Bir kavanozda 10 beyaz, 5 kırmızı ve 5 yeşil top bulunmaktadır. Rastgele çekilen bir topun renkli (beyaz değil) olma olasılığını bulun.
Çözüm:
Etkinlik için olumlu sonuçların sayısı A, kırmızı ve yeşil topların toplamına eşittir: t = 10. Eşit derecede olası uyumsuz sonuçların toplam sayısı şuna eşittir: toplam sayı kavanozdaki toplar: n = 20. Sonra:
Klasik tanımına göre bir olayın olasılığını belirlerken belirli şartların yerine getirilmesi gerekir. Bu koşullar, içinde yer alan olayların eş-olasılığı ve uyumsuzluğundan oluşur. tam grup Olasılığı belirlenmesi gereken olaylar. Pratikte her şeyi belirlemek her zaman mümkün değildir. olası seçenekler sonuçları ve hatta daha fazlasını eşit olasılıklarını haklı çıkarmak için. Bu nedenle, klasik olasılık tanımının gerekliliklerini yerine getirmek imkansızsa, şunu kullanın: istatistiksel değerlendirme bir olayın olasılığı. Bu kavramı tanıtıyor bağıl frekans bir olayın meydana gelmesi A, orana eşit , Nerede T- olayın meydana geldiği deneme sayısı A; P - toplam deneme sayısı.
J. Bernoulli bunu test sayısında sınırsız bir artışla kanıtladı bağıl frekans olaylar A olayın olasılığından keyfi olarak çok az farklılık gösterecektir A: .
Bu eşitlik, deneyin yapıldığı koşullar sabit kaldığı sürece geçerlidir.
Bernoulli teoreminin geçerliliği klasik ve klasik yöntemlerle hesaplanan olasılıkları karşılaştıran çok sayıda deneyle de kanıtlanmıştır. istatistiksel yöntemler. Böylece Pearson'un deneylerinde, 12.000 atış sırasında "armanın" düşme olasılığını belirlemek için, istatistiksel olasılık 0,5016'ya eşitti ve 24.000 atışla - 0,5005, bu da deney sayısı arttıkça olasılık değerinin 0,5'e yaklaştığını gösteriyor. Olasılık değerlerinin yakınlığı belirlendi çeşitli şekillerde, bu olayın meydana gelme olasılığının nesnelliğini gösterir.
4. Olasılık toplama teoremi
Bazı olayların olasılıklarını bilerek, eğer ilişkiliyse diğer olayların olasılıklarını hesaplayabilirsiniz. Olasılık toplama teoremi, birkaç rastgele olaydan birinin meydana gelme olasılığını belirlemenizi sağlar.
Teorem.İki toplamının olasılığı uyumsuz olaylar A ve B bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
P(A+B) = P(A) + P(B).(2)
Kanıt.İzin vermek N- eşit derecede olası uyumsuzların toplam sayısı temel sonuçlar; m 1 - olay için olumlu sonuçların sayısı A; t 2 - olay için olumlu sonuçların sayısı İÇİNDE.Çünkü A Ve İÇİNDE uyumsuz olaylar, ardından olay A+B olumlu olacak m1 +m2 sonuçlar. O halde klasik olasılık tanımına göre:
Bu kanıtı genişleterek N olaylarla ilgili olarak aşağıdaki teoremi kanıtlayabiliriz.
Teorem.Tutarın olasılığı sonlu sayı ikili olarak uyumsuz olaylar A 1, A 2,..., An n bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir, yani.
P(A 1 + A 2 +…+A p) = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) (3)
Bu teoremden iki sonuç çıkarılabilir:
Sonuç 1.A 1, A 2,..., A n olayları tam bir grup oluşturuyorsa, olasılıklarının toplamı bire eşittir, yani. = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) = 1.(4)
Sonuç 2.Zıt olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir, yani.
Kanıt. Zıt olaylar uyumsuzdur ve tam bir grup oluşturur ve bu tür olayların olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.
Örnek 3.
Bir zar atıldığında 2 veya 3 gelme olasılığını bulun.
Çözüm:
Etkinlik A - 2 sayısı atıldığında bu olayın gerçekleşme olasılığı P(A)= . Etkinlik İÇİNDE- 3 numara atıldığında bu olayın olasılığı P(B) = . Olaylar uyumsuz, bu nedenle
Örnek 4.
40 adet elbiseden oluşan bir parti alındı. Bunlardan 20 takım erkek giyim 6'sı kadınlar için, 14'ü çocuklar için. Rastgele alınan kıyafetlerin kadınlara ait olmama olasılığını bulun.
Çözüm:
Etkinlik A- erkek giyimi, olasılık 
Etkinlik İÇİNDE- kadın kıyafetleri, 
Olasılık olaya olumlu temel sonuçların sayısının oranı denir bu olay, bu olayın ortaya çıkabileceği deneyimin eşit derecede olası tüm sonuçlarının sayısına. A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir (burada P ilk harftir) Fransızca kelime olasılık - olasılık). Tanıma göre
(1.2.1)
A olayının lehine olan temel sonuçların sayısı nerede; - tam bir olay grubu oluşturan, deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısı.
