• Çeviri

Özellikler asal sayılar ilk kez matematik çalışmaya başladım Antik Yunanistan. Pisagor okulunun (MÖ 500 - 300) matematikçileri öncelikle asal sayıların mistik ve numerolojik özellikleriyle ilgileniyorlardı. Mükemmel ve dost sayılar hakkında ilk fikirleri ortaya atanlar onlardı.

Mükemmel bir sayının kendi bölenlerinin toplamı kendisine eşittir. Örneğin 6 sayısının gerçek bölenleri 1, 2 ve 3'tür. 1 + 2 + 3 = 6. 28 sayısının bölenleri 1, 2, 4, 7 ve 14'tür. Üstelik 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Bir sayının uygun bölenlerinin toplamı diğerine eşitse ve bunun tersi de geçerliyse sayılara dost denir - örneğin 220 ve 284. Mükemmel bir sayının kendisine dost olduğunu söyleyebiliriz.

Öklid'in Elementleri MÖ 300'de ortaya çıktı. birçoğu zaten kanıtlanmış önemli gerçekler asal sayılar ile ilgili Elementlerin IX. Kitabında Öklid sonsuz sayıda asal sayının olduğunu kanıtladı. Bu arada bu, çelişki yoluyla kanıtın kullanılmasının ilk örneklerinden biridir. Ayrıca Aritmetiğin Temel Teoremini de kanıtlıyor: Her tam sayı, asal sayıların bir çarpımı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Ayrıca 2n-1 sayısının asal olması durumunda 2n-1 * (2n-1) sayısının mükemmel olacağını da gösterdi. Başka bir matematikçi olan Euler, 1747'de mükemmel sayıların bile bu biçimde yazılabileceğini göstermeyi başardı. Bugüne kadar tek mükemmel sayıların var olup olmadığı bilinmiyor.

MÖ 200 yılında. Yunan Eratosthenes, asal sayıları bulmak için Eratosthenes Kalburu adı verilen bir algoritma geliştirdi.

Ve sonra asal sayılara ilişkin araştırmaların tarihinde Orta Çağ'la bağlantılı olarak büyük bir kırılma yaşandı.

Aşağıdaki keşifler 17. yüzyılın başında matematikçi Fermat tarafından yapılmıştır. Albert Girard'ın 4n+1 formundaki herhangi bir asal sayının iki karenin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde yazılabileceği varsayımını kanıtladı ve ayrıca herhangi bir sayının dört karenin toplamı olarak yazılabileceği teoremini formüle etti.

O geliştirdi yeni yöntemçarpanlara ayırma büyük sayılar, ve bunu 2027651281 = 44021 × 46061 sayısı üzerinde gösterdi. Ayrıca Fermat'ın Küçük Teoremini de kanıtladı: eğer p bir asal sayı ise, o zaman herhangi bir a tamsayısı için a p = a modulo p olduğu doğru olacaktır.

Bu ifade, "Çin varsayımı" olarak bilinen şeyin yarısını kanıtlıyor ve 2000 yıl öncesine dayanıyor: Bir n tamsayısı ancak ve ancak 2 n -2'nin n'ye bölünebilmesi durumunda asaldır. Hipotezin ikinci kısmının yanlış olduğu ortaya çıktı - örneğin 2,341 - 2, 341'e bölünebilir, ancak 341 sayısı bileşiktir: 341 = 31 × 11.

Fermat'ın Küçük Teoremi, sayı teorisindeki diğer birçok sonuca ve sayıların asal olup olmadığını test etmeye yönelik yöntemlere temel oluşturdu; bunların çoğu bugün hala kullanılmaktadır.

Fermat çağdaşlarıyla, özellikle de Maren Mersenne adlı bir keşişle çokça yazışıyordu. Mektuplarından birinde, n'nin ikinin kuvveti olması durumunda 2 n +1 formundaki sayıların her zaman asal olacağını varsaydı. Bunu n = 1, 2, 4, 8 ve 16 için test etti ve n'nin ikinin katı olmaması durumunda sayının mutlaka asal olmayacağından emindi. Bu sayılara Fermat sayıları denir ve yalnızca 100 yıl sonra Euler, bir sonraki sayı olan 2 32 + 1 = 4294967297'nin 641'e bölünebileceğini ve bu nedenle asal olmadığını gösterdi.

