Giriş seviyesi

Aritmetik ilerleme. Ayrıntılı teoriörneklerle (2019)

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin inci terimi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki elimizde sayı dizisi, burada bitişik sayılar arasındaki fark aynı ve eşittir.
Örneğin:

vesaire.
Bu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, 6. yüzyılda Romalı yazar Boethius tarafından ortaya atılmış ve daha sonra anlaşılmıştır. geniş anlamda sonsuz bir sayı dizisi gibi. "Aritmetik" adı, eski Yunanlılar tarafından incelenen sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.

Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya fark denir aritmetik ilerleme ve belirlenir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
öyle mi aritmetik ilerleme - b, c.
değil mi aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () dönelim ve onun inci teriminin değerini bulmaya çalışalım. Var iki onu bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:

Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.

2. Yöntem

İlerlemenin inci teriminin değerini bulmamız gerekirse ne olur? Toplama işlemi bir saatten fazla zaman alır ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemenin gerekli olmadığı bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme daha yakından bakın... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:

Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım:


Başka bir deyişle:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.

Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:

Aritmetik ilerlemenin terimlerini sırayla önceki değere eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Haydi "kişiliksizleştirmeye" çalışalım bu formül- Bunu genel forma koyalım ve şunu elde edelim:

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Türetilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme veriliyor: Hesaplamak için formülümüzü kullanırsak, bu aritmetik ilerlemenin inci sayısının ne olacağını kontrol edelim:

O zamandan beri:

Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerlemenin özelliği

Sorunu karmaşıklaştıralım - aritmetik ilerlemenin özelliğini türeteceğiz.
Diyelim ki bize aşağıdaki koşul verildi:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:

Haydi o zaman:

Kesinlikle doğru. Önce bulduğumuz, sonra onu ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımız şeyi elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi bu sorunu herhangi bir formülü kullanarak tek adımda çözmenin mümkün olup olmadığını düşünün. Elbette evet ve şimdi bunu ortaya çıkarmaya çalışacağız.

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

• ilerlemenin önceki dönemi:
• ilerlemenin bir sonraki dönemi:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme teriminin çift değeri olduğu ortaya çıktı. Başka bir deyişle, bilinen önceki ve verilenler verilen ilerleme teriminin değerini bulmaktır. ardışık değerler, bunları toplayıp bölmeniz gerekir.

Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.

Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Efsaneye göre, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" Carl Gauss'un kendisi için kolayca çıkarıldığı tek bir formülü bulmaya devam ediyor...

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şu problemi sordu: “Tüm sayıların toplamını hesaplayın. doğal sayılar(diğer kaynaklara göre) kadar dahil.” Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözü pek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...

Genç Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebileceğiniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden oluşan bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya görev Gauss'un aradığı gibi terimlerin toplamını bulmayı gerektiriyorsa?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara daha yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmeye çalışın.


Hiç denedin mi? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir

Şimdi söyleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda böyle kaç çift var? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak şunu elde ederiz: toplam tutarşuna eşittir:
.
Dolayısıyla herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamının formülü şu şekilde olacaktır:

Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendi başınıza hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının eşit olduğunu ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Buna mı karar verdin?

Aslında, bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formül, 3. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar, bir aritmetik ilerlemenin özelliklerinden tam olarak yararlandılar.
Örneğin, hayal edin Eski Mısır ve en çok büyük ölçekli inşaat o zamanlar - bir piramidin inşası... Resimde onun bir tarafı görülüyor.

Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun.


Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse bir duvar inşa etmek için kaç blok gerektiğini hesaplayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirirken saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?

İÇİNDE bu durumdaİlerleme şöyle görünür: .
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemenin terim sayısı.
Verilerimizi son formüllere yerleştirelim (blok sayısını 2 şekilde hesaplayalım).

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Artık monitörde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anladım? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplamını öğrendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç duyulduğunu hesaplamaya çalışın.
Başarabildin mi?
Doğru cevap bloklardır:

Eğitim

Görevler:

1. Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
2. İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
3. Günlükleri saklarken, kaydediciler bunları her biri üst katmanöncekinden bir eksik günlük içerir. Duvarın temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?

Cevaplar:

1. Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
   (haftalar = günler).

   Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.

2. Birinci tek sayı, son numara.
   Aritmetik ilerleme farkı.
   Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:

   Sayılar tek sayılar içerir.
   Mevcut verileri formülde değiştirelim:

   Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.

3. Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir sürü katman vardır, yani.
   Verileri formülde yerine koyalım:

   Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetleyelim

1. - Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
2. Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi, ilerlemedeki sayıların sayısı olan - formülüyle yazılır.
3. Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
4. Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:
   
   değerlerin sayısı nerede.

Aritmetik İlerleme. ORTA SEVİYE

Numara dizisi

Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.

Sayı içeren sayıya dizinin th üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilebilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki dizidir:

Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (buradaki ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).

