¿Cuál es la proyección del vector? Fórmula básica de álgebra vectorial.

y sobre un eje o algún otro vector están los conceptos de su proyección geométrica y proyección numérica (o algebraica). El resultado de una proyección geométrica será un vector y el resultado de una proyección algebraica será un no negativo. Número Real. Pero antes de pasar a estos conceptos, recordemos Información necesaria.

Información preliminar

El concepto principal es el concepto de vector en sí. Para introducir la definición de vector geométrico, recordemos qué es un segmento. Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1

Un segmento es parte de una línea que tiene dos límites en forma de puntos.

Un segmento puede tener 2 direcciones. Para denotar la dirección, llamaremos a uno de los límites del segmento su comienzo y al otro límite su final. La dirección se indica desde el inicio hasta el final del segmento.

Definición 2

Un vector o segmento dirigido será un segmento del cual se sabe cuál de los límites del segmento se considera el comienzo y cuál es su final.

Designación: En dos letras: $\overline(AB)$ – (donde $A$ es su comienzo y $B$ es su final).

En una letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduzcamos algunos conceptos más relacionados con el concepto de vector.

Definición 3

Llamaremos colineales a dos vectores distintos de cero si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas entre sí (Fig. 2).

Definición 4

Llamaremos codireccionales a dos vectores distintos de cero si satisfacen dos condiciones:

1. Estos vectores son colineales.
2. Si están dirigidos en una dirección (Fig. 3).

Notación: $\overline(a)\overline(b)$

Definición 5

Llamaremos a dos vectores distintos de cero con direcciones opuestas si satisfacen dos condiciones:

1. Estos vectores son colineales.
2. Si están dirigidos a lados diferentes(Figura 4).

Notación: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definición 6

La longitud del vector $\overline(a)$ será la longitud del segmento $a$.

Notación: $|\overline(a)|$

Pasemos a determinar la igualdad de dos vectores.

Definición 7

Llamaremos iguales a dos vectores si cumplen dos condiciones:

1. Son codireccionales;
2. Sus longitudes son iguales (Fig. 5).

Proyección geométrica

Como dijimos anteriormente, el resultado de una proyección geométrica será un vector.

Definición 8

La proyección geométrica del vector $\overline(AB)$ sobre un eje es un vector que se obtiene de la siguiente manera: El punto origen del vector $A$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $A"$ - el comienzo del vector deseado. El punto final del vector $B$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $B"$ - el final del vector deseado. El vector $\overline(A"B")$ será el vector deseado.

Consideremos el problema:

Ejemplo 1

Construya una proyección geométrica $\overline(AB)$ sobre el eje $l$ que se muestra en la Figura 6.

Trazamos una perpendicular desde el punto $A$ al eje $l$, obtenemos el punto $A"$ sobre él. A continuación, trazamos una perpendicular desde el punto $B$ al eje $l$, obtenemos el punto $B "$ en él (Fig. 7).

Imágenes en dibujos cuerpos geométricos se construyen utilizando el método de proyección. Pero para esto no basta una imagen; se necesitan al menos dos proyecciones. Con su ayuda se determinan puntos en el espacio. Por tanto, es necesario saber cómo encontrar la proyección de un punto.

Proyección de un punto

Para hacer esto necesitarás considerar el espacio. ángulo diedro, con un punto (A) situado en su interior. Aquí se utilizan los planos de proyección horizontal P1 y vertical P2. El punto (A) se proyecta ortogonalmente sobre los planos de proyección. En cuanto a los rayos proyectantes perpendiculares, se combinan en un plano proyectante, perpendicular a los planos proyecciones. Así, al combinar los planos horizontal P1 y frontal P2 girando a lo largo del eje P2 / P1, obtenemos un dibujo plano.

Luego se muestra una línea perpendicular al eje con puntos de proyección ubicados en ella. Entonces resulta dibujo complejo. Gracias a los segmentos construidos en él y linea vertical conexión, puede determinar fácilmente la posición de un punto en relación con los planos de proyección.

Para que sea más fácil entender cómo encontrar la proyección, debe considerar triángulo rectángulo. Su lado corto es el cateto y su lado largo es la hipotenusa. Si proyectas un cateto sobre la hipotenusa, se dividirá en dos segmentos. Para determinar su valor, es necesario calcular un conjunto de datos iniciales. Miremos a triángulo dado, métodos para calcular las principales proyecciones.

