İfadenin gerçek anlamını bulun. Karmaşık ifadeler

Burada: 1 - doğru, 0 - yanlış.

• 1.X: ABC üçgeni- dar açılı. X: ABC üçgeninin dar üçgen olduğu doğru değil. Şununla aynıdır: X: ABC üçgeni - sağ veya geniş
• 2. C: Ivanova M. matematik sınavından 4 aldı : Ivanova M.'nin matematikten 4 aldığı doğru değil.

Tanım: A ve B ifadelerinin ayrılığı, A veya B ifadelerinden en az birinin doğru olması koşuluyla doğru olan bir AB ifadesidir.

"A veya B" olarak okunur.

AB için doğruluk tablosu

Örnek: 1. Bu kez sanık ortaya çıktı ve duruşma gerçekleşti. - doğru

2.B dik üçgen herhangi iki açının toplamı üçüncü açıdan büyük veya ona eşittir ve hipotenüs kenardan küçüktür. - yalan

Tanım: A ve B ifadelerinin anlamı, yalnızca A doğru ve B yanlış olduğunda yanlış olan bir AB ifadesidir.

Şöyle okunur: “Eğer A ise, o zaman B.”

Doğruluk tablosu

Örnek: 1. Sınavı geçersem sinemaya gideceğim.

2. Üçgen ikizkenar ise tabandaki açılar eşittir. Tanım: A ve B ifadelerinin eşdeğeri, ancak ve ancak A ve B'nin aynı gerçeğe sahip olması durumunda (yani her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlışsa) doğru olan bir AB ifadesidir.

Şunu okuyorlar: "Ve ancak ve ancak B varsa" veya "A, B için gerekli ve yeterliyse"

Doğruluk tablosu

Önerme cebiri yoluyla çözülen ikinci görev, formülünün derlenmesine (formalizasyon süreci) ve bir doğruluk tablosunun derlenmesine dayanarak belirli bir ifadenin doğruluğunu belirlemektir.

Örnek: Saratov, Neva'nın kıyısında bulunuyorsa, kutup ayıları Afrika'da yaşıyor.

C: Saratov, Neva Nehri'nin kıyısında yer almaktadır;

Soru: Kutup ayıları Afrika'da yaşıyor

Tanım: İçinde yer alan önermesel değişkenlerin hangi değerleri aldığına bakılmaksızın doğru olan bir formüle totoloji veya özdeş olarak doğru formül denir.

Tanım: F 1 ve F 2 formüllerine eşdeğerleri bir totoloji ise eşdeğer denir.

Tanım: F 1 ve F 2 formülleri eşdeğer ise bu formülleri başlatan P 1 ve P 2 cümlelerine önermeler mantığında eşdeğer denir.

En sık karşılaşılan temel eşdeğerliklere mantık yasaları denir. Bunlardan bazılarını listeleyelim:

• 1. X X - kimlik yasası
• 2. XL - çelişki yasası
• 3. XI - üçüncünün hariç tutulması yasası
• 4. X - çift olumsuzlama yasası

• 5. değişme kanunları
• 6. X (Y Z) (X Y) Z çağrışım yasası

X (Y Z) (X Y) Z dağıtım yasası

7. De Morgan'ın yasaları

8. Bir değişken ile bir sabitin eklemlenme yasaları

Mantık yasalarını kullanarak formülleri dönüştürebilirsiniz.

4. Birbirine eşdeğer birçok formülden ikisini ele alalım. Bu mükemmel bir bağlaç normal biçim(SCNF) ve mükemmel ayırıcı normal form (SDNF). Doğruluk tablosuna dayalı olarak belirli bir formül için oluşturulurlar.

SDNF'nin yapımı:

• -- bu formülün doğruluk değerlerine (1) karşılık gelen satırlar seçilir;
• - seçilen her satır için, satırda sunulan değişkenlerin değer kümelerinin birleşimin gerçek değerlerine karşılık gelmesi için değişkenlerin veya bunların olumsuzlamalarının bir birleşimini oluştururuz (bunu yapmak için, alınan değişkenleri alın) olumsuzlama işaretli bu satırdaki değerler yanlış (0) ve olumsuzlama olmadan doğruluk değerlerini (1) alan değişkenler;
• -- ortaya çıkan bağlaçların bir ayrımı derlenir.

Algoritmadan, herhangi bir formül için bir SDNF ve ayrıca formülün tamamen yanlış olmaması durumunda benzersiz bir SDNF oluşturmanın mümkün olduğu sonucu çıkar; yalnızca yanlış değerleri kabul etmek.

