Urn şemaları

İçinde bir urn (yani bir kutu) var N top diyeceğimiz numaralı nesneler. Bu kavanozdan seçiyoruz k toplar. Kaç yol seçebileceğimizle ilgileniyoruz k gelen toplar N, veya kaç farklı sonuç(yani aşağıdakilerden oluşan kümeler k toplar) işe yarayacaktır.

Karar vermedikçe bu soruya kesin bir cevap vermek mümkün değil.

– seçimin nasıl organize edildiği (örneğin, topların torbaya geri döndürülüp döndürülemeyeceği) ve

- ne kastedildiğiyle çeşitli seçim sonuçları.

Aşağıdakilerin mümkün olduğunu düşünelim seçim şemaları:

1. Seçim tekrar hoşgeldiniz: Seçilen her top torbaya geri gönderilir, yani her biri k toplar dolu bir kavanozdan seçilir. Sonuçta oluşan sette, k sayıda top varsa, aynı sayılar da oluşabilir ( tekrarlarla örnekleme).

2. Geri dönüşsüz seçim: Seçilen toplar torbaya geri gönderilmez ve ortaya çıkan sette aynı sayılar görünemez ( tekrarlamadan örnekleme).

Her iki durumda da seçimin sonucu bir dizi k top numaraları. Topların her zaman sırayla, teker teker (geri dönüşlü veya dönüşsüz) seçildiğini varsaymak uygundur.

İki olasılık var:

1. Sıraya dayalı seçim: iki top numarası seti, sayıların bileşimi veya sırası açısından farklıysa farklı kabul edilir. Böylece, 5 top içeren bir torbadan üç top seçildiğinde, (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) kümeleri farklıdır; siparişe göre seçim.

2. Sıraya bakılmaksızın seçim: Bileşimleri farklıysa iki top numarası seti farklı kabul edilir. Yalnızca sayı sırasına göre farklılık gösteren kümeler aynı kabul edilir. Yani yukarıdaki örnekte ilk iki küme (1,2,5), (2,5,1) aynı seçim sonucudur ve (4,4,5) kümesi farklı bir seçim sonucudur.

Şimdi dört şemanın her biri için kaç farklı sonucun mümkün olduğunu sayalım (geri dönüşlü ve geri dönüşsüz seçim ve bu durumların her birinde sırayı dikkate alıp almadığımız).

Urn tasarımı: sırayı dikkate alarak geri dönüşsüz seçim

Urn tasarımı: geri dönüşlü ve sırayı dikkate alan seçim

Seçim şemasındaki toplam örnek sayısı k gelen unsurlar N geri dönüş ile ve sıra dikkate alınarak elemanların permütasyon sayısına göre belirlenir:

Urn tasarımı: geri dönüşlü ve siparişe bakılmaksızın seçim

İki toplu bir torba düşünün ve geri dönüşlü seçim yaparken bu torbadan iki top seçmenin sonuçlarını listeleyin:

“Sıra dikkate alınmadan” şemasında 3 farklı sonuç elde edilirken, “sıra dikkate alınmadan” şemasında dört farklı sonuç elde edilmiştir. Daha sonra seçim şemasındaki toplam örnek sayısı k gelen unsurlar N geri dönüşlü ve sıra gözetmeksizin tekrarlı kombinasyon sayısına göre belirlenir

Örnek sayısının da farklı olduğunu unutmayın. sırayla, V k! farklı olan örneklerin sayısından kat daha fazla sadece kompozisyona göre.

11. Torbanın içinde 1'den 9'a kadar numaralandırılmış toplar bulunur. Toplar yerlerine yerleştirilmeden teker teker çıkarılır. Aşağıdaki olaylar dikkate alınır:
A– topların sayıları geliş sırasına göre 1,2,...,M dizisini oluşturur.
İÇİNDE
İLE– top numarası ile çıkarma sırası arasında tek bir eşleşme yok.
Olayların olasılığını belirleme A, B, C. Olasılıkların sınırlayıcı değerlerini bulun.
Çözüm:
1) Olayın olasılığını bulalım A.
1 numaralı topun ilk çekilme olasılığı eşittir (çünkü sadece 1 numaralı top uygundur ve toplamda 9 top vardır).
2 numaradan ikinci topun çekilme olasılığı eşittir çünkü Sadece 8 top kaldı ama sadece 1 tanesi uyuyor.
Vesaire.
Olasılık çarpım teoremini kullanarak şunu elde ederiz:

2) Olayın olasılığını bulalım İÇİNDE.
İÇİNDE– Topun numarası ile çıkarmanın seri numarasının en az bir kez çakışması.
— tam tersi olay, yani. top numarası asla bir kez çakışmaz seri numarasıçıkarma.
— çekilen ilk topun 1 numaralı top olmaması olasılığı, yani; Toplamda 9 top var ve 8 adet sığıyor.

