Hilbert'in sorunları. Hilbert'in problemleri ve Sovyet matematiği

(standart sistem küme teorisinin aksiyomları). Dolayısıyla bu aksiyom sistemindeki süreklilik hipotezi ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir (bu aksiyom sisteminin tutarlı olması şartıyla).

1900 yılında Paris'te İkinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi düzenlendi. Bu konu, raporunda matematik, geometri, cebir, topoloji, sayı teorisi ve olasılık teorisi ile ilgili o zamanın en önemli 23 önemli problemini gündeme getiren Alman bilim adamı Profesör David Hilbert tarafından ele alındı.

Açık şu anda 23 problemden 16'sı çözüldü. Diğer 2 tanesi ise doğru matematik problemleri değil (biri çözülüp çözülmediğini anlamak için çok belirsiz bir şekilde formüle edilmiş, diğeri ise çözülmek bir yana, matematiksel değil fiziksel). Geriye kalan beş problemden ikisi hiçbir şekilde çözülememiş, üçü ise sadece bazı durumlarda çözülmüştür.

Hilbert sorunlarının tam listesi ve durumları:

1. Süreklilik hipotezi. Tamsayılar ve gerçel sayılar kümelerinin kardinalleri arasında kesinlikle sonsuz bir kardinal sayı var mıdır? 1963'te Paul Cohen tarafından çözüldü - sorunun cevabı küme teorisinde hangi aksiyomların kullanıldığına bağlıdır.

2. Aritmetiğin mantıksal tutarlılığı. Aritmetiğin standart aksiyomlarının çelişkiye yol açamayacağını kanıtlayın. Kurt Gödel tarafından 1931'de çözüldü: Küme teorisinin olağan aksiyomlarıyla böyle bir kanıt imkansızdır.

3. Eşit boyutlu tetrahedranın eşit bileşimi. İki tetrahedron aynı hacme sahipse, bunlardan birini sonlu sayıda çokgene bölüp ikincisini bunlardan birleştirmek her zaman mümkün müdür? 1901'de Max Dehn tarafından çözülen sorunun cevabı olumsuzdur.

4. Olarak yönlendirin en kısa mesafe iki nokta arasında. Geometri aksiyomlarını temel alarak formüle edin bu tanım yönlendirin ve aşağıdakileri görün. Görev, kesin bir çözüme güvenilemeyecek kadar belirsiz, ancak pek çok şey yapıldı.

5. Türevlenebilirliğe dayanmadan yalan grupları. Dönüşüm grupları teorisindeki teknik sorun. Yorumlardan birinde 1950'lerde Andrew Gleason, diğerinde ise Hidehiko Yamabe tarafından çözüldü.

6. Fizik aksiyomları. Olasılık teorisi veya mekanik gibi fiziğin matematiksel alanları için kesin bir aksiyom sistemi geliştirin. Olasılıklar için bir aksiyom sistemi 1933'te Andrei Kolmogorov tarafından oluşturuldu.

7. İrrasyonel ve aşkın sayılar. Bunu kanıtla belirli sayılar irrasyonel veya aşkındır. 1934'te Alexander Gelfond ve Theodor Schneider tarafından çözüldü.

8. Riemann hipotezi. Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan tüm sıfırlarının kritik çizgide bulunduğunu kanıtlayın. 9. Bölüme bakın.

9. Sayı alanlarında karşılıklılık yasaları. Özetle klasik hukuk ikinci dereceden karşılıklılık (kareler modulo hakkında) daha fazlasına yüksek dereceler. Kısmen çözüldü.

10. Diofant denklemlerinin çözümlerinin varlığı için koşullar. Belirli bir şeyin olup olmadığını belirlemenize olanak tanıyan bir algoritma bulun. polinom denklemi tam sayılarda birçok karar değişkeni ile. İmkansızlık 1970 yılında Yuri Matiyasevich tarafından kanıtlandı.

11. İkinci dereceden şekiller katsayılar olarak cebirsel sayılarla. Çok değişkenli Diophant denklemlerini çözmenin teknik sorunları. Kısmen çözüldü.

12. Abelian cisimleri üzerine Kronecker teoremi. Kronecker teoreminin genelleştirilmesine ilişkin teknik konular. Henüz kanıtlanmadı.

13. Fonksiyonları kullanarak yedinci dereceden denklemleri çözme özel tip. Yedinci dereceden genel bir denklemin iki değişkenli fonksiyonlar kullanılarak çözülemeyeceğini kanıtlayın. Yorumlardan birinde böyle bir çözümün olasılığı Andrei Kolmogorov ve Vladimir Arnold tarafından kanıtlandı.

14. Tam bir fonksiyonlar sisteminin sonluluğu. Hilbert'in cebirsel değişmezlere ilişkin teoremini tüm dönüşüm gruplarına genişletin. 1959'da Masayoshi Nagata tarafından yalanlandı

15. Schubert'in sayısal geometrisi. Hermann Schubert, çeşitli geometrik konfigürasyonları hesaplamak için titiz olmayan bir yöntem buldu. Buradaki zorluk bu yöntemi titiz hale getirmektir. Hala tam bir çözüm yok.

16. Eğrilerin ve yüzeylerin topolojisi. Belirli bir dereceye sahip bir cebirsel eğrinin kaç bağlantılı bileşeni olabilir? Belirli bir dereceye sahip bir cebirsel diferansiyel denklemin kaç farklı periyodik döngüsü olabilir? Sınırlı promosyon.

17. Sunum belirli formlar karelerin toplamı olarak. Eğer rasyonel fonksiyon her zaman negatif olmayan değerler aldığına göre, bunun mutlaka kareler toplamı olarak mı ifade edilmesi gerekir? Emil Artin, D. Dubois ve Albrecht Pfister tarafından çözüldü. Gerçek sayılar için doğru, diğer bazı sayı sistemlerinde yanlış.

18. Alanın çokyüzlülerle doldurulması. Uzayı uyumlu çokyüzlülerle doldurmaya ilişkin genel sorular. Kepler'in artık kanıtlanmış hipoteziyle ilgilidir (bkz. Bölüm 5).

19. Varyasyon hesabında çözümlerin analitikliği. Varyasyon hesabı "en kısa eğriyi bulun" gibi sorulara yanıt verir. verilen özellikler" Eğer böyle bir problem güzel fonksiyonlar kullanılarak formüle ediliyorsa, çözümün de güzel olması gerekir mi? 1957'de Ennio de Giorgi ve John Nash tarafından kanıtlandı.

20. Sınır değer problemleri. Çözümleri anlayın diferansiyel denklemler Uzayın belirli bir bölgesindeki fizik, eğer çözümün özellikleri bu bölgeyi sınırlayan yüzeyde belirtilmişse. Çoğunlukla çözüldü (birçok matematikçi katkıda bulundu).

21. Belirli bir monodromiye sahip diferansiyel denklemlerin varlığı. Tekillik noktaları ve monodromi grubu hakkındaki veriler kullanılarak anlaşılabilen özel bir tür karmaşık diferansiyel denklem. Bu verilerin herhangi bir kombinasyonunun var olabileceğini kanıtlayın. Cevap, yoruma bağlı olarak “evet” veya “hayır”dır.

22. Otomorfik fonksiyonlar kullanılarak tekdüzeleştirme. Denklemlerin basitleştirilmesiyle ilgili teknik soru. Paul Koebe 1900'den kısa bir süre sonra karar verdi.

23. Varyasyon hesabının geliştirilmesi. Hilbert, varyasyon hesabı alanında yeni fikirler çağrısında bulundu. Çok şey yapıldı, ancak formülasyon sorunun çözülmüş sayılması için çok belirsiz.

GOU Spor Salonu No. 000

"Moskova Şehri Pedagoji Spor Salonu-Laboratuvarı"

Soyut

Hilbert'in problemleri ve Sovyet matematiği

Efremova Ekaterina

Danışman:

Giriiş................................................. ....... ................................................... ................................................................... ...2

§1. Kısa biyografi David Gilbert................................................. ....................................4

§2. Hilbert'in sorunları................................................. ................................................................... ......... ................5

§3. Sovyet matematikçilerinin Hilbert problemlerinin çözümüne katkısı.................................................. ...........7

§4. Sovyet matematikçilerinin çözdüğü problemler.................................................. ...................... 9

Çözüm................................................. .................................................. ......................................................10

Referanslar.................................................. ....... ................................................... .....................................11

giriiş

Özetim Hilbert'in problemleri ve Sovyet matematiği hakkındaki bir makaleye ayrılmıştır. Makale Demidov tarafından yazıldı ve Fizik ve Matematik dergisinin Kasım sayısında yayınlandı. popüler bilim dergisi 1977'de "Kuantum".

Okul çocukları ve öğrencilere yönelik bu dergi, kitlesel okuyucu için tasarlandı. Makalenin yayınlandığı tarihte dergi Nauka yayını tarafından yayınlanıyordu. Kvant'ı yaratma fikri ilk olarak 1964'te Akademisyen Pyotr Leonidovich Kapitsa tarafından dile getirildi ve yalnızca Ocak 1970'te Akademisyen Isaac Konstantinovich Kikoin'in baş editör olduğu derginin ilk sayısı yayınlandı. 1985 yılında UNESCO uzmanlarına göre Quant, kendi türünde benzersiz bir dergiydi.

