Varyans hesaplama örnekleri. Grup, gruplar arası ve toplam varyansın hesaplanması (varyansların eklenmesi kuralına göre)

Ağ topolojisi, ağın kablo ve bağlantılarının fiziksel veya elektriksel yapılandırmasını ifade eder.

Ağların topolojisini tanımlarken birkaç özel terim kullanılır: ağ düğümü - bir bilgisayar veya ağ anahtarlama cihazı; ağ dalı - iki bitişik düğümü birbirine bağlayan bir yol;

terminal düğümü - yalnızca bir dalın sonunda bulunan bir düğüm;

ara düğüm - birden fazla dalın uçlarında bulunan bir düğüm; Bitişik düğümler, başka düğüm içermeyen en az bir yolla bağlanan düğümlerdir. Yalnızca 5 ana ağ topolojisi türü vardır:

1. “Paylaşılan Veri Yolu” topolojisi. Bu durumda bağlantı ve veri alışverişi üzerinden gerçekleştirilir. ortak kanal Paylaşılan veri yolu adı verilen iletişim: Paylaşılan veri yolu, yerel alan ağları için çok yaygın bir topolojidir. İletilen bilgi her iki yönde de dağıtılabilir. Ortak bir veri yolunun kullanılması kablolama maliyetlerini azaltır ve çeşitli modüllerin bağlantısını birleştirir. Bu planın ana avantajları, düşük maliyet ve tesis genelinde kablo dağıtımının kolaylığıdır. Ortak veri yolunun en ciddi dezavantajı düşük güvenilirliğidir: kablodaki veya çok sayıda konektörden herhangi birindeki herhangi bir kusur, tüm ağı tamamen felç eder. Paylaşımlı veri yolunun diğer bir dezavantajı düşük performansıdır, çünkü bu bağlantı yöntemiyle aynı anda yalnızca bir bilgisayar ağa veri aktarabilir. Bu nedenle iletişim kanalı bant genişliği her zaman burada tüm ağ düğümleri arasında bölünür.

Hub'ın işlevi, bir bilgisayar tarafından iletilen bilgiyi ağdaki diğer bilgisayarlardan birine veya tümüne yönlendirmektir. Bu topolojinin ortak bir veri yoluna göre temel avantajı daha fazla güvenilirliktir. Kabloyla ilgili herhangi bir sorun yalnızca bu kablonun bağlı olduğu bilgisayarı etkiler ve yalnızca hub'ın arızalanması tüm ağı çökertebilir. Ek olarak hub, ağdaki düğümlerden gelen bilgilerin akıllı bir filtresinin rolünü oynayabilir ve gerekirse yönetici tarafından yasaklanan aktarımları engelleyebilir. Yıldız topolojisinin dezavantajları arasında, bir hub satın alma ihtiyacından dolayı ağ ekipmanının daha yüksek maliyeti yer alır. Ayrıca ağdaki düğüm sayısını artırma yeteneği, hub bağlantı noktalarının sayısıyla sınırlıdır. Şu anda hiyerarşik bir yıldız, hem yerel hem de küresel ağlarda en yaygın bağlantı topolojisi türüdür.

3. “Halka” topolojisi. Halka topolojisine sahip ağlarda, ağdaki veriler halka boyunca bir istasyondan diğerine sırayla, genellikle tek yönde iletilir:

Bilgisayar veriyi amaçlandığı şekilde tanırsa, onu dahili arabelleğine kopyalar. Halka topolojisine sahip bir ağda, herhangi bir istasyonun arızalanması veya bağlantısının kesilmesi durumunda, geri kalan istasyonlar arasındaki iletişim kanalının kesintiye uğramaması için özel önlemlerin alınması gerekir. Bu topolojinin avantajı yönetim kolaylığı, dezavantajı ise iki düğüm arasındaki kanalda bir arıza olması durumunda tüm ağın arızalanması ihtimalidir.

