Gerçek sayılar kümesini nasıl tanımlayabilirsiniz? Ders "Gerçek sayılar kümesi"

13.3 Sayısal aralıklar. Bir noktanın mahallesi

a ve b reel sayılar olsun ve a

Sayısal aralıklar(aralıklar), aşağıdaki forma sahip tüm gerçek sayıların alt kümeleridir:

= (x: α ≤ x ≤ b) - bölüm (bölüm, kapalı aralık);
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x: x ≤ b); [α, +∞) = (x: x ≥ α);
(-∞; b) = (x: x A);
(-∞, ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

a ve b sayılarına sırasıyla bu aralıkların sol ve sağ uçları denir. -∞ ve +∞ sembolleri sayı değil, sayı eksenindeki noktaların 0'dan başlayarak sola ve sağa sınırsız olarak kaldırılması işleminin sembolik bir gösterimidir.

X o herhangi bir gerçel sayı (sayı doğrusu üzerinde bir nokta) olsun. Xo noktasının komşuluğu, x0 noktasını içeren herhangi bir (a; b) aralığıdır. Özellikle, ε >0 olan (x o -ε, x o +ε) aralığına x o noktasının ε-komşusu denir. Xo sayısına merkez denir.

eğer x Î (x 0 -ε; x 0 +ε), o zaman eşitsizlik x 0 -ε<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

Üçüncü satırda her kübik denklem için sırasıyla üç sayı vardır. dörtlü sipariş vb.

O. Cantor köşegen süreci kullanılarak geçilebilecek bir matris elde ederiz. Cebirsel bir denklemin bazı kökleri karmaşıksa, numaralandırma sırasında bunları atlarız. O. her biri cebirsel sayı karşılık gelen sayıyı alacaktır ve bu, cebirsel gerçek sayılar kümesinin olduğu gerçeğini doğrular. sayılabilir .

Hakikat verimli numaralandırılabilirlik A kümesi, doğal sayılarla elemanların numaralandırılmasına yönelik verilen yöntemi doğrudan takip eder, çünkü aynı zamanda karşılık gelen derecedeki cebirsel denklemleri benzersiz şekilde tanımlayan rasyonel sayı kümelerinin numaralandırılması için etkili bir prosedür de gösterilir. N'inci dereceden cebirsel denklemin etkili bir çözüm algoritmasına sahip olması önemlidir; prosedür tamamen etkilidir. Dolayısıyla cebirsel gerçek sayılar kümesi sayılabilir ve etkili bir şekilde numaralandırılabilir, Q.E.D.

Cebirsel sayıların tüm çiftlerinden, üçlülerinden vb. oluşan kümeler de sayılabilir olacaktır.

2.3.7. Sayılabilir sayı kümeleri: genelleme

T.2 Teoremi (kanıtsız)

Sonlu sayıda sayılabilir sembol kullanılarak temsil edilebilen öğeler kümesi sayılabilir.

Gerçek hayatta sayılar, harfler, notlar gibi çeşitli sonlu işaret sistemleri kullanırız.

Bir işaret sistemini, örneğin ondalık sayı sistemindeki herhangi bir sonlu sayı sistemindeki sayıları ele alalım. Elimizde 10 karakter varken: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, iki tür küme oluşturabiliriz: sabit uzunluklu ve isteğe bağlı uzunluk.

İlk durumda, tamamen kombinatoryal bir problemden bahsediyoruz, örneğin, beş karakterden oluşan 105 farklı dizi oluşturabilirsiniz. Bu oldukça büyük bir sayıdır, ancak bir doğal sayıdır ve bu türden tüm olası dizilerin dikkate alınan kümesinin kuvveti bir doğal sayıyla ifade edilir. İkinci durumda, bu tür dizilerin kümesi, doğal sayılar komplekslerinin kümelerine benzer şekilde sayılabilir şekilde sonsuz olacaktır ve onun niceliği, alef-sıfır sayısıdır.

Teorem 2.3.(7)'nin uygulanması sonucunda elde edilen kümenin, sonlu bir işaret sistemi durumunda keyfi olarak uzun işaret komplekslerine izin verilmesi durumunda (istendiği sürece, ancak yine de) sayılabilir sonsuz olacağı genelleştirilebilir. sonlu!).

Sayılabilir sonsuzlar örneğin:

· sonlu bir alfabe kullanılarak oluşturulabilen bir dizi “kelime” (burada bir kelime, anlamı olsun ya da olmasın, harflerden oluşan bir komplekstir),

· herhangi bir dilde veya hatta tüm dillerde yazılmış tüm kitapların seti,

· tüm senfonilerin seti vb.

2.4.1. Gerçek sayılar kümesinin sayılamazlığı (süreklilik)

Reel sayılar kümesini Latin harfi R ile gösteriyoruz.

T.2 Teoremi

Reel sayılar kümesi sayılamaz.

Kanıt

Bunun tersini varsayalım, reel sayılar kümesi sayılabilir olsun. O halde sayılabilir bir kümenin herhangi bir alt kümesi de sayılabilir. Gerçek sayılar kümesinde, R1 alt kümesini - (0,1) aralığını alalım ve rakamlarından en az birinde sıfır veya dokuz içeren sayıları bu bölümden çıkaralım (bu sayıların örnekleri: 0,9, 0,0001 vb. ). Geriye kalan sayılardan oluşan R2 kümesi, R1 kümesinin bir alt kümesidir. Bu, R2'nin sayılabilir olduğu anlamına gelir.

