklı taraflar, o zaman vektörler şöyle olacaktır: zıt yönler.

Tanımlar: Vektörlerin doğrusallığı olağan paralellik sembolüyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yönlendirilir).

İş bir sayı üzerindeki sıfır olmayan bir vektör, uzunluğu eşit olan bir vektördür ve ve vektörleri, ile birlikte ve zıt olarak yönlendirilir.

Bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını bir resim yardımıyla anlamak daha kolaydır:

Daha ayrıntılı olarak bakalım:

1 yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.

2) Uzunluk. Çarpan veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğunun yarısı kadardır. Çarpan modülü birden büyükse vektörün uzunluğu artışlar zamanında.

3) Lütfen şunu unutmayın tüm vektörler eşdoğrusaldır, bir vektör diğeri aracılığıyla ifade edilirken, örneğin . Bunun tersi de doğrudur: Eğer bir vektör bir diğeri aracılığıyla ifade edilebiliyorsa, bu durumda bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayıyla çarparsak eşdoğrusal hale geliriz(orijinaline göre) vektör.

4) Vektörler birlikte yönlendirilir. Vektörler ve ayrıca birlikte yönlendirilirler. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörüne göre zıt yönlüdür.

Hangi vektörler eşittir?

İki vektör aynı yöndeyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir. Eş yönlülüğün, vektörlerin eşdoğrusallığını ima ettiğini unutmayın. Eğer şöyle dersek tanım hatalı (gereksiz) olacaktır: "İki vektör eğer aynı doğru üzerindeyse, eş yönlüyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir."

Serbest vektör kavramı açısından bakıldığında, eşit vektörler– bu, önceki paragrafta tartışılanla aynı vektördür.

Düzlemde ve uzayda vektör koordinatları

İlk nokta düzlemdeki vektörleri dikkate almaktır. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini gösterelim ve koordinatların başlangıç ​​noktasından başlayarak grafiğini çizelim. Bekar vektörler ve:

Vektörler ve dikey. Ortogonal = Dik. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı öneririm: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz eşdoğrusallık Ve diklik.

Tanım: Vektörlerin ortogonalliği olağan diklik sembolüyle yazılır, örneğin: .

Göz önünde bulundurulan vektörlere denir koordinat vektörleri veya ort. Bu vektörler oluşur temel yüzeyde. Temelin ne olduğu sanırım pek çok kişi için sezgisel olarak açıktır. detaylı bilgi makalede bulunabilir Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, üzerinde tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.

Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.

Tanım: temel genellikle şöyle yazılır parantez, içinde V katı sıra temel vektörler listelenir, örneğin: . Koordinat vektörleri yasaktır yeniden düzenleyin.

Herhangi düzlem vektör tek yol olarak ifade edilen:
, Nerede - sayılar bunlara denir vektör koordinatları V Bu temelde. Ve ifadenin kendisi isminde vektör ayrışmasıtemelde .

Servis edilen akşam yemeği:

Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, bir vektörü tabana ayrıştırırken az önce tartışılanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralı: ve;
2) Üçgen kuralına göre vektörlerin toplanması: .

Şimdi düzlemdeki herhangi bir noktadan vektörü zihinsel olarak çizin. Çürümesinin “amansızca onu takip edeceği” çok açık. İşte, vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi kendisiyle birlikte taşır." Bu özellik elbette her vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin başlangıç ​​noktasından itibaren çizilmesine gerek olmaması komiktir; örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve hiçbir şey değişmez! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir "kredi" çekecektir.

Vektörler, bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını tam olarak gösterir; vektör, temel vektörle birlikte yönlendirilir, vektör, temel vektörün tersi yönde yönlendirilir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşitse bunu şu şekilde titizlikle yazabilirsiniz:


Ve bu arada temel vektörler şöyle: (aslında kendileri aracılığıyla ifade ediliyorlar).

Ve sonunda: , . Bu arada, vektör çıkarma nedir ve çıkarma kuralından neden bahsetmedim? Bir yerde lineer Cebir, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarma işleminin yapıldığını not ettim özel durum ek. Böylece “de” ve “e” vektörlerinin açılımları kolaylıkla toplam olarak yazılabilir: , . Terimleri yeniden düzenleyin ve çizimde vektörlerin üçgen kuralına göre eski güzel toplamının bu durumlarda ne kadar işe yaradığını görün.

