Bir kümenin tam üst sınırına ilişkin teorem. Üst (alt) yüzün varlığı

MATEMATİKSEL ANALİZ

Bölüm I

LİMİT TEORİSİ. Sıra limiti ve fonksiyon limiti. Tam bir üstünlük için varoluş teoremi.

Değişkene izin ver X N sonsuz bir değer dizisi alır

X 1 , X 2 , ..., X N , ..., (1)

ve değişkenin değişim yasası biliniyor X N, yani her biri için doğal sayı N uygun değeri belirtebilirsiniz X N. Bu nedenle değişkenin olduğu varsayılmaktadır. X N bir fonksiyonudur N:

X N = f(n)

Şunlardan birini tanımlayalım en önemli kavramlar matematiksel analiz - bir dizinin limiti veya aynı şey olan bir değişkenin limiti X N, dizi boyunca koşuyor X 1 , X 2 , ..., X N , ... . .

Tanım. Sabit sayı A isminde dizinin limiti X 1 , X 2 , ..., X N , ... . veya bir değişkenin limiti X N, eğer keyfi olarak küçük bir pozitif sayı için e böyle bir doğal sayı varsa N(yani sayı N) değişkenin tüm değerleri X N, ile başlayan X N, farklı Aİle mutlak değer e'den az. Bu tanım kısaca şöyle yazılır:

| X N -A |< (2)

herkesin önünde N  N veya aynı olan şey,

Cauchy limitinin belirlenmesi. Bir A sayısına, bir f(x) fonksiyonunun bir a noktasındaki limiti denir, eğer bu fonksiyon, a noktasının olası istisnası dışında, a noktasının bir komşuluğunda tanımlanıyorsa ve her ε > 0 için δ mevcutsa > 0 öyle ki tüm x koşulları karşılayan |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heine limitinin belirlenmesi. Bir A sayısına, bir f(x) fonksiyonunun bir a noktasındaki limiti denir; eğer bu fonksiyon, a noktasının olası istisnası dışında, a noktasının bir komşuluğunda tanımlanmışsa ve herhangi bir dizi için: a sayısına yakınsayan fonksiyon değerlerinin karşılık gelen dizisi A sayısına yakınsar.

Eğer f(x) fonksiyonunun a noktasında bir limiti varsa bu limit tektir.

Her ε > 0 için δ > mevcutsa, A 1 sayısına a noktasında soldaki f(x) fonksiyonunun limiti denir.

Eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu her ε > 0 için δ > 0 varsa, A 2 sayısına f(x) fonksiyonunun a noktasında sağdaki limiti denir.

Soldaki limit sağdaki limit ile gösterilir - Bu limitler fonksiyonun a noktasının solundaki ve sağındaki davranışını karakterize eder. Bunlara genellikle tek yönlü limitler denir. X → 0 için tek taraflı limitlerin belirlenmesinde ilk sıfır genellikle atlanır: ve. Yani fonksiyon için

Her ε > 0 için, |x – a| koşulunu sağlayan tüm x'ler için bir noktanın δ-komşusu varsa< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε ise f(x) fonksiyonunun a noktasında sonsuz bir limiti olduğunu söylerler:

Dolayısıyla fonksiyonun x = 0 noktasında sonsuz bir limiti vardır. +∞ ve –∞'a eşit limitler sıklıkla ayırt edilir. Bu yüzden,

Her ε > 0 için bir δ > 0 varsa, öyle ki her x > δ için |f (x) – A| eşitsizliği< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Tam bir üstünlük için varoluş teoremi

Tanım:АR mR, m А'nın üst (alt) yüzüdür, eğer аА аm (аm).

Tanım: Eğer aA, am (am)'yi tutacak şekilde bir m varsa, bir A kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlanmıştır.

Tanım: SupA=m, eğer 1) m, A'nın üstü ise

2) m': m' m’ A’nın üstü değil

InfA = n, eğer 1) n, A'nın infimumu ise

2) n': n'>n => n' A'nın infimumu değil

Tanım: SupA=m öyle bir sayıdır ki: 1)  aA am

2) >0 a  A, öyle ki a  a-

InfA = n öyle bir sayıdır ki: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, öyle ki a E a+

Teorem: Yukarıdan sınırlı, boş olmayan herhangi bir AR kümesinin tam bir üstünlüğü ve tek bir değeri vardır.

Kanıt:

Sayı doğrusunda m sayısını oluşturalım ve bunun A'nın üstü olduğunu kanıtlayalım.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A'nın üst sınırı

Segment [[m],[m]+1] - 10 parçaya bölünmüş

m 1 =maks:aA)]

m 2 =maks,m 1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - üst kenar A

m=[m],m 1 ...m K'nin üstün olduğunu ve benzersiz olduğunu kanıtlayalım:

k: fonksiyonun maksimuma ulaştığı bir nokta vardır, fonksiyonun minimuma ulaştığı bir nokta vardır.

Kanıt:

f(x) fonksiyonu üzerinde sürekli olsun, o zaman Teorem 1'e göre bu aralıkta sınırlıdır. Sonuç olarak, fonksiyon değerleri kümesi sınırlıdır. O halde üstünlük ilkesi gereği bu kümenin tam bir üst ve tam bir alt sınırı vardır.

Bunu belirtiriz ve bunun f(x) fonksiyonunun : segmentindeki en büyük değeri olacağını gösteririz.

Tam tersini varsayalım, yani.

'den beri f(x)< .

fonksiyonu tanıtalım . -f(x) 0 olduğundan fonksiyon üzerinde süreklidir. Bu durumda Weierstrass'ın ilk teoremine göre fonksiyon üzerinde sınırlıdır.

, burada >0

Bu eşitsizlik geçerli olduğundan sayı, fonksiyon değerleri kümesinin tam üst sınırı değildir. Bir çelişkiye varıyoruz, bu da varsayımımızın yanlış olduğu anlamına geliyor. Benzer şekilde sürekli bir fonksiyonun maksimum noktasına ulaştığı kanıtlanabilir. Minimum değer. Teorem kanıtlandı.

DİFERANSİYELEBİLİR FONKSİYONLAR Rolle ve Lagrange Teoremleri. Formül TEylor'un Lagrange formunda kalan terimi.

Rolle'un teoremi. Eğer f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, aralığın içinde bir türevi vardır ve eğer

f(a) = f(b)

o zaman [a, b] aralığının içinde böyle en az bir x değeri vardır 0 (A< x 0 < b), что

f "(x 0 ) = 0.

Kanıt. İki durumu ele alalım.

1. İşlev f(x) aralıkta sabittir [ a, b]; Daha sonra f"(x) = 0 herkes için x(bir< x < b) , yani Rolle teoreminin ifadesi otomatik olarak gerçekleştirilir.

2. İşlev f(x) sabit değildir (Şekil 1); daha sonra aralığın iç noktasında bu değerlerin en büyüğüne veya en küçüğüne veya her ikisine ulaşır, çünkü f(b) = f(a), ve eğer f(a) - en küçük değer, o zaman en büyük değer fonksiyondur f(x) aralık içerisinde alacaktır.

Çünkü koşul gereği, f(x)şu noktada var X 0 türev, o zaman teorem ile gerekli özellik ekstremum,

f "(x 0 ) = 0 ,

ve Rolle teoremi kanıtlandı.

Rolle teoreminin basit bir geometrik yorumu vardır: y = f(x) eğrisinin her noktasında bir teğet bulunan ve A ve B uçları Ox ekseninden aynı uzaklıkta olan bir AB yayı verilirse, o zaman bu yay üzerinde en az bir tane vardır. eğriye teğetinin yayı daraltan kirişe ve dolayısıyla Ox eksenine paralel olacağı bir nokta(bkz. şekil 1).

Koordinat eksenlerini a açısı kadar döndürürsek, uçlar A Ve B yaylar AB artık eksenden aynı uzaklıkta olmayacak Öküz", ancak teğet T hala akora paralel olacak AB(bkz. şekil 1). Bu nedenle teoremin geçerli olmasını beklemek doğaldır: Eğer bir y = f(x) eğrisinin sürekli değişen teğetli bir AB yayı verilirse, o zaman bu yay üzerinde teğetin onu destekleyen AB kirişine paralel olduğu en az bir nokta vardır.(Şekil 2).

Lagrange teoremi. Eğer f(x) fonksiyonu kapalı bir aralıkta sürekli ise[a, b] ve içinde bir f "(x) türevi varsa, o zaman böyle en az bir x değeri vardır 0 (A< x 0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f "(x).

Kanıt. Yardımcı işlevi düşünün

F(x) = f(x) - k(x - a),

Nerede - akorun açısal katsayısı AB(bkz. şekil 2).

Bu fonksiyon Rolle teoreminin tüm koşullarını karşılar.

Aslında ne zaman x = bir sahibiz F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), en x = b sahibiz

Üstelik fonksiyondan dolayı f(x) Ve k(x - a) sürekli [ a, b] ve ('de türevlenebilir) a, b), ardından fonksiyon F(x) = f(x) - k(x - a)[ üzerinde süreklidir a, b] ve ('de türevlenebilir) a, b).

Bu nedenle, Rolle teoremine göre aralıkta ( a, b) böyle bir nokta var X 0 , Ne

F"(x 0 ) = 0 ,

f "(x 0 ) - k = 0

Buradan elimizde

f(b) - f(a) = (b - a)f " (x 0 ) ,

Q.E.D.

Çünkü a + (b - a) = b, ardından değer bir +(b-a) burada Q uygun bir pozitif kesirdir (0 <  < 1) , aralıktaki bir sayıya eşittir ( a, b), dolayısıyla Lagrange formülü şu şekilde yazılabilir:

f(b) - f(a) = (b - a)f "

Eğer koyarsan a = x, b = x +X, Neresi b - a =X, daha sonra Lagrange formülü şu şekilde yazılacaktır:

y = f(x +x) - f(x) =xf"(x+X).

Daha önce bir fonksiyonun bir sabite eşit olması durumunda kanıtlanmıştı. C herhangi bir değerde X aralıkta (a, b), türevi sıfıra eşittir.

Şimdi kanıtlayalım ters teoremi Lagrange teoreminin bir sonucudur:

Eğer f "(x) türevi (a, b) aralığındaki herhangi bir x değeri için sıfırsa, o zaman bu aralıkta f(x) = C.

Aslında eğer X 1 Ve X 2 - aralıktaki herhangi iki değer (a, b), o zaman Lagrange teoremine göre, elimizdeki

f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 - X 1 )f"(x 0 ),

Nerede, X 1 < x 0 < x 2 . Ama o zamandan beri f"(x 0 ) = 0 , O

f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,

bu da bizim teoremimizi kanıtlıyor.

Bundan doğrudan önemli bir teorem çıkar:

Eğer iki fonksiyon f 1 (x) ve f 2 (x) (a, b) aralığında aynı türevlere sahipse, bu aralıkta birbirlerinden sabit bir değerle farklılık gösterirler.

Gerçekten, işlevi düşünün

(x) = f 2 (x)-f 1 (X).

Daha sonra herhangi bir değer için X aralıktan (a, b)

"(x) = f 2 "(x)-f 1 "(x) = 0.

Ancak bu şu anlama gelir: (x) = C ve bu nedenle

F 2 (x)-f 1 (x) = C.

Taylor'ın formülü. Aralığa izin verf(x) fonksiyonu n defa türevlenebilir ve aşağıdaki eşitlikler sağlanır:

f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (bir)=0

Daha sonra aralığın içindeen az bir değer var,hangi

F (N) (c) = 0

Kanıt. İle Rolle teoremi sahibiz

f "(x 0 ) = 0 ,

Nerede A< x 0 < b . Daha sonra f "(x) aralıkta Rolle teoremini karşılar, çünkü koşula göre, f"(a) = 0 Ve f "(x 0 ) = 0 , ve bu nedenle

f ""(x 1 ) = 0 ,

Nerede A< x 1 < x 0 .

Rolle teoremini fonksiyonlara art arda uygulamak f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (X) sonunda şunu buluyoruz:

F (N) (c) = 0,

Nerede A< c < x n-1 < b . Teorem kanıtlandı.

Şimdi türetelim Lagrange formunda kalan terimli Taylor formülü.

Fonksiyona izin ver f(x) türevlenebilir N aralıktaki zamanlar.

Yardımcı işlevi düşünün

(x) = f(x) - P(x),

Haydi farklılaşalım N fonksiyonun katı  (X). O zaman sahip olacağız

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 (n-1) (x) = f (n-1) (x)-A n-1 - A N (x - a),

 (N) (x) = f (N) (x)-A N

 fonksiyonunun olmasını istiyoruz (X) genelleştirilmiş Rolle teoreminin koşullarını sağladı. O zaman sahip olacağız

(1) .

 fonksiyonundan beri (X) genelleştirilmiş Rolle teoreminin koşullarını karşılıyorsa, o zaman böyle bir değer vardır Birlikte< c < b) , Ne

 (N) (c) = f (N) (CA N = 0 (2)

Sınırlı set. Hassas kenarlar

Moivre'nin formülü

1707 yılında A. Moivre tarafından bulunmuştur; modern gösterimi 1748'de L. Euler tarafından önerildi.

z n =r n e içinde J =rn(çünkü N J +ben günah N J). (3)

Formül (3) tümevarımla kanıtlanmıştır N.