Formül n'inci terim

Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:

Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için önceki dokuzunu hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:

Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendiniz karar verin:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

İlk terim eşittir. Fark nedir? İşte şu:

(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:

'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?

Efsaneye göre, büyük matematikçi Karl Gauss, 9 yaşında bir çocukken bu miktarı birkaç dakika içinde hesaplamıştı. Birincinin toplamının olduğunu fark etti ve son tarih eşittir, ikinci ile sondan bir öncekinin toplamı aynıdır, üçüncü ve sondan üçüncünün toplamı aynıdır, vb. Toplamda bu tür çiftlerden kaç tane var? Bu doğru, tüm sayıların tam yarısı kadar. Bu yüzden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Hepsinin toplamını bulun çift ​​haneli sayılar, katları.

Çözüm:

Bu türden ilk sayı şudur. Sonraki her sayı, bir önceki sayıya eklenerek elde edilir. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

1. Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
2. Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
3. Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan ve altı yıl sonra ruble karşılığında satılan bir buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.

Cevaplar:

1. Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
   .
   Cevap:
2. Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
   Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
   .
   Değerleri değiştirin:

   Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
   Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
   (km).
   Cevap:

3. Verilen: . Bulmak: .
   Daha basit olamazdı:
   (ovmak).
   Cevap:

Aritmetik İlerleme. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.

Örneğin:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü

artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.

Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti

Bir ilerlemenin bir terimini, eğer komşu terimleri biliniyorsa (ilerlemedeki sayıların sayısı nerede) kolayca bulmanızı sağlar.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı

Tutarı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

Değerlerin sayısı nerede.

Ne asıl nokta formüller?

Bu formül bulmanızı sağlar herhangi NUMARASIYLA " N" .

Elbette ilk terimi de bilmeniz gerekir. 1 ve ilerleme farkı D, bu parametreler olmadan belirli bir ilerlemeyi yazamazsınız.

Bu formülü ezberlemek (veya not etmek) yeterli değildir. Bunun özünü anlamanız ve formülü çeşitli problemlere uygulamanız gerekir. Ve unutma doğru an, evet...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Ancak nasıl hatırlanır Gerekirse size mutlaka tavsiyede bulunacağım. Dersi sonuna kadar tamamlayanlar için.)

Şimdi aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne bakalım.

Genel olarak formül nedir? Bu arada okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu anlamaya devam ediyor n'inci terim.

İlerleme genel görünüm bir sayı dizisi olarak yazılabilir:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimini belirtir, 3- üçüncü üye, 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak diyelim ki çalışıyoruz. 5, eğer yüz yirminci - s 120.

Genel hatlarıyla nasıl tanımlayabiliriz? herhangi aritmetik ilerleme terimi, herhangi sayı? Çok basit! Bunun gibi:

BİR

işte bu Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi. N harfi tüm üye numaralarını aynı anda gizler: 1, 2, 3, 4 vb.

Peki böyle bir kayıt bize ne veriyor? Düşünün, sayı yerine mektup yazdılar...

Bu giriş bize güçlü araç aritmetik ilerlemeyle çalışmak için. Gösterimi kullanma BİR, hızlı bir şekilde bulabiliriz herhangiüye herhangi aritmetik ilerleme. Ve bir sürü başka ilerleme problemini çözün. Daha fazlasını kendiniz göreceksiniz.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi formülünde:

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimi;

N- üye numarası.

Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: BİR ; bir 1; D Ve N. Tüm ilerleme sorunları bu parametreler etrafında döner.

N'inci terim formülü aynı zamanda belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin problem, ilerlemenin koşul tarafından belirtildiğini söyleyebilir:

a n = 5 + (n-1) 2.

Böyle bir sorun çıkmaz sokak olabilir... Ne bir seri ne de bir fark vardır... Ama durumu formülle karşılaştırınca bu gidişatın ne olduğunu anlamak kolaydır. a 1 =5 ve d=2.

Hatta daha da kötüsü olabilir!) Aynı koşulu alırsak: a n = 5 + (n-1) 2, Evet, parantezleri açıp benzerlerini getirir misiniz? Aldık yeni formül:

bir n = 3 + 2n.

Bu Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. İşte tuzak burada gizleniyor. Bazıları ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk terim beş olmasına rağmen... Biraz daha düşük, böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.

İlerleme problemlerinde başka bir gösterim daha var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi ilerlemenin “n artı birinci” terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından bir büyük olan dizinin bir üyesidir. Örneğin, eğer bir problemde alırsak BİR o zaman beşinci dönem bir n+1 altıncı üye olacak. Ve benzeri.