Formun dikkate alınan ayrıştırması bazen vektör ayrıştırması denir ort sisteminde(yani birim vektörlerden oluşan bir sistemde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir; aşağıdaki seçenek yaygındır:

Veya eşittir işaretiyle:

Temel vektörlerin kendisi şu şekilde yazılır: ve

Yani vektörün koordinatları parantez içinde gösterilmiştir. İÇİNDE pratik problemler Her üç kayıt seçeneği de kullanılır.

Konuşup konuşmamak konusunda tereddüt ettim ama yine de söyleyeyim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz. Aslında ve iki farklı vektördür.

Uçağın koordinatlarını bulduk. Şimdi üç boyutlu uzaydaki vektörlere bakalım, burada hemen hemen her şey aynı! Sadece bir koordinat daha ekleyecek. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi bir vektörle sınırlayacağım ve basitlik açısından onu orijinden ayıracağım:

Herhangi vektör üç boyutlu uzay Olabilmek tek yol ortonormal bir temele göre genişletin:
, bu temelde vektörün (sayı) koordinatları nerededir.

Resimden örnek: . Burada vektör kurallarının nasıl çalıştığını görelim. İlk önce vektörü bir sayıyla çarpmak: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (ahududu oku). İkinci olarak, burada birkaç tane eklemenin bir örneği var. üç durum, vektörler: . Toplam vektör başlangıç ​​noktasından (vektörün başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektörün sonu) biter.

Üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de doğal olarak özgürdür; vektörü zihinsel olarak başka herhangi bir noktadan ayırmaya çalışın ve onun ayrışmasının "onunla kalacağını" anlayacaksınız.

Düz kasaya benzer, yazıya ek olarak parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .

Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, onların yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle ) - Hadi yaz ;
vektör (titizlikle ) - Hadi yaz ;
vektör (titizlikle ) - Hadi yaz .

Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:

Bu muhtemelen minimum miktardır teorik bilgi Analitik geometri problemlerinin çözümü için gereklidir. Çok fazla terim ve tanım olabilir, bu yüzden aptalların tekrar okuyup anlamasını öneririm bu bilgi Tekrar. Ve herhangi bir okuyucunun başvurması faydalı olacaktır. temel ders Malzemenin daha iyi asimilasyonu için. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırması - bunlar ve diğer kavramlar gelecekte sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri dikkatli bir şekilde (ve kanıt olmadan) şifrelediğim için sitedeki materyallerin teorik bir testi veya geometri alanındaki bir konferansı geçmek için yeterli olmadığını belirtmek isterim. bilimsel tarz Sunum, ancak konuyu anlamanıza bir artı. Detaylı teorik bilgi almak için lütfen Profesör Atanasyan'ın önünde eğilin.

Ve pratik kısma geçiyoruz:

Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlardaki vektörlerle yapılan işlemler

Tamamen otomatik olarak değerlendirilecek görevlerin ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmeniz önemle tavsiye edilir. ezberlemek, özellikle hatırlamıyorum bile, kendilerini hatırlayacaklar =) Bu çok önemli, çünkü en basitinde temel örnekler Analitik geometrinin diğer problemleri temel alınır ve harcamak can sıkıcı olacaktır. Ekstra zaman piyon yemek için. Gömleğinizin üst düğmelerini iliklemenize gerek yok; okuldan aşina olduğunuz birçok şey var.

Materyalin sunumu hem uçak hem de uzay açısından paralel bir seyir izleyecek. Çünkü tüm formülleri... kendiniz göreceksiniz.

İki noktadan bir vektör nasıl bulunur?

Düzlemin iki noktası verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Uzayda iki nokta verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektörün başlangıcı.

Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulma formüllerini yazın. Dersin sonunda formüller.

örnek 1

Düzlemin iki noktası verildiğinde ve . Vektör koordinatlarını bulun

Çözüm:İle karşılık gelen formül:

Alternatif olarak aşağıdaki giriş kullanılabilir:

Buna estetik karar verecek:

Şahsen ben kaydın ilk versiyonuna alışkınım.