R2'nin sayılabilir olması gerçeğinden, R2'nin elemanları ile doğal sayılar kümesinin elemanları arasında bire bir yazışma kurmak için onun elemanlarını numaralandırmanın bir yolunun mümkün olduğu doğrudan sonucu çıkar. Bu, eşit önemdeki kümelerde, bir kümenin her bir öğesinin başka bir kümeden eşleştirilmiş bir öğeye sahip olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu varsayıldığına göre, bir kümenin önem derecesi tanımından kaynaklanır. Lütfen bu tanım ile etkili numaralandırılabilirliğin tanımı arasındaki temel farkın, bu durumda herhangi bir numaralandırma algoritmasının varlığından bahsetmiyoruz bile, sadece gerçek sayıların bir listesini vermenin mümkün olduğunu belirtmemiz olduğunu unutmayın. R2 kümesi ve N kümesinden karşılık gelen doğal sayıların bir listesi. Bu durumda, N ↔ R2 bağlantısını kurmaya yönelik algoritmayla ilgilenmiyoruz; böyle bir yazışmanın mümkün olması yeterlidir;

R2 kümesinden aşağıdaki sayı listesini oluşturalım ve sayıları rakamla numaralayalım:

Şimdi b=0.b1b2… sayısını oluşturalım ve

bi=aii+1, burada + toplama işlemini belirtir, bunun sonucu 0 ve 9 sayıları olamaz, yani aii=1 ise bi=2; aii=2 ise bi=3, ...., aii=8 ise bi=1).

Böylece oluşturulan b sayısı, R2 kümesindeki sayıların her birinden en az bir basamak farklı olacak ve bu nedenle derlenen listeye dahil edilmeyecektir. Ancak yapısı gereği b sayısının R2 kümesinde bulunması gerekir. Bir çelişki elde ederiz, bu da orijinal varsayımın yanlış olduğu ve R2 kümesinin sayılamayan olduğu anlamına gelir.

R2 kümesi koşul gereği R1 kümesinin bir alt kümesi olduğundan, R1 sayılamaz ve R1 sayılamaz olduğundan R kümesi sayılamaz. Q.E.D.

Not: İçinde 0 ve 9 olan sayıları atmanız gerekmiyor. Böylece bazı sayılar serimizde iki kez yer alacak. Bunun nedeni sonlu kesirlerin sonsuz kesirlere dönüştürülebilmesidir. Örneğin ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

Genel olarak gerçek sayılar kümesini saymanın mümkün olmamasının nedeni bu olabilir. Ancak iki şekilde (sonlu kesirler) temsil edilebilen sayılar kümesi rasyonel sayılar kümesidir. Daha önce de kanıtlandığı gibi, sayılabilir sayıda var. Hatta bu kümenin etkili bir şekilde numaralandırılabilir olduğu bile gösterilebilir. O. bu tür sayılar kümesinin çift temsili bile sayılabilir bir küme oluşturur, dolayısıyla böyle bir basitleştirme olmasa bile kanıt doğrudur.

Temelde yeni bir sonuç elde edildi - sayılamayan bir sayı kümesi bulundu. Kanıtlanmış teoreme göre gücü sıfır-alef'e (-0) eşit değildir, bu da sonlu ötesi ölçekte yeni bir sayıya ihtiyaç olduğu anlamına gelir.

Alef ( À) – ikinci sonlu ötesi sayı. Tanım gereği bu, sürekliliğin (tüm gerçek sayıların) kuvvetidir. Bu ikinci en yüksek sonsuz güçtür. Reel sayılar kümesinin sayılamazlığıyla ilgili az önce kanıtlanmış Teorem 2.4.(1), bu kümenin önem derecesinin alef-sıfırdan (doğal sayılar kümesinden daha büyük) büyük olduğuna dair ikna edici bir kanıttır. Ve bu, çeşitli sayı kümelerinin sayılabilirliğine ilişkin bir dizi kanıttan sonra çok önemli bir sonuçtur.

Bir asal sayı (kuvvet) kavramıyla çalışırsak, segmentin her sayısı (0,1) 0.a1a2a3... biçimindeki bir ondalık kesirle en az bir kez ve her defasında temsil edilebildiğinden bunu elde ederiz. en çok iki kez, o zaman:

À≤10 À0≤ 2À ,

ve 2À=À olduğundan 10 À0= À elde ederiz. Aynı mantık, sayıları ondalık sayılara değil, örneğin ikili kesirlere, tabanı 3, 15, 10005 ve hatta -0 (bunu hayal edebiliyorsanız) olan kesirlere ayrıştırdığımızda da geçerlidir.

O. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Eğer düşünürseniz, küme teorisinden tamamen açık olmayan başka bir gerçeği keşfedebilirsiniz. À2=À À reel sayı çiftleri kümesinin kuvvetidir. Genel olarak konuşursak, bir çift gerçek sayı düzlemdeki bir noktaya karşılık gelir. Buna karşılık, À3=À À À gerçel sayıların üçlü kümesinin kuvvetidir ve bunlar uzaydaki noktalardır. Akıl yürütme -0'a kadar devam ettirilebilir - boyutlu bir uzay veya sayılabilir uzunluktaki gerçek sayıların tüm dizilerinin kümesi. O. tüm sonlu boyutlu veya sayılabilir boyutlu uzaylar aynı önem derecesine sahiptir - (burada - uzaydaki noktaların sayısıdır).

