Kapalı kümenin tanımı. Kapalı ve açık setler

Nokta kümeleri teorisinin ana görevlerinden biri özelliklerin incelenmesidir. çeşitli türler nokta kümeleri. İki örnek kullanarak bu teoriyi tanıyalım ve kapalı ve açık kümelerin özelliklerini inceleyelim.

Set denir kapalı , eğer tüm sınır noktalarını içeriyorsa. Bir kümenin tek bir sınır noktası yoksa kapalı olduğu da kabul edilir. Kapalı bir küme, sınır noktalarının yanı sıra yalıtılmış noktalar da içerebilir. Set denir açık , eğer noktalarının her biri onun için dahili ise.

Hadi verelim kapalı ve açık küme örnekleri .

Her parça kapalı bir kümedir ve her aralık (a, b) açık bir kümedir. Uygun olmayan yarı aralıklar ve kapalı ve uygunsuz aralıklar ve açık. Hattın tamamı hem kapalı hem de açık bir settir. Boş kümenin aynı anda hem kapalı hem de açık olduğunu düşünmek uygundur. Herhangi sonlu küme Bir doğrunun üzerindeki noktalar, sınır noktası olmadığından kapalıdır.

Noktalardan oluşan bir set:

kapalı; bu kümenin, kümeye ait olan benzersiz bir x=0 sınır noktası vardır.

Ana görev, keyfi kapalı veya açık bir kümenin nasıl yapılandırıldığını bulmaktır. Bunu yapmak için kanıt olmadan kabul edeceğimiz bir takım yardımcı gerçeklere ihtiyacımız olacak.

1. Herhangi bir sayıda kapalı kümenin kesişimi kapalıdır.
2. Herhangi bir sayıda açık kümenin toplamı bir açık kümedir.
3. Eğer kapalı bir küme yukarıdan sınırlı ise bu küme kendi üstünlüğünü de içerir. Benzer şekilde, eğer kapalı bir küme alttan sınırlıysa, o zaman infimumunu içerir.

E bir doğru üzerinde rastgele bir nokta kümesi olsun. E kümesinin tamamlayıcısı diyoruz ve doğru üzerindeki tüm noktaların kümesini CE ile gösteriyoruz. birçok kişiye ait E. Eğer x, E için bir dış nokta ise, o zaman CE kümesi için bir iç nokta olacağı ve bunun tersinin de geçerli olacağı açıktır.

4. Bir F kümesi kapalıysa, tümleyeni CF açıktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Önerme 4, kapalı ve açık kümeler arasında oldukça fark olduğunu göstermektedir. yakın bağlantı: Bazıları diğerlerinin tamamlayıcısıdır. Bu nedenle bazılarını kapalı, bazılarını ise incelemek yeterlidir. açık setler. Bir türdeki kümelerin özelliklerini bilmek, başka türdeki kümelerin özelliklerini hemen bulmanızı sağlar. Örneğin herhangi bir açık küme bazılarının çıkarılmasıyla elde edilir. kapalı küme.

Kapalı kümelerin özelliklerini incelemeye başlayalım. Bir tanım sunalım. F kapalı bir küme olsun. Hiçbir noktası F kümesine ait olmayan, ancak a ve b noktaları F kümesine ait olan bir (a, b) aralığına F kümesinin komşu aralığı denir.

Ayrıca bitişik aralıklar arasındaki uygunsuz aralıkları veya a noktası veya b noktasının F kümesine ait olması ve aralıkların kendilerinin F ile kesişmemesi durumunda da dahil edeceğiz. Bir x noktasının kapalı bir F kümesine ait olmaması durumunda, bu noktanın komşu aralıklardan birine ait olduğunu gösterelim.

F kümesinin x noktasının sağında yer alan kısmı ile gösterelim. X noktasının kendisi F kümesine ait olmadığından kesişim biçiminde temsil edilebilir:

Kümelerin her biri F'dir ve kapalıdır. Bu nedenle Önerme 1'e göre küme kapalıdır. Küme boşsa yarı aralığın tamamı F kümesine ait değildir. Şimdi kümenin boş olmadığını varsayalım. Bu küme tamamen yarım aralıkta yer aldığından alttan sınırlıdır. Alt sınırını b ile gösterelim. Önerme 3'e göre bu şu anlama gelir. Ayrıca, b olduğundan alt kenar kümesiyse, b noktasının solundaki yarım aralık (x, b) kümenin noktalarını içermiyor ve dolayısıyla F kümesinin noktalarını içermiyor. Yani, bir yarım aralık ( oluşturduk) x, b) F kümesinin noktalarını içermiyor ve ya veya b noktalarından biri F kümesine ait. Benzer şekilde, F kümesinin noktalarını içermeyen bir yarım aralık (a, x) ve ya veya ya'dan biri inşa ediliyor. Artık (a, b) aralığının x noktasını içerdiği ve F kümesinin komşu aralığı olduğu açıktır. Eğer ve F kümesinin iki bitişik aralığıysa, bu aralıkların ya çakıştığını ya da örtüştüğünü görmek kolaydır. kesişmiyor.

Öncekinden, bir doğru üzerindeki herhangi bir kapalı kümenin, doğrudan belirli sayıda aralığın, yani F kümesinin bitişik aralıklarının çıkarılmasıyla elde edildiği sonucu çıkar. Her aralık en az bir rasyonel nokta içerdiğinden ve sayılabilir bir dizi vardır. Doğru üzerindeki tüm rasyonel noktalar, tüm bitişik aralıkların sayısının en fazla sayılabilir olduğundan emin olmak kolaydır. Buradan nihai sonuca ulaşıyoruz. Bir çizgideki her kapalı küme, çizgiden en fazla sayılabilir ayrık aralıklar kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Önerme 4'e göre, bir doğru üzerindeki her açık kümenin, ayrık aralıkların sayılabilir toplamından başka bir şey olmadığı sonucu çıkar. Önerme 1 ve 2'ye göre, yukarıda belirtildiği gibi düzenlenen herhangi bir kümenin aslında kapalı (açık) olduğu da açıktır.

Aşağıdaki örnekten de görülebileceği gibi kapalı kümeler oldukça karmaşık bir yapıya sahip olabilir.

Bir topolojik uzay verilsin $(X,\matematik(T))$ . Birçok $V\altküme X$ isminde kapalı topoloji ile ilgili $\mathcal(T)$ açık bir küme varsa $U\in\matematik(T)$ Öyle ki $U = X\setminus V$ .

Kapatma

Setin kapatılması $sen$ topolojik uzay $X$ içermeye göre minimal kapalı küme denir $Z$ içeren $sen$ .

Bir setin kapatılması $U\altküme X$ genellikle belirtilir $\bar U$ , $\mathop(\rm Cl)U$ veya $\mathrm(Cl)_X U$ ; şunu vurgulamak gerekirse son tanım kullanılır $\bar U$ uzayda bir set olarak kabul edilir $X$ .

Özellikler

Birçok $sen$ ancak ve ancak eğer kapalıysa $\bar U=U$ .

Örnekler

Boş set $\varhiçbir şey$ her zaman kapalı (ve aynı zamanda açık).
Segment $\subset \mathbb(R)$ tamamlayıcısı açık olduğundan gerçek doğrudaki standart topolojide kapalıdır.
Birçok $\mathbb(Q) \cap$ rasyonel sayılar uzayında kapalı $\mathbb(Q)$ , ancak herkesin uzayında kapalı değil gerçek sayılar $\mathbb(R)$ .

Varyasyonlar ve genellemeler

Ayrıca bakınız

"Kapalı Set" makalesi hakkında yorum yazın

Notlar

Edebiyat

Zavalo S.T. Analizin unsurları. Polinomların cebiri. - Kiev: Radyanskaya okulu, 1972.
Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Fonksiyon teorisinin unsurları ve fonksiyonel analiz. - M.: Fizmatlit, 2004. - 575 s. - ISBN 5-9221-0266-4.
Fikhtengolts G.M. Temel bilgiler matematiksel analiz. - M .: Bilim, 1954.

