İfadelerin doğruluk değerinin belirlenmesi. Karmaşık ifadelerin doğruluğunu tespit etmek

Önerme mantığı Önerme mantığı olarak da adlandırılan önerme mantığı, mantıksal işlemler kullanılarak basit veya temel ifadelerden oluşturulan karmaşık ifadelerin mantıksal biçimlerini inceleyen bir matematik ve mantık dalıdır.

Önerme mantığı, ifadelerin içeriğinden soyutlar ve onların doğruluk değerini, yani ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu inceler.

Yukarıdaki resim Yalancı Paradoksu olarak bilinen bir olgunun bir örneğidir. Aynı zamanda projenin yazarına göre bu tür paradokslar ancak siyasi sorunlardan arınmış olmayan, birinin önsel olarak yalancı olarak etiketlenebileceği ortamlarda mümkündür. Doğal çok katmanlı dünyada “Doğruluk” veya “yanlışlık” konusu yalnızca bireysel ifadeler değerlendirilir . Ve bu derste daha sonra tanıtılacaksınız bu konudaki birçok ifadeyi kendiniz değerlendirme fırsatı (ve sonra doğru cevaplara bakın). Daha basit olanların mantıksal işlem işaretleriyle birbirine bağlandığı karmaşık ifadeler dahil. Ama önce bu işlemleri ifadelerin kendileri üzerinde ele alalım.

Önerme mantığı, bilgisayar bilimlerinde ve programlamada, mantıksal değişkenlerin bildirilmesi ve bunlara programın daha fazla yürütülmesinin bağlı olduğu "yanlış" veya "doğru" mantıksal değerlerinin atanması şeklinde kullanılır. Yalnızca bir boole değişkeninin yer aldığı küçük programlarda, boole değişkenine genellikle "flag" gibi bir ad verilir ve değişkenin değeri "true" olduğunda "flag is up", "flag is down" olduğunda ise anlam "flag is up" olur. bu değişkenin değeri "yanlış"tır. Birkaç veya hatta birçok mantıksal değişkenin bulunduğu büyük programlarda, profesyonellerin, onları diğer mantıksal değişkenlerden ayıran ve diğer profesyoneller tarafından anlaşılabilir bir ifade biçimine ve anlamsal bir anlama sahip olan mantıksal değişkenler için adlar bulmaları gerekir. bu programın metnini okuyacaktır.

Böylece, "UserRegistered" (veya bunun İngilizce dilindeki analogu) adındaki mantıksal bir değişken, kayıt verilerinin gönderildiği koşulların karşılanması durumunda "true" mantıksal değeri atanabilen bir ifade biçiminde bildirilebilir. Kullanıcı tarafından bu veriler program tarafından geçerli olarak tanınır. Daha sonraki hesaplamalarda, UserRegistered değişkeninin mantıksal değerine (true veya false) bağlı olarak değişkenlerin değerleri değişebilir. Diğer durumlarda, örneğin "Günden Üç Günden Fazla Kaldı" adlı bir değişkene, belirli bir hesaplama bloğundan önce "Doğru" değeri atanabilir ve programın daha sonraki yürütülmesi sırasında bu değer şu şekilde ayarlanabilir: kaydedildi veya "yanlış" olarak değiştirildi ve daha sonraki yürütmenin ilerlemesi bu değişken programların değerine bağlıdır.

Bir program, adları ifade biçiminde olan birkaç mantıksal değişken kullanıyorsa ve bunlardan daha karmaşık ifadeler oluşturulmuşsa, programı geliştirmeden önce tüm işlemleri yazarsak, programı geliştirmek çok daha kolaydır. İfade mantığında kullandığımız formüller şeklindeki ifadeler sırasında yapacağımız işlemler Bu derste yapacağımız şey.

İfadelerde mantıksal işlemler

Matematiksel ifadeler için her zaman "doğru" ve "yanlış" olmak üzere iki farklı alternatif arasında seçim yapılabilir, ancak "sözlü" dilde yapılan ifadeler için "doğru" ve "yanlış" kavramları biraz daha belirsizdir. Ancak örneğin böyle sözlü formlar"Eve git" ve "Yağmur yağıyor mu?" gibi ifadeler değildir. Bu nedenle açıktır ki ifadeler bir şeyin ifade edildiği sözlü formlardır . Soru veya ünlem cümleleri, itirazlar, dilek veya talepler beyan değildir. "Doğru" ve "yanlış" değerleri ile değerlendirilemezler.

Aksine, ifadeler iki anlam alabilen nicelikler olarak düşünülebilir: “doğru” ve “yanlış”.

Örneğin şu yargılar verilmektedir: “Köpek hayvandır”, “Paris İtalya’nın başkentidir”, “3

Bu ifadelerden birincisi “doğru”, ikincisi “yanlış”, üçüncüsü “doğru” ve dördüncüsü “yanlış” simgesiyle değerlendirilebilir. İfadelerin bu şekilde yorumlanması önermesel cebirin konusudur. İfadeleri büyük harflerle göstereceğiz Latin harfleriyle A, B, ... ve anlamları, yani sırasıyla doğru ve yanlış VE Ve L. Sıradan konuşmada “ve”, “veya” ve diğerleri ifadeleri arasındaki bağlantılar kullanılır.

Bu bağlantılar, farklı ifadeleri birbirine bağlayarak yeni ifadelerin oluşmasına olanak tanır. karmaşık ifadeler . Örneğin "ve" bağlacı. Şu ifadeler verilsin: " π 3'ten fazla" ve ifadesi " π 4"ten az. Yeni ve karmaşık bir ifade düzenleyebilirsiniz " π 3'ten fazla ve π 4'ten az". Açıklama "eğer π o zaman mantıksız π ² de irrasyoneldir" ifadesi, iki ifadeyi "eğer - o zaman" bağlacı ile bağlayarak elde edilir. Son olarak, orijinal ifadeyi reddederek herhangi bir ifadeden yeni bir karmaşık ifade elde edebiliriz.

İfadeleri anlam kazanan nicelikler olarak düşünmek VE Ve L daha ayrıntılı olarak tanımlayacağız ifadeler üzerinde mantıksal işlemler bu ifadelerden yeni karmaşık ifadeler elde etmemizi sağlar.

İki keyfi ifade verilsin A Ve B.

1 . Bu ifadeler üzerindeki ilk mantıksal işlem -bağlaç- yeni bir ifadenin oluşumunu temsil eder. A ∧ B ve bu ancak ve ancak şu durumda doğrudur A Ve B bunlar doğrudur. Sıradan konuşmada bu işlem, ifadelerin "ve" bağlacı ile bağlantısına karşılık gelir.

Bağlaç için doğruluk tablosu:

2 . İfadelerde ikinci mantıksal işlem A Ve B- ayrıklık şu şekilde ifade edilir: A ∨ B, şu şekilde tanımlanır: ancak ve ancak orijinal ifadelerden en az birinin doğru olması durumunda doğrudur. Sıradan konuşmada bu işlem, ifadeleri "veya" bağlacı ile bağlamaya karşılık gelir. Ancak burada, "ya da" anlamında anlaşılan, bölmeyen bir "veya" vardır. A Ve B her ikisi de doğru olamaz. Önerme mantığını tanımlarken A ∨ B hem ifadelerden yalnızca biri doğruysa hem de her iki ifade de doğruysa doğrudur A Ve B.