Como regla general, en este problema se indica la longitud del cateto N y la longitud de la hipotenusa D, cuya proyección es necesario encontrar. Para ello, descubriremos cómo encontrar la proyección de la pierna.

Consideremos un método para encontrar la longitud del cateto (A). Considerando que la media geométrica de la proyección del cateto y la longitud de la hipotenusa es igual al valor del cateto que buscamos: N = √(D*Nd).

Cómo encontrar la longitud de la proyección

La raíz del producto se puede encontrar elevando al cuadrado la longitud del cateto deseado (N), y luego dividiéndolo por la longitud de la hipotenusa: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Al especificar los valores ​​de solo los catetos D y N en los datos de origen, las proyecciones de longitud deben encontrarse utilizando el teorema de Pitágoras.
Encontremos la longitud de la hipotenusa D. Para hacer esto, debemos usar los valores de los catetos √ (N² + T²) y luego sustituir el valor resultante en la siguiente fórmula para encontrar la proyección: Nd = N² / √ (N² + T²).

Cuando los datos de origen contienen datos sobre la longitud de la proyección del cateto RD, así como datos sobre el valor de la hipotenusa D, la longitud de la proyección del segundo cateto ND debe calcularse utilizando una fórmula de resta simple: ND = D-RD.

Proyección de velocidad

Veamos cómo encontrar la proyección de la velocidad. Con el fin de vector dado Si se presenta una descripción del movimiento, se debe colocar en proyección sobre los ejes de coordenadas. Hay un eje de coordenadas (rayo), dos ejes de coordenadas (plano) y tres ejes de coordenadas (espacio). Al encontrar una proyección, es necesario bajar las perpendiculares desde los extremos del vector hasta el eje.

Para comprender el significado de proyección, es necesario saber cómo encontrar la proyección de un vector.

Proyección vectorial

Cuando el cuerpo se mueve perpendicular al eje, la proyección se representará como un punto y tendrá un valor igual a cero. Si el movimiento se realiza paralelo al eje de coordenadas, entonces la proyección coincidirá con el módulo vectorial. En el caso de que el cuerpo se mueva de tal manera que el vector velocidad se dirija en un ángulo φ con respecto al eje (x), la proyección sobre este eje será un segmento: V(x) = V cos(φ), donde V es el modelo del vector velocidad. Cuando las direcciones del vector velocidad y el eje de coordenadas coinciden, entonces la proyección es positiva y viceversa.

Tomemos lo siguiente ecuación de coordenadas: x = x(t), y = y(t), z = z(t). EN en este caso la función de velocidad se proyectará sobre tres ejes y tendrá la siguiente forma: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). De ello se deduce que para encontrar la velocidad es necesario tomar derivadas. El vector velocidad en sí se expresa mediante una ecuación de la siguiente forma: V = V(x) i + V(y ) j + V(z) k Aquí i , j, k son vectores unitarios. ejes de coordenadas x, y, z respectivamente. Por lo tanto, el módulo de velocidad se calcula mediante la siguiente fórmula: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

y sobre un eje o algún otro vector están los conceptos de su proyección geométrica y proyección numérica (o algebraica). El resultado de una proyección geométrica será un vector y el resultado de una proyección algebraica será un número real no negativo. Pero antes de pasar a estos conceptos recordemos la información necesaria.

Información preliminar

El concepto principal es el concepto de vector en sí. Para introducir la definición de vector geométrico, recordemos qué es un segmento. Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1

Un segmento es parte de una línea que tiene dos límites en forma de puntos.

Un segmento puede tener 2 direcciones. Para denotar la dirección, llamaremos a uno de los límites del segmento su comienzo y al otro límite su final. La dirección se indica desde el inicio hasta el final del segmento.

Definición 2

Un vector o segmento dirigido será un segmento del cual se sabe cuál de los límites del segmento se considera el comienzo y cuál es su final.

Designación: En dos letras: $\overline(AB)$ – (donde $A$ es su comienzo y $B$ es su final).

En una letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduzcamos algunos conceptos más relacionados con el concepto de vector.

Definición 3

Llamaremos colineales a dos vectores distintos de cero si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas entre sí (Fig. 2).

Definición 4

Llamaremos codireccionales a dos vectores distintos de cero si satisfacen dos condiciones:

1. Estos vectores son colineales.
2. Si están dirigidos en una dirección (Fig. 3).

Notación: $\overline(a)\overline(b)$

Definición 5

Llamaremos a dos vectores distintos de cero con direcciones opuestas si satisfacen dos condiciones:

1. Estos vectores son colineales.
2. Si están dirigidos en diferentes direcciones (Fig. 4).

Notación: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definición 6

La longitud del vector $\overline(a)$ será la longitud del segmento $a$.