4. Örgü topolojisi. Örgü topolojisi, yakındaki tüm bilgisayarlarla fiziksel iletişim hatlarının kurulduğu bir bilgisayar bağlantı şeması ile karakterize edilir:

Örgü topolojisine sahip bir ağda, yalnızca aralarında yoğun veri alışverişinin gerçekleştiği bilgisayarlar doğrudan bağlanır ve doğrudan bağlı olmayan bilgisayarlar arasındaki veri alışverişi için ara düğümler aracılığıyla geçiş iletimleri kullanılır. Örgü topolojisi çok sayıda bilgisayarın bağlanmasına olanak tanır ve genel olarak küresel ağların karakteristik özelliğidir. Bu topolojinin avantajları arızalara ve aşırı yüklere karşı dayanıklılığıdır, çünkü Bireysel düğümleri atlamanın birkaç yolu vardır.

5. Karışık topoloji. Küçük ağlar tipik olarak tipik bir yıldız, halka veya veri yolu topolojisine sahipken, büyük ağlar genellikle bilgisayarlar arasında rastgele bağlantılara sahiptir. Bu tür ağlarda, tipik bir topolojiye sahip bireysel alt ağlar tanımlanabilir, bu nedenle bunlara karışık topolojiye sahip ağlar adı verilir.

Adımlar

Örnek varyansının hesaplanması

1. Örnek değerleri kaydedin.Çoğu durumda istatistikçiler yalnızca belirli popülasyonların örneklerine erişebilir. Örneğin, kural olarak istatistikçiler Rusya'daki tüm arabaların toplamını korumanın maliyetlerini analiz etmiyorlar - analiz ediyorlar rastgele örnek birkaç bin arabadan. Böyle bir örnek, bir arabanın ortalama maliyetini belirlemeye yardımcı olacaktır, ancak büyük olasılıkla ortaya çıkan değer gerçek değerden uzak olacaktır.

   • Örneğin bir kafede 6 günde satılan çörek sayısını analiz edelim. rastgele sıra. Örnek şuna benzer: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Bu bir popülasyon değil örnektir çünkü kafenin açık olduğu her gün için satılan çöreklere ilişkin verimiz yoktur.
   • Size bir değer örneği yerine bir popülasyon verildiyse bir sonraki bölüme geçin.

2. Örnek varyansını hesaplamak için bir formül yazın. Dağılım, belirli bir miktardaki değerlerin yayılımının bir ölçüsüdür. Nasıl daha yakın değer dağılım sıfıra ne kadar yakınsa değerler birbirine o kadar yakın gruplanır. Değer seçimiyle çalışırken şunu kullanın: aşağıdaki formül varyansı hesaplamak için:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x ben (\displaystyle x_(i))- X) 2 (\displaystyle ^(2))] / (n-1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2))– bu dağılımdır. Dağılım şu şekilde ölçülür: birim karelerölçümler.
   • x ben (\displaystyle x_(i))– numunedeki her değer.
   • x ben (\displaystyle x_(i)) x̅'i çıkarmanız, karesini almanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir.
   • x̅ – örnek ortalaması (örnek ortalaması).
   • n – örnekteki değerlerin sayısı.

3. Ortalamayı hesaplaörnekler. X̅ olarak gösterilir. Örnek ortalaması basit bir aritmetik ortalama olarak hesaplanır: örnekteki tüm değerleri toplayın ve ardından sonucu örnekteki değer sayısına bölün.

   • Örneğimizde örnekteki değerleri toplayın: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Şimdi sonucu örnekteki değer sayısına bölün (örneğimizde 6 tane var): 84 ÷ 6 = 14.
     Örnek ortalama x̅ = 14.
   • Örnek ortalaması, örnekteki değerlerin etrafında dağıldığı merkezi değerdir. Örnek kümedeki değerler örnek ortalamanın etrafında ise varyans küçüktür; aksi takdirde varyans büyüktür.

4. Örnek ortalamasını örnekteki her değerden çıkarın.Şimdi farkı hesaplayın x ben (\displaystyle x_(i))- x̅, nerede x ben (\displaystyle x_(i))– numunedeki her değer. Elde edilen her sonuç, belirli bir değerin örneklem ortalamasından ne kadar saptığını, yani bu değerin örneklem ortalamasından ne kadar uzak olduğunu gösterir.