Ayrışma için doğruluk tablosu:

3 . İfadelerdeki üçüncü mantıksal işlem A Ve B olarak ifade edilir A → B; bu şekilde elde edilen ifade ancak ve ancak şu durumlarda yanlıştır: A doğru ama B YANLIŞ. A isminde parsele göre , B - sonuçlar ve beyan A → B - takip etme ima da denir. Sıradan konuşmada bu işlem "if-then" bağlacına karşılık gelir: "if A, O B". Ancak önerme mantığının tanımında bu ifade, ifadenin doğru ya da yanlış olmasına bakılmaksızın her zaman doğrudur. B. Bu durum kısaca şu şekilde formüle edilebilir: "Her şey sahte olandan çıkar." Buna karşılık, eğer A doğru ama B yanlış ise ifadenin tamamı A → B YANLIŞ. Bu ancak ve ancak şu şekilde doğru olacaktır: A, Ve B bunlar doğrudur. Kısaca bu şu şekilde formüle edilebilir: “yanlış, doğrudan çıkamaz.”

İzlenecek doğruluk tablosu (gösterim):

4 . İfadeler üzerinde, daha doğrusu bir ifade üzerinde dördüncü mantıksal işleme, bir ifadenin olumsuzlanması denir. A ve ~ ile gösterilir A(yukarıda ~ simgesinin değil, ¬ simgesinin kullanımını ve ayrıca üst çizgiyi de bulabilirsiniz.) A). ~ A yanlış olan bir ifade var A doğru ve ne zaman doğru A YANLIŞ.

Olumsuzlamanın doğruluk tablosu:

5 . Ve son olarak, ifadeler üzerindeki beşinci mantıksal işleme eşdeğerlik adı verilir ve şu şekilde gösterilir: A ↔ B. Ortaya çıkan ifade A ↔ B bir ifade ancak ve ancak şu durumda doğrudur A Ve B her ikisi de doğrudur veya her ikisi de yanlıştır.

Eşdeğerlik için doğruluk tablosu:

Çoğu programlama dilinde ifadelerin mantıksal anlamlarını belirtmek için özel semboller bulunur; bunlar hemen hemen tüm dillerde doğru ve yanlış olarak yazılır.

Yukarıdakileri özetleyelim. Önerme mantığı Temel olarak adlandırılan, bazı ifadelerin diğerlerinden oluşturulma biçimiyle tamamen belirlenen bağlantıları inceler. Bu durumda, temel ifadeler bir bütün olarak kabul edilir ve parçalara ayrılamaz.

İfadelerdeki mantıksal işlemlerin adlarını, notasyonlarını ve anlamlarını aşağıdaki tabloda sistematize edelim (örnek çözmek için yakında bunlara tekrar ihtiyacımız olacak).

Mantıksal işlemler için doğru cebir mantığı yasaları basitleştirmek için kullanılabilir mantıksal ifadeler. Önermeler mantığında kişinin bir ifadenin anlamsal içeriğinden soyutladığı ve kendisini onu doğru ya da yanlış olduğu konumundan ele almakla sınırladığı belirtilmelidir.

Örnek 1.

1) (2 = 2) VE (7 = 7) ;

2) Yok(15;

3) ("Çam" = "Meşe") VEYA ("Kiraz" = "Akçaağaç");

4) Not("Çam" = "Meşe");

5) (Değil(15 20) ;

6) (“Görmek için gözler verilmiştir”) Ve (“Üçüncü katın altı ikinci kattır”);

7) (6/2 = 3) VEYA (7*5 = 20) .

1) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “doğrudur”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da doğrudur. Her iki ifade de "VE" mantıksal işlemiyle bağlantılıdır (yukarıdaki bu işlemin kurallarına bakın), dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal değeri "doğru"dur.

2) Parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”tır. Bu ifadeden önce mantıksal bir olumsuzlama işlemi vardır, dolayısıyla tüm bu ifadenin mantıksal anlamı “doğrudur”.

3) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da “yanlış”tır. İfadeler "OR" mantıksal işlemiyle bağlanır ve ifadelerin hiçbiri "true" değerine sahip değildir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “yanlış”tır.

4) Parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”tır. Bu ifadeden önce olumsuzlamanın mantıksal işlemi gelir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.

5) İç parantez içindeki ifade ilk parantezde olumsuzlanır. İç parantez içindeki bu ifade "yanlış" anlamına gelir, bu nedenle olumsuzlaması mantıksal olarak "doğru" anlamına gelecektir. İkinci parantez içindeki ifade "yanlış" anlamına gelmektedir. Bu iki ifade “VE” mantıksal işlemiyle bağlanır, yani “doğru VE yanlış” elde edilir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “yanlış”tır.

6) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “doğru”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da “doğru”dur. Bu iki ifade “VE” mantıksal işlemiyle bağlanır, yani “doğru VE gerçek” elde edilir. Bu nedenle verilen ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.

7) İlk parantez içindeki ifadenin anlamı “doğrudur”. İkinci parantez içindeki ifadenin anlamı "yanlış"tır. Bu iki ifade “VEYA”, yani “doğru VEYA yanlış” mantıksal işlemiyle birbirine bağlanır. Bu nedenle verilen ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.

Örnek 2. Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın:

1) "Kullanıcı kayıtlı değil";

2) “Bugün Pazar ve bazı çalışanlar işte”;

3) “Kullanıcı, yalnızca kullanıcı tarafından gönderilen verilerin geçerli sayılması durumunda kaydolur.”

1) P- tek ifade “Kullanıcı kayıtlıdır”, mantıksal işlem: ;

2) P- tek bir açıklama “Bugün Pazar”, Q- "Bazı çalışanlar iş başında", mantıksal işlem: ;

3) P- tek bildirim “Kullanıcı kayıtlıdır”, Q- “Kullanıcı tarafından gönderilen veriler geçerli bulundu”, mantıksal işlem: .

Önerme mantığı örneklerini kendiniz çözün ve ardından çözümlere bakın

Örnek 3. Aşağıdaki ifadelerin mantıksal değerlerini hesaplayın:

1) (“Bir dakika 70 saniyedir”) VEYA (“Çalışan bir saat zamanı gösterir”);

2) (28 > 7) VE (300/5 = 60) ;

3) ("Televizyon - elektrikli cihaz") Ve ("Cam - ahşap");

4) Not((300 > 100) VEYA ("Susuzluğunuzu suyla giderebilirsiniz"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Örnek 4. Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın ve mantıksal değerlerini hesaplayın:

1) “Saat zamanı yanlış gösteriyorsa derse yanlış zamanda varabilirsiniz”;

2) “Aynada yansımanızı ve ABD'nin başkenti Paris'i görebilirsiniz”;

Örnek 5. Bir İfadenin Boolean Değerini Belirleme

(P → Q) ↔ (R → S) ,

P = "278 > 5" ,

Q= "Elma = Turuncu",

P = "0 = 9" ,

S= "Şapka kafayı örter".

Önerme mantığı formülleri

Konsept mantıksal biçim karmaşık ifade kavramı kullanılarak açıklığa kavuşturulur önerme mantığı formülleri .

Örnek 1 ve 2'de mantıksal işlemleri kullanarak karmaşık ifadeler yazmayı öğrendik. Aslında bunlara önermesel mantık formülleri deniyor.

İfadeleri belirtmek için söz konusu örnekte olduğu gibi harfleri kullanmaya devam edeceğiz.

P, Q, R, ..., P 1 , Q 1 , R 1 , ...

Bu harfler “true” ve “false” doğruluk değerlerini değer olarak alan değişkenlerin rolünü oynayacaktır. Bu değişkenlere aynı zamanda önermesel değişkenler de denir. Onları ayrıca arayacağız temel formüller veya atomlar .

Önerme mantığı formülleri oluşturmak için yukarıda belirtilen harflere ek olarak mantıksal işlem işaretleri de kullanılır.