Kapalı Kümeyi karakterize eden bir alıntı

Natasha onunla ilk tanışanlardan biriydi. Prens Andrei'ye balo elbisesinden daha iyi göründüğü mavi bir ev elbisesi giyiyordu. O ve tüm Rostov ailesi, Prens Andrei'yi eski bir dost olarak basit ve samimi bir şekilde kabul etti. Prens Andrei'nin daha önce katı bir şekilde yargıladığı tüm aile, artık ona harika, basit ve nazik insanlardan oluşuyormuş gibi görünüyordu. Eski kontun özellikle St.Petersburg'da dikkat çeken misafirperverliği ve iyi doğası öyleydi ki Prens Andrei akşam yemeğini reddedemedi. "Evet, bunlar nazik, iyi insanlar" diye düşündü Bolkonsky, tabii ki Nataşa'da sahip oldukları hazineyi zerre kadar bile anlamıyor; Ancak iyi insanlar Bu özellikle şiirsel, hayat dolu, sevimli kızın buna karşı öne çıkması için en iyi arka planı oluşturan şey!”
Prens Andrei, Natasha'da kendisine tamamen yabancı, bazı bilinmeyen sevinçlerle dolu özel bir dünyanın, o zaman bile Otradnensky sokağında ve pencerede, ay ışığının aydınlattığı bir gecede onunla çok dalga geçen o yabancı dünyanın varlığını hissetti. Artık bu dünya onunla dalga geçmiyordu, artık yabancı bir dünya değildi; ama kendisi oraya girdikten sonra burada kendisi için yeni bir zevk buldu.
Akşam yemeğinden sonra Natasha, Prens Andrei'nin isteği üzerine klavikordun yanına gitti ve şarkı söylemeye başladı. Prens Andrei pencerenin önünde durup hanımlarla konuşuyor ve onu dinliyordu. Cümlenin ortasında Prens Andrey sustu ve birdenbire, olasılığını kendi içinde bilmediği gözyaşlarının boğazına geldiğini hissetti. Natasha'nın şarkı söylediğini gördü ve ruhunda yeni ve mutlu bir şey oldu. Hem mutluydu hem de üzgündü. Ağlayacak hiçbir şeyi yoktu ama ağlamaya hazırdı. Ne hakkında? HAKKINDA eski aşk? Küçük prenses hakkında mı? Hayal kırıklıklarınız hakkında mı?... Geleceğe dair umutlarınız hakkında mı?... Evet ve hayır. Ağlamak istediği asıl şey, içinde bulunan sonsuz derecede büyük ve tanımlanamaz bir şey ile kendisinin ve hatta kendisinin olduğu dar ve bedensel bir şey arasında birdenbire canlı bir şekilde fark ettiği korkunç karşıtlıktı. Şarkı söylerken bu zıtlık ona hem eziyet ediyor hem de keyif veriyordu.
Natasha şarkı söylemeyi bitirir bitirmez yanına geldi ve sesini nasıl beğendiğini sordu. Bunu sordu ve bunu söyledikten sonra utandı, bunu sormaması gerektiğini fark etti. Ona bakarak gülümsedi ve yaptığı her şey kadar onun şarkı söylemesini sevdiğini söyledi.
Prens Andrei akşam geç saatlerde Rostov'lardan ayrıldı. Alışkanlıktan dolayı yatağa gitti ama çok geçmeden uyuyamayacağını gördü. Bir mum yaktı ve yatağa oturdu, sonra kalktı, sonra tekrar uzandı, uykusuzluktan hiç etkilenmemişti: ruhu o kadar neşeli ve yeniydi ki, sanki havasız bir odadan Tanrı'nın özgür ışığına adım atmış gibi. Rostova'ya aşık olduğu hiç aklına gelmemişti; onu düşünmedi; onu yalnızca hayal etti ve sonuç olarak tüm hayatı ona yeni bir ışıkta göründü. “Ne için savaşıyorum, neden bu dar, kapalı çerçevede, hayat, tüm yaşam, tüm neşeleriyle bana açıkken telaşlanıyorum?” dedi kendi kendine. Ve uzun bir aradan sonra ilk kez geleceğe dair mutlu planlar yapmaya başladı. Oğlunu büyütmeye, ona bir öğretmen bulmaya ve bu işi ona emanet etmeye başlaması gerektiğine kendi başına karar verdi; o zaman emekli olup yurtdışına gitmeniz, İngiltere'yi, İsviçre'yi, İtalya'yı görmeniz gerekir. “Kendimde bu kadar güç ve gençlik hissederken özgürlüğümü kullanmam lazım” dedi kendi kendine. Pierre mutlu olmak için mutluluğun olasılığına inanmanız gerektiğini söylerken haklıydı ve artık ona inanıyorum. Ölüleri gömmek için ölüleri bırakalım ama hayattayken yaşamalı ve mutlu olmalısın” diye düşündü.

Nokta kümeleri teorisinin ana görevlerinden biri, çeşitli nokta kümelerinin özelliklerinin incelenmesidir. İki örnek kullanarak bu teoriyi tanıyalım ve kapalı ve açık kümelerin özelliklerini inceleyelim.