-0 boyutlu bir gerçek uzay veya sayılabilir uzunluktaki tüm gerçek sayı dizilerinin kümesi için, asal sayılar üzerindeki işlemler açısından, -0=(2-0)-0=2-0∙-0=2-0=À elde ederiz.

Bu noktada bu alandaki bir dizi kanıtla ilişkilendirilen tarihi olaylara dönmek ilginç olacaktır. Matematikçiler, hemen olmasa da, sonunda sonsuz bir düz çizgi üzerinde bir doğru parçası üzerindeki nokta sayısı kadar nokta olduğu gerçeğini kabul ettiler. Ancak Cantor'un bir sonraki sonucu daha da beklenmedikti. Gerçel eksendeki bir parçadan daha fazla öğeye sahip bir küme arayışı içinde dikkatini bir karenin noktaları kümesine çevirdi. Başlangıçta sonuç hakkında hiçbir şüphe yoktu: sonuçta, tüm parça karenin bir tarafında yer alıyor ve karenin kendisinin ayrıştırılabileceği tüm parçaların kümesi, karenin noktaları kümesiyle aynı önem derecesine sahip. segment. Neredeyse üç yıl boyunca (1871'den 1874'e kadar) Cantor, bir doğru parçasının noktaları ile bir karenin noktaları arasında bire bir eşleşmenin imkansız olduğuna dair kanıt aradı. Ve bir noktada, tamamen beklenmedik bir şekilde, tam tersi sonuç ortaya çıktı: içtenlikle imkansız olduğunu düşündüğü bir yazışma kurmayı başardı. Cantor kendisi de inanmadı ve hatta Alman matematikçi Richard Dedekind'e şunu yazdı: "Görüyorum ama inanmıyorum." Bu gerçeğin şoku geçince, sezgisel olarak açıklığa kavuştu ve çok geçmeden bir küpün bir doğru parçasıyla aynı sayıda noktaya sahip olduğu kanıtlandı. Genel olarak konuşursak, en az bir çizgi içeren bir düzlem (uzaydaki geometrik cisim) üzerindeki herhangi bir geometrik şekil, bir doğru parçasıyla aynı sayıda noktaya sahiptir. Bu tür kümelere sürekli güç kümeleri adı verildi (Latince süreklilikten - sürekli). Bir sonraki adım neredeyse açıktır: Belirli sınırlar dahilinde uzayın boyutu önemsizdir. Örneğin, 2 boyutlu bir düzlem, 3 boyutlu tanıdık uzay, 4, 5 ve diğer n boyutlu uzaylar, karşılık gelen n boyutlu gövdede bulunan noktaların sayısı açısından eşit güce sahiptir. Sonsuz sayıda boyuta sahip bir uzayda dahi bu durum görülecektir, sadece bu sayının sayılabilir olması önemlidir.

Bu aşamada iki tür sonsuzluk ve buna bağlı olarak bunların kuvvetlerini ifade eden iki sonlu ötesi sayı keşfedildi. Birinci türdeki kümeler, doğal sayıların (alef-sıfır) gücüne eşdeğer güce sahiptir. İkinci tipteki kümeler, gerçek eksen üzerindeki noktaların sayısına eşdeğer önem derecesine sahiptir (sürekliliğin önemliliği, aleph). İkinci tipteki kümelerin birinci tipteki kümelerden daha fazla elemana sahip olduğu gösterilmiştir. Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Doğada, doğal sayıların sayısından daha büyük, fakat aynı zamanda bir doğru üzerindeki noktalar kümesinden daha az bir kardinaliteye sahip olan bir "ara" küme var mıdır? Bu zor sorunun adı "süreklilik sorunu" . O da şu şekilde bilinir: "süreklilik hipotezi" veya " Hilbert'in ilk sorunu". Tam ifadesi şu şekildedir:

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height = "10 src = "> XDIV_ADBLOCK10">

Sonuç olarak, süreklilik hipotezi üzerine yapılan birçok araştırmadan sonra, 1938'de Alman matematikçi Kurt Gödel, ara kuvvetin varlığının küme teorisinin diğer aksiyomlarıyla çelişmediğini kanıtladı. Ve daha sonra, Amerikalı matematikçi Cohen ve Çek matematikçi Vopenka, neredeyse aynı anda ama birbirlerinden bağımsız olarak, böyle bir ara kuvvetin varlığının küme teorisinin diğer aksiyomlarından çıkarılamayacağını gösterdiler. Bu arada, bu sonucun paralel çizgiler varsayımıyla ilgili hikayeye çok benzediğini belirtmek ilginçtir. Bilindiği gibi, iki bin yıl boyunca bunu geometrinin diğer aksiyomlarından çıkarmaya çalıştılar, ancak ancak Lobaçevski, Hilbert ve diğerlerinin çalışmalarından sonra aynı sonucu elde etmeyi başardılar: Bu varsayım diğer aksiyomlarla çelişmez, ancak onlardan çıkarılabilir.