2 n - 1 formundaki sayılar da araştırmanın konusu olmuştur, çünkü n bileşik ise sayının kendisinin de bileşik olduğunu göstermek kolaydır. Bu sayılara Mersenne sayıları deniyor çünkü kendisi bu sayıları kapsamlı bir şekilde incelemiş.

Ancak n'nin asal olduğu 2 n - 1 formundaki sayıların tümü asal değildir. Örneğin, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Bu ilk kez 1536'da keşfedildi.

Uzun yıllar boyunca bu tür sayılar matematikçilere bilinen en büyük asal sayıları sağladı. M 19'un 1588'de Cataldi tarafından kanıtlandığı ve Euler'in M 31'in de asal olduğunu kanıtlamasına kadar 200 yıl boyunca bilinen en büyük asal sayı olduğu ortaya çıktı. Bu kayıt bir yüz yıl daha devam etti ve ardından Lucas, M 127'nin asal olduğunu gösterdi (ve bu zaten 39 basamaklı bir sayıdır) ve bundan sonra araştırmalar bilgisayarların gelişiyle devam etti.

1952 yılında M 521, M 607, M 1279, M 2203 ve M 2281 sayılarının asallığı kanıtlandı.

2005 yılına gelindiğinde 42 Mersenne asal sayısı bulunmuştu. Bunlardan en büyüğü M 25964951, 7816230 rakamdan oluşuyor.

Euler'in çalışmasının asal sayılar da dahil olmak üzere sayılar teorisi üzerinde büyük etkisi oldu. Fermat'ın Küçük Teoremini genişletti ve φ fonksiyonunu tanıttı. 5. Fermat sayısı 2 32 +1'i çarpanlara ayırdı, 60 çift dost sayı buldu ve formüle etti (ancak kanıtlayamadı) ikinci dereceden yasa karşılıklılık.

Yöntemleri ilk ortaya koyan oydu. matematiksel analiz ve geliştirildi analitik teori sayılar. Sadece ∑ (1/n) harmonik serisinin değil, aynı zamanda formdaki bir serinin de olduğunu kanıtladı.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Asal sayıların tersinin toplamı ile elde edilen sonuç da ıraksaktır. N terimin toplamı harmonik serisi yaklaşık olarak log(n) kadar büyür ve ikinci satır log[ log(n)] kadar daha yavaş ıraksar. Bu, örneğin tutarın karşılıklılar Bugüne kadar bulunan tüm asal sayılar yalnızca 4'ü verecektir, ancak seri hala farklılaşmaktadır.

İlk bakışta asal sayıların tam sayılar arasında oldukça rastgele dağıldığı görülmektedir. Örneğin, 10000000'den hemen önceki 100 sayıdan 9'u asal sayıdır ve bu değerden hemen sonraki 100 sayıdan yalnızca 2 tanesi vardır. Ancak büyük dilimlerde asal sayılar oldukça eşit bir şekilde dağılmıştır. Legendre ve Gauss bunların dağılımıyla ilgili konuları ele aldılar. Gauss bir keresinde bir arkadaşına herhangi bir boş 15 dakika içinde her zaman sonraki 1000 sayıdaki asal sayıları saydığını söylemişti. Hayatının sonuna gelindiğinde 3 milyona kadar olan tüm asal sayıları saymıştı. Legendre ve Gauss, büyük n için asal yoğunluğun 1/log(n) olduğunu eşit şekilde hesapladı. Legendre, 1'den n'ye kadar olan aralıktaki asal sayıların sayısını şu şekilde tahmin etti:

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Ve Gauss logaritmik bir integral gibidir

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2'den n'ye kadar bir entegrasyon aralığı ile.

Asal yoğunluk 1/log(n) ile ilgili ifade Asal Dağılım Teoremi olarak bilinir. 19. yüzyıl boyunca bunu kanıtlamaya çalıştılar ve ilerleme Chebyshev ve Riemann tarafından sağlandı. Bunu, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının dağılımı hakkında henüz kanıtlanmamış bir hipotez olan Riemann hipoteziyle ilişkilendirdiler. Asal sayıların yoğunluğu 1896'da Hadamard ve Vallée-Poussin tarafından eşzamanlı olarak kanıtlandı.