Notación: $|\overline(a)|$

Pasemos a determinar la igualdad de dos vectores.

Definición 7

Llamaremos iguales a dos vectores si cumplen dos condiciones:

1. Son codireccionales;
2. Sus longitudes son iguales (Fig. 5).

Proyección geométrica

Como dijimos anteriormente, el resultado de una proyección geométrica será un vector.

Definición 8

La proyección geométrica del vector $\overline(AB)$ sobre un eje es un vector que se obtiene de la siguiente manera: El punto origen del vector $A$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $A"$ - el comienzo del vector deseado. El punto final del vector $B$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $B"$ - el final del vector deseado. El vector $\overline(A"B")$ será el vector deseado.

Consideremos el problema:

Ejemplo 1

Construya una proyección geométrica $\overline(AB)$ sobre el eje $l$ que se muestra en la Figura 6.

Trazamos una perpendicular desde el punto $A$ al eje $l$, obtenemos el punto $A"$ sobre él. A continuación, trazamos una perpendicular desde el punto $B$ al eje $l$, obtenemos el punto $B "$ en él (Fig. 7).

Introducción……………………………………………………………………………………3

1. Valor de vector y escalar………………………………………….4

2. Definición de proyección, eje y coordenada de un punto………………...5

3. Proyección del vector sobre el eje……………………………………………………...6

4. Fórmula básica álgebra vectorial……………………………..8

5. Cálculo del módulo de un vector a partir de sus proyecciones……………………...9

Conclusión………………………………………………………………………………...11

Literatura………………………………………………………………………………...12

Introducción:

La física está indisolublemente ligada a las matemáticas. Las matemáticas proporcionan a la física los medios y técnicas para una expresión general y precisa de la relación entre cantidades físicas que se descubren como resultado de experimentos o investigaciones teóricas. Después de todo, el principal método de investigación en física es experimental. Esto significa que un científico revela cálculos utilizando medidas. Denota la relación entre varias cantidades físicas. Luego, todo se traduce al lenguaje de las matemáticas. Formado modelo matemático. La física es una ciencia que estudia lo más simple y al mismo tiempo lo más patrones generales. La tarea de la física es crear esa imagen en nuestra mente. mundo físico, que refleja más plenamente sus propiedades y proporciona las relaciones entre los elementos del modelo que existen entre los elementos.

Entonces, la física crea un modelo del mundo que nos rodea y estudia sus propiedades. Pero cualquier modelo es limitado. Al crear modelos de un fenómeno particular, solo aquellos que son esenciales para de este círculo propiedades y conexiones de los fenómenos. Éste es el arte de un científico: elegir lo principal entre toda la diversidad.

Los modelos físicos son matemáticos, pero las matemáticas no son su base. Las relaciones cuantitativas entre cantidades físicas se determinan como resultado de mediciones, observaciones y investigación experimental y sólo se expresan en el lenguaje de las matemáticas. Sin embargo, no existe otro lenguaje para construir. teorías físicas no existe.

1. Significado de vector y escalar.

En física y matemáticas, un vector es una cantidad que se caracteriza por su valor numérico y dirección. En física, hay muchas cantidades importantes que son vectores, por ejemplo, fuerza, posición, velocidad, aceleración, par, momento, intensidad de campo eléctrico y magnético. Se pueden contrastar con otras cantidades como masa, volumen, presión, temperatura y densidad, que se pueden describir numero regular, y se llaman " escalares" .

Están escritos con letras de fuente normal o con números (a, b, t, G, 5, −7....). Cantidades escalares puede ser positivo y negativo. Al mismo tiempo, algunos objetos de estudio pueden tener propiedades tales que descripción completa Para aquellos casos en los que el conocimiento de sólo una medida numérica resulta insuficiente, es necesario también caracterizar estas propiedades por la dirección en el espacio. Tales propiedades se caracterizan cantidades vectoriales(vectores). Los vectores, a diferencia de los escalares, se indican con letras en negrita: a, b, g, F, C....
A menudo, un vector se indica mediante una letra en fuente normal (sin negrita), pero con una flecha encima:

El módulo de un vector, es decir, la longitud de un segmento de línea recta dirigido, se denota con las mismas letras que el vector en sí, pero en escritura normal (no en negrita) y sin una flecha encima, o exactamente de la misma manera. como un vector (es decir, en negrita o regular, pero con una flecha), pero luego la designación del vector está encerrada entre guiones verticales.
Un vector es un objeto complejo que se caracteriza simultáneamente por su magnitud y dirección.