2.4.2. Karmaşık, aşkın ve irrasyonel sayı kümeleri

Reel sayılar kümesine ek olarak sayılamayan birkaç küme daha sunuyoruz.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" genişlik = "81" yükseklik = "76"> T.2.4.(2) Teoremi

Karmaşık sayılar kümesi sayılamaz.

Kanıt

Daha önce kanıtlanmış Teorem 2.4.(1) ile sayılamaz olan gerçek sayılar kümesi R, karmaşık sayılar kümesi C'nin bir alt kümesi olduğundan, karmaşık sayılar kümesi de sayılamaz, Q.E.D.

Aşkın sayı - cebirsel olmayan gerçek bir sayı.

Aşkın sayılar kümesini Latin harfi T ile gösteriyoruz. Her aşkın gerçek sayı irrasyoneldir, ancak bunun tersi doğru değildir. Örneğin, bir sayı irrasyoneldir ancak aşkın değildir: denklemin köküdür X 2 − 2=0.

T.2 Teoremi

Aşkın sayılar kümesi sayılamaz.

Kanıt

Gerçek sayılar sayılamaz bir küme olduğundan ve cebirsel sayılar sayılabilir olduğundan ve A kümesi R'nin bir alt kümesi olduğundan, R\A (aşkın sayılar kümesi) sayılamayan bir kümedir, Q.E.D.

Aşkın sayıların varlığına ilişkin bu basit kanıt, Cantor tarafından 1873'te yayınlandı ve bilim camiası üzerinde büyük bir etki yarattı, çünkü birçok sayının varlığını tek bir spesifik örnek oluşturmadan, yalnızca genel düşüncelere dayanarak kanıtladı. Bu ispattan aşkın sayıya ilişkin özel bir örnek çıkarılamaz; yapıcı olmayan .

Uzun bir süre matematikçilerin yalnızca cebirsel sayılarla ilgilendiklerini belirtmek önemlidir. Birkaç aşkın sayıyı bulmak bile büyük çaba gerektirdi. Bu, ilk kez 1844'te Fransız matematikçi Liouville tarafından başarıldı; Liouville, bu tür sayıların spesifik örneklerini oluşturmayı mümkün kılan bir dizi teoremi kanıtladı. Örneğin, aşkın bir sayı 0,... sayısıdır; burada ilk birimden sonra bir sıfır, ikinciden sonra - iki, üçüncüden sonra - 6, n'den sonra sırasıyla n! sıfırlar.

10 dışındaki herhangi bir tam sayının ondalık logaritmasının aşkın olduğu kanıtlanmıştır. N. Ayrıca aşkın sayılar kümesi günahı da içerir α, çünkü α ve tg α sıfırdan farklı herhangi bir cebirsel sayı için α . Aşkın sayıların en çarpıcı temsilcileri genellikle sayılar olarak kabul edilir. π Ve e. Bu arada, sayıların aşkınlığının kanıtı π Alman matematikçi Karl Linderman'ın 1882'de gerçekleştirdiği deney büyük bir bilimsel olaydı çünkü bir dairenin karesinin alınmasının imkansızlığını ima ediyordu. Bir dairenin karesini bulmanın tarihi dört bin yıl sürdü ve terimin kendisi çözülemeyen problemlerle eşanlamlı hale geldi.

Ölçü birimi" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">bir dairenin yarıçapının ölçü birimi ve belirtilmesi X gerekli karenin kenar uzunluğu, daha sonra problem denklemin çözümüne indirgenir: X 2 = π, buradan: . Bildiğiniz gibi bir pusula ve cetvel yardımıyla 4 işlemi de yapabilirsiniz. Aritmetik işlemler ve ekstraksiyon kare kök. Bu, dairenin karesinin alınmasının ancak ve ancak bu türden sonlu sayıda eylem kullanılarak π uzunluğunda bir parça oluşturulabilmesi durumunda mümkün olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla bu problemin çözülemezliği sayının cebirsel olmayan doğasından (aşkınlığından) kaynaklanmaktadır. π. Aslında bir dairenin karesini alma problemi, tabanı πr ve yüksekliği r olan bir üçgen oluşturma problemine indirgenmiştir. Daha sonra bunun için kolayca eşit bir kare oluşturulabilir.

Daha önce bahsedilen 23 listede temel problemler Matematik 7 numara, belirli bir şekilde oluşan sayıların aşkınlığı ile ilgili problemdi.

Hilbert'in yedinci problemi. izin ver --- pozitif cebirsel sayı 1'e eşit değildir, b --- mantıksız cebirsel sayı. Ab'nin aşkın bir sayı olduğunu kanıtlayın.

1934'te Sovyet matematikçi Gelfond ve kısa bir süre sonra Alman matematikçi Schneider bu ifadenin doğruluğunu kanıtladılar ve böylece bu problem çözülmüş oldu.

İki tane daha sayıları rasyonel ve irrasyonel olarak bölme ilkesiyle ilişkilidir. ilginç gerçekler, hemen doğru olarak algılanmaz.

T.2.4.(5) Teoremi

Herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında her zaman süreklilik kuvvetine sahip bir irrasyonel sayılar kümesi vardır.