SKNF'nin derlenmesi aşağıdaki algoritmaya göre gerçekleştirilir:

• -- formülün false (0) değerini aldığı tablo satırlarını vurgulayın;
• -- bu satırların her birinde değişkenlerden, false (0) değerlerini alması gereken bir ayrım oluşturun. Bunu yapmak için, tüm değişkenlerin yanlış değeriyle girmeleri gerekir, bu nedenle doğru olanların (1) olumsuzlarıyla değiştirilmesi gerekir;
• -- ortaya çıkan ayrımlardan bir bağlaç oluşturur.

Açıkçası, totoloji olmayan herhangi bir formülün bir SCNF'si vardır.

Bu formülden sonuç elde etmek için SDNF ve SCNF kullanılır.

Örnek: Aşağıdaki formül için SDNF ve SCNF'nin doğruluk tablosunu oluşturun: .

SDNF ve SKNF'nin doğruluk tablosu

5. "Nehir Karadeniz'e akar" ifade biçimini düşünün. Tek bir değişken içerir ve “X Nehri Karadeniz'e akar” şeklinde temsil edilebilir.

X değişkeninin değerlerine bağlı olarak cümle ya doğrudur ya da yanlıştır, yani. bir nehir kümesinin iki öğeli bir kümeye eşlenmesi belirtilir. O halde bu eşlemeyi gösterelim:

Böylece tüm değerleri kümeye ait olan bir fonksiyona sahip oluyoruz.

Tanım: Tüm değerleri bir kümeye ait olan fonksiyona yüklem denir.

Yüklemleri ifade eden harflere yüklem sembolleri denir.

Tahminler belirtilebilir:

a) anlamlı bir formül,

b) formül, yani yüklem sembolünün yorumunu belirterek,

c) masa.

1) P - “Karadeniz'e akmak.”

Bu formül “a nehrinin Karadeniz'e akması” anlamına gelmektedir.

• 2) P yüklemi anlamlı bir formülle verilir: “olmak asal sayı ilk 15 doğal sayının kümesinde."
• 3) Tablo biçiminde yüklem şu şekildedir:

Yüklemlerin tanım alanı herhangi bir küme olabilir.

Eğer bir yüklem herhangi bir girdi değişkeni kümesi için anlamını kaybederse, o zaman L değerinin bu kümeye karşılık geldiği genel olarak kabul edilir.

Bir yüklem bir değişken içeriyorsa, buna tekli yüklem, iki değişken - çift yüklem, n değişken - n-ary yüklem denir.

Metinleri yüklemlerin diline çevirmek ve doğruluğunu belirlemek için girmeniz gerekir mantıksal işlemler yordayıcılar ve niceleyiciler üzerinde.

Yüklemler üzerinde şu işlemler de gerçekleştirilir: olumsuzlama, bağlaç, ayırma, ima, eşdeğerlik.

Tanım: P yükleminin verildiği M kümesinin, yalnızca P yükleminin I değerinin karşılık geldiği M elemanlarından oluşan bir alt kümesine P yükleminin doğruluk kümesi denir.

Doğruluk kümesi belirlenir.

Tanım: P yükleminin olumsuzlanması, P'yi doğruya dönüştüren değişken değer kümeleri için yanlış olan ve P'yi yanlış yüklem haline getiren değişken değer kümeleri için doğru olan bir yüklemdir.

Olumsuzluk belirtilir.

ABiK'in öğrencisi olun.

ABiK öğrencisi olmamak.

Eğer öyleyse, M, P ve Q yüklemlerinin verildiği kümedir.

Tanım: yüklemlerin birleşimi, bunlar için doğru olan ve yalnızca her iki yüklemi de doğru yapan değişkenlerin değerleri için doğru olan bir yüklemdir.

Futbolcu ol

Öğrenci olmak

: Futbolcu olmak ve öğrenci olmak.

Tanım: yüklemlerin ayrılması, her iki yüklemi de yanlış yapan, içinde yer alan değişken kümeleri için yanlış olan bir yüklemdir

Eşit ol doğal sayı

Tek bir doğal sayı olun

: bir doğal sayı olsun.

Tanım: Yüklem uygulaması, yalnızca içinde yer alan değişken kümeleri için yanlış olan ve hem doğru hem de yanlış bir yüklem haline gelen bir yüklemdir.

Şununla belirtilir:

N kümesinde bir asal sayı olun

Tek sayı ol

Diğer doğal sayılar için yanlış ve doğru.

Tanım: Yüklem denkliği, her iki yüklemin de doğru olması veya her ikisinin de yanlış olması durumunda doğru olan bir yüklemdir.

Şununla belirtilir:

- “kazanmak”, yani x y'yi yener

Satranç tarihini bilmek daha iyidir, x y'den daha iyi bilir

x'in satrançta y'yi ancak ve ancak teoriyi daha iyi biliyorsa yenebileceğini belirtir.

Tanım: Bir yüklem, içerdiği değişkenlerin herhangi bir değeri için çıkarım doğruysa, bir yüklemden çıkar.