Asal sayılar teorisinde hâlâ çözülmemiş birçok soru var ve bunların bazıları yüzlerce yıllık:

• İkiz asal hipotezi birbirinden 2 kat farklı olan sonsuz sayıda asal sayı çiftiyle ilgilidir.
• Goldbach varsayımı: 4 ile başlayan herhangi bir çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak gösterilebilir
• n 2 + 1 formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır?
• n 2 ile (n + 1) 2 arasında bir asal sayı bulmak her zaman mümkün müdür? (n ile 2n arasında her zaman bir asal sayının olduğu gerçeği Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır)
• Fermat asallarının sayısı sonsuz mudur? 4'ten sonra Fermat asal sayıları var mı?
• var mı aritmetik ilerleme herhangi bir uzunluk için ardışık asal sayıların sayısı? örneğin uzunluk 4 için: 251, 257, 263, 269. Bulunan maksimum uzunluk 26'dır.
• Aritmetik bir ilerlemede ardışık üç asal sayının sonsuz sayıda kümesi var mıdır?
• n 2 - n + 41, 0 ≤ n ≤ 40 için bir asal sayıdır. Böyle asal sayılardan sonsuz sayıda var mıdır? Aynı soru n 2 - 79 n + 1601 formülü için de geçerlidir. Bu sayılar 0 ≤ n ≤ 79 için asaldır.
• n# + 1 formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? (n#, n'den küçük tüm asal sayıların çarpılmasının sonucudur)
• n# -1 biçiminde sonsuz sayıda asal sayı var mıdır?
• N formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? +1?
• N formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? – 1?
• eğer p asalsa, 2 p -1'in çarpanları arasında her zaman asal kareler bulunmaz mı?
• Fibonacci dizisi sonsuz sayıda asal sayı içeriyor mu?

En büyük ikiz asal sayılar 2003663613 × 2 195000 ± 1'dir. 58711 rakamdan oluşurlar ve 2007 yılında keşfedilmişlerdir.

En büyük faktöriyel asal sayı (n! ± 1 tipinde) 147855'tir! - 1. 142891 rakamdan oluşur ve 2002 yılında bulunmuştur.

En büyük ilkel asal sayı (n# ± 1 formundaki bir sayı) 1098133# + 1'dir.

Tanım 1. Asal sayı- Yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilen birden büyük bir doğal sayıdır.

Başka bir deyişle, bir sayı yalnızca iki farklı sayıya sahipse asaldır doğal bölen.

Tanım 2. Kendisinden ve birinden başka bölenleri olan her doğal sayıya denir bileşik bir sayı.

Yani asal sayı olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir. Tanım 1'den şu sonuç çıkıyor bileşik sayı ikiden fazla doğal böleni vardır. 1 sayısı ne asal ne de bileşiktir çünkü yalnızca bir 1 böleni vardır ve ayrıca asal sayılarla ilgili birçok teorem birlik için geçerli değildir.

Tanım 1 ve 2'den, 1'den büyük her pozitif tam sayının ya asal sayı ya da bileşik sayı olduğu sonucu çıkar.

Aşağıda 5000'e kadar asal sayıları görüntüleyen program verilmiştir. Hücreleri doldurun, "Oluştur" butonuna tıklayın ve birkaç saniye bekleyin.

Asal sayılar tablosu

İfade 1. Eğer P- asal sayı ve A herhangi bir tamsayı, o zaman ya A bölünmüş P, veya P Ve A eş asal sayılar.

Gerçekten mi. Eğer P Asal sayı sadece kendisine ve 1'e bölünürse A bölünemez P, o zaman en büyüğü ortak bölen A Ve P 1'e eşittir. O zaman P Ve A eş asal sayılar.

İfade 2. Birkaç sayının çarpımı ise A 1 , A 2 , A 3, ... bir asal sayıya bölünebilir P, ardından sayılardan en az biri A 1 , A 2 , A 3, ...bölünebilir P.

Gerçekten mi. Eğer sayıların hiçbiri bölünemiyorsa P, ardından sayılar A 1 , A 2 , A 3, ... göre asal sayılar olacaktır P. Ancak Sonuç 3'ten () şu sonuç çıkıyor: ürünleri A 1 , A 2 , A 3, ... aynı zamanda göreli olarak asaldır P bu da beyanın şartına aykırıdır. Bu nedenle sayılardan en az biri bölünebilir P.

Teorem 1. Herhangi bir bileşik sayı her zaman temsil edilebilir ve ayrıca tek yol sonlu sayıda asal sayının çarpımı olarak.