Çoğu zaman atama bir n+1 yineleme formüllerinde bulunur. Bundan korkma korkunç kelime!) Bu sadece aritmetik ilerlemenin bir üyesini ifade etmenin bir yoludur bir önceki aracılığıyla. Tekrarlanan bir formül kullanılarak bize bu biçimde bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncüden üçüncüye, beşinciden dördüncüye vb. Mesela yirminci terimi hemen nasıl sayabiliriz? 20? Ama mümkün değil!) 19. dönemi bulana kadar 20. dönemi sayamayız. işte bu temel fark n'inci terimin formülünden tekrarlanan formül. Tekrarlanan işler yalnızca aracılığıyla öncesi terim ve n'inci terimin formülü Birinci ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla hesaplamadan.

Aritmetik ilerlemede tekrarlanan bir formülü düzenli bir formüle dönüştürmek kolaydır. Ardışık bir çift terimi sayın, farkı hesaplayın D, gerekirse ilk terimi bulun 1, formülü yazın her zamanki formda ve onunla çalış. Bu tür görevlere Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanmaktadır.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülün uygulanması.

Öncelikle şuna bakalım doğrudan uygulama formüller. Önceki dersin sonunda bir sorun vardı:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Bu problem herhangi bir formül olmadan, sadece aritmetik ilerlemenin anlamına dayanarak çözülebilir. Ekle ve ekle... Bir veya iki saat.)

Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlamasını ayarlayabilirsiniz.) Hadi karar verelim.

Koşullar formülün kullanılmasına ilişkin tüm verileri sağlar: a 1 =3, d=1/6. Neyin eşit olduğunu bulmaya devam ediyor N. Soru yok! bulmamız lazım 121. O halde şunu yazıyoruz:

Lütfen dikkat edin! Bir indeks yerine N belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik ilerlemenin üyesiyle ilgileniyoruz yüz yirmi bir numara. Bu bizim olacak N. anlamı bu N= 121'i formülde parantez içinde değiştireceğiz. Tüm sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

İşte bu. Beş yüz onuncu terimi ve bin üçüncü terimi de aynı hızla bulabiliriz. Onun yerine koyduk N istenilen numara mektubun dizininde " A" ve parantez içinde sayıyoruz.

Size şu noktayı hatırlatmama izin verin: bu formül bulmanızı sağlar herhangi aritmetik ilerleme terimi NUMARASIYLA " N" .

Sorunu daha kurnaz bir şekilde çözelim. Aşağıdaki sorunla karşılaşalım:

a 17 =-2 ise, aritmetik ilerlemenin ilk terimini (a n) bulun; d=-0,5.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız size ilk adımı anlatacağım. Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın! Evet, evet. Ellerinizle doğrudan not defterinize yazın:

Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0,5, on yedinci bir üye var... Öyle mi? Eğer böyle düşünürsen sorunu çözemezsin, evet...

Hala bir numaramız var N! Durumda 17 =-2 gizlenmiş iki parametre. Bu hem on yedinci terimin değeri (-2) hem de sayısıdır (17). Onlar. n=17. Bu "önemsiz şey" çoğu zaman kafanın yanından geçer ve o olmadan ("önemsiz" olmadan, kafa değil!) sorun çözülemez. Yine de... ve kafasız da.)

Artık verilerimizi aptalca bir şekilde formüle koyabiliriz:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ah evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, yerine koyalım:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Temelde hepsi bu. Geriye formülden aritmetik ilerlemenin ilk terimini ifade etmek ve hesaplamak kalıyor. Cevap şöyle olacaktır: 1 = 6.

Bu teknik formülü yazıyor ve basit ikame bilinen veriler - çok yardımcı olur basit görevler. Elbette bir değişkeni formülden ifade edebilmeniz gerekiyor ama ne yapmalısınız? Bu beceri olmadan, hiç matematik çalışamayabilirsiniz...

Bir başka popüler bulmaca:

a 1 =2 ise, aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; 15 =12.

Ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü yazıyoruz!)

Bildiklerimizi düşünelim: a 1 =2; a 15 =12; ve (özellikle vurgulayacağım!) n=15. Bunu formülde değiştirmekten çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Aritmetik yapıyoruz.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Bu doğru cevaptır.

Yani, görevler bir n, bir 1 Ve D karar verilmiş. Geriye kalan tek şey numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek:

99 sayısı aritmetik ilerlemenin (an) bir üyesidir; burada a 1 =12; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.

Bildiğimiz miktarları n'inci terimin formülüne koyarız:

a n = 12 + (n-1) 3

İlk bakışta burada bilinmeyen iki büyüklük var: bir n ve n. Ancak BİR- bu bir sayı ile ilerlemenin bir üyesidir N...Ve ilerlemenin bu üyesini tanıyoruz! 99. Numarasını bilmiyoruz. N, Yani bulmanız gereken şey bu sayıdır. 99 ilerlemesinin terimini formülde değiştiririz:

99 = 12 + (n-1)3

Formülden ifade ediyoruz N, düşünüyoruz. Cevabını alıyoruz: n=30.