Tampoco hay resultados positivos y vectores negativos. Pero los vectores pueden ser iguales entre sí. Esto es cuando, por ejemplo, a y b tienen los mismos módulos y están dirigidos en la misma dirección. En este caso, la notación es verdadera. a= b. También hay que tener en cuenta que el símbolo del vector puede ir precedido de un signo menos, por ejemplo - c, sin embargo, este signo indica simbólicamente que el vector -c tiene el mismo módulo que el vector c, pero está dirigido en sentido contrario. dirección.

El vector -c se denomina opuesto (o inverso) del vector c.
En física, cada vector tiene un contenido específico y, al comparar vectores del mismo tipo (por ejemplo, fuerzas), los puntos de su aplicación también pueden ser significativos.

2. Determinación de la proyección, eje y coordenadas del punto.

Eje- Esta es una línea recta a la que se le da alguna dirección.
Un eje se designa con alguna letra: X, Y, Z, s, t... Por lo general, se selecciona (arbitrariamente) un punto en el eje, que se llama origen y, por regla general, se designa con la letra O. Desde este punto se miden las distancias a otros puntos de nuestro interés.

Proyección de un punto sobre un eje es la base de una perpendicular trazada desde este punto sobre un eje dado. Es decir, la proyección de un punto sobre el eje es un punto.

Coordenada del punto en este eje se llama número, valor absoluto que es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre el origen del eje y la proyección del punto sobre este eje. Este número se toma con signo más si la proyección del punto se ubica en la dirección del eje desde su origen y con signo menos si es en sentido contrario.

3. Proyección del vector sobre el eje.

La proyección de un vector sobre un eje es un vector que se obtiene multiplicando la proyección escalar de un vector sobre este eje por el vector unitario de este eje. Por ejemplo, si a x es la proyección escalar del vector a sobre el eje X, entonces a x ·i es su proyección vectorial sobre este eje.

Denotemos la proyección del vector de la misma manera que el vector en sí, pero con el índice del eje sobre el que se proyecta el vector. Por lo tanto, denotamos la proyección vectorial del vector a sobre el eje X como a x (una letra en negrita que denota el vector y el subíndice del nombre del eje) o

Proyección escalar vector por eje se llama número, cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre las proyecciones del punto inicial y el punto final del vector. Generalmente en lugar de la expresión proyección escalar simplemente dicen - proyección. La proyección se indica con la misma letra que el vector proyectado (en escritura normal, sin negrita), con un índice más bajo (como regla general) del nombre del eje sobre el cual se proyecta este vector. Por ejemplo, si un vector se proyecta sobre el eje X A, entonces su proyección se denota por una x. Al proyectar el mismo vector sobre otro eje, si el eje es Y, su proyección se denotará como y.

Para calcular la proyección vector en un eje (por ejemplo, el eje X), es necesario restar la coordenada del punto inicial de la coordenada de su punto final, es decir

una x = x k - x norte.

La proyección de un vector sobre un eje es un número. Además, la proyección puede ser positiva si el valor x k mayor que el valor xn,

negativo si el valor x k es menor que el valor x n

Y igual a cero, si x k es igual a x n.

La proyección de un vector sobre un eje también se puede encontrar conociendo el módulo del vector y el ángulo que forma con este eje.

De la figura se desprende claramente que a x = a Cos α

Es decir, la proyección del vector sobre el eje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y dirección vectorial. Si el ángulo es agudo, entonces
Cos α > 0 y a x > 0, y, si es obtuso, entonces coseno ángulo obtuso es negativo y la proyección del vector sobre el eje también será negativa.

Los ángulos medidos desde el eje en sentido antihorario se consideran positivos y los ángulos medidos a lo largo del eje son negativos. Sin embargo, dado que el coseno es una función par, es decir, Cos α = Cos (− α), al calcular las proyecciones, los ángulos se pueden contar tanto en el sentido de las agujas del reloj como en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Para encontrar la proyección de un vector sobre un eje, el módulo de este vector debe multiplicarse por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y la dirección del vector.

