Üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç düz çizgiden oluşan geometrik bir şekildir. Çizgilerin bağlantı noktaları üçgenin köşeleridir. Latin harfleriyle(örneğin A, B, C). Bir üçgenin birbirine bağlanan düz çizgilerine bölümler denir ve bunlar genellikle Latin harfleriyle de gösterilir. Ayırt etmek aşağıdaki türlerüçgenler:

• Dikdörtgen.
• Geniş.
• Akut açısal.
• Çok yönlü.
• Eşkenar.
• İkizkenar.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için genel formüller

Uzunluk ve yüksekliğe dayalı bir üçgenin alanı için formül

S= a*h/2,
burada a, alanı bulunması gereken üçgenin kenar uzunluğu, h ise tabana çizilen yüksekliğin uzunluğudur.

Heron'un formülü

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
√ nerede Kare kök, p üçgenin yarı çevresidir, a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur. Bir üçgenin yarı çevresi p=(a+b+c)/2 formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Segmentin açısına ve uzunluğuna dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = (a*b*sin(α))/2,
Nerede b,cüçgenin kenarlarının uzunluğu, sin(α), iki kenar arasındaki açının sinüsüdür.

Yazılı dairenin yarıçapı ve üç tarafı verilen bir üçgenin alanı için formül

S=p*r,
p, alanı bulunması gereken üçgenin yarı çevresi, r ise bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapıdır.

Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı ve etrafını çevreleyen dairenin yarıçapı için formül

S= (a*b*c)/4*R,
burada a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur, R ise üçgenin etrafını çevreleyen dairenin yarıçapıdır.

Noktaların Kartezyen koordinatlarını kullanan üçgenin alanı formülü

Noktaların kartezyen koordinatları xOy sistemindeki koordinatlardır; burada x apsis, y ise ordinattır. Kartezyen sistem düzlemdeki xOy koordinatlarına karşılıklı dik denir sayısal eksenler Ooh ve Oy ile ortak başlangıç O noktasındaki referans noktası. Bu düzlemdeki noktaların koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) şeklinde verilirse alanı hesaplayabilirsiniz. kullanarak üçgen aşağıdaki formül dan elde edilen vektör çarpımı iki vektör.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
nerede || modül anlamına gelir.

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Bir üçgenin yalnızca bir tane böyle açısı olabilir.

İki taraftaki dik üçgenin alanı için formül

S= a*b/2,
burada a,b bacakların uzunluğudur. Bacaklar dik açıya bitişik kenarlardır.

Hipotenüs ve dar açıya dayalı dik üçgenin alanı formülü

S = a*b*sin(α)/ 2,
burada a, b üçgenin bacaklarıdır ve sin(α), a, b doğrularının kesiştiği açının sinüsüdür.

Yan ve karşı açıya göre dik üçgenin alanı formülü

S = a*b/2*tg(β),
burada a, b üçgenin bacaklarıdır, tan(β), a, b bacaklarının birleştiği açının tanjantıdır.

İkizkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır

İkizkenar üçgen iki tane olan üçgendir eşit taraflar. Bu taraflara kenar, diğer tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden birini kullanabilirsiniz.

İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için temel formül

S=h*c/2,
burada c üçgenin tabanıdır, h ise üçgenin tabana indirilen yüksekliğidir.

Kenar ve tabana dayalı ikizkenar üçgen formülü

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
burada c üçgenin tabanıdır, a ise ikizkenar üçgenin kenarlarından birinin boyutudur.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Alanı hesaplamak için eşkenar üçgen aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
S = (√3*a*a)/4,
burada a eşkenar üçgenin kenar uzunluğudur.

Yukarıdaki formüller üçgenin gerekli alanını hesaplamanıza izin verecektir. Üçgenin alanını hesaplamak için üçgenin türünü ve hesaplama için kullanılabilecek mevcut verileri dikkate almanız gerektiğini unutmamak önemlidir.