Hilbert'in sorunları yirmi üç listeden oluşuyor temel problemler ikinci konferansta David Hilbert tarafından sunulan matematikçiler Uluslararası Kongre 1900'de Paris'teki matematikçiler. Bu problemler matematiğin temellerini (1, 2 problem), cebiri (13, 14, 17 problem), sayılar teorisini (7, 8, 9, 10, 11, 12 problem), geometriyi (3, 4, 18 problem), topoloji (16 problem), cebirsel geometri (12, 13, 14, 15, 16, 22 problem), Lie grupları (5, 14, 18 problem), reel ve kapsamlı analiz(13, 22 problem), diferansiyel denklemler (16, 19, 20, 21 problem), matematiksel fizik ve olasılık teorisi (problem 6) ve ayrıca varyasyonlar hesabı (problem 23). O zaman bu sorunlar çözülmedi. Şu anda yirmi üçten on dokuzu çözüldü, daha doğrusu on beşi çözüldü, geri kalan dördünün ise yalnızca kısmi bir çözümü var. İki tane daha doğru matematik problemi değil, çünkü biri çözülüp çözülmediğini anlamak için çok belirsiz bir şekilde formüle edilmiş, ikincisi ise matematikten çok fiziksel. Geriye kalan ikisinin (8.16) cevabı hala bir sırdır.

Ancak bu makaledeki vurgu Hilbert'in sorunları değil, Sovyet matematiğidir. Rusya'nın uzun süre Fransa ve Almanya gibi güçlü bir matematik gücü olmadığını anlatıyor. O zamana kadar Rusya matematik okullarını tanımış ve Lobaçevski ve Çebyşeva gibi seçkin matematikçiler yetiştirmişti. Demidov'un makalesi Rusya'nın bilimde nasıl büyüdüğünü ve matematikte nasıl zirveye ulaştığını gösteriyor. Bunun önemli olduğunu düşünüyorum çünkü her şeyin bir anda verilmediğini, her şeyin emek verilerek elde edilmesi gerektiğini gösteriyor. Bilim adamlarının dünya çapında tanınmak için bile bilimde uzun bir yol kat etmeleri gerekiyordu.

Bu makale, 1969 yılında Rusya'da yayınlanan, dünya çapındaki bilim adamlarının Hilbert'in problemlerini çözmedeki başarılarından bahseden bir kitaba dayanmaktadır. Ama bu kitaptan yazmıyorum çünkü önemli bir şey gerektiriyor matematik eğitimi Hatta bazı bölümleri anlamak için üniversite dersi bile yeterli olmuyor. Ayrıca, yayınlandığı andan makalenin yazıldığı ana kadar Hilbert'in sorunlarının incelenmesiyle ilgili durum da çok değişti. Matematik zaten hızlı bir gelişme aşamasındaydı; bilim adamları için sürekli yeni problemler ortaya çıkarıyordu. Bu, Hilbert'inki de dahil olmak üzere pek çok eski sorunun çözümünü bulamamış olmasına rağmen.

Bu makale örneğini kullanarak kendime Sovyet matematikçilerinin bu problemlerin çözümüne katkısını incelemeyi ve matematik biliminin yirminci yüzyılda nasıl geliştiğini görmeyi hedefledim.

Bu konuyu öncelikle kendim için ilginç buluyorum ve bu yüzden onu makalemin temeli olarak aldım. Bana öyle geliyor ki artık okul çocukları arasında matematik kavramı çok yüzeysel. Herkes olası tüm teoremlerin ve yasaların zaten keşfedildiğine inanıyor. Ancak bu gerçek olmaktan uzaktır. Matematik her gün ilerliyor ve yerinde durmuyor. Ve bu makale onun nasıl geliştiğini, yurttaşlarımızın onu nasıl geliştirdiğini gösteriyor. Ve dünya matematiği için ne yaptıklarını bilmenin önemli olduğunu düşünüyorum.

§1. David Gilbert'in Biyografisi

David Gilbert, 23 Ocak 1862'de Prusya'nın Königsberg yakınlarındaki Wehlau kasabasında yargıç Otto Gilbert'in ailesinde doğdu. Burada Wilselm Gymnasium'dan mezun oldu ve Königsberg Üniversitesi'ne girdi ve burada Hermann Minkowski ve Adolf ile arkadaş oldu. Hurwitz. Birlikte sıklıkla çözümü aktif olarak tartıştıkları uzun "matematik yürüyüşleri" yaptılar bilimsel problemler. Gilbert daha sonra bu tür yürüyüşleri öğrencilerinin eğitiminin ayrılmaz bir parçası olarak meşrulaştırdı.

1885'te Hilbert, değişmezler teorisi üzerine tezini savundu. bilimsel süpervizör Lindemann'ın olduğu ve gelecek yıl Königsberg'de matematik profesörü oldu. Sonraki birkaç yıl içinde Hilbert'in değişmezler teorisindeki temel keşifleri onu Avrupalı ​​matematikçiler arasında ön sıralara taşıdı.

Hilbert, 1895'te Felix Klein'ın daveti üzerine Göttingen Üniversitesi'ne taşındı. 35 yıl, neredeyse ömrünün sonuna kadar bu görevde kaldı.

1900 yılında İkinci Uluslararası Matematik Kongresi'nde Hilbert şunları formüle etti: ünlü listesi Daha fazla tartışılacak olan matematikte 23 çözülmemiş problem.

§2. Hilbert'in sorunları

“Hangimiz, bilgimizin yaklaşmakta olan başarılarına ve gelecek yüzyıllardaki gelişiminin sırlarına en azından bir bakışta nüfuz etmek için geleceğimizin arkasında saklı olduğu perdeyi kaldırmak istemeyiz? Gelecek neslin önde gelen matematik beyinlerinin kendilerine koyacakları özel hedefler neler olacak? Matematiksel düşüncenin geniş ve zengin alanında yeni yüzyılda hangi yeni yöntemler, yeni olgular keşfedilecek? Tarih, bilimin gelişiminin sürekli olduğunu öğretir. Her çağın kendine has sorunları olduğunu, sonraki çağın bu sorunları ya çözdüğünü ya da sonuçsuz bırakıp yerine yenilerini getirdiğini biliyoruz. Yakın gelecekte matematiğin gelişiminin olası doğasını hayal edebilmek için, hayal gücümüzde hala açık kalan soruların üzerinden geçmeli, matematik biliminin ortaya çıkardığı sorunları araştırmalıyız. modern bilim ve çözümlerini gelecekten beklediğimiz bir konu. Bugün, yeni yüzyılın başında, sorunların bu şekilde gözden geçirilmesi bana özellikle zamanında geldi.” – D. Hilbert, 8 Ağustos 1900'deki ikinci matematik kongresindeki beşinci ve altıncı bölümlerin toplantısında raporuna böyle başladı.

Hilbert'in raporundaki ilk altı problem çeşitli matematik disiplinlerinin gerekçelendirilmesiyle ilgilidir, sonraki dokuzu ise daha fazlasıyla ilgilidir. özel konular cebir, cebirsel geometri ve sayılar teorisi, geri kalan sekizi - fonksiyonlar teorisi, diferansiyel denklemler ve varyasyon hesabı.

Bu sorunlardan bazılarının Hilbert'ten çok önce ortaya atıldığını belirtmek gerekir. Böylece listedeki ilk sorun olan süreklilik sorunu 1878'de G. Cantor tarafından ortaya atılmış, üçüncü sorunla ilgili konular ise K. Gauss tarafından Gerling'le yazışmalarında tartışılmıştır. Sekizinci problemin içeriğini oluşturan sorulardan biri de sıfırlarla ilgili hipotezdir.

zeta fonksiyonu - 1859'da B. Riemann tarafından ortaya atıldı, bir diğeri Goldbach hipotezi olarak adlandırıldı - 1742'de ikincisinin L. Euler'e yazdığı mektupta ve son olarak 21. problem - 1857'de B. Riemann tarafından ortaya atılan bir problem. Yazarı Hilbert'in kendisi olan geri kalan sorunlar, o zamana kadar onun ortaya çıkardığı sorunların yalnızca bir kısmını oluşturuyor. Bu koşullar öne çıkıyor özel karakter Raporda yer alan problemlerin seçimi - Hilbert'in görüşüne göre burada yalnızca en önemlileri, o zamanlar matematikte karşılaşılan görevler yer alıyor; bunların üzerinde düşünülmesi "gelişimin olası doğasını hayal etmeye" yardımcı olabilir. matematik bilgisi yakın gelecekte."

Açık verilen zaman 113 yıl geçmesine rağmen iki ünlü sorun hala çözülmedi. Yani sekizinci (Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları hakkında) ve on altıncı (limit döngüleri hakkında). Dünyanın her yerindeki bilim insanları bu sorunları çözmeyi düşünüyor ancak henüz bir çözüm bulamadılar ve tahminler de henüz çok net değil.

Tüm problemlerden sadece on iki problem çözüldü, bunlardan ikisi çürütüldü. Ayrıca üçü ifadenin açıklığa kavuşturulmasını gerektirir ve biri çözülemez.