Olasılığın bu tanımına klasik denir. tarihinde ortaya çıktı başlangıç aşaması Olasılık teorisinin gelişimi.
Bir olayın olasılığı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Olasılık güvenilir olay bire eşittir. Güvenilir bir olayı harfle belirtelim. Bu nedenle belirli bir olay için
(1.2.2)
2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. İmkansız bir olayı harfle belirtelim. İmkansız bir olay için bu nedenle
(1.2.3)
3. Olasılık rastgele olay ifade edilir pozitif sayı, birden az. Rastgele bir olay için , veya , eşitsizlikleri sağlandığına göre, o zaman
(1.2.4)
4. Herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri karşılıyor
(1.2.5)
Bu, (1.2.2) - (1.2.4) ilişkilerinden kaynaklanmaktadır.
Örnek 1. Bir kavanozda 4'ü kırmızı, 6'sı mavi olmak üzere eşit boyut ve ağırlıkta 10 top vardır. Torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm. "Çeken topun maviye dönmesi" olayını A harfiyle belirtiyoruz. Bu testin eşit derecede olası 10 temel sonucu vardır ve bunlardan 6'sı A olayını tercih eder. Formül (1.2.1)'e uygun olarak şunu elde ederiz: 
Örnek 2. 1'den 30'a kadar olan tüm doğal sayılar aynı kartlara yazılarak bir torbaya konur. Kartlar iyice karıştırıldıktan sonra torbadan bir kart çıkarılır. Alınan karttaki sayının 5'in katı olma olasılığı nedir?
Çözüm.“Alınan kartın üzerindeki sayının 5’in katı olması” olayını A ile gösterelim. Bu testte, A olayının 6 sonuç (5, 10, 15, 20, 25, 30 sayıları) tarafından tercih edildiği 30 eşit olası temel sonuç vardır. Buradan, 
Örnek 3.İki zar atılır ve toplam puan hesaplanır. üst yüzler. Zarların üst yüzlerinin toplamı 9 puan olacak şekilde B olayının olasılığını bulun.
Çözüm. Bu testte yalnızca 6 2 = 36 eşit olası temel sonuç vardır. B Olayı 4 sonuç tarafından tercih edilir: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dolayısıyla 
Örnek 4. Rastgele seçilmiş doğal sayı 10'u geçemez. Bu sayının asal olma olasılığı nedir?
Çözüm. Seçilen sayının asal olması olayını C harfi ile gösterelim. İÇİNDE bu durumda n = 10, m = 4 ( asal sayılar 2, 3, 5, 7). Bu nedenle gerekli olasılık 
Örnek 5. Simetrik iki madeni para atılıyor. Her iki madeni paranın üst yüzlerinde de sayı olma olasılığı nedir?
Çözüm.“Her paranın üst tarafında bir sayı vardır” olayını D harfiyle belirtelim. Bu testte eşit derecede olası 4 temel sonuç vardır: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). ((G, C) işareti, ilk madeni paranın arması, ikincisinin ise numarası olduğu anlamına gelir). D olayı bir temel sonuç (C, C) tarafından tercih edilir. m = 1, n = 4 olduğundan, o zaman 
Örnek 6. Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının rakamlarının aynı olma olasılığı nedir?
Çözüm. Çift haneli sayılar 10'dan 99'a kadar sayılardır; Toplamda bu tür 90 sayı vardır. 9 sayı aynı rakamlara sahiptir (bunlar 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 sayılarıdır). Bu durumda m = 9, n = 90 olduğundan, o zaman 
,
burada A “aynı basamaklara sahip sayı” olayıdır.
Örnek 7. Kelimenin harflerinden diferansiyel Bir harf rastgele seçilir. Bu harfin a) sesli harf, b) ünsüz, c) harf olma olasılığı nedir? H?
Çözüm. Diferansiyel sözcüğünde 5'i ünlü, 7'si ünsüz olmak üzere 12 harf vardır. Edebiyat H bu kelimede hayır yok. Olayları belirtelim: A - “sesli harf”, B - “ünsüz harf”, C - “harf” H". Olumlu temel sonuçların sayısı: - A olayı için, - B olayı için, - C olayı için. n = 12 olduğundan, o zaman
, Ve .
Örnek 8.İki zar atılıyor ve her zarın üst kısmındaki puanların sayısı not ediliyor. Her iki zarın da gelme olasılığını bulun aynı numara puan.
Çözüm. Bu olayı A harfiyle gösterelim. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Tam bir olay grubunu oluşturan eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı, bu durumda n=6 2 =36. Bu, gerekli olasılığın 
Örnek 9. Kitabın 300 sayfası var. Rastgele açılan bir sayfanın açılma olasılığı nedir? seri numarası, 5'in katı mı?