Karmaşık sayıları çarpma

Açıkçası haklı. Bazıları için bunun doğru olduğunu varsayalım. N, hadi bunu kanıtlayalım N+1. Sahibiz:

Belirli bir tane için denklemi karşılayan birini buluruz. Başka bir deyişle, kökü bulalım N derecesi karmaşık sayı. Sahibiz içerdeyim j=r e ben sen Þ n j=y+2p k, kÎZ , r= formülleri nereden alıyoruz

kök hesaplamak için kullanılır N Karmaşık bir sayının -inci kuvveti. Kök bulma süreci N karmaşık bir sayının -inci kuvveti z aşağıdaki gibi tarif edilebilir. Bu sayı 0'a eşit değilse, tam olarak böyle kökler olacaktır. N. Hepsi doğrunun zirvesi olacak N– yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir kare . Bu çokgenin köşelerinden birinin argümanı eşittir.

Örnek. Hesaplamak. Bu durumda üç değer alır:

Pirinç. 1.7

Yorum: Karşılaştırma işaretleri küçüktür, büyüktür (<, >) içinde tanımlanmadı C .

1.3. Bir kümenin üst ve alt sınırları gerçek sayılar

Sınırlama ve çokluğun sınırları.

E'yi yukarıda sınırlı olarak ayarlayın:$B"XÎ Eski£ B.

B - kümenin üst sınırı:"xÎE:x£ B.

Sınırlı küme:$A"XÎ e: X³ A.

A - alt kenar setler:"xÎE: x ³ a.

Kümenin tam üstünlüğü: b = akşam yemeği E, iki özelliği karşılayan bir sayıdır:

1)(b - üst kenar)"XÎ Eski£ B.

2) (hayırsız) "e>0 $ XÎ E: x > b- e.

Kesin infimum benzer şekilde belirlenir bir = bilgi e.Sınırlı kümeE:$B"XÎ E: .

Yorum: Eğer b = akşam yemeği e, O -b= bilgi E¢, Nerede E¢- ayna e bir demet, E¢={XÎR:(-X)ÎE} .

Teorem 1. Yukarıda sınırlı, boş olmayan bir kümenin bir üstünlüğü vardır.

Kanıt:İzin vermek B kümenin üst sınırı e Ve AÎ E.[ ile belirtelim A 1 ,B 1 ] segmenti, eğer noktalar içeriyorsa E. Aksi takdirde [ aracılığıyla A 1 ,B 1 ] segmenti belirtir

Pirinç. 1.8

Oluşturulan bu parçanın özelliklerine bakalım:

1) "xÎE: x£ B 1 .

2) eÇ[ A 1 ,B 1 ] ¹ Æ .

Bu prosedürü [ A 1 ,B 1 ] vb. Sonuç olarak, bir dizi iç içe geçmiş segment elde ederiz [ ak,bk], aşağıdaki özellikleri karşılıyor:

1)"xÎE: x £ b k .

2) eÇ[ A k, B k ] ¹ Æ .

Bunun ispatı tümevarımla gerçekleştirilir. Segmentin [ ak,bk] Belirtilen özelliklerle. Bir nokta ile ikiye bölün. Başından sonuna kadar [ bir k + 1 ,b k + 1 ] segmentlerden birinin olduğunu belirtir , ile boş olmayan bir kesişimi olan e. Her ikisi de içeriyorsa

Pirinç. 1.9

gelen puanlar E, O [ bir k + 1 ,b k + 1 ] bir doğru bölüm olsun. Ortaya çıkan segment 1), 2) özelliklerine sahiptir. Bu bölümlerin uzunlukları b k - a k =(b-a)/ 2k 0'a eğilimlidir, yani tekil C tüm bu kesimlerin ortak noktası. Bu sayı bu setin tam üst sınırıdır. Gerçekten mi:

1) "XÎ E: x £ c.

Tam tersini varsayalım: $ XÎ E:x>c O zaman var olduğu için onu takip eden şeyi ele alalım bn< x , bu durumla çelişiyor XÎ[ bir n, b n].

Pirinç. 1.10

2) "e > 0 $xÎE: x > c - e.

Herhangi bir e için var n: b n - bir n< e . Herhangi birini seçelim XÎ[ bir n, b n] . Özellik 1 nedeniyle) doğru olacak X< c, Ayrıca

c-x£ b n - bir n< e . Böylece gerekli X.

Pirinç. 1.11

Benzer şekilde şu da kanıtlanabilir: Aşağıda sınırlanmış boş olmayan bir kümenin bir sonsuzluğu vardır.

Teorem 2. Kesin üstünlük (varsa) benzersizdir.

Kanıt: Tam iki yüz olsun B 2 ,B 1 , B 1 2 . e'yi al = B 2 -B 1 > 0. Tarafından kesin üst sınırın belirlenmesi (için B 2) $XÎ E: x > b 2 - e = b 1, bu neyle çelişiyor B 1 üst kenar.