Üçgen, üç kenar ve üç köşeden oluşan en basit geometrik şekildir. Basitliği nedeniyle üçgen eski çağlardan beri çeşitli ölçümler ve bugün rakam pratik ve günlük sorunları çözmek için yararlı olabilir.

Bir üçgenin özellikleri

Şekil eski çağlardan beri hesaplamalar için kullanılmaktadır; örneğin, kadastrocular ve gökbilimciler alanları ve mesafeleri hesaplamak için üçgenlerin özelliklerini kullanırlar. Herhangi bir n-gon'un alanını bu şeklin alanı aracılığıyla ifade etmek kolaydır ve bu özellik eski bilim adamları tarafından çokgenlerin alanları için formüller türetmek için kullanılmıştır. Tam zamanlı işüçgenlerle, özellikle de dik üçgenle, matematiğin bütün bir dalının - trigonometrinin - temeli haline geldi.

Üçgen geometrisi

Geometrik şeklin özellikleri eski çağlardan beri araştırılmaktadır: Üçgenle ilgili en eski bilgi 4.000 yıl öncesine ait Mısır papirüslerinde bulunmuştur. Daha sonra şekil üzerinde çalışıldı. Antik Yunanüçgenin geometrisine en büyük katkıları ise Öklid, Pisagor ve Heron yapmıştır. Üçgenin incelenmesi hiç durmadı ve 18. yüzyılda Leonhard Euler, bir şeklin diklik merkezi ve Euler çemberi kavramını ortaya attı. 19. ve 20. yüzyılların başında, üçgen hakkında kesinlikle her şeyin bilindiği bir zamanda, Frank Morley açı trisektörleri teoremini formüle etti ve Waclaw Sierpinski fraktal üçgeni önerdi.

Bize tanıdık gelen birkaç tür düz üçgen vardır. okul kursu geometri:

• akut - şeklin tüm köşeleri akut;
• geniş - şekilde bir tane var geniş açı(90 dereceden fazla);
• dikdörtgen - şekil 90 dereceye eşit bir dik açı içerir;
• ikizkenar - iki eşit kenarı olan bir üçgen;
• eşkenar - tüm kenarları eşit olan bir üçgen.
• İÇİNDE gerçek hayat Her türlü üçgen vardır ve bazı durumlarda geometrik bir şeklin alanını hesaplamamız gerekebilir.

Bir üçgenin alanı

Alan, bir şeklin düzlemin ne kadarını kapsadığına ilişkin bir tahmindir. Bir üçgenin alanı, yazılı veya çevrelenmiş dairenin kenarları, yüksekliği, açıları, yarıçapı ve ayrıca Heron formülü kullanılarak veya hesaplanarak altı şekilde bulunabilir. çift ​​katlı integral düzlemi sınırlayan çizgiler boyunca. En çok basit formül Bir üçgenin alanını hesaplamak şuna benzer:

a üçgenin kenarı, h ise yüksekliğidir.

Ancak pratikte geometrik bir şeklin yüksekliğini bulmak bizim için her zaman uygun değildir. Hesap makinemizin algoritması aşağıdakileri bilerek alanı hesaplamanıza olanak tanır:

• üç taraf;
• iki kenar ve aralarındaki açı;
• bir tarafı ve iki köşesi.

Üç kenar boyunca alanı belirlemek için Heron formülünü kullanırız:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))

burada p üçgenin yarı çevresidir.

İki taraftaki alan ve bir açı klasik formül kullanılarak hesaplanır:

S = a × b × sin(alfa),

burada alfa, a ve b kenarları arasındaki açıdır.

Alanı bir kenar ve iki açı cinsinden belirlemek için şu ilişkiyi kullanırız:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Kullanma basit orantı, ikinci kenarın uzunluğunu belirliyoruz ve ardından S = a × b × sin(alfa) formülünü kullanarak alanı hesaplıyoruz. Bu algoritma tamamen otomatiktir ve yalnızca belirtilen değişkenleri girmeniz ve sonucu almanız gerekir. Birkaç örneğe bakalım.