Cevap:

Koşula göre, bir çizim oluşturmak gerekli değildi (ki bu analitik geometri problemleri için tipiktir), ancak kuklalar için bazı noktaları açıklığa kavuşturmak için tembel olmayacağım:

Kesinlikle anlamalısın nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:

Nokta koordinatları olağan koordinatlar dikdörtgen sistem koordinatlar Puanları koy koordinat uçağı 5-6. sınıftan itibaren herkesin yapabileceğini düşünüyorum. Her noktanın düzlemde kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.

Vektörün koordinatları bu durumda temel açısından genişlemesidir. Herhangi bir vektör serbesttir, dolayısıyla gerekirse onu düzlemdeki başka bir noktadan kolaylıkla uzaklaştırabiliriz. İlginçtir ki vektörler için eksen veya dikdörtgen koordinat sistemi oluşturmanıza gerek yoktur; yalnızca bir tabana, bu durumda düzlemin ortonormal tabanına ihtiyacınız vardır.

Noktaların koordinatları ile vektörlerin koordinatlarının kayıtları benzer görünmektedir: , ve koordinatların anlamı kesinlikle farklı ve bu farkın çok iyi farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerlidir.

Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduralım:

Örnek 2

a) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir Ve . Vektörleri bulun ve .
c) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri bulun .

Belki bu yeterlidir. Bunlar için örnekler bağımsız karar, onları ihmal etmemeye çalışın, karşılığını alacaktır ;-). Çizim yapmaya gerek yoktur. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.

Analitik geometri problemlerini çözerken önemli olan nedir? Ustaca yapılan “iki artı iki eşittir sıfır” hatasını yapmamak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir yerde hata yaptıysam hemen özür dilerim =)

Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?

Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi modül işaretiyle gösterilir.

Düzlemin iki noktası verilirse ve o zaman parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.

Uzayda iki nokta verilirse, parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.

Not: Karşılık gelen koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır

Örnek 3

Çözüm: ilgili formüle göre:

Cevap:

Netlik sağlamak için bir çizim yapacağım

Çizgi segmenti - bu bir vektör değil ve tabii ki onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca ölçekli çizim yaparsanız: 1 birim. = 1 cm (iki dizüstü bilgisayar hücresi), o zaman ortaya çıkan cevap, parçanın uzunluğu doğrudan ölçülerek normal bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet çözüm kısa ama içinde birkaç tane daha var önemli noktalarşunu açıklığa kavuşturmak isterim:

Öncelikle cevaba boyutu koyuyoruz: “birimler”. Koşul ne olduğunu söylemiyor; milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, matematiksel olarak doğru bir çözüm genel formülasyon olacaktır: "birimler" - "birimler" olarak kısaltılır.

İkinci olarak, yalnızca ele alınan görev için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:

dikkat et önemli teknik – çarpanı kökün altından kaldırmak. Hesaplamalar sonucunda bir sonuç elde ediyoruz ve iyi bir matematik tarzı, faktörün (mümkünse) kökün altından çıkarılmasını içerir. Süreç daha ayrıntılı olarak şöyle görünür: . Elbette cevabı olduğu gibi bırakmak bir hata olmayacaktır; ancak bu kesinlikle bir eksiklik ve öğretmen açısından saçma sapan bir tartışma olacaktır.

İşte diğer yaygın durumlar:

Çoğunlukla kökte yeterli miktarda bulunur Büyük sayı, Örneğin . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hesap makinesini kullanarak sayının 4'e bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: . Evet, tamamen bölünmüştü, dolayısıyla: . Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: . Numarada son rakam tuhaf, yani üçüncü kez 4'e bölmek elbette işe yaramayacak. Dokuza bölmeye çalışalım: . Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kökün altında bir bütün olarak çıkarılamayan bir sayı alırsak, o zaman faktörü kökün altından kaldırmaya çalışırız - bir hesap makinesi kullanarak sayının şu şekilde bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 vb.

Karar sırasında çeşitli görevler Kökler ortaktır, öğretmenin yorumlarına göre çözümlerinizi sonuçlandırırken daha düşük not almaktan ve gereksiz sorunlardan kaçınmak için her zaman faktörleri kökün altından çıkarmaya çalışın.