Şimdi de aynı konuyla ilgili bir problem ama daha yaratıcı):

117 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmadığını belirleyin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Formülü tekrar yazalım. Ne, hiç parametre yok mu? Hım... Neden gözler veriliyor bize?) İlerlemenin ilk dönemini görüyor muyuz? Görüyoruz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 = -3,6. Fark D Diziden anlayabilir misiniz? Aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız bunu yapmak kolaydır:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Yani en basit şeyi yaptık. Bilinmeyen numarayla uğraşmaya devam ediyor N ve anlaşılmaz sayı olan 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada onu bile bilmiyoruz... Ne yapmalı!? Peki ne yapmalı, ne yapmalı... Aç yaratıcılık!)

Biz sanmak sonuçta 117 bizim ilerleyişimizin bir üyesi. Bilinmeyen bir numarayla N. Ve tıpkı önceki problemde olduğu gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Onlar. formülü yazıyoruz (evet, evet!) ve sayılarımızı değiştiriyoruz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yine formülden ifade ediyoruzN, sayarız ve şunu elde ederiz:

Hata! Sayı ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerdeki kesirli sayılar olmaz. Hangi sonuca varabiliriz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin bir üyesi. Yüz birinci terim ile yüz ikinci terim arasında bir yerdedir. Sayı doğal çıkarsa, yani. pozitif bir tam sayı ise sayı, bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda sorunun cevabı şöyle olacaktır: HAYIR.

Görev tabanlı gerçek seçenek- GIA:

Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:

a n = -4 + 6,8n

İlerlemenin birinci ve onuncu terimlerini bulun.

Burada ilerleme tam olarak belirlenmedi her zamanki gibi. Bir çeşit formül... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülü! O da izin veriyor ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.

İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması büyük bir yanılgıdır!) Çünkü problemdeki formül değiştirildi. Aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Sorun değil, şimdi bulacağız.)

Daha önceki problemlerde olduğu gibi yerine n=1 bu formüle:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Burada! İlk terim -4 değil 2,8!

Onuncu terimi de aynı şekilde arıyoruz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

İşte bu.

Ve şimdi bu satırları okuyanlar için vaat edilen bonus.)

Diyelim ki, Devlet Sınavı veya Birleşik Devlet Sınavı'nın zor bir savaş durumunda, aritmetik ilerlemenin n'inci dönemi için yararlı formülü unuttunuz. Bir şey hatırlıyorum ama bir şekilde emin olamıyorum... Veya N orada veya n+1 veya n-1... Nasıl olunur?

Sakinlik! Bu formülün türetilmesi kolaydır. Çok katı bir şekilde değil ama güven için ve doğru karar kesinlikle yeterli!) Bir sonuca varmak için aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakikanız olması yeterlidir. Sadece bir resim çizmeniz yeterli. Netlik için.

Haydi çizelim sayı ekseni ve ilkini işaretleyin. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not ediyoruz Düyeler arasında. Bunun gibi:

Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: İkinci terim neye eşittir? Saniye bir D:

A 2 =a 1 + 1 D

Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim eşittir ilk terim artı iki D.

A 3 =a 1 + 2 D

Anladın mı? Bazı kelimeleri kalın harflerle vurgulamam boşuna değil. Tamam, bir adım daha).

Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim eşittir ilk terim artı üç D.

A 4 =a 1 + 3 D

Boşlukların sayısının, yani. D, Her zaman Aradığınız üye sayısından bir eksik N. Yani sayıya n, boşluk sayısı irade n-1. Bu nedenle formül şu şekilde olacaktır (değişiklikler olmadan!):

Genel olarak görsel resimler matematikteki birçok problemin çözümünde oldukça faydalıdır. Resimleri ihmal etmeyin. Ancak bir resim çizmek zorsa, o zaman... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. - bağlamanıza olanak tanır. Denkleme resim ekleyemezsiniz...

Bağımsız çözüm için görevler.

Isınmak için:

1. Aritmetik ilerlemede (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3'ü bulun.

İpucu: Resme göre sorun 20 saniyede çözülebilir... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) Bölüm 555'te bu sorun hem resim hem de formül kullanılarak çözülmektedir. Farkı hissedin!)

Ve bu artık bir ısınma değil.)

2. Aritmetik ilerlemede (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. a 3'ü bulun.

Ne, resim çizmek istemiyor musun?) Elbette! Formüle göre daha iyi, evet...

3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu ilerlemenin yüz yirmi beşinci terimini bulun.

Bu görevde ilerleme yinelenen bir şekilde belirtilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar sayarsak... Herkes böyle bir başarıya sahip değildir.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin gücündedir!

4. Aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

İlerlemenin en küçük pozitif teriminin sayısını bulun.

5. Görev 4'ün koşullarına göre ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif terimlerinin toplamını bulun.

6. Artan aritmetik ilerlemenin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5'e, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı ise sıfıra eşittir. 14'ü bulun.