Kanıt. İzin vermek k bileşik sayı ve izin ver A 1, 1'den ve kendisinden farklı bölenlerinden biridir. Eğer A 1 bileşiktir, o zaman 1'e ek olarak vardır ve A 1 ve başka bir bölen A 2. Eğer A 2 bileşik bir sayıdır, o zaman 1'e ek olarak vardır ve A 2 ve başka bir bölen A 3. Bu şekilde akıl yürütmek ve sayıları dikkate almak A 1 , A 2 , A 3 , ... azalan ve bu serinin içerdiği son sayı arkadaşlar, bir asal sayıya ulaşacağız P 1. Daha sonra kşeklinde temsil edilebilir

Bir sayının iki ayrışımı olduğunu varsayalım k:

Çünkü k=p 1 P 2 P 3...bir asal sayıya bölünebilir Q 1 ise faktörlerden en az biri, örneğin P 1 ile bölünebilir Q 1. Ancak P 1 asal bir sayıdır ve yalnızca 1'e ve kendisine bölünür. Buradan P 1 =Q 1 (çünkü Q 1 ≠1)

O halde (2)'den hariç tutabiliriz P 1 ve Q 1:

Dolayısıyla, birinci açılımda bir veya daha fazla kez faktör olarak görünen her asal sayının, ikinci açılımda da en az aynı sayıda göründüğüne ve ikinci açılımda faktör olarak görünen herhangi bir asal sayının da tam tersi olduğuna inanıyoruz. bir veya daha fazla kez de ilk genişletmede en az aynı sayıda görünür. Bu nedenle her iki açılımda da herhangi bir asal sayı faktör olarak yer almaktadır. aynı numara zamanlar ve dolayısıyla bu iki açılım aynıdır.■

Bileşik sayının genişletilmesi k aşağıdaki biçimde yazılabilir

Nerede P 1 , P 2, ... çeşitli asal sayılar, α, β, γ ... pozitif tamsayılar.

Genişleme (3) denir kanonik genişleme sayılar.

Asal sayılar doğal sayılar dizisinde eşit olmayan şekilde ortaya çıkar. Sıranın bazı kısımlarında daha fazlası var, diğerlerinde ise daha az. Ne kadar ileri gidersek sayı serisi asal sayılar daha az yaygındır. Şu soru ortaya çıkıyor: En büyük asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid sonsuz sayıda asal sayının olduğunu kanıtladı. Bu kanıtı aşağıda sunuyoruz.

Teorem 2. Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

Kanıt. Sonlu sayıda asal sayı olduğunu varsayalım ve en büyük asal sayı olsun P. Bütün sayıları büyük sayalım P. İfadenin varsayımına göre bu sayıların bileşik olması ve asal sayılardan en az birine bölünebilmesi gerekir. Tüm bu asal sayıların artı 1'in çarpımı olan bir sayı seçelim:

Sayı z Daha PÇünkü 2p zaten daha fazlası P. P bu asal sayıların hiçbirine bölünemez çünkü her birine bölündüğünde 1 kalanını verir. Böylece bir çelişkiye varırız. Bu nedenle sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Bu teorem daha genel bir teoremin özel bir durumudur:

Teorem 3. Aritmetik bir ilerleme verilsin

Daha sonra herhangi bir asal sayı dahil N, dahil edilmelidir M, bu nedenle N diğerleri giremez asal faktörler, dahil olmayanlar M ve dahası, bu temel faktörler N belirtilenden daha fazla kez dahil edilmez M.

Bunun tersi de doğrudur. Bir sayının her asal çarpanı ise N sayıya en az aynı sayıda dahil edildi M, O M bölünmüş N.

İfade 3. İzin vermek A 1 ,A 2 ,A 3,... çeşitli asal sayılar dahil M Bu yüzden

Nerede Ben=0,1,...α , J=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Dikkat αi kabul eder α +1 değerler, β j kabul ediyor β +1 değerler, γ k kabul ediyor γ +1 değerler, ... .