Hayattan örnekler

Kaldırım levhaları

Diyelim ki zemini üçgen fayanslarla döşemek ve miktarını belirlemek istiyorsunuz. gerekli malzeme, bir kiremitin alanını ve zeminin alanını bulmalısınız. Boyutları a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm olan bir karo kullanarak 6 metrekarelik bir yüzeyi işlemeniz gerektiğini varsayalım. Açıkçası, bir üçgenin alanını hesaplamak için hesap makinesi Heron formülünü kullanıyor ve şunu veriyor: sonuç:

Böylece bir kiremit elemanının alanı 0,021 olacaktır. metrekare ve zemini iyileştirmek için 6/0,021 = 285 üçgene ihtiyacınız olacak. 20, 21 ve 29 sayıları birbirini oluşturur Pisagor üçlüsü- tatmin edici sayılar. Doğru, hesap makinemiz üçgenin tüm açılarını da hesapladı ve gama açısı tam olarak 90 derece.

Okul görevi

İÇİNDE okul sorunu a tarafının = 5 cm olduğunu ve alfa ve beta açılarının sırasıyla 30 ve 50 derece olduğunu bilerek üçgenin alanını bulmak gerekir. Bu sorunu manuel olarak çözmek için önce en boy oranının ve karşıt açıların sinüslerinin oranını kullanarak b tarafının değerini buluruz ve ardından S = a × b × sin(alfa) basit formülünü kullanarak alanı belirleriz. Zamandan tasarruf edelim, verileri hesap makinesi formuna girelim ve anında yanıt alalım

Hesap makinesini kullanırken açıları ve kenarları doğru belirtmek önemlidir, aksi takdirde sonuç yanlış olacaktır.

Çözüm

Üçgen, hem gerçek hayatta hem de soyut hesaplamalarda bulunan eşsiz bir figürdür. Herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için çevrimiçi hesap makinemizi kullanın.

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Fakat Bu method tek olmaktan çok uzak. Aşağıda üçgenin alanını nasıl bulacağınızı okuyabilirsiniz. farklı formüller.

Ayrı ayrı, alanı hesaplamanın yollarına bakacağız belirli türlerüçgen - dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüllerde özel gösterim kullanılmaktadır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

• a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
• r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
• α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
• γ a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
• p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolayca tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına düşürürsek, o zaman özelliklere göre dik üçgen a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini, yani h'yi elde ederiz.

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu aynı zamanda more kullanılarak da yapılabilir. karmaşık hesaplamalarüzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği a kenar uzunluğunun çarpımının yarısına ve 3'ün kareköküne eşittir. Alanı bulmak için düzgün üçgen a kenarının karesini 3'ün kareköküyle çarpıp 4'e bölmeniz gerekir.

İtibaren karşı köşe) ve elde edilen ürünü ikiye bölün. Bu şuna benziyor:

S = ½ * a * h,

Nerede:
S – üçgenin alanı,
a, kenarının uzunluğudur,
h bu tarafa indirilen yüksekliktir.

Kenar uzunluğu ve yüksekliği aynı ölçü birimlerinde sunulmalıdır. Bu durumda üçgenin alanı karşılık gelen “ ” birimlerinde elde edilecektir.

Örnek.
Bir tarafa eşkenar olmayan üçgen 20 cm uzunluğunda, karşı tepe noktasından 10 cm uzunluğunda dik bir açı indiriliyor.
Üçgenin alanı gereklidir.
Çözüm.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Çeşitkenar üçgenin herhangi iki kenarının uzunluğu ve aralarındaki açı biliniyorsa aşağıdaki formülü kullanın:

S = ½ * a * b * sinγ,

burada: a, b – ikinin uzunlukları keyfi taraflar, ve γ aralarındaki açıdır.