Köklerin karesini almayı ve diğer kuvvetleri de tekrarlayalım:

Derecesi olan eylemler için kurallar Genel görünüm Içinde bulunabilir okul ders kitabı cebirde, ancak verilen örneklerden her şeyin veya hemen hemen her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.

Uzayda bir segmentle bağımsız çözüm görevi:

Örnek 4

Puanlar ve verilir. Segmentin uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?

Bir düzlem vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır.

Bir uzay vektörü verilirse, uzunluğu formülle hesaplanır. .

Birim vektör- Bu vektör, mutlak değer(modülü) bire eşittir. Bir birim vektörü belirtmek için e alt simgesini kullanacağız. Yani eğer bir vektör veriliyorsa. A, o zaman birim vektörü vektör olacaktır A e. Bu birim vektör, vektörün kendisiyle aynı yöndedir. A ve modülü bire eşittir, yani a e = 1.

Açıkça, A= bir A e (bir - vektör modülü A). Bu, bir skaleri bir vektörle çarpma işleminin gerçekleştirildiği kuraldan kaynaklanır.

Birim vektörler genellikle bir koordinat sisteminin koordinat eksenleriyle ilişkilendirilir (özellikle Kartezyen koordinat sisteminin eksenleriyle). Bunların yönleri vektörler karşılık gelen eksenlerin yönleriyle çakışır ve kökenleri genellikle koordinat sisteminin kökeni ile birleştirilir.

Sana şunu hatırlatmama izin ver Kartezyen koordinat sistemi uzayda, geleneksel olarak koordinatların kökeni adı verilen bir noktada kesişen karşılıklı dik eksenlerden oluşan üçlüye denir. Koordinat eksenleri genellikle X, Y, Z harfleriyle gösterilir ve sırasıyla apsis ekseni, ordinat ekseni ve uygulama ekseni olarak adlandırılır. Descartes'ın kendisi, üzerine apsislerin çizildiği yalnızca bir eksen kullandı. Kullanım değeri sistemler baltalar öğrencilerine aittir. Bu nedenle ifade Kartezyen koordinat sistemi tarihsel olarak yanlış. Konuşmak daha iyi dikdörtgen koordinat sistemi veya ortogonal koordinat sistemi. Ancak gelenekleri değiştirmeyeceğiz ve gelecekte Kartezyen ve dikdörtgen (dik) koordinat sistemlerinin bir ve aynı olduğunu varsayacağız.

Birim vektör X ekseni boyunca yönlendirilen , gösterilir Ben, birim vektör Y ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir J, A birim vektör Z ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir k. Vektörler Ben, J, k arandı ort(Şekil 12, sol), tek modülleri var, yani
ben = 1, j = 1, k = 1.

Eksenler ve birim vektörleri dikdörtgen koordinat sistemi bazı durumlarda farklı adları ve tanımları vardır. Böylece, apsis ekseni X'e teğet eksen adı verilebilir ve birim vektörü gösterilir. τ (Yunan küçük harf tau), ordinat ekseni normal eksendir, birim birimi gösterilir N, uygulama ekseni binormal eksendir, birim vektörü gösterilir B. Öz aynı kalırsa neden isimleri değiştirelim?

Gerçek şu ki, örneğin mekanikte cisimlerin hareketini incelerken dikdörtgen koordinat sistemi çok sık kullanılıyor. Dolayısıyla, koordinat sisteminin kendisi sabitse ve hareketli bir nesnenin koordinatlarındaki değişiklik bu sabit sistemde takip ediliyorsa, o zaman genellikle eksenler X, Y, Z olarak gösterilir ve bunların eksenleri birim vektörleri sırasıyla Ben, J, k.

