Olasılık teorisinin pratik uygulamasında, aynı deneyin veya benzer deneylerin tekrar tekrar tekrarlandığı problemlerle sıklıkla karşılaşılır. Her deneyin sonucunda bazı olaylar ortaya çıkabilir veya çıkmayabilir ve biz her bir deneyin sonucuyla değil, bir dizi deney sonucunda olayın toplam gerçekleşme sayısıyla ilgileniyoruz. Örneğin, aynı hedefe bir grup atış yapılırsa, genellikle her atışın sonucuyla değil, toplam isabet sayısıyla ilgileniriz. İÇİNDE benzer görevler Bir dizi deney sonucunda bir olayın herhangi bir sayıda meydana gelme olasılığını belirleme becerisini gerektirir. Bu bölümde bu tür görevler ele alınacaktır. Deneylerin bağımsız olması durumunda oldukça basit bir şekilde çözülebilirler.
Her bir deneyin bir veya başka bir sonucunun olasılığı, diğer deneylerin hangi sonuçlara sahip olduğuna bağlı değilse, çeşitli deneyler bağımsız olarak adlandırılır. Örneğin, birbirini takip eden birkaç yazı-tura atışı bağımsız deneyler oluşturur. Bir kartın desteden art arda birkaç kez çıkarılması, her seferinde çıkarılan kartın desteye geri gönderilmesi ve kartların karıştırılması koşuluyla, bağımsız deneyler oluşturur; aksi takdirde bunlar bağımlı deneyimlerdir. Birkaç atış, yalnızca nişan almanın her atıştan önce yeniden yapılması durumunda bağımsız deneyler teşkil eder; nişan almanın tüm atıştan önce bir kez yapılması veya atış işlemi sırasında sürekli olarak yapılması durumunda (bir seri ateşleme, seri bombalama), atışlar bağımlı deneyleri temsil eder. Bağımsız deneyler aynı veya farklı koşullar. İlk durumda, bir olayın olasılığı deneyimden deneyime değişir. İlk duruma ve ikinci duruma özel bir teorem uygulanır: genel teorem deneylerin tekrarlanmasıyla ilgili. Daha basit olduğu için belirli bir teoremle başlayacağız. Öncelikle spesifik bir örneğe bakalım.
Örnek. Hedefe üç bağımsız atış yapılır, her atışta hedefi vurma olasılığı eşittir. Bu üç atışla tam olarak iki vuruş alma olasılığını bulun.
Çözüm. Tam olarak iki merminin hedefe çarpması olayını ifade edelim. Bu olay üç şekilde gerçekleşebilir:
1) ilk atışta vurun, ikincide vurun, üçüncüde ıskalayın;
2) ilk atışta vurun, ikincide ıskalayın, üçüncüde vurun;
3) İlk atışta ıskalamak, ikincide vurmak, üçüncüde vurmak.
Bu nedenle bir olay, olayların çarpımlarının toplamı olarak temsil edilebilir:
burada - sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü atışlarda vurur - birinci, ikinci, üçüncü atışlarda ıskalar.
Olayın listelenen üç versiyonunun uyumsuz olduğu ve ürünlerde yer alan olayların bağımsız olduğu göz önüne alındığında, toplama ve çarpma teoremlerini kullanarak şunu elde ederiz:
veya, ifade ederek,
Aynı şekilde hepsini listeliyorum olası seçenekler bizi ilgilendiren olayın ortaya çıkabileceği verilen numara kez aşağıdaki genel sorunu çözebiliriz.
Her birinde bir olayın görünebileceği veya görünmeyebileceği bağımsız deneyler gerçekleştirilir; Her deneyde bir olayın meydana gelme olasılığı eşittir ve gerçekleşmeme olasılığı ise eşittir. Bu deneylerde bir olayın tam olarak bir kez ortaya çıkma olasılığını bulmamız gerekiyor.
Deneylerde olayın tam olarak bir kez ortaya çıkacağı olayını ele alalım. Bu olay gerçekleşebilir Farklı yollar. Bir olayı, ayrı bir deneyimde bir olayın ortaya çıkması veya görünmemesinden oluşan olayların ürünlerinin toplamına ayrıştıralım. i'inci deneyde bir olayın meydana geldiğini göstereceğiz; - i'inci deneyde bir olayın meydana gelmemesi.
Açıkçası, bir olayın ortaya çıkışının her bir değişkeni (toplamın her bir üyesi), olayın m kez meydana gelmesinden ve oluşmamasından oluşmalıdır; farklı endekslere sahip olay ve olaylardan. Böylece,
Üstelik her çalışmada olay bir kez ortaya çıkmalı, ancak bir kez ortaya çıkmalıdır.
Bu türdeki tüm kombinasyonların sayısı eşittir; olayın meydana geldiği deneylerden birinin seçebileceği yolların sayısı. Bağımsız olaylar için çarpma teoremine göre bu tür kombinasyonların her birinin olasılığı eşittir. Kombinasyonlar birbiriyle uyumsuz olduğundan toplama teoremine göre bir olayın olasılığı şuna eşittir:
Formül tam olasılık bir olayın olasılığını bulmanızı sağlar A, bu yalnızca her biriyle gerçekleşebilir N Olasılıkları biliniyorsa, tam bir sistem oluşturan birbirini dışlayan olaylar ve koşullu olasılıklar olaylar A sistem olaylarının her birine göre eşittir.
Olaylara hipotez de denir; bunlar birbirini dışlar. Bu nedenle literatürde isimlerini harfle değil de bulabilirsiniz. B ve mektup H(hipotez).
Bu tür koşullardaki sorunları çözmek için 3, 4, 5 veya Genel dava N bir olayın meydana gelme olasılığı A- her etkinlikte.
Olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremlerini kullanarak, sistemdeki her bir olayın olasılığının çarpımlarının toplamını şu şekilde elde ederiz: şartlı olasılık olaylar A sistem olaylarının her biri ile ilgili. Yani bir olayın gerçekleşme olasılığı A formül kullanılarak hesaplanabilir
veya genel olarak
,
buna denir toplam olasılık formülü .
Toplam olasılık formülü: problem çözme örnekleri
Örnek 1. Birbirinin aynısı olan üç kutu var: İlkinde 2 beyaz ve 3 siyah top var, ikincisinde 4 beyaz ve bir siyah, üçüncüsünde ise üç beyaz top var. Birisi rastgele bir torbaya yaklaşıyor ve içinden bir top çıkarıyor. Faydalanmak toplam olasılık formülü Bu topun beyaz olma olasılığını bulunuz.
Çözüm. Etkinlik A- beyaz bir topun görünümü. Üç hipotez öne sürdük:
İlk vazo seçilir;
İkinci vazo seçilir;
Üçüncü urn seçilir.
Bir olayın koşullu olasılıkları A hipotezlerin her biri ile ilgili olarak:
,
,
.
Toplam olasılık formülünü uygulayarak gerekli olasılığı elde ederiz:
.
Örnek 2. Birinci fabrikada her 100 ampulden ortalama 90 adet, ikinci fabrikada 95'i, üçüncü fabrikada 85'i standart ampul üretilmekte olup, bu fabrikaların ürünleri sırasıyla %50, %30 ve %30'unu oluşturmaktadır. Belirli bir bölgedeki mağazalara sağlanan tüm ampullerin %20'si. Standart bir ampul satın alma olasılığını bulun.
Çözüm. Standart bir ampul satın alma olasılığını şu şekilde ifade edelim: A ve satın alınan ampulün sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü fabrikalarda üretildiği olayları. Koşullu olarak, bu olayların olasılıkları bilinir: , ve olayın koşullu olasılıkları A her biri hakkında: 
,
,
. Bunlar sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü fabrikada üretilmesi koşuluyla standart bir ampul satın alma olasılıklarıdır.