Ayrıca var ilginç gerçek Başlangıçta 24 Hilbert problemi vardı. Ancak rapora hazırlanma sürecinde Gilbert bunlardan birinden vazgeçti. Sorun yüz yıl sonra keşfedildi Alman tarihçi Gilbert'in notlarında. Bu problem basit ve basit kriterinin kanıtlanması teorisiyle ilgiliydi. ortak yöntemler. Prensip olarak bu sorun da çözülmedi, ancak kimse bunun hakkında resmi olarak konuşmadı. Bu yüzden çözmeye çalışmadılar.

§3. Sovyet matematikçilerinin Hilbert problemlerinin çözümüne katkısı

Ayrıca bu problemlerin çözümünde dünyanın farklı ülkelerinden birçok yetenekli matematikçinin ve Hilbert'in yanı sıra yerli matematikçiler de yer aldı. O zamanlar Rusya, Fransa veya Almanya gibi henüz matematiksel bir güç değildi, ancak zaten matematik okulları vardı. Kongrelerdeki Rus delegasyonları çok fazla değildi, yaklaşık 9 kişiydi. Ve bu Almanya (25) ve Fransa (90) ile karşılaştırıldığında küçük. Bu kongrede heyet sadece bir rapor sundu: “İşlevin ortadan kalkması üzerine N birkaç değişken."

Rusya'da Hilbert'in problemlerini çözmeye yönelik ilk çalışma, Kagan'ın 1903'te üçüncü problem üzerine yaptığı çalışma olarak kabul ediliyor. Her ne kadar çözülmemiş olsa da araştırmalar ispatı büyük ölçüde basitleştirdi. Rusya'da sorunların çözümüne aktif katılım bu sorunla başladı.

Ve bir yıl sonra, genç bir bilim adamı, daha sonra akademisyen olan Berenstein, on dokuzuncu sorunu tamamen çözdü. Bu problemlerin gelişimi Sovyet matematikçilerine belli bir ün kazandırdı, çünkü onlar hakkında daha önce çok az şey biliniyordu.

Yirminci yüzyıl boyunca bilim insanları problemleri değişen derecelerde başarı ile çözdüler. Böylece 1929'da Gelfond, Hilbert'in yedinci problemine kısmi bir çözüm buldu ve 1934'te de nihai çözümünü verdi. Bazı Alman matematikçiler bu problem üzerinde çalıştılar ve yavaş yavaş sonuçlara vardılar. Sayesinde birlikte çalışmak bilim adamları ve yedinci sorun da diğerleri gibi kanıtlandı.

Hilbert'in sekizinci problemi asal sayılar teorisiyle ilgili çeşitli problemlerden oluşuyor. Burada alınan herkes yeni gerçek son derece önemli bir olaydı. Bu problemlerden biri de Goldbach problemi olarak adlandırılan problemdir: Altıdan büyük veya altıya eşit her tam sayının üç asal sayının toplamı olduğunu kanıtlamak.

Değil için gerekli genişletmeleri bulmak kolaydır büyük sayılar:

6 = 2 + 2 + 2,

7 = 3 + 2 + 2,

15 = 3 + 5 + 7.

Ancak bu hipotezi büyük sayılar üzerinde test edin uzun zamandır işe yaramadı. Sorunun çözümüne yönelik herhangi bir yaklaşım bulmak mümkün olmadı. 1912'deki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde bu sorunun imkansız çözümüne ilişkin bir raporun olduğu noktaya geldi. 1937'de tek sayılar sorununu çözmeyi başaran olağanüstü Sovyet matematikçisi akademisyenin sonucu daha da sansasyoneldi. Bu sonuç ve onu elde etme yöntemi, 20. yüzyılın en göze çarpan matematik başarıları arasında sayılıyor. Bu yöntem daha sonra sayılar teorisindeki birçok problemin çözümünde başarıyla kullanıldı. 1946'da akademisyen, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisindeki yöntemleri kullanarak teoremin başka bir kanıtını verdi.

Bu sorunların çözümüne katkıda bulunan birçok Rus bilim adamından detaylı olarak bahsedebiliriz, çünkü sorunun çözümünde yapılan küçük bir keşif bile zaten çok şey ifade ediyordu ve bizi çözüme yaklaştırıyordu.

§4. Sovyet matematikçilerinin çözdüğü problemler

Modern matematikçiler tarafından çözülen veya yaklaştıkları problemlerin listesi:

1. 1903'te Hilbert'in üçüncü probleminin çözümünü önemli ölçüde kısaltan ve basitleştiren araştırma;

2. 1904'te on dokuzuncu soruna bir çözüm buldu

3. 1908-1909 tarihli eserlerinde önemli sonuçlar yirminci problemle ilgili olarak;

4. 1929'da Hilbert'in yedinci problemine kısmi bir çözüm getirdi;

5. Hilbert'in on altıncı problemi üzerinde çalıştı ve 1933'te bu problemlerden birini çözdü;

6. 1934'te verdi nihai karar yedinci sorun;

7. Beşinci problemin çözümünde ilerleme kaydetti ve problemi sırasıyla 1934 ve 1946'da çok önemli durumlarda kanıtladı, ancak tamamen çözemediler;

8. On dokuzuncu problemin sonuçları 1937'de elde edildi;

9. 1937'de tek sayılara ilişkin sekizinci problemin bir kısmını çözdü;

10. İkinci problemin en dikkat çekici kanıtlarından biri 1943 yılında bir akademisyen tarafından elde edilmiştir;

11. 1949 tarihli çalışmasında (ile birlikte) on dokuzuncu probleme ilişkin sonucunu genelleştirdi;

12. 1954 yılında akademisyen on üçüncü problemin çözümünde ilerleme kaydetti;

13. 1960 yılında Leningradlı matematikçiler Hilbert'in on dokuzuncu ve yirminci problemlerine ilişkin sonuçların bir "ortaklaşması"nı elde ettiler;

14. Onuncu sorun nihayet 1970 yılında çözüldü;

Çözüm

Hilbert'in sorunları en çok karmaşık görevler dünya matematiği. Ancak onların çözümü, Rus matematiğinin neredeyse sıfırdan dünya çapında üne kavuşmasına yardımcı oldu. 20. yüzyılın başında sadece birkaç matematikçi biliniyordu, o zaman sonuna gelindiğinde Rusya büyük bir matematik gücü olarak biliniyordu. Okullar ve üniversiteler kuruldu matematiksel yönler. Matematik artık hızlı bir gelişim aşamasındadır; bilim insanları için sürekli yeni ve yeni problemler ortaya çıkarmaktadır. Ve pek çok eski sorun (Hilbert'in bazı sorunları dahil) henüz çözümünü bulamadı. Pek çok insan matematiği "ölü bir bilim" olarak görüyor ama öyle değil. Matematikçiler onu sürekli geliştiriyorlar.

Ve bazı problemlerin varlığı matematiğin de kendi tarihine sahip olduğunu göstermektedir. Üstelik bu sorunları incelerken bu hikayenin çok ilginç olduğunu fark ettim. Kendim için birçok yeni şey öğrendim; çoğu kişi için matematik yalnızca bir dizi formül, kanıt, teorem ve aksiyomdur. Yani matematik yaşayan bir bilimdir. Nasıl ki dünya her gün yaşıyor ve tarihe geçiyorsa, matematik de kendi tarihini yazıyor.

Ayrıca 20. yüzyılın matematik için, özellikle de Rusya'daki matematik için ne kadar önemli olduğunu da gördüm. Sonuçta bu yüzyılda çok şey değişti. Kısmen Sovyet matematikçileri sayesinde bilimde inanılmaz bir sıçrama yaşandı.

Referanslar

1) Bolibrukh “Matematiksel Aydınlanma” Sayı 2. “Hilbert'in Sorunları (100 Yıl Sonra).” // Moskova, 1999.

2) Demidov S. Popüler bilimsel fiziko-matematik dergisi "Kvant". // Moskova, Kasım, 1977.

ÖNSÖZ

Okuyucunun dikkatine sunulan koleksiyonda ilk kez Rusçaya çevrilen metin yer alıyor ünlü rapor Hilbert'in "Matematiksel problemler", 6-12 Ağustos 1900 tarihleri ​​arasında Paris'te düzenlenen II. Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde sunuldu.

Kongreye Fransa'dan 90, Almanya'dan 25, ABD'den 17, İtalya'dan 15, Belçika'dan 13, Rusya'dan 9, Avusturya ve İsviçre'den 8'er, İngiltere ve İsveç'ten 7'şer, 4'er kişi olmak üzere 226 kişi katıldı. Danimarka'dan 3'er, Hollanda, İspanya ve Romanya'dan 3'er, Sırbistan ve Portekiz'den 2'şer, Güney Amerika, Türkiye, Yunanistan, Norveç, Kanada, Japonya ve Meksika birer delege gönderdi.

Kongrenin ana dilleri İngilizce, Fransızca, Almanca ve İtalyanca idi.