~, ∧, ∨, →, ↔,

formüllerin net bir şekilde okunmasını sağlayan sembollerin yanı sıra sol ve sağ parantez.

Konsept önermesel mantık formülleri şöyle tanımlayalım:

1) temel formüller (atomlar) önerme mantığının formülleridir;

2) eğer A Ve B- önerme mantığı formülleri, o zaman ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) aynı zamanda önerme mantığının formülleridir;

3) yalnızca bu ifadeler, 1) ve 2)'den çıkan önerme mantığı formülleridir.

Bir önerme mantığı formülünün tanımı, bu formüllerin oluşumuna ilişkin kuralların bir listesini içerir. Tanıma göre, her önermesel mantık formülü ya bir atomdur ya da kural 2)'nin tutarlı bir şekilde uygulanması sonucu atomlardan oluşmuştur.

Örnek 6.İzin vermek P- tek ifade (atom) “Tüm rasyonel sayılar gerçektir”, Q- "Bazı reel sayılar rasyonel sayılardır" R- "bazı rasyonel sayılar gerçektir." Aşağıdaki önerme mantığı formüllerini sözlü ifadeler biçimine çevirin:

6) .

1) "hayır gerçek sayılar rasyonel olan";

2) "eğer tüm rasyonel sayılar gerçek değilse, o zaman hayır rasyonel sayılar, geçerli olanlar";

3) “eğer bütün rasyonel sayılar reel ise, o zaman bazı reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar reeldir”;

4) “Bütün reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar da reel sayılardır”;

5) “tüm rasyonel sayılar, ancak ve ancak tüm rasyonel sayıların gerçek olmaması durumunda gerçektir”;

6) “Tüm rasyonel sayıların reel olmadığı ve rasyonel olan reel sayıların olmadığı veya reel olan rasyonel sayıların bulunmadığı bir durum söz konusu değildir.”

Örnek 7.Önerme mantığı formülü için bir doğruluk tablosu oluşturun Tabloda belirlenebilecek olan F .

Çözüm. Tekil ifadeler (atomlar) için değerleri (“doğru” veya “yanlış”) kaydederek bir doğruluk tablosu derlemeye başlarız. P , Q Ve R. Tüm olası değerler Tablonun sekiz satırında yazılmıştır. Ayrıca, çıkarım işleminin değerlerini belirlerken ve tabloda sağa doğru ilerlerken, "doğru"dan "yanlış" çıktığında değerin "yanlış"a eşit olduğunu hatırlıyoruz.

Hiçbir atomun ~ biçimine sahip olmadığına dikkat edin. A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Karmaşık formüller bu türe sahiptir.

Önerme mantığı formüllerindeki parantezlerin sayısı şu şekilde kabul edilirse azaltılabilir:

1) içinde karmaşık formül dıştaki parantez çiftini atlayacağız;

2) Mantıksal işlemlerin işaretlerini “öncelik sırasına göre” sıralayalım:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Bu listede ↔ işareti en geniş kapsama, ~ işareti ise en küçük kapsama sahiptir. Bir işlem işaretinin kapsamı, söz konusu işaretin oluşumunun uygulandığı (üzerinde etki ettiği) önerme mantığı formülünün bölümlerine atıfta bulunur. Bu nedenle, herhangi bir formülde, "öncelik sırası" dikkate alınarak geri yüklenebilecek parantez çiftlerinin çıkarılması mümkündür. Ve parantezleri geri yüklerken, önce ~ işaretinin tüm geçtiği yerlerle ilgili tüm parantezler yerleştirilir (soldan sağa doğru hareket ederiz), sonra ∧ işaretinin tüm geçtiği yerlere vb.

Örnek 8.Önerme mantığı formülündeki parantezleri geri yükleyin B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Çözüm. Braketler aşağıdaki gibi adım adım geri yüklenir:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Her önerme mantığı formülü parantezsiz yazılamaz. Örneğin formüllerde A → (B → C) ve ~( A → B) braketlerin daha fazla hariç tutulması mümkün değildir.

Totolojiler ve çelişkiler

Mantıksal totolojiler (veya basitçe totolojiler), önerme mantığının formülleridir; öyle ki, harflerin keyfi olarak ifadelerle (doğru veya yanlış) değiştirilmesi durumunda sonuç her zaman doğru bir ifade olacaktır.

Karmaşık ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı, her biri belirli bir harfe karşılık gelen ifadelerin içeriğine değil, yalnızca anlamlarına bağlı olduğundan, bu durumda olup olmadığı kontrol edilir. bu ifade totoloji aşağıdaki şekilde değiştirilebilir. İncelenen ifadede 1 ve 0 değerleri (sırasıyla “doğru” ve “yanlış”) harflerin yerine mümkün olan tüm yollarla ikame edilir ve ifadelerin mantıksal değerleri mantıksal işlemler kullanılarak hesaplanır. Tüm bu değerler 1'e eşitse, o zaman incelenen ifade bir totolojidir ve en az bir ikame 0 verirse, o zaman bu bir totoloji değildir.

Böylece bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için “doğru” değerini alan önerme mantığı formülüne denir. gerçek formülle aynı veya totoloji .

Bunun tersi anlam mantıksal bir çelişkidir. İfadelerin tüm değerleri 0'a eşitse ifade mantıksal bir çelişkidir.

Böylece, bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için “yanlış” değerini alan bir önerme mantığı formülüne denir. aynı yanlış formül veya çelişki .

Totolojilere ve mantıksal çelişkilere ek olarak, önermeler mantığının ne totoloji ne de çelişki olmayan formülleri vardır.

Örnek 9.Önermesel mantık formülü için bir doğruluk tablosu oluşturun ve bunun totoloji mi, çelişki mi yoksa ikisi de mi olduğunu belirleyin.

Çözüm. Bir doğruluk tablosu oluşturalım:

İma anlamlarında “doğru”nun “yanlış”ı ima ettiği bir satır bulamıyoruz. Orijinal ifadenin tüm değerleri "true" değerine eşittir. Buradan, bu formülÖnerme mantığı bir totolojidir.

Örnek 1. Bir ifadenin doğruluğunu tespit etmek · C
Çözüm. Karmaşık bir ifade 3 basit ifade içerir: A, B, C. Tablodaki sütunlar (0, 1) değerleri ile doldurulmuştur. Hepsi belirtildi olası durumlar. Basit ifadeler karmaşık olanlardan çift dikey çizgiyle ayrılır.
Bir tablo derlerken işlem sırasını karıştırmamaya dikkat edilmelidir; Sütunları doldururken “içeriden dışarıya” hareket etmelisiniz. itibaren temel formüller giderek daha karmaşık olanlara; Doldurulan son sütun orijinal formülün değerlerini içerir.

Tablo bu ifadenin yalnızca A = 0, B = 1, C = 1 olması durumunda doğru olduğunu göstermektedir. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.

İfadelerin denkliği.

Doğruluk tablolarını kullanarak iki veya daha fazla ifadenin denkliğini kurabilirsiniz.

Her birinin karşılık gelen değerleri doğruluk tablosunda çakışıyorsa ifadelerin eşdeğer olduğu söylenir.

Örnek 2. A+B·C ifadesinin (A+B)· (A+C) ifadesine eşdeğer olduğu belirtilmektedir.
Çözüm. Doğrulama, bir doğruluk tablosu derlenerek gerçekleştirilir.