Sayıların güzelliği. Antiprimler

• Popüler Bilim

60 sayısının on iki böleni vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Herkes biliyor inanılmaz özellikler Yalnızca kendisine ve bire bölünebilen asal sayılardır. Bu sayılar son derece faydalıdır. Kriptografide nispeten büyük asal sayılar (yaklaşık 10.300'den) kullanılır. anahtarla aç, karma tablolarında, sözde rastgele sayılar vb. oluşturmak için. Büyük faydaların yanı sıra insan uygarlığı, bunlar özel Rakamlar inanılmaz derecede güzel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

Örneğin 12 sayısının altı böleni vardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Bu çok fazla bir sayı çünkü

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12)

Kullanışlı onikili sistem birçok yerde kullanılır parasal sistemler dahil eski Rus beylikleri(12 yarım ruble = 1 altyn = 2 ryazanka = 3 novgorodka = 4 Tver parası = 6 Moskova parası). Gördüğünüz gibi çok sayıda bölen kritik önem taşıyor önemli kalite madeni paraların geldiği koşullarda farklı sistemler tek mezhebe indirilmelidir.

Büyük fazla sayılar diğer alanlarda faydalıdır. Örneğin 5040 sayısını ele alalım. Bu bir bakıma benzersiz bir sayıdır, bölenleri listesinden ilkleri şunlardır:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

5040 kentsel çalışmalar, politika, sosyoloji vb. için ideal bir sayıdır. Atinalı düşünür Platon bundan 2300 yıl önce buna dikkat çekmişti. onun içinde temel çalışma"Yasalar" Platon, ideal bir aristokrat cumhuriyette 5040 vatandaşın olması gerektiğini yazdı, çünkü bu kadar çok sayıda vatandaşın istisnasız olarak on kişiye kadar herhangi bir sayıda eşit gruba bölünebilir. Buna göre böyle bir sistemde yönetsel ve temsili bir hiyerarşi planlamak uygundur.

Elbette bu idealizm ve ütopya ama 5040 sayısını kullanmak aslında son derece kullanışlı. Bir şehrin 5.040 sakini varsa, onu eşit bölgelere bölmek, eşit sayıda vatandaş için belirli sayıda hizmet tesisi planlamak ve temsil organlarını oylama yoluyla seçmek uygundur.

Bu tür son derece karmaşık, son derece fazlalık sayılara "antiasal" adı verilir. Açık bir tanım vermek istersek, bir antiasal sayının, kendisinden daha küçük herhangi bir tam sayıdan daha fazla çarpanı olan pozitif bir tam sayı olduğunu söyleyebiliriz.

Bu tanıma göre, birden farklı en küçük anti-asal sayı 2 (iki bölen), 4 (üç bölen) olacaktır. Aşağıdakiler:

6 (dört bölen), 12 (altı bölen), 24, 36, 48, 60 (bir saatteki dakika sayısı), 120, 180, 240, 360 (bir daire içindeki derece sayısı), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400

Kullanımı uygun olan bu sayılardır masa oyunları kartlar, cipsler, para vb. ile Örneğin, aynı sayıda kart, çip, para dağıtmanıza izin veriyorlar farklı miktarlar oyuncular. Aynı nedenden ötürü, okul çocukları veya öğrencilerden oluşan sınıflar oluşturmak için - örneğin, görevleri tamamlamak için onları eşit sayıda aynı gruplara bölmek için - kullanılması uygundur. Bir spor takımındaki oyuncu sayısı için. Ligdeki takım sayısına göre. Şehirde yaşayanların sayısı için (yukarıda tartışıldığı gibi). Bir şehir, bölge, ülkedeki idari birimler için.

Örneklerden görülebileceği gibi, anti-asalların çoğu halihazırda pratik cihazlarda ve sayı sistemlerinde fiilen kullanılmaktadır. Örneğin 60 ve 360 ​​sayıları. Sahip olmanın rahatlığı göz önüne alındığında bu oldukça öngörülebilirdi. büyük miktar bölücüler.

Antiprimlerin güzelliği tartışılabilir. Asal sayılar inkar edilemeyecek kadar güzel olsa da anti-asal sayılar bazılarına iğrenç gelebilir. Ancak bu yüzeysel bir izlenimdir. Bir de onlara diğer taraftan bakalım. Sonuçta bu sayıların temeli asal sayılardır. Bileşik sayılar, fazla sayılar ve yaratılışın tacı, anti-asal sayılar, sanki yapı taşlarındanmış gibi asal sayılardan yapılmıştır.

Aritmetiğin Temel Teoremi, herhangi bir bileşik sayının birkaç asal faktörün çarpımı olarak temsil edilebileceğini belirtir. Örneğin,

30 = 2 × 3 × 5
550 = 2 × 5 2 × 11,

Yani antiprimlerin de kendine has bir güzelliği var.