2 numaralı topun ikinci çekilme olasılığını hesaplayalım.
Onlar. önce çıkarılıp ikinci olarak çıkarılmamalıdır.
.
O halde, ters olayın olasılığı ile ilgili teoreme göre, çekilecek ikinci topun 2 numaralı top olmama olasılığı:
.
Üçüncü topun 3 numaralı topu çekme olasılığını bulalım (yani birinci ve ikinci çekişte çıkarılmamalı, üçüncüde çıkarılmalıdır):

Ve 3 numaralı topun üçüncüde çekilmeme olasılığı:

Diğer toplarda aynı şekilde. Bireysel bir topun numarasına uymayan bir sırayla çekilme olasılığını bulduk: .
O zaman topun sayısının hiçbir zaman çıkarmanın sıra numarasıyla çakışmama olasılığı:

Bu şu anlama gelir:
3)
C olayının olasılığını bulalım - topun sayısı ile çıkarılma sırası arasında tek bir tesadüf yoktur.
Olaylar C ve çakışıyor, yani.
4) Değerleri bulalım olasılıkları sınırlamak.

Örnek 1. İlk torbada: üç kırmızı, bir beyaz top A. İkinci torbada: bir kırmızı, üç beyaz top. Bir madeni para rastgele atılıyor: eğer bir arma ise, ilk torbadan, değilse ikinciden seçilir.
Çözüm:
a) Kırmızı topun çekilme olasılığı
A – kırmızı bir top var
P 1 – arması düştü, P 2 – aksi takdirde

b) Kırmızı top seçilir. Birinci torbadan ikinci torbaya alınma olasılığını bulunuz.
B 1 – ilk torbadan, B 2 – ikinci torbadan
,

Örnek 2. Bir kutuda 4 top vardır. Şunlar olabilir: yalnızca beyaz, yalnızca siyah veya beyaz ve siyah. (Bileşimi bilinmiyor).
Çözüm:
A – beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı
a) Tamamen beyaz:
(beyaz olanların olduğu üç seçenekten birinin olma olasılığı)
(herkesin beyaz olduğu yerde beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı)

b) Herkesin siyah olduğu yere çekildi



c) herkesin beyaz ve/veya siyah olduğu seçeneğini kaldırdı

- en az biri beyaz

P a +P b +P c =

Örnek 3. Torbada 5 beyaz ve 4 siyah top vardır. İçerisinden arka arkaya 2 top alınıyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.
Çözüm:
5 beyaz, 4 siyah top
P(A 1) – beyaz top dışarı çıkarıldı

P(A 2) – ikinci topun da beyaz olma olasılığı

P(A) – arka arkaya seçilen beyaz toplar

Örnek 3a. Paket içerisinde 2 adet sahte ve 8 adet gerçek banknot bulunmaktadır. Paketten art arda 2 banknot çıkarıldı. Her ikisinin de sahte olma olasılığını bulun.
Çözüm:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Örnek 4. 10 kutu var. 2 siyah ve 2 beyaz topun bulunduğu 9 kutu vardır. 1 torbada 5 beyaz ve 1 siyah vardır. Rastgele alınan bir torbadan bir top çekildi.
Çözüm:
P(A)-? İçinde 5 beyaz top bulunan bir torbadan beyaz bir top alınıyor
B – 5 beyaz içeren bir torbadan çekilme olasılığı
, - başkalarından çıkarıldı
C 1 – 9. seviyede beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı.