Bir küme, tüm sınır noktalarını içeriyorsa kapalı olarak adlandırılır. Bir kümenin tek bir sınır noktası yoksa kapalı olduğu da kabul edilir. Kapalı bir küme, sınır noktalarının yanı sıra yalıtılmış noktalar da içerebilir. Bir kümenin noktalarının her biri onun içindeyse açık küme olarak adlandırılır.

Kapalı ve açık kümelere örnekler verelim. Her parça kapalı bir kümedir ve her aralık açık bir kümedir. Uygun olmayan yarı aralıklar kapalı, uygun olmayan aralıklar ise açıktır. Hattın tamamı hem kapalı hem de açık bir settir. Boş kümenin aynı anda hem kapalı hem de açık olduğunu düşünmek uygundur. Bir doğru üzerindeki herhangi bir sonlu nokta kümesi, sınır noktaları olmadığından kapalıdır. Noktalardan oluşan bir set

kapalı; Bu kümenin, kümeye ait olan benzersiz bir sınır noktası vardır.

Görevimiz keyfi bir kapalı veya açık kümenin nasıl yapılandırıldığını bulmaktır. Bunu yapmak için kanıt olmadan kabul edeceğimiz bir takım yardımcı gerçeklere ihtiyacımız olacak.

1. Herhangi bir sayıda kapalı kümenin kesişimi kapalıdır.

2. Herhangi bir sayıda açık kümenin toplamı bir açık kümedir.

3. Eğer kapalı bir küme yukarıdan sınırlı ise bu küme kendi üstünlüğünü de içerir. Benzer şekilde, eğer kapalı bir küme alttan sınırlıysa, o zaman infimumunu içerir.

Bir doğru üzerinde rastgele bir nokta kümesi olsun. Buna bir kümenin tümleyeni diyelim ve doğru üzerindeki kümeye ait olmayan tüm noktaların kümesiyle gösterelim. Eğer için bir dış nokta varsa, o zaman bunun küme için bir iç nokta olacağı ve bunun tersinin de geçerli olacağı açıktır.

4. Bir küme kapalıysa tümleyeni açıktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Önerme 4, kapalı ve açık kümeler arasında çok yakın bir bağlantı olduğunu göstermektedir: bazıları diğerlerinin tamamlayıcısıdır. Bu nedenle sadece kapalı veya sadece açık kümelerin incelenmesi yeterlidir. Bir türdeki kümelerin özelliklerini bilmek, başka türdeki kümelerin özelliklerini hemen bulmanızı sağlar. Örneğin herhangi bir açık küme, bir kapalı kümenin bir hattan çıkarılmasıyla elde edilir.

Kapalı kümelerin özelliklerini incelemeye başlayalım. Bir tanım sunalım. Kapalı bir küme olsun. Noktalarından hiçbirinin kümeye ait olmadığı ancak noktaların ait olduğu özelliğe sahip olan aralığa, kümenin komşu aralığı denir. Nokta veya nokta kümeye aitse ve aralıklar kesişmiyorsa, uygunsuz aralıkları veya bitişik aralıklar arasına da dahil edeceğiz. Bir noktanın kapalı bir kümeye ait olmaması durumunda, onun komşu aralıklardan birine ait olduğunu gösterelim.

Kümenin noktanın sağında yer alan kısmı ile gösterelim. Noktanın kendisi kümeye ait olmadığından kesişim şeklinde temsil edilebilir.

Setlerin her biri kapalıdır. Bu nedenle Önerme 1'e göre küme kapalıdır. Küme boşsa yarı aralığın tamamı kümeye ait değildir. Şimdi kümenin boş olmadığını varsayalım. Bu küme tamamen yarı aralıkta yer aldığından aşağıdan sınırlanmıştır. Alt kenarıyla belirtelim. Önerme 3'e göre ve dolayısıyla . Ayrıca, kümenin bir sonsuzluğu olduğundan, noktanın solundaki yarı aralık, kümenin noktalarını içermez ve dolayısıyla kümenin noktalarını içermez. Böylece kümenin noktalarını içermeyen ve ya nokta kümeye ait olan bir yarım aralık oluşturduk. Benzer şekilde, kümenin noktalarını ve , veya 'yi içermeyen bir yarım aralık oluşturulur. Artık aralığın bir nokta içerdiği ve kümenin komşu aralığı olduğu açıktır. Eğer ve kümenin iki bitişik aralığı ise, bu aralıkların ya çakıştığını ya da kesişmediğini görmek kolaydır.