Henri Poincaré Kongre Başkanı seçildi, bulunmayan Charles Hermite (1822 - 1901) onursal başkan seçildi, E. Chuber (Viyana), K. Geyser (Zürih), P. Gordan (Erlangen), A. Greenhill (Londra) başkan yardımcılığına seçildiler, L. Lindelof (Helsingfors), F. Lindemann (Münih), G. Mittag-Leffler (Stockholm), yok E. Moore (Chicago), M. A. Tikhomandritsky (Kharkov), V. Volterra (Torino). , G. Zeiten (Kopenhag), Kongre sekreterleri - I. Bendikson (Stockholm), A. Capelli (Napoli), G. Minkowski (Zürih), I. L. Ptashitsky (St. Petersburg) ve bulunmayan A. Whitehead (Cambridge) ).

E. Duporcq (Paris) Kongre Genel Sekreteri seçildi.

Altı bölüm vardı: 1) aritmetik ve cebir (başkan D. Hilbert, sekreter E. Cartan),

5. ve 6. bölümler bir aradaydı.

Kongrenin açılış gününde genel kurulda iki saatlik bir rapor sunuldu: M. Cantor “Matematik tarihi yazımı üzerine”, J. Montucl ve G. Libri ve V. Volterra'nın E. Betti, F. Brioschi ve F. Casorati'nin bilimsel faaliyetleri üzerine.

Ardından, L. Dixon, G. Mittag-Leffler, D. Gilbert, J. Hadamard, A. Capelli, I. Fredholm, I. Bendixson, V. Volterra ve diğerleri dahil olmak üzere 46 raporun sunulduğu ara oturumları başladı. .

Rus matematiği Kongrede M.A.'nın tek bir mesajıyla temsil edildi. Tikhomandritsky "İşlevin ortadan kalkması üzerine N birkaç değişken."

Son genel kurul toplantısında Weierstrass'ın hayatının son yıllarını S. V. Kovalevskaya'ya yazdığı mektuplara dayanarak anlatan G. Mittag-Leffler ve “Matematikte sezgi ve mantığın rolü üzerine” bir rapor hazırlayan A. Poincaré konuştu. ”

8 Ağustos'ta 5. ve 6. bölümlerin ortak toplantısında D. Hilbert'in “Matematik Sorunları” raporunu okuduğu Kongre böyle gerçekleşti.

D. Sintsov'un* yazdığı gibi, "Hilbert'in mesajı, orada bulunanların, Hilbert'in sıraladığı sorunlardan bazılarının tamamen veya kısmen çözüldüğünü belirten bir dizi yorum yapmasına neden oldu"**. O zamana kadar, Göttingen'de 38 yaşında bir profesör olan Hilbert, değişmezler teorisi ve teori üzerine yaptığı çalışmalarla zaten geniş çapta biliniyordu. cebirsel sayılar. 1899 yılında matematiğin temellerinde bir dönem oluşturan ünlü “Geometrinin Temelleri” yayımlandı. Hilbert'in yeteneğinin inanılmaz çok yönlülüğü ve genelleme gücü, matematiğin çeşitli alanlarında kolayca gezinmesine olanak tanıdı; neredeyse her birinde olağanüstü sonuçlar elde etti ve çok sayıda başarı elde etti. önemli konular.

* D. M. Sintsov, İkinci Uluslararası Matematik Kongresi, Phys.-Math. Bilimler (2) 1, Sayı. 5 (1901), 129-137.

** Muhtemelen raporun orijinal metnindeki sorun sayısı yirmi üçü aşmıştır.

Hilbert'e göre en ilginç sorunlar şunlardır: "araştırmaları önemli ölçüde teşvik edebilir daha fazla gelişme bilim", Raporunda matematikçilere önerdiği şey buydu. O zamandan bu yana bir yüzyılın üçte ikisi geçti. Hilbert'in problemleri bu dönem boyunca geçerliliğini korudu ve en yetenekli matematikçilerin çabaları onların çözümüne uygulandı. İçerikle ilgili fikirlerin geliştirilmesi bahsedilen problemler 20. yüzyıl matematiğinin önemli bir bölümünü oluşturdu.

Raporun ana bölümünün çevirisi (15. ve 23. problemlerin metni ve sonuç hariç) Gottinger Nachrichten'de (1900, 253-297) yayınlanan metinden M. G. Shestopal tarafından yapılmış ve I. N. Bronstein ve tarafından gözden geçirilmiştir. Bir dizi editoryal değişiklik ve değişiklik yapan I. M. Yaglom. 15. ve 23. sorunların metni ile raporun son kısmı A. V. Dorofeeva tarafından çevrildi. Çeviri, Hilbert'in Toplu Eserler kitabının üçüncü cildinde (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935) yer alan bir raporun yayınlanması için yaptığı eklemeleri içermektedir; bunlar metinde köşeli parantez içine alınmıştır. Çeviri, İngilizce çeviriyle (Bull. Amer. Math. Soc. 8, No. 10 (1902), 403-479) ve ayrıca Moskova Devleti matematik ve mekanik tarihi ofisinde yapılan çeviriyle doğrulandı. Üniversite, A. V. Dorofeeva ve M. V. Chirikov *.

* Bu çeviri, Hilbert'in problemlerinin tarihsel ve matematiksel analizine yönelik, Moskova Devlet Üniversitesi matematik ve mekanik tarihi ofisinde prof. K. A. Rybnikova.

Bilinen bir zorluk, bazı eski matematik terimlerinin çevrilmesiydi. Bazı durumlarda, transferin yanında parantez Almanca bir terim dahil edilmiştir ve bir durumda (Polarenprocess) terimi tercüme edilmeden bırakılmıştır. Çevirmenler, Hilbert'in raporunun tuhaf, hatta bazen acıklı dilini Rus okuyucuya aktarmak için çok çalıştılar. Sayı yorumlarının yazarları, ilgili sayıların çevirilerini gözden geçirmeyi kabul etti ve bir takım önemli düzeltmeler yaptı.

Hilbert'in raporunun 20. yüzyılda matematik için oynadığı olağanüstü önemi değerlendirin. koleksiyonun ikinci bölümünü oluşturan sorunlara ilişkin yorum yapılmasına olanak sağlayacağını umuyoruz. Hilbert'in problemlerini çözme yönünde elde edilen ana sonuçlara genel bir bakış içeren bu tür yorumların oluşturulması, bireysel yazarlar tarafından halihazırda üstlenilmiştir *. Ancak matematiğin ilgili alanlarında tanınmış uzmanların katılımıyla bu tür çalışmalar bildiğimiz kadarıyla ilk kez yapılıyor.

* L. Bieberbach, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; S.S. Demidov, Hilbert'in sorunlarının tarihi üzerine. IMI, cilt. 17, "Bilim", 1967, 91-121.

Bu kitabın yayınlanması, birçok kişinin ilgisi ve yardımı ile büyük ölçüde kolaylaştırılmıştır; bunların arasında, Moskova Devlet Üniversitesi'nin matematik ve mekanik tarihi üzerine seminere katılanları, özellikle de liderleri Profesör I.G. Bashmakov, K.A. Rybnikova, A.P. Yuşkeviç, merhum S.A. Yanovskaya ve çalışan Matematik Enstitüsü adını V.A. Steklov SSCB Bilimler Akademisi A.N. Tavsiyeleri ve yardımları yayının iyileştirilmesine büyük ölçüde yardımcı olan Parshin'e teşekkür ederiz.

S. S. Demidov

HILBERT'İN SORUNLARI HAKKINDA BİRKAÇ SÖZ

1900 yılında Paris'te düzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi'nde seçkin Alman matematikçi David Hilbert "Matematik Problemleri" başlıklı bir sunum yaptı. Bu rapor daha sonra orijinal haliyle ve çevirileriyle birkaç kez yayımlandı *; Orijinalin son baskısı Gilbert'in toplu eserlerinin üçüncü cildinde bulunmaktadır**.

* İlk olarak Arcbiv f. Matematik. u Phys., Ill serisi, 1 (1901), 44-63, 213-237.

** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, cilt III, 1935, 290-329.

Gilbert'in raporunun Rusça çevirisi ileriki sayfalarda basılmıştır.

Bildiğim kadarıyla ne Hilbert'in 1900 tarihli raporundan önce ne de bu rapordan sonra matematikçiler bu konuda bir açıklama yapmadılar. bilimsel raporlar, genel olarak matematik problemlerini kapsar *. Böylece Hilbert'in raporunun matematik tarihinde ve matematik literatüründe tamamen benzersiz bir olgu olduğu ortaya çıkıyor. Ve şimdi, Hilbert'in raporunu sunmasının üzerinden neredeyse 70 yıl geçmesine rağmen, rapor önemini ve önemini koruyor.

* Amerikalı matematikçi J. von Neumann'ın 1954'te Amsterdam'daki Uluslararası Matematik Kongresi'ndeki raporu bu ifadeyi çürütmüyor: Von Neumann'ın raporunun "Matematikte Çözülmemiş Problemler" olarak adlandırıldığı doğrudur, ancak konuşmacı raporuna başladı. Hilbert, deliliği taklit etmeyi düşüneceğini ifade ederek genel olarak matematiğin problemlerinden bahsediyor ancak kendisini yalnızca matematiğin bazı alanlarındaki (özellikle fonksiyonel analize yakın alanlardaki) problemlerle sınırlama niyetinde. Von Neumann'ın raporu yayınlanmadı; Amsterdam Kongresi Bildirileri'nde bu konuda yayınlanan tek şey, raporun taslağının yayıncıların erişimine açık olmamasıydı; görünüşe göre yok. Dolayısıyla bu rapor şu anda yalnızca onu dinleyenlerin anılarına göre değerlendirilebilir.