Kanıt

İki rasyonel sayı olsun, A Ve B. Doğrusal ve dolayısıyla bire bir fonksiyon oluşturalım F(X) = (X - A) / (B - A). Çünkü F(A) = 0 ve F(B) = 1 ise F(X) segmenti eşler [ A; B] sayıların rasyonelliğini korurken segmente ekleyin. Bu nedenle kümelerin kuvvetleri [ A; B] ve gerçek sayılar eşittir ve kanıtlandığı gibi parçanın gücü süreklinin gücüne eşittir. Ortaya çıkan kümeden yalnızca irrasyonel sayıları seçerek, herhangi iki rasyonel sayı arasında her zaman irrasyonel sayıların bir sürekliliği olduğunu elde ederiz. Q.E.D.

Genel olarak bu teorem sezgisel olarak oldukça mantıklı görünüyor. Aşağıdakiler ilk bakışta şüpheyle algılanıyor.

T.2.4.(6) Teoremi

Herhangi iki farklı irrasyonel sayı arasında her zaman sayılabilir bir rasyonel sayılar kümesi vardır.

Kanıt

İki tane olsun irrasyonel sayılar A Ve B karşılık gelen rakamlarını şu şekilde yazıyoruz: A 1A 2A 3... ve B 1B 2B 2..., nerede yapay zeka, bi- ondalık sayılar. İzin vermek A < B, o zaman öyle bir N var ki A N< B N. Yeni bir sayı oluşturalım C neden koyalım ci = yapay zeka = biİçin Ben= 1, …, N-1. İzin vermek cN = bN-1. Açıkça görülüyor ki C < B. Sayının tüm rakamları olduğundan A N'den sonra dokuz olamaz (o zaman olur) periyodik kesir, yani rasyonel bir sayı), o zaman sayının böyle bir basamağını M >= N ile belirtiriz A, Ne A M< 9. Положим cj = aj, N'de< J < M, и C M = 9. Bu durumda C > A. Yani elimizde bir rasyonel sayı var C, öyle ki A < C < B. Ekleniyor ondalık gösterim sayılar C herhangi son sayı arkadaki sayılar arasında istediğimiz kadar rasyonel sayı elde edebiliriz A Ve B. Bu tür her numarayı kendisine atayarak seri numarası, bu sayılar kümesi ile doğal sayılar kümesi arasında bire bir yazışma elde ederiz, böylece elde edilen küme sayılabilir olur, Q.E.D.

Bu aşamada, sonlu ötesi sayılar ölçeğinin tanıtılmasından önce anlamı genel olarak açık olan ve bu tür özel aritmetiğin ortaya çıkmasıyla birlikte kesin bir kanıt gerektiren aşağıdaki teoremin kanıtı ilginç ve önemli hale gelir.

T.2 Cantor teoremi

Herhangi bir kardinal sayı için α, α<2α.

Kanıt

1. En azından şunu kanıtlayalım α≤2α

Bilindiği gibi M Boolean kümesinin önem derecesi 2|M|'ye eşittir. M = (m1, m2, m3, ...) kümesi olsun. Boolean M kümesi (tüm alt kümelerinin kümesi) aynı zamanda her biri tek bir öğeden oluşan kümeleri de içerir, örneğin (m1), (m2), (m3), .... Yalnızca bu tür alt küme |M| olacaktır ve bunlara ek olarak Boolean diğer alt kümeleri de içerir; bu da her durumda |M| anlamına gelir. ≤ 2|A|

2. Eşitsizliğin kesinliğini kanıtlayalım α<2α

Paragraf 1'de kanıtlanmış olanı dikkate alarak. bir durumun olduğunu göstermek yeterlidir. α=2α. Tam tersini varsayalım, α=2α olsun, yani |M| = 2|M|. Bu, M'nin P(M)'ye eşdeğer olduğu anlamına gelir; bu, M kümesinin Boolean P(M) üzerine bir eşlemesinin olduğu anlamına gelir. O. M kümesinin her m elemanı, P(M)'ye ait bazı Mm alt kümesiyle bire bir karşılık gelir. Bu, herhangi bir m elemanının ya karşılık gelen Mm alt kümesine ait olduğu ya da ait olmadığı anlamına gelir. İkinci türdeki tüm elemanlardan (yani karşılık gelen Mm altkümelerine ait olmayan m'lerden) oluşan bir M* kümesi oluşturalım.

Yapı itibarıyla, herhangi bir m elemanı M*'ya aitse otomatik olarak Mm'ye ait olmayacağı açıktır. Bu da herhangi bir m için M*=Мm durumunun imkansız olduğu anlamına gelir. Bu, M* kümesinin tüm Mm kümelerinden farklı olduğu ve onun için M kümesinden bire bir m elemanı olmadığı anlamına gelir. Bu da |M|= 2|M| eşitliği anlamına gelir. yanlış. O. |M| olduğu kanıtlandı < 2|A| veya α<2α , Q.E.D.

Sonsuz kümelerin dikkate alınmasına uygulandığında bu, doğal sayıların tüm alt kümelerinden oluşan kümenin (ve bu aslında sonsuz uzunluktaki kompleksler kümesidir) doğal sayılar kümesinin kendisine eşdeğer OLMADIĞINI ikna edici bir şekilde kanıtlar. Yani -0 ≠ 2À0. Ve bu, benzetme yoluyla, örneğin gerçek sayılara dayalı olarak daha kapsamlı bir küme oluşturmanın mümkün olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, diğer sonsuz küme türleriyle ilgili soru şudur: Reel sayılar kümesinin önem derecesinden daha büyük bir önem kümesi var mıdır? Böyle bir soruya olumlu yanıt verilirse hemen bir sonraki soru ortaya çıkıyor: Bundan daha büyük bir güç var mı? Sonra daha da fazlası. Ve son olarak, mantıksal bir küresel soru: En büyük kardinalite kümesi var mı?