Sayılar farklıdır: doğal, rasyonel, rasyonel, tamsayı ve kesirli, pozitif ve negatif, karmaşık ve asal, tek ve çift, gerçek vb. Bu makaleden asal sayıların ne olduğunu öğrenebilirsiniz.

İngilizce'de hangi sayılara "basit" denir?

Çoğu zaman, okul çocukları matematikteki en basit sorulardan birine, asal sayının ne olduğuna dair ilk bakışta nasıl cevap vereceklerini bilmiyorlar. Asal sayıları sıklıkla doğal sayılarla (yani insanların nesneleri sayarken kullandıkları, bazı kaynaklarda sıfırla, bazılarında ise bir ile başlayan sayılar) karıştırırlar. Ama tamamen iki farklı kavramlar. Asal sayılar doğal sayılardır, yani birden büyük olan ve yalnızca 2 doğal böleni olan tam sayılar ve pozitif sayılardır. Ayrıca bu bölenlerden biri verilen numara ve ikincisi bir. Örneğin üç asal sayıdır çünkü kendisinden ve birden başka hiçbir sayıya kalansız bölünemez.

Bileşik sayılar

Asal sayıların tersi bileşik sayılardır. Onlar da doğaldır, birden büyüktür ama iki tane yoktur, ama Daha bölücüler. Yani örneğin 4, 6, 8, 9 vb. sayılar doğal, bileşik sayılardır ancak asal sayılar değildir. Gördüğünüz gibi bunlar çoğunlukla çift sayılardır, ancak hepsi değildir. Ancak "iki" bir çift sayıdır ve asal sayılar dizisinin "ilk sayısı"dır.

Alt sıra

Bir dizi asal sayı oluşturmak için tüm doğal sayılar arasından tanımlarını dikkate alarak seçim yapmak, yani çelişkili hareket etmek gerekir. Doğal olanların her birini dikkate almak gerekir. pozitif sayılar ikiden fazla böleni olup olmadığını görmek için. Asal sayılardan oluşan bir seri (dizi) oluşturmaya çalışalım. Liste ikiyle başlar, yalnızca kendisine ve bire bölünebildiğinden üç gelir. Dört sayısını düşünün. Dört ve bir dışında bölenleri var mı? Evet bu sayı 2'dir. Yani dört asal sayı değildir. Beş de asaldır (1 ve 5 dışında başka hiçbir sayıya bölünemez), ancak altı bölünebilir. Ve genel olarak tüm çift sayıları takip ederseniz "iki" dışında hiçbirinin asal olmadığını fark edeceksiniz. Bundan iki dışındaki çift sayıların asal olmadığı sonucuna varırız. Başka bir keşif: Üçün kendisi dışında, ister çift ister tek olsun, üçe bölünebilen tüm sayılar da asal değildir (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, vb.). Aynı şey beşe ve yediye bölünebilen sayılar için de geçerlidir. Bütün bunların çokluğu da basit değil. Özetleyelim. Yani basit olanlara tek haneli sayılar Bir ve dokuz dışındaki tüm tek sayılar dahil edilmiştir ve çift sayılar çift sayılardır. Onlarlık sayılar (10, 20,... 40, vb.) basit değildir. İki basamaklı, üç basamaklı vb. asal sayılar yukarıdaki ilkelere göre belirlenebilir: Kendileri ve bir dışında böleni yoksa.

Asal sayıların özelliklerine ilişkin teoriler

Asal sayılar da dahil olmak üzere tam sayıların özelliklerini inceleyen bir bilim vardır. Bu, yüksek denilen bir matematik dalıdır. Tamsayıların özelliklerinin yanı sıra cebirsel konularla da ilgilenmektedir. aşkın sayılar ve ayrıca işlevler çeşitli kökenlerden Bu sayıların aritmetiği ile ilgili. Bu çalışmalarda ilköğretimin yanı sıra cebirsel yöntemler Analitik ve geometrik de kullanılır. Özellikle “Sayı Teorisi” asal sayıların incelenmesiyle ilgilidir.

Asal sayılar doğal sayıların “yapı taşlarıdır”

Aritmetikte temel teorem adı verilen bir teorem vardır. Buna göre, biri dışında herhangi bir doğal sayı, çarpanları asal sayı olan ve çarpanların sırası tek olan bir çarpım olarak temsil edilebilir, bu da temsil yönteminin benzersiz olduğu anlamına gelir. Buna ayrışma denir doğal sayı asal faktörlere ayrılır. Bu sürecin başka bir adı daha var; sayıların çarpanlara ayrılması. Buna dayanarak asal sayılara “yapı malzemesi”, doğal sayıların oluşturulması için “bloklar” denilebilir.