En kolay iş değil evet...) “Parmak ucu” yöntemi burada işe yaramayacak. Formüller yazmanız ve denklemleri çözmeniz gerekecek.

Cevaplar (karışıklık içinde):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

İşe yaradı mı? Çok hoş!)

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Bu arada son görevde ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkatli olunması gerekecektir. Ve mantık.

Tüm bu sorunların çözümü 555. Bölümde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Dördüncüsü fantezi unsuru, altıncısı ise ince nokta ve genel yaklaşımlar n'inci terimin formülünü içeren herhangi bir problemi çözmek için - her şey yazılmıştır. Tavsiye ederim.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Dizinin genel terimi $u_n=n^2$'dır. $n=1$ yerine şunu elde ederiz:

$$ u_1=1^2=1. $$

Bu dizinin ilk terimidir. $n=2$ yerine $u_n=n^2$ koyarsak dizinin ikinci terimini elde ederiz:

$$ u_2=2^2=4. $$

$n=3$ yerine koyarsak dizinin üçüncü terimini elde ederiz:

$$ u_3=3^2=9. $$

Aynı şekilde dizinin dördüncü, beşinci, altıncı ve diğer terimlerini de buluyoruz. İlgili sayıları şu şekilde elde ederiz:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Ayrıca $u_n=n^3$ dizisinin terimlerini de akılda tutmakta fayda var. İşte ilk üyelerinden birkaçı:

\begin(denklem)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(denklem)

Ek olarak, bir serinin genel terimini oluşturmak için sıklıkla $u_n=n!$ dizisi kullanılır; bu dizinin ilk birkaç terimi aşağıdaki gibidir:

\begin(denklem)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(denklem)

"N!" Kaydediliyor ("en faktöriyel" olarak okuyun), 1'den n'ye kadar tüm doğal sayıların çarpımını belirtir;

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Tanım gereği $0!=1!=1$ olduğu varsayılmaktadır. Örneğin 5!'i bulalım:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler de sıklıkla kullanılır. Bir aritmetik ilerlemenin ilk terimi $a_1$'a eşitse ve fark $d$'a eşitse, o zaman ortak üye aritmetik ilerleme aşağıdaki formül kullanılarak yazılır:

\begin(equation)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(denklem)

Aritmetik ilerleme nedir? göster\gizle

Aritmetik ilerleme, sonraki ve önceki terimler arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Bu sabit farka denir ilerleme farkı

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Lütfen hangi çift komşu elemanı alırsak alalım, sonraki ve önceki üyeler arasındaki farkın her zaman sabit ve 7'ye eşit olacağını unutmayın:

\begin(aligned) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(hizalanmış)

Bu sayı, yani. 7 ve ilerleme farkı var. Genellikle $d$ harfiyle gösterilir, yani. $d=7$. İlerlemenin ilk öğesi $a_1=3$'dır. Bu ilerlemenin genel terimini formülü kullanarak yazıyoruz. $a_1=3$ ve $d=7$ yerine şunu koyarsak:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Anlaşılır olması açısından, aritmetik ilerlemenin ilk birkaç terimini bulmak için $a_n=7n-4$ formülünü kullanalım:

\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(hizalanmış)

$n$ sayısının herhangi bir değerini $a_n=7n-4$ formülüne koyarak, aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesini elde edebilirsiniz.

Ayrıca geometrik ilerlemeye de dikkat etmek önemlidir. İlerlemenin ilk terimi $b_1$'a eşitse ve payda $q$'a eşitse, geometrik ilerlemenin genel terimi aşağıdaki formülle verilir:

\begin(equation)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(denklem)

Ne oldu geometrik ilerleme? göster\gizle

Geometrik ilerleme, sonraki ve önceki terimler arasındaki ilişkinin sabit olduğu bir sayı dizisidir. Bu sürekli ilişkiye denir ilerlemenin paydası. Örneğin aşağıdaki sırayı göz önünde bulundurun:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Lütfen hangi çift komşu elemanı alırsak alalım, bir sonrakinin bir öncekine oranının her zaman sabit ve 3'e eşit olacağını unutmayın:

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(hizalanmış)

Bu sayı, yani. 3 ilerlemenin paydasıdır. Genellikle $q$ harfiyle gösterilir, yani. $q=3$. İlerlemenin ilk öğesi $b_1=6$'dır. Bu ilerlemenin genel terimini formülü kullanarak yazıyoruz. $b_1=6$ ve $q=3$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Anlaşılır olması açısından, geometrik ilerlemenin ilk birkaç terimini bulmak için $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ formülünü kullanalım:

\begin(aligned) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(hizalanmış)

$n$ sayısının herhangi bir değerini $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ formülüne koyarak, geometrik ilerlemenin herhangi bir terimini elde edebilirsiniz.