T.2 Teoremi

Herhangi bir A kümesi için, önem derecesi A'dan büyük olan bir B kümesi vardır.

Kanıt

Seti düşünün İÇİNDE sette tanımlanan tüm fonksiyonlar A ve 0 ve 1 değerlerini alıyor. Her nokta A setleri A Bu noktada 1 değerini, diğer noktalarda ise 0 değerini alan fa(x) fonksiyonunu ilişkilendirelim. Farklı fonksiyonların farklı noktalara karşılık geldiği açıktır. Bu, kümenin önem derecesinin şu şekilde olduğunu gösterir: İÇİNDE setin gücünden daha az değil A (|B|≥|A|).

Pek çok gücün olduğunu varsayalım. A Ve İÇİNDE birbirine eşittir. Bu durumda kümelerin elemanları arasında birebir uyum söz konusudur. A Ve İÇİNDE. Elemana karşılık gelen fonksiyonu gösterelim A birçoktan A, fa(x) aracılığıyla. fa(x) ailesinin tüm fonksiyonları ya 0 ya da 1 değerini alır. Yeni bir φ(x)=1- fх(x) fonksiyonu oluşturalım. Böylece, φ(x) fonksiyonunun değerini bir noktada bulmak için A sete ait A, önce karşılık gelen fa( fonksiyonunu bulmalıyız. A) ve sonra bu fonksiyonun o noktadaki değerini birlikten çıkarın. A. Yapıdan, φ(x) fonksiyonunun da kümede tanımlı olduğu açıktır. A ve 0 ve 1 değerlerini alır. Dolayısıyla φ(x) kümenin bir elemanıdır İÇİNDE. O halde A kümesinde φ(x) = fb(x) olacak şekilde bir b sayısı vardır. φ(x)=1- fх(x) fonksiyonunun daha önce tanıtılan tanımını dikkate alarak, kümeye ait tüm x'ler için şunu elde ederiz: A, doğru 1 - fх(x)= fb(x). x = b olsun. O halde 1 - fb(b) = fb(b) ve bu da fb(b)=1/2 anlamına gelir. Bu sonuç, fb(x) fonksiyonunun değerlerinin sıfır veya bire eşit olduğu gerçeğiyle açıkça çelişmektedir. Sonuç olarak kabul edilen varsayım yanlıştır, yani kümelerin elemanları arasında birebir eşleşme yoktur. A Ve İÇİNDE (| A| ≠| B| ). Çünkü | A| ≠|B| ve aynı zamanda | B| ≥| A| , Araç | B| >|A| . Bu, herhangi bir set için şu anlama gelir: A bir set oluşturabilirsiniz İÇİNDE daha fazla güç. Bundan en büyük önem kümesinin olmadığı sonucuna varabiliriz, Q.E.D.

Oluşturulan işlevler kümesi ile Boolean kümesi arasında oldukça yakın bir bağlantı vardır. A(tüm alt kümelerin kümesi A). Seti düşünün İÇİNDE kümenin tüm alt kümeleri A. İzin vermek İLE– bazı alt kümeler A. Fonksiyonu ele alalım F(X) ise 1 değerini alır X ait İLE aksi takdirde değer 0'dır. Böylece farklı alt kümeler İLEçeşitli işlevlere karşılık gelir. Tam tersine her fonksiyon F(X) 0 ve 1 olmak üzere iki değer alarak, bir alt kümeye karşılık gelir. A bu unsurlardan oluşan X Burada fonksiyon 1 değerini almaktadır. Böylece küme üzerinde tanımlanan fonksiyonlar kümesi arasında bire bir yazışma sağlanmıştır. A ve 0 ve 1 değerlerini alarak tüm alt kümelerin kümesini A.

§ 2.5. Önem derecesi sürekliliğin önem derecesinden daha büyük olan kümeler

Yani, en büyük kardinaliteye sahip bir küme yoktur. İlk iki sonlu ötesi sayının doğası gereği onları oluşturan kümeler vardı (doğal sayılar kümesi ve gerçek sayılar kümesi). Sürekliliğin kümesinden başlarsak, sürekliliğin tüm alt kümelerinin kümesini oluşturabiliriz, onun Boolean'ını elde ederiz, bu kümeye BR diyelim. Tanım gereği, BR setinin gücü 2А'ya eşittir. Cantor'un teoremine göre 2À≠À. BR kümesinin sonsuz olduğu açıktır, bu nedenle asal sayısı sonlu bir sayıdır ve daha önce ele alınan iki sonlu ötesi sayıdan herhangi biriyle çakışamaz. Bu, üçüncü transfinite sayısını ölçeğimize dahil etmenin zamanının geldiği anlamına gelir.