5. ve 8. sütunları karşılaştırarak A + B · C formülüyle elde edilen tüm değerlerin (A + B) · (A + C) formülüyle elde edilen değerlerle örtüştüğünden emin oluyoruz. yani ifadeler eşdeğerdir (eşdeğer). Biri diğerinin yerini alabilir.
Eşdeğer (eşdeğer) ifadeler º A + B · Cº (A + B) · (A + C) işaretiyle bağlanır.
Denklik ve denklik arasındaki farka dikkat edelim.
Eşdeğerlik, verilen iki A ve B ifadesi verildiğinde yeni bir A ve B oluşturulmasına izin veren mantıksal bir işlemdir.
Eşdeğerlik, doğruluk değerlerinin her zaman aynı olması gerçeğinden oluşan, iki kurucu ifade arasındaki ilişkidir.

Totoloji.

Bir A· ifadesi verilse bir doğruluk tablosu oluşturmak gerekir.
A ifadesi yanlıştır, doğruluğu A ifadesinin doğruluğuna bağlı değildir.

B+ ifadesini düşünün.
Bu durumda B+ ifadesi, B'nin doğruluğundan bağımsız olarak her zaman doğrudur.

Doğruluğu sabit olan ve içerdikleri basit ifadelerin doğruluğuna bağlı olmayan, yalnızca yapıları tarafından belirlenen ifadelere özdeş veya totoloji denir.
Aynı doğru ve aynı yanlış ifadeler vardır.
Formüllerde, aynı şekilde doğru olan her ifade 1 ile, her aynı şekilde yanlış olan ifade ise 0 ile değiştirilmiştir. Ortanın hariç tutulması kanunu.
bir° 0
B+° 1

Örnek 3. Totolojiyi kanıtlayın (XÙ Y)® (XÚ Y)
Çözüm.

Çünkü (XÙ Y)® (XÚ Y) ifadesi her zaman doğrudur, o zaman bu bir totolojidir.

Örnek 4. Totolojiyi kanıtlayın ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Çözüm.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

Tablo, incelenen ifadenin bir totoloji olduğunu göstermektedir, çünkü gerçekten sabittir.

Sorular ve ödevler.

1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi:

a) (A+C); b) +B; c) +C); d) A+;
eşdeğer ifade (B+C)

2. Hangisini belirlemek için doğruluk tablolarını kullanın? aşağıdaki formüller- totolojiler:
A) " ); B) ; V) ;

G) ; e) (X® Y) « (Y® X); f) (X® Y) « ;

g) (X® Y)« .

3. Bir ifadenin doğruluğunu belirlemek

4. İfadeler eşdeğer mi:
Ve ?

5. Bu ifadenin totoloji olup olmadığını belirleyin:
A) ; B)

6. Her formül için resmileştirecekleri cümleler bulun:
A) ; B) ; V) .

7. Basit sözlerden: “Victor iyi bir yüzücüdür” - A; “Victor iyi dalıyor” - B; "Victor iyi şarkı söylüyor" - C, formülü şöyle görünen karmaşık bir ifade oluşturuldu:
X=(A+C)·(A+B). X ifadesinin şu ifadeye eşdeğer olup olmadığını belirleyin: "Victor iyi bir yüzücüdür ve Victor iyi şarkı söyler."

8.
A) ; B) ;
c) ((X1® X2)® X3)Ù (X3 « X1); d) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. İfadelerin doğruluğunu belirleyin:
A) , , ;
B) , , ;
V) , , ;
G) , , .

Mantık kanunları

Önermesel mantık formüllerinin eşdeğerliklerine genellikle mantık yasaları denir.
Mantık yasalarını bilmek, akıl yürütmenin ve kanıtların doğruluğunu kontrol etmenizi sağlar.
Bu yasaların ihlali aşağıdaki sonuçlara yol açar: mantıksal hatalar ve bunlardan kaynaklanan çelişkiler.
Bunlardan en önemlilerini sıralıyoruz:
1. X° X Kimlik Yasası
2. Çelişki Yasası
3. Ortanın hariç tutulması kanunu
4. Çift negatifler yasası
5. XÙ X° X , XÚ X° C Eşitlik Yasaları
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Değiştirilebilirlik yasaları (değişebilirlik)
7. (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - İlişkisellik yasaları (kombinasyon)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z), C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Dağılım yasaları (dağıtım)
9. , De Morgan'ın yasaları
10. XÙ 1° C , C Ú 0° C
11. CÙ 0°0 , CÚ 1°1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Soğurma yasaları
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Yapıştırma kanunları

1. yasa Antik Yunan filozofu Aristoteles tarafından formüle edilmiştir. Özdeşlik yasası, belirli bir ifadenin içerdiği düşüncenin, bu ifadenin yer aldığı tüm argüman boyunca değişmeden kaldığını belirtir.

Çelişki kanunu hiçbir cümlenin olumsuzu ile aynı anda doğru olamayacağını söyler.
"Bu elma olgun" ve "Bu elma olgunlaşmamış."

Dışlanan ortanın kanunu Her ifade için yalnızca iki olasılık olduğunu söylüyor: Bu ifade ya doğrudur ya da yanlıştır. Üçüncü bir seçenek yok. “Bugün 5 alacağım ya da almayacağım.” Bir önerme ya doğrudur ya da olumsuzdur.

Çift olumsuzlama yasası. Bir ifadenin olumsuzluğunu inkar etmek, bu ifadeyi tasdik etmekle aynı şeydir.
“2×2¹ 4 doğru değil”

Bağımsızlık yasaları. Mantık cebirinde üsler ve katsayılar yoktur. Aynı “faktörlerin” birleşimi bunlardan birine eşdeğerdir.

Değişme ve birleşme yasaları. Bağlaç ve ayrıklık, aynı adı taşıyan çarpma ve toplama işaretlerine benzer.
Sayıların toplanması ve çarpımından farklı olarak, mantıksal toplama ve çarpma, dağıtımla ilgili olarak eşittir: yalnızca bağlaç ayrıklığa göre dağıtıcı değil, aynı zamanda ayırma da bağlaca göre dağıtıcıdır.

De Morgan yasalarının anlamı(Augustus de Morgan (1806-1871) - İskoç matematikçi ve mantıkçı) kısa sözlü formülasyonlarla ifade edilebilir:
- Mantıksal bir çarpımın olumsuzlanması, faktörlerin olumsuzlamalarının mantıksal toplamına eşdeğerdir.
- Mantıksal bir toplamın olumsuzlanması, terimlerin olumsuzlamalarının mantıksal çarpımına eşdeğerdir.

Mantık yasalarını kanıtlayabilirsiniz:
1) doğruluk tablolarını kullanmak;
2) eşdeğerliklerin kullanılması.
Eşdeğerlik kullanarak yapışma ve soğurma yasalarını kanıtlayalım:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Yapıştırma Yasası)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Soğurma Yasası)

Egzersiz yapmak. Doğruluk tablolarını kullanarak mantık yasalarını kanıtlayın.

Kimlik dönüşümleri

Formüllerin basitleştirilmesi.

Örnek 1. Formülü basitleştirin (AÚB) · (AÚC)
Çözüm.
a) Parantezleri açın (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
b) Denklik yasasına göre A · A º A, dolayısıyla,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
c) A ve A·C ifadelerinde A'yı parantezlerden çıkarırız ve AÚ1° 1 özelliğini kullanarak AÚA·СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · elde ederiz. Ú A ÚB · A Ú B·C
d) c) noktasına benzer şekilde A ifadesini parantezlerden çıkaralım.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Böylece dağıtım yasasını kanıtlamış olduk.

2. "Absorbsiyon" ve "bağlanma" dönüşümleri

Örnek 2. AÚ A · B ifadesini basitleştirin

Çözüm. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - emilim

Örnek 3. A · B Ú A · ifadesini basitleştirin - mantıksal toplama işaretleri;
- mantıksal çarpma işaretleri.
Ve kullanılacak:
- olumsuzlama ve mantıksal çarpma işaretleri;
- olumsuzlama ve mantıksal ekleme işaretleri.