Aşağıdakiler belirtilir: .

Öğrenci olmak

Üniversiteye gitmek

Bir yüklemi ifadeye dönüştürmenin 2 yolu vardır:

1) bir değişken vermek özel anlam

; x - öğrenci

Ivanov bir öğrenci.

2) Niceleyicilerin eklenmesi - herhangi biri, her biri

Var, var.

P özelliğine sahip olduğu girdi, her x nesnesinin P özelliğine sahip olduğu anlamına gelir. Veya başka bir deyişle, “tüm x’ler P özelliğine sahiptir.”

Giriş, P özelliğine sahip bir x nesnesinin olduğu anlamına gelir.

Örnek 1. İfadenin doğruluğunu belirleyin. · C Çözümü. Parça karmaşık ifade 3 basit ifade içerir: A, B, C.

Tablodaki sütunlar (0, 1) değerleri ile doldurulmuştur. Hepsi belirtildi olası durumlar. Basit sözler karmaşık olanlar çift dikey çizgiyle ayrılır. Bir tablo derlerken işlem sırasını karıştırmamaya dikkat edilmelidir; Sütunları doldururken “içeriden dışarıya” hareket etmelisiniz. itibaren temel formüller giderek daha karmaşık olanlara; Doldurulan son sütun orijinal formülün değerlerini içerir.

Tablodan açıkça görülüyor ki bu açıklama yalnızca A=0, B=1, C=1 ise doğrudur. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.

İlgilendiğiniz bilgileri bilimsel arama motoru Otvety.Online'da da bulabilirsiniz. Arama formunu kullanın:

Konu hakkında daha fazla bilgi 1. Karmaşık ifadelerin doğruluğunu belirlemek:

1. 29. Önermesel cebirde (AB) çözülebilirlik problemi. Önermesel cebir formüllerinin aynı doğruluk açısından kontrol edilmesi için algoritmalar: bir doğruluk tablosunun derlenmesi, eşdeğer dönüşümlerin gerçekleştirilmesi (CNF analizi), indirgeme algoritması, Quine algoritması. Bu yöntemlerin avantaj ve dezavantajları.
2. Soru 6. Önermeler hesabı. Aksiyomlar. Çıkarım kuralı. Çözüm. Türetilmiş formüllerin aynı doğruluğunu (kanıtlayın). Önermeler hesabının tutarlılığı. Önermeler hesabının tamlığına ilişkin bir teorem. Çözülebilirlik sorunu. Önerme hesabı. Çözülebilirlik sorunu

Özellikler

Kartezyen çarpımın çeşitli özelliklerini ele alalım:

1. Eğer A,B - sonlu kümeler, O A× B- final. Ve tam tersi, eğer faktör kümelerinden biri sonsuzsa, bunların çarpımının sonucu da sonsuz bir küme olur.

2. Kartezyen çarpımdaki eleman sayısı, faktör setlerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir (tabii ki sonluysa): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. bir np ≠(Bir) P- ilk durumda, Kartezyen çarpımının sonucunun 1× boyutlu bir matris olarak dikkate alınması tavsiye edilir. n.p., ikincisinde - boyutların matrisi olarak N× P .

4. Değişme kanunu sağlanmıyor çünkü Kartezyen çarpımın sonucunun eleman çiftleri sıralanır: A× B≠B× A .

5. Birleşme yasası yerine getirilmedi: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Kümelerdeki temel işlemlere göre dağılım vardır: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

11. İfade kavramı. Temel ve bileşik ifadeler.

İfade bu bir açıklama mı yoksa bildirim cümlesi, bunun doğru (I-1) veya yanlış (L-0) olduğunu söyleyebiliriz, ancak aynı anda her ikisi de olamaz.

Örneğin, “Bugün yağmur yağıyor”, “Ivanov tamamladı laboratuvar işi Fizikte 2 numara."

Eğer birkaç başlangıç ​​ifademiz varsa, o zaman onlardan yararlanarak mantıksal birlikler veya parçacıklar doğruluk değeri yalnızca orijinal ifadelerin doğruluk değerlerine ve yeni ifadenin inşasına katılan belirli bağlaçlara ve parçacıklara bağlı olan yeni ifadeler oluşturabiliriz. “Ve”, “veya”, “değil”, “eğer… o zaman”, “bu nedenle”, “o zaman ve ancak o zaman” kelime ve ifadeleri bu tür bağlaçlara örnektir. Orijinal ifadelere denir basit ve belirli mantıksal bağlaçların yardımıyla bunlardan oluşturulan yeni ifadeler - kompozit . Tabii ki, "basit" kelimesinin, kendileri oldukça karmaşık olabilen orijinal ifadelerin özü veya yapısıyla hiçbir ilgisi yoktur. İÇİNDE bu içerikte“basit” kelimesi “orijinal” kelimesiyle eş anlamlıdır. Önemli olan basit ifadelerin doğruluk değerlerinin bilindiğinin veya verildiğinin varsayılmasıdır; her durumda, hiçbir şekilde tartışılmıyorlar.