Alef Bir ( À 1 ) – üçüncü sonlu sayı. Tanım gereği bu, sürekliliğin tüm alt kümelerinin kümesinin önem derecesidir. Aynı sayı diğer birçok kümenin önem derecesine karşılık gelir, örneğin:

· Herhangi bir gerçek değer alan tüm doğrusal fonksiyonların kümeleri (doğrusal bir fonksiyon, bir veya daha fazla değişkenin gerçek bir fonksiyonudur). Temel olarak bunlar, sayılabilir boyutlu bir uzaydaki olası tüm eğrilerden oluşan kümelerdir; burada n boyutlarının sayısı herhangi bir sonlu sayı veya hatta -0'dır.

· Düzlem üzerindeki şekil kümeleri, yani düzlem üzerindeki noktaların tüm alt kümelerinin kümeleri veya gerçel sayı çiftlerinin tüm alt kümelerinin kümeleri.

· Sıradan üç boyutlu uzaydaki ve ayrıca genel olarak konuşursak, boyut sayısının herhangi bir sonlu sayı veya hatta -0 olduğu sayılabilir herhangi bir boyutlu uzaydaki cisim kümeleri.

À1 sayısı, À önem derecesine sahip Boolean kümesinin önem derecesi olarak tanımlandığından, -1 =2À ifadesini elde ederiz.

§ 2.6. Küme teorisinin paradoksları

Makul bir soru ortaya çıkıyor: sırada ne var? BR kümesinin tüm alt kümelerinin kümesini oluşturursak ne olur? Asal sayısı neye eşit olacak (tabii ki benzetme yoluyla bunun 2-1 olduğunu varsayabiliriz) ve en önemlisi, bu hangi gerçek hayattaki kümeye karşılık gelecektir? BR'den daha büyük sonsuz küme var mı ve kaç tane var?

Araştırmaların gösterdiği gibi, en büyük sonlu ötesi sayının mevcut olmadığını göstermiş olsak da, yeni büyük kardinal sayılara doğru giderek daha da yükselmek güvensizdir; bu, çatışkılara (paradokslara) yol açar. Aslında, asal sayılar kümesi ne olursa olsun, belirli bir kümedeki tüm sayılardan daha büyük olan ve dolayısıyla bu kümeye dahil olmayan bir asal sayı bulmak her zaman mümkündür. O. böyle bir küme tüm asal sayıları içermez ve tüm asal sayılar kümesi düşünülemez.

Her matematikçinin tutarlı bir teoriyle, yani birbirini açıkça reddeden iki teoremi aynı anda kanıtlamanın imkansız olduğu bir teoriyle uğraşmak istemesi oldukça doğaldır. Cantor'un teorisi tutarlı mı? Söz konusu setlerin kapsamını ne ölçüde genişletebiliriz? Ne yazık ki her şey o kadar pembe değil. Eğer "tüm U kümelerinin kümesi" gibi görünüşte zararsız bir kavram ortaya koyarsak, bir dizi ilginç nokta ortaya çıkar.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" genişlik = "81" yükseklik = "75 src = "> T.2.6.(2) Russell paradoksu

Kendi elemanlarını içermeyen tüm kümelerin kümesi B olsun. O halde iki teorem kanıtlanabilir.

Teorem 2.6.(2).1.

B, V'ye aittir.

Kanıt

Tam tersini varsayalım, yani. İÇİNDE ait değil İÇİNDE. Tanım gereği bu şu anlama gelir: İÇİNDE ait İÇİNDE. Bir çelişkiyle karşı karşıyayız; dolayısıyla orijinal varsayım yanlıştır ve İÇİNDE ait İÇİNDE, Q.E.D.

Teorem 2.6.(2).2.

B, V'ye ait değil.

Kanıt

Tam tersini varsayalım, yani. İÇİNDE ait İÇİNDE. Bir kümenin tanımı gereği İÇİNDE onun herhangi bir unsuru kendi unsuru olarak kendine sahip olamaz, bu nedenle İÇİNDE ait değil İÇİNDE. Bir çelişki - dolayısıyla orijinal varsayım yanlıştır ve İÇİNDE ait değil İÇİNDE, Q.E.D.

Teorem 2.6.(2).1'in bunu görmek kolaydır. ve 2.6.(2).2. birbirini dışlayın.

Ne yazık ki, tüm süper kapsamlı kümeleri değerlendirme dışı bırakmak bile Cantor'un teorisini kurtarmaz. Özünde, Russell'ın paradoksu mantığı, yani bir doğru ifadeden diğerine geçerken yeni kavramların oluşturulduğu akıl yürütme yöntemlerini etkiler.

Zaten bir paradoks türetirken, klasik matematiğin ayrılmaz akıl yürütme yöntemlerinden biri olan ortanın hariç tutulması mantıksal yasası kullanılır (yani, A değil ifadesi doğruysa, o zaman A yanlıştır). Şeylerin özünü düşünürseniz, genel olarak küme teorisinden ve matematikten uzaklaşabilirsiniz.

kısa kodlar">

Tarihsel olarak ilk ortaya çıkan tamsayılar$N$, öğenin yeniden hesaplanmasının bir sonucu olarak. Bu sayıların kümesi sonsuzdur ve $N=\(1, 2, 3, ..., n, ...\)$ doğal serisini oluşturur. Toplama ve çarpma işlemleri bu kümede yapılabilir. Çıkarma işlemini gerçekleştirmek için yeni sayılar gerekliydi ve sonuçta bir tam sayı kümesi ortaya çıktı: $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \(0\)$. Böylece tamsayılar kümesinde toplama, çarpma ve çıkarma işlemleri her zaman yapılır.