Örnek 5. Formülü mantıksal toplama işaretleri kullanmayacak şekilde dönüştürün.
Çözüm. Çifte olumsuzlama yasasını ve ardından De Morgan formülünü kullanalım.

Örnek 6. Formülü, mantıksal çarpma işaretlerini kullanmayacak şekilde dönüştürün.
Çözüm. De Morgan'ın formüllerini ve çift olumsuzlama yasasını kullanarak şunu elde ederiz:

Burada: 1 - doğru, 0 - yanlış.

• 1. X: ABC üçgeni- dar açılı. X: ABC üçgeninin dar üçgen olduğu doğru değil. Şununla aynıdır: X: ABC üçgeni - sağ veya geniş
• 2. C: Ivanova M. matematik sınavından 4 aldı : Ivanova M.'nin matematikten 4 aldığı doğru değil.

Tanım: A ve B ifadelerinin ayrılığı, A veya B ifadelerinden en az birinin doğru olması koşuluyla doğru olan bir AB ifadesidir.

"A veya B" olarak okunur.

AB için doğruluk tablosu

Örnek: 1. Bu kez sanık ortaya çıktı ve duruşma gerçekleşti. - doğru

2.B dik üçgen herhangi iki açının toplamı üçüncü açıdan büyük veya ona eşittir ve hipotenüs kenardan küçüktür. - yalan

Tanım: A ve B ifadelerinin anlamı, yalnızca A doğru ve B yanlış olduğunda yanlış olan bir AB ifadesidir.

Şöyle okunur: “Eğer A ise, o zaman B.”

Doğruluk tablosu

Örnek: 1. Sınavı geçersem sinemaya gideceğim.

2. Üçgen ikizkenar ise tabandaki açılar eşittir. Tanım: A ve B ifadelerinin eşdeğeri, ancak ve ancak A ve B'nin aynı gerçeğe sahip olması durumunda (yani her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlışsa) doğru olan bir AB ifadesidir.

Şunu okuyorlar: "Ve ancak ve ancak B varsa" veya "A, B için gerekli ve yeterliyse"

Doğruluk tablosu

Önerme cebiri yoluyla çözülen ikinci görev, formülünün derlenmesine (formalizasyon süreci) ve bir doğruluk tablosunun derlenmesine dayanarak belirli bir ifadenin doğruluğunu belirlemektir.

Örnek: Saratov, Neva'nın kıyısında bulunuyorsa, kutup ayıları Afrika'da yaşıyor.

C: Saratov, Neva Nehri'nin kıyısında yer almaktadır;

Soru: Kutup ayıları Afrika'da yaşıyor

Tanım: İçinde yer alan önermesel değişkenlerin hangi değerleri aldığına bakılmaksızın doğru olan bir formüle totoloji veya özdeş olarak doğru formül denir.

Tanım: F 1 ve F 2 formüllerine eşdeğerleri bir totoloji ise eşdeğer denir.

Tanım: F 1 ve F 2 formülleri eşdeğer ise bu formülleri başlatan P 1 ve P 2 cümlelerine önermeler mantığında eşdeğer denir.

En sık karşılaşılan temel eşdeğerliklere mantık yasaları denir. Bunlardan bazılarını listeleyelim:

• 1. X X - kimlik yasası
• 2. XL - çelişki yasası
• 3. XI - üçüncünün hariç tutulması yasası
• 4. X - çift olumsuzlama yasası

• 5. değişme kanunları
• 6. X (Y Z) (X Y) Z çağrışım yasası

X (Y Z) (X Y) Z dağıtım yasası

7. De Morgan'ın yasaları

8. Bir değişken ile bir sabitin eklemlenme yasaları

Mantık yasalarını kullanarak formülleri dönüştürebilirsiniz.

4. Birbirine eşdeğer birçok formülden ikisini ele alalım. Bu mükemmel bir bağlaç normal biçim(SCNF) ve mükemmel ayırıcı normal form (SDNF). Doğruluk tablosuna dayalı olarak belirli bir formül için oluşturulurlar.

SDNF'nin yapımı:

• -- bu formülün doğruluk değerlerine (1) karşılık gelen satırlar seçilir;
• - seçilen her satır için, satırda sunulan değişkenlerin değer kümelerinin karşılık gelmesi için değişkenlerin veya bunların olumsuzlarının bir birleşimini oluştururuz gerçek değerler bağlaçlar (bunun için bu satırda yanlış (0) değerini olumsuzluk işaretiyle alan değişkenleri ve olumsuzluk olmadan doğruluk (1) değerini alan değişkenleri almanız gerekir);
• -- ortaya çıkan bağlaçların bir ayrımı derlenir.

Algoritmadan, herhangi bir formül için bir SDNF ve ayrıca formülün tamamen yanlış olmaması durumunda benzersiz bir SDNF oluşturmanın mümkün olduğu sonucu çıkar; yalnızca yanlış değerleri kabul etmek.

SKNF'nin derlenmesi aşağıdaki algoritmaya göre gerçekleştirilir:

• -- formülün false (0) değerini aldığı tablo satırlarını vurgulayın;
• -- bu satırların her birinde değişkenlerden, false (0) değerlerini alması gereken bir ayrım oluşturun. Bunu yapmak için, tüm değişkenlerin yanlış değeriyle girmeleri gerekir, bu nedenle doğru olanların (1) olumsuzlarıyla değiştirilmesi gerekir;
• -- ortaya çıkan ayrımlardan bir bağlaç oluşturur.

Açıkçası, totoloji olmayan herhangi bir formülün bir SCNF'si vardır.

Bu formülden sonuç elde etmek için SDNF ve SCNF kullanılır.

Örnek: Aşağıdaki formül için SDNF ve SCNF'nin doğruluk tablosunu oluşturun: .

SDNF ve SKNF'nin doğruluk tablosu

5. "Nehir Karadeniz'e akar" ifade biçimini düşünün. Tek bir değişken içerir ve “X Nehri Karadeniz'e akar” şeklinde temsil edilebilir.

X değişkeninin değerlerine bağlı olarak cümle ya doğrudur ya da yanlıştır, yani. bir nehir kümesinin iki öğeli bir kümeye eşlenmesi belirtilir. O halde bu eşlemeyi gösterelim:

Böylece tüm değerleri kümeye ait olan bir fonksiyona sahip oluyoruz.

Tanım: Tüm değerleri bir kümeye ait olan fonksiyona yüklem denir.

Yüklemleri ifade eden harflere yüklem sembolleri denir.

Tahminler belirtilebilir:

a) anlamlı bir formül,

b) formül, yani yüklem sembolünün yorumunu belirterek,

c) masa.

1) P - “Karadeniz'e akmak.”

Bu formül “a nehrinin Karadeniz'e akması” anlamına gelmektedir.

• 2) P yüklemi anlamlı bir formülle verilir: “olmak asal sayı ilk 15 doğal sayının kümesinde."
• 3) Tablo biçiminde yüklem şu şekildedir:

Yüklemlerin tanım alanı herhangi bir küme olabilir.

Eğer bir yüklem herhangi bir girdi değişkeni kümesi için anlamını kaybederse, o zaman L değerinin bu kümeye karşılık geldiği genel olarak kabul edilir.

Bir yüklem bir değişken içeriyorsa, buna tekli yüklem, iki değişken - çift yüklem, n değişken - n-ary yüklem denir.

Metinleri yüklemler diline çevirmek ve doğruluklarını belirlemek için yüklemler ve niceleyiciler üzerinde mantıksal işlemler yapmak gerekir.