C 2 – 5 adet beyaz topun ortaya çıkma olasılığı

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Örnek 5. 20 silindirik silindir ve 15 koni şeklinde silindir. Toplayıcı önce 1 silindir alır, ardından bir tane daha alır.
Çözüm:
a) her iki silindir de silindiriktir
P(C1)=; P(Ts2)=
C 1 – birinci silindir, C 2 – ikinci silindir
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) En az bir silindir
K 1 – ilk koni biçimli.
K 2 - ikinci koni şeklinde.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

c) ilk silindir, ancak ikinci değil
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Tek bir silindir değil.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Tam olarak 1 silindir
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Örnek 6. Bir kutuda 10 adet standart parça ve 5 adet arızalı parça bulunmaktadır.
Üç parça rastgele çizilir
a) Bir tanesi arızalı
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – kusurlu ürün olasılığı

q – standart parçaların olasılığı

n=3, üç parça


b) Üç parçadan ikisi arızalı P(2)
c) en az bir standart
P(0) - kusurlu değil

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - en az bir parçanın standart olma olasılığı

Örnek 7. 1. torbada 3 beyaz ve siyah top, 2. torbada ise 3 beyaz ve 4 siyah top bulunmaktadır. 1. torbadan 2. torbaya bakmadan 2 top atılıyor ve 2. torbadan 2 top çekiliyor. Farklı renkte olma olasılığı nedir?
Çözüm:
Topları ilk torbadan taşırken aşağıdaki seçenekler mümkündür:
a) arka arkaya 2 beyaz top çıkardı
PBB 1 =
İkinci adımda her zaman bir top eksik olacaktır, çünkü ilk adımda bir top zaten dışarı alınmıştır.
b) bir beyaz ve bir siyah topu çıkardı
Önce beyaz topun, sonra siyah topun çekildiği durum
P savaş başlığı =
Önce siyah topun, sonra beyaz topun çekildiği durum
P BW =
Toplam: P savaş başlığı 1 =
c) arka arkaya 2 siyah top çıkardı
PHH1 =
Birinci torbadan ikinci torbaya 2 top aktarıldığına göre, toplam sayısıİkinci torbada 9 top olacak (7+2). Buna göre olası tüm seçenekleri arayacağız:
a) İkinci torbadan önce beyaz, sonra siyah bir top alınır.

P BB 2 P BB 1 - ilk torbadan art arda 2 beyaz top çekilmesi koşuluyla önce beyaz bir topun, ardından siyah bir topun çekilme olasılığı anlamına gelir. Bu durumda beyaz topların sayısının 5 (3+2) olmasının nedeni budur.
P BC 2 P BC 1 - ilk torbadan beyaz ve siyah topların çekilmesi koşuluyla, önce beyaz bir topun, ardından siyah bir topun çekilme olasılığı anlamına gelir. Bu nedenle bu durumda beyaz topların sayısı 4 (3+1), siyah topların sayısı ise beş (4+1)'dir.
P BC 2 P BC 1 - her iki siyah topun da sıradaki ilk torbadan çekilmesi koşuluyla, önce beyaz bir topun, ardından siyah bir topun çekilme olasılığı anlamına gelir. Bu durumda siyah topların sayısının 6 (4+2) olmasının nedeni budur.

Çekilen 2 topun farklı renkte olma olasılığı şuna eşittir:

Cevap: P = 0,54

Örnek 7a. 5 beyaz ve 3 siyah topun bulunduğu 1. torbadan 2 top, 2 beyaz ve 6 siyah topun bulunduğu 2. torbaya rastgele aktarıldı. Daha sonra 2. torbadan rastgele 1 top çekildi.
1) 2. torbadan çekilen topun beyaz çıkma olasılığı nedir?
2) 2. torbadan alınan topun beyaz olduğu ortaya çıktı. Topların 1. torbadan 2. torbaya aktarılma olasılığını hesaplayın farklı renk.
Çözüm.
1) Olay A - 2. torbadan çekilen topun beyaz olduğu ortaya çıkıyor. Bu olayın gerçekleşmesi için aşağıdaki seçenekleri ele alalım.
a) Birinci torbadan ikinci torbaya iki beyaz top yerleştirildi: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
İkinci torbada toplam 4 beyaz top var. O halde ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448'dir.
b) Beyaz ve siyah toplar birinci torbadan ikinci torbaya yerleştirildi: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
İkinci torbada toplam 3 beyaz top var. O zaman ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448'dir.
c) Birinci torbadan ikinci torbaya iki siyah top yerleştirildi: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
İkinci torbada toplam 2 beyaz top var. O halde ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448'dir.
Bu durumda 2. torbadan çekilen topun beyaz çıkma olasılığı:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) 2. torbadan alınan topun beyaz olduğu ortaya çıktı, yani. toplam olasılık P(A)=13/32'dir.
Farklı renkteki (siyah ve beyaz) topların ikinci torbaya konulması ve beyaz seçilmesi olasılığı: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Örnek 7b. Birinci torbada 8 beyaz ve 3 siyah top, ikinci torbada ise 5 beyaz ve 3 siyah top bulunmaktadır. Birinciden rastgele bir top, ikinciden ise iki top seçiliyor. Daha sonra seçilen üç toptan rastgele bir top alınır. Bu son topun siyah olduğu ortaya çıktı. İlk torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığını bulun.
Çözüm.
A olayının tüm çeşitlerini ele alalım; üç toptan çekilen topun siyah olduğu ortaya çıkıyor. Üç topun arasında siyah olan nasıl olabilirdi?
a) Birinci torbadan bir siyah top, ikinci torbadan ise iki beyaz top alınmıştır.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Birinci torbadan bir siyah top, ikinci torbadan iki siyah top alındı.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Birinci torbadan bir siyah top, ikinci torbadan bir beyaz ve bir siyah top alındı.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Birinci torbadan bir beyaz top, ikinci torbadan ise iki siyah top alınmıştır.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Birinci torbadan bir beyaz top, ikinci torbadan bir beyaz ve bir siyah top alındı.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Toplam olasılık şu şekildedir: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Beyaz bir torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Üç toptan siyah bir top seçildiğine göre, ilk torbadan beyaz bir topun seçilme olasılığı şuna eşittir:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Örnek 7c. Birinci torbada 12 beyaz ve 16 siyah top, ikinci torbada ise 8 beyaz ve 10 siyah top bulunmaktadır. Aynı zamanda 1. ve 2. torbalardan bir top çekilir, karıştırılır ve her torbaya birer tane geri gönderilir. Daha sonra her torbadan bir top çekiliyor. Aynı renkte oldukları ortaya çıktı. 1. torbada başlangıçtaki kadar beyaz top kalma olasılığını belirleyin.

Çözüm.
Olay A - 1. ve 2. torbalardan aynı anda bir top çekiliyor.
İlk torbadan beyaz bir top çekme olasılığı: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
İlk torbadan siyah top çekme olasılığı: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
İkinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı: P2(B) = 8/18 = 4/9
İkinci torbadan siyah top çekme olasılığı: P2(H) = 10/18 = 5/9

A olayı gerçekleşti. Olay B: Her torbadan bir top çekiliyor. Karıştırıldıktan sonra beyaz veya siyah topun torbaya dönme olasılığı ½'dir.
B olayının seçeneklerini ele alalım - aynı renkte oldukları ortaya çıktı.

İlk kavanoz için
1) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve daha önce beyaz bir top çekilmiş olması şartıyla bir beyaz top çekildi, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve siyah bir topun daha önce çekilmesi şartıyla beyaz bir top çekildi, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) İlk torbaya beyaz bir top konur ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekilir, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve siyah bir top çekildi, eğer daha önce siyah bir top çekilmişse, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve daha önce beyaz bir top çekilmiş olması koşuluyla beyaz bir top çekildi, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) İlk torbaya bir siyah top yerleştirildi ve daha önce siyah bir top çekilmesi şartıyla bir beyaz top çekildi, P1(B/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekildi, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) İlk torbaya bir siyah top yerleştirildi ve daha önce siyah bir top çekilmesi şartıyla siyah bir top çekildi, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

İkinci kavanoz için
1) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve daha önce beyaz bir top çekilmiş olması şartıyla bir beyaz top çekildi, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve siyah bir topun daha önce çekilmesi şartıyla beyaz bir top çekildi, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) İlk torbaya beyaz bir top konur ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekilir, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) İlk torbaya beyaz bir top yerleştirildi ve siyah bir top çekildi, eğer daha önce siyah bir top çekilmişse, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) İlk torbaya siyah bir top atılıyor ve beyaz bir top çekiliyor, eğer daha önce beyaz bir top çekilmişse, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) İlk torbaya siyah bir top konur ve beyaz bir top çekilir, eğer daha önce siyah bir top çekilmişse, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve beyaz bir topun daha önce çekilmesi şartıyla siyah bir top çekildi, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) İlk torbaya siyah bir top yerleştirildi ve daha önce siyah bir top çekilmiş olması koşuluyla siyah bir top çekildi, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Topların aynı renkte olduğu ortaya çıktı:
bir beyaz
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) siyah
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Örnek 7d. İlk kutuda sırasıyla 5 beyaz ve 4 mavi top, ikincisinde 3 ve 1 ve üçüncüsünde sırasıyla 4 ve 5 top bulunmaktadır. Rastgele bir kutu seçildi ve içinden çekilen bir topun mavi olduğu ortaya çıktı. Bu topun ikinci kutudan gelme olasılığı nedir?