Uygulamada örneğin ölçüm yaparken arsalar yukarıdaki formüllerin kullanımı bazen zordur çünkü gerektirir ek yapılar ve açı ölçümleri.

Çeşitkenar üçgenin üç tarafının da uzunluklarını biliyorsanız Heron formülünü kullanın:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

a, b, c – üçgenin kenarlarının uzunlukları,
p – yarı çevre: p = (a+b+c)/2.

Tüm kenarların uzunluklarına ek olarak üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı da biliniyorsa, aşağıdaki kompakt formülü kullanın:

burada: r – yazılı dairenin yarıçapı (р – yarı çevre).

Çeşitkenar üçgenin alanını ve kenarlarının uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

burada: R – çevrelenen dairenin yarıçapı.

Üçgenin kenarlarından birinin uzunluğunu ve üç açıyı biliyorsanız (prensipte iki yeterlidir - üçüncünün değeri üçgenin üç açısının toplamının eşitliğinden hesaplanır - 180°), o zaman şunu kullanın: formül:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

burada α, a tarafının karşısındaki açının değeridir;
β, γ – üçgenin kalan iki açısının değerleri.

Bulma ihtiyacı çeşitli unsurlar alanlar dahil üçgen, MÖ yüzyıllarca ortaya çıktı bilim adamları gökbilimciler Antik Yunan. Kare üçgen hesaplanabilir Farklı yollar farklı formüller kullanıyor. Hesaplama yöntemi hangi unsurlara bağlıdır üçgen bilinen.

Talimatlar

Koşuldan iki tarafın b, c değerlerini ve bunların oluşturduğu açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC aşağıdaki formülle bulunur:
S = (bcsin?)/2.

Koşuldan a, b'nin iki tarafının değerlerini ve bunların oluşturmadığı açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC şu şekilde bulunur:
Açıyı bulmak mı?, günah mı? = bsin?/a ise açının kendisini belirlemek için tabloyu kullanın.
Açıyı bulmak?, ? = 180°-?-?.
Alanın kendisini S = (absin?)/2 olarak buluyoruz.

Koşuldan sadece üç tarafın değerini biliyorsak üçgen a, b ve c, ardından alan üçgen ABC aşağıdaki formülle bulunur:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) burada p yarı çevredir p = (a+b+c)/2

Sorun koşullarından yüksekliği biliyorsak üçgen h ve bu yüksekliğin alçaltıldığı taraf, ardından alan üçgen Formüle göre ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Kenarların anlamlarını biliyorsak üçgen a, b, c ve bununla ilgili açıklanan yarıçap üçgen R, o zaman bunun alanı üçgen ABC aşağıdaki formülle belirlenir:
S = abc/4R.
Eğer a, b, c'nin üç kenarı ve içine yazılanın yarıçapı biliniyorsa, o zaman alan üçgen ABC aşağıdaki formülle bulunur:
S = pr, burada p yarı-çevredir, p = (a+b+c)/2.

ABC eşkenar ise alan şu formülle bulunur:
S = (a^2v3)/4.
Eğer ABC üçgeni– ikizkenar ise alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, burada c – üçgen.
ABC üçgeni dik açılı ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = ab/2, burada a ve b bacaklardır üçgen.
ABC üçgeni bir dik ikizkenar üçgen ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = c^2/4 = a^2/2, burada c hipotenüstür üçgen, a=b – bacak.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

• bir üçgenin alanı nasıl ölçülür

İpucu 3: Açı biliniyorsa üçgenin alanı nasıl bulunur?

Alanı bulmak için yalnızca bir parametreyi (açı) bilmek yeterli değildir üç kare . Herhangi bir ek boyut varsa, alanı belirlemek için açı değerinin de bilinen değişkenlerden biri olarak kullanıldığı formüllerden birini seçebilirsiniz. En sık kullanılan formüllerden birkaçı aşağıda verilmiştir.