Tüm gelişim için modern matematik Hilbert'in matematiksel düşüncenin neredeyse tüm alanlarını kapsayan olağanüstü bir etkisi vardı; Bu, Hilbert'in matematiksel düşüncenin gücünün nadir genişlik ve çok yönlülükle birleştiği bir matematikçi olmasıyla açıklanmaktadır. Bu çok yönlülük, tabiri caizse oldukça bilinçliydi: Hilbert, matematiğin birleşik olduğunu, çeşitli parçalarının birbirleriyle ve doğa bilimleriyle sürekli etkileşim içinde olduğunu ve bu etkileşimin sadece özü anlamanın anahtarı olmadığını sürekli vurguluyor. kendisi matematik ama aynı zamanda en iyi çare Matematiğin ayrı, birbiriyle bağlantısız parçalara bölünmesine karşı - bu, niceliksel büyümenin muazzam olduğu ve matematiksel araştırmalarda korkutucu uzmanlaşmanın yaşandığı çağımızda, bir tehlikedir.
sürekli kendinizi düşünmenizi sağlar. İLE büyük güç ve Hilbert, özellikle dikkate değer raporunun sonunda, tüm doğru doğa bilimleri bilgilerinin temeli olarak matematiğin bütünsel doğası hakkında inançla konuşuyor. Onun bu konudaki inancı, raporunun tamamı için büyük ölçüde yol gösterici bir konu olarak hizmet ediyor ve şüphesiz birçok durumda, öne sürdüğü matematik problemlerinin seçiminde yazara rehberlik ediyor.

Rapor ilginç, ilham verici, yazılı bir genel giriş bölümüyle başlıyor; bu bölüm yalnızca "iyi oluşturulmuş" özel bir problemin matematik açısından öneminden bahsetmekle kalmıyor, aynı zamanda matematiksel kesinlik, matematiğin matematikle bağlantısı hakkında yargılarda da bulunuyor. doğa bilimleri ve kendi bilimi hakkında aktif olarak düşünen her matematikçiyi ilgilendiren diğer şeyler hakkında. Bu giriş bölümünün sonunda Hilbert, çarpıcı bir farklılık ve inançla ana tezini, yani herhangi bir matematik probleminin geniş anlamıyla çözülebilirliği hakkındaki “aksiyomu” ifade eder; içeriği sınırsız olana derin bir güven olan bir tezdir. insan bilgisinin gücü ve her türlü agnostisizme karşı - saçmalığa karşı - uzlaşmaz bir mücadele "İgnorabimus" * Gilbert'in başka bir yerde söylediği gibi.

* "İgnorabimus"(enlem.) - "bilmeyeceğiz"- biri ünlü konuşmalar fizyolog E. Dubois-Reymond (bazı belirsiz bilimsel sorulara uygulandığı gibi) şu ünlemle bitirdi: “Ignoramus et ignorabimus” - bilmiyoruz ve bilemeyeceğiz!

Daha sonra sorunların kendisi gelir. Küme teorisi (süreklilik problemi) ve matematiğin temeli ile başlarlar, geometrinin temellerine, sürekli gruplar teorisine (sürekli grup kavramının türevlenebilirlik gerekliliğinden kurtarılmasına ilişkin ünlü beşinci problem) geçerler. Sayı teorisi, cebir ve cebirsel geometri ile başlayıp analizle bitirin (diferansiyel denklemler, özellikle kısmi türevler, varyasyon hesabı). Altıncı problem - olasılık teorisi ve mekaniğinin aksiyomatikleri ile ilgili - özel bir yer işgal ediyor.

Doğası gereği Hilbert'in sorunları oldukça heterojendir. Bazen bu, örneğin aşkın sayılarla ilgili geometrik üçüncü problem veya aritmetik yedinci problem gibi net bir cevabın (evet veya hayır) arandığı özel olarak sorulan bir sorudur. Bazen problem, örneğin on ikinci problemde olduğu gibi, daha az açık bir şekilde ortaya konulur (Hilbert buna özellikle dikkat etmiştir). önemli), burada hem Kronecker teoreminin genellemesini hem de üstel ve modüler olanların yerini alması gereken karşılık gelen fonksiyon sınıfını bulmamız gerekiyor.

On beşinci problem, özünde, cebirsel çeşitler teorisinin tamamını doğrulama problemidir.

Bazen bu sayının altındaki sorun aslında birbiriyle yakından ilişkili olsa da birkaç farklı sorunu içerir. Son olarak, yirmi üçüncü problem, özü itibariyle, varyasyon hesabının daha da geliştirilmesi problemidir.

Hilbert'in problemlerini ortaya koymasından yıllar sonra, bunların iyi bir şekilde ortaya konduğunu söyleyebiliriz. Çeşitli matematikçilerin yaratıcı çabalarına odaklanmak için uygun bir nesne oldukları ortaya çıktı. bilimsel yönler ve okullar. Bu çabaların neler olduğu ve hangi sonuçlara yol açtığı, Hilbert'in sorunlarından hangilerinin çözüldüğü ve hangilerinin henüz çözülmediği - okuyucu, bu sorunlara yapılan yorumlardan, kapsamlı bir bütünlükle olmasa da, bunu öğrenebilir.

Bu yorumların doğası biraz heterojendir (ki bu büyük ölçüde problemlerin doğası tarafından belirlenir) - bazıları üniversitelerin mekanik-matematik veya fizik-matematik fakültelerinin ilk iki dersinde matematiğe aşina olan bir okuyucu tarafından anlaşılabilir. veya pedagojik enstitüler, diğerleri ise oldukça yüksek matematik kültürü gerektirir. Her halükarda okuyucunun yorumların yazarlarına minnettar olacağını düşünüyorum.
Hilbert'in raporu olan, genel matematik literatürünün gerçekten olağanüstü eseriyle tanışmayı önemli ölçüde kolaylaştıran; Ek olarak, bana öyle geliyor ki, yorumlardan bu raporun matematiğin daha da gelişmesi üzerindeki etkisi anlaşılabilir.

P. S. Alexandrov

Aramızdan kim, bilgimizin yaklaşmakta olan başarılarına ve gelecek yüzyıllardaki gelişiminin sırlarına en azından bir bakışta nüfuz etmek için geleceğimizin gizlendiği perdeyi kaldırmak istemez? Gelecek neslin önde gelen matematik beyinlerinin kendilerine koyacakları özel hedefler neler olacak? Matematiksel düşüncenin geniş ve zengin alanında yeni yüzyılda hangi yeni yöntemler, yeni olgular keşfedilecek?

Tarih, bilimin gelişiminin sürekli olduğunu öğretir. Her çağın kendine has sorunları olduğunu, sonraki çağın bu sorunları ya çözdüğünü ya da sonuçsuz bırakıp yerine yenilerini getirdiğini biliyoruz. Yakın gelecekte matematiksel bilginin gelişiminin olası doğasını hayal etmek için, hayal gücümüzde hala açık kalan soruları gözden geçirmeli, modern bilimin ortaya çıkardığı sorunları ve gelecekten çözümlerini beklediğimiz sorunları araştırmalıyız. Sorunların bu şekilde gözden geçirilmesi, bugün, yeni yüzyılın başında, bana özellikle zamanında gelmiş gibi görünüyor. Sonuçta büyük tarihler sadece geçmişe bakmamızı sağlamakla kalmaz, aynı zamanda düşüncelerimizi bilinmeyen geleceğe de yönlendirir.

İnkar etmek imkansız derin anlam, genel olarak matematik biliminin ilerlemesi için belirli sorunların neler olduğu ve bunların bireysel bir araştırmacının çalışmasında oynadıkları önemli rol. Herhangi bilimsel alan fazla sayıda yeni soruna sahip olduğu sürece yaşayabilir. Yeni sorunların olmaması, yok olmak veya sona ermek anlamına gelir bağımsız gelişim. Genel olarak her insan çabası bir hedefle bağlantılı olduğu gibi, matematiksel yaratıcılık da problemlerin formüle edilmesiyle bağlantılıdır. Araştırmacının gücü problem çözmede öğrenilir: Yeni yöntemler, yeni bakış açıları bulur, daha geniş ve daha özgür ufuklar açar.

Belirli bir görevin önemini önceden doğru bir şekilde değerlendirmek zordur ve çoğu zaman imkansızdır; çünkü sonuçta değeri bilime sağladığı faydalarla belirlenecektir. Bu şu soruyu akla getiriyor: İyi bir matematik problemini karakterize eden ortak özellikler var mı?

Bir eski Fransız matematikçişöyle dedi: "Bir matematik teorisi ancak onu, içeriğini ilk karşılaştığınız kişiye açıklamayı üstlenecek kadar açık hale getirdiğinizde mükemmel kabul edilebilir." Burada matematik teorisiyle ilgili olarak çok keskin bir şekilde ortaya konan bu açıklık ve kolay erişilebilirlik gerekliliğini, mükemmel olduğunu iddia eden bir matematik problemi ile ilgili olarak daha da keskin bir şekilde ortaya koyacağım; Sonuçta açıklık ve kolay erişilebilirlik bizi çekerken, karmaşıklık ve kafa karışıklığı bizi korkutuyor.