Çözüm.
A - geri alma olayı mavi top. Böyle bir olayın tüm olası sonuçlarını düşünelim.
H1 - ilk kutudan çekilen top,
H2 - ikinci kutudan çekilen top,
H3 - üçüncü kutudan çekilen top.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Problemin koşullarına göre A olayının koşullu olasılıkları şuna eşittir:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Bu topun ikinci kutudan gelme olasılığı:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Örnek 8. Her birinde 30 top bulunan beş kutuda 5 kırmızı top bulunur (bu H1 bileşimindeki bir kutudur), her birinde 20 top bulunan diğer altı kutuda 4 kırmızı top bulunur (bu H2 bileşimindeki bir kutudur). Rastgele alınan bir kırmızı topun ilk beş kutudan birinde bulunma olasılığını bulun.
Çözüm: Formül uygulama sorunu tam olasılık.

Örnek 9. Torbanın içinde 2 beyaz, 3 siyah ve 4 kırmızı top bulunmaktadır. Rastgele üç top çekiliyor. En az iki topun aynı renkte olma olasılığı nedir?
Çözüm. Üç olası sonuç vardır:
a) Çekilen üç top arasında en az iki beyaz top vardı.
P b (2) = P 2b
Toplam olası sayı temel sonuçlar Bu testler için bu sayı 9 toptan 3 topun çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir:

Seçilen 3 toptan 2'sinin beyaz olma olasılığını bulalım.

2 beyaz top arasından seçilebilecek seçenek sayısı:

Diğer 7 top üçüncü top arasından seçilebilecek seçenek sayısı:

b) Çekilen üç top arasında en az iki siyah top vardı (yani 2 siyah veya 3 siyah).
Seçilen 3 toptan 2'sinin siyah olma olasılığını bulalım.

3 siyah top arasından seçim yapılabilecek seçenek sayısı:

Bir topun diğer 6 topu arasından seçilebilecek seçenek sayısı:


P 2h = 0,214
Seçilen topların tamamının siyah olma olasılığını bulalım.

Ph (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) Çekilen üç top arasında en az iki kırmızı top vardı (yani 2 kırmızı veya 3 kırmızı).
Seçilen 3 toptan 2 tanesinin kırmızı olma olasılığını bulalım.

4 siyah top arasından seçim yapılabilecek seçenek sayısı:

Seçilebilecek seçenek sayısı: 5 beyaz top, kalan 1 beyaz top:


Seçilen topların tamamının kırmızı olma olasılığını bulalım.

P'den (2)'ye = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Bu durumda en az iki topun aynı renkte olma olasılığı şuna eşittir: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Örnek 10. İlk kavanozda 7'si beyaz olmak üzere 10 top bulunur; İkinci torbada 5'i beyaz olmak üzere 20 top bulunmaktadır. Her torbadan rastgele bir top çekiliyor ve daha sonra bu iki toptan rastgele bir top çekiliyor. Beyaz topun çekilme olasılığını bulunuz.
Çözüm. İlk torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı P(b)1 = 7/10'dur. Buna göre siyah topun çekilme olasılığı P(h)1 = 3/10'dur.
İkinci torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı P(b)2 = 5/20 = 1/4'tür. Buna göre siyah topun çekilme olasılığı P(h)2 = 15/20 = 3/4'tür.
Olay A – iki toptan beyaz bir top alınır
A olayının olası sonucunu ele alalım.

1. Birinci torbadan beyaz bir top, ikinci torbadan da beyaz bir top çekildi. Daha sonra bu iki toptan beyaz bir top çekildi. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. Birinci torbadan beyaz bir top, ikinci torbadan ise siyah bir top çekildi. Daha sonra bu iki toptan beyaz bir top çekildi. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Birinci torbadan siyah bir top, ikinci torbadan ise beyaz bir top çekildi. Daha sonra bu iki toptan beyaz bir top çekildi. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Örnek 11. Kutuda n tane tenis topu var. Bunlardan m oynandı. İlk oyunda rastgele iki top alınıp oyundan sonra geri atıldı. İkinci oyunda da rastgele iki top aldık. İkinci oyunun yeni toplarla oynanma olasılığı nedir?
Çözüm. A olayını düşünün; oyun yeni toplarla ikinci kez oynandı. Bakalım hangi olaylar buna yol açabilir?
Dışarı çekilmeden önce yeni topların sayısını g = n-m ile gösterelim.
a) İlk oyun için iki yeni top çıkarıldı.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) ilk oyunda yeni bir top çıkardılar ve bir tanesi zaten oynanmıştı.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
c) İlk oyunda oynanan iki top dışarı çekildi.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