Asal sayıları arayın. Basitlik testleri

Farklı zamanlardan birçok bilim adamı, asal sayıların bir listesini bulmak için bazı ilkeler (sistemler) bulmaya çalıştı. Bilim, Atkin eleği, Sundartham eleği ve Eratosthenes eleği adı verilen sistemleri biliyor. Ancak anlamlı sonuç vermezler ve asal sayıları bulmak için kullanırız. basit kontrol. Matematikçiler de algoritmalar yarattılar. Bunlara genellikle asallık testleri denir. Mesela Rabin ve Miller'ın geliştirdiği bir test var. Kriptograflar tarafından kullanılır. Kayal-Agrawal-Sasquena testi de var. Bununla birlikte, yeterli doğruluğa rağmen hesaplanması çok zordur ve bu da pratik önemini azaltır.

Asal sayılar kümesinin bir sınırı var mıdır?

Eski Yunanlı “İlkeler” adlı kitabında asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunu yazmıştı. bilim adamı Öklid. Şunu söyledi: “Bir an için asal sayıların bir sınırı olduğunu düşünelim. Daha sonra bunları birbiriyle çarpalım ve bir tanesini çarpıma ekleyelim. Bunlardan elde edilen sayı basit eylemler kalan her zaman bir olacağından herhangi bir asal sayıya bölünemez. Bu, henüz asal sayılar listesinde yer almayan başka bir sayının olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla varsayımımız doğru değildir ve bu kümenin limiti olamaz. Öklid'in kanıtının yanı sıra daha fazlası da var modern formül 18. yüzyıl İsviçreli matematikçisi Leonhard Euler tarafından verilmiştir. Buna göre ilk n sayının toplamının tersinin toplamı, n sayısı arttıkça sınırsız olarak büyümektedir. Asal sayıların dağılımına ilişkin teoremin formülü ise şöyle: (n), n/ln (n) kadar artar.

En büyük asal sayı nedir?

Aynı Leonard Euler, zamanının en büyük asal sayısını bulmayı başardı. Bu 2 31 - 1 = 2147483647'dir. Ancak 2013 yılına kadar asal sayılar listesindeki en doğru en büyük sayı hesaplandı - 2 57885161 - 1. Buna Mersenne sayısı denir. Yaklaşık 17 milyon ondalık basamak içerir. Gördüğünüz gibi, bir 18. yüzyıl bilim adamının bulduğu sayı bundan birkaç kat daha küçüktür. Öyle olması gerekirdi çünkü Euler bu hesaplamayı manuel olarak gerçekleştirdi, ancak çağdaşımıza muhtemelen şu yardımcı oldu: bilgisayar. Üstelik bu sayı Amerikan fakültelerinden birinin Matematik Fakültesi'nde de elde edildi. Bu bilim adamının adını taşıyan sayılar Luc-Lemaire asallık testini geçiyor. Ancak bilim burada durmak istemiyor. 1990 yılında Amerika Birleşik Devletleri'nde (EFF) kurulan Electronic Frontier Foundation, büyük asal sayıları bulanlara parasal bir ödül teklif etti. Ve eğer 2013 yılına kadar ödül, onları 1 ile 10 milyon arasında bulan bilim insanlarına verilseydi ondalık sayılar o zaman bugün bu rakam 100 milyondan 1 milyara ulaştı. Ödüller 150 ila 250 bin ABD doları arasında değişiyor.

Özel asal sayıların adları

Bazı bilim adamlarının oluşturduğu algoritmalar sayesinde bulunan ve basitlik testini geçen sayılara özel sayı deniyor. İşte bunlardan bazıları:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills ve diğerleri.

Adını yukarıda adı geçen bilim adamlarının adını taşıyan bu sayıların basitliği, aşağıdaki testler kullanılarak belirlenmektedir:

1.Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge ve diğerleri.

Modern bilim bununla bitmiyor ve muhtemelen yakın gelecekte dünya, en büyük asal sayıyı bularak 250.000 dolarlık ödülü almayı başaranların isimlerini öğrenecek.