Ayrıca bir matematik problemi bizi cezbedecek kadar zor olmalı, aynı zamanda çabalarımızı umutsuz kılmayacak kadar da tamamen erişilemez olmamalıdır; gizli gerçeklere giden dolambaçlı yollarda yol gösterici bir işaret olmalı; o zaman bizi çözüm bulmanın sevinciyle ödüllendirmeli.

Geçen yüzyılın matematikçileri kendilerini tutkulu bir şevkle bireysel zor problemleri çözmeye adadılar; zor bir görevin değerini biliyorlardı. Sadece Johann Bernoulli'nin pozunu hatırlayacağım En hızlı düşüş çizgisiyle ilgili problem. Görevini açıklayan Bernoulli, "Tecrübelerin gösterdiği gibi" diyor, "hiçbir şey yüksek zekaları bilgiyi zenginleştirmeye çalışmak için zor ve aynı zamanda zor bir şeyin formülasyonu kadar güçlü bir şekilde motive edemez." yararlı görev"Ve bu nedenle, Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani ve (kendisinden önce) aynısını yapan diğer kişilerin örneğini takip ederek, kendi alanının seçkin analistlerine bir problem önerirse, matematik dünyasının minnettarlığını kazanmayı umuyor. Yöntemlerinin değerini test etmek ve güçlü yönlerini ölçmek için bunu bir mihenk taşı olarak kullanabilirler. Varyasyonlar hesabı, kökenini Bernoulli'nin bu problemine ve diğer benzer problemlere borçludur.

Fermat'ın iyi bilinen ifadesi Diophantine denklemidir

x n + y n = z n

tamsayılarda karar verilemez x, y, z, bazı belirgin istisnalar dışında. Bu karar verilemezliği kanıtlama sorunuözel ve görünüşte önemsiz bir problemin bilim üzerinde yaratabileceği uyarıcı etkinin çarpıcı bir örneğini sunuyor. Çünkü, Fermat'ın probleminin harekete geçirdiği Kummer, ideal sayıları tanıtmaya ve siklotomik alanlardaki sayıların ideal asal çarpanlara benzersiz şekilde ayrıştırılmasına ilişkin teoremi keşfetmeye geldi; herhangi bir cebirsel sayı alanına yapılan genellemeler sayesinde elde edilen bir teorem. Dedekind ve Kronecker tarafından yazılan, artık merkezi bir konumdadır. modern teori sayıların önemi sayı teorisinin çok ötesine geçerek cebir ve fonksiyon teorisi alanına uzanır.

Size başka ilginç bir sorunu hatırlatmama izin verin: üç vücut problemi. Poincaré'nin yeni bir düşünceye girişmesi ve bunu önemli ölçüde ilerletmesi zor görev, bu bilim adamının ortaya koyduğu verimli yöntemlere ve geniş kapsamlı ilkelere yol açtı. gök mekaniği Artık pratik astronomide de tanınan ve uygulanan yöntemler ve ilkeler.

Bahsedilen problemlerin her ikisi de - Fermat problemi ve üç cisim problemi - problem stokumuzda bir bakıma karşıt kutuplardır: birincisi soyut sayılar teorisi alanına ait olan saf aklın özgür başarısını temsil eder, ikincisi ise Astronomi tarafından ileri sürülür ve doğanın en basit temel fenomenlerinin bilgisi için gereklidir.

Ancak aynı özel problemin matematiğin çok farklı alanlarında da ortaya çıktığı sıklıkla görülür. Bu yüzden, en kısa çizgi problemi Geometrinin temellerinde, eğriler ve yüzeyler teorisinde, mekanikte ve varyasyon hesabında aynı anda önemli bir tarihsel ve temel rol oynar. Ve F. Klein'ın ikosahedron hakkındaki kitabında ikna edici bir şekilde gösterdiği gibi *, hakkında sorun düzenli çokyüzlüler temel geometri, grup teorisi, cebir teorisi ve doğrusal diferansiyel denklemler teorisi için aynı anda önemlidir!

* F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Leipzig, 1884.- Not ed.

Bireysel problemlerin önemini vurgulamak için, bilimsel kariyerinin başlangıcında böylesine önemli bir problemin üstesinden gelmesine koşulların birleşiminin izin vermesini kendisi için büyük bir başarı olarak gören Weierstrass'a değinmeme izin vereceğim. Eliptik bir integralin ters çevrilmesiyle ilgili Jacobi problemi gibi.

Biz düşündükten sonra genel anlam Matematikte problemler var ise matematiğin problemlerini hangi kaynaktan çıkardığı sorusuna dönelim. Hiç şüphe yok ki, her matematiksel bilgi alanının ilk ve en eski problemleri deneyimlerden doğmuş ve bize dış olaylar dünyası tarafından sunulmuştur. Tam sayılarla saymanın kuralları bile bu yolda erken bir aşamada keşfedildi. kültürel gelişim tıpkı şimdi bir çocuğun bu kuralların uygulanmasını ampirik yöntemle öğrenmesi gibi. Aynı şey geometrinin ilk problemleri için de geçerlidir - eski zamanlardan beri bize gelen küpü ikiye katlama, dairenin karesini alma problemleri ve ayrıca en eski sorunlar sayısal denklemler teorisi, eğriler teorisi, diferansiyel ve integral hesabı, varyasyonlar hesabı, Fourier serisi teorisi ve potansiyel teorisi, mekanik, astronomi ve fizikteki sorunların zenginliğinden bahsetmeye bile gerek yok.

Herhangi bir matematik disiplininin daha da gelişmesiyle birlikte, başarının cesaretlendirdiği insan zihni zaten bağımsızlığını gösterir; Kendisi, genellikle dış dünyadan gözle görülür bir etki olmaksızın, yalnızca mantıksal karşılaştırma, genelleme, uzmanlaşma, kavramların başarılı bir şekilde bölünmesi ve gruplandırılmasını kullanarak yeni ve verimli sorunlar ortaya koyar ve ardından kendisi bir sorun yaratıcı olarak öne çıkar. İşte böyle ortaya çıktılar asal sayı problemi ve diğer aritmetik problemleri, Galois teorisi, cebirsel değişmezler teorisi, Abelian ve otomorfik fonksiyonlar teorisi ve neredeyse genel olarak ortaya çıktı modern sayı teorisi ve fonksiyon teorisinin tüm ince soruları.

Bu arada, saf düşünmenin yaratıcı gücünün eylemi sırasında, dış dünya yine kendi haklarında ısrar ediyor: gerçek gerçekleriyle bize yeni sorular dayatıyor ve bize yeni matematiksel bilgi alanları açıyor. Ve bu yeni bilgi alanlarını saf düşünce alanına getirme sürecinde, çoğu zaman eski çözülmemiş sorunlara yanıtlar buluruz ve bu şekilde eski teorileri en iyi şekilde ilerletiriz. Bana öyle geliyor ki, düşünme ve deneyim arasındaki bu sürekli tekrarlanan ve değişen oyun, matematikçinin çeşitli bilgi alanlarındaki problemlerde, yöntemlerde ve kavramlarda sıklıkla keşfettiği sayısız ve çarpıcı analojilere ve görünüşte önceden kurulmuş gibi görünen uyuma dayanıyor.

Bir matematik probleminin çözümüne sunma hakkına sahip olduğumuz genel gereksinimlerin neler olabileceği sorusu üzerinde kısaca duralım. Her şeyden önce, sonlu sayıda sonuç yardımıyla ve ayrıca her sorunun temelini oluşturan sonlu sayıda öncül temelinde cevabın doğruluğunu doğrulamayı mümkün kılan gereklilikleri kastediyorum ve her durumda tam olarak formüle edilmesi gerekir. Sonlu sayıda sonuç yardımıyla mantıksal çıkarım yapılması gerekliliği, kanıtın kesinliği için bir gereklilikten başka bir şey değildir. Zaten matematikte atasözü haline gelen titizlik gerekliliği aslında zihnimizin genel felsefi ihtiyacına karşılık gelir; Öte yandan, yalnızca bu şartın yerine getirilmesi kimlik tespitine yol açmaktadır. tam anlam görevin özü ve verimliliği. Yeni bir görev, özellikle de dış dünyanın fenomenleri tarafından hayata geçirilmişse, ancak dikkatli bir şekilde ve eski bir gövde üzerinde bahçıvanlık sanatının katı kurallarına göre beslendiğinde büyüyüp meyve verebilen genç bir filiz gibidir. - Matematiksel bilgimizin sağlam temeli.