“Bugün Perşembe değil” gibi bir ifade iki farklı basit ifadeden oluşmasa da, doğruluk değeri diğer “Bugün Perşembe. ”

Örnek 2. Aşağıdaki ifadeler bileşen olarak kabul edilir:

Moskovsky Komsomolets'i okudum ve Kommersant'ı okudum.

Eğer öyle dediyse doğrudur.

Güneş bir yıldız değildir.

Hava güneşliyse ve sıcaklık 25 0'ı geçerse tren veya arabayla geleceğim

Bileşiklerde yer alan basit ifadelerin kendileri tamamen keyfi olabilir. Özellikle kendileri kompozit olabilirler. Aşağıda açıklanan temel türler bileşik ifadeler onları oluşturan basit ifadelerden bağımsız olarak belirlenir.

12. İfadeler üzerindeki işlemler.

1. Olumsuzlama işlemi.

İfadeyi reddederek A ("değil" yazıyor A", "bu doğru değil A"), ki bu doğru olduğunda A yanlış ve yanlış ne zaman A- doğru.

Birbirini yalanlayan ifadeler A Ve arandı zıt.

2. Bağlaç işlemi.

Bağlaç ifadeler A Ve İÇİNDE ile gösterilen bir ifade denir AB(okur" A Ve İÇİNDE"), gerçek değerleri ancak ve ancak her iki ifadenin de olması durumunda belirlenir A Ve İÇİNDE Doğrudur.

İfadelerin birleşimine mantıksal çarpım denir ve sıklıkla belirtilir. AB.

Bir açıklama yapılsın A- “Mart ayında hava sıcaklığı 0°C+ 7°C"ve söyleyerek İÇİNDE- "Vitebsk'te yağmur yağıyor." Daha sonra ABşöyle olacak: “Mart ayında hava sıcaklığı 0°C+ 7°C Vitebsk'te yağmur yağıyor." İfadeler varsa bu bağlaç doğru olacaktır A Ve İÇİNDE doğru. Sıcaklığın daha az olduğu ortaya çıkarsa 0°C ya da Vitebsk'te yağmur yoktu, o zaman AB yanlış olacaktır.

3 . Ayırma işlemi.

Ayrılık ifadeler A Ve İÇİNDE bir beyan olarak adlandırıldı AB (A veya İÇİNDE), ancak ve ancak ifadelerden en az birinin doğru ve yanlış olması durumunda doğrudur - her iki ifade de yanlış olduğunda.

Önermelerin ayrılmasına mantıksal toplam da denir A+B.

İfade " 4<5 veya 4=5 " doğru. Açıklamadan bu yana" 4<5 "doğrudur ve ifade" 4=5 » – yanlış, o zaman AB gerçek ifadeyi temsil ediyor " 4 5 ».

4 . İmanın işleyişi.

Dolaylı olarak ifadeler A Ve İÇİNDE bir açıklama denir AB("Eğer A, O İÇİNDE", "itibaren A meli İÇİNDE"), değeri yanlış olan ancak ve ancak şu durumda A doğru ama İÇİNDE YANLIŞ.

Yani AB ifade A isminde temel, veya öncül ve ifade İÇİNDE – sonuçlar, veya çözüm.

13. İfadelerin doğruluk tabloları.

Doğruluk tablosu, mantıksal bir fonksiyonda yer alan tüm olası mantıksal değişken kümeleri ile fonksiyonun değerleri arasında bir yazışma kuran bir tablodur.

Doğruluk tabloları aşağıdakiler için kullanılır:

Karmaşık İfadelerin Doğruluğunun Hesaplanması;

İfadelerin denkliğinin kurulması;

Totolojilerin tanımları.

Karmaşık ifadelerin doğruluğunu belirlemek.

Örnek 1. Bir ifadenin doğruluğunu tespit etmek · C

Çözüm. Karmaşık bir ifade 3 basit ifade içerir: A, B, C. Tablodaki sütunlar (0, 1) değerleri ile doldurulmuştur. Olası tüm durumlar belirtilmiştir. Basit ifadeler karmaşık olanlardan çift dikey çizgiyle ayrılır.
Bir tablo derlerken işlem sırasını karıştırmamaya dikkat edilmelidir; Sütunları doldururken “içeriden dışarıya” hareket etmelisiniz. temel formüllerden giderek daha karmaşık olanlara; Doldurulan son sütun orijinal formülün değerlerini içerir.

Tablo bu ifadenin yalnızca A = 0, B = 1, C = 1 olması durumunda doğru olduğunu göstermektedir. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.