Çözüm. Sorunun koşullarından, tam bir olay grubunu oluşturan tüm eşit derecede olası temel sonuçların n = 300 olacağı sonucu çıkar. Bunlardan m = 60'ı belirtilen olayın meydana gelmesini destekler. Aslında, 5'in katı olan bir sayı 5k biçimindedir; burada k bir doğal sayıdır ve bu nedenle 
. Buradan, 
, burada A - "sayfa" olayı 5"in katı olan bir sıra numarasına sahiptir.
Örnek 10. İki zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 7 mi yoksa 8 mi alma olasılığı daha yüksek?
Çözüm. Olayları belirtelim: A - “7 puan atılır”, B – “8 puan atılır”. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ve B olayı tercih edilir 5 sonuca göre: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Eşit derecede olası tüm temel sonuçlar n = 6 · 2 = 36'dır. Dolayısıyla, Ve .
Yani P(A)>P(B), yani toplam 7 puan almak, toplam 8 puan almaktan daha olası bir olaydır.
Görevler
1. Rastgele 30'u geçmeyen bir doğal sayı seçiliyor. Bu sayının 3'ün katı olma olasılığı nedir?
2. Vazoda A kırmızı ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan mavi toplar. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı nedir?
3. Rastgele 30'u geçmeyen bir sayı seçiliyor. Bu sayının 30'a bölen olma olasılığı nedir?
4. Vazoda A mavi ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan kırmızı toplar. Bu torbadan bir top alınıp bir kenara konuluyor. Bu topun kırmızı olduğu ortaya çıktı. Daha sonra torbadan bir top daha çekiliyor. İkinci topun da kırmızı olma olasılığını bulun.
5. Rastgele 50'yi aşmayan bir ulusal sayı seçiliyor. Bu sayının asal olma olasılığı nedir?
6. Üç zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 9 veya 10 puan alma olasılığı daha yüksek olan şey nedir?
7. Üç zar atılıyor ve atılan puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 11 puan mı (A olayı) yoksa 12 puan mı (B olayı) almak daha muhtemel?
Cevaplar
1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - toplamda 9 puan alma olasılığı; p 2 = 27/216 - toplamda 10 puan alma olasılığı; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Sorular
1. Adı verilen bir olayın olasılığı nedir?
2. Güvenilir bir olayın olasılığı nedir?
3. İmkansız bir olayın olasılığı nedir?
4. Rastgele bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
5. Herhangi bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
6. Olasılığın hangi tanımına klasik denir?
Karmaşık olayların olasılığını hesaplamak
İçinde 6'sı beyaz, 4'ü siyah olmak üzere on top bulunan bir kavanoz olsun. O zaman aşağıdaki olaylar mümkündür:
A-çıkarmak beyaz top kavanozdan
B – siyah topu torbadan çıkarın
A olayı A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 olaylarından oluşur. B olayı B 1, B 2, B 3, B 4 olaylarından oluşur. Daha sonra torbadaki beyaz topların yüzdesi oran olarak belirlenir ve siyah topların yüzdesi bulunur.
Tanım: A olayının olasılığı denir. sayı, orana eşit A olayının gerçekleşmesi için uygun m sonuçlarının sayısının tüm temel sonuçların toplam sayısına oranı n.
- formül klasik yol olasılığı hesaplamak
Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında bir sayıdır
Tanım: Permütasyonlar her şeyden oluşan kombinasyonlardır N Belirli bir kümenin elemanları ve yalnızca düzenlenme sıraları bakımından farklılık gösterir. Olası tüm permütasyonların sayısı
R p = p!
Tanım: Yerleşimler – kombinasyonları T N çeşitli unsurlar elementlerin bileşimi veya sıraları bakımından farklılık gösterir. Hepsinin sayısı olası yerleşimler
Tanım: Kombinasyonlar sırasız kümelerdir T içeren bir kümenin elemanları N farklı öğeler (yani yalnızca öğelerin bileşiminde farklılık gösteren kümeler). Kombinasyon sayısı
Örnek 1. Eleme müsabakalarına 10 kişi katılıyor ve bunlardan üçü finale çıkıyor. Kaç farklı üç finalist olabilir?
Çözüm. Önceki örnekten farklı olarak burada finalistlerin sırası önemli değil, bu nedenle 10'dan 3'e kadar olan kombinasyon sayısını arıyoruz:
Örnek 2. Bir torbada 6'sı beyaz, 4'ü siyah olmak üzere 10 top vardır. İçinden iki top alınıyor. Aşağıdakilerin olasılığı nedir: a) 2 beyaz; b) 2 siyah; c) 1 beyaz, 1 siyah
Çözüm:
A) A – 2 beyaz top çekilsin. Tüm temel sonuçların toplam sayısını n bulalım.
B) B – 2 siyah top çekilsin
V) C – 1 beyaz ve 1 siyah top çekilsin
-> Olasılık teorisi. Rastgele olay, sıklığı ve olasılığı
Rastgele olay, sıklığı ve olasılığı