Yüklemler üzerinde şu işlemler de gerçekleştirilir: olumsuzlama, bağlaç, ayırma, ima, eşdeğerlik.

Tanım: P yükleminin verildiği M kümesinin, yalnızca P yükleminin I değerinin karşılık geldiği M elemanlarından oluşan bir alt kümesine P yükleminin doğruluk kümesi denir.

Doğruluk kümesi belirlenir.

Tanım: P yükleminin olumsuzlanması, P'yi doğruya dönüştüren değişken değer kümeleri için yanlış olan ve P'yi yanlış yüklem haline getiren değişken değer kümeleri için doğru olan bir yüklemdir.

Olumsuzluk belirtilir.

ABiK'in öğrencisi olun.

ABiK öğrencisi olmamak.

Eğer öyleyse, M, P ve Q yüklemlerinin verildiği kümedir.

Tanım: yüklemlerin birleşimi, bunlar için doğru olan ve yalnızca her iki yüklemi de doğru yapan değişkenlerin değerleri için doğru olan bir yüklemdir.

Futbolcu ol

Öğrenci ol

: Futbolcu olmak ve öğrenci olmak.

Tanım: yüklemlerin ayrılması, her iki yüklemi de yanlış yapan, içinde yer alan değişken kümeleri için yanlış olan bir yüklemdir

Eşit ol doğal sayı

Tek bir doğal sayı olun

: bir doğal sayı olsun.

Tanım: Yüklem uygulaması, yalnızca içinde yer alan değişken kümeleri için yanlış olan ve hem doğru hem de yanlış bir yüklem haline gelen bir yüklemdir.

Şununla belirtilir:

N kümesinde bir asal sayı olun

Tek sayı ol

Diğer doğal sayılar için yanlış ve doğru.

Tanım: Yüklem denkliği, her iki yüklemin de doğru olması veya her ikisinin de yanlış olması durumunda doğru olan bir yüklemdir.

Şununla belirtilir:

- “kazanmak”, yani x y'yi yener

Satranç tarihini bilmek daha iyidir, x y'den daha iyi bilir

x'in satrançta y'yi ancak ve ancak teoriyi daha iyi biliyorsa yenebileceğini belirtir.

Tanım: Bir yüklem, içerdiği değişkenlerin herhangi bir değeri için çıkarım doğruysa, bir yüklemden çıkar.

Aşağıdakiler belirtilir: .

Öğrenci ol

Üniversiteye git

Bir yüklemi ifadeye dönüştürmenin 2 yolu vardır:

1) bir değişken vermek özel anlam

; x - öğrenci

Ivanov bir öğrenci.

2) Niceleyicilerin eklenmesi - herhangi biri, her biri, her

Var, var.

P özelliğine sahip olduğu girdi, her x nesnesinin P özelliğine sahip olduğu anlamına gelir. Veya başka bir deyişle, “tüm x’ler P özelliğine sahiptir.”

Giriş, P özelliğine sahip bir x nesnesinin olduğu anlamına gelir.

Aristoteles (MÖ 384-322) tarafından bir bilim olarak yaratılan mantık, yüzyıllar boyunca teoloji, felsefe ve matematik dahil olmak üzere birçok bilgi alanını geliştirmek için kullanılmıştır.

Bu, matematiğin tüm binasının üzerine inşa edildiği temeldir. Temel olarak mantık, kişinin bir şeyin doğruluğunu veya yanlışlığını belirlemesini sağlayan akıl yürütme bilimidir. matematiksel ifade Aksiyom adı verilen bir dizi temel varsayıma dayanmaktadır. Mantık aynı zamanda bilgisayar bilimlerinde de bilgisayar programları ve doğruluğunun kanıtı. Modernliğin temelini mantık kavramları, yöntemleri ve araçları oluşturur. Bilişim teknolojisi. Bu çalışmanın ana hedeflerinden biri matematiksel mantığın temellerini ortaya koymak, bilgisayar bilimlerinde nasıl kullanıldığını göstermek ve matematiksel ifadeleri analiz etmek ve kanıtlamak için yöntemler geliştirmektir.

Mantıksal gösterimler - incelenen sistemin, sürecin, olgunun bir dizi şeklinde açıklaması karmaşık ifadeler oluşan basit (temel) ifadeler Ve mantıksal bağlaçlar aralarında. Mantıksal temsiller ve bunların bileşenleri, belirli özellikler ve bunlar üzerinde izin verilen bir dizi dönüşüm (işlemler, çıkarım kuralları vb.) ile karakterize edilir ve resmi (matematiksel) olarak geliştirilenleri uygular. mantık doğru yöntemler akıl yürütme - mantık yasaları.

Söylem kavramı

İfade bu bir açıklama mı yoksa bildirim cümlesi doğru ya da yanlış olduğu söylenebilir. Başka bir deyişle, bir ifadenin doğruluğu veya yanlışlığıyla ilgili bir ifadenin anlamlı olması gerekir. Bir ifadeye atfedilen doğruluk veya yanlışlığa onun adı verilir. doğruluk değeri veya doğruluk değeri.

Örneğin, açıklamalar İki kere iki dört eder Ve Çelyabinsk şehri Rusya'nın Asya kesiminde yer almaktadır. doğru ve ifadeler Üç beşten fazladır Ve Don Nehri şu anda Hazar Denizi'ne akıyor yanlıştır çünkü doğru değildirler. Doğru ifadeler genellikle belirtilir T (doğru) veya VE (doğru) ve false sırasıyla, F (YANLIŞ) veya L (yalan). Bilgisayar bilimlerinde doğruluk genellikle 1 (ikili bir) ile, yanlış ise 0 (ikili sıfır) ile gösterilir.

İşte ifade olmayan cümle örnekleri:

Sen kimsin?(soru),

Bu bölümü daha önce okuyun sonraki ders (sipariş veya ünlem)

Bu ifade yanlıştır(içten çelişkili ifade),

Segmentin alanı küpün uzunluğundan daha az(Bu cümlenin doğru mu yanlış mı olduğunu söylemek imkansızdır çünkü bir anlamı yoktur).

İfadeleri harflerle göstereceğiz Latin alfabesi R, Q, R, Örneğin, R bir ifade anlamına gelebilir Yarın yağmur yağacak, A Q- ifade Bir tam sayının karesi pozitif bir sayıdır.

Mantıksal bağlayıcılar

Eğitim için günlük konuşmada karmaşık cümle basit olanlardan bağlaçlar kullanılır - konuşmanın bağlantı kuran özel bölümleri bireysel teklifler. En sık kullanılan bağlayıcılar Ve, veya, Olumsuz, Eğer ... O, sadece eğer, Ve o zaman ve ancak o zaman. Sıradan konuşmanın aksine, mantıkta bu tür bağlaçların anlamının açık bir şekilde belirlenmesi gerekir. Karmaşık bir ifadenin doğruluğu, onu oluşturan parçaların doğruluğu veya yanlışlığı tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. Bağlaç içermeyen ifadelere denir basit. Bağlaçları içeren bir ifadeye denir karmaşık. Mantıksal bağlayıcılar ayrıca denir mantıksal işlemler aşırı açıklamalar.

İzin vermek R Ve Q ifadeleri temsil etmek

r: Jane araba kullanıyor,

Soru: Bob'un kahverengi saçları var.

Karmaşık ifade

Jane araba kullanıyor ve Bob'un kahverengi saçları var bir bağ ile birbirine bağlanan iki parçadan oluşur Ve. Bu ifade sembolik olarak şu şekilde yazılabilir:

sembolün kelimeyi temsil ettiği yer Ve sembolik ifadelerin dilinde. İfadeye önermelerin birleşimi denir R Ve Q.