14. Eşdeğer formüller.

İki formül A Ve İÇİNDE Formülde yer alan temel ifadelerin herhangi bir değer kümesi için aynı mantıksal değerleri alıyorlarsa eşdeğer denir.

Eşdeğerlik " " işaretiyle gösterilir. Formülleri eşdeğer olanlara dönüştürmek için, bazı mantıksal işlemleri diğerleri aracılığıyla ifade eden temel eşdeğerlikler, mantık cebirinin temel yasalarını ifade eden eşdeğerlikler önemli bir rol oynar.

Herhangi bir formül için A, İÇİNDE, İLE denklikler geçerlidir.

I. Temel eşdeğerlikler

iktidarsızlık yasası

1-doğru

0-yanlış

Çelişki kanunu

Dışlanan ortanın kanunu

soğurma yasası

formülleri bölme

yapıştırma kanunu

II. Bazı mantıksal işlemleri diğerleri cinsinden ifade eden eşdeğerlikler.

de Morgan yasası

III. Mantıksal cebirin temel yasalarını ifade eden eşdeğerlikler.

Değişmeli kanun

Federal hukuk

Dağıtım kanunu

15. Önerme mantığının formülleri.

Klasik önerme mantığının formül türleri– önerme mantığında aşağıdaki formül türleri ayırt edilir:

1. Kanunlar(aynı şekilde doğru formüller) - önerme değişkenlerinin herhangi bir yorumunda değer alan formüller "doğru";

2. Tartışmalar(aynı şekilde yanlış formüller) - önerme değişkenlerinin herhangi bir yorumunda değer alan formüller "YANLIŞ";

3. Tatmin edilebilir formüller- anlam kazananlar "doğru" kurucu önerme değişkenlerinin en az bir doğruluk değeri kümesi için.

Klasik önermeler mantığının temel yasaları:

1. Kimlik yasası: ;

2. Çelişki kanunu: ;

3. Dışlanan ortanın yasası: ;

4. Değişme yasaları ve: , ;

5. göreli dağıtım yasaları ve bunun tersi: , ;

6. Bir kavuşumun gerçek bir üyesinin çıkarılması yasası: ;

7. Bir ayrılığın yanlış teriminin kaldırılması yasası: ;

8. Zıtlık Yasası: ;

9. Önerme bağlaçlarının karşılıklı ifade edilebilirliği yasaları: , , , , , .

Çözülebilirlik prosedürü- Her formül için bunun bir yasa mı, bir çelişki mi yoksa uygulanabilir bir formül mü olduğunu belirlemenize olanak tanıyan bir yöntem. En yaygın çözülebilirlik prosedürü doğruluk tablosu yöntemidir. Ancak tek kişi o değil. Etkili bir çözülebilirlik yöntemi, yöntemdir. normal formlarönermesel mantık formülleri için. Normal biçimÖnerme mantığı formülü, " " ima işaretini içermeyen bir formdur. Birleştirici ve ayırıcı normal formlar vardır. Bağlaç biçimi yalnızca " " bağlaç işaretlerini içerir. Bağlaçlı normal forma indirgenmiş bir formül, formun bir alt formülünü içeriyorsa, bu durumda formülün tamamı şu şekildedir: çelişki. Ayırıcı form yalnızca " " ayırma işaretlerini içerir. Ayırıcı normal forma indirgenmiş bir formül, formun bir alt formülünü içeriyorsa, bu durumda formülün tamamı şu şekildedir: kanunen. Diğer tüm durumlarda formül şu şekildedir: tatmin edici formül.

16. Yüklemler ve üzerlerindeki işlemler. Niceleyiciler.

Bir veya daha fazla değişkeni içeren ve değişkenlerin belirli değerleri verildiğinde bir ifade olan cümleye denir. ifade edici biçim veya yüklem.

Teklifte yer alan değişken sayısına bağlı olarak tekli, ikili, üçlü vb. seçenekler mevcuttur. yüklemler buna göre gösterilir: A( X), İÇİNDE( X, en), İLE( X, en, z).

Belirli bir yüklem verilmişse, onunla iki küme ilişkilendirilir:

1. X tanımının kümesi (etki alanı) değişkenlerin tüm değerlerinden oluşan, bir yüklem yerine konulduğunda ikincisi bir ifadeye dönüşür. Bir yüklemi belirtirken genellikle tanım alanı belirtilir.

2. Doğruluk seti T, değişkenlerin tüm bu değerlerinden oluşan, bunları yüklemle değiştirirken doğru bir ifade elde edilir.

Bir yüklemin doğruluk kümesi her zaman onun tanım alanının bir alt kümesidir.

İfadelerde olduğu gibi yüklemler üzerinde de aynı işlemleri gerçekleştirebilirsiniz.