Öncekinden, bir çizgi üzerindeki herhangi bir kapalı kümenin, çizgiden belirli sayıda aralığın, yani kümenin bitişik aralıklarının çıkarılmasıyla elde edildiği anlaşılmaktadır. Her aralık en az bir rasyonel nokta içerdiğinden ve bir doğru üzerinde tüm rasyonel noktaların sayılabilir bir kümesi bulunduğundan, tüm bitişik aralıkların sayısının en fazla sayılabilir olduğunu doğrulamak kolaydır. Buradan nihai sonuca ulaşıyoruz. Bir çizgideki her kapalı küme, çizgiden en fazla sayılabilir ayrık aralıklar kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Aşağıdaki örnekten de görülebileceği gibi kapalı kümeler oldukça karmaşık bir yapıya sahip olabilir.

Cantor mükemmel set

Seriyle özel bir kapalı set oluşturalım dikkat çekici özellikler. Öncelikle uygunsuz aralıkları ve satırdan kaldıralım. Bu operasyondan sonra elimizde bir segment kalacak. Daha sonra bu parçanın ortadaki üçte birlik kısmını oluşturan aralığı kaldıralım. Kalan iki bölümün her birinden ortadaki üçte birini çıkarın. Ortadaki üçte birlik kısmı kalan segmentlerden çıkarma sürecine süresiz olarak devam edeceğiz. Tüm bu aralıklar çıkarıldıktan sonra doğru üzerinde kalan noktaların kümesine Cantor mükemmel kümesi adı verilir; bunu harfle belirteceğiz.

Bu kümenin bazı özelliklerini ele alalım. Bir çizgiden belirli bir dizi ayrık aralık çıkarılarak oluşturulduğu için küme kapalıdır. Küme boş değil; her durumda, atılan tüm aralıkların sonlarını içerir.

Kapalı kümeye denir mükemmel, eğer izole edilmiş noktalar içermiyorsa, yani noktalarının her biri bir sınır noktası ise. Setin mükemmel olduğunu gösterelim. Aslında, eğer bir nokta kümenin izole edilmiş bir noktası olsaydı, o zaman bu kümenin iki komşu aralığının ortak ucu olarak hizmet ederdi. Ancak yapıya göre kümenin bitişik aralıklarının ortak uçları yoktur.

Set tek bir aralık içermiyor. Aslında belli bir aralığın tamamen kümeye ait olduğunu varsayalım. O halde tamamıyla kümenin oluşturulmasının üçüncü adımında elde edilen parçalardan birine aittir. Ancak bu bölümlerin uzunlukları sıfıra yakın olduğundan bu imkansızdır.

Kümenin bir sürekliliğin önemliliğine sahip olduğu gösterilebilir. Özellikle, bundan şu sonuç çıkıyor: Cantorian mükemmel set bitişik aralıkların uçlarına ek olarak başka noktaları da içerir. Aslında bitişik aralıkların uçları yalnızca sayılabilir bir küme oluşturur.

Matematiğin çeşitli dallarında çeşitli nokta kümeleriyle sürekli olarak karşılaşılmaktadır ve bunların özelliklerinin bilinmesi, birçok nokta kümesini incelerken kesinlikle gereklidir. matematik problemleri. Özellikle büyük değer Matematiksel analiz ve topoloji için nokta seti teorisine sahiptir.

Klasik analiz bölümlerinde nokta kümelerinin görünümüne ilişkin birkaç örnek verelim. Segmentinde tanımlı sürekli bir fonksiyon olsun. Sayıyı sabitleyelim ve bu noktaların kümesini düşünelim. Bu kümenin doğru parçası üzerinde yer alan keyfi bir kapalı küme olabileceğini göstermek kolaydır. Aynı şekilde, noktaların kümesi de herhangi bir açık küme olabilir. Bir sıra varsa sürekli fonksiyonlar doğru parçası üzerinde verildiğinde, bu dizinin yakınsadığı noktaların kümesi keyfi olamaz, ancak çok özel bir türe aittir.