Talimatlar

İki tarafın oluşturduğu açının (γ) boyutuna ek olarak üç kare Bu kenarların (A ve B) uzunlukları da biliniyorsa, o zaman kare(S) rakamları kenar uzunluklarının çarpımının yarısı ile bunun sinüsü olarak tanımlanabilir. bilinen açı: S=½×A×B×sin(γ).

Üçgen en yaygın olanlardan biridir geometrik şekiller zaten tanıştığımız ilkokul. Geometri derslerinde her öğrenci üçgenin alanının nasıl bulunacağı sorusuyla karşı karşıya kalır. Peki, belirli bir şeklin alanını bulmanın hangi özellikleri tanımlanabilir? Bu yazıda böyle bir görevi tamamlamak için gerekli temel formüllere bakacağız ve ayrıca üçgen türlerini analiz edeceğiz.

Üçgen türleri

Bir üçgenin alanını kesinlikle bulabilirsiniz Farklı yollarÇünkü geometride üç açı içeren birden fazla şekil türü vardır. Bu türler şunları içerir:

• Geniş.
• Eşkenar (doğru).
• Sağ üçgen.
• İkizkenar.

Her birine daha yakından bakalım mevcut türlerüçgenler.

Bu geometrik şekil, çözerken en yaygın olanı olarak kabul edilir. geometrik problemler. Rastgele bir üçgen çizme ihtiyacı ortaya çıktığında bu seçenek kurtarmaya gelir.

Dar üçgende, adından da anlaşılacağı gibi, tüm açılar dardır ve toplamı 180°'ye eşittir.

Bu üçgen türü de çok yaygındır, ancak dar üçgenden biraz daha az yaygındır. Örneğin, üçgenleri çözerken (yani, birkaç tarafı ve açısı bilinir ve kalan elemanları bulmanız gerekir), bazen açının geniş olup olmadığını belirlemeniz gerekir. Kosinüs negatif bir sayıdır.

B, açılardan birinin değeri 90°'yi aştığı için geri kalan iki açı küçük değerler alabilir (örneğin 15° hatta 3°).

Bir üçgenin alanını bulmak için bu türden, daha sonra konuşacağımız bazı nüansları bilmeniz gerekiyor.

Düzenli ve ikizkenar üçgenler

Düzenli çokgen n tane açı içeren, kenarları ve açıları eşit olan bir şekildir. Normal üçgen budur. Bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olduğundan her üç açısı da 60° olur.

Özelliği nedeniyle düzenli üçgene eşkenar şekil de denir.

Ayrıca normal bir üçgenin içine yalnızca bir daire yazılabileceğini, çevresinde yalnızca bir dairenin tanımlanabileceğini ve merkezlerinin aynı noktada bulunduğunu belirtmekte fayda var.

Eşkenar tipine ek olarak, ondan biraz farklı olan ikizkenar üçgen de ayırt edilebilir. Böyle bir üçgende iki kenar ve iki açı birbirine eşittir ve üçüncü kenar (bitişik olan) eşit açılar) tabandır.

Şekilde D ve F açıları eşit ve DF tabanı olan DEF ikizkenar üçgeni gösterilmektedir.

Sağ üçgen

Dik üçgen, açılarından biri dik, yani 90°'ye eşit olduğu için bu şekilde adlandırılmıştır. Diğer iki açının toplamı 90° olur.

En çok büyük taraf Böyle bir üçgende 90°'lik açının karşısında bulunan taraf hipotenüs, geri kalan iki kenar ise bacaklardır. Bu tür üçgenler için Pisagor teoremi geçerlidir:

Bacakların uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Şekilde hipotenüs AC ve kenarları AB ve BC olan bir BAC dik üçgeni gösterilmektedir.

Dik açılı bir üçgenin alanını bulmak için bilmeniz gerekenler sayısal değerler bacakları.