   • Örneğimizde:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Toplamlarının sıfıra eşit olması gerektiğinden elde edilen sonuçların doğruluğunu kontrol etmek kolaydır. Bu ortalama değerin belirlenmesiyle ilgilidir, çünkü negatif değerler(ortalamadan uzaklıklar daha düşük değerler) tamamen telafi edilir pozitif değerler(ortalamadan büyük değerlere olan mesafeler).

5. Yukarıda belirtildiği gibi farkların toplamı x ben (\displaystyle x_(i))- x̅ sıfıra eşit olmalıdır. Bu şu anlama geliyor ortalama varyans her zaman sıfıra eşit olması belirli bir miktardaki değerlerin yayılımı hakkında herhangi bir fikir vermez. Bu sorunu çözmek için her farkın karesini alın x ben (\displaystyle x_(i))- X. Bu, yalnızca pozitif sayılar elde etmenize neden olur ve bunların toplamı hiçbir zaman 0'a eşit olmaz.

   • Örneğimizde:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))- X) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2))- X) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Farkın karesini buldunuz - x̅) 2 (\displaystyle ^(2))Örnekteki her değer için.

6. Farkların karelerinin toplamını hesaplayın. Yani formülün şu şekilde yazılan kısmını bulun: ∑[( x ben (\displaystyle x_(i))- X) 2 (\displaystyle ^(2))] Burada Σ işareti her değer için kare farkların toplamı anlamına gelir x ben (\displaystyle x_(i))örnekte. Karesel farkları zaten buldunuz (x ben (\displaystyle (x_(i))- X) 2 (\displaystyle ^(2)) her değer için x ben (\displaystyle x_(i))örnekte; şimdi sadece bu kareleri ekleyin.

   • Örneğimizde: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Sonucu n - 1'e bölün; burada n, örnekteki değerlerin sayısıdır. Bir süre önce istatistikçiler örneklem varyansını hesaplamak için sonucu basitçe n'ye bölüyordu; bu durumda, belirli bir numunenin varyansını tanımlamak için ideal olan kare varyansın ortalamasını elde edersiniz. Ancak herhangi bir numunenin yalnızca küçük bir parça olduğunu unutmayın. nüfus değerler. Başka bir örnek alıp aynı hesaplamaları yaparsanız farklı bir sonuç elde edersiniz. Görünen o ki, (sadece n yerine) n - 1'e bölmek, ilgilendiğiniz şey olan popülasyon varyansının daha doğru bir tahminini veriyor. N – 1'e bölme yaygın hale geldi, bu nedenle örnek varyansını hesaplama formülüne dahil edildi.

   • Örneğimizde örnek 6 değer içermektedir, yani n = 6.
     Örneklem varyansı = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Varyans ve standart sapma arasındaki fark. Formülün bir üs içerdiğini, dolayısıyla dağılımın analiz edilen değerin birim karesi cinsinden ölçüldüğünü unutmayın. Bazen böyle bir büyüklüğün işletilmesi oldukça zordur; bu gibi durumlarda, şuna eşit olan standart sapmayı kullanın: karekök dağılımdan. Bu nedenle örneklem varyansı şu şekilde gösterilir: s 2 (\displaystyle s^(2)), A standart sapmaörnekler - nasıl s (\displaystyle s).

   • Örneğimizde numunenin standart sapması: s = √33,2 = 5,76.

   Nüfus Varyansının Hesaplanması

   1. Bazı değer kümelerini analiz edin. Set, söz konusu miktarın tüm değerlerini içerir. Örneğin, sakinlerin yaşını inceliyorsanız Leningrad bölgesi, o zaman nüfus bu bölgede yaşayan tüm sakinlerin yaşlarını içerir. Bir popülasyonla çalışırken tavsiye edilir tablo oluştur ve bütünlüğün değerlerini buna ekleyin. Aşağıdaki örneği düşünün:

      • Belirli bir odada 6 adet akvaryum bulunmaktadır. Her akvaryumda aşağıdaki sayıda balık bulunur:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. Popülasyon varyansını hesaplamak için bir formül yazın. Toplam, belirli bir miktarın tüm değerlerini içerdiğinden aşağıdaki formül elde etmemizi sağlar: kesin değer nüfus farklılıkları. Nüfus varyansını örneklem varyansından (ki bu yalnızca bir tahmindir) ayırt etmek için istatistikçiler çeşitli değişkenler kullanır:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x ben (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/N
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))– nüfus dağılımı (“sigma kare” olarak okunur). Dağılım birim kare cinsinden ölçülür.
      • x ben (\displaystyle x_(i))– her değer kendi bütünlüğü içinde.
      • Σ – toplam işareti. Yani her değerden x ben (\displaystyle x_(i))μ'yu çıkarmanız, karesini almanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir.
      • μ – nüfus ortalaması.
      • n – popülasyondaki değerlerin sayısı.

   3. Nüfus ortalamasını hesaplayın. Bir popülasyonla çalışırken ortalaması μ (mu) olarak gösterilir. Popülasyon ortalaması basit bir aritmetik ortalama olarak hesaplanır: popülasyondaki tüm değerleri toplayın ve ardından sonucu popülasyondaki değer sayısına bölün.

      • Ortalamaların her zaman aritmetik ortalama olarak hesaplanmadığını unutmayın.
      • Örneğimizde popülasyonun anlamı: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Popülasyondaki her değerden popülasyon ortalamasını çıkarın. Fark değeri sıfıra ne kadar yakınsa o kadar yakın olur. özel anlam nüfus anlamına gelir. Popülasyondaki her değer ile ortalaması arasındaki farkı bulun ve değerlerin dağılımı hakkında ilk fikri elde edeceksiniz.

      • Örneğimizde:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Elde edilen her sonucun karesini alın. Fark değerleri hem pozitif hem de negatif olacaktır; Bu değerler bir sayı doğrusu üzerinde çizilirse popülasyon ortalamasının sağında ve solunda yer alacaktır. Pozitif ve pozitif olduğundan bu, varyansın hesaplanması için uygun değildir. negatif sayılar birbirini telafi edin. Yani tamamen pozitif sayılar elde etmek için her farkın karesini alın.

      • Örneğimizde:
        (x ben (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) her popülasyon değeri için (i = 1'den i = 6'ya):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), Nerede x n (\displaystyle x_(n)) – son değer genel popülasyonda.
      • Elde edilen sonuçların ortalama değerini hesaplamak için toplamlarını bulup n'ye bölmeniz gerekir:(( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/N
      • Şimdi yukarıdaki açıklamayı değişkenleri kullanarak yazalım: (∑( x ben (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n ve popülasyon varyansını hesaplamak için bir formül elde edin.

.

Tersine, if negatif olmayan bir a.e. öyle işlev gör , o zaman yoğunluğu olacak şekilde kesinlikle sürekli bir olasılık ölçüsü vardır.

Lebesgue integralindeki ölçüyü değiştirmek:

,

olasılık ölçüsüne göre entegre edilebilir herhangi bir Borel fonksiyonu nerede?

Dispersiyon, dispersiyonun çeşitleri ve özellikleri Dispersiyon kavramı

İstatistiklerde dağılım aritmetik ortalamadan karesi alınan karakteristiğin bireysel değerlerinin standart sapması olarak bulunur. Başlangıç ​​verilerine bağlı olarak basit ve ağırlıklı varyans formülleri kullanılarak belirlenir:

1. Basit varyans(gruplandırılmamış veriler için) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

2. Ağırlıklı varyans (varyasyon serileri için):

burada n frekanstır (X faktörünün tekrarlanabilirliği)

Varyansı bulma örneği

Bu sayfada varyans bulmanın standart bir örneği açıklanmaktadır; bunu bulmak için diğer problemlere de bakabilirsiniz.