İspatta titizliğin basitliğin düşmanı olduğunu düşünmek büyük bir hata olur. Çok sayıda örnek bizi tam tersi konusunda ikna ediyor: katı yöntemler aynı zamanda en basit ve en erişilebilir olanlardır. Kesinlik arzusu tam olarak en basit kanıtların aranmasına yol açar. Aynı arzu çoğu zaman eski ve daha az titiz yöntemlere göre daha verimli olan yöntemlerin yolunu açar. Böylece cebirsel eğriler teorisi, daha fazlası sayesinde katı yöntemler karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ve aşkın araçların amaca uygun kullanımı önemli ölçüde basitleştirildi ve daha fazla bütünlük kazandı. Ayrıca, dört temel aritmetik işlemin kuvvet serilerine uygulanmasının yasallığına, ayrıca bu serilerin terim bazında farklılaştırılmasına ve entegrasyonuna ve buna dayalı olarak tanınmasına dair bir kanıt güç serisi [matematiksel analiz için bir araç olarak - P.A. ], şüphesiz tüm analizi, özellikle dışlama teorisini ve diferansiyel denklemler teorisini (varlık teoremleriyle birlikte) büyük ölçüde basitleştirdi.

Ancak anlatmak istediğimi gösteren özellikle çarpıcı bir örnek, varyasyonlar hesabıdır. Belirli bir integralin birinci ve ikinci varyasyonlarının incelenmesi, son derece önemli sonuçlara yol açtı. karmaşık hesaplamalar ve eski matematikçilerin ilgili araştırmaları gerekli titizlikten yoksundu. Weierstrass bize varyasyon hesabı için yeni ve tamamen güvenilir bir temele giden yolu gösterdi. Basit ve çift katlı integral örneğini kullanarak, raporumun sonunda, bu yolu takip etmenin aynı zamanda gerekli ve çift katlı integrali oluşturmak için varyasyonlar hesabında şaşırtıcı bir basitleştirmeye nasıl yol açtığını kısaca özetleyeceğim. Maksimum ve minimum için yeterli kriterlerin mevcut olması durumunda, ikinci varyasyonun hesaplanması gereksiz hale gelir ve hatta birinci varyasyona ilişkin yorucu çıkarımlara olan ihtiyacı kısmen ortadan kaldırır. Sadece fonksiyonların türevlerinin değerlerinin önemsiz bir şekilde değiştiği varyasyonları dikkate almaya gerek olmadığı gerçeğinden kaynaklanan avantajlardan bahsetmiyorum bile.

Sorunun tam çözümü için ispatta titizlik gerekliliğini ortaya koyarken, diğer yandan tamamen kesin akıl yürütmenin yalnızca analiz ve hatta yalnızca aritmetik kavramlarına uygulanabileceği görüşünü çürütmek istiyorum. Bazen seçkin beyinler tarafından desteklenen bu görüşün tamamen yanlış olduğunu düşünüyorum. Titizlik gerekliliğinin böylesine tek taraflı yorumlanması, hızla geometri, mekanik, fizikten kaynaklanan tüm kavramların göz ardı edilmesine yol açar ve bilginin akışını durdurur. [matematiğe - P.A. ] dış dünyadan yeni materyaller alır ve sonunda süreklilik ve irrasyonel sayı kavramlarının reddedilmesine bile yol açar. Geometri ve matematiksel fizik matematikten çıkarılsa matematikten kopacak olandan daha önemli bir hayati sinir var mıdır? Tam tersine inanıyorum ki ne zaman olursa olsun matematiksel kavramlar Bilgi teorisinden veya geometri veya doğa bilimi teorilerinden köken alan matematik, bu kavramların altında yatan ilkeleri keşfetme ve böylece bu kavramları tam ve basit bir aksiyom sistemi yardımıyla doğrulama göreviyle karşı karşıyadır; böylece yeni kavramlar ve bunların çıkarımlara uygulanabilirliği eski aritmetik kavramlarından ne ölçüde aşağı değildi.

Yeni konseptler aynı zamanda yeni tanımlamaları da içeriyor. Bunları, bu kavramların oluşumuna neden olan olgulara benzeyecek şekilde seçiyoruz. Dolayısıyla geometrik şekiller mekansal kavramları hatırlamaya yönelik görsellerdir ve bu nedenle tüm matematikçiler tarafından kullanılmaktadır. İki eşitsizlikle kim bağlantı kurmaz? a>b>cüç miktar arasında a, b, c, doğrusal olarak konumlandırılmış ve ardışık noktalardan oluşan üçlünün görüntüsü geometrik yorumlama"arasında" kavramı? Fonksiyonların sürekliliğine veya bir sınır noktasının varlığına ilişkin zor bir teoremin tam ve kesin bir kanıtını yapmak gerekiyorsa, iç içe geçmiş doğru parçaları ve dikdörtgenlerin görüntüsünü kim kullanmaz ki? Bir üçgen şekli, belirli bir merkezi olan bir daire veya karşılıklı dik eksenlerin üçlüsü olmadan kim yapabilir? Ya da diferansiyel geometride, diferansiyel denklemler teorisinde, varyasyonlar hesabının temellerinde çok önemli bir rol oynayan kavramlar olan bir vektör alanının veya bir eğri ailesinin veya zarflarıyla birlikte yüzeylerin görüntüsünü kim terk etmek ister ki? ve diğer tamamen matematiksel bilgi alanlarında?

Aritmetik işaretler yazılı geometrik şekillerdir ve geometrik şekiller çizilmiş formüllerdir ve hiçbir matematikçi, hesaplama sırasında parantez içine almayı veya bunları açmayı veya diğer analitik işaretleri kullanmayı reddedemeyeceği gibi, bu çizilmiş formüller olmadan da yapamazdı.

Başvuru geometrik şekiller Kesin bir kanıtlama aracı olarak, bu şekillerin teorisinin temelini oluşturan aksiyomların tam olarak bilinmesini ve bunlara tam olarak hakim olunmasını gerektirir ve bu nedenle, bu geometrik şekillerin matematiksel işaretlerin genel hazinesine dahil edilebilmesi için, görsel içerikleri gereklidir.

Tıpkı iki sayıyı toplarken, terimlerin rakamlarını yanlış sırayla imzalayamayacağınız gibi, kurallara, yani aritmetiği yöneten aritmetik aksiyomlarına kesinlikle uymanız gerekir. aritmetik işlemler Geometrik görüntüler üzerindeki işlemler ve işlemler, geometrik kavramların ve aralarındaki bağlantıların altında yatan aksiyomlar tarafından belirlenir.

Geometrik ve aritmetik düşünme arasındaki benzerlik, aritmetik çalışmalarda, tıpkı geometrik düşüncelerde olduğu gibi, mantıksal akıl yürütme zincirini sonuna, aksiyomlara kadar takip etmemiz gerçeğinde de ortaya çıkar. Tam tersine, özellikle bir soruna ilk yaklaşımda, aritmetikte, tıpkı geometride olduğu gibi, önce aritmetik işaretlerin etkinliğine, aritmetik içgüdüye güvene dayalı, geçici, bilinçsiz, tamamen açık olmayan bir kombinasyon kullanırız, - bu olmadan, geometrik hayal gücünün güçlerine güvenmeden geometride ilerleyemeyeceğimiz gibi, aritmetikte de ilerleyemeyiz. Geometrik kavramlar ve işaretlerle* sıkı bir şekilde işleyen aritmetik teorisinin bir örneği Minkowski’nin “Sayıların Geometrisi”** adlı çalışmasıdır.

** Leipzig, 1896.

Matematik problemlerinin ortaya çıkarabileceği zorluklar ve bu zorlukların aşılması konusunda birkaç açıklama daha yapalım.

Bir matematik problemine çözüm bulamazsak, bunun nedeni genellikle, ele alınan problemin ilgili problemler zincirinde sadece ayrı bir halka gibi göründüğü yeterince genel bir bakış açısına henüz sahip olmamamızdır. Bu bakış açısını bulduktan sonra, genellikle sadece verilen problemi araştırmaya daha erişilebilir hale getirmekle kalmıyoruz, aynı zamanda ilgili problemlere uygulanabilir bir yönteme de hakim oluyoruz. Örnekler arasında Cauchy'nin teoriye girişi yer alıyor. belirli integral eğrisel bir yol boyunca entegrasyon ve Kummer'in sayılar teorisinde ideal kavramını oluşturması. Genel yöntemleri bulmanın bu yolu en uygun ve güvenilir olanıdır, çünkü eğer kişi akılda herhangi bir özel görev olmadan genel yöntemler arıyorsa, bu aramalar çoğunlukla boşunadır.

Matematik problemlerinin incelenmesinde uzmanlaşmanın genellemeden daha önemli bir rol oynadığına inanıyorum. Çoğu durumda, boşuna bir sorunun cevabını aradığımızda, başarısızlığımızın nedeni, bundan daha basit ve daha kolay problemlerin henüz çözülmemiş olması veya tamamen çözülmemiş olmasıdır. O zaman bütün mesele bu daha kolay problemleri bulup çözümlerini en ileri yöntemlerle, genelleştirilebilecek kavramlarla hayata geçirmektir. Bu kural, matematiksel zorlukların üstesinden gelmek için en güçlü kaldıraçlardan biridir ve bana öyle geliyor ki çoğu durumda bu kaldıraç, bazen bilinçsizce harekete geçiriliyor.