Aşağıdaki tüm örneklerde, serinin üyelerini $u_1$ (serinin ilk üyesi), $u_2$ (serinin ikinci üyesi) vb. harflerle belirteceğiz. $u_n$ gösterimi serinin ortak terimini gösterecektir.

Örnek No.1

$\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ serisinin ortak terimini bulun.

Bu tür görevlerin özü, serinin ilk üyelerinin doğasında olan modeli fark etmektir. Ve bu kalıba dayanarak ortak üyenin türü hakkında bir sonuca varın. "Ortak terimi bulun" ifadesi ne anlama geliyor? Bu, serinin ilk terimini aldığımız $n=1$ yerine böyle bir ifade bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir; $\frac(1)(7)$; $n=2$ yerine serinin ikinci terimini alırız, yani. $\frac(2)(9)$; $n=3$ yerine serinin üçüncü terimini alırız, yani. $\frac(3)(11)$ vb. Serinin ilk dört terimini biliyoruz:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Yavaş yavaş ilerleyelim. Bildiğimiz serinin tüm üyeleri kesirlidir, dolayısıyla serinin ortak üyesinin de bir kesirle temsil edildiğini varsaymak mantıklıdır:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Görevimiz pay ve paydadaki soru işaretlerinin altında neyin saklı olduğunu bulmaktır. Önce paya bakalım. Bildiğimiz dizi üyelerinin payları 1, 2, 3 ve 4 sayılarıdır. Dikkat ederseniz dizideki her bir üyenin sayısı paya eşittir. İlk terimin payı bir, ikinci terimin iki, üçüncünün payı üç ve dördüncünün payı dörttür.

N'inci terimin payının $n$ olacağını varsaymak mantıklıdır:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Bu arada, bu sonuca başka bir şekilde, daha resmi olarak varabiliriz. 1, 2, 3, 4 dizisi nedir? Bu dizinin sonraki her üyesinin bir öncekinden 1 daha büyük olduğuna dikkat edin. Bir aritmetik ilerlemenin dört terimiyle uğraşıyoruz; bunların ilk terimi $a_1=1$ ve fark $d=1$'dır. Formülü kullanarak ilerlemenin genel terimi için ifadeyi elde ederiz:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Dolayısıyla tahmin etmek veya resmi hesaplama bir zevk meselesidir. Önemli olan serinin ortak teriminin payını yazmamızdır. Paydaya geçelim.

Paydalarda 7, 9, 11, 13 dizisi var. Bunlar bir aritmetik ilerlemenin dört terimidir, ilk terimi $b_1=7$'a eşittir ve fark $d=2$'dır. İlerlemenin genel terimini aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Ortaya çıkan ifade, yani. $2n+5$ ve serinin ortak teriminin paydası olacaktır. Bu yüzden:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Serinin genel terimi elde edilir. $u_n=\frac(n)(2n+5)$ bulduğumuz formülün serinin zaten bilinen terimlerini hesaplamak için uygun olup olmadığını kontrol edelim. $u_n=\frac(n)(2n+5)$ formülünü kullanarak $u_1$, $u_2$, $u_3$ ve $u_4$ terimlerini bulalım. Sonuçların doğal olarak bize koşulla verilen serinin ilk dört terimiyle örtüşmesi gerekiyor.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Doğru, sonuçlar aynı. Koşulda belirtilen seri artık şu biçimde yazılabilir: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Serinin genel terimi $u_n=\frac(n)(2n+5)$ biçimindedir.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Böyle bir dizinin var olma hakkı yok mu? Hala var. Ve bu seri için şunu yazabiliriz

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Bir devamı daha yazabilirsiniz. Örneğin, bu:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

Ve böyle bir devam hiçbir şeyle çelişmez. Bu durumda şunu yazabiliriz.

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

İlk iki seçenek size çok resmi göründüyse üçüncüyü önereceğim. Ortak terimi şu şekilde yazalım:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Önerilen genel terim formülünü kullanarak serinin ilk dört terimini hesaplayalım:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(hizalanmış)

Gördüğünüz gibi genel terim için önerilen formül oldukça doğrudur. Ve bu tür sonsuz sayıda varyasyon bulabilirsiniz, sayıları sınırsızdır. İÇİNDE standart örnekler elbette kullanılır standart set bilinen belirli diziler (ilerlemeler, dereceler, faktöriyeller vb.). Ancak bu tür görevlerde her zaman belirsizlik vardır ve bunun hatırlanması tavsiye edilir.

Sonraki tüm örneklerde bu belirsizlik belirtilmeyecektir. Biz karar vereceğiz standart yöntemler kullanarak, çoğu sorunlu kitapta kabul edilenler.