Örnek 1. Grubun tanımı, grubun ortalaması, gruplar arası ve toplam varyans

Örnek 2. Gruplandırma tablosunda varyansı ve varyasyon katsayısını bulma

Örnek 3. Ayrık bir seride varyansın bulunması

Örnek 4. 20 kişilik bir öğrenci grubu için aşağıdaki veriler mevcuttur. yazışma departmanı. İnşa etmek gerekiyor aralık serisi Bir özelliğin dağılımı, özelliğin ortalama değerini hesaplayın ve varyansını inceleyin

Bir aralık gruplaması oluşturalım. Aşağıdaki formülü kullanarak aralığın aralığını belirleyelim:

burada X maksimum– maksimum değer gruplama özelliği; X min – gruplandırma karakteristiğinin minimum değeri; n – aralık sayısı:

n=5 kabul ediyoruz. Adım: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Bir aralık gruplaması oluşturalım

Daha fazla hesaplama için yardımcı bir tablo oluşturacağız:

X"i – aralığın ortası. (örneğin, 159 – 165,6 = 162,3 aralığının ortası)

Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak öğrencilerin ortalama boyunu belirleriz:

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı belirleyelim:

Formül şu şekilde dönüştürülebilir:

Bu formülden şu sonuç çıkıyor varyans eşittir seçeneklerin karelerinin ortalaması ile kare ve ortalama arasındaki fark.

Varyans varyasyon serisi Momentler yöntemini kullanarak eşit aralıklarla, ikinci dağılım özelliği kullanılarak (tüm seçeneklerin aralığın değerine bölünmesiyle) aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. Varyansın belirlenmesi Momentler yöntemi kullanılarak hesaplanan aşağıdaki formülü kullanmak daha az zahmetlidir:

burada i aralığın değeridir; A, aralığın ortasını en yüksek frekansla kullanmanın uygun olduğu geleneksel bir sıfırdır; m1 birinci dereceden momentin karesidir; m2 - ikinci derecenin anı

Alternatif özellik varyansı (istatistiksel bir popülasyonda bir özellik yalnızca iki birbirini dışlayan seçenek olacak şekilde değişirse, bu tür değişkenliğe alternatif denir) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Değiştirme bu formül varyans q =1- p, şunu elde ederiz:

Varyans türleri

Toplam varyans Bir özelliğin, bu varyasyona neden olan tüm faktörlerin etkisi altında popülasyonun tamamındaki değişimini bir bütün olarak ölçer. Sapmaların ortalama karesine eşittir bireysel değerler x'in genel ortalama değerinden karakteristik x ve şu şekilde tanımlanabilir: basit varyans veya ağırlıklı varyans.

Grup içi varyans rastgele değişimi karakterize eder, yani Değişimin hesaba katılmayan faktörlerin etkisinden kaynaklanan ve grubun temelini oluşturan faktör özelliğine bağlı olmayan kısmı. Bu tür bir dağılım, X grubu içindeki özelliğin bireysel değerlerinin grubun aritmetik ortalamasından sapmalarının ortalama karesine eşittir ve basit dağılım veya ağırlıklı dağılım olarak hesaplanabilir.

Böylece, grup içi varyans ölçümleri Bir grup içindeki bir özelliğin varyasyonu aşağıdaki formülle belirlenir:

burada xi grup ortalamasıdır; ni gruptaki birimlerin sayısıdır.

Örneğin, bir atölyede işçilerin niteliklerinin işgücü üretkenliği düzeyi üzerindeki etkisini inceleme görevinde belirlenmesi gereken grup içi farklılıklar, her gruptaki çıktıda tüm olası faktörlerin (ekipmanın teknik durumu, ekipmanın mevcudiyeti) neden olduğu değişiklikleri gösterir. araç ve gereçler, işçilerin yaşı, iş yoğunluğu vb.), nitelik kategorisindeki farklılıklar hariç (bir grup içindeki tüm işçiler aynı niteliklere sahiptir).

Grup içi varyansların ortalaması, rastgele değişimi, yani varyasyonun, gruplandırma faktörü haricindeki tüm diğer faktörlerin etkisi altında meydana gelen kısmını yansıtır. Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Gruplararası varyans Grubun temelini oluşturan faktör işaretinin etkisinden kaynaklanan, ortaya çıkan özelliğin sistematik varyasyonunu karakterize eder. Grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının ortalama karesine eşittir. Gruplar arası varyans aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: