Fractales en química. Laboratorio de investigación espacial

fractales

Fractal (lat. fractus- aplastado, roto, roto) es una figura geométrica que tiene la propiedad de autosemejanza, es decir, compuesta de varias partes, cada una de las cuales es similar a la figura completa. En matemáticas, los fractales se entienden como conjuntos de puntos en euclidiano. espacio que tienen una dimensión métrica fraccionaria (en el sentido de Minkowski o Hausdorff), o una dimensión métrica diferente a la topológica. El fractasmo es una ciencia exacta independiente de estudiar y componer fractales.

En otras palabras, los fractales son objetos geométricos con una dimensión fraccionaria. Por ejemplo, la dimensión de una línea es 1, el área es 2 y el volumen es 3. Para un fractal, el valor de la dimensión puede estar entre 1 y 2 o entre 2 y 3. Por ejemplo, la dimensión fractal de un arrugado bola de papel es de aproximadamente 2,5. En matemáticas, existe una fórmula compleja especial para calcular la dimensión de los fractales. Las ramas de los tubos traqueales, las hojas de los árboles, las venas de la mano, un río: estos son fractales. En términos simples, un fractal es una figura geométrica, una parte de la cual se repite una y otra vez, cambiando de tamaño; este es el principio de autosemejanza. Los fractales son similares a ellos mismos, son similares a ellos mismos en todos los niveles (es decir, en cualquier escala). Hay muchos tipos diferentes de fractales. En principio, se puede argumentar que todo lo que existe en el mundo real es un fractal, ya sea una nube o una molécula de oxígeno.

La palabra “caos” hace pensar en algo impredecible, pero en realidad el caos es bastante ordenado y obedece a ciertas leyes. El objetivo del estudio del caos y los fractales es predecir patrones que, a primera vista, pueden parecer impredecibles y completamente caóticos.

El pionero en este campo del conocimiento fue el matemático franco-estadounidense, profesor Benoit B. Mandelbrot. A mediados de la década de 1960 desarrolló la geometría fractal, cuyo objetivo era analizar formas rotas, arrugadas y borrosas. El conjunto de Mandelbrot (que se muestra en la figura) es la primera asociación que surge en una persona cuando escucha la palabra "fractal". Por cierto, Mandelbrot determinó que la dimensión fractal de la costa inglesa es 1,25.

Los fractales lo encuentran todo. mayor aplicación en la ciencia. Ellos describen mundo real incluso mejor que la física o las matemáticas tradicionales. movimiento browniano- Este es, por ejemplo, el movimiento aleatorio y caótico de partículas de polvo suspendidas en el agua. Este tipo de movimiento es quizás el aspecto de la geometría fractal que tiene mayor uso práctico. El movimiento browniano aleatorio tiene una respuesta de frecuencia que puede usarse para predecir fenómenos que incluyen grandes cantidades datos y estadísticas. Por ejemplo, Mandelbrot predijo cambios en los precios de la lana utilizando el movimiento browniano.

La palabra "fractal" puede usarse no sólo como término matemático. En la prensa y la literatura científica popular, se puede denominar fractal a una figura que tiene cualquiera de las siguientes propiedades:

Tiene una estructura no trivial en todas las escalas. Esto contrasta con las figuras regulares (como un círculo, una elipse, una gráfica de una función suave): si consideramos un pequeño fragmento de una figura regular a una escala muy grande, se verá como un fragmento de una línea recta. Para un fractal, aumentar la escala no conduce a una simplificación de la estructura; en todas las escalas veremos una imagen igualmente compleja.

Es autosimilar o aproximadamente autosimilar.

Tiene una dimensión métrica fraccionaria o una dimensión métrica que excede la topológica.

El uso más útil de los fractales en la tecnología informática es la compresión de datos fractales. Al mismo tiempo, las imágenes se comprimen mucho mejor que con los métodos convencionales: hasta 600:1. Otra ventaja de la compresión fractal es que cuando se amplía, no se produce el efecto de pixelación, lo que empeora drásticamente la imagen. Además, una imagen comprimida fractalmente suele verse incluso mejor después de una ampliación que antes. Los informáticos también saben que se pueden generar fractales de infinita complejidad y belleza mediante fórmulas simples. La industria cinematográfica utiliza ampliamente la tecnología de gráficos fractales para crear elementos paisajísticos realistas (nubes, rocas y sombras).

El estudio de la turbulencia en los flujos se adapta muy bien a los fractales. Esto nos permite comprender mejor la dinámica de los flujos complejos. Usando fractales también puedes simular llamas. Los materiales porosos están bien representados en forma fractal debido a que tienen una geometría muy compleja. Para transmitir datos a distancia se utilizan antenas con formas fractales, lo que reduce mucho su tamaño y peso. Los fractales se utilizan para describir la curvatura de superficies. Una superficie irregular se caracteriza por una combinación de dos fractales diferentes.

Muchos objetos de la naturaleza tienen propiedades fractales, por ejemplo, las costas, las nubes, las copas de los árboles, los copos de nieve, el sistema circulatorio y el sistema alveolar de humanos o animales.

Los fractales, especialmente en un avión, son populares debido a la combinación de belleza con la facilidad de construcción usando una computadora.

Los primeros ejemplos de conjuntos autosemejantes con propiedades inusuales aparecieron en el siglo XIX (por ejemplo, la función de Bolzano, la función de Weierstrass, el conjunto de Cantor). El término "fractal" fue acuñado por Benoit Mandelbrot en 1975 y ganó gran popularidad con la publicación de su libro "Fractal Geometry of Nature" en 1977.

La imagen de la izquierda muestra un ejemplo simple del fractal del Pentágono Darer, que parece un montón de pentágonos aplastados. De hecho, se forma utilizando un pentágono como iniciador y triángulos isósceles, en los que la relación entre el lado mayor y el menor es exactamente igual a la llamada proporción áurea (1,618033989 o 1/(2cos72°)) como un generador. Estos triángulos se cortan desde el centro de cada pentágono, lo que da como resultado una forma que parece 5 pentágonos pequeños pegados a uno grande.

La teoría del caos dice que los sistemas complejos no lineales son hereditariamente impredecibles, pero al mismo tiempo afirma que la forma de expresar sistemas tan impredecibles resulta correcta no en igualdades exactas, sino en representaciones del comportamiento del sistema: en gráficos. atractores extraños, teniendo la forma de fractales. Así, la teoría del caos, que mucha gente considera imprevisible, resulta ser la ciencia de la previsibilidad incluso en los sistemas más inestables. El estudio de los sistemas dinámicos muestra que las ecuaciones simples pueden dar lugar a un comportamiento caótico en el que el sistema nunca regresa a un estado estable y no aparece ningún patrón. A menudo, estos sistemas se comportan con bastante normalidad hasta cierto valor de un parámetro clave, luego experimentan una transición en la que hay dos posibilidades de mayor desarrollo, luego cuatro y finalmente un conjunto caótico de posibilidades.

Los esquemas de procesos que ocurren en los objetos técnicos tienen una estructura fractal claramente definida. Estructura mínima sistema tecnico(TS) implica la ocurrencia dentro del TS de dos tipos de procesos: el principal y los de apoyo, y esta división es condicional y relativa. Cualquier proceso puede ser el principal en relación con los procesos de soporte, y cualquiera de los procesos de soporte puede considerarse el principal en relación con “sus” procesos de soporte. Los círculos en el diagrama indican efectos físicos que aseguran la ocurrencia de aquellos procesos para los cuales no es necesario crear especialmente "sus propios" vehículos. Estos procesos son el resultado de interacciones entre sustancias, campos, sustancias y campos. Para ser precisos, un efecto físico es un vehículo en cuyo principio de funcionamiento no podemos influir y no queremos o no tenemos la oportunidad de interferir en su diseño.

El flujo del proceso principal mostrado en el diagrama está asegurado por la existencia de tres procesos de soporte, que son los principales de los TS que los generan. Para ser justos, observamos que para el funcionamiento incluso de un TS mínimo, tres procesos claramente no son suficientes, es decir El esquema es muy, muy exagerado.

Todo está lejos de ser tan sencillo como se muestra en el diagrama. Útil ( necesario para una persona) el proceso no se puede realizar con un 100% de eficiencia. La energía disipada se gasta en crear procesos nocivos: calentamiento, vibración, etc. Como resultado, los dañinos surgen en paralelo con el proceso beneficioso. No siempre es posible sustituir un proceso “malo” por uno “bueno”, por lo que es necesario organizar nuevos procesos destinados a compensar las consecuencias perjudiciales para el sistema. Un ejemplo típico es la necesidad de combatir la fricción, que obliga a organizar ingeniosos esquemas de lubricación, utilizar costosos materiales antifricción o dedicar tiempo a la lubricación de componentes y piezas o a su sustitución periódica.

Debido a la existencia de la influencia inevitable de un entorno cambiante, es posible que sea necesario gestionar un proceso útil. El control puede realizarse mediante dispositivos automáticos o directamente por una persona. El diagrama de proceso es en realidad un conjunto de comandos especiales, es decir. algoritmo. La esencia (descripción) de cada comando es la totalidad de un único proceso útil que lo acompaña. procesos nocivos y un conjunto de procesos de control necesarios. En tal algoritmo, el conjunto de procesos de soporte es una subrutina regular, y aquí también descubrimos un fractal. Creado hace un cuarto de siglo, el método de R. Koller permite crear sistemas con un conjunto bastante limitado de sólo 12 pares de funciones (procesos).

Conjuntos autosemejantes con propiedades inusuales en matemáticas

Empezando con finales del XIX En el siglo XIX aparecen en matemáticas ejemplos de objetos autosemejantes con propiedades patológicas desde el punto de vista del análisis clásico. Estos incluyen lo siguiente:

El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto incontable y denso en ninguna parte. Modificando el procedimiento, también se puede obtener un conjunto de longitud positiva nada denso.

El triángulo de Sierpinski (“mantel”) y la alfombra de Sierpinski son análogos del decorado de Cantor en el avión.

La esponja de Menger es análoga a la de Cantor situada en un espacio tridimensional;

ejemplos de Weierstrass y Van der Waerden no son diferenciables en ninguna parte función continua.

Curva de Koch: curva continua que no se interseca longitud infinita, sin tener tangente en ningún punto;

La curva de Peano es una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado.

la trayectoria de una partícula browniana tampoco es diferenciable en ninguna parte con probabilidad 1. Su dimensión Hausdorff es dos.

Procedimiento recursivo para obtener curvas fractales.

Construcción de la curva de Koch

Existe un procedimiento recursivo simple para obtener curvas fractales en un plano. Definamos una línea discontinua arbitraria con un número finito de enlaces, llamada generador. A continuación, reemplacemos cada segmento con un generador (más precisamente, una línea discontinua similar a un generador). En la línea discontinua resultante, reemplazamos nuevamente cada segmento con un generador. Continuando hasta el infinito, en el límite obtenemos una curva fractal. La figura de la derecha muestra los primeros cuatro pasos de este procedimiento para la curva de Koch.

Ejemplos de tales curvas son:

curva del dragón,

Curva de Koch (copo de nieve de Koch),

curva de lewy,

curva de Minkowski,

curva de Hilbert,

Rota (curva) de un dragón (Harter-Haithway Fractal),

Curva de Peano.

Mediante un procedimiento similar se obtiene el árbol pitagórico.

Fractales como puntos fijos mapeos de contracciones

La propiedad de autosemejanza se puede expresar matemáticamente estrictamente de la siguiente manera. Sean mapeos contractivos del plano. Considere el siguiente mapeo en el conjunto de todos los subconjuntos compactos (cerrados y acotados) del plano:

Se puede demostrar que el mapeo es un mapeo de contracción en el conjunto de compacta con la métrica de Hausdorff. Por lo tanto, según el teorema de Banach, esta aplicación tiene un punto fijo único. Este punto fijo será nuestro fractal.

El procedimiento recursivo para obtener curvas fractales descrito anteriormente es un caso especial de esta construcción. En él, todas las asignaciones son asignaciones de similitud y el número de enlaces del generador.

Para el triángulo de Sierpinski y el mapa , , son homotecias con centros en los vértices de un triángulo regular y coeficiente 1/2. Es fácil ver que el triángulo de Sierpinski se transforma en sí mismo cuando se mapea.

En el caso de que las asignaciones sean transformaciones de similitud con coeficientes, la dimensión del fractal (bajo algunas condiciones técnicas adicionales) se puede calcular como una solución a la ecuación. Así, para el triángulo de Sierpinski obtenemos .

Por el mismo teorema de Banach, comenzando con cualquier conjunto compacto y aplicándole iteraciones del mapa, obtenemos una secuencia de conjuntos compactos que convergen (en el sentido de la métrica de Hausdorff) a nuestro fractal.

Fractales en dinámica compleja

conjunto julia

Otro set de Julia

Los fractales surgen de forma natural cuando se estudian sistemas dinámicos no lineales. El caso más estudiado es cuando un sistema dinámico se especifica mediante iteraciones de un polinomio o una función holomorfa de una variable compleja en el plano. Los primeros estudios en esta zona se remontan a principios del siglo XX y están asociados a los nombres de Fatou y Julia.

Dejar F(z) - polinomio, z 0 es un número complejo. Considere la siguiente secuencia: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Estamos interesados en el comportamiento de esta secuencia tal como tiende norte hasta el infinito. Esta secuencia puede:

luchar hacia el infinito,

luchar por el límite máximo

exhiben un comportamiento cíclico en el límite, por ejemplo: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

comportarse de manera caótica, es decir, no demostrar ninguno de los tres tipos de comportamiento mencionados.

Conjuntos de valores z 0, para los cuales la secuencia exhibe un tipo particular de comportamiento, así como múltiples puntos de bifurcación entre diferentes tipos, a menudo tienen propiedades fractales.

Por tanto, el conjunto de Julia es el conjunto de puntos de bifurcación del polinomio. F(z)=z 2 +C(u otra función similar), es decir, esos valores z 0 para el cual el comportamiento de la secuencia ( z norte) puede cambiar dramáticamente con cambios arbitrariamente pequeños z 0 .

Otra opción para obtener conjuntos fractales es introducir un parámetro en el polinomio. F(z) y consideración del conjunto de aquellos valores de parámetros para los cuales la secuencia ( z norte) exhibe un cierto comportamiento a un tiempo fijo z 0. Por tanto, el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos , para lo cual ( z norte) Para F(z)=z 2 +C Y z 0 no llega al infinito.

Otro ejemplo famoso Las piscinas de Newton son de este tipo.

Es popular crear hermosas imágenes gráficas basadas en dinámicas complejas coloreando puntos planos según el comportamiento de los sistemas dinámicos correspondientes. Por ejemplo, para completar el conjunto de Mandelbrot, puedes colorear los puntos dependiendo de la velocidad de aspiración ( z norte) al infinito (definido, digamos, como el número más pequeño norte, en el cual | z norte| excederá un valor grande fijo A.

Los biomorfos son fractales construidos sobre la base de dinámicas complejas y que recuerdan a los organismos vivos.

Fractales estocásticos

Fractal aleatorio basado en el conjunto de Julia

Los objetos naturales suelen tener forma fractal. Se pueden utilizar fractales estocásticos (aleatorios) para modelarlos. Ejemplos de fractales estocásticos:

trayectoria del movimiento browniano en el plano y en el espacio;

Límite de la trayectoria del movimiento browniano en un plano. En 2001, Lawler, Schramm y Werner demostraron la hipótesis de Mandelbrot de que su dimensión es 4/3.

Las evoluciones de Schramm-Löwner son curvas fractales conformemente invariantes que surgen en modelos bidimensionales críticos de mecánica estadística, por ejemplo, en el modelo de Ising y la percolación.

varios tipos de fractales aleatorios, es decir, fractales obtenidos mediante un procedimiento recursivo en el que se introduce un parámetro aleatorio en cada paso. El plasma es un ejemplo del uso de tal fractal en gráficos de computadora.

En naturaleza

Vista frontal de la tráquea y los bronquios.

Árbol bronquial

Red de vasos sanguíneos

Solicitud

Ciencias Naturales

En física, los fractales surgen naturalmente al modelar procesos no lineales, como el flujo de fluido turbulento, procesos complejos difusión-adsorción, llamas, nubes, etc. Los fractales se utilizan para modelar materiales porosos, por ejemplo, en petroquímica. En biología, se utilizan para modelar poblaciones y describir sistemas de órganos internos (el sistema de vasos sanguíneos).

ingeniería de radio

Antenas fractales

El uso de la geometría fractal en el diseño de dispositivos de antena fue utilizado por primera vez por el ingeniero estadounidense Nathan Cohen, que entonces vivía en el centro de Boston, donde estaba prohibida la instalación de antenas externas en edificios. Nathan recortó una forma de curva de Koch en papel de aluminio, la pegó en una hoja de papel y luego la fijó al receptor. Cohen fundó su propia empresa y comenzó su producción en serie.

Ciencias de la Computación

Compresión de imágenes

Articulo principal: Algoritmo de compresión fractal

árbol fractal

Existen algoritmos para la compresión de imágenes mediante fractales. Se basan en la idea de que en lugar de la imagen en sí, se puede almacenar un mapa de compresión para el cual esta imagen (o alguna cercana) es un punto fijo. Se utilizó una de las variantes de este algoritmo [ fuente no especificada 895 días] por Microsoft al publicar su enciclopedia, pero generalizado Estos algoritmos no fueron recibidos.

Gráficos de computadora

Otro árbol fractal

Los fractales se utilizan ampliamente en gráficos por computadora para construir imágenes de objetos naturales, como árboles, arbustos, paisajes montañosos, superficies marinas, etc. Hay muchos programas que se utilizan para generar imágenes fractales, consulte Fractal Generator (programa).

Redes descentralizadas

El sistema de asignación de direcciones IP en la red Netsukuku utiliza el principio de compresión de información fractal para almacenar de forma compacta información sobre los nodos de la red. Cada nodo de la red Netsukuku almacena solo 4 KB de información sobre el estado de los nodos vecinos, mientras que cualquier nodo nuevo se conecta a la red común sin necesidad de una regulación central de la distribución de direcciones IP, que, por ejemplo, es típica de la Internet. Así, el principio de compresión de información fractal garantiza un funcionamiento completamente descentralizado y, por tanto, el más estable de toda la red.

A menudo descubrimientos brillantes, perfeccionado en la ciencia, puede cambiar radicalmente nuestras vidas. Por ejemplo, la invención de una vacuna puede salvar a muchas personas, pero la creación de nuevas armas conduce al asesinato. Precisamente ayer (en la escala de la historia) el hombre “domesticó” la electricidad y hoy ya no puede imaginar su vida sin ella. Sin embargo, también hay descubrimientos que, como suele decirse, permanecen en la sombra, a pesar de que también tienen uno que otro impacto en nuestras vidas. Uno de estos descubrimientos fue el fractal. La mayoría de la gente nunca ha oído hablar de este concepto y no será capaz de explicar su significado. En este artículo intentaremos comprender la cuestión de qué es un fractal y considerar el significado de este término desde la perspectiva de la ciencia y la naturaleza.

Orden en el caos

Para entender qué es un fractal conviene empezar el análisis desde la posición de las matemáticas, pero antes de profundizar en ello filosofaremos un poco. Cada persona tiene una curiosidad natural, gracias a la cual aprende. el mundo. A menudo, en su búsqueda de conocimiento, intenta utilizar la lógica en sus juicios. Así, al analizar los procesos que ocurren a su alrededor, intenta calcular relaciones y derivar ciertos patrones. lo mas grandes mentes Los planetas están ocupados resolviendo estos problemas. En términos generales, nuestros científicos están buscando patrones donde no los hay, y no debería haberlos. Y, sin embargo, incluso en el caos existe una conexión entre ciertos acontecimientos. Esta conexión es lo que es el fractal. Como ejemplo, consideremos una rama rota tirada en el camino. Si lo miramos de cerca, veremos que con todas sus ramas y ramitas parece un árbol. Esta similitud de una parte separada con un todo único indica el llamado principio de autosemejanza recursiva. Los fractales se pueden encontrar por todas partes en la naturaleza, porque muchas formas orgánicas e inorgánicas se forman de manera similar. Se trata de nubes, conchas marinas, caracoles, copas de árboles e incluso sistema circulatorio. Esta lista podemos continuar hasta el infinito. Todas estas formas aleatorias se describen fácilmente mediante un algoritmo fractal. Ahora hemos llegado a considerar qué es un fractal desde la perspectiva de las ciencias exactas.

Algunos hechos secos

La palabra "fractal" en sí se traduce del latín como "parcial", "dividido", "fragmentado", y en cuanto al contenido de este término, no existe una formulación como tal. Suele interpretarse como un conjunto autosemejante, una parte del todo, que repite su estructura a nivel micro. Este término fue acuñado en los años setenta del siglo XX por Benoit Mandelbrot, a quien se reconoce como el padre actual del concepto de fractal. imagen grafica una determinada estructura que, cuando se amplíe, será similar a ella misma. Sin embargo, la base matemática para la creación de esta teoría se sentó incluso antes del nacimiento del propio Mandelbrot, pero no pudo desarrollarse hasta que aparecieron las computadoras electrónicas.

Antecedentes históricos o cómo empezó todo

A principios del siglo XIX y XX, el estudio de la naturaleza de los fractales era esporádico. Esto se explica por el hecho de que los matemáticos prefirieron estudiar objetos que puedan estudiarse basándose en teorias generales y métodos. En 1872, el matemático alemán K. Weierstrass construyó un ejemplo de función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Sin embargo, esta construcción resultó ser enteramente abstracta y difícil de percibir. Luego vino el sueco Helge von Koch, quien en 1904 construyó una curva continua que no tenía tangente en ninguna parte. Es bastante fácil de dibujar y resulta que tiene propiedades fractales. Una de las variantes de esta curva lleva el nombre de su autor: "copo de nieve de Koch". La idea de autosemejanza de figuras fue desarrollada aún más por futuro mentor B. Mandelbrot El francés Paul Levy. En 1938 publicó el artículo "Curvas y superficies planas y espaciales formadas por partes similares a un todo". En él describió el nuevo tipo- Curva C de Levi. Todas las figuras anteriores se clasifican convencionalmente como fractales geométricos.

Fractales dinámicos o algebraicos

A esta clase Se refiere al conjunto de Mandelbrot. Los primeros investigadores en esta dirección fueron matemáticos franceses Pierre Fatou y Gastón Julia. En 1918, Julia publicó un artículo basado en el estudio de iteraciones de procesos racionales. funciones complejas. Aquí describió una familia de fractales que están estrechamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot. A pesar de que este trabajo glorificó a la autora entre los matemáticos, rápidamente fue olvidada. Y solo medio siglo después, gracias a las computadoras, el trabajo de Julia recibió una segunda vida. Las computadoras hicieron posible hacer visible para cada persona la belleza y la riqueza del mundo de los fractales que los matemáticos podían "ver" mostrándolos a través de funciones. Mandelbrot fue el primero en utilizar una computadora para realizar cálculos (un volumen así no se puede hacer manualmente) que permitieron construir una imagen de estas figuras.

Una persona con imaginación espacial.

Mandelbrot comenzó su carrera científica V centro de Investigación IBM. Explorando las posibilidades de transferir datos a largas distancias, los científicos se enfrentan al hecho grandes pérdidas, que surgió debido a interferencias de ruido. Benoit estaba buscando formas de resolver este problema. Al examinar los resultados de las mediciones, notó un patrón extraño: los gráficos de ruido parecían iguales en diferentes escalas de tiempo.

Se observó una imagen similar tanto durante un día como durante siete días o una hora. El propio Benoit Mandelbrot repetía a menudo que no trabaja con fórmulas, sino que juega con imágenes. Este científico era diferente. pensamiento imaginativo, cualquier problema algebraico tradujo a la región geométrica, donde la respuesta correcta es obvia. Por eso no es de extrañar que sea rico y se haya convertido en el padre de la geometría fractal. Después de todo, la conciencia de esta figura sólo puede llegar cuando estudias los dibujos y piensas en el significado de estos extraños remolinos que forman el patrón. Los patrones fractales no tienen elementos idénticos, pero son similares en cualquier escala.

Julia - Mandelbrot

Uno de los primeros dibujos de esta figura fue una interpretación gráfica del conjunto, que nació del trabajo de Gastón Julia y fue desarrollado posteriormente por Mandelbrot. Gaston intentó imaginar cómo se vería un conjunto basándose en una fórmula simple iterada a través de un bucle. comentario. Intentemos explicar lo dicho. lenguaje humano, por así decirlo, en los dedos. para un especifico valor numérico Usando la fórmula encontramos el nuevo valor. Lo sustituimos en la fórmula y encontramos lo siguiente. El resultado es grande. Para representar dicho conjunto, es necesario realizar esta operación. gran cantidad veces: cientos, miles, millones. Esto es lo que hizo Benoit. Procesó la secuencia y transfirió los resultados a forma gráfica. Posteriormente coloreó la figura resultante (cada color corresponde a un cierto número iteraciones). Esta imagen gráfica recibió el nombre de “fractal de Mandelbrot”.

L. Carpenter: arte creado por la naturaleza

La teoría de los fractales encontró rápidamente una aplicación práctica. Dado que está muy relacionado con la visualización de imágenes autosemejantes, los primeros en adoptar los principios y algoritmos para construir estas formas inusuales, se convirtieron en artistas. La primera de ellas fue la futura fundadora de Pixar, Lauren Carpenter. Mientras trabajaba en una presentación de prototipos de aviones, se le ocurrió la idea de utilizar una imagen de montañas como fondo. Hoy en día, casi todos los usuarios de computadoras pueden hacer frente a tal tarea, pero en los años setenta del siglo pasado, las computadoras no podían realizar tales procesos porque en ese momento no existían editores gráficos ni aplicaciones para gráficos tridimensionales. Y entonces Loren se topó con el libro de Mandelbrot "Fractales: forma, aleatoriedad y dimensión". En él, Benoit dio muchos ejemplos, mostrando que los fractales existen en la naturaleza (fyva), describió sus diversas formas y demostró que se pueden describir fácilmente. expresiones matemáticas. El matemático citó esta analogía como argumento a favor de la utilidad de la teoría que estaba desarrollando en respuesta a una avalancha de críticas por parte de sus colegas. Argumentaron que un fractal es simplemente Buena foto, sin valor, siendo un subproducto del trabajo maquinas electronicas. Carpenter decidió probar este método en la práctica. Después de estudiar detenidamente el libro, el futuro animador comenzó a buscar una manera de implementar la geometría fractal en gráficos por computadora. Sólo tardó tres días en reproducir en su ordenador una imagen completamente realista del paisaje montañoso. Y hoy este principio se utiliza ampliamente. Resulta que crear fractales no requiere mucho tiempo ni esfuerzo.

La solución del carpintero

El principio que utilizó Lauren fue simple. Consiste en dividir los más grandes en elementos pequeños, y éstos en otros más pequeños similares, y así sucesivamente. Carpenter, usando triángulos grandes, los dividió en 4 pequeños, y así sucesivamente, hasta tener un paisaje montañoso realista. Así, se convirtió en el primer artista en utilizar un algoritmo fractal en gráficos por ordenador para construir la imagen requerida. Hoy en día este principio se utiliza para imitar diversas formas naturales realistas.

La primera visualización 3D utilizando un algoritmo fractal

Al cabo de unos años, Lauren aplicó sus avances en proyecto a gran escala- vídeo animado Vol Libre, mostrado en Siggraph en 1980. Este video sorprendió a muchos y su creador fue invitado a trabajar en Lucasfilm. Aquí el animador pudo desarrollar todo su potencial; creó paisajes tridimensionales (un planeta entero) para el largometraje "Star Trek". Cualquier programa moderno(“Fractales”) o una aplicación de gráficos 3D (Terragen, Vue, Bryce) utiliza el mismo algoritmo para modelar texturas y superficies.

Tom Beddard

Beddard, anteriormente físico láser y ahora artista y artista digital, creó una serie de formas geométricas muy intrigantes, a las que llamó fractales de Fabergé. Exteriormente se parecen a los huevos decorativos de un joyero ruso y tienen el mismo patrón brillante e intrincado; Beddard utilizó un método de plantilla para crear sus representaciones digitales de los modelos. Los productos resultantes sorprenden por su belleza. Aunque muchos se niegan a comparar el producto. salir adelante por sí mismo con un programa de ordenador, pero hay que admitir que las formas resultantes son de una gran belleza. Lo más destacado es que cualquiera puede construir un fractal de este tipo utilizando la biblioteca de software WebGL. Te permite explorar varias estructuras fractales en tiempo real.

Fractales en la naturaleza

Pocas personas prestan atención, pero estas figuras asombrosas están presentes en todas partes. La naturaleza se crea a partir de sí misma. cifras similares, simplemente no lo notamos. Basta mirar a través de una lupa nuestra piel o la hoja de un árbol y veremos fractales. O tomemos, por ejemplo, una piña o incluso la cola de un pavo real: están formadas por figuras similares. Y la variedad de brócoli Romanescu llama la atención en su apariencia, porque realmente se la puede llamar un milagro de la naturaleza.

pausa musical

Resulta que los fractales no son sólo figuras geometricas, también pueden ser sonidos. Así, el músico Jonathan Colton escribe música utilizando algoritmos fractales. Pretende corresponder a la armonía natural. El compositor publica todas sus obras bajo una licencia CreativeCommons Attribution-Nocommercial, que permite la distribución, copia y transferencia gratuitas de obras a otros.

Indicador fractal

Esta técnica ha encontrado una aplicación muy inesperada. Sobre esta base se creó una herramienta para analizar el mercado bursátil y, como resultado, comenzó a utilizarse en el mercado Forex. Hoy en día, el indicador fractal se encuentra en todas las plataformas comerciales y se utiliza en una técnica comercial llamada ruptura de precios. Esta técnica fue desarrollada por Bill Williams. Como comenta el autor sobre su invento, este algoritmo es una combinación de varias “velas”, en las que la central refleja el punto extremo máximo o, por el contrario, el mínimo.

Finalmente

Entonces vimos qué es un fractal. Resulta que en el caos que nos rodea, en realidad existen formas perfectas. La naturaleza es el mejor arquitecto, el constructor e ingeniero ideal. Está organizado de forma muy lógica y si no podemos encontrar un patrón, eso no significa que no exista. Quizás necesitemos mirar en una escala diferente. Podemos decir con confianza que los fractales todavía guardan muchos secretos que aún tenemos que descubrir.

Para presentar toda la variedad de fractales conviene recurrir a su clasificación generalmente aceptada.

2.1 fractales geométricos

Los fractales de esta clase son los más visuales. En el caso bidimensional, se obtienen mediante alguna línea discontinua (o superficie en el caso tridimensional), llamada generador. En un paso del algoritmo, cada uno de los segmentos que componen la polilínea se reemplaza por una polilínea generadora, en la escala adecuada. Como resultado de la repetición interminable de este procedimiento, se obtiene un fractal geométrico.

Fig 1. Construcción de la curva tríada de Koch.

Consideremos uno de estos objetos fractales: la curva triádica de Koch. La construcción de la curva comienza con un segmento de longitud unitaria (Fig. 1); esta es la generación 0 de la curva de Koch. A continuación, cada enlace (un segmento en la generación cero) se reemplaza por elemento formativo, designado en la Fig. 1 por norte=1. Como resultado de esta sustitución se obtiene la siguiente generación de la curva de Koch. En la primera generación, se trata de una curva de cuatro eslabones rectos, cada uno de longitud 1/3 . Para obtener la tercera generación, se realizan los mismos pasos: cada eslabón se reemplaza con un elemento formador reducido. Entonces, para obtener cada generación posterior, todos los eslabones de la generación anterior deben reemplazarse con un elemento formador reducido. Curva norte-ésima generación para cualquier finito norte llamado prefractal. La Figura 1 muestra cinco generaciones de la curva. En norte A medida que la curva de Koch se acerca al infinito, se convierte en un objeto fractal.

Figura 2. Construcción del "dragón" Harter-Haithway.

Para obtener otro objeto fractal, debes cambiar las reglas de construcción. Sea el elemento formador dos segmentos iguales conectados en ángulo recto. En la generación cero reemplazaremos segmento unitario sobre este elemento formador de manera que la esquina quede arriba. Podemos decir que con tal reemplazo hay un desplazamiento de la mitad del enlace. Al construir generaciones posteriores, se sigue la regla: el primer eslabón de la izquierda se reemplaza con un elemento formador de modo que el centro del eslabón se desplaza hacia la izquierda de la dirección del movimiento, y al reemplazar los eslabones posteriores, las direcciones de el desplazamiento de los medios de los segmentos debe alternarse. La Figura 2 muestra las primeras generaciones y la undécima generación de la curva construida según el principio descrito anteriormente. Límite de curva fractal (en norte tendiendo al infinito) se llama El dragón de Harter-Haithway .

EN gráficos de la máquina el uso de fractales geométricos es necesario para obtener imágenes de árboles, arbustos y costas. Los fractales geométricos bidimensionales se utilizan para crear texturas tridimensionales (patrones en la superficie de un objeto).

2.2 fractales algebraicos

Esto es lo más grupo grande fractales. Se obtienen mediante procesos no lineales en norte-espacios dimensionales. Los procesos bidimensionales son los más estudiados. Al interpretar un proceso iterativo no lineal como un sistema dinámico discreto, se puede utilizar la terminología de la teoría de estos sistemas: retrato de fase, proceso constante, atractor etc.

Se sabe que los sistemas dinámicos no lineales tienen varios estados estables. El estado en el que se encuentra el sistema dinámico después de un cierto número de iteraciones depende de su estado inicial. Por tanto, cada estado estable (o, como dicen, atractor) tiene una determinada región de estados iniciales, a partir de los cuales el sistema necesariamente pasará a los estados finales considerados. Por tanto, el espacio de fases del sistema se divide en áreas de atracción atractores. Si el espacio de fases es bidimensional, entonces coloreando las áreas de atracción con diferentes colores, se puede obtener retrato de fase de color este sistema (proceso iterativo). Al cambiar el algoritmo de selección de color, puede obtener patrones fractales complejos con extraños patrones multicolores. Una sorpresa para los matemáticos fue la capacidad de generar estructuras no triviales muy complejas utilizando algoritmos primitivos.

Figura 3. Conjunto de Mandelbrot.

Como ejemplo, considere el conjunto de Mandelbrot (ver Fig. 3 y Fig. 4). El algoritmo para su construcción es bastante sencillo y se basa en una expresión iterativa sencilla:

z = z[i] * z[yo] + C,

Dónde z yo y C- variables complejas. Se realizan iteraciones para cada punto de partida. C región rectangular o cuadrada: un subconjunto del plano complejo. El proceso iterativo continúa hasta z[i] no irá más allá del círculo de radio 2, cuyo centro se encuentra en el punto (0,0), (esto significa que el atractor del sistema dinámico está en el infinito), o después de un número suficientemente grande de iteraciones (por ejemplo, 200-500) z[i] convergerá a algún punto del círculo. Dependiendo del número de iteraciones durante las cuales z[i] permaneció dentro del círculo, puedes establecer el color del punto C(Si z[i] permanece dentro del círculo durante un número suficientemente grande de iteraciones, el proceso de iteración se detiene y este punto ráster se pinta de negro).

Figura 4. Una sección del límite del conjunto de Mandelbrot, ampliada 200 veces.

El algoritmo anterior da una aproximación al llamado conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot contiene puntos que, durante infinito el número de iteraciones no llega al infinito (los puntos son negros). Puntos que pertenecen al límite del conjunto (aquí es donde el estructuras complejas) ir al infinito para numero final iteraciones, y los puntos que se encuentran fuera del conjunto llegan al infinito después de varias iteraciones (fondo blanco).

2.3 fractales estocásticos

Otra clase conocida de fractales son los fractales estocásticos, que se obtienen si algunos de sus parámetros se cambian aleatoriamente en un proceso iterativo. En este caso, los objetos resultantes son muy similares a los naturales: árboles asimétricos, rugosos costas etc. Los fractales estocásticos bidimensionales se utilizan en el modelado de terrenos y superficies marinas.

Existen otras clasificaciones de fractales, por ejemplo, dividir los fractales en deterministas (algebraicos y geométricos) y no deterministas (estocásticos).

ejemplo fractal

El “fractal” fue introducido en uso por los matemáticos hace menos de medio siglo y pronto se convirtió, junto con la sinergética y el atractor, en uno de los “tres pilares” de la joven Teoría del Caos Determinista, y hoy ya es reconocido como uno de los elementos fundamentales de la estructura del universo.

CON la palabra latina fractus se traduce como "roto", moderno lenguas latinas le dio el significado de "rasgado". Un fractal es algo que es idéntico al todo/mayor del que forma parte y, al mismo tiempo, copia cada uno de sus propios componente. Así, la “fractalidad” es una similitud infinita del “todo” con sus componentes, es decir, es autosimilitud en cualquier nivel. Cada nivel de una rama fractal se llama "iteración"; cuanto más desarrollado está el sistema descrito o representado gráficamente, más iteraciones fractales ve el observador. En este caso, el punto en el que se produce la división (por ejemplo, un tronco en ramas, un río en dos arroyos, etc.) se denomina punto de bifurcación.

El término fractus fue elegido por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 para describir descubrimiento científico y se hizo popular unos años más tarde, después de que desarrolló el tema para una audiencia más amplia en su libro Fractal Geometry of Nature.

Hoy en día, el fractal es ampliamente conocido como los patrones fantásticos del llamado "arte fractal" creado por programas de computador. Pero con la ayuda de una computadora puedes generar no sólo bellas imágenes abstractas, sino también paisajes naturales muy creíbles: montañas, ríos, bosques. Aquí, de hecho, está el punto de transición de la ciencia a vida real, o viceversa, si asumimos que generalmente es posible separarlos.

El hecho es que principio fractal adecuado no sólo para describir descubrimientos en Ciencias Exactas. Este es, ante todo, el principio de estructura y desarrollo de la naturaleza misma. ¡Todo lo que nos rodea son fractales! El grupo de ejemplos más evidente son los ríos con afluentes, el sistema venoso con capilares, los rayos, las heladas, los árboles... Más recientemente, los científicos, realizando pruebas teoría fractal, han comprobado experimentalmente que a partir del diagrama de un árbol se pueden sacar conclusiones sobre la superficie forestal donde crecen estos árboles. Otros ejemplos de grupos fractales: átomo – molécula – sistema planetario – sistema solar- galaxias - universo... Minuto - hora - día - semana - mes - año - siglo... Incluso la comunidad de personas se organiza según los principios de la fractalidad: Yo - familia - clan - nacionalidad - nacionalidades - razas.. Individuo - grupo - partido - estado. Empleado - departamento - departamento - empresa - preocupación... Incluso los panteones divinos de las diferentes religiones están construidos sobre el mismo principio, incluido el cristianismo: Dios Padre - Trinidad - santos - iglesia - creyentes, sin mencionar la organización de los panteones divinos de religiones paganas.

Historia afirma que los conjuntos autosimilares se observaron por primera vez en el siglo XIX en los trabajos de científicos: Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, pero la verdad es que los eslavos paganos ya nos dejaron pruebas de que la gente entendía la existencia individual como un pequeño detalle. en el infinito del universo. Este es un objeto estudiado por historiadores del arte de Bielorrusia y Ucrania. Cultura Folk, llamado "araña". Es una especie de prototipo de escultura. estilo moderno"móvil" (las piezas están en movimiento constante entre sí). La “araña” suele estar hecha de paja y se compone de piezas pequeñas, medianas, elementos grandes, suspendidos entre sí para que cada parte más pequeña repita exactamente la más grande y toda la estructura en su conjunto. Este diseño se colgó en la esquina principal de la casa, como si denotara la casa como un elemento del mundo entero.

La teoría de la fractalidad funciona hoy en todas partes, incluso en la filosofía, que dice que durante cada vida, y toda vida en su conjunto es fractal, se producen "puntos de bifurcación", cuando más niveles altos el desarrollo puede ir En maneras diferentes y el momento en que una persona “se encuentra ante una elección” es el verdadero “punto de bufurcación” en los fractales de su vida.

La teoría del Caos Determinista dice que el desarrollo de cada fractal no es infinito. Los científicos creen que en un momento determinado llega un límite más allá del cual se detiene el crecimiento de las iteraciones y el fractal comienza a "estrecharse", alcanzando gradualmente su unidad de medida original, y luego el proceso vuelve a girar en un círculo, similar a la inhalación y la exhalación. los cambios de la mañana y la noche, el invierno y el verano en la naturaleza.

Los editores de NNN se toparon accidentalmente con una material interesante, presentado en el blog del usuario xtsarx, dedicado a elementos de la teoría. fractales y ella aplicación práctica. Como es sabido, la teoría de los fractales juega lejos de último papel en física y química de nanosistemas. Habiendo contribuido a este buen material, presentado en un idioma accesible a amplia gama lectores y apoyado en abundante material gráfico e incluso en vídeo, lo presentamos a su atención. Esperamos que los lectores de NNN encuentren interesante este material.

La naturaleza es tan misteriosa que cuanto más la estudias, más preguntas aparecen... Relámpagos nocturnos: “chorros” azules de descargas ramificadas, patrones escarchados en la ventana, copos de nieve, montañas, nubes, cortezas de árboles: todo esto va más allá de lo habitual. Geometría euclidiana. No podemos describir una roca o los límites de una isla con líneas rectas, círculos y triángulos. Y aquí vienen en nuestra ayuda. fractales. ¿Quiénes son estos desconocidos familiares?

“Bajo un microscopio, descubrió que en la pulga
Una pulga que pica vive;
En esa pulga hay una pulga pequeñita,
Un diente perfora una pulga con enojo
Pulgas, y así hasta el infinito”. D. Rápido.

Un poquito de historia

Primeras ideas geometría fractal Surgió en el siglo XIX. Cantor, utilizando un procedimiento recursivo (repetitivo) simple, convirtió la línea en una colección de puntos desconectados (el llamado Polvo de Cantor). Tomaría una línea y quitaría el tercio central y luego repetiría lo mismo con los tramos restantes.

Arroz. 1. Curva de Peano 1,2 a 5 iteraciones.

peano dibujó clase especial líneas. Peano hizo lo siguiente:: En el primer paso, tomó una línea recta y la reemplazó con 9 segmentos 3 veces más cortos que la longitud de la línea original. Luego hizo lo mismo con cada segmento de la línea resultante. Y así hasta el infinito. Su singularidad es que llena todo el plano. Se ha demostrado que para cada punto del plano se puede encontrar un punto perteneciente a la linea Peaño. La curva de Peano y el polvo de Cantor iban más allá de los objetos geométricos ordinarios. No tenían una dimensión clara.. El polvo de Cantor parecía estar construido sobre la base de una línea recta unidimensional, pero estaba formado por puntos (dimensión 0). Y la curva de Peano se construyó sobre la base de una línea unidimensional y el resultado fue un plano. En muchas otras áreas de la ciencia aparecieron problemas cuya solución conducía a resultados extraños similares a los descritos anteriormente (movimiento browniano, precios de las acciones). Cada uno de nosotros puede hacer este procedimiento...

Padre de los fractales

Hasta el siglo XX, los datos sobre tales objetos extraños, sin ningún intento de sistematizarlos. Eso fue hasta que los enfrenté. Benoît Mandelbrot – padre de la geometría fractal moderna y la palabra fractal.

Arroz. 2. Benoît Mandelbrot.

Mientras trabajaba como analista matemático en IBM, estudió el ruido en circuitos electrónicos, que no se puede describir mediante estadísticas. Poco a poco, comparando hechos, llegó al descubrimiento de una nueva dirección en matemáticas: geometría fractal.

El término "fractal" fue introducido por B. Mandelbrot en 1975. Según Mandelbrot, fractal(del latín “fractus” - fraccionario, roto, roto) se llama estructura formada por partes similares al todo. La propiedad de autosemejanza distingue claramente a los fractales de los objetos de la geometría clásica. Término autosimilitud medio la presencia de una estructura fina y repetitiva, tanto en las escalas más pequeñas del objeto como en la macroescala.

Arroz. 3. Hacia la definición del concepto “fractal”.

Ejemplos de autosimilitud son: Koch, Levy, curvas de Minkowski, triángulo de Sierpinski, esponja de Menger, árbol de Pitágoras, etc.

CON punto matemático visión, fractal- esto es, en primer lugar, establecido con dimensión fraccionaria (intermedia, “no entera”). Mientras que una línea euclidiana suave llena exactamente el espacio unidimensional, una curva fractal se extiende más allá de los límites del espacio unidimensional, invadiendo los límites del espacio bidimensional. Por lo tanto, la dimensión fractal de una curva de Koch estará entre 1 y 2. Esto, en primer lugar, significa que para un objeto fractal, ¡es imposible medir con precisión su longitud! De estos fractales geométricos, el primero es muy interesante y bastante famoso: El copo de nieve de Koch.

Arroz. 4. Hacia la definición del concepto “fractal”.

Está construido sobre la base triángulo equilátero . Cada línea se reemplaza por 4 líneas, cada una de 1/3 de la longitud original. Así, con cada iteración la longitud de la curva aumenta en un tercio. Y si lo hacemos número infinito iteraciones: obtenemos un fractal: un copo de nieve de Koch de longitud infinita. Resulta que nuestra curva infinita cubre área limitada. Intenta hacer lo mismo usando métodos y figuras de la geometría euclidiana.
Dimensión del copo de nieve de Koch(cuando un copo de nieve aumenta 3 veces, su longitud aumenta 4 veces) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Sobre el fractal en sí

Los fractales encuentran cada vez más aplicaciones en la ciencia y la tecnología. La razón principal es que describen el mundo real a veces incluso mejor que la física o las matemáticas tradicionales. Puede dar infinitas ejemplos de objetos fractales en la naturaleza: nubes, copos de nieve, montañas, un relámpago y, finalmente, coliflor. Fractal como objeto natural– este es un eterno movimiento continuo, nueva formación y desarrollo.

Arroz. 5. Fractales en economía.

Además, Los fractales encuentran aplicación en el mundo descentralizado. Red de computadoras Y "antenas fractales" . Los llamados "fractales brownianos" son muy interesantes y prometedores para modelar varios procesos "aleatorios" estocásticos (no deterministas). En el caso de la nanotecnología, los fractales también juegan un papel papel importante , porque debido a su autoorganización jerárquica muchos Los nanosistemas tienen una dimensión no entera., es decir, son fractales en su naturaleza geométrica, fisicoquímica o funcional. Por ejemplo, un ejemplo brillante Los sistemas químicos fractales son moléculas "dendrímeros". . Además, el principio de fractalidad (estructura autosimilar y escalable) es un reflejo de la estructura jerárquica del sistema y, por lo tanto, es más general y universal que los enfoques estándar para describir la estructura y las propiedades de los nanosistemas.

Arroz. 6. Moléculas “dendrímeras”.

Arroz. 7. Modelo gráfico de comunicación en el proceso arquitectónico y constructivo. El primer nivel de interacción desde la perspectiva de los microprocesos.

Arroz. 8. Modelo gráfico de comunicación en el proceso arquitectónico y constructivo. El segundo nivel de interacción desde la perspectiva de los procesos macro (un fragmento del modelo).

Arroz. 9. Modelo gráfico de comunicación en el proceso arquitectónico y constructivo. El segundo nivel de interacción desde la perspectiva de los procesos macro (modelo completo)

Arroz. 10. Desarrollo plano del modelo gráfico. El primer estado homeostático.

Fractales y proporción áurea "Fractales" parte 1 "Fractales" parte 2 "Fractales" parte 3 "Fractales" parte 4 "Fractales" parte 5