İkinci oyunun olaylarına bakalım.
a) P1 koşulu altında iki yeni top çekildi: ilk oyun için yeni toplar zaten çekildiğinden, ikinci oyunda sayıları 2, g-2 azaldı.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) P2 koşulu altında iki yeni top çekildi: ilk oyun için zaten yeni bir top çekildiği için, ikinci oyunda sayıları 1 g-1 azaldı.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) P3 koşulu altında iki yeni top çekildi: daha önce ilk oyunda yeni top kullanılmadığından, ikinci oyunda sayıları değişmedi g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Toplam olasılık P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Cevap: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Örnek 12. Birinci, ikinci ve üçüncü kutularda 2 beyaz ve 3 siyah top, dördüncü ve beşinci kutularda ise 1 beyaz ve 1 siyah top bulunmaktadır. Rastgele bir kutu seçiliyor ve içinden bir top çekiliyor. Nedir şartlı olasılıkÇekilen top beyaz ise seçilen dördüncü veya beşinci kutu hangisidir?
Çözüm.
Her kutuyu seçme olasılığı P(H) = 1/5'tir.
A olayının (beyaz topun çekilmesi) koşullu olasılıklarını ele alalım.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Beyaz top çekmenin toplam olasılığı:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Dördüncü kutunun seçilmiş olma koşullu olasılığı
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Beşinci kutunun seçilmiş olma koşullu olasılığı
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Toplamda dördüncü veya beşinci kutunun seçilmesinin koşullu olasılığı şöyledir:
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Örnek 13. Torbada 7 beyaz ve 4 kırmızı top vardı. Daha sonra torbaya beyaz, kırmızı veya siyah renkte başka bir top atıldı ve karıştırıldıktan sonra bir top çıkarıldı. Kırmızı olduğu ortaya çıktı. a) Kırmızı topun konulma olasılığı nedir? b) siyah top?
Çözüm.
a) kırmızı top
Olay A - kırmızı top çekilir. Olay H - kırmızı top yerleştirildi. Torbaya kırmızı bir topun konulma olasılığı P(H=K) = 1/3
O zaman P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) siyah top
Olay A - kırmızı top çekilir. Olay H - siyah bir top yerleştirilir.
Torbaya siyah bir topun konulma olasılığı P(H=H) = 1/3
O zaman P(A|H=H)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0,111

Örnek 14. Topları olan iki kavanoz var. Birinde 10 kırmızı ve 5 mavi top, ikincisinde 5 kırmızı ve 7 mavi top var. Birinci torbadan rastgele bir kırmızı topun, ikinci torbadan ise mavi bir topun çekilmesi olasılığı nedir?
Çözüm. A1 olayının ilk torbadan çekilen kırmızı bir top olmasına izin verin; A2 - ikinci torbadan mavi bir top çekiliyor:
,
A1 ve A2 olayları bağımsızdır. A1 ve A2 olaylarının ortak gerçekleşme olasılığı eşittir:

Örnek 15. Bir deste kart var (36 adet). Art arda rastgele iki kart çekiliyor. Çekilen her iki kartın da kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm. A 1 olayı çekilen ilk kırmızı kart olsun. Olay A 2 - çekilen ikinci kırmızı kart. B - çıkarılan her iki kart da kırmızıdır. Hem A 1 olayı hem de A 2 olayının gerçekleşmesi gerektiğine göre B = A 1 · A 2 . A 1 ve A 2 olayları bağımlıdır, dolayısıyla P(B):
,
Buradan