1. İnkar yüklem A( X X kümesinde tanımlanan ), A( yükleminin geçerli olduğu değerler için doğru olan bir yüklem olarak adlandırılır. X) yanlış bir ifadeye dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir.

Bu tanımdan, A( yüklemlerinin olduğu sonucu çıkar. X) ve B( X A() yüklemlerinin kendisi için olduğu en az bir değer varsa, birbirlerinin olumsuzu değildir. X) ve B( X) aynı doğruluk değerlerine sahip ifadelere dönüşür.

Yüklemin doğruluk kümesi, A yükleminin doğruluk kümesinin tamamlayıcısıdır ( X). A( yükleminin doğruluk kümesini T A ile gösterelim. X) ve T aracılığıyla - yüklemin doğruluk kümesi. Daha sonra .

2. Bağlaç yüklemler A( X) ve B( XX) İÇİNDE( X X Her iki yüklemin de doğru ifadelere dönüştüğü X.

Yüklemlerin bir birleşiminin doğruluk kümesi, A yükleminin doğruluk kümelerinin kesişimidir ( X) İÇİNDE( X). A(x) yükleminin doğruluk kümesini T A ile, B(x) yükleminin doğruluk kümesini TB ile ve A(x) B(x) yükleminin doğruluk kümesini ile belirtirsek, o zaman

3. Ayrılık yüklemler A( X) ve B( X X kümesinde tanımlanan ), A( yüklemi olarak adlandırılır. X) İÇİNDE( X), bu yalnızca ve yalnızca bu değerler için doğru bir ifadeye dönüşür X Yüklemlerden en az birinin doğru bir ifadeye dönüştüğü X.

Bir yüklem ayrılığının doğruluk kümesi, onu oluşturan yüklemlerin doğruluk kümelerinin birleşimidir, yani. .

4.Dolaylı olarak yüklemler A( X) ve B( X X kümesinde tanımlanan ), A( yüklemi olarak adlandırılır. X) İÇİNDE( X), bu, yalnızca ilk yüklemin doğru bir ifadeye ve ikincisinin yanlış bir ifadeye dönüştüğü değişkenin değerleri için yanlıştır.

Yüklemlerin imalarının doğruluk kümesi, B() yükleminin doğruluk kümesinin birliğidir. X) A( yükleminin doğruluk kümesine ek olarak X), yani.

5. Denklik yüklemler A( X) ve B( X X kümesinde tanımlanan ), tüm bunlar için doğru bir ifadeye dönüşen bir yüklem olarak adlandırılır ve yalnızca her iki yüklemin de doğru ifadelere veya yanlış ifadelere dönüştüğü değişkenin değerleri.

Yüklem denkliğinin doğruluk kümesi, bir yüklemin doğruluk kümesinin, bir yüklemin doğruluk kümesiyle kesişmesidir.

Yüklemler üzerinde nicelik belirteci işlemleri

Bir yüklem, yerine koyma yöntemi ve "nicelik belirteci ekleme" yöntemi kullanılarak bir ifadeye çevrilebilir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 sayıları hakkında şunları söyleyebiliriz: a) Tüm bu sayılar asaldır; B) bazı Verilen sayıların hepsi çifttir.

Bu cümlelerin doğru ya da yanlış olduğu söylenebileceği için ortaya çıkan cümleler birer ifadedir.

“a” cümlesinden “hepsi” kelimesini ve “b” cümlesinden “bazı” kelimesini çıkarırsak şu yüklemleri elde ederiz: “verilen sayılar asaldır”, “verilen sayılar tektir”.

“Hepsi” ve “bazıları” kelimelerine niceleyici denir. "Nicelik belirleyici" kelimesi Latince kökenlidir ve "kaç" anlamına gelir; yani nicelik belirleyici, belirli bir cümlede kaç nesnenin (tümü veya bir kısmı) konuşulduğunu gösterir.

İki ana niceleyici türü vardır: genel niceleyici ve varoluş niceleyicisi.

Şartlar “herhangi biri”, “herhangi biri”, “herkes” denir – evrensel niceleyici. Tarafından belirtilir.

A olsun( X) – X kümesinde tanımlanan belirli bir yüklem. A( ifadesi altında X) A() olduğunda ifadenin doğru olduğunu anlarız. X) X kümesinin her elemanı için doğrudur, aksi halde R'dir.

Örnek 1'de R1 tanım alanı: , değerler kümesi - . İçin R2 tanım alanı: , değerler kümesi: .

Çoğu durumda ikili ilişkinin grafiksel gösterimini kullanmak uygundur. Bu iki şekilde yapılır: düzlemdeki noktaları kullanarak ve okları kullanarak.