Aynı zamanda yetersiz ön koşullarla bir cevaba ulaştığımız veya yanlış yöne gittiğimiz ve bunun sonucunda hedefe ulaşamadığımız da olur. Daha sonra görev, bu sorunun kabul edilen öncüller ve seçilen yön altında çözülemezliğini kanıtlama görevi ortaya çıkar. Bu tür imkansızlık kanıtları, örneğin eski matematikçiler tarafından, bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün kendi kenarına oranının şu şekilde olduğunu keşfettiklerinde gerçekleştirilmişti: irrasyonel sayı. Modern matematikte, belirli problemlerin çözümünün imkansızlığının kanıtları önemli bir rol oynamaktadır; orada paralellik aksiyomunun ispatı, dairenin karesi veya beşinci dereceden bir denklemin köklerde çözümü gibi eski ve zor problemlerin yine de bizi tamamen tatmin eden kesin bir çözüme kavuştuğunu belirtiyoruz. ilk başta varsayıldığından farklı bir yön.

Bu şaşırtıcı gerçek, diğerleriyle birlikte felsefi temellerİçimizde, şüphesiz her matematikçinin paylaştığı, ancak henüz kimsenin kanıtla onaylamadığı bir güven yaratır; her özel matematik probleminin kesinlikle kesin bir çözüme kavuşturulabilmesi gerektiğine dair güven * ya da bir çözüm elde etmenin mümkün olduğu anlamında. Ortaya atılan sorunun cevabı ya da onu çözmenin imkansızlığı ortaya konacak ve aynı zamanda onu çözmeye yönelik tüm girişimlerin başarısızlığının kaçınılmazlığı da kanıtlanacaktır.

* Hilbert'in tüm bilimsel dünya görüşü açısından son derece belirleyici olan bu açıklamayı orijinal haliyle sunmayı gerekli görüyoruz. "...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathhematische Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss." - Not P.A.

Biraz hayal edelim çözülmemiş problemörneğin sabitin irrasyonelliği sorunu İLE Euler - Mascheroni veya formdaki sonsuz sayıda asal sayının varlığı sorusu 2N + 1 . Bu problemler bize ne kadar ulaşılmaz görünürse görünsün ve onların karşısında ne kadar çaresiz durursak duralım, bunların sonlu sayıdaki mantıksal sonuçların yardımıyla çözümlenmesinin hala mümkün olabileceğine dair sağlam bir inancımız var.

Verilen her problemin çözülebilirliğine ilişkin bu aksiyom, yalnızca matematiksel düşünmenin karakteristik bir özelliği midir, yoksa belki de zihnimizin içsel özüne ilişkin, onun ortaya koyduğu tüm soruların onun tarafından çözülebileceği genel bir yasa var mıdır? Sonuçta, bilimin diğer alanlarında, çözümlerinin imkansızlığı kanıtlanarak en tatmin edici şekilde ve bilime en fazla fayda sağlayacak şekilde çözülmüş eski problemler vardır. Sorunu hatırlıyorum sürekli mobil(sürekli hareket makinesi) *. Başarısız tasarım denemelerinden sonra sürekli hareket makinesi tam tersine, doğa güçleri arasında var olması gereken ilişkileri, şu varsayım altında araştırmaya başladı: sürekli mobil imkansız. Ve ters problemin bu formülasyonu, enerjinin korunumu yasasının keşfine yol açtı; buradan imkansızlık çıkıyor sürekli mobil anlamının orijinal anlayışında.

Her matematik probleminin çözülebilirliğine olan bu inanç, çalışmalarımızda bize büyük bir yardımcıdır; İçimizde sürekli bir çağrı duyarız: Bir sorun olduğunda çözüm arayın. Onu saf düşünme yoluyla bulabilirsiniz; çünkü matematikte Ignorabimus yoktur! **

* Çar. H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, Konigsberg'deki rapor, 1854 (Rusça çevirisi: "Doğa güçlerinin etkileşimi üzerine", G. Helmholtz, Popüler Konuşmalar, ed. 2, bölüm 1 koleksiyonunda) , St.Petersburg, 1898. - Not ed. ).

**Dipnota bakınız. - Not ed.

Matematikte sayısız problem vardır ve bir problem çözüldükten sonra onun yerine sayısız yeni problem ortaya çıkar. Gelecekte, sanki bir testmiş gibi, çeşitli matematik disiplinlerinden, üzerinde çalışılması bilimin daha da gelişmesini önemli ölçüde teşvik edebilecek birkaç özel problemin adını vermeme izin verin.

Analiz ve geometrinin temellerine dönelim. Geçen yüzyılın bu alanda en önemli ve önemli olayları, bana öyle geliyor ki, Cauchy, Bolzano, Cantor'un çalışmalarındaki süreklilik kavramının aritmetik ustalığı ve Gauss, Bolyai ve Öklid dışı geometrinin keşfidir. Lobaçevski. Bu nedenle bu alanlara ait bazı sorunlara dikkatinizi çekiyorum.<...>

1. Cantor'un sürekliliğin gücüyle ilgili problemi

2. Aritmetik aksiyomların tutarlılığı

3. Tabanları ve yükseklikleri eşit olan iki tetrahedranın eşitliği.

4. İki noktanın en kısa bağlantısı olan düz çizgi problemi.

5. Grubu tanımlayan fonksiyonların türevlenebilirliği varsayımı olmaksızın, Lie dönüşümlerinin sürekli bir grubu kavramı.

6. Fizik aksiyomlarının matematiksel gösterimi.

7. Bazı sayıların mantıksızlığı ve aşkınlığı.

8. Asal sayılar problemi.

9. Herhangi bir sayı alanında en genel karşılıklılık yasasının kanıtı.

10. Diophantine denkleminin çözülebilirliği problemi.

11. Rasgele cebirsel sayısal katsayılara sahip ikinci dereceden formlar.

12. Abel alanları üzerine Kronecker teoreminin keyfi bir cebirsel rasyonalite alanına genişletilmesi.

13. Çözümün imkansızlığı genel denklem Yalnızca iki değişkene bağlı bir fonksiyon kullanarak yedinci kuvvete.

14. Bazı tam fonksiyonlar sistemlerinin sonluluğunun kanıtı.

15. Schubert'in hesaplamalı geometrisinin kesin gerekçesi.

16. Cebirsel eğrilerin ve yüzeylerin topolojisi problemi.

17. Belirli şekillerin karelerin toplamı olarak gösterimi.

18. Uyumlu çokyüzlülerden uzayın inşası.

19. Çözümler düzenli mi? varyasyon problemi Analitik ihtiyacınız mı var?

20. Sınır koşullarıyla ilgili genel problem.

21. Belirli bir monodromi grubuyla doğrusal diferansiyel denklemlerin varlığının kanıtı.

22. Otomorfik fonksiyonlar kullanılarak analitik bağımlılıkların tekdüzeleştirilmesi.

23. Varyasyon hesabı yöntemlerinin geliştirilmesi

Buna inanmıyorum ve istemiyorum. Matematik Bilimi bana göre bölünmez bir bütünü, yaşayabilirliği parçaların tutarlılığıyla belirlenen bir organizmayı temsil ediyor. Aslında, özelde matematiksel materyaldeki tüm farklılıklara rağmen, mantıksal yardımcı araçların özdeşliğini, genel olarak matematikteki fikirlerin oluşumunun benzerliğini ve çeşitli alanlardaki sayısız analojiyi hala çok açık bir şekilde görüyoruz. Ayrıca matematik teorisi geliştikçe, yapısının daha uyumlu ve daha birleşik şekillendiğini ve şimdiye kadar ayrı olan alanlar arasında beklenmedik bağlantıların açıldığını da fark ediyoruz. Matematiğin genişlemesiyle birlikte onun birleşik karakterinin kaybolmadığı, aksine giderek daha belirgin hale geldiği ortaya çıktı.

Ancak - soruyoruz - matematiksel bilginin genişlemesiyle birlikte, bireysel araştırmacının bu bilginin tüm kısımlarını kapsaması sonuçta imkansız hale gelmiyor mu? Cevap olarak, matematik biliminin doğasının, içindeki her gerçek başarının, daha önceki teorilerin anlaşılmasını kolaylaştıran ve aynı anda ortadan kaldıran daha güçlü yardımcıların ve daha basit yöntemlerin keşfiyle el ele gittiği gerçeğine değinmek istiyorum. eski akıl yürütmenin zorlukları; dolayısıyla bireysel araştırmacı bunları daha güçlü içselleştireceği için AIDS ve daha basit yöntemlerle matematiğin çeşitli alanlarında gezinmek diğer bilimlere göre daha kolay olacaktır.

Matematiğin birleşik doğası, bu bilimin içsel özünden kaynaklanmaktadır; Sonuçta matematik tüm kesin bilimlerin temelidir. Ve bunu mükemmel bir şekilde gerçekleştirmek için yüksek randevu, önümüzdeki yüzyılda parlak ustalar ve asil bir şevkle yanan çok sayıda taraftar kazansın *.

* Orijinalde bu kelimeler şu şekilde ses çıkarır: "Der einheitliche der Mathematik character im in inneren wesen dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens. Damit sie diese hohe Bestimmung vollkommen erfulle, mogen ihr im neuen Jahrhundert geniale Meister erstehen und zahlreiche in Eifer ergluhende Jungerl" - Not ed.

(küme teorisinin standart aksiyom sistemi). Dolayısıyla bu aksiyom sistemindeki süreklilik hipotezi ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir (bu aksiyom sisteminin tutarlı olması şartıyla).