Bağlacı yazmanın aşağıdaki çeşitleri de bulunur:

Tamamen aynı ifade

Jane araba kullanıyor veya Bob'un kahverengi saçları var.

sembolik olarak şu şekilde ifade edilir:

kelime nerede veya sembolik dile çevrilmiştir. İfadeye önermesel ayrım denir R Ve Q.

Bir beyanın reddi veya reddi P ile gösterilir

Böylece eğer R bir açıklama var Jane araba kullanıyor, o zaman bu bir ifadedir Jane araba kullanmıyor.

Eğer R bir açıklama var Joe bilgisayar bilimini seviyor, O Jane araba kullanmıyor ve Bob'un kahverengi saçları var ya da Joe bilgisayar biliminden hoşlanıyor sembolik olarak şu şekilde yazılacaktır:

.

Bunun tersine, ifade

bu bir ifadeyi kaydetmenin sembolik bir şeklidir Jane araba kullanıyor, Bob'un kahverengi saçları yok ve Joe bilgisayar biliminden hoşlanıyor..

ifadesini ele alalım. Birisi şöyle derse: " Jane araba kullanıyor ve Bob'un saçları kahverengi.", o zaman doğal olarak Jane'in araba kullandığını ve sarı saçlı Bob'u hayal ediyoruz. Başka herhangi bir durumda (örneğin, Bob kahverengi saçlı değilse veya Jane araba kullanmıyorsa), konuşmacının hatalı olduğunu söyleyeceğiz.

Göz önünde bulundurmamız gereken dört olası durum var. İfade R doğru olabilir ( T) veya yanlış ( F) ve hangi doğruluk değerini alırsa alsın R, ifade Q doğru da olabilir ( T) veya yanlış ( F). Doğruluk tablosu her şeyi listeler olası kombinasyonlar Karmaşık ifadelerin doğruluğu ve yanlışlığı.

Yani bir bağlaç ancak ve ancak her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur P Ve Q yani 1. durumda.

Aynı şekilde, ifadeyi dikkate alın Jane araba kullanıyor veya Bob'un kahverengi saçları var sembolik olarak şu şekilde ifade edilir. Birisi şöyle derse: "Jane araba kullanıyor veya Bob'un kahverengi saçları var", o zaman yalnızca Jane araba kullanamıyorsa ve Bob kahverengi saçlı değilse yanılıyor olacaktır. İfadenin tamamının doğru olması için iki bileşeninden birinin doğru olması yeterlidir. Bu nedenle bir doğruluk tablosu vardır

Ayrım yalnızca 4. durumda yanlıştır; her ikisi de R Ve Q YANLIŞ.

Olumsuzlamanın doğruluk tablosu şuna benziyor

Doğruluk değeri her zaman p doğruluk değerinin tersidir. Doğruluk tablolarında, olumsuzluk işaretinin ardından parantez içine alınmış bir ifade gelmediği sürece, olumsuzluk her zaman ilk olarak değerlendirilir. Bu nedenle olarak yorumlanır, dolayısıyla olumsuzluk yalnızca aşağıdakiler için geçerlidir: R. İfadenin tamamını reddetmek istersek şu şekilde yazılır.

Karakterler denir ikili bağlayıcılar çünkü iki ifadeyi birbirine bağlarlar. ~ sembolü tekli Bağlayıcıdır çünkü yalnızca tek bir ifade için geçerlidir.

Başka bir ikili bağlaç, ile gösterilen özel veya'dır. İfade doğru olduğunda doğrudur P veya Q ama ikisi aynı anda değil. Bu bağlayıcının bir doğruluk tablosu var

Kelimeyi kullanma veya, demek isteyebiliriz özel veya. Mesela bunu söylediğimizde R- doğru ya da yanlış, o zaman doğal olarak bunun aynı zamanda doğru olmadığını varsayıyoruz. Mantıkta özel veya Oldukça nadiren kullanılır ve gelecekte kural olarak onsuz yapacağız.

Açıklamayı dikkate alın

,

burada hangi ifadelerin her bir bağlayıcının bileşeni olduğunu göstermek için parantez kullanılır.

Doğruluk tablosu, ifadenin geçerli olduğu durumları açıkça belirtmeyi mümkün kılar. doğrudur; bunu yaparken tüm durumların dikkate alındığından emin olmalıyız. Karmaşık bir ifade üç ana ifade içerdiğinden R, Q Ve R, o zaman sekiz durum mümkündür

oluyor	P	Q	R
	T	T	T	F	F	T
	T	T	F	F	F	T
	T	F	T	T	T	T
	T	F	F	T	F	T
	F	T	T	F	F	F
	F	T	F	F	F	F
	F	F	T	T	T	T
	F	F	F	T	F	F

Bir sütunun doğruluk değerlerini bulurken ve için sütunları kullanırız. R, yanı sıra doğruluk tablosu . Doğruluk tablosu, bir ifadenin yalnızca hem ifadelerin hem de ifadelerin doğru olması durumunda doğru olduğunu gösterir. R. Bu sadece 3. ve 7. durumlarda meydana gelir.

Bir sütun için doğruluk değerlerini belirlerken şunu unutmayın: yalnızca ifadelerin doğruluğu önemlidir P Ve . Doğruluk tablosu, bir ifadenin bağlaç kullanılarak oluşturulduğu tek durumu gösterir. veya, false, ifadenin her iki tarafının da yanlış olduğu durumdur. Bu durum yalnızca 5, 6 ve 8 numaralı durumlarda ortaya çıkar.

Bir diğer, eşdeğer yol Doğruluk tablosu oluşturmak, ifadenin doğruluk değerlerinin bağlaç altına yazılmasından ibarettir. İfadeyi tekrar düşünün . Öncelikle değişkenlerin altına doğruluk değerlerini yazıyoruz R, Q Ve R. Doğruluk değeri sütunlarının altındakiler, önce o sütunlara doğruluk değerlerinin atandığını gösterir. İÇİNDE genel durum sütunun altındaki sayı, karşılık gelen doğruluk değerlerinin hesaplandığı adım numarasını gösterecektir. Daha sonra ~ simgesinin altına ifadenin doğruluk değerlerini yazıyoruz. Daha sonra sembolün altına doğruluk değerlerini yazıyoruz. Son olarak ifadenin anlamını yazıyoruz. sembolün altında.

1.1.3. Koşullu ifadeler

Diyelim ki birisi bir olay gerçekleşirse bir başkasının da gerçekleşeceğini iddia ediyor. Bir babanın oğluna şunu söylediğini varsayalım: " Bu dönem tüm sınavlarınızı mükemmel notlarla geçerseniz, size bir araba alacağım.". İfadenin şu şekilde olduğuna dikkat edin: eğer p o zaman q, Nerede R- ifade Bu dönem tüm sınavları mükemmel notlarla geçeceksiniz., A Q- ifade sana bir araba alacağım. Karmaşık bir ifadeyi sembolik olarak ile gösteriyoruz. Soru şu; baba hangi koşullar altında doğruyu söylüyor? Diyelim ki ifadeler R Ve Q bunlar doğrudur. Bu durumda mutlu öğrenci tüm konularda mükemmel notlar alır ve hoş bir sürprizle karşılaşan babası ona bir araba satın alır. Doğal olarak babanın ifadesinin doğru olduğundan kimsenin şüphesi yok. Ancak dikkate alınması gereken üç durum daha var. Diyelim ki öğrenci gerçekten başardı mükemmel sonuçlar ama babası ona araba almamıştı.