Örnek 16. İki torbada sadece renkleri farklı olan toplar vardır ve ilk torbada 5 beyaz top, 11 siyah ve 8 kırmızı top, ikincisinde sırasıyla 10, 8, 6 top vardır. Her iki torbadan da rastgele bir top çekiliyor. Her iki topun da aynı renk olma olasılığı nedir?
Çözüm. Dizin 1'in anlamı olsun Beyaz renk, dizin 2 - siyah; 3 - kırmızı renk. A i olayı, ilk torbadan i'inci renkteki bir topun çekilmesi olsun; B j olayı - ikinci torbadan j renginde bir top çekilir; olay A - her iki top da aynı renktedir.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. A i ve Bj olayları bağımsızdır ve A i · B i ve A j · Bj olayları i ≠ j için uyumsuzdur. Buradan,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Örnek 17. İçinde 3 beyaz ve 2 siyah top bulunan bir torbadan, siyah görünene kadar toplar teker teker çekiliyor. Torbadan 3 topun çekilmesi olasılığını bulunuz? 5 top mu?
Çözüm.
1) Torbadan 3 topun çekilme olasılığı (yani üçüncü topun siyah ve ilk ikisinin beyaz olması).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) Torbadan 5 topun çekilmesi olasılığı
Bu durum mümkün değil çünkü sadece 3 beyaz top.
P=0

5 beyaz ve 3 siyah topun bulunduğu 1. torbadan 2 top, 2 beyaz ve 6 siyah topun bulunduğu 2. torbaya rastgele aktarıldı. Daha sonra 2. torbadan rastgele 1 top çekildi.
1) 2. torbadan çekilen topun beyaz çıkma olasılığı nedir?
2) 2. torbadan alınan topun beyaz olduğu ortaya çıktı. Farklı renkteki topların 1. torbadan 2. torbaya taşınma olasılığını hesaplayın.

Yanıtlar:

Çözüm.1) Olay A - 2. torbadan çekilen topun beyaz olduğu ortaya çıkıyor. Bu olayın gerçekleşmesi için aşağıdaki seçenekleri göz önünde bulunduralım. a) Birinci torbadan ikinci torbaya iki beyaz top yerleştirildi: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56. ikinci torbadaki beyaz toplar. O zaman ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı eşittir P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448b) Beyaz ve siyah toplar ilk torbadan atıldı ikinciye: P1(bh) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56 İkinci torbada 3 beyaz top var. O zaman ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı şuna eşittir: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448c) Birinci torbadan iki siyah top yerleştirildi. ikincisi: P1(hh) = 3 /8*2/7 = 6/56 İkinci torbada 2 beyaz top var. O zaman ikinci torbadan beyaz bir top çekme olasılığı P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 O halde 2. torbadan çekilen topun beyaz olma olasılığı: P( A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/322) 2. torbadan alınan topun beyaz olduğu ortaya çıktı, yani. toplam olasılık P(A) = 13/32'dir. Farklı renkteki topların (siyah ve beyaz) ikinci torbaya konulması ve beyazın seçilmesi olasılığı: P2(3) = 30/56*(2+1) /( 6+2) = 90/448P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Çarpma teoremi

denir çarpma teoremleri.

Bu teorem duruma genellenir N olaylar:

Görev 1.İçinde 5 beyaz ve 3 siyah top bulunan bir torbadan, siyah bir top görünene kadar rastgele ve sırayla bir top çekiliyor. Seçim geri dönmeden yapılırsa dördüncü çıkarmanın yapılması gerekmesi olasılığını bulun.

Çözüm. Aşağıdaki olayları tanıtalım: A 1 = (önce çekilen beyaz top), A 2 = (beyaz top ikinci olarak çekildi), A 3 = (beyaz top üçüncü çekildi). Daha sonra ilgilendiğimiz olay A = (dördüncü bir çekiliş yapmak zorunda kalacak) = (ilk üç top beyazdır) =
. Olasılık çarpım teoremine göre

P(A 1) = 5/8;
, zaten bir beyaz top çekildiğinden ve ikinci çekmeden önce torbada 4'ü beyaz olmak üzere 7 top kaldığından; , iki beyaz top zaten çıkarıldığından ve üçüncü çıkarmadan önce torbada 3'ü beyaz olmak üzere 6 top kaldı. Buradan,

Cevap. 5/28.
Olasılık aksiyomlarından, belirttiğimiz gibi, keyfi iki olay için şu sonuç çıkar: A Ve İÇİNDE olasılık

Bu eşitliğe denir toplama teoremleri.

miktarların her şey için geçerli olduğu yer olası kombinasyonlar 1, 2, 3 vb. tarafından alınan çeşitli endeksler. sırasıyla.

Toplam Olasılık Formülü

Hipotezlerin tanımı gereği
ve , ve ikinci olasılık aksiyomuna göre
, Bu yüzden:

yani tüm olay grubu için eşitlik doğrudur:

Herhangi bir etkinlik için A ve tam bir etkinlik grubu H 1 , H 2 ,..., H N adil toplam olasılık formülü:

İki şans unsurunun olduğu ve ikincinin sonucunun olduğu durumda toplam olasılık formülünü uygulamak mantıklıdır. rastgele olay ilk rastgele olayın uygulanmasına bağlıdır.