İlk durumda yatay ve dikey eksenler olarak birbirine dik iki çizgi seçilir. Kümenin elemanları yatay eksende çizilmiştir. A ve her noktadan geçen dikey bir çizgi çizin. Kümenin elemanları dikey eksende çizilmiştir. B, her noktadan geçen yatay bir çizgi çizin. Yatay ve dikey çizgilerin kesişme noktaları doğrudan çarpımın elemanlarını temsil eder

18. İkili ilişkileri belirleme yöntemleri.

Kartezyen çarpım A×B'nin herhangi bir alt kümesine, A ve B kümeleri çifti üzerinde tanımlanan ikili ilişki denir (Latince'de "bis", "iki kez" anlamına gelir). Genel durumda, ikili ilişkilere benzetilerek, n-ary ilişkiler aynı zamanda n kümeden birinden alınan n elemanın sıralı dizileri olarak da düşünülebilir.

İkili bir ilişkiyi belirtmek için R işareti kullanılır. R, A×B kümesinin bir alt kümesi olduğundan R⊆A× yazabiliriz. (a, b) ∈ R olduğunu belirtmeniz gerekiyorsa, yani a ∈ A ve b ∈ B elemanları arasında bir R ilişkisi varsa aRb yazın.

İkili ilişkileri belirleme yöntemleri:

1. Bu, belirli bir ilişkide yer alan tüm unsurların belirtildiği bir kuralın kullanılmasıdır. Bir kural yerine, belirli bir ilişkinin öğelerini doğrudan sıralayarak bir liste sağlayabilirsiniz;

2. Tablo şeklinde, grafik şeklinde ve kullanım bölümleri. Tablo yönteminin temeli, bir kümenin elemanlarının bir eksen boyunca ve diğer kümenin elemanlarının ikinci eksen boyunca çizildiği dikdörtgen bir koordinat sistemidir. Koordinatların kesişimleri Kartezyen çarpımın elemanlarını gösteren noktalar oluşturur.

(Şekil 1.16) kümeler için koordinat ızgarasını göstermektedir. Üç dikey çizginin altı yatay çizgiyle kesişme noktaları A×B kümesinin elemanlarına karşılık gelir. Izgara üzerindeki daireler aRb ilişkisinin elemanlarını işaretler; burada a ∈ A ve b ∈ B, R "bölme" ilişkisini belirtir.

İkili ilişkiler iki boyutlu koordinat sistemleriyle tanımlanır. Üç kümenin Kartezyen çarpımının tüm elemanlarının benzer şekilde üç boyutlu bir koordinat sisteminde, dört kümenin dört boyutlu bir sistemde vb. temsil edilebileceği açıktır;

3. Bölümleri kullanarak ilişkileri belirleme yöntemi daha az kullanıldığı için bunu dikkate almayacağız.

19. İkili bir ilişkinin yansımalılığı. Örnek.

Matematikte, bir kümedeki ikili ilişki, eğer bu kümenin her öğesi kendisiyle bir ilişki içindeyse, dönüşlü olarak adlandırılır.

Bir matris tarafından verilen ilişkiler için yansıma özelliği, matrisin tüm köşegen elemanlarının 1'e eşit olmasıyla karakterize edilir; Grafikteki ilişkiler göz önüne alındığında, her öğenin bir döngüsü vardır - bir yay (x, x).

Kümenin herhangi bir elemanı için bu koşul sağlanmıyorsa bu ilişkiye anti-yansımalı denir.

Yansıma önleyici ilişki bir matris tarafından verilirse, tüm köşegen elemanlar sıfırdır. Böyle bir ilişki bir grafikle belirtildiğinde, her köşenin bir döngüsü yoktur - (x, x) biçiminde yay yoktur.

Resmi olarak tutumun anti-düşünümselliği şu şekilde tanımlanır: .

Eğer yansıma koşulu kümenin tüm elemanları için sağlanmıyorsa ilişkinin yansımalı olmadığı söylenir.

©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2016-04-12

“Söz” kavramı önceliklidir. Mantıkta bir ifade, doğru ya da yanlış olduğu söylenebilen bildirim niteliğinde bir cümledir. Her ifade ya doğrudur ya da yanlıştır ve hiçbir ifade hem doğru hem de yanlış değildir.

İfade örnekleri: Çift sayı vardır”, “1 asal sayıdır”. İlk iki ifadenin doğruluk değeri “doğruluk”, son ikisinin doğruluk değeri ise “doğruluk”tur.

Soru ve ünlem cümleleri ifade değildir. Tanımlar ifade değildir. Örneğin “bir tam sayının 2’ye bölünebilmesine rağmen öyle olduğu söylenir” tanımı bir ifade değildir. Ancak, "eğer bir tamsayı 2'ye bölünüyorsa çifttir" bildirim cümlesi bir ifadedir ve bu bakımdan doğrudur. Önerme mantığında kişi, bir ifadenin anlamsal içeriğinden soyutlama yapar ve kendisini, onu doğru ya da yanlış olduğu konumundan ele almakla sınırlar.