4. Fórmula básica del álgebra vectorial.

Proyectemos el vector a en los ejes X e Y del sistema de coordenadas rectangular. Encontremos las proyecciones vectoriales del vector a en estos ejes:

a x = a x ·i, y y = a y ·j.

Pero de acuerdo con la regla de la suma de vectores.

a = ax + ay.

a = a x i + a y j.

Por tanto, expresamos un vector en términos de sus proyecciones y vectores del sistema de coordenadas rectangulares (o en términos de sus proyecciones vectoriales).

Proyecciones vectoriales a x y a y se llaman componentes o componentes del vector a. La operación que realizamos se llama descomposición de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular.

Si el vector está dado en el espacio, entonces

a = a x i + a y j + a z k.

Esta fórmula se llama fórmula básica del álgebra vectorial. Por supuesto, se puede escribir así.

Muchos Cantidades fisicas se determinan completamente especificando un número determinado. Estos son, por ejemplo, volumen, masa, densidad, temperatura corporal, etc. Estas cantidades se denominan escalares. Por esta razón, a los números a veces se les llama escalares. Pero también hay cantidades que se determinan especificando no sólo un número, sino también una determinada dirección. Por ejemplo, cuando un cuerpo se mueve, se debe indicar no solo la velocidad a la que se mueve el cuerpo, sino también la dirección del movimiento. De la misma forma, al estudiar la acción de cualquier fuerza, es necesario indicar no solo el valor de esta fuerza, sino también la dirección de su acción. Estas cantidades se llaman vector. Para describirlos se introdujo el concepto de vector, que resultó útil para las matemáticas.

Definición de vectores

Cualquier par ordenado de puntos A a B en el espacio define segmento dirigido, es decir. un segmento junto con la dirección especificada en él. Si el punto A es el primero, entonces se llama el comienzo del segmento dirigido y el punto B es su final. Se considera que la dirección de un segmento es la dirección de principio a fin.

Definición
Un segmento dirigido se llama vector.

Denotaremos un vector con el símbolo \(\overrightarrow(AB) \), donde la primera letra indica el comienzo del vector y la segunda, su final.

Un vector cuyo principio y final coinciden se llama cero y se denota por \(\vec(0)\) o simplemente 0.

La distancia entre el inicio y el final de un vector se llama longitud y se denota por \(|\overrightarrow(AB)| \) o \(|\vec(a)| \).

Los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) se llaman colineal, si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas. Los vectores colineales pueden tener direcciones iguales o opuestas.

Ahora podemos formular concepto importante igualdad de dos vectores.

Definición
Los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) se dicen iguales (\(\vec(a) = \vec(b) \)) si son colineales, tienen la misma dirección y sus longitudes son iguales.

En la Fig. 1 representados a la izquierda son desiguales y a la derecha - vectores iguales\(\vec(a) \) y \(\vec(b) \). De la definición de igualdad de vectores se deduce que si un vector dado se mueve paralelo a sí mismo, el resultado será un vector igual al dado. En este sentido, los vectores en geometría analítica llamado gratis.

Proyección de un vector sobre un eje

Sea el eje \(u\) y algún vector \(\overrightarrow(AB)\) en el espacio. Dibujemos planos perpendiculares al eje \(u\) que pasen por los puntos A y B. Denotemos por A" y B" los puntos de intersección de estos planos con el eje (ver Figura 2).

La proyección del vector \(\overrightarrow(AB) \) sobre el eje \(u\) es el valor A"B" del segmento dirigido A"B" sobre el eje \(u\). Te recordamos que
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , si la dirección \(\overrightarrow(A"B") \) coincide con la dirección del eje \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , si la dirección \(\overrightarrow(A"B") \) es opuesta a la dirección del eje \(u\),
La proyección del vector \(\overrightarrow(AB)\) sobre el eje \(u\) se denota de la siguiente manera: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

Teorema
La proyección del vector \(\overrightarrow(AB) \) sobre el eje \(u\) es igual a la longitud del vector \(\overrightarrow(AB) \) multiplicada por el coseno del ángulo entre el vector \ (\overrightarrow(AB) \) y el eje \( u\) , es decir

Comentario
Dejemos que se especifique \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) y algún eje \(u\). Aplicando la fórmula del teorema a cada uno de estos vectores, obtenemos

Proyecciones vectoriales sobre ejes de coordenadas.