Rasyonel sayılar

Bölme işlemi yapma ihtiyacı, $Q$ rasyonel sayılar kümesinin ortaya çıkmasına neden oldu. $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\in N\)$.

Tanım.İki rasyonel sayı eşittir: $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ - if $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Bu, her rasyonel sayının $\frac(m)(n)$ $\frac(m)(n)$ indirgenemez kesir biçiminde benzersiz bir şekilde temsil edilebileceği anlamına gelir. $GCD(m, n)=1$.

Rasyonel sayılar kümesinin özellikleri

1. Rasyonel sayılar üzerinde yapılan aritmetik işlemler (toplama, çarpma, çıkarma, bölme, sıfıra bölme hariç) sonucunda bir rasyonel sayı elde edilir.

2. Rasyonel sayılar kümesi sıralanmıştır, yani herhangi bir $a$ ve $b$ veya $a rasyonel sayı çifti için b$.

3. Rasyonel sayılar kümesi yoğundur, yani herhangi bir $a$ ve $b$ rasyonel sayı çifti için $a olacak şekilde bir $c$ rasyonel sayısı vardır.

Herhangi bir pozitif rasyonel sayı her zaman ondalık kesir olarak temsil edilebilir: sonlu veya sonsuz periyodik. Örneğin: $\frac(3)(5)=0,6$, $\frac(1)(3)=0,333...=0,(3)$.

$\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - ondalık kesrin periyodu olarak adlandırılır, burada tümü $b_i=0$ değildir.

Sonlu bir kesirin, periyodu sıfır olan sonsuz bir periyodik kesir olarak yazılabileceğini unutmayın. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Bununla birlikte, rasyonel sayıların ondalık kesir biçimindeki başka bir temsili daha yaygındır: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Negatif rasyonel sayılar $-\frac(m)(n)$, $\frac(m)(n)$ formundaki bir rasyonel sayının zıt işaretle alınan ondalık açılımı olarak yazılır.

$0$ sayısı $0,000...$ olarak temsil edilir.

Bu nedenle, herhangi bir rasyonel sayı, $0$ sayısının kendisi dışında, her zaman periyotta $0$ içermeyen sonsuz bir ondalık periyodik kesir olarak temsil edilebilir. Tek temsil budur.

İrrasyonel sayılar

Rasyonel sayılar kümesi dört aritmetik işlemle kapatılır. Ancak rasyonel sayılar kümesinde $x^2-n=0$ formundaki en basit denklemin her zaman bir çözümü yoktur. Bu nedenle yeni sayıların getirilmesine ihtiyaç var.

Rasyonel sayılar arasında karesi üçe eşit olan bir sayının olmadığını gösterelim. Çelişki yoluyla ispatı gerçekleştireceğiz.

Diyelim ki karesi üçe eşit olan $\frac(m)(n)$ rasyonel sayısı var: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\ ;( 1)$.

$\frac(m^2)(n^2)=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Eşitliğin (2) sağ tarafı 3'e bölünebilir. Bu, $m^2$'ın da 3'e bölünebildiği anlamına gelir, dolayısıyla $m$ 3'e bölünebilir, yani $m=3k$ demektir. (2) eşitliğini yerine koyarsak şunu elde ederiz:

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

$(3)$ eşitliğinin sol tarafı $3$'a bölünebilir, bu da sağ tarafın da $3$'a bölünebileceği anlamına gelir. Bu nedenle $n^2$ $3$'a bölünebilir, bu da $n$'ın $3$'a bölünebileceği anlamına gelir, dolayısıyla $n=3p$. Sonuç olarak şunu elde ederiz: $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, yani $\frac(m)(n)$ kesrinin indirgenebilir olduğu ortaya çıktı, bu da çelişiyor varsayım. Bu, rasyonel sayılar arasında karesi üçe eşit olan hiçbir sayı olmadığı anlamına gelir.

Ama karesi üç olan bir sayı vardır. Sonsuz periyodik olmayan bir kesir olarak temsil edilebilir. Ve yeni bir tür sayımız var. Bunlara mantıksız diyelim.

Tanım.İrrasyonel sayı, periyodik olmayan herhangi bir sonsuz kesirdir.

Tüm sonsuz periyodik olmayan kesirlerin kümesine irrasyonel sayılar kümesi denir ve $I$ ile gösterilir.

Gerçek sayılar

$Q$ rasyonel sayılar kümesi ile $I$ irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi, $R$ gerçek sayılar kümesini verir: $Q\cup I=R$.

Böylece, her gerçek sayı sonsuz bir ondalık kesir olarak temsil edilebilir: rasyonel sayı durumunda periyodik ve irrasyonel sayı durumunda periyodik olmayan.

Gerçek sayıların karşılaştırılması

Gerçek sayılar için $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ karşılaştırması şu şekilde yapılır:

1) $a$ ve $b$'nin her ikisinin de pozitif olmasına izin verin: $a>0$, $b>0$, o zaman:

$a=b$, herhangi bir $k$ içinse $a_k=b_k$;

$a>b$ if $\varsa s$ $\forall k b_s$.

2) $a>0$, $b olsun<0$, или иначе: $b<0

3) $a$ ve $b$'nin her ikisi de negatif olsun: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, eğer $-a=-b$ içinse;