Nokta kümelerinin yapısını inceleyen matematik disiplinine denir. tanımlayıcı küme teorisi. Tanımlayıcı küme teorisinin gelişimindeki çok büyük başarılar, Sovyet matematikçiler- N.N. Luzin ve öğrencileri P.S. Alexandrov, M.Ya. Suslin, A.N. Kolmogorov, M.A. Lavrentyev, P.S. Novikov, L.V. Keldysh, A.A. Lyapunova ve diğerleri.

N.N.'nin araştırması. Luzin ve öğrencileri, tanımlayıcı küme teorisi ile tanımlayıcı küme teorisi arasında derin bir bağlantı olduğunu gösterdi. matematiksel mantık. Tanımlayıcı küme teorisinin bir takım problemlerini (özellikle belirli kümelerin önem derecesini belirleme problemleri) ele alırken ortaya çıkan zorluklar, mantıksal nitelikteki zorluklardır. Tam tersine yöntemler matematiksel mantık tanımlayıcı küme teorisinin bazı sorularına daha derinlemesine nüfuz etmemizi sağlar.

TANIM 5. X bir metrik uzay olsun, ММ Х, аОХ. Eğer a'nın herhangi bir komşuluğunda M\(a) kümesinin noktaları varsa, a noktasına M'nin sınır noktası denir. İkincisi, a'nın herhangi bir komşuluğunda M kümesinin a'dan farklı noktaları olduğu anlamına gelir.

Notlar. 1. Bir sınır noktası kümeye ait olabilir veya olmayabilir. Örneğin, 0 ve 1 (0,2) kümesinin sınır noktalarıdır, ancak birincisi ona ait değildir, ikincisi ise aittir.

2. M kümesinin bir noktası onun sınır noktası olmayabilir. Bu durumda buna izole edilmiş M noktası denir. Örneğin, 1 - yalıtılmış nokta(-1,0)È(1)'i ayarlar.

3. Eğer a limit noktası M kümesine ait değilse, bu metrik uzayda a'ya yakınsayan bir x n ОM noktaları dizisi vardır. Bunu kanıtlamak için yarıçapı 1/n olan bu noktada açık toplar almak ve her toptan M'ye ait bir nokta seçmek yeterlidir. Bunun tersi de doğrudur, eğer a için böyle bir dizi varsa o zaman nokta a'dır. sınır noktası.

TANIM 6. Bir M kümesinin kapanışı, M'nin sınır noktaları kümesiyle birleşimidir. Tanım

Bir topun kapanışının aynı yarıçaptaki kapalı bir topla çakışması gerekmediğine dikkat edin. Örneğin, ayrık bir uzayda, B(a,1) topunun kapanışı topun kendisine eşittir (bir a noktasından oluşur), kapalı top (a,1) ise tüm uzayla çakışır.

Kümelerin kapanışının bazı özelliklerini tanımlayalım.

1. Ay. Bu doğrudan kapatmanın tanımından kaynaklanmaktadır.

2. Eğer M М N ise, o zaman М . Aslında, eğer a О , a ПМ ise, o zaman a'nın herhangi bir komşuluğunda M kümesinin noktaları vardır. Bunlar aynı zamanda N'nin noktalarıdır. Bu nedenle aО . M'den gelen noktalar için bu tanım gereği açıktır.

4. .

5. Boş bir kümenin kapanışı boştur. Bu anlaşma şu tarihten itibaren geçerli değildir: genel tanım ama doğaldır.

TANIM 7. Bir M М X kümesi = M ise kapalı olarak adlandırılır.

Eğer X\M kümesi kapalıysa, bir M М X kümesine açık denir.

Eğer = X ise, bir M М X kümesinin X'in her yerinde yoğun olduğu söylenir.

TANIM 8. Bir pozitif r için B(a,r)МM ise, a noktasına M kümesinin iç noktası denir; iç nokta bazı mahallelerle birlikte sete dahil edilmiştir. Eğer B(a,r)МХ/M topu pozitif bir r için, yani iç nokta bazı komşuluklarla birlikte kümeye dahil edilmiyorsa, a noktasına M kümesinin dış noktası denir. M kümesinin ne iç ne de dış noktaları olmayan noktalara sınır noktaları denir.

Böylece sınır noktaları, her bir mahallede M'ye hem dahil edilen hem de dahil olmayan noktaların bulunmasıyla karakterize edilir.

ÖNERİ 4. Bir kümenin açık olabilmesi için tüm noktalarının içte olması gerekli ve yeterlidir.

Bir doğru üzerindeki kapalı kümelerin örnekleri şunlardır: , )