Cevap: serinin ortak terimi: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Örnek No.2

$\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) serisinin ortak terimini yazın (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Serinin ilk beş terimini biliyoruz:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Serinin bildiğimiz tüm terimleri kesirlidir, yani serinin ortak terimini kesir biçiminde arayacağız:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Hemen paya dikkat edelim. Tüm paylar birim içerir, bu nedenle serinin ortak teriminin payı da bir tane içerecektir;

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Şimdi paydaya bakalım. Bildiğimiz serinin ilk terimlerinin paydaları sayıların çarpımlarını içerir: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Bu sayılardan ilki: 1, 3, 5, 7, 9. Bu dizinin ilk terimi $a_1=1$'dır ve sonraki her sayı bir öncekinden $d=2$ sayısının eklenmesiyle elde edilir. Başka bir deyişle, bunlar bir aritmetik ilerlemenin ilk beş terimidir ve bunların ortak terimi aşağıdaki formül kullanılarak yazılabilir:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

$1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ çarpımlarında ikinci sayılar: 5, 8, 11, 14, 17. Bunlar İlk terimi $b_1=5$ ve paydası $d=3$ olan bir aritmetik ilerlemenin öğeleri. Bu ilerlemenin genel terimini aynı formülü kullanarak yazıyoruz:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Sonuçları bir araya getirelim. Serinin ortak teriminin paydasının çarpımı: $(2n-1)(3n+2)$. Ve serinin genel terimi aşağıdaki forma sahiptir:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)) $$

Elde edilen sonucu kontrol etmek için, serinin bildiğimiz ilk dört terimini bulmak için $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ formülünü kullanalım:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot) 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4) +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end(hizalanmış)

Dolayısıyla, $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ formülü, koşuldan bilinen serinin terimlerini doğru bir şekilde hesaplamanıza olanak tanır. İstenirse Verilen serişu şekilde yazılabilir:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Cevap: serinin ortak terimi: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Bu konuya ikinci ve üçüncü bölümlerde devam edeceğiz.

Birçok kişi aritmetik ilerlemeyi duymuştur, ancak herkes bunun ne olduğu konusunda iyi bir fikre sahip değildir. Bu makalede ilgili tanımı vereceğiz ve ayrıca bir aritmetik ilerlemenin farkının nasıl bulunacağı sorusunu ele alacağız ve bir dizi örnek vereceğiz.

Matematiksel tanım

Yani eğer hakkında konuşuyoruz aritmetik veya cebirsel ilerleme hakkında (bu kavramlar aynı şeyi tanımlar), o zaman bu bazı şeylerin olduğu anlamına gelir sayı serisi, tatmin edici sonraki yasa: Bir serideki her iki bitişik sayı aynı değerde farklılık gösterir. Matematiksel olarak şöyle yazılır:

Burada n, dizideki a n öğesinin sayısı anlamına gelir ve d sayısı ilerlemenin farkıdır (adı sunulan formülden gelir).

D farkını bilmek neyi gösterir? Komşu sayıların birbirinden ne kadar "uzak" olduğu hakkında. Ancak d bilgisi gereklidir ancak gerekli değildir. yeterli koşul tüm ilerlemeyi belirlemek (geri yüklemek) için. Söz konusu serinin kesinlikle herhangi bir öğesi olabilecek bir sayı daha bilmek gerekir, örneğin 4, a10, ancak kural olarak ilk sayı, yani 1 kullanılır.

İlerleme öğelerini belirlemek için formüller

Genel olarak yukarıdaki bilgiler zaten çözüme geçmek için yeterli belirli görevler. Bununla birlikte, aritmetik ilerlemeyi vermeden önce ve bunun farkını bulmamız gerekecek, bir çift sunuyoruz. faydalı formüller böylece daha sonraki problem çözme sürecini kolaylaştırır.

N numaralı dizinin herhangi bir elemanının aşağıdaki şekilde bulunabileceğini göstermek kolaydır:

bir n = bir 1 + (n - 1) * d

Aslında herkes bu formülü basit bir aramayla kontrol edebilir: n = 1 yerine koyarsanız ilk öğeyi alırsınız, n = 2 yerine koyarsanız ifade ilk sayının toplamını ve farkı verir, vb.

Pek çok problemin koşulları öyle bir şekilde oluşturulmuştur ki, sayıları da sırayla verilen bilinen bir sayı çifti verildiğinde, tüm sayı serisinin yeniden yapılandırılması (farkın ve ilk elemanın bulunması) gerekli olacaktır. Şimdi bu sorunu genel biçimde çözeceğiz.