Aşağıda bir ifadenin anlamını onun doğruluk değeri (“doğru” veya “yanlış”) olarak anlayacağız. İfadeleri büyük Latin harflerle ve anlamlarını yani “doğru” veya “yanlış”ı sırasıyla I ve L harfleriyle göstereceğiz.

Önerme mantığı, temel ifadeler olarak adlandırılan bazı ifadelerin diğerlerinden oluşturulma biçimi tarafından tamamen belirlenen bağlantıları inceler. Bu durumda, temel ifadeler, iç yapısı bizi ilgilendirmeyecek parçalara ayrılamayan bütünler olarak kabul edilir.

İfadelerde mantıksal işlemler.

Mantıksal işlemleri kullanarak temel ifadelerden yeni, daha karmaşık ifadeler elde edebilirsiniz. Karmaşık bir ifadenin doğruluk değeri, karmaşık ifadeyi oluşturan ifadelerin doğruluk değerlerine bağlıdır. Bu bağımlılık aşağıdaki tanımlarda oluşturulmuş ve doğruluk tablolarına yansıtılmıştır. Bu tabloların sol sütunları, söz konusu karmaşık ifadeyi doğrudan oluşturan ifadeler için doğruluk değerlerinin tüm olası dağılımlarını içerir. Sağdaki sütuna, karmaşık ifadenin doğruluk değerlerini her satırdaki dağılımlara göre yazın.

A ve B'nin doğruluk değerlerinin bilindiğini varsaymadığımız keyfi ifadeler olsun. Bir A bildiriminin olumsuzlanması, ancak ve ancak A'nın yanlış olması durumunda doğru olan yeni bir bildirimdir. A'nın olumsuzu ile gösterilir ve "A değil" veya "A olduğu doğru değildir" şeklinde okunur. Olumsuzlama işlemi tamamen doğruluk tablosu tarafından belirlenir

Örnek. I değerini alan "5'in çift sayı olduğu doğru değildir" ifadesi, "5 çift sayıdır" yanlış ifadesinin olumsuzudur.

Bağlaç işlemi kullanılarak, iki ifade A D B olarak gösterilen tek bir karmaşık ifade halinde oluşturulur. Tanım gereği, A D B ifadesi ancak ve ancak her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur. A ve B ifadelerine sırasıyla A D B bağlacının birinci ve ikinci üyeleri denir. “A D B” girdisi “L ve B” olarak okunur. Bağlaç için doğruluk tablosu şu şekildedir:

Örnek. “7 bir asal sayıdır ve 6 bir tek sayıdır” ifadesi, biri yanlış olan iki ifadenin birleşimi olarak yanlıştır.

A ve B ifadelerinin ayrılığı, ile gösterilen bir ifadedir ve bu ancak ve ancak A ve B ifadelerinden en az birinin doğru olması durumunda doğrudur.

Buna göre A V B ifadesi ancak ve ancak hem A hem de B'nin yanlış olması durumunda yanlıştır. A ve B ifadelerine sırasıyla A V B ayrıklığının birinci ve ikinci terimleri denir. A V B girişi “A veya B” olarak okunur. Bu durumda "veya" bağlacının ayrılmaz bir anlamı vardır, çünkü her iki terim de doğru olsa bile A V B ifadesi doğrudur. Ayrışma aşağıdaki doğruluk tablosuna sahiptir:

Örnek. İfade “3 ile gösterilen bir ifade, ancak ve ancak A doğru ve B yanlışsa yanlıştır, A öncülü ve B sonucuyla bir çıkarım olarak adlandırılır. A-+ B ifadesi “eğer A ise 5, o zaman 5, ” veya “A, B'yi ima eder” veya “A'dan B'yi takip eder.” Bu sonuca ilişkin doğruluk tablosu şu şekildedir:

Öncül ile sonuç arasında neden-sonuç ilişkisi olmayabilir, ancak bu, imanın doğruluğunu veya yanlışlığını etkileyemez. Örneğin, "Eğer 5 bir asal sayı ise, o zaman bir eşkenar üçgenin açıortayı ortancadır" ifadesi doğru olacaktır, ancak alışılagelmiş anlamda ikincisi birinciden gelmemektedir. “Eğer 2 + 2 = 5 ise 6 + 3 = 9” ifadesi de doğru olacaktır, çünkü sonucu doğrudur. Bu tanım göz önüne alındığında, eğer sonuç doğruysa, öncülün doğruluk değerine bakılmaksızın çıkarım da doğru olacaktır. Öncül yanlış olduğunda, sonucun doğruluk değeri ne olursa olsun çıkarım doğru olacaktır. Bu koşullar kısaca şu şekilde formüle edilmiştir: “her şeyden hakikat çıkar”, “her şey batıldan çıkar.”

Gerçek değer