Ancak çoğu zaman, bir nesne belirli bir mesafe boyunca hareket ettiğinde eğrisel yörünge(örneğin, bir daire içinde) dikkate alınması daha uygun olabilir mekanik süreçler bu nesneyle birlikte hareket eden bir koordinat sisteminde. Böyle hareketli bir koordinat sistemi için diğer eksen adları ve bunların birim vektörleri kullanılır. Sadece o yol var. Bu durumda X ekseni yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir. şu an bu nesne bulunur. Ve sonra bu eksene artık X ekseni değil, teğet eksen adı veriliyor ve birim vektörü artık belirlenmiyor Ben, A τ . Y ekseni yörüngenin eğrilik yarıçapı boyunca yönlendirilir (bir daire içinde hareket durumunda - dairenin merkezine). Yarıçap teğete dik olduğundan, eksene normal eksen denir (dik ve normal aynı şeydir). Bu eksenin birim vektörü artık gösterilmiyor J, A N. Üçüncü eksen (eski adıyla Z) önceki ikisine diktir. Bu orthlu bir iki normal B(Şekil 12, sağ). Bu arada, bu durumda böyle dikdörtgen koordinat sistemi genellikle "doğal" veya doğal olarak anılır.

Bu yazıda iki vektörün çapraz çarpımı kavramına daha yakından bakacağız. Vereceğiz gerekli tanımlar, bir vektör çarpımının koordinatlarını bulmak, özelliklerini listelemek ve doğrulamak için bir formül yazacağız. Bundan sonra iki vektörün vektör çarpımının geometrik anlamı üzerinde duracağız ve çeşitli tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Çapraz çarpımın tanımı.

Bir vektör çarpımını tanımlamadan önce, üç boyutlu uzayda sıralı bir vektör üçlüsünün yönelimini anlayalım.

Vektörleri bir noktadan çizelim. Vektörün yönüne bağlı olarak üçü sağ veya sol olabilir. Vektörden en kısa dönüşün nasıl olduğuna vektörün sonundan bakalım. En kısa dönüş saat yönünün tersine gerçekleşirse, vektörlerin üçlüsü denir Sağ, aksi takdirde - sol.

Şimdi doğrusal olmayan iki vektörü alalım ve . A noktasından itibaren vektörleri çizelim. Hem ve hem de 'ye dik bir vektör oluşturalım. Açıktır ki, bir vektörü oluştururken, ona bir yön veya ters yön vererek iki şey yapabiliriz (resme bakın).

Vektörün yönüne bağlı olarak vektörlerin sıralı üçlüsü sağ veya sol yönlü olabilir.

Bu bizi vektör çarpımının tanımına yaklaştırıyor. Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki vektör için verilmiştir.

Tanım.

İki vektörün çapraz çarpımıÜç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilen ve, öyle bir vektör olarak adlandırılır ki

Vektörlerin çapraz çarpımı ve ile gösterilir.

Vektör çarpımının koordinatları.

Şimdi koordinatlarını koordinatlardan bulmanızı sağlayan bir vektör çarpımının ikinci tanımını verelim. verilen vektörler Ve.

Tanım.

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektörün vektör çarpımı Ve bir vektördür ve koordinat vektörleri buradadır.

Bu tanım bize koordinat biçiminde çapraz çarpımı verir.

Çapraz çarpımı bir determinant olarak temsil etmek uygundur. Kare matris birinci satırı birim vektörler, ikinci satırı vektörün koordinatlarını ve üçüncü satırı verilen dikdörtgen koordinat sistemindeki vektörün koordinatlarını içeren üçüncü dereceden:

Bu determinantı ilk satırın elemanlarına genişletirsek, vektör çarpımının koordinatlardaki tanımından eşitliği elde ederiz (gerekirse makaleye bakın):

bu not alınmalı koordinat formu vektör çarpımı bu makalenin ilk paragrafında verilen tanımla tamamen tutarlıdır. Ayrıca çapraz çarpımın bu iki tanımı eşdeğerdir. Bu gerçeğin kanıtını yazının sonunda yer alan kitapta görebilirsiniz.

Bir vektör çarpımının özellikleri.

Koordinatlardaki vektör çarpımı matrisin bir determinantı olarak temsil edilebildiğinden, aşağıdakiler kolaylıkla gerekçelendirilebilir: çapraz çarpımın özellikleri:

Örnek olarak, bir vektör çarpımının anti-değişme özelliğini kanıtlayalım.

A-tarikatı Ve . İki satır yer değiştirirse bir matrisin determinantının değerinin tersine döndüğünü biliyoruz, bu nedenle, , bir vektör çarpımının anti-değişme özelliğini kanıtlar.

Vektör çarpımı - örnekler ve çözümler.