Çözüm. Olayları ele alalım:

A = (rastgele geçen denetimde alınan bir ürün);

N 1 = (standart ürün alındı), R(N 1)=0,99;

N 2 = (alınan ürün standart dışıdır), R(N 2)=0,01;

A|N 1 = (Standart olması şartıyla rastgele geçen muayenede alınan ürün), R(A|N 1) = 0,995;

A|N 2 = (Standart dışı olması şartıyla rastgele geçen muayenede alınan ürün), R(A|N 2) = 0,001;

Görev. 3.İki torbada beyaz ve siyah toplar var: İlk torbada 8 beyaz ve 2 siyah, ikincisinde 6 beyaz ve 2 siyah var. Birinci torbadan rastgele alınan bir top ikinci torbaya aktarılıyor ve ardından ikinci torbadan rastgele bir top seçiliyor. İkinci torbadan siyah top çekme olasılığını bulunuz.

Çözüm.Şunu belirtelim: A= (ikinci torbadan siyah bir top çekiliyor). Bulmak gerek P(A)

Olayların aşağıdaki gelişme yolları mümkündür:

veya 2/10 olasılıkla birinci torbadan siyah bir top çekilip ikinci torbaya aktarılır, bundan sonra ikinci torbada 9 top (bunlardan 3'ü siyah) olur ve siyah top gelme olasılığı ondan 3/9;

veya 8/10 olasılıkla ilk torbadan beyaz bir top çekilip ikinci torbaya aktarılır, ardından ikinci sette 9 top (2'si siyah) bulunur ve ondan siyah top alma olasılığı 2/9'dur.

Hipotezleri tanıtalım:

H 1 = (ilk torbadan siyah bir top çekiliyor), P(H 1) = 2/10 = 0,2;

H 2 = (ilk torbadan beyaz bir top çekiliyor), P(H 2) = 8/10 = 0,8;

P(H 1) + P(H 2) = 1.

Daha sonra R(A|N 1) = (ilk torbadan siyah bir top çekilmesi şartıyla, ikinci torbadan siyah bir top çekilir), P(A|H 1) = 3/9 = 1/3. Aynı şekilde, P(A|H 2) = 2/9.

Toplam olasılık formülüne göre:

Cevap. 11/45.

Bayes formülü

.

Son formülün adı Bayes formülleri.

.
Görev 4. Problem 3'ün koşullarında, ikinci torbadan da siyah bir top çekildiğinde, birinci torbadan siyah bir top çekilme olasılığını bulun.

Çözüm. Problem 3'ü çözerken tanıtılan gösterimde bulunması gerekmektedir. P(H 1 |A). Bayes'in formülüne göre

Cevap. 3/11.
Görev 5. Mesaj "1" ve "0" sinyallerinden oluşur. Girişimin özellikleri, ortalama olarak "0" sinyallerinin %5'inin ve "1" sinyallerinin %3'ünün bozulacağı şekildedir. Distorsiyon durumunda “0” sinyali yerine “1” sinyali alınır ve bunun tersi de geçerlidir. İletilen sinyaller arasında “0” ve “1”in 3:2 oranında oluştuğu bilinmektedir. “1” sinyali alındığında “0” sinyalinin gönderilme olasılığını bulunuz.

Çözüm. Deney yapıldı ve olay gerçekleşti A =(sinyal “1” alındı).

Hipotezler: H 1 = ("0" sinyali gönderildi), H 2 = (“1” sinyali gönderildi).

Koşula göre: P(H 1) = 3/5 = 0,6, P(H 2) = 2/5 = 0,4 yani P(H 1) + P(H 2) = 1.

Olayları ele alalım:

A|H 1 = (“0” sinyali gönderilmek şartıyla “1” sinyali alınır) = (“0” sinyali bozulur), dolayısıyla duruma göre P(A|H 1)=0,05;

A|H 2 = (“1” sinyali gönderilmek şartıyla “1” sinyali alınır) = (“1” sinyali bozulmamış), dolayısıyla duruma göre P(A|H 2)=1–0,03=0,97;

H 1 | A = (“1” sinyali alınırsa “0” sinyali gönderilir).

Bayes'in formülüne göre