Seamos dados en el espacio. sistema rectangular coordina Oxyz y un vector arbitrario \(\overrightarrow(AB)\). Sea, además, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Las proyecciones del vector X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) sobre los ejes de coordenadas se llaman coordenadas. Al mismo tiempo escriben
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Teorema
Cualesquiera que sean los dos puntos A(x 1 ; y 1 ; z 1) y B(x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), las coordenadas del vector \(\overrightarrow(AB) \) están determinadas por las siguientes fórmulas :

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Comentario
Si el vector \(\overrightarrow(AB) \) sale del origen, es decir x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, entonces las coordenadas X, Y, Z del vector \(\overrightarrow(AB) \) son iguales a las coordenadas de su extremo:
X = x, Y = y, Z = z.

Cosenos de dirección de un vector

De la geometría elemental se sabe que el cuadrado de la longitud de la diagonal paralelepípedo rectangular igual a la suma cuadrados de las longitudes de sus tres dimensiones. Por eso,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Pero \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); así obtenemos
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
o
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Esta fórmula expresa la longitud de un vector arbitrario a través de sus coordenadas.

Denotemos por \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) los ángulos entre el vector \(\vec(a) \) y los ejes de coordenadas. De las fórmulas para la proyección del vector sobre el eje y la longitud del vector obtenemos
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) se llaman Cosenos directores del vector \(\vec(a) \).

Elevando al cuadrado los lados izquierdo y derecho de cada una de las igualdades anteriores y sumando los resultados obtenidos, tenemos
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
aquellos. la suma de los cuadrados de los cosenos directores de cualquier vector es igual a uno.

Operaciones lineales sobre vectores y sus propiedades básicas.

Suma de dos vectores

Comentario
La acción de restar vectores es inversa a la acción de suma, es decir la diferencia \(\vec(b) - \vec(a) \) vectores \(\vec(b) \) y \(\vec(a) \) es un vector que, en suma con el vector \(\ vec(a ) \) da el vector \(\vec(b) \) (ver figura).

Comentario
Al determinar la suma de dos vectores, puedes encontrar la suma de cualquier número de vectores dados. Sean, por ejemplo, dados tres vectores \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Sumando \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \), obtenemos el vector \(\vec(a) + \vec(b) \). Ahora sumandole el vector \(\vec(c) \), obtenemos el vector \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Producto de un vector y un número

Si \(\lambda =0 \) o \(\vec(a) = \vec(0) \), entonces el producto \(\lambda \vec(a) \) se considera igual al vector cero.

Comentario
Usando la definición de multiplicar un vector por un número, es fácil demostrar que si los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) son colineales y \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), entonces existe (y sólo un) número \(\lambda \) tal que \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Propiedades básicas de las operaciones lineales.

1. Propiedad conmutativa de la suma
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Propiedad coincidente suma
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Propiedad combinativa de la multiplicación.
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Propiedad distributiva relativo a la suma de números
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Comentario
Estas propiedades operaciones lineales son de fundamental importancia, ya que permiten realizar operaciones algebraicas ordinarias sobre vectores. Por ejemplo, debido a las propiedades 4 y 5, puedes multiplicar un polinomio escalar por un polinomio vectorial “término por término”.

Teoremas de proyección vectorial

Teorema
La proyección de la suma de dos vectores sobre un eje es igual a la suma de sus proyecciones sobre este eje, es decir
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

El teorema se puede generalizar al caso de cualquier número de términos.

Teorema
Cuando el vector \(\vec(a) \) se multiplica por el número \(\lambda \), su proyección sobre el eje también se multiplica por este número, es decir \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

Consecuencia
Si \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) y \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), entonces
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Consecuencia
Si \(\vec(a) = (x;y;z) \), entonces \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) para cualquier número \(\lambda \)

De aquí es fácil deducir condición de colinealidad de dos vectores en coordenadas.
En efecto, la igualdad \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) es equivalente a las igualdades \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) o
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) es decir los vectores \(\vec(a) \) y \(\vec(b) \) son colineales si y sólo si sus coordenadas son proporcionales.

Descomposición de un vector en una base.

Sean los vectores \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) vectores de unidad ejes de coordenadas, es decir \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1\), y cada uno de ellos está igualmente dirigido con el eje de coordenadas correspondiente (ver figura). La terna de vectores \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) se llama base.
Se cumple el siguiente teorema.

Teorema
Cualquier vector \(\vec(a) \) se puede expandir de forma única sobre la base \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), es decir, presentado como
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
donde \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) son algunos números.