Temel olarak üç tür sorun vardır.

Birinci tür problemlerde iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir ve vektör çarpımının uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda formül kullanılır .

Örnek.

Vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulun ve biliniyorsa .

Çözüm.

Tanımdan, vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunun, vektörlerin uzunluklarının çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşit olduğunu biliyoruz, bu nedenle, .

Cevap:

.

İkinci tip problemler, vektör çarpımının, uzunluğunun veya başka herhangi bir şeyin verilen vektörlerin koordinatları aracılığıyla arandığı vektörlerin koordinatlarıyla ilgilidir. Ve .

Burada pek çok farklı seçenek mümkün. Örneğin, vektörlerin koordinatları değil, açılımları belirtilebilir. koordinat vektörleri tür ve , veya vektörleri olup başlangıç ​​ve bitiş noktalarının koordinatları ile belirtilebilir.

Tipik örneklere bakalım.

Örnek.

Dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektör verilmiştir . Çapraz çarpımlarını bulun.

Çözüm.

İkinci tanıma göre koordinatlarda iki vektörün vektör çarpımı şu şekilde yazılır:

Vektör çarpımı determinant cinsinden yazılsaydı aynı sonuca ulaşırdık.

Cevap:

.

Örnek.

Vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulun ve dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin birim vektörleri nerededir?

Çözüm.

İlk önce vektör çarpımının koordinatlarını buluyoruz Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde.

Vektörler ve sırasıyla koordinatlara sahip olduğundan (gerekirse, dikdörtgen koordinat sistemindeki bir vektörün makale koordinatlarına bakın), o zaman bir vektör çarpımının ikinci tanımına göre elimizde

Yani vektör çarpımı koordinatları var verilen sistem koordinatlar

Bir vektör çarpımının uzunluğunu, koordinatlarının kareleri toplamının karekökü olarak buluruz (bir vektörün uzunluğu için bu formülü bir vektörün uzunluğunu bulma bölümünde elde ettik):

Cevap:

.

Örnek.

Dikdörtgen şeklinde Kartezyen sistemüç noktanın koordinatları verilmiştir. Aynı anda hem dik olan bir vektör bulun.

Çözüm.

Vektörler ve sırasıyla koordinatlara sahiptir (noktaların koordinatları aracılığıyla bir vektörün koordinatlarını bulma makalesine bakın). Ve vektörlerinin vektör çarpımını bulursak, o zaman tanım gereği bu hem hem de hem de vektörlere dik bir vektördür, yani problemimizin bir çözümüdür. Hadi onu bulalım

Cevap:

- dik vektörlerden biri.

Üçüncü tip problemlerde vektörlerin vektör çarpımının özelliklerini kullanma becerisi test edilir. Özelliklerin uygulanmasından sonra ilgili formüller uygulanır.

Örnek.

Ve vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. Çapraz çarpımın uzunluğunu bulun .

Çözüm.

Bir vektör çarpımının dağılma özelliğine göre şunu yazabiliriz:

sayesinde ilişkisel özellik onu çıkaracağız sayısal oranlar son ifadedeki vektör çarpımlarının işareti için:

Vektör çarpımları ve sıfıra eşittir, çünkü Ve , Daha sonra .

Vektör çarpımı antideğişmeli olduğundan, o zaman .

Böylece vektör çarpımının özelliklerini kullanarak eşitliğe ulaştık. .

Koşul gereği, ve vektörleri diktir, yani aralarındaki açı eşittir. Yani gerekli uzunluğu bulmak için tüm verilere sahibiz

Cevap:

.

Bir vektör çarpımının geometrik anlamı.

Tanım gereği, vektörlerin vektör çarpımının uzunluğu . Ve geometri dersinden lise Bir üçgenin alanının, üçgenin iki kenarının uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşit olduğunu biliyoruz. Sonuç olarak, vektör çarpımının uzunluğu, kenarları vektörler olan bir üçgenin alanının iki katına eşittir ve eğer bunlar bir noktadan çizilirse. Başka bir deyişle, vektörlerin vektör çarpımının uzunluğu, kenarları ve aralarındaki açı olan bir paralelkenarın alanına eşittir. Bu geometrik anlamı vektör ürünü.