Belirli bir şeklin alanını bulmak için formüllere geçelim.

Alanı bulmak için temel formüller

Geometride, çoğu üçgen türünün alanını bulmak için uygun olan iki formül ayırt edilebilir: dar, geniş, düzenli ve ikizkenar üçgenler. Her birine bakalım.

Yan ve yüksekliğe göre

Bu formül düşündüğümüz şeklin alanını bulmak için evrenseldir. Bunu yapmak için kenarın uzunluğunu ve ona çizilen yüksekliğin uzunluğunu bilmek yeterlidir. Formülün kendisi (taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı) aşağıdaki gibidir:

A kenar nerede verilen üçgen ve H üçgenin yüksekliğidir.

Örneğin alanı bulmak için dar üçgen ACB, AB tarafını CD yüksekliğiyle çarpmanız ve elde edilen değeri ikiye bölmeniz gerekir.

Ancak üçgenin alanını bu şekilde bulmak her zaman kolay olmuyor. Örneğin bu formülü kullanmak için geniş açılı üçgen, yanlarından birine devam etmek ve ancak bundan sonra ona bir yükseklik çekmek gerekiyor.

Pratikte bu formül diğerlerinden daha sık kullanılır.

Her iki tarafta ve köşede

Bu formül, önceki gibi, çoğu üçgen için uygundur ve anlamında, bir üçgenin alanını ve yüksekliğini bulma formülünün bir sonucudur. Yani söz konusu formül bir önceki formülden kolaylıkla türetilebilir. Formülasyonu şuna benzer:

S = ½*sinO*A*B,

burada A ve B üçgenin kenarlarıdır ve O, A ve B kenarları arasındaki açıdır.

Bir açının sinüsünün, adını öne çıkan değerden alan özel bir tabloda görüntülenebileceğini hatırlayalım. Sovyet matematikçi V. M. Bradis.

Şimdi yalnızca istisnai üçgen türleri için uygun olan diğer formüllere geçelim.

Dik üçgenin alanı

Bir üçgende yüksekliği bulma ihtiyacını içeren evrensel formüle ek olarak, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarından bulunabilir.

Böylece, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarının çarpımının yarısı kadardır veya:

burada a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır.

Düzenli üçgen

Bu tip geometrik şekiller, alanının yalnızca bir tarafının belirtilen değeriyle bulunabilmesi bakımından farklılık gösterir (çünkü normal bir üçgenin tüm kenarları eşittir). Dolayısıyla, "kenarlar eşit olduğunda bir üçgenin alanını bulma" göreviyle karşı karşıya kaldığınızda aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:

S = A 2 *√3 / 4,

burada A eşkenar üçgenin kenarıdır.

Heron'un formülü

Son seçenek Bir üçgenin alanını bulmak Heron'un formülüdür. Bunu kullanabilmek için şeklin üç tarafının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Heron'un formülü şöyle görünür:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

burada a, b ve c bu üçgenin kenarlarıdır.

Bazen problem şu şekilde verilir: "Düzenli bir üçgenin alanı, kenarının uzunluğunu bulmaktır." İÇİNDE bu durumda Düzenli bir üçgenin alanını bulmak için zaten bildiğimiz formülü kullanmamız ve bundan kenarın (veya karesinin) değerini çıkarmamız gerekiyor:

bir 2 = 4S / √3.

Sınav görevleri

Matematikte GIA problemlerinde birçok formül bulunmaktadır. Ek olarak, çoğu zaman kareli kağıt üzerinde bir üçgenin alanını bulmak gerekir.

Bu durumda yüksekliği şeklin kenarlarından birine çekmek, hücrelerden uzunluğunu belirlemek ve kullanmak en uygunudur. evrensel formül alanı bulmak için:

Yani makalede sunulan formülleri inceledikten sonra herhangi bir üçgenin alanını bulmakta herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.