Etkinlik A bir olay meydana gelirse meydana gelir k- Ampul ilk fabrikada üretilir ve standarttır veya olaydır L- ampul ikinci bir tesiste üretilmiştir ve standarttır veya olaydır M- Ampul üçüncü fabrikada üretilmiştir ve standarttır. Olayın gerçekleşmesi için diğer olasılıklar A HAYIR. Bu nedenle olay A olayların toplamıdır k, L Ve M uyumsuz olanlardır. Olasılık toplama teoremini kullanarak bir olayın olasılığını hayal ederiz A gibi
ve olasılık çarpımı teoremi ile şunu elde ederiz
yani, özel durum toplam olasılık formülleri.
Değiştirme Sol Taraf Olasılık değerleri için formüller kullanarak bir olayın olasılığını elde ederiz A :
Örnek 3. Uçak havaalanına iniyor. Hava izin verdiği takdirde pilot, aletlerin yanı sıra görsel gözlem de kullanarak uçağı indirir. Bu durumda güvenli iniş olasılığı eşittir. Havaalanı alçak bulutlarla kaplıysa pilot, yalnızca aletlerin rehberliğinde uçağı indirir. Bu durumda güvenli iniş olasılığı; . Kör iniş sağlayan cihazlar güvenilirdir (arızasız çalışma olasılığı) P. Alçak bulutların ve kör iniş araçlarının arızalı olduğu durumlarda başarılı iniş olasılığı; . İstatistikler gösteriyor ki kİnişlerin yüzdesi havaalanı alçak bulutlarla kaplıdır. Bulmak bir olayın toplam olasılığı A- uçağın güvenli inişi.
Çözüm. Hipotezler:
Alçak bulut yok;
Alçak bulutlar var.
Bu hipotezlerin (olayların) olasılıkları:
;
Şartlı olasılık.
Yine hipotezlerle birlikte toplam olasılık formülünü kullanarak koşullu olasılığı bulacağız.
Kör iniş cihazları çalışır durumda;
Kör iniş aletleri başarısız oldu.
Bu hipotezlerin olasılıkları:
Toplam olasılık formülüne göre
Örnek 4. Cihaz iki modda çalışabilir: normal ve anormal. Cihazın tüm çalışma durumlarının% 80'inde normal mod ve vakaların% 20'sinde anormal mod gözlenir. Belirli bir süre içinde cihazın arızalanma olasılığı T 0,1'e eşit; anormal 0.7'de. Bulmak tam olasılık cihazın zamanla arızalanması T.
Çözüm. Yine cihazın arızalanma olasılığını şu şekilde belirtiyoruz: A. Dolayısıyla, cihazın her modda (olay) çalışmasına ilişkin olasılıklar duruma göre bilinir: normal mod için bu% 80 (), anormal mod için -% 20 (). Olayın olasılığı A(yani cihaz arızası) ilk olaya (normal mod) bağlı olarak 0,1 (); ikinci olaya bağlı olarak (anormal mod) - 0,7 ( 
). Bu değerleri toplam olasılık formülüne (yani, sistem olaylarının her birinin olasılığının, olayın koşullu olasılığına göre çarpımlarının toplamı) değiştiririz. A sistem olaylarının her biri ile ilgili) ve önümüzde gerekli sonuç var.
Olay olasılığının ve istatistiksel dağılımın belirlenmesi
1. Egzersiz
Ampuller kutuda karışık aynı boyutta ve şekilleri: 150 W - 8 adet ve 100 W - 13. Kutudan rastgele üç lamba çıkarıldı. Bunların arasında olma olasılığını bulun:
a) yalnızca bir adet 150 W lamba; b) 150 W'lık iki lamba;
c) her biri 150 W'lık en az iki lamba; d) en az bir adet 150 W'lık lamba;
f) tüm lambalar aynı güçtedir.
a) olay F1 - rastgele alınan üç lambadan yalnızca biri 150 W olacaktır:
b) olay F2 - rastgele alınan üç lambadan iki lambanın her biri 150 W olacaktır:
c) olay F3 - rastgele alınan üç lambadan her biri en az 2'si 150 W olacaktır:
d) olay F4 - rastgele alınan üç parçadan en az bir adet 150 W lamba olacaktır:
e) olay F5 - rastgele alınan üç lambadan üçü de aynı güçte olacaktır
Görev 2
Uçağa bağımsız olarak üç el ateş edilir. İlk atışta isabet olasılığı 0,4, ikinci atışta - 0,5, üçüncü atışta - 0,6'dır. Bir uçağı devre dışı bırakmak için üç vuruş yeterlidir. İki vuruşta 0,7 olasılıkla başarısız olur, tek vuruşta ise 0,4 olasılıkla başarısız olur.
1. Üç atış sonucunda uçağın devre dışı kalma olasılığını bulun.
2. Üç atış sonucunda uçak devre dışı kalmadı. Uçağa en çok kaç isabet oldu?
1) Hipotezleri düşünün:
H1 - üç atışta isabet olmayacak
H2 - üç atıştan tam olarak bir vuruş olacak
H3 - üç atıştan iki vuruş olacak
H4 - üç atıştan üçü isabet olacak
ve olay
F - uçak devre dışı bırakılacak.
Çünkü uçak devre dışı bırakılmadı, yani. F olayı meydana geldiyse, Bayes formülü kullanılarak hipotezlerin olasılıkları belirlenir.
0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462
Bu nedenle büyük olasılıkla uçak bir kez vuruldu.
Görev 3
N şehrinde istatistiklere göre, açılan yeni işletmelerin ortalama %18'i bir yıl içinde faaliyetlerini durduruyor.
1. N şehrinde rastgele seçilen 6 yeni işletmeden faaliyet yılının sonuna kadar aşağıdakilerin kalma olasılığı nedir:
a) tam olarak 4; b) 4; c) 4'ten az; d) en az bir işletme?
2. N şehrinde yeni açılan yüz işletmeden yıl sonuna kadar faaliyetlerini durdurma olasılığını hesaplayın:
a) 15; b) en az 15; c) en fazla 21; d) en az 13, en fazla 23 işletme.
n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82
n değeri<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:
a) tam olarak 4 işletme kalacaktır:
b) 4'ten fazla işletme kalacaktır:
P(4'ten fazla)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)
P(4'ten fazla)=0,4004+0,304=0,7044
c) 4'ten az işletme kalacak:
P(4'ten küçük)=1-P(en az 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759
d) en az bir işletme kalacak
P(en az 1)=1-P(yok)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966
n=100p=0,18q=0,82
n=100 değeri oldukça büyük olduğundan hesaplamalar için yerel ve integral Laplace formüllerini kullanacağız:
a) Tam 15 işletme faaliyetlerini durduracak:
burada ve (x) yerel Laplace fonksiyonudur
Tablodan bunu buluyoruz
(-0,78)=(0,78)=0,2943,
b) En az 15 işletme faaliyetlerini durduracaktır; 15'ten 100'e kadar:
Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),
burada u ve Ф(x) Laplace integral fonksiyonudur
Ф(x) fonksiyon değerleri tablosundan Ф(-0,78)=-Ф(0,78)=-0,2823 ve Ф(21,34)=0,5, P100(15;100) 0,5+0,2823=0,7823 olduğunu buluyoruz
c) en fazla 21 işletme faaliyetlerini durduracaktır: ör. 0'dan 21'e:
Ф(x) fonksiyon değerleri tablosundan Ф(-4,69)=-Ф(4,69)=-0,499999 ve Ф(0,78)=0,2823, P100(0;21) 0,2823+0,499999=0,782299 olduğunu buluyoruz
d) En az 13, en fazla 23 işletme faaliyetlerini durduracaktır:
Ф(x) fonksiyon değerleri tablosundan Ф(1,3)=0,4032'yi buluyoruz,
P100(13;23)0,4032+0,4032=0,8064
Görev 4
İki muhasebeci bağımsız olarak aynı beyanları dolduruyor. İlk muhasebeci tüm belgelerin ortalama% 8'inde, ikincisi ise% 12'sinde hata yapıyor. İlk muhasebeci tarafından tamamlanan beyanların sayısı 1, ikincisi - 2'dir. Rastgele bir değişken (r.v.) dikkate alınır - iki muhasebeci tarafından hatasız doldurulan beyanların sayısı.
1. R.v.'nin bir dağıtım serisini çizin. ve grafiksel olarak sunun.
3. Hesapla beklenen değer(ortalama) M, varyans
D ve ortalama kare (standart) sapma ().
4. Olasılıkları belirleyin: a) P; b)P; c)P
1) X rastgele değişkeninin olası değerlerini ve olasılıklarını belirleyelim:
X=0: 0,920,882=0,712448
X=1: 0,080,882+0,92(0,120,88+0,880,12)=0,256256
X=2: 0,920,122+0,08(0,120,88+0,880,12)=0,030144
X=3: 0,080,122=0,001152
Muayene:
0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1
Dağılım serisini yazalım
Dağıtım serisini grafiksel olarak çokgen şeklinde gösterelim
2) Bir dağıtım fonksiyonu oluşturalım:
Dağılım fonksiyonunun grafiğini çizelim
3) Matematiksel beklenti ve varyans aşağıdaki formülle bulunur:
D(X)=0,3872-0,322=0,2848
4) Gerekli olasılıkları bulun:
P(X Р(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296 P(-0,2137 Görev 5 Birbirine L = 9 km uzaklıkta bulunan iki yerleşim yeri arasında, talep üzerine her yerde duraklı bir otobüs çalışmaktadır. Güzergahın başlangıcında otobüse binen belirli bir yolcunun kat ettiği mesafe (km cinsinden) dağılım yoğunluğuna göre rastgeledir 1. Bilinmeyen C sabitini ayarlayın ve p(x) fonksiyonunun grafiğini çizin. 2. R.v.'nin dağılım fonksiyonunu bulun. ve grafiğini oluşturun. 3. Matematiksel beklentiyi (ortalama değer) M, varyans D ve standart sapmayı () hesaplayın. 4. Yolcunun güzergah başlangıcından yolculuğun orta noktasına kadar olan iniş sayısı, buradan otobüs güzergahının sonuna kadar olan iniş sayısından kaç kat fazladır? 1) C sabitini bulmak için dağılım yoğunluğunun özelliğini kullanırız: Dağıtım yoğunluğunun grafiğini çizelim 2) Dağıtım fonksiyonunu bulun a) eğer x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает. b) eğer 0x ise<9, то c) eğer x>3 ise, o zaman dağıtım yoğunluğu özelliğinden dolayı Sonunda şunu elde ederiz: F(x)'i çizelim: 3) matematiksel beklenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır Varyans aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: DX=24,3-4,52=4,05 Ortalama standart sapma eşittir: P(X P(XMX)=1-P(X Onlar. güzergahın başlangıcından yolcunun yolculuğunun orta noktasına kadar olan iniş sayısı ile buradan otobüs güzergahının sonuna kadar olan iniş sayısı eşittir. Görev 6 Helikopterlerle kargo taşınırken yeni kimyasal teknolojilere dayalı sentetik malzemelerden yapılmış kablolar kullanılıyor. Kablonun 25 adet çekme testi sonucunda aşağıdaki veriler elde edildi (ton cinsinden): 2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591 Gerekli: 1. İncelenen karakteristiği ve tipini (kesikli veya sürekli) belirleyin. 2. Özelliğin türüne bağlı olarak, göreceli frekanslardan oluşan bir çokgen veya histogram oluşturun. 3. Poligonun (histogram) görsel analizine dayanarak, incelenen özelliğin dağılım yasası hakkında bir hipotez formüle edin. 4. Karakteristiğin örnek özelliklerini hesaplayın: ortalama, dağılım ve standart sapma. 5. Pearson'un ki-kare uyum iyiliği testini kullanarak, örnek verilerin paragraf 3'te öne sürülen dağıtım yasasına 0,01 anlamlılık düzeyinde uygunluğunu kontrol edin. 6. Genel ortalama ve varyans için 0,99 güven olasılığına karşılık gelen güven aralıkları oluşturun. 7. 0,99'luk bir güvenilirlikle eşitlik hipotezini test edin: a) genel ortalama değer 5C; b) genel dağılım değeri C2, burada C = 1,09. İş seçeneğine göre örnek değerler 1. Niteliğin türü süreklidir çünkü Rastgele bir değişken belirli bir aralıktaki herhangi bir değeri alabilir. 2. Göreceli frekansların bir histogramını oluşturalım. Aralık sayısını belirleyelim: burada n, değerlerin sayısı ve k, aralıkların sayısıdır. İÇİNDE bu durumda 25 değer vardır, dolayısıyla aralık sayısı şöyledir: k=1+1.44ln 25 5.6. Aralık sayısını 5 olarak alalım. Bir aralığın boyutunu belirleyelim: Her aralık için göreceli frekansları belirleyelim. Tabloda hesaplamalar yapmak uygundur Bir histogram oluşturalım 3. Görsel analize dayanarak, özelliğin normal yasaya göre dağılımı hakkında bir hipotez ortaya koyabiliriz. 4. İncelenen özelliğin örnek özelliklerini belirleyelim. a) numune ortalaması: b) örnek varyansı: c) numune standart sapması 5. Örnek verilerin normal dağılıma karşılık geldiği hipotezini kontrol edelim. Tablosunu oluşturacağımız formülle aralıkların uçlarını belirleyelim. Teorik olasılıkları pi ve teorik frekansları bulalım. Hesaplama sonuçlarını tabloya yazacağız Pearson kriterinin gözlemlenen değerini hesaplayalım. Bunu yapmak için bir tablo oluşturalım: Anlamlılık düzeyi =0,01 ve serbestlik derecesi sayısı k=n-3=5-3=2'ye dayanarak, kritik noktalar tablosundan şunu buluruz: =9,2 Çünkü o zaman kırılma için kritik kütlenin normal dağılımına ilişkin hipotezi reddetmek için hiçbir neden yoktur. 6. Genel ortalama ve genel varyans için bir güven aralığı oluşturun Ortalama için maksimum örnekleme hatası aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: burada t, ifadenin yapılma olasılığına bağlı olan güven katsayısıdır. Güven katsayısı 2Ф(t)=p ilişkisinden bulunur; burada Ф(х) Laplace integral fonksiyonudur. p=0,99 durumuna göre, Genel ortalamanın düştüğü sınırlar eşitsizliklerle verilmektedir: 5,1225 - 0,7034 ve 5,1225 + 0,7034 Varyansın aralık tahminini bulalım: Dağıtımın kritik noktaları tablosuna göre =42,98, a =10,86 bulunursa varyansın güven aralığı şu şekilde olacaktır: a) Genel ortalamanın 5,45 olduğu hipotezini kontrol edelim. Hipotezlerimizi öne sürüyoruz: Çünkü popülasyonun varyansı bilinmiyorsa, ifadeyi hesaplarız Öğrencinin kritik noktalarının değer tablosunu kullanarak kritik değeri buluyoruz tcr(;n-1)=tcr(0,01;24)=2,8 Çünkü 1.201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45. b) Genel varyansın 1,1881'e eşit olduğu hipotezini kontrol edelim. Hipotezlerimizi öne sürüyoruz: İfadeyi hesapla Ki-kare dağılımının kritik noktalarının değerler tablosunu kullanarak kritik değeri (;n-1)=(0.01;24)=43 buluruz. Çünkü 37.5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881. Kaynakça olasılık istatistiksel varyans matematiksel 1. Gmurman V.E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikteki problemlerin çözümü için bir rehber: Üniversite öğrencileri için bir ders kitabı. - M.: Yüksekokul, 2002. 2. Semenov A.T. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik: Eğitimsel ve metodolojik karmaşık. - Novosibirsk: NGAEiU, 2003.