Bu durumda baba hakkında söylenebilecek en nazik şey yalan söylemesidir. Bu nedenle eğer R doğru ama Qönce yanlış, sonra yanlış. Şimdi öğrencinin olumlu not almadığını ancak yine de babasının ona bir araba aldığını varsayalım. Bu durumda baba çok cömert gibi görünse de ona yalancı denilemez. Bu nedenle eğer R yanlış ve Q doğru, o zaman ifade eğer p o zaman q(yani ) doğrudur. Son olarak öğrencinin mükemmel sonuçlar elde edemediğini ve babasının ona araba almadığını varsayalım.

Öğrenci sözleşmenin kendisine düşen kısmını yerine getirmediğinden baba da yükümlülükten kurtulur. Böylece eğer R Ve Q yanlışsa, o zaman doğru kabul edilir. Yani babanın yalan söylediği tek zaman, bir söz verdiği ve sözünü tutmadığı zamandı.

Dolayısıyla ifadenin doğruluk tablosu şu şekildedir:

Sembol denir ima, veya koşullu bağlaç.

Bu nedensel gibi görünebilir, ancak gerekli değildir. İmada neden ve sonucun yokluğunu görmek için, aşağıdaki örneğe dönelim. R bir açıklama var Jane arabayı sürüyor, A Q- ifade Bob'un kahverengi saçları var. Daha sonra açıklama Jane araba kullanıyorsa Bob'un saçları kahverengidir olarak yazılacak

Eğer P, O Q veya nasıl.

Jane'in arabayı kullanmasının Bob'un kahverengi saçlı olmasıyla nedensel olarak hiçbir ilgisi yoktur. Ancak ikili karmaşık bir ifadenin doğruluğunun veya yanlışlığının yalnızca onu oluşturan parçaların doğruluğuna bağlı olduğu ve aralarında herhangi bir bağlantının varlığına veya yokluğuna bağlı olmadığı unutulmamalıdır.

düşünelim sonraki örnek. İfadenin doğruluk tablosunu bulmanız gerekiyor

.

Yukarıda verilen doğruluk tablosunu kullanarak, ilk olarak ve için doğruluk tablolarını oluşturalım, imanın yalnızca ne zaman olması durumunda yanlış olduğunu hesaba katalım.

Şimdi ifadeyi almak için tabloyu kullanıyoruz

doğruluk tablosu

Formun bir ifadesi ile gösterilir. Sembol denir eş değer. Eşdeğerlik bazen şu şekilde de gösterilir (tekli olumsuzlama operatörüyle karıştırılmamalıdır).

Dilsel bir değişkenin olası doğruluk değerleri arasında Gerçek iki anlam birbirini çekiyor özel ilgi, yani en küçük ve en küçük değere karşılık gelen boş küme ve birim aralık en büyük elementler(dahil edilmeye ilişkin olarak) aralığın bulanık alt kümelerinin bir kafesi. Bu özel doğruluk değerlerinin önemi, doğruluk değerleri olarak yorumlanabilmelerinden kaynaklanmaktadır. tanımlanmamış Ve bilinmiyor sırasıyla. Kolaylık sağlamak için, bu doğruluk değerlerini sembollerle göstereceğiz ve bunu anlamak ve ifadelerle belirlendiğini anlamak

Değerler bilinmiyor Ve tanımlanmamışÜyelik dereceleri olarak yorumlanan , temsilde de kullanılır bulanık kümeler tip 1. Bu durumda, bir noktanın üyelik derecesini ifade etmek için üç olasılık vardır: 1) aralıktan bir sayı; 2) ( tanımlanmamış); 3) (bilinmiyor).

Basit bir örneğe bakalım. İzin vermek

Formun bir kümesinin bulanık bir alt kümesini alalım

Bu durumda bir elemanın kümeye üyelik derecesi; bilinmiyor ve üyelik derecesi tanımlanmamış. Daha genel bir durumda olabilir

burada bir kümedeki bir elemanın üyelik derecesinin kısmen bilinmediği kastedilmektedir ve üye şu şekilde yorumlanmaktadır:

. (6.56)

Ve arasındaki farkı açıkça anlamak önemlidir. Bir noktanın bir kümeye üyelik derecesi olduğunu söylediğimizde üyelik fonksiyonunu kastediyoruz. noktasında tanımlanmamıştır. Örneğin bunun gerçek sayılar kümesi olduğunu ve tamsayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon olduğunu ve eğer - çift ise ve , eğer - tekse - olduğunu varsayalım. O zaman bir sayının kümeye üyelik derecesi 0 değil, olur. Öte yandan, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlanmış olsaydı ve ancak ve ancak - çift ​​sayı ise sayının kümeye üyelik derecesi 0 olur.

İfadelerin doğruluk değerlerini hesaplayabildiğimiz için Ve, veya Ve Olumsuzİfadelerin dilsel doğruluk değerleri göz önüne alındığında, , , , When değerlerini hesaplamak kolaydır. Örneğin şunu varsayalım:

, (6.57)

. (6.58)

(6.25)'teki gibi genelleme ilkesini uygulayarak şunu elde ederiz:

, (6.59)

Sadeleştirmeden sonra (6.59) ifadeye indirgenir

. (6.61)

Başka bir deyişle, bir ifadenin doğruluk değeri Ve, Nerede , aralığın bulanık bir alt kümesidir; üyelik derecesi aralıktaki noktaya (üyelik fonksiyonuna) eşittir.

Pirinç. 6.4. Bir ifadenin doğruluk değerlerinin bilinmeyen doğruluk değeriyle birleşimi ve ayrılığı ().

Benzer şekilde, ifadenin doğruluk değerinin de olduğunu görüyoruz. veya olarak ifade edildi

. (6.62)

(6.61) ve (6.62) ifadelerinin yukarıda açıklanan grafiksel prosedür kullanılarak kolayca elde edilebileceğine dikkat edilmelidir (bkz. (6.38) ve devamı). Bunu gösteren bir örnek Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.4.

Davaya dönersek şunu görüyoruz:

(6.63)

ve benzer şekilde için .

Yukarıdaki bağıntıları iki değerli mantığın özel bir durumuna, yani evrensel kümenin şu biçime sahip olduğu duruma uyguladığımızda onlara ne olduğunu gözlemlemek öğretici olacaktır.

veya daha tanıdık bir biçimde

nerede demek doğru, A - YANLIŞ. Var olduğundan doğruluk değerini belirleyebiliriz. bilinmiyor anlamı olan doğru veya YANLIŞ yani

Ortaya çıkan mantık, , , ve olmak üzere dört doğruluk değerine sahiptir ve Açıklama 6.5 anlamında iki değerli mantığın bir genellemesidir.

Evrensel doğruluk değerleri kümesi yalnızca iki öğeden oluştuğundan, işlemler için doğruluk tablolarının ve bu dört değerli mantıkta doğrudan, yani kullanmadan oluşturulması tavsiye edilir. genel formüller(6.25), (6.29) ve (6.31). Böylece genelleme ilkesini operasyona uygulayarak hemen şunu elde ederiz:

buradan zorunlu olarak şu çıkıyor

Geldiğimiz bu yolda olağan tanım bağlaçlar ⟹ aşağıdaki doğruluk tablosu biçiminde iki değerli mantıkta:

Yukarıda tartışılan örneğin gösterdiği gibi doğruluk değeri kavramı bilinmiyor genelleme ilkesiyle birlikte sıradan iki değerli ve üç değerli mantıktaki bazı kavramların ve ilişkilerin anlaşılmasına yardımcı olur. Bu mantıklar elbette bulanık mantığın dejenere durumları olarak düşünülebilir; burada doğruluk değeri bilinmiyor 0 + 1 kümesi değil, tüm birim aralığıdır.