O halde sayıları n ve m olan iki eleman verilsin. Yukarıda elde edilen formülü kullanarak iki denklemden oluşan bir sistem oluşturabilirsiniz:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Bilinmeyen miktarları bulmak için bilinenleri kullanırız basit numara böyle bir sistemin çözümü: çiftler halinde sol ve sağ tarafları çıkarın, eşitlik geçerli kalacaktır. Sahibiz:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

bir n - bir m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Böylece bir bilinmeyeni (a 1) hariç tuttuk. Artık d'yi belirlemek için son ifadeyi yazabiliriz:

d = (a n - a m) / (n - m), burada n > m

Çok şey aldık basit formül: d farkını problemin koşullarına göre hesaplamak için, yalnızca elemanların kendileri ile bunların arasındaki farkların oranını almanız gerekir. seri numaraları. Birine dikkat etmeli önemli nokta Dikkat: “kıdemli” ve “kıdemsiz” üyeler arasındaki farklar dikkate alınır, yani n > m (“kıdemli” dizinin başlangıcından daha uzakta durmak anlamına gelir, mutlak değer“küçük” elemandan daha büyük veya daha küçük olabilir).

İlk terimin değerini elde etmek için, problemin çözümünün başında fark d ilerlemesi ifadesi herhangi bir denklemin yerine konulmalıdır.

Gelişim çağımızda bilgisayar teknolojisi Birçok okul çocuğu ödevleri için internette çözüm bulmaya çalışır, bu nedenle bu tür sorular sıklıkla ortaya çıkar: aritmetik ilerlemenin farkını çevrimiçi olarak bulun. Böyle bir talep için, arama motoru, durumdan bilinen verileri girmeniz gereken bir dizi web sayfasını döndürecektir (bu, ilerlemenin iki terimi veya belirli bir sayısının toplamı olabilir) ) ve anında bir cevap alın. Bununla birlikte, problemi çözmeye yönelik bu yaklaşım, öğrencinin gelişimi ve kendisine verilen görevin özünü anlaması açısından verimsizdir.

Formül kullanmadan çözüm

Verilen formüllerden hiçbirini kullanmadan ilk problemi çözelim. Serinin elemanları verilsin: a6 = 3, a9 = 18. Aritmetik ilerlemenin farkını bulun.

Bilinen unsurlar üst üste birbirine yakın durmaktadır. En büyüğü elde etmek için d farkının en küçüğüne kaç kez eklenmesi gerekir? Üç kez (ilk kez d'yi eklediğimizde 7. elementi elde ederiz, ikinci kez - sekizinci, son olarak üçüncü kez - dokuzuncu). 18 elde etmek için üçe üç kez hangi sayı eklenmelidir? Bu beş numara. Gerçekten mi:

Böylece bilinmeyen fark d = 5 olur.

Tabii ki, çözüm kullanılarak gerçekleştirilebilir. karşılık gelen formül ama bu kasıtlı olarak yapılmadı. Detaylı açıklama sorunun çözümü netleşmeli ve parlak bir örnek Aritmetik ilerleme nedir?

Öncekine benzer bir görev

Şimdi benzer bir sorunu çözelim ancak giriş verilerini değiştirelim. Yani a3 = 2, a9 = 19 ise bulmalısınız.

Elbette yine “kafa kafaya” çözüm yöntemine başvurabilirsiniz. Ancak serinin birbirinden nispeten uzak olan elemanları verildiği için bu yöntem tam anlamıyla uygun olmayacaktır. Ancak ortaya çıkan formülü kullanmak bizi hızla cevaba götürecektir:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Burada yuvarladık son sayı. Bu yuvarlamanın ne ölçüde hataya yol açtığı, sonuç kontrol edilerek değerlendirilebilir:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Bu sonuç, koşulda verilen değerden yalnızca %0,1 farklıdır. Bu nedenle en yakın yüzlüğe yuvarlamanın başarılı bir seçim olduğu düşünülebilir.

Bir terim için formülün uygulanmasıyla ilgili sorunlar

düşünelim klasik örnek bilinmeyeni belirleme görevleri d: a1 = 12, a5 = 40 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulun.

Bilinmeyen bir sayının iki sayısı verildiğinde cebirsel dizi ve bunlardan biri a 1 elemanıysa, fazla düşünmeye gerek yok, a n elemanı için formülü hemen uygulamanız gerekir. Bu durumda elimizde:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bölme sırasında tam sayıyı aldık, bu nedenle önceki paragrafta yapıldığı gibi hesaplanan sonucun doğruluğunu kontrol etmenin bir anlamı yok.

Benzer bir problemi daha çözelim: a1 = 16, a8 = 37 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulmamız gerekiyor.

Öncekine benzer bir yaklaşım kullanıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Aritmetik ilerleme hakkında başka ne bilmelisiniz?

Bilinmeyen bir fark bulma sorunlarına ek olarak veya bireysel unsurlar Bir dizinin ilk terimlerinin toplamı ile ilgili problemleri çözmek genellikle gereklidir. Ancak sunduğumuz bilgilerin eksiksizliği nedeniyle bu görevlerin dikkate alınması makalenin kapsamı dışındadır. genel formül bir serideki n sayının toplamı için:

∑ n ben = 1 (a ben) = n * (a 1 + a n) / 2