Biri hariç tüm doğal sayılar asal ve bileşik olarak ikiye ayrılır. Asal sayı, yalnızca iki böleni olan bir doğal sayıdır: bir ve kendisi. Diğerlerinin tümüne kompozit denir. Asal sayıların özelliklerinin incelenmesi, matematiğin özel bir dalı olan sayılar teorisi tarafından gerçekleştirilir. Halka teorisinde asal sayılar indirgenemez elemanlarla ilişkilidir.

İşte 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73'ten başlayan asal sayılar dizisi , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,... vb.

Aritmetiğin temel teoremine göre birden büyük olan her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak gösterilebilir. Aynı zamanda doğal sayıları çarpanların sırasına göre temsil etmenin tek yolu budur. Buradan yola çıkarak asal sayıların doğal sayıların elementer parçaları olduğunu söyleyebiliriz.

Bir doğal sayının bu temsiline, bir doğal sayının asal sayılara ayrıştırılması veya bir sayının çarpanlarına ayrılması denir.

En eskilerden biri ve etkili yollar Asal sayıların hesaplanması “Erasstophenes eleği”dir.

Uygulama, Erastofen eleği kullanılarak asal sayıları hesapladıktan sonra, verilen sayının asal olup olmadığının kontrol edilmesi gerektiğini göstermiştir. Bu amaç için tasarlandı özel testler, sözde asallık testleri. Bu testlerin algoritması olasılıksaldır. En sık kriptografide kullanılırlar.

Bu arada, bazı sayı sınıfları için özel etkili asallık testleri vardır. Örneğin Mersenne sayılarının asallığını kontrol etmek için Luc-Lehmer testi, Fermat sayılarının asallığını kontrol etmek için Pepin testi kullanılır.

Sonsuz sayıda sayının olduğunu hepimiz biliyoruz. Haklı olarak şu soru ortaya çıkıyor: O halde kaç tane asal sayı var? Ayrıca sonsuz sayıda asal sayı vardır. Bu önermenin en eski kanıtı, Elementler kitabında ortaya konan Öklid'in kanıtıdır. Öklid'in kanıtı şuna benzer:

Asal sayıların sayısının sonlu olduğunu varsayalım. Bunları çarpıp bir ekleyelim. Ortaya çıkan sayı, sonlu asal sayılar kümesinden herhangi birine bölünemez çünkü bunlardan herhangi birine bölünmenin geri kalanı bir verir. Bu nedenle sayının bu kümede yer almayan bir asal sayıya bölünebilmesi gerekir.

Asal sayı dağılım teoremi, n'den küçük olan ve π(n) ile gösterilen asal sayıların sayısının n / ln(n) olarak arttığını belirtir.

Asal sayılar üzerinde binlerce yıl çalıştıktan sonra bilinen en büyük asal sayı 243112609 - 1'dir. Bu sayı 12.978.189 ondalık basamağa sahiptir ve Mersenne asal sayısıdır (M43112609). Bu keşif 23 Ağustos 2008'de yapıldı. Matematik Fakültesi uCLA Üniversitesi, Mersenne asal sayıları için GIMPS dağıtılmış arama projesinin bir parçası olarak.

Ev ayırt edici özellik Mersenne sayıları oldukça etkili bir Luc-Lemaire asallık testinin varlığıdır. Onun yardımıyla Mersenne baştan sona hazırlık yapıyor uzun süre zaman bilinen en büyük asal sayılardır.

Ancak bugüne kadar asal sayılara ilişkin pek çok soruya kesin yanıt alınamadı. 5. Uluslararası Matematik Kongresi'nde Edmund Landau asal sayılar alanındaki temel sorunları formüle etti:

Goldbach'ın problemi veya Landau'nun ilk problemi, ikiden büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini ve her tek sayı 5'ten büyük, toplam olarak temsil edilebilir üç basit sayılar.
Landau'nun ikinci problemi şu soruya bir cevap bulmayı gerektiriyor: Sonsuz bir "asal ikizler" kümesi - farkı 2 olan asal sayılar var mı?
Legendre'nin varsayımı veya Landau'nun üçüncü problemi şudur: n2 ile (n + 1)2 arasında her zaman bir asal sayının olduğu doğru mudur?
Landau'nun dördüncü problemi: n2 + 1 formundaki asal sayılar kümesi sonsuz mudur?
Yukarıdaki sorunlara ek olarak, belirleme sorunu da vardır. sonsuz sayı Fibonacci sayıları, Fermat sayıları vb. gibi birçok tam sayı dizisindeki asal sayılar.